Teoria de Probabilidade

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Introdução à Teoria das 
Probabilidades
1
Conceitos Básicos
Experimento Aleatório ou Fenômeno Aleatório
Situações ou acontecimentos cujos resultados não 
podem ser previstos com certeza.
Exemplos:
• Condições climáticas do próximo domingo;
• Taxa de inflação do próximo mês;
• Resultado ao lançar um dado ou moeda;
• Tempo de duração de uma lâmpada.
Espaço Amostral (Ω)
Conjunto de todos os possíveis resultado de um 
experimento aleatório ou fenômeno aleatório.
2
Exemplos:
1. Lançamento de um dado. Ω={1,2,3,4,5,6}
2. Tipo sanguíneo de um individuo. Ω ={A, B, AB,0}
3. Opinião de um eleitor sobre um projeto. Ω ={Favorável,Contrário}
4. Tempo de duração de uma lâmpada Ω ={t; t>0)
Evento subconjunto do espaço amostral Ω.
Notação: A, B, C,...
Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos:
A: sair face par: ⇒A={2,4,6} ⊂ Ω
B: Sair face maior que 3 ⇒ B={4,5,6} ⊂ Ω
C: sair face 1 ⇒ C={1} ⊂ Ω
D: sair face 7 ⇒ D={ } (evento impossível)= ∅ (conjunto vazio) ⊂ Ω
3
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%8A%82
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Operação com eventos
Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral 
• A ∪ B: União dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B
• A ∩ B: Intersecção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não 
têm elementos em comum, isto é, A ∩ B= ∅
• A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua 
união o espaço amostral, isto é. A ∩ B= ∅ e A ∪ B= Ω.
• O complementar de um evento A é representado por
4
Exemplo: Lançamento de um dado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}
• A ∩ B: = {2, 4, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 6} 
sair uma face par e maior que 3
• A ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {1} = ∅
sair uma face par e face 1
• A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
sair uma face par ou maior que 3
• A ∪ C = {2, 4, 6} ∪ {1} = {1, 2, 4, 6}
sair uma face par ou face 1
• AC = {1, 3, 5} não sair face par
5
Definições de probabilidades
Definição Clássica ou a priori
Se um experimento aleatório tiver n(Ω) resultados mutuamente 
exclusivos e igualmente prováveis e se um evento A tiver n(A) 
desses resultados. A probabilidade do evento A representado por 
P(A), é dado por: 
Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados. Calcular 
a probabilidade de:
a) Obter soma 7;
b) Obter soma maior que 10;
c)Que resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do 
segundo. 6
Probabilidade
Pergunta: Como atribuir probabilidade 
aos elementos do espaço amostral?
7
a) A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)} ⇒P(A)=n(A)/n(Ω)=6/36=1/6
b) B={(5,6),(6,5),(6,6)} => P(B) = 3/36.
c) P(C)= 15/36.
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Definição frequentista ou a posteriori
Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n 
grande) e destas o evento A ocorre exatamente r<n vezes, 
então a frequência relativa de vezes que ocorreu o evento A, 
“r/n”, é a estimação da probabilidade que ocorra o evento A, ou 
seja, 
Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um 
evento A, é próxima da verdadeira probabilidade do evento A, 
quando n tende ao infinito.
Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a 
probabilidade de A={ resultado obtido é cara}.
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Definição axiomática
A probabilidade de um evento A define-se com o número P(A), tal 
que satisfaz os seguintes axiomas:
Propriedades
Regra da adição de probabilidades
10
11
As probabilidades de cada um destes eventos são:
12
13
Exercícios:
1) Uma moeda e um dado são lançados e os resultados são colocados 
na forma (x,y), onde x representa o resultado da moeda e y 
representa o resultado do dado. Determine o espaço amostral e a 
probabilidade dos seguintes eventos: 
a) A: ocorrer cara; 
b) B: ocorrer número ímpar; 
c) C: ocorrer número 3;
d) D: ocorrer A U B ; 
e) E: ocorrer B∩C ; 
2) Considere o espaço amostral Ω={1,2,3,4,..., 9,10} e os seguintes 
eventos: A={2,3,4}, B={1,3,5,7,9}, C={6}, D={1,2,3} e E={2,4,6}
Determine:
a) 𝐴 ∪ 𝐵 d) 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐
b) 𝐴 ∩ 𝐵 e) 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐
c) 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 f) 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐
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CANCELADO
CANCELADO
3) Ache a probabilidade de que o jogador de basquete da NBA, 
Reggie Miller, converta um arremesso livre depois de sofrer uma 
falta. Em um instante de sua carreira, ele converteu 5915 
arremessos livres em 6679 tentativas (com base em dados da 
NBA) (Exercício do livro “Introdução à Estatística, M.F. Triola”).
