probabilidade-teorema-de-bayes-probabilidade-condicional

Prévia do material em texto

Matemática, Probabilidade 
e Estatística
banco do brasil
Probabilidade; Teorema de Bayes; 
Probabilidade Condicional
Livro Eletrônico
JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas 
presenciais, telepresenciais e online de Matemá-
tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-
ceira e Estatística para processos seletivos em 
concursos públicos estaduais e federais. Além 
disso, é professor de Matemática e Raciocínio 
Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. 
É servidor público há mais de 20 anos. Autor de 
diversas obras e palestrante.
3 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
SUMÁRIO
Probabilidade .............................................................................................4
Apresentação .............................................................................................4
Probabilidade/Chance ..................................................................................6
Probabilidade .............................................................................................7
Propriedades/Propriedades ..........................................................................8
Probabilidade com Eventos Independentes ...................................................10
Probabilidade Condicional ..........................................................................16
Probabilidade de Ocorrer a União de Eventos ................................................20
Probabilidade – Teorema de Bayes ..............................................................43
Interpretação Matemática ..........................................................................46
Questões de Concurso ...............................................................................55
Gabarito ..................................................................................................60
Desafio – Comentário ................................................................................61
4 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE: o conceito de probabilidade permite que se calcule a chance 
de ocorrência de um número em um experimento aleatório, ou seja, é a chance de 
ocorrer um evento favorável (desejado) em um determinado universo de eventos.
Veremos que é um assunto muito comum nas provas de concursos públicos 
independente da banca, logo vamos detalhar o máximo possível para que você 
consiga assimilar todo o conteúdo e ao mesmo tempo aplicar métodos, técnicas e 
estratégicas eficazes, que facilitarão nas resoluções das questões.
Verificar a chance de um evento ocorrer em diversas situações. “A palavra pro-
babilidade deriva do latim probare (provar ou testar)”. Temos que a teoria da 
probabilidade é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e 
a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da Física (como 
na Física Nuclear), da Economia, da Sociologia etc.
Neste módulo, utilizaremos alguns conceitos da “Teoria de conjuntos” para re-
solver questões com facilidade e rapidez.
ASSUNTOS ABORDADOS: noções de probabilidade, Teorema de Bayes (de 
uma maneira simples, de forma prática, caso não queira o uso de fórmula) e pro-
babilidade condicional, Ok?
Apresentação
Estamos aqui mais uma vez, agora com o assunto de probabilidade, que é visto 
nas matérias de matemática, estatística e raciocínio lógico. Dessa forma, daremos 
continuidade aos nossos estudos com muito entusiasmo e dedicação. Este módulo é 
muito importante devido à grande incidência de questões nas provas de concursos, 
5 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
independente da banca examinadora. Como de costume, gosto de citar um mate-
rial de apoio que confeccionei: RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO -Fundamentos 
e Métodos Práticos, Editora Juspodivm. 2016. https://d24kgseos9bn1º.cloudfront.
net/editorajuspodivm/imagens/produtos/original/raciocinio-logico-matematico-
-fundamentos-e-metodos-praticos-2016-6179baac5d860ffed37c580c7fc26efa.png
Seguindo a mesma linha de pensamento e uma linguagem totalmente aces-
sível, clara, simples e bem objetiva iremos aprender o que é Probabilidade, seu 
conceito, propriedades e aplicações em diversos casos, dando ênfase às questões 
de concursos públicos.
Para que o estudo seja produtivo e dinâmico iremos apresentar além das resolu-
ções com aplicação de fórmulas, também teremos resoluções de questões com apli-
cação de fundamentos que tornarão as questões mais simples e de rápida resolução.
Nessa aula iremos abordar os seguintes assuntos:
•	 PROBABILIDADE: construção e aplicações dos conceitos e propriedades. Re-
soluções de questões de concursos públicos por métodos práticos e eficientes.
E, como de costume, no início de cada módulo temos mais um desafio para co-
meçarmos:
DESAFIO
Uma comunidade para lá de especial!
Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filó-
sofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora não há filósofo e não há poeta que não seja 
responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:
6 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
a) todo responsável é artista.
b) todo responsável é filósofo ou poeta.
c) todo artista é responsável.
d) algum filósofo é poeta.
e) algum trabalhador é filósofo.
O Comentário está no final do módulo. Boa sorte!
Probabilidade/Chance
É importante, antes de qualquer coisa, entendermos os termos, as ferramentas 
que utilizaremos no cálculo de probabilidade.
Vamos lá então:
1. Evento aleatório: é aquele que, quando executado repetidas vezes em 
iguais condições, fornece resultados diferentes, ou seja, são resultados que estão 
previstos dentro das possíveis respostas para este experimento. Isso ocorre devido 
ao acaso, pois não podemos ter certeza do resultado de cada um desses eventos. 
Fica fácil perceber se pensarmos assim: lançar um dado de seis faces não viciado 
para cima e observar a face que ficará virada para cima, ou até mesmo escolher um 
aluno dentre 50 em uma sala de aula.
Dessa forma, é importante perceber que é algo aleatório.
Vamos para o conceito importantíssimo, digo até que é o primeiro passo quando 
nos deparamos com uma questão de probabilidade, que é definirmos o nosso espa-
ço amostral ou universo.
7 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
2. Espaço amostral ou universo: é o conjunto de todos os resultados possíveis 
de um experimento aleatório. É comum que a letra que representa o espaço amostral 
seja S ou U. Vejamos alguns exemplos para que você possa compreender melhor.
a) Lançar uma moeda para cima e observar a face que ficará virada para cima após 
a queda. O espaço amostral é {Cara ou Coroa}.
b) De uma urna com 8 bolas vermelhas (v) e 3 bolas brancas (b), retirarmos 2 
bolas. O espaço amostral é {v, v; v. b ou b. v; b.b}.
Probabilidade
Agora podemos falar o que é probabilidade. Qual seria o seu conceito?
Vamos lá!
Probabilidade será o quociente entre duas situações, isto é:
P(A) = número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis
Fique ligado(a)!
A probabilidade de um evento A, ou seja, aquilo que você deseja (sendo que A 
está contido no espaço amostral) é o número real P(A), tal que:
(Número de casos favoráveis de A (o que serve)
Número total de casos (tudo o que temos)).
OOs.:� se todos os elementos do Universo têm a mesma chance de acontecer, o 
espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável.
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, en-
tão a probabilidade de ocorrer um evento A é:
8 de 63
MATEMÁTICA,PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Exemplo: em um lançamento de dado (não viciado), a chance de um número par 
ocorrer é:
P(número par) = 3 - maneiras - diferentes - número - par6 - maneiras - prováveis - número - par = 
3
6 = 0,5 = 50%
Em um espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência 
de um evento A é sempre:
= =
número de elementos de A n(A)
P(A)
número de elementos de S n(S)
Propriedades/Propriedades
Propriedade 1. A probabilidade do evento impossível é nula.
Sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Exemplo, se em uma urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar 
uma bola azul (evento impossível, neste caso) é nula.
Propriedade 2. A probabilidade do evento certo é igual à unidade.
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Exemplo, se em uma urna só existem bolas azuis, a probabilidade de se retirar uma 
bola azul (evento certo, neste caso) é igual a 1.
9 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Propriedade 3. A probabilidade de um evento qualquer é um número real si-
tuado no intervalo real [0, 1].
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) está entre 0 (zero), um evento que não pode acontecer, e 1(um), um even-
to certo de acontecer.
Propriedade 4. A soma das probabilidades de um evento e do seu evento com-
plementar é igual à unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A’. Sabemos que A U A’ = U.
n(A U A’) = n(U) e, portanto, n(A) + n(A’) = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A’)/n(U) = n(U)/n(U), quando conclui-se:
p(A) + p(A’) = 1.
OOs.:� esta propriedade simples é muito importante, pois facilita a solução de 
muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais 
fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade 
acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.
