119 EP 04 tutor

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 04
Soluções
Exercício 1 Uma empresa de consultoria, contratada pela Federação Es-
tadual de Comércio, estimou que o número de supermercados C(t) no Estado
do Rio, que utilizam um sistema de caixa computadorizado (a partir da im-
plantação do sistema no primeiro supermercado, que podemos considerar como
instante inicial t0 = 0 ) é descrito aproximadamente pelo problema de valor
inicial 
dC
dt
= C(1− 0, 0005 C)
C(0) = 1
em que t > 0 é medido em anos.
Quantos supermercados estarão utilizando sistemas computadorizados quando
t = 10?
Quantos supermercados estarão utilizando esse recurso depois de um longo pe-
ríodo de tempo?
Solução:
Conforme observado na primeira sugestão, a equação diferencial do modelo
é uma equação logística (reveja o estudo realizado na Aula 7), com C(t) no lugar
de p(t), a = 1 e b = 0.0005. Então, conforme vimos na Aula 7, o valor de C(t)
é dado por
C(t) =
a C(0)
b C(0) + (a− b C(0))e−at ,
o que nos dá imediatamente a fórmula
C(t) =
1
0, 0005 + (0, 9995)e−t
No tempo t = 10:
C(10) =
1
0, 0005 + (0, 9995)e−10
.
Como está, a resposta não é nada prática. Utilizando uma calculadora, e
avaliando a expressão com seis casas decimais, obtemos;
C(10) = 1833, 593237.
Assim, podemos dizer que o número de supermercados adotando o sistema com-
putadorizado, ao final de 10 anos é 1834 (aproximação otimista), ou 1833 (fa-
zendo uma aproximação pessimista).
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2007/1
Para completar o exercício, calculamos
lim
t→+∞C(t) = limt→+∞
1
0, 0005 + (0, 9995)e−t
=
1
0, 0005
= 2.000 supermercados.
Exercício 2 Resolva a equação diferencial de segunda ordem não-linear
y′′ = 2x(y′)2
Solução: Seja u = y′; então du/dx = y′′, e a equação se torna
du
dx
= 2xu2, ou
du
u2
= 2x dx,
que é uma equação separável, que tem para solução geral
−1/u = x2 + c21,
onde, seguindo a sugestão dada, consideramos a constante de integração como
sendo ťpositiva, o que nos permite escrevê-la na forma c21
Prosseguindo, como u = y′, então temos
dy
dx
= − 1
x2 + c21
,
que é também uma equação separável. Temos
dy = − dx
x2 + c21
Daí ∫
dy = −
∫
dx
x2 + c21
;
ou seja
y = − 1
c1
arctg
(
x
c1
)
+ c2.
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