Exercícios de Geometria Analítica e Limite

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Aula de exerc´ıcios
MO´DULO 1 – AULA 6
Aula 6 – Aula de exerc´ıcios
Objetivo
• Conhecer uma se´rie de exemplos ilustrativos dos conteu´dos apresenta-
dos nas Aulas 21 a 25.
Para comec¸ar, vejamos dois exemplos nos quais noc¸o˜es de Geometria
Anal´ıtica sera˜o usadas para determinar os conjuntos de n´ıvel das func¸o˜es.
Exemplo 6.1
Vamos esboc¸ar as curvas de n´ıvel da func¸a˜o
f(x, y) = x2 − 3xy + y2.
Como a func¸a˜o e´ polinomial, o seu domı´nio e´ o plano lR 2. Para deter-
minar suas curvas de n´ıvel, temos de resolver a equac¸a˜o
f(x, y) = x2 − 3xy + y2 = c
para diversos valores de c.
Voceˆ aprendeu a identificar esse tipo de coˆnica na Geometria Anal´ıtica.
Uma maneira elegante de fazer isso e´ via A´lgebra Linear. Note, primeiro,
que
x2 − 3xy + y2 =
(
x y
) ( 1 −3/2
−3/2 1
) (
x
y
)
.
A matriz A =
(
1 −3/2
−3/2 1
)
e´ sime´trica. Seus autovalores sa˜o as
soluc¸o˜es da equac¸a˜o det(A − λ I) = 0, ou seja, λ2 − 2λ − 5/4 = 0, que sa˜o
λ1 = 5/2 e λ2 = −1/2.
Sabemos, da A´lgebra Linear, que toda matriz sime´trica e´ diagona-
liza´vel, de uma maneira especial. Isto e´, existe uma matriz P , tal que
P tAP = D,
em que D e´ uma matriz diagonal.
Na˜o e´ dif´ıcil ver que os auto-espac¸os associados aos autovalores 5/2 e
−1/2 sa˜o definidos por y = −x e y = x, respectivamente.
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Vamos considerar B = {(√2/2, √2/2), (−√2/2, √2/2) } uma base
de autovetores ortonormais. Enta˜o, se fizermos P =
(√
2/2 −√2/2√
2/2
√
2/2
)
,
obtemos
P t AP =
(
−1/2 0
0 5/2
)
.
Portanto, vamos fazer
(
x
y
)
= P
(
u
v
)
.
Como
(
x y
)
=
(
u v
)
P t, pois (P X)t = X t P t, temos
x2 − 3xy + y2 =
(
x y
) ( 1 −3/2
−3/2 1
) (
x
y
)
=
(
u v
)
P t AP
(
u
v
)
=
=
(
u v
) (−1/2 0
0 5/2
) (
u
v
)
= −u
2
2
+
5v2
2
.
Assim, as curvas de n´ıvel x2−3xy+ y2 = c correspondem a hipe´rboles
−u
2
2
+
5v2
2
= c. Note que o sistema de coordenadas u, v e´ obtido ao aplicar-
mos uma rotac¸a˜o de 450 ao sistema x, y, pois P e´ uma matriz de rotac¸a˜o.
Aqui esta˜o as curvas de n´ıvel e o gra´fico da func¸a˜o.
Lembre-se: as curvas de n´ıvel sa˜o subconjuntos do domı´nio, e o gra´fico
de uma func¸a˜o f : A → B e´ um subconjunto de A × B. No desenho das
curvas de n´ıvel foram sobrepostos os auto-espac¸os associados aos autovalores
da matriz A. Eles na˜o sa˜o curvas de n´ıvel da func¸a˜o. As curvas de n´ıvel sa˜o
subconjuntos mutuamente disjuntos.
Exemplo 6.2
Neste exemplo, lidaremos com uma func¸a˜o que depende de treˆs varia´veis.
Vamos determinar o domı´nio e esboc¸ar as curvas de n´ıvel da func¸a˜o
f(x, y, z) =
x2 + y2 + z2
2x + 2y
.
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Comec¸amos com o domı´nio. Para que essa func¸a˜o esteja bem definida,
devemos estabelecer a condic¸a˜o x �= −y. Assim, o domı´nio de f consiste de
lR 3 menos o plano y = −x, que conte´m o eixo Oz.
