Modelos contínuos (2)

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ESTATÍSTICA I
Professora
Kelly Alonso
DistribuiDistribuiçções Contões Contíínuas de Probabilidadenuas de Probabilidade
Email: kellyalonso@uol.com.br
Uma distribuição de probabilidade é um modelo 
matemático que relaciona um certo valor da variável em 
estudo com a sua probabilidade de ocorrência.
Há dois tipos de distribuição de probabilidade:
•1. Distribuições Discretas: Quando a variável que está
sendo medida só pode assumir certos valores, como 
por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc.
•2. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está
sendo medida é expressa em uma escala contínua, 
como no caso de uma característica dimensional.
3
V.A. CONTÍNUA: quando ela assume valores em um conjunto não-
enumerável (em nosso estudo, intervalos reais ou união de intervalos de
números reais).
exemplos: tempo de vida de um determinado ser vivo;
tempo resposta de uma sistema computacional;
temperatura do corpo de pacientes de um hospital.
Exemplo:
Observa-se o tempo de vida, em horas, de lâmpadas produzidas por uma 
fábrica.
Defina T: tempo de vida, em horas, da lâmpada escolhida, ao acaso, da 
fábrica.
→Então, T é uma variável aleatória contínua que assume qualquer valor 
real não negativo.
VariVariáável aleatvel aleatóória contria contíínuanua
Uma variável aleatória pode assumir qualquer valor dentro de um 
intervalo definido de valores.
Como não conseguimos enumerar todos os valores possíveis de 
probabilidade, usa-se a função densidade de probabilidade, ou curva de 
probabilidade, baseada na função de probabilidade correspondente f(x).
A proporção da área incluída, ou freqüência relativa, entre dois 
pontos quaisquer, abaixo da curva de probabilidade, identifica a
probabilidade de que a v.a. selecionada assuma um valor entre tais pontos.
EXEMPLO: A probabilidade de que um carregamento aleatoriamente 
selecionado, tenha um peso entre 6000 e 8000 kg e igual a probabilidade da 
área total sob a curva, a qual está incluída dentro da área demarcada.
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
f(x)
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
• No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são 
especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade 
associada a um número específico é zero.
Considere a variável aleatória contínua X em que definimos 
a função f(x) denominada função densidade de probabilidade e 
que tem as seguintes propriedades:
– A probabilidade da variável aleatória X é sempre definida num 
intervalo de valores dessa variável X, por exemplo, (x1, x2).
– A probabilidade da variável aleatória X é medida pela área sob 
a curva da função densidade f(x) num determinado intervalo. 
– A área total sob a curva f(x) é igual a um ou 100%. 
– O valor f(x) da função densidade não mede a probabilidade do 
valor x da variável aleatória X.
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
Para a variável aleatória contínua X que assume valores do 
conjunto dos números reais há uma função matemática f(x) com 
as seguintes premissas:
• A função densidade de probabilidade f(x) é sempre positiva,
para todo x pertencente a X.
• A área sob a função f(x) entre os limites menos infinito e mais 
infinito da variável aleatória contínua X é igual a um ou 100%:
• A probabilidade da VA contínua X dentro do intervalo (a, b) com 
ambos limites incluídos é medida pela área definida pela função 
f(x) entre os limites a e b:
• Um ponto f(x) da função densidade não é a probabilidade do 
valor x da variável aleatória X, pois, por exemplo, o ponto f(x=a) 
da função densidade é zero. 
1)( =∫
+∞
∞−
dx xf
∫=≤≤
b
a
dx xfbxaP )()(
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
Função Densidade de Probabilidade (fdp)
( ) 0f x ≥
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx< < = ∫
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=∫
( ) 0P X x= =
0 ( ) 1P a X b≤ < < ≤
Para v.a. contínuas:
x
f(x)
a b
( )P a X b< <
Valor Esperado e Variância
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ]( )222 xEXEXVarouXEXVar −=−= µ
onde
Exemplo 1: Seja a variável aleatória T definida como o tempo de 
resposta na consulta a um banco de dados, em minutos. 
Suponha que essa variável aleatória tenha a seguinte função 
densidade de probabilidade:
Calcule a probabilidade de a resposta demorar mais do que 3 
minutos.
Solução: Calcular P (T > 3)
6)3(2
3
3
22
3
0
2
122)()3( −−
+∞
∞+
−−
∞+
=+=∫ 



−=∫ ==> eeedtedttfTP tt
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade



<∴
≥∴
=
−
0,0
0,2)(
2
tpara
tparae
tf
t
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
Como X é uma variável aleatória contínua com função de 
densidade de probabilidade f, definimos sua função de distribuição 
acumulada por:
∫ ℜ∈∀=≤=
∞−
x
xdssfxXPxF ,)()()(
Considere a função densidade de probabilidade do exemplo 1:
Vamos obter a função de distribuição acumulada. Como a 
expressão matemática se altera no ponto zero, devemos 
considerar os dois seguintes casos:
∫ ∫ ===
∞− ∞−
t t
dsdssftF 00)()(



