AP3 ED 2009 1 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3– Equações Diferenciais – 2009/1
Soluções!
Questão 1 [2,5 pts]
Calcule n de modo que µ(x, y) = x−3yn seja fator integrante da equa-
ção
y + x(x2y − 1) y′ = 0, x > 0, y > 0
Solução:
Multiplicando a equação por µ(x, y), obtemos
x−3yny + x−3ynx(x2y − 1)y′ = 0
ou
x−3yn+1︸ ︷︷ ︸
M(x,y)
+ (yn+1 − x−2yn)y′︸ ︷︷ ︸
N(x,y)
= 0
Já que µ é fator de integração, devemos ter
My = Nx
i.é (já efetuando as simplificações),
(n + 1)x−3yn
/ /
= 2x−3yn
/ /
Conseqüentemente
n + 1 = 2, e portanto n = 1.
Questão 2 [2,5 pts]
Calcule r de modo que ϕ1(t) = t
r seja uma solução da equação
t2
d2y
dt2
+ 2t
dy
dt
+
1
4
y = 0 t ∈ (0,+∞).
A seguir, usando o método de redução de ordem, calcule uma segunda
solução da equação,linearmente independente de ϕ1.
Solução:
ϕ1(t) = t
r =⇒ ϕ′1(t) = rtr−1
=⇒ ϕ′′1(t) = r(r − 1)tr−2
Assim
t2 ϕ′′1(t) + 2t ϕ
′
1(t) +
1
4
ϕ1(t) = 0 ⇐⇒ r(r − 1)tr + 2rtr + t
r
4
= 0
⇐⇒ tr
[
r(r − 1) + 2r + 1
4
]
= 0
⇐⇒ r2 + 4 + 1
4
= 0 (pois t 6= 0⇒ tr 6= 0)
⇐⇒
(
r +
1
2
)2
= 0
⇐⇒ r = −1
2
Portanto para r = −1
2
temos a solucão ϕ1(t) = t
−1/2
Para calcular uma segunda solução pelo método de reduçãp de
ordem, primeiramente escrevemos a equação na forma normal:
y′′ +
2
t
y′ +
1
4t2
y = 0
A segunda solução é dada por
ϕ2(t) = ϕ1(t)
∫
e−
R
(2/t) dt
[ϕ1(t)]2
dt = t−1/2
∫
eln t
−2
t−1
dt = t−1/2
∫
t−1 dt.
2
ϕ2(t) = t
−1/2 ln t.
Questão 3 [2,5 pts]
i) Resolva o Problema de valor inicial
−→
X ′ =
( −a 1
−1 −a
)−→
X,
−→
X (0) =
[
1
0
]
,
ii) Mostre que, se a > 0, a solução do item anterior,
−→
X (t) =
[
x(t)
y(t)
]
, é
tal que
lim
t−→+∞
√
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 0.
Solução: i) Cálculo dos autovalores da matriz do sistema:
det(λI − A) = 0 ⇐⇒ (λ + a)2 + 1 = 0
⇐⇒ λ = −a± i
Cálculo de um autovetor pertencente ao autovalor λ1 = −a + i:(
i −1
1 i
)(
x
y
)
=
(
0
0
)
por exemplo,
−→
VC =
(
1
i
)
Temos então a solução complexa:
−→
XC(t) =
(
1
i
)
e(−a+i)t, a qual -
utilizando a fórmula de Euler - se escreve como
−→
XC(t) =
(
e−atcos t + i e−atsen t
−e−atsen t + i e−atcos t
)
Então uma solução geral, real, do sistema dado é
−→
X (t) = c1
(
e−atcos t
−e−atsen t
)
+ c2
(
e−atsen t
e−atcos t
)
3
Impondo a condição inicial:
−→
X (0) =
(
1
0
)
= c1
(
1
0
)
+ c2
(
0
1
)
,
de onde calculamos c1 = 1, c2 = 0.
Então a solução do problema de valor incial apresentado é
−−→
X(t) =
(
e−atcos t
−e−atsen t
)
ii) Temos x(t) = e−atcos t, y(t) = −e−atsen t,
de modo que
x(t)2 + y(t)2 =
(
e−at
)2
(cos2t + sen2t) =
(
e−at
)2
Portanto
lim
t−→+∞
√
[x(t)]2 + [y(t)]2 = lim
t−→+∞
e−at = 0, pois a > 0 �
Questão 4 [2,5 pts]
Calcule a solução geral de{
x′ = x−√3 y + e−2t
y′ = −√3 x− y
Solução:
Em primeiro lugar, calculamos a solução geral do sistema homogê-
neo associado, {
x′ = x−√3 y
y′ = −√3 x− y
Na forma matricial, temos
−→
X ′(t) =
(
1 −√3
−√3 −1
)
︸ ︷︷ ︸
A
−→
X
4
A equação dos autovalores de A é
λ2 − 4 = 0
de modo que temos os autovalores λ1 = −2 e λ2 = 2.
Calculamos, em seguida, autovetores pertencentes a λ1 e a λ2:
Para λ = −2, devemos resolver:( −3 √3√
3 −1
)(
v1
v2
)
=
(
0
0
)
Obtemos v2 =
√
3v1, e escolhemos, por exemplo,
−→
V1 =
(
1√
3
)
, o
que nos dá uma primeira solução
−→
X1(t) =
(
1√
3
)
e−2t
Para λ = 2, resolvemos :(
1
√
3√
3 3
)(
v1
v2
)
=
(
0
0
)
que nos dá a relação v1 = −
√
3v2, e escolhemos, por exemplo,
−→
V2 =
( −√3
1
)
. Temos assim uma segunda solução
−→
X2(t) =
( −√3
1
)
e2t
A solução geral do sistema homogêneo associado é
−→
X (t) = c1
(
1√
3
)
e−2t + c2
( −√3
1
)
e2t.
Observemos que
det{col[−→X1(t),−→X2(t)]} = det
(
e−2t −√3e2t
√
3e−2t e2t
)
= 1 + 3 = 4
5
Conforme o método de variação dos parâmetros, temos uma solução
particular −→
Xp(t) = c1(t)
−→
X1(t) + c2(t)
−→
X2(t),
com
c1(t) =
∫ det( e−2t −√3e2t
0 e2t
)
4
dt =
∫
1
4
dt =
t
4
e
c2(t) =
∫ det( e−2t e−2t√
3e−2t 0
)
4
dt =
∫
−
√
3
4
e−4t dt =
√
3
16
e−4t
Uma solução geral do sistema{
x′ = x−√3 y + e−2t
y′ = −√3 x− y
é
−→
X (t) = c1
(
1√
3
)
e−2t+c2
(−√3
1
)
e2t+
t
4
(
1√
3
)
e−2t+
√
3
16
e−4t
(−√3
1
)
e2t.
ou
x(t) = c1 e
−2t −√3 c2 e2t + t
4
e−2t − 3
16
e−2t
y(t) = c1
√
3 e−2t + c2 e
2t +
√
3
4
t e−2t +
√
3
16
e−2t. �
6