Propriedade 5. Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Observe que, se A ∩ B = Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o 
conjunto vazio), então, p(A U B) = p(A) + p(B).
Conforme a Teoria dos Conjuntos, n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
http://www.paulomarques.com.br/arq1-1.htm
10 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
ProOaOilidade com Eventos Independentes
Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são eventos independentes quando a probabili-
dade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não ocorrido.
Fórmula da proOaOilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) = P(E1).P(E2).P(E3)...P(En)
Observe que a relação entre os eventos é o “e”, ou seja, E1 e E2 e E3 e E4 e...
O “e”, como visto em análise combinatória, tem a função de multiplicação (X). 
Sendo assim, multiplicaremos os eventos da seguinte maneira: “regra do produto”
P(E1).P(E2).P(E3)...P(En).
1. (QUESTÃO INÉDITA) Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. 
Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a 
probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
11 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
4/9
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira 
retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada 
condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na 
primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada é 20/30. Daí, usando 
a regra do produto, temos:
P = 1030 x 
20
30 = 
2
9
Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve 
reposição. Assim, P(B/A) = P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira 
retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela já havia sido reposta na urna.
OOs.:� se a questão não tivesse estipulado uma ordem, deveríamos pensar que os 
eventos poderiam ser: a primeira vermelha e a segunda azul, ou a primeira 
azul e a segunda vermelha.
VA ou AV
Sendo assim, o resultado de 2/9 deverá ser multiplicado por dois, uma vez que 
serve em qualquer ordem:
P = 29 x 2 = 
4
9
2. (FUNIVERSA/ADAPTADA) De um recipiente que contém 10 cubos azuis e 5 cubos 
vermelhos, serão retirados, aleatoriamente e com reposição, 3 cubos. Nessa situa-
12 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
ção, a probabilidade de o primeiro cubo ser azul, o segundo cubo ser vermelho e o 
terceiro cubo ser azul é igual a:
4/9
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair azul na primeira reti-
rada e vermelho na segunda retirada e azul na terceira retirada é igual ao produto 
das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e V e A) = P(A).P(V). P(A). Ora, 
a probabilidade de sair azul na primeira retirada é 10/15 e a de sair vermelho na 
segunda retirada é 5/15 e de sair azul na terceira retirada é 10/5. Daí, usando a 
regra do produto, temos:
P = 1015 x 
5
15 x 
10
15 = 
500
375 = 
4
27 , observe que na segunda e terceira retiradas 
foram considerados todos os cubos, pois houve reposição.
OOs.:� se a questão não tivesse estipulado uma ordem, deveríamos pensar que os 
eventos poderiam ser em qualquer ordem da seguinte maneira:
 � cubos nas cores: AVA, AAV e VAA (podemos considerar uma permutação 
com repetição, em que temos 3 maneiras distintas).
Devemos, então, multiplicar o resultado por 3:
P = 1015 x 
5
15 x 
10
15 = 
500
375 = 
4
27 x 3 = 
12
27 = 
4
9 
3. (CESGRANRIO/ADAPTADA) Dois dados comuns, “honestos”, são lançados si-
multaneamente. A probabilidade de que a soma dos dois resultados seja igual a 
7 ou 10 é:
13 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
0,25 ou 25%.
Determinar o espaço amostral: 36 jogadas é o número de casos possíveis, verifique 
com a tabela de possibilidades abaixo:
P(7 ou 10) = 
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
A questão indica que os dados são honestos, ou seja, a chance de sair qualquer 
uma das faces é a mesma.
P(7) = são as jogadas que a soma dos resultados seja igual a 7.
P(10) = são as jogadas que a soma dos resultados seja igual a 10.
P(7 ou 10) = P(7) + P(10)
P(7 ou 10) = 
6
36 + 
3
36 = 
9
36 = 
1
4 = 0,25
4. (CESGRANRIO/ADAPTADA) Dois dados comuns, “honestos”, são lançados simul-
taneamente. A probabilidade de que saia pelo menos 5 é igual a:
14 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
11/36
Determinar o espaço amostral: 36 jogadas é o número de casos possíveis, verifique 
com a tabela de possibilidades abaixo:
P(5) = 
número de casos favoráveis = células que estão sombreadas
número de casos possíveis = todas as células
A questão indica que os dados são honestos, ou seja, a chance de sair qualquer 
uma das faces é a mesma.
P (pelo menos um cinco) = 
11
66
5. (QUESTÃO INÉDITA) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 deseja-se formar 
números de quatro algarismos, não sendo permitida a repetição de algarismos em 
um número. Escolhendo-se um desses ao acaso, a probabilidade de ele ser múltiplo 
de 5 é:
15 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
0,125.
Determinar o espaço amostral:
Para calcular a quantidade de números de quatro algarismos distintos, será feito o 
arranjo de oito elementos tomados quatro a quatro.
An,p = 
n!
(n-p)!
A8,4 = 
8!
(8-4)!
A8,4 = 
8!
4!
 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4!
4!
 
A8,4 = 1.680
Espaço amostral: 1.680 números de casos possíveis.Determinar o evento:
Pelo princípio multiplicativo, calcularemos a quantidade de números múltiplos de 5 
de quatro algarismos distintos:
Calculando, temos:
7 x 6 x 5 x 1 = 210 números de casos favoráveis.
16 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
P(5) = 
número de casos favoráveis
número de casos possíveis = 
números múltiplos de cinco
todos os números
P(m(5)) = 2101680 =0,125
Probabilidade Condicional
A realização de um experimento é condicionada, sendo necessário que já tenha 
alguma informação sobre o evento, isto é, um termo que indica a condição. Nesse 
caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocor-
rência alterada.
Observe que a relação entre os eventos é o “e”, ou seja, P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En)
O “e”, como visto em análise combinatória, tem a função de multiplicação (X). 
Sendo assim, iremos multiplicar os eventos, da seguinte maneira: “regra do produto”
P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e...En-1)
6. (FUNCAB/INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/PC-PA/2016) Uma investigadora e 
um escrivão às vezes viajam durante suas férias. Estando de férias, a probabilida-
de de ela viajar para o Rio de Janeiro é de 0,54; de viajar para a Bahia é de 0,32; 
a probabilidade viajar para o Rio de Janeiro e para a Bahia é 0,18. Estando ele de 
férias, a probabilidade de ele viajar para São Paulo é de 0,51; de viajar para Minas 
Gerais é de 0,38; a probabilidade de viajar para São Paulo e para Minas Gerais é 
de 0,16. Portanto, a probabilidade de, durante as férias deles, a investigadora não 
viajar (nem para o Rio de Janeiro e nem para a Bahia) e do escrivão viajar (para 
São Paulo ou viajar para Minas Gerais), é igual a:
17 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
a) 85.32%
b) 49.64%
c) 34,68%
d) 23.36%
e) 80.85%
Letra d.
Questão interessante, pois temos a aplicação de teoria de conjuntos juntamente 
com probabilidade. Vamos interpretar as situações para os dois personagens da 
questão:
18 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
A probabilidade de, durante as férias deles, a investigadora não viajar (nem para 
o Rio de Janeiro e nem para a Bahia) será igual a 0,32 e do escrivão viajar (para 
São Paulo ou para Minas Gerais) é igual a 0,73. Porém, a questão solicita os dois 
eventos “e”, princípio multiplicativo, sendo assim teremos:
0,32 x 0,73 = 0,2336 x 100(%) = 23,36%.
7. (QUESTÃO INÉDITA) Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. 
Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a 
probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
20/87
O espaço amostral/Universo é S = 30 bolas.
Ao considerarmos os seguintes eventos, temos:
V: vermelha na primeira retirada e P(V) = 1030 , sabendo que uma bola que já foi 
retirada da urna é vermelha.
