Circ Aula 7

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CIRCUITOS
AULA 7: 
 
Topologia de Circuitos
e
Análise Nodal
Flávio Goulart dos Reis Martins
flaviogrmartins@ufrj.br
13 de Setembro de 2013
1
Revisão
Circuito da aula passada:
2
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Flávio Goulart dos Reis Martins
13/09/2013
+-
+-
36 V
18 V
R1 = 3 Ω
R3 = 3 Ω
R2 = 6 Ω
R4 = 2 Ω
R5 = 2 Ω
Revisão
Nós:			Ramos:		Malhas:
3
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13/09/2013
+-
+-
R1 = 3 Ω
R3 = 3 Ω
R2 = 6 Ω
R4 = 2 Ω
R5 = 2 Ω
36 V
18 V
A
C
D
3
Revisão
Nós:			Ramos:		Malhas:
4
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13/09/2013
3
A
C
D
+-
36 V
+-
18 V
R1 = 3 Ω
R3 = 3 Ω
R2 = 6 Ω
R4 = 2 Ω
R5 = 2 Ω
5
Revisão
Nós:			Ramos:		Malhas:
5
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3
A
C
D
5
3
(M = B – N + 1)
5
Tensões e correntes nos B ramos (2B incógnitas):
i1
i2
Revisão
6
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A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
i3
i4
i5
6
Revisão
Tensões e correntes nos ramos (2B incógnitas)
Solução do problema:
Precisamos de 2B Equações independentes;
A Lei de Ohm (V = Ri) pode fornecer B equações:
7
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B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri):
i1
i2
Revisão
8
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A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
i3
i4
i5
8
B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri):
i1
i2
Revisão
9
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A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
i3
i4
i5
+-
18 V
3 Ω
9
B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri):
i1
i2
Revisão
10
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A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
i3
i4
i5
6 Ω
10
B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri):
i1
i2
Revisão
11
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A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
i3
i4
i5
3 Ω
11
B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri):
i1
i2
Revisão
12
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A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
i3
i4
i5
+-
36 V
2 Ω
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B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri):
i1
i2
Revisão
13
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A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
i3
i4
i5
2 Ω
13
Solução do Problema
Tensões e correntes nos ramos (2B incógnitas)
Solução do problema:
Precisamos de 2B Equações independentes;
Já temos B equações a partir da Lei de Ohm;
Como encontrar mais B equações?
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Solução do Problema
A partir de 4 Teoremas é possível desenvolver 2 métodos que garantem as B equações independentes que faltam:
Método dos Nós 
Método das Malhas
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Aula de hoje!
Aula de segunda!
Teoremas
Teorema 1: Existem N-1 equações independentes obtidas da aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff aos N nós.
Um nó sempre poderá ser escrito como a soma das equações dos outros N-1 nós.
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Teoremas
Teorema 1: Exemplo
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Teoremas
Teorema 1: Exemplo
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i2
A
C
D
i3
i5
F
i1
i4
i6
Lei das Correntes de Kirchhoff:
D:
A:
C:
F:
Teoremas
Teorema 1: Exemplo
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D+A+C = 
= -F
D+A+F = 
= -C
D:
A:
C:
F:
D+C+F = 
= -A
A+C+F = 
= -D
Teoremas
Obs.: A tensão em um elemento pode ser escrita como uma diferença de potencial:
e1 = VA - VB
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e1
VA
VB
Teoremas
Obs.: A tensão em um elemento pode ser escrita como uma diferença de potencial:
 e1 = VA - VB
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e1
VA
VB
Teoremas
Teorema 2: Todas as tensões nos ramos podem ser expressas em termos de diferenças de potencial entre os N-1 nós independentes, de forma que 1 nó seja a referência.
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Teoremas
Teorema 2: Exemplo
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e2
A
C
D
e3
e5
F
e1
e4
e6
Diferenças de Potencial:
e1 = VA - VD
e2 = VC - VD
e3 = VD - VF
e4 = VC - VF
e5 = VA - VF
e6 = VC - VA
Teoremas
Teorema 2: Exemplo
24
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13/09/2013
e2
A
C
D
e3
e5
F
e1
e4
e6
Diferenças de Potencial:
e1 = VA - VD
e2 = VC - VD
e3 = VD - VF
e4 = VC - VF
e5 = VA - VF
e6 = VC - VA
e1 = VA - VD
e2 = VC - VD
e3 = VD - VF
e4 = VC - VF
e5 = VA - VF
e6 = VC - VA
Teoremas
Teorema 2: Exemplo
25
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e2
A
C
D
e3
e5
F
e1
e4
e6
Diferenças de Potencial:
e1 = VA - VD
e2 = VC - VD
e3 = VD - VF
e4 = VC - VF
e5 = VA - VF
e6 = VC - VA
Teoremas
Teorema 2: Exemplo
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13/09/2013
e2
A
C
D
e3
e5
F
e1
e4
e6
Diferenças de Potencial:
e1 = VA - VD
e2 = VC - VD
e3 = VD - VF
e4 = VC - VF
e5 = VA - VF
e6 = VC - VA
Teoremas
Teorema 2: Exemplo
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e2
A
C
D
e3
e5
F
e1
e4
e6
Diferenças de Potencial:
Análise Nodal
A combinação do Teorema 1 com o Teorema 2 e mais a
Lei de Ohm permite encontrar a solução do problema 
via Análise Nodal.
