Flexão exercicios

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Resistência dos Materiais II
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Capítulo 3
Flexão
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Flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão 
de compressão do outro lado.
3.1 – Revisão
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3.2 – A fórmula da flexão
O momento resultante na seção transversal é igual ao momento 
produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo 
neutro.
I
My

σ = tensão normal no membro
M = momento interno
I = momento de inércia
y = distância perpendicular do eixo neutro
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Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a
área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular
ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao
longo do eixo neutro.
Agora veremos como fica a fórmula da
flexão para uma viga com momento
interno resultante que aja em
qualquer direção.
3.3 – Flexão Reta ou Normal
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3.4 – Flexão Oblíqua
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Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na 
seção transversal, em termos gerais, como:
y
y
z
z
I
zM
I
yM

σ = tensão normal no ponto
y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z
My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionados ao 
longo dos eixos y e z
Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos 
y e z
Momento aplicado arbitrariamente
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O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos:
IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado
pela regra da mão direita. 
Ângulo 𝜭 – sentido do +z para +y até encontrar o M
Ângulo α – sentido do +z para +y até encontrar LN
ou seja horário positivo, anti-horário negativo.
Orientação do eixo neutro
yz
z y
M zM y
0
I I
  
yz
z y
M zM y
I I

y z
z y
M I z
y
M I

z
y
y Msen I
z Mcos I



z
y
y tg I
z I


z
y
I
tg tg
I
  
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Exemplo 1 -
A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um 
momento fletor M=12kNm. Determine a tensão normal desenvolvida em cada 
canto da seção.
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Vemos que os eixos y e z representam os eixos principais de inércia, uma vez 
que são os eixos de simetria para a seção transversal. 
O momento decomposto em suas componentes y e z, onde:
Os momentos de inércia em torno dos eixos y e z são:
4
(12 ) 9,60
5
3
(12 ) 7,20
5
y
z
M kNm kNm
M kNm kNm
   
 
  
  
3 3 4
3 3 4
1
0,2 0,4 1,067 10
12
1
0,4 0,2 0,267 10
12
z
y
I m
I m


  
  
yz
z y
M zM y
I I
   
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Tensão de flexão:
 33
3 4 3 4
9,60 10 0,17,2 10 0,2
 
1,067 10 0,267 10
 2,25 MPa
yz
z y
B
B
M zM y
I I
Nm mNm m
m m



 
  
    
  
 

 33
3 4 3 4
9,60 10 0,17,2 10 0,2
 
1,067 10 0,267 10
 4,95 MPa
C
C
Nm mNm m
m m


 
   
  
 
 
 33
3 4 3 4
9,60 10 0,17,2 10 ( 0,2)
 
1,067 10 0,267 10
 2,25 MPa
D
D
Nm mNm m
m m


 
    
  
 
 
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 33
3 4 3 4
9,60 10 0,17,2 10 ( 0,2)
 
1,067 10 0,267 10
 4,95 MPa
E
E
Nm mNm m
m m


 
     
  
 

2,25 4,95
(0,2 )
0,45 2,25 4,95
0,0625
MPa MPa
z m z
z z
z m


 

Orientação do eixo neutro: a
localização do z do eixo neutro NA
pode ser determinada por cálculo
proporcional. Ao longo da borda BC,
exige-se:
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3 4
3 4
tg tg
1,067 10
tg tg(-53,1°)
0,267 10
 79,4
 306,9
z
y
I
I
m
m
 








  

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Exemplo 2 -
Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a 
tensão normal máxima na viga.
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Ambas as componentes do momento são positivas. Temos
 
  kNm 50,730sen15
kNm 99,1230cos15


z
y
M
M
Para propriedades da seção, temos
       
     
m 0890,0
2,003,004,01,0
2,003,0115,004,01,005,0






A
Az
z
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Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da 
inércia são:
       
      
         4623
23
4633
m 1092,13089,0115,003,02,003,02,0
12
1
 
05,0089,004,01,01,004,0
12
1
m 1053,202,003,0
12
1
04,01,0
12
1

















y
z
I
I 2AdII 
A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre
em C.
 