A: azul na segunda retirada e P(A) = 2029 , o espaço amostral diminuiu, uma vez que 
não houve reposição.
Assim:
P(V e A) = P(V) . P(A/V) = 1030 x 
20
29 = 
20
87 
8. (FUNIVERSA) De um recipiente que contém 10 cubos azuis e 5 cubos vermelhos, 
serão retirados, aleatoriamente e sem reposição, 3 cubos. Nessa situação, a pro-
babilidade de o primeiro cubo ser azul, o segundo cubo ser vermelho e o terceiro 
cubo ser azul é igual a:
19 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
a) 9/91.
b) 15/91.
c) 3/5.
d) 1/3.
e) 1/5.
Letra O.
O espaço amostral/Universo é: S = 15 cubos.
Ao considerarmos os seguintes eventos, temos:
A: azul na primeira retirada e P(A) = 1015 , sabendo que um cubo já foi retirado da 
urna e este foi azul.
V: vermelho na segunda retirada e P(V) = 514 , o espaço amostral diminuiu, uma 
vez que não houve reposição (14). Sabendo que o outro cubo foi retirado e este foi 
vermelho.
A: azul na terceira retirada e P(A) = 913 , o espaço amostral diminuiu, devido à 
segunda retirada. O caso favorável diminui, uma vez que não houve reposição.
Assim:
P(A e V e A) = P(A) . P(V/A) . P(A/ AeV) = 1015 x 
5
14 x 
9
13 = 
15
91 
9. (ESAF) Em uma sala de aula estão 10 crianças, sendo 6 meninas e 4 meninos. 
Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de 
as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:
20 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
a) 15%.
b) 20%.
c) 25%.
d) 30%.
e) 35%.
Letra O.
Esta questão solicita que sejam formados grupos, logo, para que isto venha a acon-
tecer, não pode haver reposição.
Quando a questão exige que os grupos sejam do mesmo sexo, podemos ter a 
seguinte interpretação:
3 meninos(Me) ou 3 meninas(Ma)
Ao considerarmos os seguintes eventos, temos:
3 meninos: P(Me e Me e Me ) = 410 x 
3
9 x 
2
8 = 
1
30 
Ou (+)
3 meninas: P(Ma e Ma e Ma ) = 610 x 
5
9 x 
4
8 = 
1
6
3 meninos: P(Me e Me e Me ) ou 3 (três) meninas: P(Ma e Ma e Ma)
 130 x 
1
6 = 
1
5 = 20%
ProOaOilidade de Ocorrer a União de Eventos
Fórmula da proOaOilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 e E2)
21 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Caso existam elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados 
no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos 
P(E1 e E2), ou seja, devemos retirar a interseção.
E1 E2
Exemplo 1. Um baralho é composto de 52 cartas, distribuídas em quatro naipes: 
ouros, copas, espadas e paus. De cada naipe, existem treze cartas: A (ás), 2, 3, 
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valete), Q (dama) e K (rei). Sorteando ao acaso uma carta 
desse baralho, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma carta de paus?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 
cartas. Considere os eventos:
R: sair uma carta rei é P(R) = 452 
P: sair uma carta paus é P(P) = 1352
R P
Assim, P(R ou P) =
22 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Note que P(R e P) = 152 , pois uma carta pode ser paus e rei ao mesmo tempo, em 
que devemos subtrair para que não some a mesma carta duas vezes.
P(R∪P) = P(R) + P(P) – P(R∩P)
Fórmula de proOaOilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente 
exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou... ou En) = P(E1) + P(E2) +... + P(En)
E1 E2
Exemplo 2. Um baralho é composto de 52 cartas, distribuídas em quatro naipes: 
ouros, copas, espadas e paus. De cada naipe, existem treze cartas: A (ás), 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valete), Q (dama) e K (rei). Se retirarmos aleatoriamente uma 
carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 9 ou um Valete?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 
cartas. Considere os eventos:
A: sair uma carta 9 é P(A) = 452
B: sair uma carta valete é P(B) = 452
23 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
9 valete
Assim, P(A ou B) = 452 + 
4
52 - 0 = 
8
52 = 
2
13
Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 9 e valete ao mesmo tempo. 
Quando isso ocorre, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
Em uma repartição com 40 funcionários, trabalham analistas de recursos humanos, 
analistas de sistemas e outros profissionais que exercem vários tipos de atividades. 
Sabe-se que desses funcionários 20 são analistas de recursos humanos, 18 são 
analistas de sistemas e 5 exercem as duas atividades: analista de recursos huma-
nos e analista de sistemas.
Com base nas informaçõesacima, julgue os itens que se seguem.
10. (CESPE) Escolhendo-se ao acaso um dos funcionários da repartição, a probabi-
lidade de ele ser apenas analista de recursos humanos é superior a 40%.
Errado.
Nessa questão, vimos que interseção não é vazia, ou seja, iremos construir o dia-
grama para evitar contar funcionários mais de uma vez e para melhor visualização.
Tomando:
RH  analistas de recursos humanos.
24 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
SIST  analistas de sistemas.
A probabilidade de ser apenas analista de recursos humanos (15 funcionários):
P = 1540 = 0,375 = 37,5%
11. (CESPE) A probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso exercer outra 
atividade que não seja a de analista de recursos humanos nem a de analista de 
sistemas é superior a 20%.
Errado.
A probabilidade de exercer outra função, ou seja, o que está fora dos diagramas (7 
funcionários):
P = 740 = 0,175 = 17,5%
12. (CESPE). Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em 
acidentes de trânsito ocorridos em quatro Estados Brasileiros, de janeiro a junho 
de 2003.
25 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Estado em que ocorreu o acidente
Total de vítimas fatais
Sexo masculino Sexo feminino
Maranhão 225 81
Paraíba 153 42
Paraná 532 142
Santa Catarina 188 42
A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada 
uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as 
condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens 
que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados.
A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente 
ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2.
Certo.
Determinar o espaço amostral: 1.405 relatórios é o número de casos possíveis.
Determinar o evento: “225 + 81=306” número de casos favoráveis.
P(M) = número de casos favoráveis
número de casos possíveis
 = 306
1405
 = 0,2177
13. (CESPE) A chance de que esse relatório escolhido corresponda a uma vítima do 
sexo feminino é superior a 23%.
Errado.
Determinar o espaço amostral: 1.405 relatórios é o número de casos possíveis.
26 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Determinar o evento: “81 + 42 + 142 + 42 = 307” número de casos favoráveis.
P(F) = número de casos favoráveis
número de casos possíveis
 = 307
1405
 = 0,218... = 21,8%
14. (CESPE) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do 
sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido 
no Estado do Paraná é superior a 0,5.
Errado.
Determinar o espaço amostral condicional “os relatórios que correspondam a 
uma vítima do sexo masculino”: 225 +153 + 532 + 188 = 1.098 é o número de 
casos possíveis.
Determinar o evento Estado do Paraná (relatórios masculinos): 532 é o número de 
casos favoráveis.
P(M) = número de casos favoráveis número de casos possíveis = 
532
1098 = 0,484...
15. (CESPE) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de 
acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo mas-
culino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27.
Certo.
Determinar o espaço amostral condicional “uma vítima de acidente que não ocorreu 
no Paraná”: 1.405 – 674 = 731 casos possíveis.
27 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Determinar o evento: “do sexo masculino” e de que “o acidente tenha ocorrido no 
Estado do Maranhão”: 225 é o número de casos favoráveis.
P(P) = número de casos favoráveis número de casos possíveis = 
225
731 = 0,307...
16. (CESPE) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do 
sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos Estados da região Sul do Brasil 
listados na tabela é inferior a 70%.
Errado.
Determinar o espaço amostral: 1.405 relatórios é o número de casos possíveis.
