Revisão Geral de Matemática - Marcia Rebello da Silva

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UFRRJ/ICSA/DCAC (NOTAS DE AULA – 2015/I) REVISÃO GERAL DE MATEMÁTICA 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
1
 
REVISÃO GERAL DE MATEMÁTICA 
 
 
TODOS OS DIREITOS RESEVADOS A 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
Objetivo 
Este tópico trata-se de uma revisão dos conhecimentos básicos da matemática elementar 
(Álgebra) que serão utilizados na disciplina. 
 
Desenvolvimento 
1- Expressões com chaves, colchetes, e parênteses: 
 
 � Em 1o. lugar efetua-se as operações que estão entre parênteses, em 2o. lugar efetua-se as 
operações que estão entre colchetes e por último as que estão entre chaves. 
 
 
 
2- Expressões com potenciação (ou radiciação), multiplicação (ou divisão), soma (ou subtração): 
 
 � Em 1o. lugar efetua-se as operações de potenciação (ou radiciação), em 2o. lugar efetua-se 
as as expressões de multiplicação (ou divisão), e por último as de soma (ou subtração). 
 
 
 
Exemplos: 
1) 34 − 3 {7 + 6 [4 − 3 + (2 + 5)]} = 
34 − 3 [7 + 6 (4 − 3 + 7)] = 
 34 − 3 (7 + 6 x 8) = 
 34 − 3 (7 + 48) = 
 34 − 3 (55) = 
34 − 165 = − 131 
 
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2) 5 + 3 [7 + 10 − 2 − (28 − 5 + 3) 6] + {2 − [5 + 8 – (10) (15)]} = 
 3 
 5 + 3 [15 − (26) (6)] + [2 −(− 37)] = 
5 + 3 [15 − (26) (6)] + 2 + 37 = 
5 + 3 (15 − 156) + 39 = 
5 + 3 (−141) + 39 = 
5 − 423 + 39 = − 379 
 
3) 3 + 4 − 16 − 1251/3 x 9 + 10 − 4 x 7 = 
 2 
7 − 8 − (5) (9) + 10 − 28 = 
 7 − 8 − 45 + 10 − 28 = − 64 
 
4) 5 + 3 x 6 − (−2−3) − 4 + (. 72 ) = 
 5 (6 − 10 x 6 + 20) 
5 + 18 − (− 0,125) − 4 + 72 = 
 (5) 34 
5 + 18 + 0,025 − 4 + 2,12 = 21,15 
 
 
3- Potenciação 
3.1- Potência de um Número 
 
 � Potência de um número é o produto de fatores iguais a esse número. 
 
 
Exemplos: 
 
 �expoente ou grau da potência 
5) 4 3 = (4) (4) (4) 
 
�base da potência 
6) (− 9,3 a)4 = (−9,3 a) (−9,3 a) (−9,3 a) (−9,3 a) 
 
 
 
3.2- Potência com Expoente Negativo 
 
 � Todo número elevado a um expoente negativo é igual ao inverso da base da potência 
elevado ao expoente positivo. 
 
 
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3
Exemplos: 
7) 5−3 = . 1 . 
 53 
 
8) (3) (2−8) = (3) 
 28 
 
 
3.3- Potência com Expoente Zero 
 
 � Qualquer número elevado a zero é igual a um. 
 
 
Exemplos: 
9) 70 = 1 
10) (−6/8)0 = 1 
 
 
 
3.4- Potências Semelhantes 
 
 � Potências semelhantes são potências com expoentes iguais. 
 
 
Exemplos: 
 
11) 67 e 97 
12) ( x + y)−5 e (x − z)−5 
 
 
 
3.5- Operações com Potências 
3.5.1- Multiplicação de Potências com a mesma Base 
 
 � A multiplicação de potências com a mesma base, soma-se os expoentes e conserva-se a base. 
 
