119 EP 11 tutor

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Fundação Centro de Ciên
ias e Edu
ação Superior a Distân
ia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Edu
ação Superior a Distân
ia do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferen
iais - Exer
í
ios Programados 11 - Soluções
Referentes às Aulas n
0
s 18 e 19
Exer
í
io 1 Resolva pelo método de autovalores e autovetores:
a)
(
y′1 = 3y1 − 4y2
y′2 = y1 − y2
b)
(
x′ = 2x
y′ = 3x + 2y
; x(0) -1, y(0)=2
Soluções:
a)
(
y′1 = 3y1 − 4y2
y′2 = y1 − y2
O primeiro passo é es
rever o sistema na forma matri
ial e 
al
ular seus autovalores.
De�nindo
−→
Y (t) =
„
y1(t)
y2(t)
«
tem-se que a forma vetorial do sistema é
−→
Y ′(t) =
„
3 −4
1 −1
«
−→
Y (t)
Os autovalores da matriz do sistema são as raízes da equação λ2 − 2λ + 1 = 0, que são
λ1 = λ2 = 1.
O(s) autovetor(es) asso
iado(s) a λ = 1 são as soluções da equação
−→
V =
„
2 −4
1 −2
«„
v1
v2
«
=
„
0
0
«
Obtém-se, por exemplo, o autovetor
−→
V =
„
2
1
«
,
e todos os demais autovetores do sistema são múltiplos não-nulos de
−→
V . Temos, por
enquanto, somente uma solução, a saber
−→
Y1(t) =
„
2
1
«
et
Como vimos na aula 18, uma segunda solução linearmente independente de
−→
Y1(t) é dada
por
−→
Y2(t) = [t
−→
V +
−→
W ]et,
Consór
io CEDERJ - Fundação CECIERJ 2007/1
onde
−→
W é um autovetor generalizado de peso dois, 
al
ulado a partir de
−→
V , por meio da
equação
(A− 2I)
−→
W =
−→
V ;
i.é, „
2 −4
1 −2
«„
w1
w2
«
=
„
2
1
«
.
Os vetores
−→
W que satisfazem a essa equação são da forma (2w2 + 1, w2).
Podemos es
olher, por exemplo,
−→
W =
„
1
0
«
.
de modo que a solução
−→
Y2(t) é
−→
Y2(t) =
»
t
„
2
1
«
+
„
1
0
«–
et.
Temos então a solução geral
−→
Y (t) =
„
y1(t)
y2(t)
«
= c1
„
2
1
«
et + c2
„
2t + 1
t
«
et
Daí, em termos das funções y1(t) e y2(t):
y1(t) = 2c1e
t + (2t + 1)c2e
t
y2(t) = c1e
t + c2te
t.
b)
(
x′ = 2x
y′ = 3x + 2y
; x(0) -1, y(0)=2
Trata-se de um problema de valor ini
ial.
Pro
edendo 
omo no item (a), o primeiro passo é es
rever o sistema na forma matri
ial e
al
ular seus autovalores.
De�nindo
−→
X (t) =
„
x(t)
y(t)
«
tem-se que a forma vetorial do sistema é
−→
X ′(t) =
„
2 0
3 2
«
−→
X (t)
Os autovalores da matriz do sistema são são λ1 = λ2 = 2.
O(s) autovetor(es) asso
iado(s) a λ = 2 são as soluções da equação
−→
V =
„
0 0
3 0
«„
v1
v2
«
=
„
0
0
«
Consór
io CEDERJ - Fundação CECIERJ 2007/1
Obtém-se, por exemplo, o autovetor
−→
V =
„
0
1
«
,
e todos os demais autovetores do sistema são múltiplos não-nulos de
−→
V . Temos, por
enquanto, somente uma solução
−→
X1(t). Uma segunda solução linearmente independente
de
−→
X1(t) é dada por
−→
X2(t) = [t
−→
V +
−→
W ]e2t,
onde
−→
W é um autovetor generalizado de peso dois, 
al
ulado a partir de
−→
V , por meio da
equação
(A− 2I)
−→
W =
−→
V ;
i.é, „
0 0
3 0
«„
w1
w2
«
=
„
0
1
«
.
Os vetores
−→
W que satisfazem a essa equação são da forma (3w1, w2).
Podemos es
olher, por exemplo,
−→
W =
„
1/3
1
«
.
de modo que a solução
−→
X2(t) é
−→
X2(t) =
»
t
„
0
1
«
+
„
1/3
1
«–
e2t.
Temos então a solução geral
−→
X (t) =
„
x(t)
y(t)
«
= c1
„
0
1
«
e2t + c2
„
1/3
t + 1
«
e2t
Impondo agora as 
ondições ini
iais:
„
x(0)
y(0)
«
=
„
−1
2
«
,
obetmos o sistema (
c1 = −1/3
c1 + c2 = 2
,
que nos dá a solução do PVI:
−→
X (t) = 5
„
0
1
«
e2t − 3
„
1/3
t + 1
«
e2t
Em termos das funções x(t) e y(t):
x(t) = −e2t
y2(t) = 5e
2t
− 3te2t.
Consór
io CEDERJ - Fundação CECIERJ 2007/1
Exer
í
io 2 Resolva os sistemas de equações diferen
iais:
a)
−→
X ′ =
„
4 5
−1 −2
«
−→
X +
„
4et
0
«
b) x′ = 3x− 4y + et, y′ = x− y + et; x(0) = 1, y(0) = 1
Soluções:
a)
−→
X ′ =
(
4 5
−1 −2
)
−→
X +
(
4et
0
)
O sistema é não-homogêneo, e sua solução geral é da forma
−→
X (t) =
−→
Xh(t) +
−→
Xp(t),
sendo
−→
Xh(t) a solução geral do sistema homogêneo asso
iado e
−→
Xp(t) uma
solução parti
ular, que vamos 
al
ular pelo método de variação de parâme-
tros.
Cál
ulo da solução geral do sistema homogêneo asso
iado:
−→
X ′ =