Determinar o evento “uma vítima do sexo feminino (SF)” ou “a um acidente ocorri-
do em um dos Estados da região Sul do Brasil (RS)” listados na tabela:
Ou por diagrama:
28 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
P(P) = número de casos favoráveis número de casos possíveis = 
1027
1405 = 0,73... (aproximadamente 73%)
17. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2009). De acordo com o jornal espanhol El País, em 
2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo cresci-
do 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema des-
ses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de homicídios 
por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no 
Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala.
Internet: <www.noticias.uol.com.br>.
Tendo como referência as informações apresentadas no texto acima, julgue o item 
que se segue.
Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um 
cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma proba-
bilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala, então, em cada 100.000 
habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a 10-5.
Errado.
De acordo como texto, temos que o índice de homicídios por 100.000 habitantes na 
América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 
65 na Colômbia, 50 na Guatemala.
Representamos a probabilidade de homicídios por 100.000 habitantes nos países/
continente pelas respectivas letras: Brasil(B); El Salvador (EL); Guatemala (GU); 
http://www.noticias.uol.com.br
29 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Colômbia (CO) e Europa (EU). Podemos representar a afirmativa: “em cada grupo 
de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um cidadão desse grupo 
seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes 
de El Salvador ou da Guatemala” por:
Obs.: o termo “ou” significa uma soma.
EU
30 < EL + GU
EU
30 < 45 + 50
EU < 30 x 95
EU < 2850, lembrando que 2.850 são divididos por 100.000.
EU < 2,85-4
O item afirma que, em cada 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida 
é inferior a 10-5, logo está errado, uma vez que 2,85–4 não é inferior a 10-5.
18. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2009) Considerando que, em um torneio de bas-
quete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar 
o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue.
Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e reservas, que 
os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos, de 3 sejam completa-
mente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho, então 
a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja so-
mente vermelho ou somente azul será inferior a 30%.
Errado.
A questão considera 11 equipes, com 10 jogadores cada, e afirma que os unifor-
mes de 4 equipes são completamente vermelhos, de 3 equipes são completamente 
30 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
azuis e as outras 4 equipes possuem uniformes com as duas cores. Logo após, a 
questão afirma que a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo 
uniforme seja somente azul ou somente vermelho será inferior a 30%.
Denotando por P(V) a probabilidade de escolher aleatoriamente um jogador de 
camisa somente vermelha; P(A) a probabilidade de escolheraleatoriamente um 
jogador de camisa somente azul e P(AV) a probabilidade de escolher um jogador 
com a camisa contendo as duas cores.
Considerando que os três conjuntos (A, V e AV), e sabendo que não há interseção, 
a probabilidade de encontrar um jogador somente de camisa azul ou somente de 
camisa vermelha será dado por:
P(A) + P(V) - P(A^V),
onde P(A^V) é a probabilidade da interseção dos dois conjuntos, ou seja, a proba-
bilidade de achar um jogador somente com a camisa vermelha e somente com a 
camisa azul que será igual a zero.
Logo, P(A) + P(V) - P(A^V) = P(A) + P(V) = 30/110 + 40/110 = 7/11 = 63,63 % 
> 30%.
19. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois 
peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado 
de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O 
grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja com-
posta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independente-
mente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma 
equipe com a exigência inicial será superior a 20%.
31 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Errado.
Probabilidade = Casos favoráveisCasos possíveis
P = C2, 1.C2, C2, 1.C4,2C10,5 
P = 48252 = 0,1904...=19,04%
20. (CESPE/ANALISTA/INSS/2016) Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 
anos de idade foi dividida nos seguintes dois grupos:
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas).
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos 
(diabética e fumante).
A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, 
ex-fumantes e pessoas que nunca fumaram (não fumantes).
Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo.
Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de pes soas do 
grupo e a quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quanti dade de pessoas 
fumantes desse grupo, então, escolhendo-se aleatoria mente um indivíduo desse 
grupo, a probabilidade de ele não pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de 
ex-fumantes será inferior a 70%.
32 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Errado.
Neste item temos 03(três) conjuntos disjuntos, ou seja, não temos ele mentos que 
pertencem a mais de um conjunto simultaneamente, logo os conjuntos podem ser 
representados da seguinte forma:
(120) Fumantes + (36) Ex-fumantes (444) + Não fumantes = 600
P (n) =444/600 (X100) = 74%
21. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO PAULO/2016) Considere a seguinte informação: 
a Prefeitura do Município de São Paulo (PMSP) é subdividida em 32 subprefeituras 
e cada uma dessas subprefeituras administra vários distritos.
A tabela a seguir, relativa ao ano de 2010, mostra as populações dos quatro distri-
tos que formam certa região administrativa do município de São Paulo.
Distrito População (em 2010)
Alto de Pinheiros 43.000
Itaim Bibi 92.500
Jardim Paulista 89.000
Pinheiros 65.500
Total 290.000
33 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Considerando-se a tabela apresentada, é correto afirmar que, se, em 2010, um 
habitante dessa região administrativa tivesse sido selecionado ao acaso, a chance 
de esse habitante ser morador do distrito Jardim Paulista seria:
a) inferior a 21%.
b) superior a 21% e inferior a 25%.
c) superior a 25% e inferior a 29%.
d) superior a 29% e inferior a 33%.
e) superior a 33%.
Letra d.
Temos uma questão simples de probabilidade, em que podemos res ponder da se-
guinte forma:
N(u): TOTAL DE PESSOAS NOS QUATRO DISTRITOS
N(a): TOTAL DE PESSOAS NO DISTRITO DE Jardim Paulista.
Sabemos que probabilidade P(n) é o quociente entre os casos favoráveis e casos 
possíveis, logo temos que:
P(n) = N(a)/N(u)
P(n) = 89000/ 290.000
P(n) = 0,3068 (x100)
P(n) = 30,68%
22. (CESPE/STJ/2015) Determinada faculdade oferta, em todo semestre, três dis-
34 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
ciplinas optativas para alunos do quinto semestre:
Inovação e Tecnologia (INT); Matemática Aplicada (MAP); Economia do Mercado 
Empresarial (EME).
Neste semestre, dos 150 alunos que possuíam os requisitos necessários para cursar 
essas disciplinas, foram registradas matrículas de alunos nas seguintes quantidades:
– 70 em INT;
– 45 em MAP;
– 60 em EME;
– 25 em INT e MAP;
– 35 em INT e EME;
– 30 em MAP e EME;
– 15 nas três disciplinas.
Com base nessas informações, julgue o item que se segue.
Ao se escolher um aluno ao acaso, a probabilidade de ele estar matriculado em 
apenas duas das três disciplinas será maior que a probabilidade de ele estar matri-
culado apenas em INT.
Certo.
150
35 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
A probabilidade de ele estar matriculado em apenas duas das três disciplinas: 
P(n) = 45/150
A probabilidade de ele estar matriculado apenas em INT: P(n’)=25/150
P(n) > P(n’).
23. (CESPE/TRT – 7ª Região (CE)/2017). Se, na presente prova, em que cada 
questão tem quatro opções de resposta, um candidato escolher ao acaso uma única 
resposta para cada uma das quatro primeiras questões, então a probabilidade de 
ele acertar exatamente duas questões será igual a
a) 1/2.
b) 9/16.
c) 27/128.
d) 9/256.
Letra c.
Por uma das propriedades que é apresentada no final deste capítulo, propriedade 
complementar, temos que P(n) + P’(n) = 1, logo podemos resolver a questão da 
seguinte forma:
A chance de acertar é 1/4 (A)
A chance de errar é 3/4(E) uma vez que temos uma alternativa certa dentre 3 
erradas.
A questão solicita a chance de ele acertar exatamente duas, e as outras duas es-
tarem erradas.