 
Exemplos: 
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4
13) (57) (59) = 
 5(7 + 9) = 516
 
 
14) (1 + a)4 (1 + a)−10 = 
(1 + a)(4 − 10) = 
(1 + a)(− 6) = 
 = . 1 . 
 (1 + a)6 
15) (1 + u)7 (xy)−5 (1 + u)4 (xy)3 = 
(1 + u)(7 + 4) (xy)(−5 + 3) = 
(1 + u)(11) (xy)(−2) = 
= (1 + u)(11) 
 (xy)(2) 
 
 
3.5.2- Divisão de Potências com a mesma Base 
 
 � A divisão de potências com a mesma base, subtrae-se os expoentes e conserva-se a base. 
 
 
Exemplos:
 
16) 830 ÷ 89 = 
 8(30 − 9) = 821 
 
 
17) (1 + b)−4 = (1 + b)(−4 − 6) = (1 + b) −10 
 
 (1 + b)6 
 
18) 3y8 ÷ 3y−15 = 
 . 3y8 = 
3y−15 
3y(8 + 15) = 3y23
 
 
 
 
 
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3.5.3- Multiplicação com Potências Semelhantes 
 
 � Multiplicação com potências semelhantes, multiplica-se as bases e conserva-se os expoentes. 
 
 
Exemplos:
 
19) (2−4) (9−4) = 
 [(2) (9)]−4 = 18−4 
20) (3 a)53 (−5 b)53 (2 c)53 = 
 [(3 a) (−5 b) (2 c)]53 = (−30 a b c)53 
 
 
3.5.4- Divisão com Potências Semelhantes 
 
 � Divisão com potências semelhantes, divide-se as bases e conserva-se os expoentes. 
 
 
Exemplos:
 
21) 423 = (42 ÷ 6)3 = 73 
 63 
22) 34 ÷ (−5/2)4 = (34) x (−2/5)4 
 = (−6/5)4 
 
 
3.5.5- Potência de Potência 
 
 � Para se elevar uma potência a uma outra potência, conserva-se a base e multiplica-se os 
expoentes. 
 
Exemplos: 
23) (24)3 = 
 2(4 x 3) = 212 
 
24) [(3 + y)4]5 = 
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6
 (3 + y)(4 x 5) = (3 + y)20 
 
25) [(1 − x)6]−7 = 
 (1 − x)(6) (−7) = (1 − x)−42 
 
 
3.5.6- Potência de Fração Ordinária 
 
 � Para se elevar uma fração a uma potência, elevam-se ambos os termos da fração ao mesmo 
expoente.
 
 
Exemplos: 
26) (3/10)4 = .34 . 
 104 
 
 
4- Radicais 
4.1- Raiz de um Número 
 
 � Chama-se raiz de índice (n) de um número "A" a operação inversa da potenciação. 
 
 
 
Exemplos: 
 �radical 
27) n 
 
Onde: 
 n: índice 
 A: radicando 
 B: raiz 
 
 
 
 
52 = 25 
 
 45 = 1024 
 
A = A 1/N = B 
28) 25 = 25(1/2) = 5 
29) 5 1024 = 10241/5 = 4 
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4.2- Operações com Raiz 
4.2.1- Produtos de Radicais com o mesmo Índice 
 
 
 � O produto de radicais com o mesmo índice, multiplica-se os radicandos e conserva-se a raiz 
do índice dado. 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
31) (10 a)1/6 x (4)1/6 = (40)1/6 
 
 
4.2.2- Divisão de Radicais com o mesmo Índice 
 
 
 � Divisão de radicais com o mesmo índice, divide-se os radicandos e conserva-se a raiz do 
índice dado. 
 
 
Exemplos: 
32) 301/4 = 151/4 
 21/4 
 
33) −601/5 = 20a1/5 
 −3a1/5 
 
 
5- Produtos Notáveis 
5.1- Definição 
 
 
 
 � Um produto é dito notável quando obtemos um resultado sem efetuarmos as operações 
necessárias (cálculos). 
 
 
30) 3 3
 10 X 3 5 = 3 10 X 5 = 3 50 = (50)1/3 
 
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(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. 
 
(a ± b) 2 = (a ± b) (a ± b), ao efetuarmos o cálculo obteremos: 
 
a 2 ± 2ab + b 2 , logo podemos através da regra efetuarmos qualquer produto desse tipo, denominado 
quadrado de uma soma ou diferença. 
 
