Exercícios AP1 2014 2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios para a AP1
Mensagem do Coordenador:
Caros alunos(as),
Esta lista contém alguns exercícios resolvidos para ajudá-los na prepararação para a 1a
A.P. de Equações Diferenciais.
Bons estudos e boa avaliação!
Um abraço
Pedro Nobrega
1. Identifique as equações de Riccati na lista abaixo:
(a) xy′ + x y2 = y
(b) x2 y′ + y3 = x y2
(c) xyy′ + x2 = (2x+ 3) y
(d) y′ + y + y2 =
√
x
Comentário: O nosso critério para a identificação de equações de Riccati, pelo
menos neste curso, tem sido o de verificar se a equação está ou pode ser posta na
forma padrão das equações de Riccati:
y
′ + a2(x) y
2 + a1(x) y + a0(x) = 0.
Observe que, algumas vezes temos de “trabalhar a equação” para re-escrevê-la na
forma padrão. Mesmo às custas de restringir os domínios das variáveis.
2. Identifique as equações que são exatas ou localmente exatas na lista abaixo:
(a) x2 dx+ x(x+ 1) dy = 0
(b) xy2 dx+ cos(xy − 3) dy = 0
(c) (x+ y) dx− 3y3x2 dy = 0
(d) 2x3 dx− (x− 1)2 dy = 0
Comentário: Como no exercício 1, algumas vezes é necessário “trabalhar a equa-
ção” para re-escrevê-la numa forma reconhecível. Mesmo às custas de restringir os
domínios das variáveis.
3. Resolva as equações (a) e (d) do exercício precedente.
4. Faça o que se pede:
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(a) Mostre que se y e v são funções da variável x, tais que y = xv, então
dy
dx
= v + x
dv
dx
(b) Calcule x
dy
dx
e y2
(c) Escreva a equação que é obtida após sustituir y = xv na equação de Riccati
xy
′ − y + y2 = x
(d) Mostre que a equação obtida após a substituição sugerida no item (c) é uma
equação separável.
Comentário: Este exercício é bem interessante. No início dos trabalhos com equa-
ções diferenciais, o método mais geral de obtenção de soluções era o de separação de
variáveis. O exercício mostra comoseparar variáveis de um certo tipo de equações
de Riccati.
5. Mostre que a mudança de variáveis y = x2v, (
dy
dx
= 2xv + x2
dv
dx
)
transforma a equação de Riccati xy′−2y+by2 = cxn numa uma equação separável.
Obs; b, c, n são constantes reais arbitrárias.
Comentário: As ações necessárias para resolver este exercício são exatamente as
mesmas usadas para resolver o exercício imediatamente precedente!
6. Para cada curva C dada por sua equação cartesiana, determine o conjunto de todas
as curvas que cortam C perpendicularmente:
(a) C : 2x− y + 3 = 0
(b) C : (x− 1)2 + (y − 1)2 = 1
(c) C : 2y + x2 = 0
Comentário: As curvas que cortam C perpendicularmente também são chamadas
de trajetórias ortogonais à curva C.
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