36 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Então teremos a seguinte situação:
A A E E
1/4 x 1/4 x 3/4 x 3/4 = 9/256
É importante observar que temos o resultado para uma ordem, logo os eventos 
podem ocorrer em qualquer ordem. Neste momento, iremos lançar mão dos conhe-
cimentos do capítulo anterior, isto é, análise combinatória, em que iremos calcular 
a quantidade de ordens para A A E E, que será uma permutação com repetição:
4 x 3 x 2 x 1 =6
2x1 2x1
Para finalizarmos iremos multiplicar 9/256 x 6 = 27/128.
24. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR – BA/2017) Júlio vai lançar uma moeda ho-
nesta 4 vezes seguidas. A probabilidade de que o número de caras seja igual ao 
número de coroas é de
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 3/4.
d) 3/8
e) 5/8.
Letra d.
Como a ordem dos lançamentos não importa (não altera a natureza), iremos apli-
car uma combinação: C4,2 (casos favoráveis).
37 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
(Eventos favoráveis) =C4,2 = 4.3/2! = 12/2 = 6
Como as moedas são lançadas 4 vezes, há 2 chances de cair em cada: Cara ou 
Coroa.
(Casos Possíveis) = 2. 2. 2. 2 = 16
P = casos favoráveiscasos possíveis
6/16 = 3/8
25. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR – BA/2017) Abel tem uma moeda que dá 
“cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá “cara” com proba-
bilidade 1/3.
Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. O primeiro que 
obtiver “cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos 
independentes.
A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamentoé de
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 1/4.
d) 1/8.
e) 1/18.
Letra e.
Abel, para ganhar o jogo, tem que tirar cara em sua terceira tentativa, uma vez que 
que os dois ficam alternando as jogadas. Vejamos as jogadas alternadas:
38 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Abel: aqui ele tem 1/2 de chance de cara, ou seja, 1/2 de tirar coroa (queremos 
que ele perca, tirar então coroa, o que na verdade não altera, mas para melhor 
interpretação).
Breno: se ele tem 1/3 de tirar cara, então aqui ele tem que ter 2/3 para tirar coroa, 
uma vez que queremos que o Abel ganhe na terceira tentativa.
Abel: 1/2 de tirar coroa
Breno: 2/3 de tirar coroa
Abel: aqui a gente quer que ele ganhe, então 1/2 de tirar cara.
Multiplicando as probabilidades até a terceira jogada em que Abel ganha, teremos:
1/2 x 2/3 x 1/2 x 2/3 x 1/2 = 4/72 = 1/18
26. (FGV/TÉCNICO EM INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS E ESTATÍSTICAS/IBGE/2016) 
Cinco pessoas estão sentadas em cinco cadeiras em linha, cada uma com uma mo-
eda na mão. As moedas são todas bem equilibradas, de modo que a probabilidade 
de sair cara ou coroa em cada uma delas é 1/2. Em um determinado momento, as 
cinco pessoas jogam suas respectivas moedas. Aquelas que obtiverem cara conti-
nuam sentadas, e as que obtiverem coroa levantam-se. Após esse procedimento, 
a probabilidade de que NÃO haja duas pessoas adjacentes, ambas sentadas ou 
ambas de pé, é de:
a) 1/2;
b) 1/8;
c) 1/16;
d) 3/32;
e) 5/32.
39 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Letra c.
Para que não haja duas pessoas adjacentes (lado a lado) ambas em pé ou ambas 
sentadas temos as seguintes possibilidades:
C: Cara
K: Coroa
Pessoa 01 e (x) Pessoa 02 e(x) Pessoa 03 e(x) Pessoa 04 e(x) Pessoa 05
Cara (C) (1/2) x Coroa(K) (1/2) x Cara (C) (1/2) x Coroa(C) (1/2) x Cara (C) (1/2) 
= 1/32
Ou (+)
Coroa (K) (1/2) x Cara(C) (1/2) x Coroa (K) (1/2) x Cara(C) (1/2) x Coroa (K) (1/2) 
=1/32
1/32 + 1/32 = 2/32 = 1/16
27. (CESGRANRIO/ESCRITURÁRIO/BANCO DO BRASIL/2015). Em uma determina-
da agência bancária, para um cliente que chega entre 15 h e 16 h, a probabilidade 
de que o tempo de espera na fila para ser atendido seja menor ou igual a 15 min é 
de 80%. Considerando que quatro clientes tenham chegado na agência entre 15 h 
e 16 h, qual a probabilidade de que exatamente três desses clientes esperem mais 
de 15 min na fila?
a) 0,64%
b) 2,56%
c) 30,72%
d) 6,67%
e) 10,24%
40 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Letra O.
Nota do Autor: no estudo de Probabilidade, temos como pré-requisito o estudo de 
análise combinatória, pois em muitas situações os eventos podem ocorrer em di-
versas ordens.
Segundo o enunciado, temos que a probabilidade do tempo de espera na fila para 
ser atendido, para um tempo menor ou igual a 15 min, é de 80%, logo a probabi-
lidade de um cliente esperar mais de 15 min na fila será o complementar, ou seja, 
o que falta para o todo (universo) 100%.
Para um tempo menor ou igual a 15 min é igual a 80% (0,8).
Para um cliente esperar mais de 15 min na fila será de 20% (0,2).
Calculando a probabilidade de exatamente três dos quatro esperarem mais de 15 
minutos na fila é dado por:
20% × 20% × 20% × 80% = 0,2 × 0,2 × 0,2 × 0,8 = 0,0064
É importante ressaltar que a situação acima pode ocorrer em qualquer ordem, logo 
devemos multiplicar o resultado por 4, que é a quantidade de ordem que os even-
tos podem ocorrer.
4 x 0,0064 = 0,0256 = 2,56%
28. (CESGRANRIO/ESCRITURÁRIO/ BANCO DO BRASIL/2015) Um grupo de ana-
listas financeiros composto por 3 especialistas – X, Y e Z – possui a seguinte ca-
racterística: X e Y decidem corretamente com probabilidade de 80%, e Z decide 
corretamente em metade das vezes.
Como as decisões são tomadas pela maioria, a probabilidade de o grupo tomar uma 
decisão correta é:
41 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
a) 0,16
b) 0,64
c) 0,48
d) 0,32
e) 0,80
Letra e.
Primeiramente iremos calcular os acertos e erros de cada analista utilizando a ideia 
de complementar:
X – = 80% de acertos e 20% de erros
Y = 80% de acertos e 20% de erros
Z = 50% de acertos 50% de erros
Como as decisões são tomadas pela maioria, a probabilidade de o grupo tomar uma 
decisão correta pode ocorrer a partir das seguintes possibilidades:
Primeira possibilidade: X e Y e Z acertarem:
X – Y. Z = 0,8 (acerto) 0,8 (acerto). 0,5 (acerto) = 0,32
Segunda possiOilidade: X e Y acertarem e Z errar:
X – Y. Z = 0,8 (acerto). 0,8 (acerto).0,5 (erro) = 0,32
Terceira possibilidade: X acertar e Y errar e Z acertar:
X – Y. Z = 0,8 (acerto). 0,2 (erro). 0,5 (acerto) = 0,08
Quarta possibilidade: X errar e Y e Z acertarem
Probabilidade de acerto = X. Y. Z = 0,2(erro) x 0,8(acerto) x 0,5(acerto) = 0,08
Desta forma, temos todas as possibilidades de a decisão ser correta, uma vez que 
42 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
deve ser tomada pela maioria.
Somando os resultados teremos: 0,32 + 0,32 + 0,08 + 0,08 = 0,8
29. (CESPE/TRE-GO/2015) As prestações de contas das campanhas dos 3 can-
didatos a governador de determinado estado foram analisadas por 3 servido-
res do TRE desse estado. Considerando que um servidor pode analisar nenhu-
ma, uma ou mais de uma prestação de contas e que, por coincidência, cada um 
dos 3 candidatos é parente de um dos 3 servidores, julgue o item que se segue. 
Se as prestações de contas forem distribuídas para análise de forma aleatória e 
independente, então a probabilidade de que cada servidor analise as contas de seu 
parente é inferior a 1/30.
