GRA1645 Numeros Complexos - Prova Unidade 1

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UNIDADE 01 
 
Atividade 1 & 2 – Prova 
 
01 - A ideia básica da integração é que muitas quantidades podem ser calculadas se forem quebradas em pedaços peque-
nos e, depois, soma-se a contribuição que cada parte dá, nos permitindo calcular desde quantidades pequenas até valo-
res volumétricos. 
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo, vol 1. 11 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, determine a integral de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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02 - “Inicialmente, estudamos as curvas como gráficos de funções ou equações, envolvendo as duas variáveis x e y. Com a 
parametrização, introduzimos outra forma de descrever uma curva expressando ambas as coordenadas como funções de 
uma terceira variável t.” 
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo, vol 2. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 77. (Adaptado) 
 
A resolução de situações-problema envolvendo cálculo avançado, utilizando a representação paramétrica de uma curva, 
pode ser muito útil. Por meio da parametrização, calcule a integral. 
 
 
sendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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03 - Os números complexos surgiram a partir da necessidade de resultados em casos em que não havia solução no campo 
dos números reais, e sua aplicação se estendeu às funções de variáveis complexas. O estudo de uma função de variável 
complexa nos permite determinar a parte real e a parte imaginária de uma função. 
Denominando a parte real por u e a parte imaginária v, determine da função 
 
 
 
04 - É comum vermos as pistas de carrinho de corrida no formato circular, podemos pensar que uma das vantagens desse 
formato é a economia de espaço e a facilidade da visualização dos carrinhos ao percorrem a pista. Uma pista de carrinho 
de corrida possui o formato de um círculo, cujo raio são 2 m. O carrinho de corrida percorre a pista no sentido anti-horá-
rio. 
 
 
 
 
 
 
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05 - Analise a figura a seguir: 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, calcule: 
 
 
 
em que C é a metade superior do círculo unitário e assinale a alternativa que apresenta o resultado cor-
reto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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06 - “Em vez de pensar em uma curva como um gráfico de uma função ou equação, consideramos uma forma mais geral 
de pensar em uma curva como a trajetória de uma partícula em movimento, cuja posição está mudando ao longo do 
tempo. Então, cada uma das coordenadas de x e y da posição da partícula se torna uma função de uma terceira variável t. 
Podemos ainda alterar a forma na qual os pontos no plano são descritos utilizando coordenadas polares em vez das re-
tangulares ou cartesianas. Essas duas novas ferramentas são úteis para a descrição de movimentos, como os dos planetas 
e satélites, ou projéteis se deslocando no plano ou espaço.” 
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo,vol 2. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 77. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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07 - Podemos calcular a integral de uma função por meio de somas parciais, assim como em algumas figuras ou curvas, 
considerando-as compostas e realizar os cálculos parcialmente. Considere a seguinte figura: 
 
 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine a integral , sendo C composto por um 
arco de uma parábola de (0,0) e (1,1), e pelo segmento de uma reta vertical de (1,1) e (1,2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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08 - O cálculo de uma integral nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até consumo de 
energia e forças que atuam contra as comportas de uma represa. O estudo de seus conceitos e propriedades é de suma 
importância para que se determine corretamente uma integral. 
 
Vamos considerar o valor da integral uma curva fechada no plano complexo e z 
uma variável complexa. Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) Quando n for igual a -1, será nulo e for uma circunferência dada por 
II. ( ) Será nulo para todo e quaisquer curvas fechadas que passar por a. 
III. ( ) Nulo para e qualquer curva fechada , sendo que é derivada de . 
IV. ( ) Será nulo para todo e quaisquer curvas abertas que passar por a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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09 - A integral de uma função de duas variáveis no plano também pode ser chamada de integral múltipla. O cálculo de 
uma integral pode ser dado por meio de função de variáveis reais, assim como de variáveis complexas. Neste último caso, 
abordaremos uma integração complexa. 
 
Considere um dado círculo , cujo centro esteja na origem e seu raio seja 3. A partir da função , 
definida para todo Assim, e considerando o conteúdo estudado, determine f(2i). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 - Os elementos e conceitos do cálculo avançado são muito empregados em situações reais, seu estudo é evidente nas 
engenharias, na solução tanto de problemas de dimensões microscópicas quanto macroscópicas. Dito isso, considere a 
situação a seguir: Uma peça móvel de um maquinário percorre um caminho de formato elíptico dado 
por no sentido anti-horário, sobre uma força 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, responda: qual é o trabalho realizado?