Exemplos: 
34) (3y + 4)2 = 
(3y)2 + 2 [(3y) (4)] + (4)2 = 
= 92 + 24 y + 16 
35) (6a − 5b)2 = 
(6a)2 − 2 [(6a) (5b)] + (−5b)2 == 36a2 − 60ab + 25b2 
 
 
5.2- Produto de uma Soma por uma Diferença 
 
 (a + b) (a − b) = a2 − b2. 
 
Exemplos: 
36) (x + 3) (x − 3) = x2 − (3)2 = x2 − 9 
 
37) (y + 4z) (y − 4z) = y2 − (4z)2 = y2 − 16 z2 
 
 
5.3- Produto de Stevin 
 (x ± a) (x ± b) = x2 ± (a + b) x ± ab 
Exemplos: 
38) (y + 4) (y + 3) = 
= y2 + (4 + 3) y + (4) (3) = 
 = y2 + 7 y + 12 
39) (y − 8) (y + 3) = 
= y2 − (8 − 3) y − (8) (3) 
 = y2 − 5 y − 24 
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40) (z + 5) (z − 7) = 
 z
2
 + (5 − 7) z − (5) (7) = 
= z2 − 2 z − 35 
41) (y − 10) (y − 6) = 
= y2 − (10 + 6)y + (10) (6) = 
 = y2 − 16 y + 60 
 
 
5.4- Cubo de uma Soma ou Diferença 
 (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 
Exemplos: 
42) (x + 7)3 = 
(x2 + 14 x + 49) (x + 7) = x3 + 21 x2 + 147 x + 343 
Pela fórmula: x3 + 3 x2 (7) + (3) (x) (72) + 73 = x3 + 21 x2 + 147 x + 343 
 
43) (y − 2)3 = y3 − 3y2 (2) + (3) (y) (22) − 23 = 
 = y3 + 6y2 + 12y − 8 
 
 
5.5- Produto das formas: 
 
 (a + b) (a2 − ab + b2) = a3 + b3 
 
(a − b) (a2 + ab + b2) = a3 − b3 
Exemplos: 
44) (x + 6) (x2 − 6x + 36) = 
 x
3
 − 6 x2 + 36 x + 6 x2 − 36 x + 216 = x3 + 216 
Pela fórmula: x3 + 63 = x3 + 216 
45) (y − 4) (y2 + 4y + 16) = 
y3 + 4y2 + 16 y − 4y2 − 16 y − 64 = y3 − 64 
Pela fórmula: = y3 − 43 = y3 − 64 
 
 
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6- Equações 
a) Definição 
 
 � Equações são igualdades entre duas expressões algébricas ou entre uma expressão algébrica e 
um número. 
 
 
Ex.: 
4 y + 23 = 35 y − 18 
 
Ex.: 
 − 7 x2 + 5 x − 13 = 0 
 
 
b) Termos de uma Equação 
 
 
 � Termos de uma equação são os monômios ou números que isoladamente compõem uma 
equação. 
 
 
 
 
c) Incógnita de uma Equação 
 
 
 � Incógnita de uma equação é uma letra dessa equação cujo valor é desconhecido. 
 
 
 
 
 
6.1- Equação do 1o. Grau 
 
 
 � Diremos que uma equação é do 1o. Grau quando estiver na forma: ax + b = 0 
 
 
TERMO
S 
= 12 X2 + 25 
INCÓGNIT
 
TERM
 
EX: 
4 X + 8 
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Resolução: 
 Forma: ax + b = 0 
 
Solução: 
x = − (b/a), 
 
onde para: 
 a ≠ 0 ⇒ solução possível e determinada 
 a = 0 {b = 0 ⇒ solução indeterminada 
 a = 0 {b ≠ 0 ⇒ solução impossível 
 
 � Para resolvermos uma equação do 1o. Grau, colocamos os termos semelhantes num mesmo 
membro trocando o sinal dos que sofreram mudança e a seguir reduzimos os termos 
semelhantes calculando a incógnita. 
 