Do mesmo modo que antes, para determinar as superf´ıcies de n´ıvel,
temos de resolver a equac¸a˜o
f(x, y, z) =
x2 + y2 + z2
2x + 2y
= c.
Sob a condic¸a˜o y �= −x, podemos reescreveˆ-la da seguinte maneira:
x2 + y2 + z2 = 2cx + 2cy
x2 − 2cx + y2 − 2cy + z2 = 0
x2 − 2cx + c2 + y2 − 2cy + c2 + z2 = 2c2
(x− c)2 + (y − c)2 + z2 = 2c2.
Caso c = 0, temos (x, y, z) = (0, 0, 0). Como este ponto na˜o pertence
ao domı´nio de f ,
f−1(0) = ∅.
Caso c �= 0, a equac¸a˜o (x − c)2 + (y − c)2 + z2 = 2c2 determina uma
esfera, de centro em (c, c, 0) e raio
√
2c. Essa esfera tangencia o plano
y = −x, na origem. Veja um esboc¸o das superf´ıcies de n´ıvel, desenhadas
apenas na regia˜o z ≤ 0, com −a ≤ x, y ≤ a. Esse recurso deveria facilitar a
visualizac¸a˜o dessas superf´ıcies.
Portanto, a superf´ıcie de n´ıvel c �= 0 e´ uma esfera tangente ao plano
y = −x na origem, menos esse ponto. Observe que esse plano divide o
espac¸o em duas regio˜es: uma contendo o ponto (1, 1, 0) e a outra contendo o
ponto (−1,−1, 0). As esferas contidas na primeira regia˜o correspondem aos
n´ıveis positivos; aquelas contidas na outra regia˜o correspondem aos n´ıveis
negativos. Uma u´ltima observac¸a˜o a respeito da func¸a˜o f : sua imagem
consiste do conjunto lR − {0}.
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O tema do pro´ximo exemplo e´ o limite.
Exemplo 6.3
Vamos usar o limite para estudar o comportamento das func¸o˜es
f(x, y) =
sen xy√
x2 + y2
e g(x, y) =
sen xy
x2 + y2
para pontos pro´ximos da origem, o u´nico ponto do plano no qual as func¸o˜es
na˜o esta˜o definidas.
Observe que as duas func¸o˜es teˆm o termo x2+y2 em sua lei de definic¸a˜o.
Nesse tipo de situac¸a˜o, uma estrate´gia que pode ser u´til e´ usar coor-
denadas polares no lugar de coordenadas cartesianas. Veja: se colocarmos{
x = r cos θ
y = r sen θ
, obteremos x2+y2 = r2, um termo mais simples. Ale´m disso,
(x, y)→ (0, 0) passa a ser r → 0.
Assim,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
sen xy√
x2 + y2
= lim
r→0
sen (r2 cos θ sen θ)
r
.
Para calcular esse limite, usamos o limite trigonome´trico fundamental.
Eis aqui:
lim
r→0
sen (r2 cos θ sen θ)
r
= lim
r→0
(r cos θ sen θ) sen (r2 cos θ sen θ)
r2 cos θ sen θ
=
= lim
r→0
r cos θ sen θ = 0.
Esta u´ltima igualdade se deve ao fato de as func¸o˜es seno e cosseno serem
limitadas.
No entanto, quando fazemos o mesmo tipo de computac¸a˜o com a func¸a˜o
g(x, y), obtemos
lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
sen xy
x2 + y2
= lim
r→0
sen (r2 cos θ sen θ)
r2
=
= lim
r→0
(cos θ sen θ) sen (r2 cos θ sen θ)
r2 cos θ sen θ
= sen θ cos θ.
Observe que, para diferentes valores de θ, obtemos diferentes respostas
para o limite. Isso indica que a func¸a˜o g na˜o admite limite quando (x, y)→
(0, 0), mostrando um comportamento diferente de f .
Para termos uma interpretac¸a˜o geome´trica do que esta´ acontecendo,
vejamos os gra´ficos das func¸o˜es f e g, de dois pontos de vista um pouco
diferentes. Enquanto o gra´fico de f parece uma folha de papel ligeiramente
ondulada em torno da origem, o gra´fico de g “acumula-se” em um intervalo.