Errado.
P(n) = Número de casos favoráveis Número de casos possíveis = 
1
3 
Temos três eventos sucessivos e independentes, logo teremos o seguinte:
O primeiro servidor analisar a conta de seu parente: P (n) = 1/3.
O segundo servidor analisar a conta de seu parente: P (n)=1/3.
O terceiro servidor analisar a conta de seu parente: P (n) = 1/3.
Temos a probabilidade da interseção dos 3 eventos que é dado pela multiplicação 
das probabilidades:
P = 13 x 
1
3 x 
1
3 = 
1
27 , o resultado é superior a 1/30
43 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
30. (FUNIVERSA/AGEPEN – GO/2015). Em um presídio com 750 detentos, sabe-se 
que 130 deles foram condenados por latrocínio, 180 por estupro e 30 por latrocínio 
e estupro. Nesse caso, escolhendo-se aleatoriamente um detento desse presídio, a 
probabilidade de ele ter cometido estupro, mas não latrocínio é
a) inferior a 0,25.
b) superior a 0,25 e inferior a 0,30
c) superior a 0,30 e inferior a 0,35.
d) superior a 0,35 e inferior a 0,40.
e) superior a 0,40.
Letra a.
Temos uma questão que envolve teoria de conjuntos, pois temos detentos que 
cometeram latrocínio e estupro, sendo assim vamos construir diagrama que nos 
fornece uma interpretação concreta da situação.
P(n) = Número de casos favoráveis (somente detentos que cometeram estupro)Número de casos possíveis (todos os detentos)
P(n) = 150750 = 0,2
44 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
ProOaOilidade – Teorema de Bayes
Uma explicação Oem engraçada que encontrei na internet, risos!
Em sua forma mais básica, trata-se apenas de uma expressão algébrica com qua-
tro variáveis – três conhecidas e uma desconhecida. Porém, apesar de sua simplici-
dade, ela pode nos conduzir a vastas percepções no âmbito das previsões. O foco 
do teorema é a proOaOilidade condicionada. Ou seja, fala da probabilidade de 
uma teoria ouhipótese ser verdadeira se tiver havido determinado acontecimento.
Imagine que você seja um rapaz que mora com sua namorada. Voltando de uma 
viagem de negócios, você tem uma surpresa. Encontra uma cueca desconhecida na 
gaveta do armário. Automaticamente, seu cérebro irá se perguntar: qual é a proba-
bilidade de eu ter sido traído? A condição encontrada é a roupa íntima encontrada; 
a hipótese que você deseja considerar é uma traição. O teorema de Bayes, acredite 
ou não, é a melhora forma de você abordar este constrangedor questionamento, 
mas, para isto, você terá que saber algumas coisas:
•	 1º: qual a probabilidade da aparição de uma roupa íntima numa condição 
em que a hipótese seja verdadeira, ou seja, em que houve mesma a traição? 
Se ela está traindo você, não seria difícil imaginar como a cueca foi parar na 
gaveta. Então, mesmo que ela esteja te traindo, você imagina que fosse mais 
cuidadosa. Digamos que a probabilidade de a cueca aparecer, como condição 
para ela estar enganando, é de 50%.
•	 2º: qual a probabilidade de surgimento da cueca numa condição em que a 
hipótese seja falsa? Se ela não está te traindo, existe alguma explicação ino-
cente para justificar a cuecona ali? É claro que as hipóteses são mais compli-
cadas, como sua mulher decidiu agora usar cuecas, ou um amigo dela, gente 
45 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
boa, foi passar a noite com ela. Poderia ser um presente, do dia dos namo-
rados, para você que ela esqueceu de embrulhar. Nenhuma destas teorias 
são insustentáveis, mas parecem um pouco as explicações sobre a Lava Jato, 
então você calcula uns 5%.
•	 3º: a última e mais importante, é a probabilidade prévia. Em quanto você 
estimaria a probabilidade de uma traição antes de encontrar a cueca? Temos 
que ser objetivos sobre esta probabilidade e esquecer a raiva momentânea. 
Se conseguirmos acessar os dados disponíveis, veremos que cerca de 14,7%, 
segundo um estudo do General Social Survey, das mulheres americanas tra-
em. Mas como somos brasileiros, corre uma pesquisa de que o percentual 
era de 56,4%. Fico um pouco preocupado com este estudo e vou estimar um 
meio a meio. Que tal considerar que 30% das mulheres traem? Pode ser?
Uma vez estimados esses números, o teorema de Bayes pode ser aplicado para 
estabelecermos uma probabilidade posterior. Esse é o número que em estamos 
interessados: qual a probabilidade de uma traição, levando em conta que encon-
tramos uma cueca no armário de casa?
•	 Estimativa inicial das chances de traição: x = 30%.
•	 Fato novo: cueca encontrada.
•	 Probabilidade de surgimento da cueca como condição para traição: y = 50%.
•	 Probabilidade do surgimento da cueca se não houver traição: z = 5%.
•	 Probabilidade Posterior.
•	 Estimativa revisada da probabilidade de traição, considerando que você achou 
a cueca.
46 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
P = 
x . y
xy + z (1-x)
P= 81%. Um valor relativamente alto.
Pelo teorema de Bayes, a probabilidade de você estar sendo traído é de 81%, 
o que é, na minha opinião, é bastante alta. Neste caso, quem manda na equação 
é probabilidade inicial de estar ocorrendo a traição. Se, por ventura, você encon-
trasse um estudo que estimasse a probabilidade de uma mulher trair em 4%, a 
probabilidade de você estar sendo traído iria cair para 29%, o que é muito mais 
confortável, se você for o homem. Porém, se adotássemos os 56,4% do estudo 
que encontramos sobre as mulheres brasileiras, o número subiria para 83%, o que 
não parece um aumento crucial para sua tomada de decisão. Neste mesmo estudo, 
falava-se que 70% dos homens traíam. Neste caso, ao encontrar uma calcinha na 
sua casa, cara leitora, se aplicar o teorema, seu marido ficará em maus lençóis.
Hoje, poderíamos aumentar a precisão de sua estimativa se fôssemos analisan-
do mais a fundo as características da sua mulher. Quanto mais apurada for a proba-
bilidade prévia, melhor será a sua assertividade na probabilidade posterior. Porém, 
não quero sugerir que nossas probabilidades prévias sempre prevaleçam sobre 
indícios novos ou que o teorema de Bayes produz, por si só, resultados que podem 
ser contrários aos nossos instintos. Às vezes, as novas evidências são tão fortes 
que ofuscam todo o resto, fazendo com que possamos passar, de forma pratica-
mente instantânea, de uma probabilidade próxima de zero a uma quase certeza.
O teorema de Bayes não é uma fórmula mágica – em sua forma simples empre-
gada aqui –, é álgebra básica. Precisamos, no entanto, abastecê-lo com informa-
ções de qualidade, em particular, nossas estimativas sobre probabilidades prévias, 
para que ele nos entregue resultados úteis.
47 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
A maior lição do teorema de Bayes é que ele nos exige que pensemos de forma 
probabilística a respeito do mundo, mesmo ao lidarmos com temas que não gos-
tamos de considerar como determinados pelo acaso. Isso não significa que tenha-
mos de encarar o mundo como algo incerto de forma intrínseca ou metafisica (a lá 
Montanha Mágica). Laplace, que acreditava que tudo, das órbitas dos planetas ao 
comportamento das partículas, era governado por metódicas regras newtonianas, 
mudou seu entendimento e teve um papel fundamental no desenvolvimento do 
Teorema de Bayes. Esta é a melhor forma de lidarmos com a incerteza epistemoló-
gica, com os limites de nosso conhecimento.
Interpretação Matemática
Teorema de Bayes
É importante apresentarmos antes do teorema de Bayes a definição de proba-
bilidade condicional, para registrar a diferença entre probabilidade condicional e o 
teorema de Bayes, ok?