4) Ache a probabilidade de que, quando um casal tem três filhos, 
exatamente dois deles sejam meninos. Suponha que meninos e 
meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma 
criança não seja afetado pelo sexo de qualquer outra criança 
(Exercício do livro “Introdução à Estatística, M.F. Triola”).
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CANCELADO
CANCELADO
Probabilidade Condicional e Independência
Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em 
um mesmo espaço amostral, Ω, a probabilidade condicional de A
dado que ocorreu o evento B, é representado por P(A|B) é dado 
por:
Exemplo 2. Selecionamos uma semente, ao acaso, uma a uma e 
sem reposição de uma sacola que contem 10 sementes de flores 
vermelhas e 5 de flores brancas. Qual é a probabilidade de que :
(a) a primeira semente seja vermelha ?
(b) a segunda seja branca se a primeira foi vermelha?
(1)
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Sejam os eventos:
Essas probabilidades podem ser representados em um diagrama da árvore de 
probabilidades, a qual é mostrado na figura 1 17
Figura 1: Diagrama de árvore de probabilidade
Da expressão (1), pode-se deduzir uma relação bastante útil,
Que é conhecida como regra do produto de probabilidades ou 
probabilidade da interseção 18
Exemplo 3: No exemplo 2, suponha que temos interesse em 
determinar a probabilidade que as duas sementes 
selecionadas sejam brancas.
Teorema 1: Se B é um evento em Ω, tal que P(B)>0, então:
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Exemplo 4: Na Cidade de São Paulo, a probabilidade de chuva no 
primeiro dia de setembro é 0,50 e a probabilidade que chuva nos 
dois primeiros dias de setembro é 0,40. Se no primeiro dia de 
setembro choveu, qual é a probabilidade de 
a ) que no segundo dia seguinte chova ?
b ) que no segundo dia seguinte não chova ?
Solução a :Sejam os eventos: A:” chove no primeiro de setembro”, 
B:”chove no segundo dia de setembro”.
A probabilidade pedida é:
𝑃 𝐵/𝐴 =
𝑝 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴
= 0,80
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Solução b:
Definição[Independência de eventos] Dois eventos A e B são 
independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a 
probabilidade da ocorrência de A. Isto é,
P(A|B)=P(A), P(B)>0
Consequentemente, temos que dois eventos A e B são independentes 
se somente se,
P(A ∩ B)=P(A)P(B). 
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Exemplo 5) Um lote contém 10 peças, sendo 7 boas (B) e 3 defeituosas (D). Retiramos 
duas peças, ao acaso e com reposição, para inspeção. 
a) Construa a arvore de probabilidades;
P(B1)=7/10 B1
B2
B2
D2
D2
P(D1 )=3/10
P(B2 /B1 )=7/10
P(D2 /B1 )=3/10
P(B2 /D1 )=7/10
P(D2 /D1 )=3/10
D1
Índice 1: primeira retirada;
Índice 2: segunda retirada;
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/131-metodos-de-enumeracao#comreposicao
22
b) Descreva cada uma das probabilidades encontradas;
P(B1) : probabilidade de sair uma peça boa na primeira retirada;
P(D1): probabilidade de sair uma peça defeituosa na primeira retirada;
P(B2 /B1 ) : probabilidade de sair uma peça boa na segunda retirada sabendo(ou dado) que 
na primeira retirada saiu peça boa;
P(D2 /B1 ) : probabilidade de sair uma peça defeituosa na segunda retirada sabendo(ou 
dado) que na primeira retirada saiu peça boa;
P(B2 /D1 ) : probabilidade de sair uma peça boa na segunda retirada sabendo(ou dado) que 
na primeira retirada saiu peça defeituosa;
P(D2 /D1 ) : probabilidade de sair uma peça defeituosa na segunda retirada sabendo(ou 
dado) que na primeira retiradasaiu peça defeituosa;
c) Qual a probabilidade da primeira peça ser defeituosa?