 
 
Resolva as seguintes equações: 
46) 4x − 6x + 30 = 2x − 8x + 14 
 4x − 6x − 2x + 8x = −30 + 14 
 4x = − 16 
 x = − 4 
47) 3 − (x + 6) = − 8 [5x + 4(−3 + 2x)] 
 3 − x − 6 = − 8 (5x −12 + 8x) 
3 − x − 6 = − 40x + 96 − 64x 
3 − 96 − 6 = − 40x − 64x + x 
− 103 x = − 99 
 x = 0,96 
48) (1 + x) = (1 + 0,07)3 
 (1 + x) = (1,07)3 
 (1 + x) = 1,225 
x = 0,225 
49) (1 + 0,05) = (1 + x)4 
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 1,05 = (1 + x)4 
 1,05)1/4 = 1 + x 
 x = 1,012 − 1 
x = 0,012 
 
50) .x. − 2x = 4 − .x. 
 7 35 2 
Solução: 
 Neste caso temos que escrever todos os termos da equação com os mesmos denominadores, e 
para tal utiliza-se o MMC (mínimo múltiplo comum). 
 
 Então: 
 MMC (7; 35; e 2) = 70 
 . x . − . 2x . = 4 − . .x . 
 7/10 35/2 2/35 
Logo, 
10 x − (2 x) (2) = (4) (70) – 35 x 
 10 x − 4 x + 35 x = 280 
 41 x = 280 
x = 280 ÷ 41 
x ≅ 6,83 
51) − 3 x + .x. = .x. − 3 
 20 5 10 
MMC (20; 5; e 10) = 20 
 − 3 x (1) + x (4) = x (2) − 3 (20) 
 − 3 x + 4 x = 2 x − 60 
 − 3 x + 4 x − 2 x = − 60 
 − x = − 60 
 x = 60 
52) 5 − [3 ÷ (x + 2)] = − 20 
 5 (x + 2) − 3 = −20 (x + 2) 
 5 x + 10 − 3 = − 20 x − 40 
 5 x + 20 x = − 40 − 10 + 3 
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 25 x = −47 
x ≅ −1,88 
 
 
6.2- Equação do 2o. Grau 
 
 � Uma equação é dita de 2o. Grau quando o seu termo de maior grau for igual a 2. Sua forma 
geral é igual a: 
 ax2 + bx + c = 0 
 
 
 
Resolução: 
Forma: ax2
 
 + bx + c = 0 
 
Solução: .x = [− b ± (b2 − 4ac)1/2 ]. 
 .. 2a . 
 
Exemplo: 
53) Resolva a equação: x2 − 9 x + 14 = 0 
 x = [− b ± (b2 − 4ac)1/2 ]. 
 .. 2a . 
a = 1 b = − 9 c = 14 
 
x = − (− 9) ± [92 − (4) (1) (14)]1/2 
 (2) (1) 
 x = 9 ± (81 − 56)1/2 
 2 
 x = 9 ± (25)1/2 
 2 
 x = 9 ± 5 
 2 
x1
 
= (9 + 5) ⇒ x1 = 7 
 2 
 x2
 
= (9 − 5) ⇒ x2 = 2 
 2 
Raizes: 7 e 2 
 
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6.1.1- Discussão da Equação do 2o. Grau 
 
 
 � A solução de uma equação do 2o. Grau depende do seu radicando 
 (b2 − 4 a c) também conhecido como ∆ (delta). Então, teremos: 
 ∆ = b2 − 4 a c > 0 ⇒ Raízes reais desiguais 
 ∆ = b2 − 4 a c < 0 ⇒ Raízes imaginárias 
 ∆ = b2 − 4 a c = 0 ⇒ Raízes reais iguais 
 
 
54) Resolva a equação: x2 − 6x + 15 = 0 
 x = − (−6) ± [(−6)2 – 4 (1) (15)]1/2 
 2 
∆ = b2 − 4 a c = 36 − 60 
∆ = − 24 < 0 ⇒ Raízes imaginárias 
 
 
6.1.2- Relação entre os Coeficientes e Raízes da Equação do 2o. Grau 
 
a) A soma das raízes de uma equação do 2o. Grau: 
 
 S = x1
 
+ x2
 
= −b. 
 a . 
 
b) O produto das raízes de uma equação do 2o. Grau: 
 
 P = (x1)
 
(x2)
 
= c/a 
 
 
6.1.3- Formação de uma Equação do 2o. Grau 
 
 � A forma da equação do 2o. Grau que é: ax2 + bx + c = 0; também pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 x2
 
+ (b/a) x + c/a = 0 
 
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Logo, se trocarmos b/a = − S e c/a = P; teremos: 
 x
2
 
− S x + P = 0 
Portanto, passa a ser a forma da equação do 2o. Grau quando se conhece as raízes da mesma. 
 
