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O espaco de Fourier 
1. O conceito de espaco de Fourier baseia-se no conceito da Series de Fourier (SF). Explique que tipo de representacao a SF propoe e como esta representacao opera considerando um sinal no espaco bidimensional. 
RESPOSTA: A série de Fourier representa uma função periódica,são formas de representar funções como soma de exponenciais ou senóides. A segunda parte não sei...
A série de Fourier busca conhecer os componentes de uma imagem através da decomposição da imagem de sua função periódica para séries trigonométricas convergentes (função seno e coseno).
2. Dizemos que a SF utiliza tanto funcoes harmonicas como funcoes exponenciais como base das series. 
Pergunta: Quais sao estas funcoes harmonicas utilizadas e qual a formulacao que garante que as funcoes exponenciais podem tambem ser utilizadas? 
As funções harmônicas utilizadas pelas séries de fourier são as funções trigonométricas (seno e coseno). Estas séries de funções harmônicas podem ser representadas equivalentemente em termos de soma de funções periódicas na forma exponencial.
Formulação: |x| * e^(i*t) = |x| * ( cos(t) + i sen(t) )
3. Quais sao os significados matematicos das seguintes caracterısticas das funcoes harmonicas nas SF: amplitude, frequencia e angulo? 
Amplitude: distância de uma crista ou de um vale de onda até o nível de equilíbrio (nível intermediário da onda); 
Frequência: Número de vezes que a onda se repete;
Ângulo: região de um plano concebida pelo encontro de duas semi retas que possuem mesma origem (vértice do ângulo).
4. Qual e a relacao entre as SF e a Transformada de Fourier (TF)? Usualmente dizemos que a TF e uma alteracao entre espacos vetoriais. Quais espacos sao estes? Existe esta mesma alteracao de espaco entre as SF e a TF? 
Resposta: A transformada de Fourier pode ser aplicada tanto para tempo discreto como para sinais periódicos no tempo usando o formalismo do delta de Dirac. Na verdade, a série de Fourier,pode ser derivada  da transformada contínua de Fourier geral.Do ponto de vista teórico, caso particular da transformada de Fourier.
-->São os espaços no dominio da frequencia e do tempo.(não sei se esta certo…)
Tanto a transformada de Fourier como a Série de fourier serão responsáveis por representação de funções. Porém, a TF representará somente funções não-periódicas, enquanto a SF representará funções periódicas.
adeno: uma função pode ser representada por somatorio de senos e cossenos (periodicos) e a TF computa o a distribuição(amplitude, frequencia e fase) destes senos e cossenos. (Gonzalez) 
A transformada de fourier é conhecida por realizar alteração entre espaços vetoriais pois transformará um sinal  no domínio de tempo para o domínio da frequência.
5. Conceitue o que sao peneiramento e a funcao impulso na Transformada de Fourier. 
Resposta: 
Um impulso em uma função pode ser visto como um pico de amplitude infinita e duração zero, com área unitária. Um impulso unitário de uma determinada variável T, localizada em t=0, é definido como: infinito, se t=0 e ZERO se t for diferente de zero.
A transformada de Fourier, por sua vez, é aplicada em amostras geradas pela multiplicação ponto-a-ponto da função não-periódica * impulso naquele ponto.
Considerando, portando, que a função é contínua em t=0, o peneiramento nos trará a informação a respeito do valor da  função na posição de impulso dada.
6. Em muitos equipamentos de imagens medicas a operacao de ‘janelamento’ e a que promove a alteracao de brilho e contraste na visualizacao da imagem. Como voce sugere uma operacao de ‘janelamento’ no espaco de Fourier de uma imagem? Faca esta sugestao mesmo que nao envolva especificamente brilho e contraste. 
A operação de janelamento, tambem conhecida como "realce por alargamento de contraste" é um método de processamento espacial ponto-a-ponto aplicado na função de transformação dos níveis de cinza da imagem em questão. O método é responsável por escurecer os pontos com valores de intensidade abaixo de um valor M e clarear os pontos com valores acima de um dado valor N.
A transformada de Fourier seria aplicada, portanto, neste intervalo de valores, decompondo o sinal original em séries trigonométricas para que fossem conhecidos os componentes da imagem. A transformada de Fourier irá transformar cada um desses pontos do domínio em um coeficiente no espaços de frequência para que sejam usados, depois, na representação da imagem final.
7. A TF de uma funcao retangular (no espaco cartesiano) e limitada e contınua no espaco de Fourier. Discuta a quais fatores devemos esta limitacao e esta continuidade da funcao representada neste novo espaco.
Convolucao e o espaco de Fourier 
8. Explique os mecanismos de convolucao tanto no espaco cartesiano como no espaco de Fourier de maneira a comparar os eventuais resultados das duas convolucoes. 
A convolução no espaço cartesiano compreende a multiplicação de duas funções dadas, resultando em uma terceira função. Na transformada de fourier, a convolução de duas funções (neste caso, será a função da frequência da imagem * trem de impulsos) equivale a multiplicação ponto-a-ponto entre as imagens convoluídas.
