REVISÃO UNIDADE 1 Cálculo Diferencial e Integral II

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Cálculo Diferencial e Integral II
Unidade 1
Introdução às integrais e suas aplicações
ÍNDICE
1. Revisão da unidade
2. Estudo de caso
3. Síntese
4. Encerramento
1- Revisão da unidade
Vamos rever os conceitos de cálculos de áreas com as integrais.
IntegraisPrimeiramente, estudamos as integrais, vamos rever alguns conceitos
importantes. Seja função f (x) > 0 a integral pode ser interpretada como a área S abaixo
da curva f(x) entre e x = a e x = b, isto é,
Na Figura 1, há a área sombreada S. Para determinar essa área, devemos resolver a
integral:
Integrais
Para resolver a integral e determinar a área , há alguns métodos. Entretanto, de forma
eficiente e precisa, o Teorema Fundamental do Cálculo é utilizado. Ele afirma que
onde F é qualquer primitiva de f(x), isto é, F é uma função tal que F'(x) = f(x).
Em outras palavras, a primitiva seria a função que, após ser derivada, originará f(x). 
Dessa forma, teremos que:Dessa forma, teremos que:
Veja que, após encontrar a primitiva na primeira linha, foi aplicado o Teorema
Fundamental do Cálculo, substituindo o limite de integração superior na primitiva “menos”
o limite de integração inferior substituído na primitiva. Portanto, a região sombreada S tem
área exata de 2 unidades quadradas. 
Ainda há o caso da área entre duas curvas. Nessa situação, fazemos a integração da
função f(x) que delimita a região superiormente menos a função g(x) que delimita
inferiormente a área, com os limites de integração adequados, isto é
Um exemplo está na Figura 2. 
Para determinar a área da imagem, devemos fazer:
Para determinar a área da imagem, devemos fazer:
Portanto, a área da região entre as duas curvas é de, aproximadamente, 5,8693 unidades
quadradas de área. Importante lembrar que, em cálculo de integrais trigonométricas,
devemos utilizar o ângulo medido em radianos. Além da aplicação das integrais para obter
áreas de curvas, estudamos também as integrais para resolver equações diferenciais. 
Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções que
aparecem na equação em forma de derivadas. As integrais são úteis para resolver
equações diferenciais, em especial, as do tipo separável (aquelas que podemos separar
em duas funções) e com valores iniciais.
Por exemplo, veja o seguinte problema de valor inicial:
Nesse problema, estamos procurando uma função y = f(x) que vale a igualdade acima.
Note que essa é uma equação separável, pois separamos a função de x e y. Agora,
precisamos deixar de um lado somente , e do outro lado somente y.
Integrando ambos os lados, teremos: Solando o y, teremos:
Então, a função que resolve a equação diferencial apresentada é 
Para determinar o valor da constante K, temos a condição inicial para x = 0 e y = 1.
Substituindo na solução, teremos:
Dessa forma, K = 1 e, portanto, pela condição inicial, temos
.
Dessa forma, estudante, chegamos ao fim da revisão. 
Espero que as integrais tenham despertado o seu interesse. 
Bons estudos!
Videoaula
Nesta videoaula, apresentamos as integrais, o conceito de soma de Riemann para
determinar a área abaixo de uma curva e relacionamos essa soma com as integrais. 
Além disso, apresentamos o importantíssimo Teorema Fundamental do Cálculo. Após
essa etapa, abordamos e exemplificamos regras para a integração de certas funções
2- Estudo de caso
Vamos relacionar os nossos conhecimentos com uma situação da nossa
realidade.
Apresentação
Olá, estudante! Buscando contextualizar o conteúdo trabalho na unidade e auxiliar sua
aprendizagem, comece imaginando que você é um engenheiro iniciante e recentemente
abriu uma empresa para prestar consultorias em uma região da sua cidade. 
Em um certo dia, um possível cliente, morador local e membro da associação de
moradores da região, acabou chegando à sua nova empresa à procura de ajuda. 
Após se apresentarem, o cliente lhe conta a seguinte história: no bairro, há uma praça
grande e bem conhecida da população. 
O urbanista que projetou essa parte do bairro, incluindo a praça, é um grande amante da
matemática e, em praticamente em todos seus projetos, fazia questão de fazer
referências aos diversos elementos matemáticos. Dessa forma, até a praça tem uma
história matemática por trás dela: o projeto dela se baseia em uma região limitada por
funções matemáticas (nesse momento, o cliente fez um desenho esboçando a praça e as
curvas matemáticas).
Figura 3 | Esboço da praça e das curvas na qual a praça é baseada
Fonte: elaborada pelo autor.
Após apresentar o esboço da praça, o cliente lhe faz o seguinte pedido: “Senhor
engenheiro, nós, da associação de moradores, desejamos urgentemente saber a área
dessa praça. Precisamos desse valor para poder apresentar uma reposta a um programa
da prefeitura. Você pode nos ajudar agora?”. 
Antes de você responder, o cliente acabou lembrando que as unidades de medidas
consideradas pelo urbanista são em centenas de metros. Após isso, ele pergunta
novamente se você pode ajudá-lo.
Após ouvir tudo o que lhe foi contado, você ficou admirado com a história de como o
urbanista acabou fazendo seu projeto. Nesse momento, você, como um profissional
qualificado, muito bem formado e com apreço ao cálculo diferencial e integral,
primeiramente, agradeceu o cliente pela procura e, em seguida, lhe disse que era muito
fácil ajudar. 