 
Exemplos: Forme uma equação do 2o. grau quando as suas raízes são: 
 
55) 3 e 5 
 x1
 
= 3; x2
 
= 5 
 S = x1
 
+ x2
 
= 3 + 5 = 8 
 P = x1
 
 x2
 
= (3) (5) = 15 
 x
2
 
− S x + P = 0 
x
2
 
− 8 x + 15 = 0 
 
56) −1 e 11 
 S = y1
 
+ y2
 
= −1 + 11 = 10 
 P = y1
 
 y2
 
= (−1) (11) = −11 
 y2 − S y + P = 0 
y2 – 10 y − 11 = 0 
 
 
7- Sistemas de Equações com duas variáveis 
 Considereo sistema de equações: 
 
 
7.1- Método da Substituição 
 
Para resolver esse sistema pelo método da substituição, escolhemos uma das equações e 
expressamos uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, tomamos a primeira equação e 
isolamos o x no 1º membro: 
 
 x + 3y = 17 
 x = 17 − 3y 
X + 3Y = 17 (1A EQUAÇÃO) 
 
 
6Y − 3X = 24 (2A EQUAÇÃO) 
 
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 Substituímos por essa expressão o x da segunda equação e a resolvemos: 
 6y − 3 (17 − 3y) = 24 
 6y − 51 + 9y = 24 
15y = 75 
 y = 5 
 Substituímos em uma das equações a variável y pelo valor encontrado para descobrir o valor 
de x. Substituindo na 1ª equação (x + 3y = 17) fica: 
 
 x + 3(5) = 17 
 x = 17 − 15 
 x = 2 
Comprovamos se os valores encontrados é solução do sistema substituindo-os nas duas equações: 
 x + 3y = 17 6y − 3x = 24 
 2 + 3(5) = 17 6(5) − 3(2) = 24 
 2 + 15 = 17 30 − 6 = 24 
 17 = 17 24 = 24 
 
7.2- Método da Adição 
 Observe o sistema de equações: 
 
 
 
Quando somamos um mesmo número um mesmo número a cada membro da equação, obtemos 
outra equação com o mesmo conjunto solução da original. 
Assim, podemos somar duas equações: 
 
 x + y = 24 
 + 
 x − y = 12 . 
 x + y + (x − y) = 24 + 12 
 2x = 36 
 x = 18 
 
X + Y = 24 (1A EQUAÇÃO) 
 
 
X − Y = 12 (2A EQUAÇÃO) 
 
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Substituindo agora o x por 18 em qualquer das equações originais: 
 x + y = 24 
 18 + y = 24 
 y = 6 
 
Comprovamos a resposta substituindo x por 18 e y por 6 nas duas equações originais: 
x + y = 24 x − y = 12 
 18 + 6 = 24 18 − 6 = 12 
 24 = 24 12 = 12 
 
 
Em alguns sistemas a aplicação apenas do método da adição não permite resolvê-los. Por 
exemplo o seguinte sistema de equação: 
 
 
 Neste caso, se apenas somarmos os membros da equação não eliminaremos nenhuma variável. 
Primeiro, precisamos usar o princípio da multiplicação da igualdade para fazer que o coeficiente de 
uma variável se torne o oposto do coeficiente dessa mesma variável na outra equação. 
 