<∴
≥∴
=
−
0,0
0,2)(
2
tpara
tparae
tf
t
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
E para t ≥ 0,
[ ] ttst t s eedsedsdssftF 2020
0
2 1020)()( −−
∞− ∞−
−
−=−+∫ ∫ =∫+==
Resumindo, a função de distribuição acumulada da variável 
aleatória T é dada por:



<∴
≥∴−
=
−
0,0
0,1)(
2
tpara
tparae
tf
t
Cabe observar que é possível obter qualquer probabilidade 
através da função de distribuição acumulada. Para a< b, temos:
P (X < a) = P (X ≤ a) = F (a)
P (X > b) = 1 - F (b)
P (a < X < b) = F(b) - F (a)
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
Retomando o exemplo 1, o cálculo de P(T > 3) pode ser feito 
aplicando:
P(T > 3) = 1 – P(T ≤ 3) = 1- F(3) = 1 – [1-e-2(3)] = e-6
Há três modelos contínuos bastante conhecidos: distruição
uniforme, exponencial e normal.
• Uma distribuição de variável aleatória contínua é a 
distribuição uniforme cuja função densidade de 
probabilidade é constante dentro de um intervalo de 
valores da variável aleatória X.
• Cada um dos possíveis valores que X com distribuição 
uniforme pode assumir tem a mesma probabilidade de 
ocorrer.
DistribuiDistribuiçção Uniformeão Uniforme
DistribuiDistribuiçção Uniformeão Uniforme
DistribuiDistribuiçção Uniformeão Uniforme
f(x)
Xa b
X = [a, b]1( )f x
b a
=
−
( )
2
a bE X +=
2( )( )
12
b aVar X −=
DistribuiDistribuiçção Uniformeão Uniforme
DistribuiDistribuiçção Uniformeão Uniforme
2
DistribuiDistribuiçção Exponencialão Exponencial
•Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é definida 
como o número de ocorrências em determinado período, 
sendo a média das ocorrências no período definida como λλλλ.
•Na distribuição Exponencial a variável aleatória é definida 
como o tempo entre duas ocorrências, sendo a média de 
tempo entre ocorrências de 1/ λλλλ.
•Por exemplo, se a média de atendimentos no caixa 
bancário é de λλλλ = 6/min, então o tempo médio entre 
atendimentos é 1/ λλλλ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.
Condição de aplicação:
O número de ocorrências deve seguir uma distribuição de Poisson.
Se nós considerarmos a distribuição de Poisson como o modelo 
para o número de ocorrências de um evento no intervalo de [0,t]
teremos:
E nesse caso pode ser demonstrado que a distribuição dos 
intervalos entre ocorrências irá seguir o modelo Exponencial com 
parâmetro λλλλ.
!
)()(
x
te
xP
xt λλ−
=
DistribuiDistribuiçção Exponencialão ExponencialDistribuiDistribuiçção Exponencialão Exponencial
O modelo da função densidade de probabilidade para distribuição
Exponencial é o seguinte:
onde λλλλ > 0 é uma constante.
A média e o desvio padrão da distribuição exponencial são 
calculados usando:
0 ;)( ≥= − tetf tλλ
λµ
1
=
λσ
1
=
DistribuiDistribuiçção Exponencialão Exponencial
 1}{)( t0 λλλ −− −=∫=≤= edxetTPtF t t
A distribuição Exponencial acumulada vem dada por:
a) A probabilidade acumulada de zero até t:
b) A probabilidade acumulada complementar é:
A distribuição Exponencial é largamente utilizada no campo da 
confiabilidade, como um modelo para a distribuição dos tempos até a 
falha de componentes eletrônicos.
Nessas aplicações o parâmetro λλλλ representa a taxa de falha para o 
componente, e 1/ λλλλ é o tempo médio até a falha.
}{1}{ou }{)( t tTPtTPetTPtF ≤−=≥=≥= −λ
DistribuiDistribuiçção Exponencialão Exponencial
Exemplo: O prazo de operação de uma máquina de embalagem
de frascos sem interrupções para manutenção tem distribuição
exponencial com média de duas horas. Qual a probabilidade
dessa máquina conseguir operar mais de uma hora sem
interrpção?
Solução:
A probabilidade da máquina de embalagem de frascos
conseguir operar uma hora ou mais sem interrupção é P(x ≥ 1). 
Onde λ=0,5
607,01)P(x
 }{)(
)1)(5,0(
t
===≥
=≥=
−−
−
ee
etTPtF
xλ
λ
DistribuiDistribuiçção Exponencialão Exponencial
Exemplo: O atendente de serviços em garantia da distribuidora de 
carros atende a uma média de quatro clientes por hora. Qual a 
probabilidade de que um cliente requeira menos de 15 minutos?
Solução:
A probabilidade de que um cliente requeira menos de 15 minutos é
P(x ≤ 15/60). 
Onde λ=4
632,01115/60)P(x
 1}{)(
)60/15)(4(
t
=−=−=≤
−=≤=
−−
−
ee
etTPtF
xλ
λ