 
 
 
3 3
6 6
7,5 10 0,1 12,99 10 0,041
 
20,53 10 13,92 10
 74,8 MPa
yz
z y
B
B
M zM y
I I



 
  
  
  

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 
 










6,68 
60tg
1092,13
1053,20
tg
6
6


 
 
 
 6 6
7,5 0,02 12,99 0,089
 90,3 MPa 
20,53 10 13,92 10
C C      
 tg -300
 
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1)O momento fletor é aplicado à viga com a seção transversal indicada na
figura. Determine o valor das tensões normais de flexão nos pontos A, B e
D. Respostas:
Exercício de fixação
100,1 , 24,93 e 100,1A B DMPa MPa MPa     
yz
z y
M zM y
I I
   
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3.5 – Cargas combinadas-
Flexão + carga axial
Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado, em uma 
estrutura sobre um rio. A viga sofre flexão normal ou reta. Se essa 
estrutura suporta o empuxo lateral do terreno, sofre compressão.
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Exemplo de flexão oblíqua composta: mesa de quatro pés. 
Analisando um dos pés, vemos que chegam duas traves (vigas) e são 
pregadas. Cada trave transporta ao pé da mesa um momento fletor. A 
soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo. 
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Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento. Despreze o peso do 
elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
Exemplo 3-
15000 50 750000zM   
Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo 
no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My
é nulo.
C
B
y
z
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     
     
3
3
15.000 750.000
50
1100 40
40 100
12
3,75 MPa 11,25 MPa= -15MPa
15.000 750.000
( 50 )
1100 40
40 100
12
3,75 MPa+11,25 MPa= 7,5MPa
C
C
B
B
N Nmm
mm
mm mm
mm mm
N Nmm
mm
mm mm
mm mm





  
  

   
 
Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo 
no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My
é nulo.
yz
x
z y
MMP
y z
A I I
    
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Elementos de material em B e C estão submetidos as tensões normais:
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O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 
40 kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal 
que age sobre uma seção que passa por ABCD.
Exemplo 4-
40 0,2 8
40 0,4 16
z y
y z
M Pe kN m kNm
M Pe kN m kNm
   
    
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Para a distribuição uniforme da tensão normal temos
     
 
  
 3 3
40 8 16
0,2 0,4
0,8 0,4 0,8 0,4 0,4 0,8
12 12
125 kPa+375kPa+375kPa=625kPa
125 kPa-375kPa+375kPa=-125kPa
125 kPa-375kPa-375kPa=-875kPa
125 kPa+375kPa-375k
yz
x
z y
A
A
B
C
D
MMP
y z
A I I
kN kNm kNm
m m
m m m m m m






   
 
     
 
 
 
  Pa=-125kPa
0,2 z= 0,4
0,2 z= 0,4
0,2 z=+0,4
0,2 z=+0,4
A y m m
B y m m
C y m m
D y m m
   
   
  
  
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2) O bloco está sujeito às duas cargas mostradas abaixo. Calcule as
tensões normais que agem na seção transversal no corte a-a nos pontos A
e B. Respostas:
Exercício de fixação
25 75A Bpsi e psi    
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Exercício de fixação - extra
Uma edificação é composta por três pavimentos, cada um formado por
uma laje de concreto de 4x6m, com 15cm de espessura, suportanto uma
carga uniformemente distribuída de 1,5kN/m2. Cada laje está apoiada em
vigas de contorno com seção de 12x28cm, as quais se apoiam em quatro
pilares de 20x30cm nas extreminades da edificação. Calcule as máximas
tensões normais no pilar.
γ=25kN/m3
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Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas
vigas compostas.
A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo.
Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção
feita de um único material e utilizar a fórmula.
3.6- Vigas Compostas
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Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material
homogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após a
flexão, e por consequência, as deformações normais variarão linearmente
de zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo.
O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICO
material.
Método da seção transformada
1
2
E
E
 
 


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A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição
de deformações.
1
2
E
n
E

1 + rígido 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído!
O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes
materiais que compõem a viga.
2
1
'
E
n
E

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Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser
multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga
verdadeira.
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Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço
localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada
na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine
a tensão normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.
Exemplo 5 -
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Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço, substituindo a 
madeira.  aço mad 0,06 150 9 mmb nb mm  
A localização do centroide (eixo neutro) é
       
     
m 03638,0
15,0009,015,002,0
15,0009,0095,0150,002,001,0






A
Ay
y
A seção transformada é mostrada na figura ao lado.
mad
aço
12
0,06
200
E
n
E
  Resistência dos Materiais II
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Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é      
      