Definição: probabilidade condicional de B dado A é a probabilidade de ocorrer o 
evento B sob a condição de ocorrer o evento A.
Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B dado A”.
P(B|A) = P(A ∩ B)P(A)
É importante observar que A e B são dois eventos dependentes que ocorrem em 
sequência. O evento A antecede o evento B.
48 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
31. (ESAF/MPU) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cin-
co delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três 
de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena 
caixa de joias. Uma noite arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com 
João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, 
então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a 
probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras 
que ganhou de João é igual a
a) 1/3.
b) 1/5.
c) 9/20.
d) 4/5.
e) 3/5.
1/3
Determinar o espaço amostral: o espaço amostral é condicional, pois no texto te-
mos que “... Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela 
vê, então, que retirou uma pulseira de prata...”
P(B|A) = P(A ∩ B)P(A)
P(A) = pulseiras de prata
49 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
P(B) = pulseira de ganhou de João.
P(A ∩ B) = pulseiras de prata que ganhou de João
P(B|A) = P(A ∩ B)P(A)
P(B|A) = 412
O espaço amostral é igual a pulseiras de prata.
Número de casos possíveis = 12 pulseiras.
Determinar o evento:
Número de casos favoráveis, ou seja, pulseiras que ganhou de João sendo elas de prata.
Número de casos favoráveis = pulseiras de prata que ganhou de João = 4 pulseiras.
Teorema de Bayes
Os símbolos P (B | A) e P (A | B) podem ter aparência similar, mas há grande 
diferença no que eles representam.
Por exemplo, faça A representarter treinamento técnico e faça B representar 
executar um bom serviço.
Veja:
P (B|A) = probabilidade de “bom serviço” dado o “treinamento técnico”.
P (A|B) = probabilidade de “ter treinamento técnico” dado o “bom serviço”.
50 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Outro exemplo: faça A representar ser bom aluno e faça B representar ser aprova-
do no vestibular. Veja:
P(B|A) = probabilidade de “ser aprovado no vestibular” dado “ser bom aluno”.
P(A|B) = probabilidade de “ser bom aluno” dado “ser aprovado no vestibular”.
Muitos problemas envolvem um par de probabilidades condicionais. Vamos 
buscar a fórmula para obter P(A | B) ou P(B|A).
P(A ∩	B) = P(A) x P(B|A)
P(A ∩	B) = P(B) x P(A|B)
Partindo das probabilidades condicionais acima, temos a seguinte identidade, 
assim você poderá decidir qual das probabilidades pode ser calculada:
P(A) X P(B|A) = P(B) x P(A|B)
Façamos de conta que queiramos P (A | B), ou seja, a probabilidade de A, dado B.
P(A|B) = P(A) x P(B|A)
P(B)
Façamos de conta que queiramos P (B | A), ou seja, a probabilidade de B, dado A.
P(B|A) = P(B) x P(B|A)
P(A)
51 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
32. (ESAF/ATA-MF/2014). Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: de 
carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai de carro, em 30% das ve-
zes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total das idas de carro, Ana chega 
atrasada em 15% delas, das idas de ônibus, chega atrasada em 10% delas e, quan-
do vai de bicicleta, chega atrasada em 8% delas. Sabendo-se que um determinado 
dia Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido de carro é igual a:
a) 20%
b) 40%
c) 60%
d) 50%
e) 30%
Letra e.
Vamos responder de 02 maneiras, sendo uma de forma mais prática, e outra pelo 
teorema de Bayes.
FORMA PRÁTICA:
Resolução
Para facilitar o raciocínio, vamos considerar que Ana foi durante 100 dias para o seu 
trabalho. Sendo:
20 vezes de carro
30 vezes de ônibus
50 vezes de bicicleta
52 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Das viagens de carro, Ana chega atrasada em 15%. Como 15% de 20 é 3, então 
ela chegou atrasada 3 vezes indo de carro.
Das viagens de ônibus, Ana chega atrasada em 10%. Como 10% de 30 é igual a 3, 
então ela chegou atrasada 3 vezes indo de ônibus.
Das viagens de bicicleta, Ana chega atrasada em 8%. Como 8% de 50 é igual a 4, 
então ela chegou atrasada 4 vezes indo de bicicleta.
Resumindo, ela chegou atrasada 10 vezes: 3 de carro, 3 de ônibus e 4 de bicicleta.
Veja que a pergunta do enunciado: sabendo-se que um determinado dia Ana che-
gou atrasada ao trabalho, qual a probabilidade de ter ido de carro?
Sabendo que Ana chegou atrasada. Portanto, vamos descartar todos os 90 dias que 
ela chegou dentro do horário. O nosso espaço amostral (casos possíveis) agora está 
restrito apenas aos 10 dias que Ana chegou atrasada.
Dos 10 dias que ela chegou atrasada, 3 foram de carro.
Assim, a probabilidade pedida é 3/10.
PELO TEOREMA DE BAYES:
Queremos calcular a probabilidade de Ana ter ido de carro, sabendo que ela chegou 
atrasada.
Aplicando a fórmula:
P(carro/atrasada) = 
P(carro e atrasada)
P(atrasada)
A probabilidade de ela ir de carro é 20%. Das vezes que vai de carro, ela chega 
atrasada em 15%. Assim, a probabilidade de ela ir de carro e chegar atrasada é: 
0,20 x 0,15 = 0,03
53 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Para calcular a probabilidade de ela chegar atrasada, devemos somar todos os ca-
sos (indo de carro, ônibus ou bicicleta): 0,03+0,03+0,04 = 0,10.
Dessa forma, podemos inferir:
P(
carro
atrasada ) = 
0,03
0,10 = 
3
10
33. (ESAF/MI-CENAD/2012) O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% 
da população adulta em determinada região é feito por um invasivo exame que 
produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas mostraram que esse exame pro-
duz um resultado falso positivo em 10% dos casos e produz um resultado falso 
negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o 
resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença.
a) 20%
b) 15%
c) 10%
d) 5%
e) 0%
Letra c.
FORMA PRÁTICA:
Vamos simular para ficar mais prático que a população adulta é formada por 100 
pessoas. Como a doença atinge 20% da população adulta, então teremos 20 doen-
tes e 80 sadios. As pesquisas mostram que o exame produz um falso positivo em 
10% dos casos. E o que significa um falso positivo? Ora, quer dizer que a pessoa é 
sadia, ou seja, não tem a doença, mas o exame dá positivo. Como temos 80 pesso-
54 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
as sadias, então o exame dá falso positivo para 8 pessoas. São 80 pessoas sadias 
que fazem o exame. O resultado dá positivo para 8 delas e dá falso para as outras 
72 pessoas. Conforme as pesquisas, o exame dá falso negativo em 40% dos casos. 
O que significa um falso negativo? Significa que a pessoa tem a doença (20 casos) 
e o exame dá negativo. Ou seja, dos 20 doentes que fizeram o exame, temos que 
40% x 20 = 8 pessoas têm o resultado negativo. Dessa forma, os resultados dos 
outros 12 doentes são positivos.
Dos dados da questão podemos inferir que: de 100 pessoas das quais 20 são do-
entes e 80 são sadios.
Dos 20 doentes, temos 8 com resultado negativo e 12 com resultado positivo.
Dos 80 sadios, temos 72 com resultado negativo e 8 com resultado positivo.
Agora a pergunta da questão: se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e 
o resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença. 
Se o resultado do exame é negativo, então o nosso espaço amostral é reduzido 
(condicionado).
O total de casos possíveis é igual a 8 + 72 = 80.
Dessas 80 pessoas, 8 são doentes. Logo, a probabilidade = 8/80 = 0,1 = 10%.
PELO TEOREMA DE BAYES:
A questão solicita o cálculo da probabilidade de a pessoa ter a doença sabendo que 
o exame deu negativo.
