ATIVIDADE com gabarito de Fundamentos de Geometria II

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1) (25 pontos). Prove que o axioma de congruência de triângulos é de fato um axioma, ou 
seja, é independente dos demais axioma que o antecede. 
O que queremos provar é que existe um modelo que satisfaz todos os axiomas anteriores ao 
axioma de congruência de triângulos, mas que não o satisfaça. Assim, basta tomar o modelo de 
Moulton e exibir dois triângulos onde valem a hipótese do axioma de congruência de 
triângulos, mas não vale a tese. 
No modelo de Moulton considere a figura 1 
 
 
 
 
 
Utilizando de nossa imaginação, podemos "descolar" os dois triângulos de Moulton da figura 1 
e nomeá-los como triângulo ABC e triângulo A’B’C’ como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Isto mostra que os dois triângulos de Moulton satisfazem as hipóteses do axioma de 
congruência de triângulos, pois possuem LAL respectivos congruentes, contudo os dois 
triângulos ABC e A’B’C’ não são congruentes. De fato, veja na figura 1que a reta AB é uma reta 
quebrada, logo a medida do ângulo α é maior que a do ângulo β. 
 
Disciplina: Fundamentos de Geometria II 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
REGIONAL CATALÃO 
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIA 
CURSO DE MATEMÁTICA EaD 
 
ATIVIDADE 1 - REPERCURSO 
 Professor: Márcio Roberto Rocha Ribeiro 
figura 1 
Note que já estamos estabelecendo uma correspondência entre 
os vértices nos triângulos de Moulton: A com A’, B com B’ e C 
com C’, de tal forma que AC = A’C’, 𝐴 = 𝐴′ e AB=A’B’ 
(LAL). De fato, os lados AC, A’C’, AB e A’B’são segmentos 
cartesianos e todos possuem a mesma medida 1. Os ângulos 
𝐴 e 𝐴′ são ângulos retos cartesianos, portanto possuem mesma 
medida. 
C 
A B 
β 
B
’ 
A
’ 
C
’ 
α 
2) (25 pontos). Duas retas são cortadas por uma reta transversal. Mostre numa figura os 
ângulos correspondentes, os ângulos alternos-internos, os ângulos alternos-externos, os 
ângulos colaterais internos, os ângulos colaterais externos. 
 
 
 
 
fonte da imagem: http://slideplayer.com.br/slide/3945744/ 
 
 
3) (25 pontos). Na geometria Neutra demonstre o seguinte teorema: 
Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas. 
. Demonstração do teorema. Sejam r e s duas retas perpendiculares a uma terceira reta t pelos 
pontos A e B, respectivamente (veja fig. 2). Assim, r e t determinam um ângulo de 90º assim 
como s e t(veja fig. 2). O teorema (22L) garante que os ângulos alternos-internos também são 
de 90º (veja fig. 3). Agora o Lema dos ângulos alternos-internos* afirma que r e s são 
paralelas. 
*Lema dos ângulos alternos-internos (ou correspondentes).Se os ângulos alternos-internos 
(ou ângulos correspondentes) formados por uma transversal com duas retas r e s são iguais, 
então r e s são paralelas. 
 
 
 
 
 
4) (25 pontos). Defina paralelogramo. Na geometria Neutra existe paralelogramo? Se a 
resposta for afirmativa prove e se a resposta for negativa dê um contraexemplo. 
Definição de paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são 
paralelos (isto é, estão em retas paralelas). 
 
Na geometria neutra existe paralelogramo. Obs.: A justificativa da existência do 
paralelogramo não está presente em nosso texto de estudos, portanto, será considerado 
apenas a resposta sem a justificativa para que o discente não seja prejudicado. Ainda assim 
apresentamos uma justificativa abaixo. 
Para provar a existência de paralelogramo na geometria neutra, apresentamos a construção de 
um paralelogramo passo a passo, logo abaixo (acompanhe a figura abaixo). 
1. Sejam A, B, C pontos não colineares. 
2. Considere o triângulo ABC e seja D o ponto médio do lado AC. 
3. Por D trace uma paralela s à reta AB. 
4. A reta s intersecta o lado BC. De fato, o teorema de Pasch nos garante que, s cortando 
um lado do triângulo, sem passar pelos vértices, tem que necessariamente cortar um dos 
outros dois lados. Sendo s paralela ao lado AB, então s tem que cortar o lado BC, 
digamos em E. 
5. Por E traçamos uma paralela t ao lado AC. Pelo teorema de Pasch, analogamente ao 
ocorrido no passo anterior, t necessariamente corta o lado AB, digamos em F. 
6. O quadrilátero ADEF é um paralelogramo pois, AD//EF e AF//DE. 
 figura 2 
r 
t 
s 
A B 
r 
t 
s 
A B 
figura 3
 figura 2 
 
 
.