Lista 4: Inferência Estatística 1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Infereˆncia estat´ıstica 1
Prof. Tha´ıs C O Fonseca Lista de exerc´ıcios 4 (Distribuic¸a˜o amostral, vie´s e EQM)
1. Suponha que uma amostra aleato´ria de tamanho n e´ tomada da N(µ, σ2), onde µ e´
conhecido. Encontre c para o qual δ(X) =
∑n
i=1 c(Xi − µ)2 e´ um estimador na˜o viesado
para σ2.
2. Suponha que uma amostra aleato´ria de tamanho n e´ tomada da Po(θ). Mostre que o
estimador δ(X) = αX¯ + (1− α)S21 e´ na˜o viesado para θ, onde α ∈ < e S21 =
∑n
i=1(Xi −
µ)2/(n − 1). Dica: (i) Mostre que X¯ e´ na˜o viesado para me´dia θ. (ii) Mostre que S21 e´
na˜o viesado para variaˆncia θ.
3. Qual e´ o EQM do estimador na˜o viesado de σ2 no modelo N(µ, σ2), onde ambos µ e σ2
sa˜o desconhecidos?
4. (CB 7.9) Seja X1, . . . , Xn AA da u[0, θ]. Encontre os estimadores para θ pelo me´todos
de ma´xima verossimilhanc¸a e pelo me´todo dos momentos. Calcule as me´dias e variaˆncias
dos estimadores. Qual estimador e´ preferido e por queˆ?
5. (CB 7.11) Seja X1, . . . , Xn amostra aleato´ria com fdp f(x | θ) = θxθ−1, 0 ≤ x ≤ 1, θ ∈ <.
Encontre o EMV e mostre que sua variaˆncia tende a zero a medida que n→∞.
6. (CB 7.46) Seja X−1, X2, X3 amostra aleato´ria da U [θ, 2θ]. Encontre o EMV, θˆ e encontre
k tal que E(kθˆ) = θ.
7. (CB 7.47) Suponha que quando o raio de um c´ırculo e´ medido, e´ cometido um erro que
tem uma distribuic¸a˜o N(0, σ2). Se forem realizadas n medic¸o˜es independentes, encontre
um estimador na˜o viesado da a´rea do c´ırculo.
8. (CB 7.49) Sejam X1, . . . , Xn amostra aleato´ria da Exp(λ). Encontre um estimador na˜o
viesado de λ com base somente em Y = min{X1, . . . , Xn}.
9. (CB 7.12) Seja X1 . . . Xn uma amostra aleato´ria da distribuic¸a˜o com fdp
f(x | θ) = θx(1− θ)1−x, x ∈ {0, 1}, θ ∈ [0, 1/2].
(i) Encontre os estimadores pelos me´todos dos momentos e ma´xima verossimilhanc¸a para
θ. (lista 1) (ii) Encontre o erro quadra´tico me´dio de cada estimador em (i). (iii) Qual
estimador voceˆ prefere? Justifique sua escolha.