Ainda, comentou que poderia resolver o problema imediatamente, devido às condições
históricas da praça, sem nem mesmo precisar sair do escritório.
Mas, e agora, como você fará para responder ao cliente sobre a área da praça? 
Note que essa é uma pergunta muito interesse. Você não pode deixar esse momento
passar, é a hora de mostrar seus conhecimentos em cálculo diferencial e integral; além
disso, é o momento de mostrar serviço e fazer um cliente importante. 
Veja que, durante a unidade, exploraremos os conteúdos necessários para
a compreensão adequada desse assunto. 
Boa atividade! 
Reflita
Você já pensou como se calcula áreas de terremos com formatos “diferentes"? Isso
mesmo, diferentes! Áreas de formatos triangulares, retangulares, circulares, entre outras
formas conhecidas, podemos calcular utilizando fórmulas amplamente conhecidas, mas
áreas que saem desse padrão necessitam de outras ferramentas. 
Apesar de haver alguns tipos diferentes de métodos, as integrais são um dos métodos
mais utilizados e recorridos para determinar áreas com formas gerais. Você deve estar
pensando que são os softwares que calculam, e sim, são eles. Mas, é comum que, na
programação desses softwares, existam ferramentas de cálculos de áreas baseadas em
integrais, sendo que, em alguns casos, são utilizadas as funções e, em outras,
aproximações por somas.
Além dessas ideias de se obter áreas por meio de integrais, essa ferramenta matemática
está presente na resolução de diversos problemas. Em alguns, não diretamente e, em
outros, mais diretamente, porém é muito comum o uso de integrais para a resolução de
problemas, em especial, problemas oriundos de pesquisas. Dessa forma, você deve ter
concluído que a integral é, de fato, uma ferramenta muito importante. 
Resolução
É o momento de resolver o estudo de caso. Relembrando brevemente, você tem um
cliente que deseja saber a área de praça. Ele lhe contou uma história interessante sobre o
projeto da praça: ela tem um formato específico, que foi baseado em uma região
matemática compreendida entre duas curvas. 
Após isso, o cliente lhe apresentou o esboço desse esquema da praça, com as curvas
consideradas para a inspiração de seu formato. Por fim, pediu sua ajuda para calcular
a área dessa praça, sendo um pedido urgente. 
Então, você recebeu o pedido do cliente e lhe informou que é fácil de resolver o problema,
pois, dadas as funções, é prático calcular as áreas por elas. 
Veja novamente o esboço da praça, mostradoanteriormente na Figura 3. 
Colocaremos a mão na massa e resolveremos o problema. Relembrando o conteúdo
dessa unidade, é muito simples determinar a área. Nesse caso, temos uma região
delimitada por duas curvas e retas verticais. 
Logo nessa situação, fazemos a integração da função que delimita a região
superiormente subtraindo a função que está delimitando inferiormente a área, com os
limites de integração adequados das retas verticais. 
Levando em consideração o esboço da nossa praça, temos que a curva superior é 
a função que limita inferiormente é 
sendo que as retas verticais que delimitam a região são x = -1 e x = 1.
Portanto, utilizando integrais, a área da praça será dada pela expressão:
Agora, resolvendo a integral, teremos:
Logo, a área da praça é exatamente 6,8 unidades quadradas de área. No nosso caso,
o cliente informou que o urbanista utilizava centenas de metros para determinar seus
projetos. Então, devemos multiplicar 6,8 por 10.000, pois 100x100=10.000. Portanto, a
área da praça é de 68.000 m2. 
Dessa forma, caro estudante, por um método simples, conseguimos obter a área de uma
região somente conhecendo as curvas que a delimitam. Pode ser que, na prática, não
seja exatamente dessa forma, mas diversos softwares usam o conceito de integrais para
determinar áreas. Além disso, se for possível aproximar uma determinada região por
funções matemáticas, podemos determinar a área dela. Lembrando que o conceito de
área não fica restrito apenas às superfícies; ele também pode se aplicar em forças,
densidade, probabilidades, energia, entre outras. 
3- Síntese 
Vamos relembrar conceitos de gradiente e integrais duplas, e suas
aplicações aprendidos nessa unidade. 
Síntese da aula
Você pôde internalizar conceitos fundamentais sobre cálculo das áreas com as integrais. 
Além disso, aprendeu sobre esse processo por meio da prática. 
E para finalizar vamos organizar os conceitos acessando o inforgráfico abaixo.
4- Encerramento
Com o conteúdo exposto, esperamos que você tenha compreendido os conceitos e 
aplicações desta unidade e Incentivamos que você se aprofunde nessa temática. 
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. 
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso
em: 26 dez. 2022. 
PRADO, S. do; PRADO, S. T. G. do; OLIVEIRA, L. de. Uma proposta diferenciada para o 
estudo de aplicações de integrais. Anais do Salão Internacional de Ensino, Pesquisa e 
Extensão, v. 9, n. 1, fev. 2020. Disponível em: 
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573. Acesso em: 26 
dez. 2022. 
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage 
Learning Brasil, 2021. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 
2022. 
ZILL, D. G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 10. Ed. São Paulo, 
SP: Cengage Learning Brasil, 2016. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124022/. Acesso em: 26 dez. 
2022.