Assim, multiplicamos ambos os membros da segunda equação por 2 e aplicamos o método da 
adição: 
 
 
 
 2x + 2y = 30 
 + 
 2x − 2y = 10 
 2x + 2x +(2y − 2y) = 30 + 10 
 4x = 40 
 x = 10 
Substituindo x por 10 em uma das equações originais: 
 x − y = 5 (2ª equação) 
 10 − y = 5 
2X + 2Y = 30 (1A EQUAÇÃO) 
 
 
X − Y = 5 (2A EQUAÇÃO) 
 
2X + 2Y = 30 2X + 2Y = 30 
 ===> 
X − Y = 5 (2) (X − Y) = (2) (5) 
 
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18
 − y = 5 − 10 
 y = − 5 
 − 1 
 y = 5 
 
Comprovamos a resposta substituindo x por 10 e y por 5, em ambas equações originais: 
2x + 2y = 30 x − y = 5 
 2(10) + 2 (5) = 30 10 − 5 = 5 
 20 + 10 = 30 5 = 5 
 30 = 30 
Agora veja como resolveremos o seguinte sistema de equações: 
 
2x + 3y = 18 => 3(2x + 3y) = 3(18) => 6x + 9y = 54 
3x − 4y = −7 => − 2(3x − 4y) = − 2(−7) => − 6x + 8y = 14 + 
 17y = 68 
 y = 4 
Substituindo na 1ª equação: 
 2x + 3(4) = 18 
 2x = 18 − 12 = 6 
 x = 3 
 
8- Logarítimos 
8.1- Definição 
 
 
 � O logarítimo de um número real e positivo (N) em uma base positiva (a) diferente da 
unidade ao número (x) que se deve elevar a base (a) para se obter o número (N) ou também 
chamado antilogarítimo. 
 
 
 
Se ax = N, pode-se dizer que o logarítimo de N na base a é igual a x,ou, expressando algebricamente 
2X + 3Y = 18 (1A EQUAÇÃO) 
 
 
3X − 4Y = −7 (2A EQUAÇÃO) 
 
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 loga N = x 
 
Exemplos: 
57) 34 = 81 ⇒ log3
 
81 = 4 
 
58) 63 = 216 ⇒ log6
 
216 = 3 
 
 
 
8.2- Sistemas de Logarítimos 
 Os sistemas usuais de logarítimos são: 
 
1- Decimal também conhecido como Briggs (sistema de base 10). Geralmente, quando a base é igual 
a dez, costuma-se omiti-la da notação. Ou: 
 
 1) log 10 = 1 ⇐ log10
 
10 = 1 
 
2) log
 
100 = 2 ⇐ log10
 
100 = 2 
 
 
2- Neperiano ou Natural (sistema de base e = 2,718...). Quando a base do logaritmo for representada 
pela constante “e” este é denominado logaritmo natural, ou logaritmo neperiano. Os logaritmos 
neperianos são representados pela notação genérica “ln”. 
 
O valor da constante “e “pode ser apresentado como: 
 
 
 ∞ 
 e = lim (1 + .1.)x = ∑ .1. ! 
 x n=1 n 
 Aproximando o valor da constante “e” com dez casas decimais, obtém-se o valor: 
e = 2,7182818285 
 Por exemplo: 
 Loge 5 = ln 5 = 1,6094 
 
 
8.3- Alguns Logarítimos Especiais 
 
1) loga a = 1 2) loga 1 = 0 
 
3) loga an = n 4) ln e = 1 ⇐ lne e = 1 
 
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É importante ressaltar algumas propriedades associadas aos logaritmos: 
 
 
 
8.4- Propriedades de Logarítimos 
8.4.1- Logarítimo de um Produto 
O logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual a soma dos logaritmos dos 
números, ou: 
 log (A).(B) = log (A) + log (B) 
 
 
8.4.2- Logarítimo de um Quociente 
 O logaritmo do quociente de dois números positivos é igual ao logaritmo do numerador menos 
o logaritmo do denominador, ou: 
 
 log (A/B) = log A − log B 
 
 
8.4.3- Logarítimo de uma Potência 
O logaritmo de uma potência de um número positivo é o expoente da potência multiplicada 
pelo logaritmo do número, ou: 
log An = n log A 
 
 
8.4.4- Logarítimo de uma Raiz 
O logaritmo de uma raiz de um número positivo é igual ao inverso do índice do radical 
multiplicado logaritmo do número, ou: 
 
log (A)1/n = .1. log A 
 n 
Nota: 
 Muitas questões de concurso costumam apresentar valores dos logaritmos específicos, 
exigindo o uso das propriedades apresentadas, para ilustrar considerando: 
 
