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CIRCUITOS AULA 7: Topologia deCircuitos e Análise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins flaviogrmartins@ufrj.br 13 deSetembro de 2013 Revisão Circuito da aula passada: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 +- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png+- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png36 V 18 V R1 = 3Ω R3 = 3Ω R2 = 6Ω R4 = 2Ω R5 = 2Ω Revisão Nós: Ramos: Malhas: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 +- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png+- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngR1 = 3Ω R3 = 3Ω R2 = 6Ω R4 = 2Ω R5 = 2Ω 36 V 18 V A C D 3 Revisão Nós: Ramos: Malhas: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 3 A C D C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png+- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png36 V +- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png18 V R1 = 3Ω R3 = 3Ω R2 = 6Ω R4 = 2Ω R5 = 2Ω 5 Revisão Nós: Ramos: Malhas: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 3 A C D 5 3 (M = B – N + 1) Tensões e correntes nos B ramos (2B incógnitas): i1 i2 Revisão CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 i3 i4 i5 Revisão Tensões e correntes nos ramos (2B incógnitas) Solução do problema: Precisamos de 2B Equações independentes; A Lei de Ohm (V = Ri) pode fornecer B equações: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri): i1 i2 Revisão CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 i3 i4 i5 B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri): i1 i2 Revisão CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 i3 i4 i5 +- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png18 V 3Ω B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri): i1 i2 Revisão CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 i3 i4 i5 C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png6Ω B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri): i1 i2 Revisão CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 i3 i4 i5 C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png3Ω B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri): i1 i2 Revisão CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 i3 i4 i5 +- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png36 V 2Ω B relações entre tensões e correntes nos ramos (V = Ri): i1 i2 Revisão CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 i3 i4 i5 C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png2Ω Solução do Problema Tensões e correntes nos ramos (2B incógnitas) Solução do problema: Precisamos de 2B Equações independentes; Já temos B equações a partir da Lei de Ohm; Como encontrar mais B equações? CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Solução do Problema A partir de 4 Teoremas é possível desenvolver 2 métodos que garantem as B equações independentes que faltam: Método dos Nós Método das Malhas CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Aula de hoje! Aula de segunda! Teoremas Teorema 1: Existem N-1 equações independentes obtidas da aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff aos N nós. Um nó sempre poderá ser escrito como a soma das equações dos outros N-1 nós. CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\pizza_alho_e_oleo_pedaco.png Teoremas Teorema 1: Exemplo CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Teoremas Teorema 1: Exemplo CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 F i1 i4 i6 Lei das Correntes de Kirchhoff: D: A: C: F: Teoremas Teorema 1: Exemplo CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 D+A+C = = -F D+A+F = = -C D: A: C: F: D+C+F = = -A A+C+F = = -D Teoremas Obs.:A tensão em um elemento pode ser escrita como uma diferença de potencial: e1 = VA- VB CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png e1 VA VB Teoremas Obs.:A tensão em um elemento pode ser escrita como uma diferença de potencial: e1 = VA - VB CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png e1 VA VB Teoremas Teorema 2: Todas as tensões nos ramos podem ser expressas em termos dediferenças de potencialentre os N-1 nós independentes, de forma que 1 nó seja a referência. CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Teoremas Teorema 2: Exemplo CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 e2 A C D e3 e5 F e1 e4 e6 Diferenças de Potencial: e1 = VA - VD e2 = VC - VD e3 = VD - VF e4 = VC - VF e5 = VA - VF e6 = VC - VA Teoremas Teorema 2: Exemplo CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 e2 A C D e3 e5 F e1 e4 e6 Diferenças de Potencial: e1 = VA - VD e2 = VC - VD e3 = VD - VF e4 = VC - VF e5 = VA - VF e6 = VC - VA e1 = VA - VD e2 = VC - VD e3 = VD - VF e4 = VC - VF e5 = VA - VF e6 = VC - VA Teoremas Teorema 2: Exemplo CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 e2 A C D e3 e5 F e1 e4 e6 Diferenças de Potencial: e1 = VA - VD e2 = VC - VD e3 = VD - VF e4 = VC - VF e5 =VA - VF e6 = VC - VA Teoremas Teorema 2: Exemplo CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 e2 A C D e3 e5 F e1 e4 e6 Diferenças de Potencial: e1 = VA - VD e2 = VC - VD e3 = VD - VF e4 = VC - VF e5 = VA - VF e6 = VC - VA Teoremas Teorema 2: Exemplo CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 e2 A C D e3 e5 F e1 e4 e6 Diferenças de Potencial: Análise Nodal A combinação do Teorema 1 com o Teorema 2 e mais a Lei de Ohm permite encontrar a solução do problema viaAnálise Nodal. CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Análise Nodal Exemplo: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i1 i4 i6 Lei das Correntes de Kirchhoff: D: A: C: Diferenças de Potencial: e1 = VA - VD e2 = VC - VD e3 = VD e4 = VC e5 = VA e6 = VC - VA e2 e3 e5 e1 e4 e6 6 incógnitas: e1, e2, e3, e4, e5, e6 3 incógnitas: VA, VC, VD Lei de Ohm: i = Ge 6 incógnitas: i1, i2, i3, i4, i5, i6 Análise Nodal Exemplo: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i1 i4 i6 Lei das Correntes de Kirchhoff: D: A: C: Diferenças de Potencial: e1 = VA - VD e2 = VC - VD e3 = VD e4 = VC e5 = VA e6 = VC - VA e2 e3 e5 e1 e4 e6 Análise Nodal Exemplo: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i1 i4 i6 e2 e3 e5 e1 e4 e6 Lei das Correntes de Kirchhoff: Análise Nodal Reescrevendo em função das tensões: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i4 i6 e2 e3 e5 e4 e6 i1 e1 Reescrevendo na forma matricial: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i4 i6 e2 e3 e5 e4 e6 i1 e1 Matriz quadrada simétrica Reescrevendo na forma matricial: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i4 i6 e2 e3 e5 e4 e6 i1 e1 A C D Reescrevendo na forma matricial: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i4 i6 e2 e3 e5 e4 e6 i1 e1 A C D Reescrevendo na forma matricial: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i4 i6 e2 e3 e5 e4 e6 i1 e1 A C D Reescrevendo na forma matricial: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i2 A C D i3 i5 i4 i6 e2 e3 e5 e4 e6 i1 e1 A C D De uma forma geral, para um circuito qualquer com m = (n-1) nós independentes: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Condutâncias próprias (Gii) Condutâncias mútuas (Gij) Negativo da soma de todas as condutâncias ligadas ao nó. Condutância entre os nósi ej. Análise Nodal Voltando ao exercício anterior: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 +- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png+- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png36 V 18 V R1 = 3Ω R3 = 3Ω R2 = 6Ω R4 = 2Ω R5 = 2Ω Análise Nodal 1º passo: Definir o nós: DICA: O (−) da(s) fonte(s) é uma ótima referência! CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 +- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png+- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png36 V 18 V R1 = 3Ω R3 = 3Ω R2 = 6Ω R4 = 2Ω R5 = 2Ω 1º passo: Definir o nós: DICA: O (−) da(s) fonte(s) é uma ótima referência! Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D 2º passo: Escrever as leis de Ohm: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 3º passo: Escrever as diferenças de potencial: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 4º passo: Substituir: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 A C D e3 e2 e4 e5 e1 5º passo: Escrever em função das correntes: Análise Nodal CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Análise Nodal 6º passo: Escrever a lei de correntes para os nós independentes: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 i1 i2 A C i3 i4 i5 D Análise Nodal 7º passo: Substituir: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Análise Nodal Fazendo os devidosalgebrismos: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Análise Nodal 8º Passo: Resolver! (Por substituição ou pela matriz) CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 Análise Nodal Solução: CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 +- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.pngC:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png+- C:\Users\Flávio Goulart\Desktop\R.png36 V 18 V R1 = 3Ω R3 = 3Ω R2 = 6Ω R4 = 2Ω R5 = 2Ω 14 V 17 V 0 V 1,3 A 2,3 A 1 A 8,5 A 9,5 A Análise Nodal Resumo: Definir os nós; Escrever as relações de tensão e corrente (Lei de Ohm); Escrever as diferenças de potencial; Substituir e escrever em função das correntes; Escrever as leis de corrente para os nós; Substituir e resolver o sistema. CIRCUITOS:Topologia deCircuitos eAnálise Nodal FlávioGoulart dos Reis Martins 13/09/2013 FIM! Dúvidas? FlávioGoulartdos Reis Martins flaviogrmartins@ufrj.br Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência Clique no ícone para adicionar uma imagem 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o estilo do título mestre Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 07/06/2012 Seminário de Mestrado - Eletrônica de Potência 13/09/2013 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível
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