ep6 ipe 2009 2 tutor edson

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
6o EP 2009/2 IPE Lic. em F´ısica Semana 6 - Aula 13 Versa˜o Tutor Coord. Edson Cataldo
Caros tutores,
este e´ o u´ltimo EP antes da primeira avaliac¸a˜o presencial (AP1) da disciplina. A pro´xima semana esta´
reservada para que os alunos possam fazer revisa˜o de toda a mate´ria!
Um abrac¸o,
Edson Cataldo
Ex. 1 Usando o Teorema Binomial, desenvolva a expressa˜o
(
2x+ y3)5.
Resoluc¸a˜o: Pelo teorema binomial temos:
(
2x+ y3
)5 = C(5, 0)(2x)5 + C(5, 1)(2x)4(y3)1 + C(5, 2)(2x)3(y3)2 + C(5, 3)(2x)2(y3)3
+ C(5, 4)(2x)1(y3)4 + C(5, 5)(2x)0(y3)5.
Note que os coeficientes na expansa˜o precedente formam a sexta linha do Triaˆngulo de Pascal,
mostrado a seguir:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Assim,
(2x+ y3)5 = 32x5 + 5× 16x4 × y3 + 10× 8x3 × y6 + 10× 4x2 × y9 + 5× 2x1 × y12 + y15
= 32x5 + 80x4y3 + 80x3y6 + 40x2y9 + 10xy12 + y15 .
Ex. 2 No desenvolvimento da expressa˜o (x + 1/x)3 ha´ termo independente de x? Justifique sua
resposta.
Resoluc¸a˜o:
Podemos pensar em soluc¸o˜es diferentes para esse problema.
Primeiro, consideremos a expansa˜o da expressa˜o acima usando o teorema binomial:
1
(x+ 1/x)3 = C(3, 0)x3(1/x)0 + C(3, 1)x2(1/x)1 + C(3, 2)x1(1/x)2 + C(3, 3)x0(1/x)3 =
= x3 + 3x+
3
x
+
1
x3
.
Logo, na˜o ha´ termo independente.
Ha´ uma outra forma de resolver o problema, pensando no termo geral da expansa˜o. Podemos
escrever o termo geral, denotado por Tp+1, como:
Tp+1 = C(3, p)x3−p
(
1
x
)p
,
sendo p um nu´mero inteiro que pode assumir, nesse caso, os valores 0, 1, 2, 3.
Portanto, queremos encontrar um nu´mero inteiro p tal que 3 − p − p = 0. Pore´m, 3 − 2p = 0 ⇔
p = 3/2. Como p na˜o e´ um nu´mero inteiro, conclu´ımos que na˜o ha´ termo independente de x.
Ex. 3 Qual o coeficiente de x15 no desenvolvimento de (x2 + x−3)15?
Resoluc¸a˜o:
Como no exerc´ıcio anterior, ha´ va´rias formas de resolver esse problema. Consideremos o caso do
termo geral, denotado por Tp+1 e dado por:
Tp+1 = C(15, p)(x2)15−p(x−3)p = C(15, p)x30−2p−3p = C(15, p)x30−5p.
Queremos encontrar um nu´mero inteiro p tal que 30− 5p = 15. Logo, p = 3.
Temos,
T4 = C(15, 3)x15 = 455x15 .
Logo, o coeficiente de x15 e´ 455.
Ex. 4 Considere a expressa˜o
(
2x3 − 1
x
)6
.
(a) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento binomial de
(
2x3 − 1
x
)6
.
(b) Determine o coeficiente de x10 no desenvolvimento binomial de
(
2x3 − 1
x
)6
.
Resoluc¸a˜o:
(a) Se escrevermos a expansa˜o de
(
2x3 − 1
x
)6
usando o Teorema Binomial, podemos observar que
a soma dos coeficientes sera´ obtida fazendo x = 1. Logo, fazemos x = 1 em
(
2x3 − 1
x
)6
e obtemos
(2− 1)6 = 1.
Portanto, a soma dos coeficientes e´ igual a 1.
(b) Determine o coeficiente de x10 no desenvolvimento de
(
2x3 − 1
x
)6
.
O termo com x10 aparece no desenvolvimento pela operac¸a˜o
2
C(6, 2)(2x3)4 ×
(
−1
x
)2
= 15× 16× x12 ×
(
1
x2
)
= 240x10 .
Logo, o coeficiente binomial de x10 no desenvolvimento e´ 240.
Resolvendo o problema usando o termo geral, temos:
Tp+1 = C(6, p)(2x3)6−p
(
−1
x
)p
= C(6, p)26−p(−1)px18−3px−p = C(6, p)26−px18−4p .
Logo, queremos encontrar um nu´mero inteiro p tal que 18− 4p = 10. Acarretando p = 2.
Portanto, T3 = C(6, 2)24(+1)x10 = 240x10.
E, conclu´ımos que o coeficiente de x10 e´ 240.
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