 Log 2 = 0,3 log 3 = 0,5 log = 5 = 0,7 
a) log (6) = log (2 x 3) = log 2 + log 3 = 0,3 + 0,5 = 0,7 
b) log (8) = log (2)3 = 3 log (2) = 3 x 0,5 = 1,5 
c) log (1,5) = log (5 x 3 ÷ 10) = log 5 + log 3 − log 10 = 0,7 + 0,5 − 1 = 0,2 
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Exemplos: 
59) Log [(35) (20)] = log 35 + log 20 
 
60) Log (5/10) = log 5 − log 10 
 
61) Log 153 = 3 log 15 
 
62) Log (24)(1/7) = (1/7)log 24 
Calcule o valor de x das seguintes equações: 
63) 2x = 8 
 x log 2 = log 8 
 x = log 8 
 log 2 
64) (1 + 0,05)x = 1,75 
log (1,05)x = log 1,75 
 x log 1,05 = log 1,75 
x = log 1,75 
 log 1,05 
65) (7) (104x) = 102x 
 7 = 102x − 4x 
 7 = 10−2x 
 log 7 = (−2 x) (log 10) 
 2 x = − log 7 
 log 10 
x = [− log 7] (1/2) 
 log 10 
66) 9 = 23x + 3 
 9 − 3 = 23x 
 6 = 23x 
 log 6 = (3 x) (log 2) 
x = [log 6] (1/3) 
 log 2 
 
 
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9- Progressões 
 
 � Progressões são sucessões de números na qual cada termo a partir do segundo guarda entre 
si uma relação. 
 
 
 
 
9.1- Progressão Aritmética 
 
 � Progressão Aritmética é uma sucessão de números na qual cada termo a partir do segundo é 
igual ao precedente mais uma constante. 
 
 
 
Ex.: 3, 6, 9, 12 . . . . 24 ⇒ constante = 3 ⇒ crescente 
 
Ex.: 30, 25, 20 . . . . −10 ⇒ constante = −5 ⇒ decrescente 
 
 
 
9.1.1- Termo Geral de uma Progressão Aritmética 
 
 Seje a P.A.: a1; a2; a3; . . . ; an 
Onde: 
 a1 = 1o. termo 
 an = último termo 
 n = número de termos 
 r = razão 
O termo geral de uma Progressão Aritmética é igual a: 
 
 an = a1 + (n − 1) r. 
Exemplos: 
67) Qual o vigésimo termo da progressão aritmética: 7, 11, 15 . . . 
Solução: 
a1 = 7 an = ? n = 20 r = 4 
 an = a1 + (n − 1) r. 
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 a20 = 7 + (20 − 1) 4 
a20 = 83 
 
68) Qual o trigésimo termo da progressão aritmética: 215, 192, 169, 146, . . . 
Solução: 
a1 = 215 an = ? n = 30 r = − 23 
 an = a1 + (n − 1) r. 
 a30 = 215 + (30 − 1) (−23) 
a30 = − 452 
 
 
 
9.1.2- Classificação de uma Progressão Aritmética 
 
 
 
P.A.
Crescente
Limitada
Ilimitada
Decrescente
Limitada
Ilimitada
 
 
Uma P.A. é dita crescente se a razão (r) é positiva, caso contrário é dita decrescente. 
 
 
 
9.1.3- Soma de uma Progressão Aritmética 
 
Sn = [(a1 + an) (n). 
 . 2 . 
 
 
69) Qual a soma dos termos da P.A.: 10, 12, 14, 18, 20, 22. 
 
Solução: 
 a1 = 10 an = 22 n = 6 Sn = ? 
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 Sn = [(a1 + an) (n) 
 . 2 . 
 
Sn = (10 + 22) (6) Sn = 96 
 2 
 
 
9.1.4- Propriedades 
 
 � Em toda P.A., cada termo é a média aritmética dos termos equidistantes. 
 
 
Ex.: 8, 13, 18, 23,28 
 13 = (8 + 18) ÷ 2 
18 = (8 + 28) 
 2 
 
 
 � A soma de dois termos de uma P.A. é igual a soma dos outros dois termos equidistantes 
deles. 
 