P(D1 )=3/10
d) Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa dado que a primeira foi defeituosa?
P(D2 /D1 ) =3/10
e) Qual a probabilidade de se obter duas peças defeituosas?
P(D1 ꓵ D2 )= P(D1 )*P(D2 /D1 )= 3/10*3/10 =9/100
f) Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa?
P(segunda defeituosa)= P(D2 /B1 )*P(B1)+P(D2 /D1 )*P(D1) 
=3/10*3/10+3/10*7/10=6/10=3/10
g) Os eventos D1 e D2 são independentes?
P(D1 ꓵ D2 ) = P(D1)*P(D2 ) ??????
9/100 = 3/10*3/10
Portanto os eventos D1 e D2 são independentes. A realização de um não influencia na 
probabilidade de ocorrência do outro.
Exemplo 6) Refaça o exemplo 5 
considerendo sem reposição.
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http://www.portalaction.com.br/probabilidades/131-metodos-de-enumeracao#comreposicao
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Solução: sejam os eventos:
V:” o aluno tem problemas visuais”
A:” o aluno tem problemas auditivos”.
Do enunciado temos: P(V)=0,20, P(A)=0,08 e P(A ∩ V)=0,04. 
25
Exemplo 7: Em uma escola o 20% dos alunos tem problemas visuais, 
8% problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. 
Selecionamos um aluno desta escola ao acaso:
a)Os eventos, ter problemas visuais e auditivos, são eventos 
independentes? 
b) se aluno selecionado tem problemas visuais, qual é a probabilidade 
de que tenha problemas auditivos?
Teorema 2: Se A , B eventos em Ω são eventos 
independentes, então:
Exemplo 8: Prove os itens (i), (ii) e (iii).
26
CANCELADO
27
Exemplo 9: Um atirador acerta o 80% de seus disparos e outro (na 
mesmas condições de tiro), 70%. Qual é a probabilidade de acertar 
se ambos atiradores disparam simultaneamente ao alvo? Considere 
que o alvo foi acertado quando pelo menos, uma das duas balas 
tenha feito impacto no alvo.
Solução:
Exercicios:
1) Dois caçadores foram à caça, sabemos que o caçador A tem 45%
de probabilidade de acertar qualquer caça, e o caçador B tem 60% de 
probabilidade. Qual a probabilidade de em cada tiro disparado:
a) Ambos acertarem a mesma caça? 0,27
b) Nenhum acertar a mesma caça? 0,22
c) A caça ser atingida? 0,78
2) Um jogador foi o primeiro a receber 3 cartas de um baralho de 52 
cartas (13 de espadas, 13 de ouros, 13 de copas e 13 de paus). Qual a 
probabilidade de esse jogador receber 3 cartas de ouros? Resp.: 
11/850
3)(UPF) - Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira- se, 
sucessivamente, 2 bolas. Então a probabilidade das bolas serem da 
mesma cor, é:
a) 1/7 b) 2/7 c) 3/7 d) 4/7 e) 5/7
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CANCELADO
CANCELADO
CANCELADO
4) As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam 
um problema são: P(A) = 1/3 e P(B) = 3/5 . Admitindo que 
as duas pessoas tentem resolver o problema de forma 
independente, qual a probabilidade de que:
a) ambos resolvam o problema? Resp 3/15
b) ao menos um resolva o problema? Resp 11/15
c) nenhum resolva o problema? Resp 4/15
d) A resolva o problema, mas B não? Resp 2/15
e) B resolva o problema, mas A não? Resp 6/15
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CANCELADO
CANCELADO
5) Uma moeda é lançada três vezes. Determine as seguintes 
probabilidades:
a) Não ocorra coroa; 1/8
b) ocorra exatamente uma coroa;3/8
c) ocorrer pelo menos uma coroa;7/8
d) ocorrer pelo menos duas coroas;4/8
e) ocorrer exatamente duas coroas;3/8
f) ocorrer três coroas;1/8
6) No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um 
número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um 
número par?
