Curso de Física 1 - Mecânica

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Informações Gerais
Vetores
13/08/2014
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Outline
1 Informações Gerais do curso
2 Introdução
3 Vetores
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Informações Gerais do curso
Professora: Sandra Amato, sandra@if.ufrj.br, sala A-318
Página Web
http://fisica1.if.ufrj.br
Cronograma, ementa, turmas, monitoria, lista de exercícios e
Avisos Importantes
Livro-texto: Sears & Zemansky, Young & Freedman
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Informações Gerais do curso
Bibliografia
Fundamentos de Física - Volume 1 - Mecânica
Halliday-Resnick-Walker
8a. Edição - LTC Grupo GEN
Curso de Física Básica 1 - Mecânica
H. Moysés Nussenzweig - Ed. Edgar Blücher LTDA
Física - Um curso universitário - Volume 1 - Mecânica
Marcelo Alonso & Edward J. Finn - Ed. Edgar Blücher
Física 1
Halliday-Resnick - Krane
4a. Edição - LTC
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Informações Gerais do curso
Critério Avaliação – CCMN – Prova Unificada
2 Provas + prova final
Presença obrigatória em 75% do curso
Média Parcial: MP = (P1 + P2)/2
Se MP 7 : APROVADO
Se MP 3 : REPROVADO
Se 3 MP 7: PROVA FINAL. Neste caso a Nota Final é
NF = (MP + PF)/2
Se NF 5 : APROVADO, senão REPROVADO
Datas das Provas
P1: 24/9, P2: 19/11, PF: 03/12 às 17:15h
Segunda Chamada: 10/12 às 13:00h
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Informações Gerais do curso
Segunda Chamada
Para alunos que faltarem a 1 prova
A PF substitui a prova perdida
A Segunda Chamada substitui a Prova Final
Alunos que faltarem a mais de uma prova estão
automaticamente reprovados
Alunos com Inscrição irregular
Deverão procurar a sua secretaria de graduação e regularizar a
situação no SIGA. Enquanto não estiver regular, sua nota não
será divulgada.
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Informações Gerais do curso
Ementa
Vetores
Cinemática 1D
Cinemática 3D
Leis de Newton
Trabalho e Energia
Leis de Conservação
Potenciais e Energia
P1
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Informações Gerais do curso
Ementa
Momento Linear e Impulso
Sistema de Partículas
Colisões
Rotação
Momento Angular
Corpo Rígido
Dinâmica de corpo rígido
Rolamento
P2
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Dicas para o Sucesso
Estudar muito, desde hoje, lendo o livro e fazendo os
exercícios recomendados.
Na página do curso serão colocadas várias listas de exercícios.
Aprenda os conceitos e não tente decorar resoluções de
problemas.
Use a monitoria para tirar suas dúvidas imediatamente.
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Sobre estes slides
Não use estes slides como fonte de estudos. Eles são um guia
apenas para a aula, não tem preocupação com formalismos,
LEIA O LIVRO.
Os slides estarão em http://sites.if.ufrj.br/sandra (que
também pode ser acessado através do site de fisica 1)
Créditos: Algumas figuras destes slides foram feitas pelos
professores Armando Aleixo e Elvis Amaral, outras retiradas
dos livros recomendados.
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Introdução
A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais.
Na física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qual
consideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades bem
inferiores à velocidade da luz.
CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade e
aceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde a
partícula estará em um outro tempo qualquer.
DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e “vizinhança”
do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemos
determinar sua aceleração e assim descrever seu movimento.
Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares :
tempo, massa,...
outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezas
vetoriais: posição, velocidade, ...
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Sistema de Coordenadas
Para descrever o movimento precisamos primeiramente escolher um
referencial (observador), que será representado aqui pelos eixos cartesianos.
Devemos também escolher a origem.
Descrever o movimento significa dizer em que posição o objeto estará em
qualquer instante de tempo, ou seja, queremos determinar o vetor posição
r t . Podemos também obter os vetores velocidade v t e aceleração a t .
Precisamos de duas ferramentas matemáticas básicas:
VETORES e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Vetores
Queremos descrever o deslocamento de uma partícula ao ir do
ponto A ao ponto B. Precisamos de uma grandeza que tenha
módulo direção e sentido.
O vetor deslocamento r é representado por uma seta que se
origina no ponto A e aponta para o ponto B.
Este vetor nada nos diz sobre a trajetória da partícula. Todos os
caminhos conectando A a B correspondem ao mesmo vetor
deslocamento.
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Vetores
Para representar um vetor, usaremos uma única letra com
uma seta em cima, p.ex. v . (Alguns livros usam a letra em
negrito sem a seta v )
O vetor nulo é representado por 0.
O módulo de um vetor é representado por v
A direção e sentido podem ser apresentadas graficamente
(como na figura anterior),
ou especificando seu ângulo em relação a algum eixo de
referência,
ou utilizando os vetores unitários de um sistema de
referência: r 2 3
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Propriedades dos Vetores
Para que uma grandeza seja um vetor, não basta ter módulo,
direção e sentido.
Ela deve obedecer a um certo número de propriedades:
Igualdade de Vetores
Dois vetores são iguais quando possuem
mesmo módulo, direção e sentido
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Adição de Vetores - Método Gráfico
O símbolo “ + ” não tem o mesmo significado que na álgebra.