 
Ex.: 5, 7, 9, 11, 13 
 7 + 9 = 5 + 11 
7 + 11 = 5 + 13 
 
 
9.2- Progressão Geométrica 
 
 � Progressão geométrica é uma sucessão de números do qual cada termo a partir do segundo 
é igual ao precedente multiplicado por uma constante. 
 
 
 
Ex.: 3, 6, 12, 24, . . . . 192 ⇒ constante = 2 ⇒ crescente 
 
Ex.: 3.072; 768; 192; . . . ; 3 ⇒ constante = 1/4 ⇒ decrescente 
 
 
 
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9.2.1- Termo Geral de uma Progressão Geométrica 
 
 Seje a P.G.: a1; a2; a3; . . . ; an 
Onde: 
 a1 = 1o. termo 
 an = último termo 
 n = número de termos 
 q = razão 
O termo geral de uma Progressão Geométrica é igual a: 
 
an = (a1) q(n – 1). 
 
 
70) Qual o sétimo termo da progressão geométrica: 4, 12, 36 . . . 
Solução: 
 a1 = 4 n = 7 q = 3 
 a7 = ? 
 an = (a1) q(n – 1). 
 a7 = (4) (3)(7 −1) 
a7 = 2.916 
71) Qual o quinto termo da P.G.: 2.500; 500; 100; . . . 
Solução: 
 a1 = 2500 n = 5 q = 1/5 = 0,2 
a5 = ? 
 an = (a1) q(n – 1). 
 an = (2500) (0,2)(5 – 1) 
an = 4 
 
 
 
9.2.2- Classificação de uma Progressão Geométrica 
 
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Crescente
Limitada
Ilimitada
Decrescente
Limitada
Ilimitada
P.G.
 
 
Uma P.G. é dita crescente se a razão (q) é maior que 1, caso contrário é dita decrescente. 
 
 
 
9.2.3- Soma de uma Progressão Geométrica Limitada 
 
Sn = (an . q) – a1. 
 q – 1 . 
 
 
Sn = a1 (qn −1) 
 q – 1 . 
 
 
72) Qual a soma dos termos da P.G.: 4, 8, 16, 32, 64, 128. 
 
Solução: 
 a1 = 4 an = 128 n = 6 q = 2 
Sn = ? 
 
Sn = (an . q) – a1 
 q – 1 . 
 
Sn = (128) (2) – 4 ⇒ Sn = 252 
 2 – 1 
Sn = a1 (qn − 1). 
 q – 1 
 Sn = (4) (26 − 1) 
 2 − 1 
Sn = 252 
 
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9.2.4- Limite da Soma dos Termos de uma P.G. Decrescente Ilimitada 
 
Lim Sn = . a1 .
 
 1 − q 
n → ∞ 
 
 
73) Qual o limite da soma dos termos da P.G.: 384, 96, 24, . . . . 
Solução: 
 a1 = 384 q = 1/4 
 Lim Sn = . a1 .
 
 1 − q 
n → ∞ 
Sn = . 384 . 
 1 − 1/4 
Sn = 512 
 
 
9.2.5- Produto dos termos de uma P.G. 
 
 Pn = [(a1 . an)n]1/2. 
 
74) Qual o produto dos termos da P.G.: 7, 14, 28, 56 
Solução: Pn = [(a1 . an)n]1/2. 
 a1 = 7 an = 56 n = 4 Pn = ? 
 Pn = [(7 x 56)4]1/2 ⇒ Pn = 153.664 
 
 
9.2.6- Propridades de uma P.G. 
 
 � Em toda P.G., cada termo é a média geométrica entre os termos equidistantes. 
 
 
75) Seja os termos da P.G.: 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . . 
Solução: 
 8 = [(4) (16)]1/2 
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 8 = (64)]1/2 
 
 16 = [(4) 64)]1/2 
 
16 = (254)1/2 
 
 
 � Em toda P.G., o produto de dois termos é igual ao produto dos termos equidistantes. 
 
 
 
76) Seja os termos da P.G.: 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . . 
Solução: 
 (8) (16) = (4) (32) = 128 
(8) (32) = (4) (64) = 256