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Gra´fico de f Gra´fico de g
A func¸a˜o f pode ser “estendida”continuamente ao plano todo; isto e´,
se colocarmos f(0, 0) = 0, teremos uma func¸a˜o cont´ınua definida no plano
todo. Qualquer tentativa de estender a func¸a˜o g resultara´ numa func¸a˜o na˜o
cont´ınua. Isso nos leva ao outro tema da aula: continuidade.
Exemplo 6.4
Vamos calcular o valor de a, caso exista, tal que a func¸a˜o
f(x, y) =


sen (x2 + y2)
1− cos√x2 + y2 , se (x, y) �= (0, 0)
a, se (x, y) = (0, 0)
seja cont´ınua.
Para isso, devemos calcular lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y). Novamente, vamos usar
a te´cnica aplicada no exemplo anterior: coordenadas polares. Assim,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
r→0
sen r2
1− cos r = limr→0
2r cos r2
sen r
= 2.
Veja que nesse ca´lculo usamos a Regra de L’Hoˆpital e limite trigo-
nome´trico fundamental.
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Portanto, se colocarmos a = 2, a func¸a˜o f , definida em todo o plano
lR 2, sera´ cont´ınua. O gra´fico dessa func¸a˜o parece um chape´u com as abas
muito onduladas. Veja:
Outro exemplo sobre continuidade.
Exemplo 6.5
Vamos mostrar que a func¸a˜o
f(x, y) =


xy (x2 − y2)
x2 + y2
, se (x, y) �= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua.
Realmente, como e´ um quociente de polinoˆmios, ja´ sabemos que f
e´ cont´ınua em todos os pontos diferentes da origem. Tudo que temos de
fazer e´ mostrar que f e´ cont´ınua na origem. Para isso, temos de calcular
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) e mostrar que esse limite e´ zero.
A soluc¸a˜oconsiste em observar que, se (x, y) �= (0, 0), enta˜o
f(x, y) =
x3y
x2 + y2
− xy
3
x2 + y2
.
Vamos calcular os limites das parcelas:
lim
(x,y)→(0,0)
x3y
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2
x2 + y2
= 0,
pois a func¸a˜o z =
x2
x2 + y2
e´ limitada e lim
(x,y)→(0,0)
xy = 0.
Analogamente,
lim
(x,y)→(0,0)
xy3
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
xy
y2
x2 + y2
= 0.
Assim, podemos afirmar que
lim
x,y)→(0,0)
f(x, y) = f(0, 0) = 0
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e, portanto, f e´ uma func¸a˜o cont´ınua. Essa e´ uma func¸a˜o interessante; vol-
taremos a usa´-la para exemplificar certos conteu´dos que estudaremos nas
pro´ximas aulas. Aqui esta´ o seu gra´fico.
Este gra´fico e´ uma sela para
um ser de quatro patas.
Para terminar, veremos dois exemplos envolvendo as derivadas parciais.
Exemplo 6.6
Dizemos que uma func¸a˜o z = f(x, y) e´ homogeˆnea se
f(tx, ty) = f(x, y), ∀t ∈ lR − { 0 }.
Aqui esta˜o dois exemplos de func¸o˜es homogeˆneas:
f1(x, y) =
x
y
e f2(x, y) =
x2
x2 + y2
.
Realmente,
f1(tx, ty) =
tx
ty
=
x
y
= f1(x, y),
f2(tx, ty) =
t2x2
t2x2 + t2y2
=
x2
x2 + y2
= f2(x, y).
Vamos verificar que estas duas func¸o˜es satisfazem a seguinte equac¸a˜o,
que envolve as derivadas parciais:
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0.
Para fazer isso, temos de calcular as respectivas derivadas parciais e
substituir o resultado na equac¸a˜o.
Caso z = f1(x, y) =
x
y
, enta˜o
∂z
∂x
=
∂f1
∂x
(x, y) =
1
y
.
∂z
∂y
=
∂f1
∂y
(x, y) = − x
y2
.
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Assim,
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= x
1
y
− y x
y2
= 0.
Caso z = f2(x, y) =
x2
x2 + y2
, enta˜o
∂z
∂x
=
∂f2
∂x
(x, y) =
2x (x2 + y2)− x2 (2x)
(x2 + y2)2
=
2xy2
(x2 + y2)2
.