9. Explique a relacao entre o conceito de ‘peneiramento’ e o conceito de convolucao periodica usando a TF.
Funções periódicas podem ser convoluídas gerando uma convolução periódica. Tais funções, quando representadas em suas frequências, correspondem a uma soma de impulsos de Dirac (cada valor de peneiramento corresponde ao valor da função f(t) na posição destes impulsos).
10. Lembrando que t representa o domınio do tempo, e µ o domınio da frequencia, explique estas duas formulacoes: 
(a) F{h(t)*f(t)}=H(µ)F(µ), e 
(b) F−1{H(µ)F(µ)}=h(t)*f(t) 
A. A transformada da convolução de duas funções h e f, no domínio do tempo, é equivalente à multiplicação ponto-a-ponto das transformadas de fourier de cada função envolvida;
B. A inversa da transformada da multiplicação das transformadas das funções H e F no domínio da frequência é igual a convolução destas funções no domínio do tempo.
11. A formula 10a acima representa o Teorema da Convulucao que e a base da filtragem de imagem no domınio da frequencia. Explique o que significa esta formula. 
A transformada da convolução de duas funções h e f, no domínio do tempo, é equivalente à multiplicação ponto-a-ponto das transformadas de fourier de cada função envolvida.
12. Explique porque a taxa de amostragem de uma funcao no domınio do espaco e tao importante quando desejamos achar a sua transformada no domınio da frequencia.
A amostragem, assim como a quantização, serão utilizadas na conversão de sequências periódicas em sequências de valores discretos para que possam, então, ser processados pelo computador e, também, para que possa ser aplicada a transformada de fourier no domínio da frequência da imagem.
Segmentacao 
13. De exemplos e explique as diferencas entre os operadores baseados em derivada de primeira ordem e derivada de segunda ordem de uma imagem. 
Ambos os operadores são utilizados na detecção de bordas.  Porém, os operadores baseados em derivadas de primeira ordem terão como resultado valores positivos nas transições de regiões escuras para regiões claras e valores negativos caso contrário. Nas áreas de níveis de cinza constante, seu valor será zero.
Operadores de segunda ordem, por sua vez, indicará quando ocorrer uma mudança nos níveis de cinza.
Observação (Detecção de bordas é uma operação de indentificação de locais de variação significativa dos níveis de cinza da imagem. Essas mudanças podem ser escritas a partir do conceito de derivadas. Como uma imagem 2D depende de duas coordenadas espaciais para ser representada, suas bordas podem ser expressas por meio de derivadas parciais de primeira e segunda ordens).
14. Caracterize o operador de segmentacao de Marr- Hildreth (MH) segundo a ordem da derivacao da imagem e explique a sua caracterıstica de ser ajustaveis quanto a escala, ou tamanho, da imagem. 
15. O operadorde MH e baseado na funcao LoG. Explique o que significa este termo e qual a consequencia da aplicacao deste tipo de funcao numa imagem. 
14-15. O detector de Marr-Hildreth é um método de detecção de bordas, assim como Sobel e Prewitt, porém, estes dois últimos possuem abrangência limitada: não se adaptam a mudanças de escala.
O detector de MH, portanto, surgiu para cobrir esta falha. Ele está fundamentado na segunda deriada da imagem (a mudança de dimensão é equivalente a um cruzamento por zero na segunda deriadava da imagem).
Porém, o uso da derivada segunda das intensidades para detecção de bordas da imagem é muito sensível a ruídos e precisa, desta forma, que tais ruídos sejam filtrados antes da detecção de bordas.
Por este motivo, sua máscara provém da equação Laplaciana da Gaussiana (derivada de segunda ordem da função gaussiana). Neste tipo de filtro, a função gaussiana será responsável pela filtragem de ruídos e a Laplaciana, por sua vez, detectará as bordas. É importante frisar que tais funções funcionam para todas as dimensões da imagem (desta forma, o filtro é ajustável em escala).
16. Compare o operador de MH com o operador de Canny? Julgue a aplicabilidade de ambos em imagens medicas.
Interpolacao 
17. Interpolacao e uma processo de reamostragem. Considere os pontos favoraveis e desfavoraveis do processo generico de interpolacao em imagens medicas, quer seja usando o modelo de vizinhos, ou mesmo o modelo linear de interpolacao. 
Consiste no arredondamento da coordenada pelo vizinho mais próximo. Ou seja, pelo que entendi, ele calcula a distância entre o ponto com coordenadas não inteiras e seus vizinhos inteiros e aquele que for o mais próximo terá seu valor utilizado. 
A vantagem deste método é a simplicidade de implementação, em contrapartida ele produz um efeito quadriculado, podendo produzir artefatos indesejáveis, como a distorção de bordas retas. 