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Análise Nodal
Exemplo:
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i2
A
C
D
i3
i5
i1
i4
i6
Lei das Correntes de Kirchhoff:
D:
A:
C:
Diferenças de Potencial:
e1 = VA - VD
e2 = VC - VD
e3 = VD
e4 = VC
e5 = VA
e6 = VC - VA
e2
e3
e5
e1
e4
e6
6 incógnitas:
e1, e2, e3, e4, e5, e6
3 incógnitas:
VA, VC, VD
Lei de Ohm:
i = Ge
6 incógnitas:
i1, i2, i3, i4, i5, i6
Análise Nodal
Exemplo:
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i2
A
C
D
i3
i5
i1
i4
i6
Lei das Correntes de Kirchhoff:
D:
A:
C:
Diferenças de Potencial:
e1 = VA - VD
e2 = VC - VD
e3 = VD
e4 = VC
e5 = VA
e6 = VC - VA
e2
e3
e5
e1
e4
e6
Análise Nodal
Exemplo:
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i2
A
C
D
i3
i5
i1
i4
i6
e2
e3
e5
e1
e4
e6
Lei das Correntes de Kirchhoff:
Análise Nodal
Reescrevendo em função das tensões:
32
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13/09/2013
i2
A
C
D
i3
i5
i4
i6
e2
e3
e5
e4
e6
i1
e1
Reescrevendo na forma matricial:
Análise Nodal
33
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13/09/2013
i2
A
C
D
i3
i5
i4
i6
e2
e3
e5
e4
e6
i1
e1
Matriz quadrada simétrica
Reescrevendo na forma matricial:
Análise Nodal
34
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13/09/2013
i2
A
C
D
i3
i5
i4
i6
e2
e3
e5
e4
e6
i1
e1
A
C
D
Reescrevendo na forma matricial:
Análise Nodal
35
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13/09/2013
i2
A
C
D
i3
i5
i4
i6
e2
e3
e5
e4
e6
i1
e1
A
C
D
Reescrevendo na forma matricial:
Análise Nodal
36
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13/09/2013
i2
A
C
D
i3
i5
i4
i6
e2
e3
e5
e4
e6
i1
e1
A
C
D
Reescrevendo na forma matricial:
Análise Nodal
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13/09/2013
i2
A
C
D
i3
i5
i4
i6
e2
e3
e5
e4
e6
i1
e1
A
C
D
De uma forma geral, para um circuito qualquer com 
m = (n-1) nós independentes:
Análise Nodal
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Condutâncias próprias (Gii)
Condutâncias mútuas (Gij)
Negativo da soma de todas as condutâncias ligadas ao nó.
Condutância entre os nós i e j.
Análise Nodal
Voltando ao exercício anterior: 
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13/09/2013
+-
+-
36 V
18 V
R1 = 3 Ω
R3 = 3 Ω
R2 = 6 Ω
R4 = 2 Ω
R5 = 2 Ω
Análise Nodal
1º passo: Definir o nós:
DICA: O (−) da(s) fonte(s) é uma ótima referência!
40
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13/09/2013
+-
+-
36 V
18 V
R1 = 3 Ω
R3 = 3 Ω
R2 = 6 Ω
R4 = 2 Ω
R5 = 2 Ω
1º passo: Definir o nós:
DICA: O (−) da(s) fonte(s) é uma ótima referência!
Análise Nodal
41
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A
C
D
2º passo: Escrever as leis de Ohm:
Análise Nodal
42
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13/09/2013
A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
3º passo: Escrever as diferenças de potencial:
Análise Nodal
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13/09/2013
A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
4º passo: Substituir:
Análise Nodal
44
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A
C
D
e3
e2
e4
e5
e1
5º passo: Escrever em
função das correntes:
Análise Nodal
45
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Análise Nodal
6º passo: Escrever a lei de correntes
para os nós independentes:
46
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i1
i2
A
C
i3
i4
i5
D
Análise Nodal
7º passo: Substituir:
47
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Análise Nodal
Fazendo os devidos algebrismos:
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Análise Nodal
8º Passo: Resolver! (Por substituição ou pela matriz)
49
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Análise Nodal
Solução:
50
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+-
+-
36 V
18 V
R1 = 3 Ω
R3 = 3 Ω
R2 = 6 Ω
R4 = 2 Ω
R5 = 2 Ω
14 V
17 V
0 V
1,3 A
2,3 A
1 A
8,5 A
9,5 A
Análise Nodal
Resumo:
Definir os nós;
Escrever as relações de tensão e corrente (Lei de Ohm);
Escrever as diferenças de potencial;
Substituir e escrever em função das correntes;
Escrever as leis de corrente para os nós;
Substituir e resolver o sistema.
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FIM!
Dúvidas?
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