P(tem a doença|exame negativo) = 
P(tem a doença e exame negativo)
P(exame negativo)
A probabilidade de uma pessoa ter a doença é 20%. Para que uma pessoa tenha a 
doença e seu exame seja negativo, é necessário que o resultado seja falso negativo 
(porque a pessoa tem a doença).
A probabilidade de a pessoa receber um exame falso negativo é 40%.
55 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Assim, a probabilidade de a pessoa ter a doença e receber um exame negativo é:
P(tem a doença e exame negativo) = 0,20 x 0,40 = 00,8
A outra possibilidade de a pessoa receber exame negativo é quando ela não tem a 
doença (probabilidade de 80%) e recebe o resultado correto.
Ora, o exame dá resultado falso positivo (a pessoa não tem a doença e ocorre erro no 
exame) para 10% dos casos. Assim, a probabilidade de a pessoa que não tem a do-
ença receber seu exame correto (exame negativo) é de 90%, isto é, o complementar.
Desta forma, a probabilidade de a pessoa que não tem a doença receber exame 
negativo é:
P(tem a doença e exame negativo) = 0,80 x 0,90 = 0,72
Desta forma, a probabilidade total de uma pessoa receber exame negativo é:
P(exame negativo) = P(tem a doença e exame negativo) + P(tem a doença e 
exame negativo)
P(exame negativo) = 0,08 + 0,72 = 0,80
Assim, a probabilidade solicitada é:
P(tem a doença|exame negativo) = P(tem a doença e exame negativo)
P(exame negativo)
P(tem a doença|exame negativo) = 0,08
0,80
 = 8
80
 = 1
10
 = 10%
OOs.:� na verdade é necessária interpretação para que possa resolver as questões. 
Muitas vezesse torna mais prático não usar a fórmula, porém fica a seu critério.
56 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
QUESTÕES DE CONCURSO
1. (CESGRANRIO/ESCRITUÁRIO/BANCO DO BRASIL/2015) Em uma determinada 
agência bancária, para um cliente que chega entre 15 h e 16 h, a probabilidade de que 
o tempo de espera na fila para ser atendido seja menor ou igual a 15 min é de 80%.
Considerando que quatro clientes tenham chegado na agência entre 15 h e 16 h, 
qual a probabilidade de que exatamente três desses clientes esperem mais de 15 
min na fila?
a) 0,64%
b) 2,56%
c) 30,72%
d) 6,67%
e) 10,24%
2. (CESGRANRIO/ESCRITUÁRIO/BANCO DO BRASIL/2015) Um grupo de analistas 
financeiros composto por 3 especialistas – X, Y e Z – possui a seguinte caracterís-
tica: X e Y decidem corretamente com probabilidade de 80%, e Z decide correta-
mente em metade das vezes.
Como as decisões são tomadas pela maioria, a probabilidade de o grupo tomar uma 
decisão correta é:
a) 0,16
b) 0,64
c) 0,48
d) 0,32
e) 0,80
57 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
3. (CESGRANRIO/ECONOMISTA/CEFET-RJ/2014) Dois dados comuns, com as 6 fa-
ces igualmente prováveis, foram lançados simultaneamente, e a soma dos resulta-
dos obtidos foi igual a 8.
A probabilidade de que o resultado de um dos dados tenha sido 5, condicionada à 
soma dos dois ser igual a 8, é de:
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
4. (CESGRANRIO/CONHECIMENTOS BÁSICOS/PETROBRAS/2014) Em um centro de 
pesquisa trabalham 30 pesquisadores, dos quais 14 são biólogos. O diretor comunicou 
aos pesquisadores que três deles seriam escolhidos para participar de um congresso.
Considerando-se que a escolha seja feita de forma aleatória, qual a probabilidade 
de que exatamente dois biólogos sejam escolhidos?
a) 1/7
b) 3/14
c) 7/15
d) 52/145
e) 52/435
5. (CESGRANRIO/ESCRITUÁRIO/BANCO DO BRASIL) Sejam X o número de contra-
tos realizados, e Y o número de contratos cancelados em uma determinada agên-
cia, por dia. A distribuição conjunta de X e Y é dada por:
58 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Dado que pelo menos quatro contratos novos foram fechados, a probabilidade de 
que três contratos sejam cancelados no mesmo dia é:
a) 2/3
b) 1/3
c) 1/10
d) 1/8
e) 1/4
6. (CESGRANRIO/ANALISTA/IBGE/2013) Dois eventos A e B, independentes, são 
tais que P(A) > P(B), P(A ∩ B) = 1/3 e P(A ∪ B) = 5/ 6.
O valor de P(AC ∩ B) é dado por
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/4
d) 1/6
e) 2/3
7. (CESGRANRIO/ADMINISTRADOR JÚNIOR/TRANSPETRO/2012) Um estádio olím-
pico possui 4 acessos: norte, sul, leste e oeste. Quatro delegações se dirigem ale-
atoriamente ao estádio.
59 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Qual é a probabilidade de cada uma se dirigir a um acesso diferente das demais?
a) 1/256
b) 1/64
c) 1/24
d) 3/64
e) 3/32
8. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2012) Em uma determinada região, constatou-se que
• 25% das pessoas não praticam atividade física.
• 25% das pessoas são do sexo feminino e praticam atividade física.
• 15% das pessoas que não praticam atividade física são do sexo masculino.
Seleciona-se aleatoriamente uma pessoa dessa população.
A probabilidade de que seja do sexo masculino ou que não pratique exercício fí-
sico é de
a) 15%
b) 25%
c) 72,5%
d) 75%
e) 90%
9. (CESGRANRIO/BNDES/2011) Em uma urna, são colocadas 2 bolas brancas e 4 
pretas. Alberto e Beatriz retiram bolas da urna alternadamente, iniciando-se com 
Alberto, até que a urna esteja vazia. A probabilidade de que a primeira bola branca 
saia para Alberto é
60 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
a) 1/2
b) 3/5
c) 5/9
d) 7/12
e) 8/15
10. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2011) Um jogo consiste em lançar uma moeda ho-
nesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na primeira 
situação, ao obter duas caras consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter 
duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine, 
com vitória, até o sexto lance, é
a) 7/16
b) 31/64
c) 1/2
d) 1/32
e) 1/64
61 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
GABARITO
1. b
2. e
3. d
4. d
5. e
6. d
7. e
8. d
9. b
10. b
 
62 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
DESAFIO – COMENTÁRIO
De acordo com o enunciado da questão, um artista só pode ser trabalhador, filóso-
fo ou poeta, ou seja, são conjuntos disjuntos. Assim, os respectivos conjuntos (T, 
F e P) interceptam o conjunto dos artistas sem deixar vazios e sem superposição, 
porque um artista não pode ser mais de um desses ao mesmo tempo. O enunciado 
também diz que trabalhador, filósofo e poeta são responsáveis. Denominando R o 
conjunto dos responsáveis, tem-se:
T ⊆ R
F ⊆ R
P ⊆ R
63 de 63
MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional
Prof. Josimar Padilha
Ou seja, T, F e P são subconjuntos de R.
Analisando as respostas, temos:
Letra c.
Todo artista é responsável: correto, porque T, F e P são subconjuntos de R e o ar-
tista só pode ser um deles.
a) Errada. Todo responsável é artista: não necessariamente, porque o quantifi-
cador Universal afirmativo não aceita a propriedade comutativa, uma vez que há 
elementos que são responsáveis que não trabalhadores.
O) Errada. Todo responsável é filósofo ou poeta: não. Pode ser trabalhador.
d) Errado. Algum filósofo é poeta: pode ser ou não. Os conjuntos F e P podem ter 
interseção, embora não indicado na figura.
e) Errado. Algum trabalhador é filósofo: pode ser ou não, de forma similar à do 
item anterior.