 4 5−1 −2

−→X
Os autovalores da matriz do sistema são λ1 = −1 e λ2 = 3
Um autovetor asso
iado ao autovalor λ1 = −1 é, por exemplo, o autovetor
−→
V1 =
(
1
−1
)
Um autovetor asso
iado ao autovalor λ2 = 3 é, por exemplo, o autovetor
−→
V2 =
(
−5
1
)
Temos asim a solu
ão geral
−→
Xh(t)
−→
Xh(t) = c1
(
1
−1
)
︸ ︷︷ ︸
−→
X1(t)
e−t + c2
(
−5
1
)
︸ ︷︷ ︸
−→
X2(t)
e3t
Consór
io CEDERJ - Fundação CECIERJ 2007/1
Cál
ulo de uma solução parti
ular do sistema não homogêneo
A solução parti
ular (veja a aula 19) pode ser 
al
ulada pela fórmula
−→
Xp(t) = c1(t)
−→
X1(t) + c2(t)
−→
X2(t),
om
c′1(t) =
det
(
4et −5e3t
0 e3t
)
det 
ol [
−→
X1(t),
−→
X2(t)]
,
c′2(t) =
det
(
e−t 4et
−e−t 0
)
det 
ol [
−→
X1(t),
−→
X2(t)]
e
det 
ol [
−→
X1(t),
−→
X2(t)] = det
(
e−t −5e3t
−e−t e3t
)
= −4e−2t
Assim
c′1(t) = −e
2t
∴ c1(t) = −(1/2)e
2t
c′2(t) = −e
t
∴ c2(t) = −e
t
Portanto temos a solução parti
ular
−→
Xp(t) = −(1/2)e
2t
(
1
−1
)
e−t − et
(
−5
1
)
e3t
Deixamos para vo
ê a tarefa de expressar a solução geral do sistema proposto
nas formas vetorial e em termos das funções 
oordenadas x(t) e y(t).
b) x′ = 3x− 4y + et, y′ = x− y + et; x(0) = 1, y(0) = 1
Como sempre, o primeiro passo é es
rever o sistema na forma matri
ial e
al
ular seus autovalores.
De�nindo
−→
X (t) =
(
x(t)
y(t)
)
tem-se que a forma vetorial do sistema é
−→
X ′(t) =
(
3 −4
1 −1
)
−→
X (t) +
(
et
et
)
Consór
io CEDERJ - Fundação CECIERJ 2007/1
Temos um sistema não-homogêneo 
uja solução geral é da forma
−→
X (t) =
−→
Xh(t) +
−→
Xp(t),
sendo
−→
Xh(t) a solução geral do sistema homogêneo asso
iado e
−→
Xp(t) uma
solução parti
ular, que pode ser 
al
ulada pelo método de variação de parâ-
metros.
Observe que o sistema homogêneo asso
iado é o mesmo sistema do primeiro
item do exeer
í
io 1, e assim sua solução geral é
−→
Xh(t) = c1
−→
X1(t) + c2
−→
X2(t) = c1
(
2
1
)
et + c2
(
2t + 1
t
)
et
A solução parti
ular será 
al
ulada pela fórmula
−→
Xp(t) = c1(t)
−→
X1(t) + c2(t)
−→
X2(t),
om
c′1(t) =
det
(
et (2t + 1)et
et tet
)
det 
ol [
−→
X1(t),
−→
X2(t)]
,
c′2(t) =
det
(
2et et
et et
)
det 
ol [
−→
X1(t),
−→
X2(t)]
e
det 
ol [
−→
X1(t),
−→
X2(t)] = det
(
2et (2t + 1)et
et tet
)
= −e2t
Daí
c′1(t) =
−te2t − e2t
−e2t
= t + 1 ∴ c1(t) =
(
t2
2
+ t
)
c′2(t) = −1 ∴ c2(t) = −t
Portanto temos a solução parti
ular
−→
Xp(t) =
(
t2
2
+ t
) (
2
1
)
et − t
(
2t + 1
t
)
et
Consequentemente, a solução geral do sistema apresentado é
X(t) = c1
(
2
1
)
et + c2
(
2t + 1
t
)
et +
Consór
io CEDERJ - Fundação CECIERJ 2007/1
+
(
t2
2
+ t
) (
2
1
)
et − t
(
2t + 1
t
)
et
Novamente �
a para vo
ê a tarefa de expressar a solução geral em termos
das funções x(t) e y(t).
Consór
io CEDERJ - Fundação CECIERJ 2007/1