18. A interpolacao pode ser uma operacao a ser considerada tambem no domınio da frequencia de uma imagem? Se a resposta for positiva explique que tipo de informacao nova a interpolacao agregaria.
    Sim, a nova interpolação (chamada de interpolação ideal) agregaria como informação o sinal reconstruído, que pode conter apenas um conjunto limitado de freqüências definidos pela lei de Nyquist.
19. Considere as interpolacoes lineares a as interpolacoes cubicas. Obviamente uma e sempre mais adequada que a outra numa dada situacao. Cite ao menos dois exemplos em que podemos comparar estas duas formas de interpolacao. 
Interpolação linear é um método de ajuste de curvas usando polinômios lineares. É muito empregada em matemática (particularmente em análise numérica), e numerosas aplicações, incluindo computação gráfica. É uma forma simples de interpolação.
“Quando polinômios de grau muito alto são necessários para interpolar uma função amostrada em um dado conjunto de pontos, erros númericos são mais prováveis.
Como alternativa, em vez de um só polinômio, usa-se vários polinômios, um para cada par de abcissas consecutivas, ajustando-se os coeficientes de forma a permitir uma transição suave de um polinômio para outro, garantindo continuidade sempre que possível.  Esses “pedaços” de polinômios, em geral cúbicos, são chamados de splines (cúbicas).”
As splines cúbicas são funções polinomiais que possuem grau 3. Elas são mais complexas de se calcular porém apresentam uma interpolação mais suave.
A interpolação cúbica utiliza uma região 4x4 pixels.
Uma das desvantagens da spline cúbica é que ela pode apresentar ondulações inesperadas. E a vantagem é que ela preserva melhor o contraste da linha.
20. Explique o que e uma interpolacao B-spline. Faca um paralelo com modelos lineares de interpolacao.
Um spline é uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controle. Os pontos de controle que ficam na curva são chamados de nós. Os demais pontos definem a tangente à curva em seus respectivos nós.
A B-spline é uma função, um polinômio de grau k em uma variável x. Qualquer função spline de determinado grau pode ser expresso como uma combinação linear de B-spline. A principal dificuldade na aplicação deste processo é na determinação do número de nós para usar e onde eles devem ser colocados. A interpolação de spline é uma forma de interpolação onde o fator de interpolação é o spline.
    
Corregistro 
21. Explique o que e o corregistro de imagens e de dois exemplos para o corregistro de imagens medicas funcionais e estruturais. Considere os dois tipos fundamentais de corregistro.
Corregistro é o procedimento por meio do qual uma imagem dada (imagem alvo) é alinhada a uma imagem modelo. Ele é feito através de correspondência entre seus pontos, e os alinhamentos são realizados através de transformações geométricas.
Tipos fundamentais de corregistro: 
Rígido: Definido por quatro tipos de operações que podem ser aplicadas à imagem para o alinhamento (Rotação, Translação, Escala, Cisalhamento)
A geometria da imagem é alterada, por meio da mudança de coordenadas dos pixels.
Não-Rígido: Envolvem correções elásticas, pode ser feito determinando-se uma transformação geométrica que inclua termos referentes a deformações elásticas por modelos físicos que considerem as imagens como membranas elásticas ou fluido.
Transformações geométricas – Elásticas (Thin-Plate Splines, B-Splines Cúbicas, Polinomiais)
Requer um alto custo computacional, maior tempo de processamento.
Exemplos para o corregistro de imagens medicas funcionais e estruturais:
Estruturais: Ressonância Magnética e Tomografia computadorizada por raios X.
Funcionais: Tomografia Computadorizada por Emissão de Fóton Único (SPECT) e Tomografia por emissão de Pósitrons (PET).
22. Explique o que sao as metricas de comparacao de imagens no contexto de corregistro. Voce acredita que comparacoes intermodais possam ser feitas a partir da Transformada de Fourier (TF) de duas imagens? Explique a sua resposta. E se considerassemos imagens intramodais e suas respectivas TF para fazer a comparacao? O que mudaria na sua resposta? 
Resposta: Métricas fornecem uma medida de quanto a imagem fixa coincide com a imagem em movimento transformada, quantifica o quão similares são as imagens fixa e em movimento, considera apenas valores da intensidade do pixel. 
FALTA TERMINAR
23. Qual e a relacao entre o corregistro nao rıgido e as formas de interpolacao? Explique as limitacoes e as vantagens deste tipo de corregistro em imagens medicas. 
Resposta: A relação entre eles é que existem vários métodos de interpolação, os mais simples atribuem ao ponto interpolado o valor de uma média dos pontos de uma vizinhança. Em muitos casos esta aproximação não conduz a bons resultados, principalmente em corregistros não rígidos. As limitações do corregistro não rígido é que exige maior tempo no processamento, com isso, tem um alto custo computacional, requer uma metodologia mais complexa e continua sendo um desafio na área de processamento de imagens médicas. A vantagem é que determina o movimento de todos os pontos na base dos pontos de controle e torna possível representar uma grande variedade de transformações.