 
3 2
3 2
6 4
1
0,15 0,02 0,15 0,02 0,03638 0,01
12
1
 0,009 0,15 0,009 0,15 0,095 0,03638
12
 9,358 10 m
LNI

 
   
 
 
   
 

Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C 
é
 
 
 
 
' 6
6
2 0,17 0,03638
28,6 MPa
9,358 10
2 0,03638
7,78 MPa 
9,358 10
B
C C
M
y
I

 



    

   
A tensão normal na madeira em B é .
 ' 0,06 28,56 1,71 MPaB B Bn       
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3) Uma barra constituída de aço e latão tem seção indicada abaixo.
Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeita
à flexão pura com o momento M=2kNm. Respostas em módulo:
Exercício de fixação
200 , 100aço latE GPa E GPa  aço máx 500MPa  lat máx 250MPa 
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4) A fim de reforçar a viga de aço, colocou-se entre seus flanges uma
tábua de carvalho como mostra a figura abaixo. Se a tensão normal
admissível do aço é e da madeira , qual
momento fletor máximo que a viga pode suportar, com e sem o reforço?O
momento de inércia da viga de aço é , e sua área da seção
transversal é .
Respostas: sem reforço M=116kip.in
com reforço M=172kip.in
Exercício de fixação
  24adm aço ksi    3adm mad ksi 
3 329 10 , 1,6 10aço madE ksi E ksi   
420,3zI in
28,79A in
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5) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio,
formando a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar o
maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um
eixo horizontal.
Respostas: M=3,08kNm
Exercício de fixação  160adm lat MPa   100adm alum MPa 70
alum
E GPa105latE GPa
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Vigas de concreto armado
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A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a 
figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN∙m, determine 
a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal 
máxima no concreto. Considere Eaço = 200 GPa e Econc = 25 GPa.
Exemplo 6 -
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A área total de aço é 
   22aço mm 9825,122  A
Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro.
 
 
  2
3
3
aço mm 856.7982
1025
10200
'  nAA
   
2
0
'
300 ' 7.856 400 ' 0
2
' 52,37 ' 20.949,33 0 ' 120,9 mm
 ' 173,3mm 
yA
h
h h
h h h
h

  
    
 

 
 
3
aço
3
conc
200 10E
n 8
E 25 10
  
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O momento de inércia da seção transformada, calculado em 
torno do eixo neutro, é
  
   
3 2
2
z
6 4
z
300 120,9 120,9
I 300 120,9 7.856 400 120,9
12 2
I 788,67 10 mm
  
      
  
 
Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, a tensão normal 
máxima no concreto é
 
 
 
6
conc 6 4máx
conc máx
60 10 120,9
788,67 10
9,20 MPa 
z
z
Nmm mmM y
I mm



   

 
Resistência dos Materiais II
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
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aço conc
aço
' 8 21,23
169,84 MPa
n 

  

A tensão normal em cada uma das duas hastes é, portanto,
 6
conc 6 4
60 10 400 120,9
' 21,23 MPa
788,67 10
Nmm mm
mm
        

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6) Uma laje de concreto tem barras de aço de 16mm de diâmetro a cada
150mm, colocadas a 20mm acima da face inferior da laje. Os módulos de
elasticidade são 21GPa para o concreto e de 210GPa para o aço. Sabendo-
se que um momento fletor de 4kNm está aplicado à cada 30cm de largura
da laje, determinar: (a) a máxima tensão no concreto; (b) a tensão no aço.
Respostas:
Exercício de fixação
 conc máx( ) 7,7a MPa  aço( ) 114,8b MPa 
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7) A viga de concreto armado está reforçada por duas barras de aço. Se o
esforço de tração admissível para o aço for e o esforço
de compressão admissível para o concreto , qual momento
máximo M poderá ser aplicado à seção? Supor que o concreto não suporta
esforço de tração.
Resposta: M=1168,8kip.in
Exercício de fixação
  40adm aço ksi 
  3adm conc ksi 
3 329 10 , 3,8 10aço concE ksi E ksi   