Exercícios de Aplicação_04

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 4
Temas abordados : Continuidade; Reta tangente
Sec¸o˜es do livro: 2.6; 2.7
1) A al´ıquota da conta de a´gua e´ crescente! Isto quer dizer que quanto mais se consome,
mais caro fica o prec¸o do m3 de a´gua. Suponha que ao se consumir xm3 de a´gua/meˆs,
o valor mensal a ser pago seja de q(x) reais. Quando x e´ menor ou igual a 10; maior
que 10 e menor que 15; maior ou igual a 15, paga-se, respectivamente, 1, 60x; 3, 00x+ a;
6, 40x+ b, onde a e b sa˜o constantes reais. Assim,
q(x) =


1, 6x se 0 ≤ x ≤ 10,
3x+ a se 10 < x < 15,
6, 4x+ b se x ≥ 15.
(a) Determine o valor de a de forma que q(x) seja cont´ınua em x = 10.
(b) Usando o valor de a calculado acima, determine limx→15− q(x).
(c) Sabendo que q(x) e´ cont´ınua em x = 15, encontre o valor de b.
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de q(x) .
2) Suponha que um painel solar consiga gerar uma quantidade de energia E = Isen(α)
kilojoules, em que I e´ a intensidade luminosa e α o aˆngulo de incideˆncia entre os raios de
luz e o painel. Para um determinado dia, o aˆngulo α e a intensidade luminosa sa˜o dados
por α(t) = pi
12
t e I(t) = 6t − 1
2
t2, onde t e´ o tempo medido em horas a partir do nascer
do sol, 0 ≤ t ≤ 12. E´ claro que para valores de t ∈ (12, 24] a energia gerada e´ nula, pois
o painel solar na˜o funciona durante a noite.
(a) Obtenha a expressa˜o de E(t) em func¸a˜o de t, para todo t ∈ [0, 24].
(b) Determine os valores de E(2) e E(6). Em seguida, decida se existe t0 ∈ [2, 6] tal
que E(t0) = 13, justificando sua resposta .
(c) Decida se a func¸a˜o E e´ cont´ınua no ponto t = 12, justificando sua resposta.
3) Um dos elevadores mais ra´pidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia
com velocidade constante de 10 m/s, quando subitamente, apo´s 5 segundos de sua partida,
suas cordas de sustentac¸a˜o se partem. Felizmente, neste momento, na˜o ha´ ningue´m em
seu interior. A func¸a˜o que descreve a altura do elevador em relac¸a˜o ao solo e´ dada enta˜o
pela seguinte expressa˜o
s(t) =
{
10t+ 100, se 0 < t ≤ 5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2, se 5 < t < tA
onde tA e´ o tempo de aterrissagem, a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em
segundos.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 1 de 3
(a) Calcule o seguinte limite lateral direito da posic¸a˜o
lim
t→5+
s(t).
(b) A func¸a˜o s e´ cont´ınua em t = 5?
(c) Calcule o seguinte limite lateral direito da velocidade
me´dia entre os instantes t e 5
lim
t→5+
s(t)− s(5)
t− 5
.
(d) Existe o limite da velocidade me´dia entre os instantes
t e 5 quando t tende a` 5?
4) Para atacar posic¸o˜es inimigas, um avia˜o de cac¸a da´ um voˆo rasante, percorrendo a tra-
jeto´ria determinada pelo gra´fico da func¸a˜o f(x) = 1 + (1/x), para x > 0. O avia˜o efetua
os seus disparos segundo a direc¸a˜o tangente, conforme figura abaixo.
(a) Determine, usando a definic¸a˜o de derivada, a
equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) em um
ponto gene´rico (a, f(a)).
(b) Se um disparo e´ efetuado da posic¸a˜o (1, 2), determine
a abscissa do ponto no eixo Ox atingido.
(c) Determine o ponto sobre o gra´fico de f(x) em que o
disparo deve ser efetuado para atingir um alvo situ-
ado no ponto (8, 0).
y = 1
5) Suponha que o eixo Ox representa o solo e uma montanha e´ modelada pela equac¸a˜o
g(x) = 4 − x2 = (2 + x)(2 − x), onde x ∈ [−2, 2]. Um avia˜o sobrevoa a montanha
horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta y = 9, de modo que, no instante t >
0 minutos, a posic¸a˜o do avia˜o no plano cartesiano abaixo e´ dada por (4t, 9). Considerando
que a luz se propaga em linha reta, resolva os ı´tens abaixo.
(a) Determine, usando a definic¸a˜o de derivada, a
equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g(x) em um
ponto gene´rico (a, g(a)).
(b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` monta-
nha que passa por um observador localizado em
(−5/2, 0).
(c) Determine o instante t0 em que o observador do item
b) perde a visa˜o do avia˜o devido a` montanha.
(−5/2, 0)
y = 9
y = 4− x2
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a) a = −14
(b) lim
x→15−
q(x) = 31
(c) b = −65
2. (a) E(t) =
(
6t− t
2
2
)
sen( pi
12
t) se 0 ≤ t ≤ 12; E(t) = 0 se 12 < t ≤ 24
(b) E(2) = 5, E(5) = 18 e existe t0
(c) e´ cont´ınua em t = 12
3. (a) lim
t→5+
s(t) = 150
(b) e´ cont´ınua em t = 5
(c) o limite pedido vale 10
(d) existe e vale 10
4. (a) y(x) =
−1
a2
(x− a) + 1 +
1
a
(b) 3
(c) (2, 3/2)
5. (a) ya(x) = −2a(x− a) + g(a)
(b) y(x) = 2x+ 5
(c) t0 = 1/2
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 3 de 3