Temos que levar em conta a direção e o sentido dos vetores.
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Propriedades da Adição
Comutatividade
A B B A
Associatividade
A B C A B C
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Propriedades da Adição
Vetor Oposto
A A 0
Subtração
A B A B
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Multiplicação por um escalar
Sendo um escalar positivo, o vetor A terá a mesma direção e
sentido que A, e seu módulo será A . Se 0 , o sentido de
A será oposto ao de A.
Um vetor A dividido pelo seu módulo, resulta em um vetor
unitário de mesma direção e sentido que A.
A
A
A
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Componentes de um Vetor
Se quisermos fazer operações com vetores onde é necessário uma
melhor acurácia, ou em 3 dimensões, o método geométrico de
adição não é adequado. Nesses casos (muito mais comuns)
faremos uso de projeções de vetores em um sistema de
coordenadas.
Essas projeções são chamadas de componentes de um vetor.
Iniciaremos com coordenadas cartesianas e duas dimensões.
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Componentes de um Vetor
O vetor A pode ser expresso como a soma de dois vetores Ax e
Ay .
Ax (sem a seta) é a componente do vetor A na direção do eixo x .
Podemos ver que:
Ax A cos Ay A sen
Note que as componentes podem ter sinal negativo.
O módulo e a direção do vetor A são dados por:
A A2x A2y tan Ay Ax
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Vetores Unitários
Os vetores são comumente descritos em termos de vetores
unitários ao longo dos eixos cartesianos. Os vetores unitários têm
o propósito de especificar a direção do vetor.
A Ax Ay Ax Ay
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Em 3 dimensões
A Ax Ay Az Ax Ay Azk
A A2x A2y A2z
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Adição de Vetores por componentes
R A B Ax Ay Bx By
R Ax Bx
Rx
Ay By
Ry
r1 3 2 r2 1 3 r1 r2 4 1
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Multiplicação de vetores
Produto de um escalar por um vetor. vetor
Produto escalar entre dois vetores. escalar
Produto vetorial. vetor (veremos mais tarde)
Produto de um escalar por um vetor
se A Ax Ay A Ax Ay
Ex:
r 3 4 2r 6 8
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Produto Escalar de Vetores
Produto Escalar
A B A B cos com 0
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Produto Escalar de Vetores
Algumas propriedades:
Comutatividade: A B B A
Módulo de um vetor: A A A2 cos 0 A2 A
ortogonalidade: A B A B 0
Ax A Ay A e Az k A
1 0 k 0
0 1 k 0
k 0 k 0 k k 1 (1)
Sendo A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk temos
A B AxBx AyBy AzBz (2)
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Exercícios
1 Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km
em uma direção 30 a leste do norte. Represente os
movimentos do carro em um diagrama vetorial e determine o
vetor deslocamento total do veículo em relação ao ponto de
partida. Qual seu módulo e direção?
2 (Exemplo 1.11) Ache o ângulo entre os dois vetores
A 2 3 k e B 4 2 k . Determine o vetor A B
3 Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num piso
horizontal. P é um ponto pintado na borda da roda. No
tempo t1, P está no ponto de contato entre a roda e o piso.
Num tempo posterior t2, a roda descreveu meia rotação.
Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t1 e t2?
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P P
P
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1 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos num plano:
4 m para sudoeste, 5 m para leste e 6 m numa direção 60 ao
norte do leste. Tome o eixo y na direção norte e o eixo x na
direção leste e calcule (a) as componentes dos 3
deslocamentos, (b) as componentes dos delocamentos
resultantes, (c) o módulo e orientacão do deslocamento
resultante.
2 Seja um cubo de aresta a e um sistema de eixos OXYZ com
origem em um vértice do cubo e eixos ao longo de três
arestas. Escreva na base de unitários do sistema de eixos os
vetores com ponto
inicial no vértice na origem e pontos finais nos demais vértices.
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1 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos num plano:
4 m para sudoeste, 5 m para leste e 6 m numa direção 60 ao
norte do leste. Tome o eixo y na direção norte e o eixo x na
direção leste e calcule (a) as componentes dos 3
deslocamentos, (b) as componentes dos delocamentos
resultantes, (c) o módulo e orientacão do deslocamento
resultante.
2 Seja um cubo de aresta a e um sistema de eixos OXYZ com
origem em um vértice do cubo e eixos ao longo de três
arestas. Escreva na base de unitários do sistema de eixos os
vetores com ponto
inicial no vértice na origem e pontos finais nos demais vértices.
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1 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos num plano:
4 m para sudoeste, 5 m para leste e 6 m numa direção 60 ao
norte do leste. Tome o eixo y na direção norte e o eixo x na
direção leste e calcule (a) as componentes dos 3
deslocamentos, (b) as componentes dos delocamentos
resultantes, (c) o módulo e orientacão do deslocamento
resultante.
2 Seja um cubo de aresta a e um sistema de eixos OXYZ com
origem em um vértice do cubo e eixos ao longo de três
arestas. Escreva na base de unitários do sistema de eixos os
vetores com ponto
inicial no vértice na origem e pontos finais nos demais vértices.
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