∂z
∂y
=
∂f2
∂y
(x, y) = − 2x
2y
(x2 + y2)2
.
Assim,
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= x
2xy2
(x2 + y2)2
− y 2x
2y
(x2 + y2)2
= 0.
A caracter´ıstica alge´brica f(tx, ty) = f(x, y) das func¸o˜es homogeˆneas
tem sua contrapartida geome´trica, que e´ a seguinte: todos os pontos da forma
(ta, tb), para um dado (a, b) e ∀t > 0, pertencem a` mesma curva de n´ıvel.
Ora, esse conjunto e´, precisamente, o raio que parte da origem e conte´m o
ponto (a, b). Veja a func¸a˜o h(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
, no Exemplo 24.3.
Exemplo 6.7
Dizemos que um ponto (a, b) e´ um ponto cr´ıtico da func¸a˜o z = f(x, y) se
as derivadas parciais
∂z
∂x
e
∂z
∂y
, calculadas em (a, b), sa˜o nulas:
∂f
∂x
(a, b) = 0
e
∂f
∂y
(a, b) = 0.
Vamos determinar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) = 3xy − x3 − y3.
Para isso, temos de resolver o sistema de equac¸o˜es

∂f
∂x
(x, y) = 3y − 3x2 = 0
∂f
∂y
(x, y) = 3x− 3y2 = 0
.
Os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x, y) sa˜o os pontos comuns a`s duas
para´bolas y = x2 e x = y2. Esses pontos sa˜o (0, 0) e (1, 1).
Agora, uma oportunidade para voceˆ praticar esses novos conteu´dos,
antes de prosseguirmos no nosso programa.
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Aula de exerc´ıcios
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Determine o domı´nio e fac¸a um esboc¸o dele, ou de seu complementar,
dependendo do caso, das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x, y) =
xy
2x− y ; (b) g(x, y, z) =
1
x
+
1
y
+
1
z
;
(c) h(x, y) =
√
xy; (d) j(x, y, z) =
z
4x2 − y2 + 1;
(e) k(x, y) =
4
4x2 − y2 + 1; (f) l(x, y, z) =
√
64− 16x2 − 4y2 − 4z2;
(g) m(x, y) = ln |xy| + 1
x− y .
Exerc´ıcio 2
Determine o domı´nio, a imagem e fac¸a um esboc¸o das curvas de n´ıvel
das func¸o˜es a seguir:
(a) f(x, y) = x3 − y; (b) g(x, y) = x + y2;
(c) h(x, y) = sen (x2 + y2); (d) j(x, y) =
y
x2
.
Exerc´ıcio 3
Determine o domı´nio e fac¸a um esboc¸o das superf´ıcies de n´ıvel das
seguintes func¸o˜es:
(a) f(x, y, z) =
x + y
z
; (b) g(x, y, z) =
1
x2 + y2 + z2
;
(c) h(x, y, z) = x2 + 4y2 − z2; (d) j(x, y, z) = ln
(x2
4
+
y2
9
+
z2
36
)
.
Exerc´ıcio 4
Calcule o limite ou mostre que ele na˜o existe.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x4
(x2 + y)2
; (b) lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
;
(c) lim
(x,y)→(1,0)
e
1
x2 + y2 − 1 ; (d) lim
(x,y)→(0,0)
y3
(x2 + y2)3/2
;
(e) lim
(x,y)→(1,0)
(x− 1)2y
(x− 1)2 + y2 ; (f) lim(x,y)→(0,0)
1− cos√x2 + y2
tg (x2 + y2)
;
(g) lim
(x,y)→(0,0)
xy
xy + x− y ; (f) lim(x,y)→(0,0)
1− cos√xy
y
.
73 CEDERJ
Aula de exerc´ıcios
Exerc´ıcio 5
Seja f(x, y) = (x− y) ey. Verifique que f satisfaz a seguinte equac¸a˜o,
envolvendo suas derivadas parciais:
∂f
∂x
(x, y) +
∂f
∂y
(x, y) = f(x, y).
Exerc´ıcio 6
Verifique que as func¸o˜es f(x, y) =
x
x + y
e g(x, y) =
xy2
x3 + y3
sa˜o func¸o˜es homogeˆneas e satisfazem a seguinte equac¸a˜o, envolvendo suas
derivadas parciais:
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0.
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