(A) 1/6 (B) 1/2 (C) 1/3 
(D) 2/5 (E) 2/3
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CANCELADO
CANCELADO
Definição [Partição do espaço amostral]. Uma coleção de eventos 
B1, B2,B3,...,Bk , formam uma partição do espaço amostral se eles 
não têm intersecção entre si e sua união é igual ao espaço 
amostral. 
Teorema de Bayes
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Teorema da Probabilidade Total: Seja A um 
acontecimento qualquer de  e B1, B2, …,Bn representam 
uma partição do espaço amostral, então
 

n
i ii
nn
BAPBP
BAPBPBAPBPBAPBPAP
1
2211
)|().( 
)|().(...)|().()|().()(
Exercício 1: Verifique este resultado para uma 
partição em 4 subconjuntos
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𝐷𝑖𝑐𝑎: 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵1 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵2 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵3 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵4
Exemplo 1 ) Uma companhia multinacional tem três fábricas que 
produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica I ´e responsável por 
30% do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e o restante 
vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma 
proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos 
pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados 
“defeituosos” e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente, dos 
totais produzidos por fábrica. No centro de distribuição, é feito o 
controle de qualidade da produção combinada das fábricas. Qual é a 
probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção 
de qualidade? 
Resp.: Seja o evento A = {Produto Defeituoso} e Fi = {Produto da Fábrica i}. 
P(F1) = 0,3, P(F2) = 0,45 e P(F3) = 0,25.
Além disso, temos P(A|F1) = 0,01, P(A|F2) = 0,02 e 
P(A|F3) = 0,015. 
Então, pela lei da probabilidade total:
P(A) = P(A|F1)*P(F1) + P(A|F2)*P(F2) + P(A|F3)*P(F3) =
0,3 ∗ 0,01 + 0,45 ∗ 0,02 + 0,25 ∗ 0,015 = 
0,01575
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Teorema de Bayes
Recorrendo ao teorema anterior deduzimos um dos mais 
importantes teoremas em probabilidades. 
Teorema de Bayes: “Seja A um acontecimento qualquer de 
 e B1, B2, …,Bn representam uma partição de  , onde 
0)( iBP e 0)( AP então para j=1,...,n tem-se 
 

n
i ii
jj
j
BAPBP
BAPBP
ABP
1
)|().(
)|().(
)|(
34
Exemplo 2) Use os dados do exemplo anterior e responda: Se 
durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é 
a probabilidade que ele tenha sido produzido na fábrica II?
Resp.: Aqui, aplicaremos o Teorema de Bayes usando o item 
anterior para encontrar P(A):
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Exemplo 3: Uma montadora trabalha com 2 fornecedores 
(A e B) de uma determinada peça. As chances de que uma 
peça proveniente dos fornecedores A e B esteja fora das 
especificações são 10% e 5% respectivamente. A 
montadora recebe 30% das peças do fornecedor A e 70% 
de B. Se uma peça do estoque inteiro é escolhido ao 
acaso: 
(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das 
especificações.
(b) Se uma peça escolhida ao acaso está fora das 
especificações, qual é a probabilidade que venha do 
fornecedor A ? 
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Sejam os eventos:
A: “ peça selecionada seja do fornecedor A”
B:” peça selecionada seja do fornecedor B”
E:” peça selecionada esteja fora das especificações”
Do enunciado do problemas temos:P(A)=0,30; P(B)=0,70; P(E|A)=0,10 e P(E|B)=0,05. 
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Pelo teorema da probabilidade total temos:
a) P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=(0,30)(0,10)+(0,70)(0,05)=0,065
b) P(A|E)=? 
Pelo teorema de Bayes temos:
A solução do exemplo anterior é facilitada pelo diagrama de 
árvore de probabilidades.
38
39
Lista de exercícios
Exercicios 23 a 25 pag 121 
Exercicios: 
26,29,31,34,36,37,38,40,57,59,62, 64, 66 
pag 122 e 123
Livro: estatística Básica
Autor: Bussab e Moretin
6a edição 
CANCELADO