Trabalho Matematica Financeira

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UNIVERSIDADE ETÁCIO DE SÁ
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Cabo Frio 
2014
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Projeto apresentado à Universidade Estácio de Sá por intermédio do orientador Prof.Mário Taranto, com o objetivo de complementação dos ensinamentos em sala de aula e incorporação de maiores conhecimentos sobre o conteúdo abordado em sala de aula.
Cabo Frio
2014
Respostas.
Questão 1)
A origem da moeda foi dada para mensurar o valor relativo que algum tipo de riqueza ou serviço possui, foi nesse contexto que os primeiros tipos de moeda foram estipulados, para manter um valor monetário. Na Grécia Antiga, o boi era usado como referencia de troca comercial, outra mercadoria comum era o sal. Em algumas outras culturas o que era mais utilizado era o metal, utilizado em primeiro momento ‘in natura’ ou sobre a forma de objetos de adorno como os anéis e braceletes pelo seu fácil acesso, apelo estético e as facilidades de mensuração e transporte fizeram dele um tipo de moeda entre os Romanos e Etíopes, que acabou sendo disseminado entre outras culturas, e com o passar do tempo ele acabou se tronando padrão para fins comerciais. As primeiras ligas metálicas utilizadas na fabricação de moedas foi o ouro e a prata, o uso desses metais é justificado pelo seu difícil acesso, a beleza do seu brilho e sua durabilidade, ao longo do século, a requisição de jazidas de ouro e de prata para a fabricação de moedas acabou se tronando mais difícil, por isso o papel moeda acabou ganhando maior espaço no desenvolvimento das transações comerciais, Na Baixa Idade media, a falta de moedas motivava os comerciantes das feiras a utilizarem letras de câmbio para o estabelecimento de alguma negociação dando inicio a cobrança de juros.
Questão 2)
	CDB Fortuna (2005), explica que tanto o Certificado de Deposito Bancário - CDB quanto o Recibo de Deposito Bancário – RDB se caracterizam como os principais títulos emitidos por Bancos Múltiplos, Comercias de Investimentos e Caixas Econômicas, que tem por objetivo captar recursos dos investimentos (pessoas físicas e jurídicas não financeiras) através da rede de agencias. Entre outras coisas, essas aplicações permitem que as instituições financeiras obtenham dinheiro para emprestarem às empresas que necessitem de numerário para financiar operações e negócios.
Partes desses recursos irão financiar o credito direto ao consumidor CDC (via Cheque especial), empréstimos para capital de giro das empresas e compra de bens e serviços etc.Ainda salienta que os CDB e RDB consistem-se em um deposito a prazo predeterminado e rentabilidade pré ou pós fixada. Isto determina dois tipos, portanto CDB. Os pré- fixados têm a sua rentabilidade expressas unicamente nas taxas de juros, sempre referidas ao ano. Os pós-fixados são atrelados á TR (ou IGPM), que é mensal e usada como correção, acrescida de uma taxa de juros que se refere ao ano e com prazo mínimo de um mês.Esses papéis podem ter ou não deságio na sua emissão. A tributação desses papéis, como de todos os papéis de renda fixos inclusive fundos, e os clubes de investimentos, é composta de três alíquotas:
Com valores decrescentes de 96% para 1 dia até 0% para prazos iguais ou superiores a 30 dias sobre o rendimento dos títulos,chamada de IOF e criada pela Portaria n° 264 de 30/06/99 do Ministério da Fazenda;
20% de IR sobre o que restou do rendimento, para qualquer prazo;
A CPMF que é da ordem de 0,3% sobre a aplicação. As Instituições Financeiras e as autorizadas a funcionar pelo BACEN não pagam IR na fonte sobre os ganhos nessas operações. Assaf Neto (2005), fala que a principal diferença entre o CDB e o RDB é a possibilidade do CDB ser transferido a outros investidores por endosso nominativo. O RDB é um titulo intransferível.
É importante salientar que o porte do banco é deveras importante, na medida em que terá muito mais facilidades em conseguir aplicações, principalmente pelo elevado numero de agencias, do que um banco de pequeno porte. A saída para os pequenos seria a de oferecerem taxas mais atrativas, para aumentar o leque de investidores e clientes.
Os Certificados de deposito interbancário são os títulos de emissão das instituições financeiras, que lastreiam as operações do mercado interbancário. Suas características são idênticas as de um CDB, mas sua negociação é restrita ao mercado interbancário. Sua função é, portanto, transferir recursos de uma instituição financeira para outra. Em outras palavras, para que o sistema seja mais fluido, quem tem dinheiro sobrando empresta para quem não têm. As operações se realizam fora do âmbito do BC, tanto que, neste mercado, não há incidência de qualquer tipo de imposto (IR ou IOF), as transações são fechadas por meio eletrônico e registradas nos computadores das instituições envolvidas e nos terminais da central de custódia e liquidação de títulos privados (CETIP). Grande parte das operações é negociada no período de apenas um dia. Apesar disso, tem as vantagens de ser rápido, seguro e não sofrer nenhum tipo de taxação. 
Questão 3) 
Apresentação
Através do Sistema Nacional de Índices de Preços ao Consumidor
- SNIPC, o IBGE produz Índices de Preços ao Consumidor - IPCs,
destacando-se o Índice Nacional de Preços ao Consumidor - INPC e o
Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo - IPCA como os dois
indicadores principais. A par das inerentes utilizações como referencial
para o conhecimento do movimento dos preços ao consumidor na
economia, esses indicadores vêm tendo, ao longo do tempo, diversas
aplicações de cunho oficial. Nesse sentido, desde 1999, o IPCA constitui se
no instrumento básico na condução da política econômica no Brasil,
balizando o sistema de metas de inflação.
A produção, pelo IBGE, dos IPCs resulta da conjugação de duas
grandes bases de informações: os preços coletados e os pesos. Os
pesos, ou ponderações, refletem os padrões de consumo da população
estudada e, sendo assim, sua atualização é procedimento fundamental
para a qualidade e a credibilidade dos índices.
Nesse contexto, a presente publicação traz os resultados da
mais recente atualização do conjunto de bens e serviços cujo acompanhamento
da evolução de preços é o objetivo do SNIPC. Aqui são
apresentadas a base conceitual, as definições e os procedimentos
aplicados na geração e implantação das estruturas de ponderação dos
índices produzidos.
Dessa forma, a partir de janeiro de 2012 os Índices de Preços ao
Consumidores do IBGE deixam de ser calculados com base nas ponderações
da Pesquisa de Orçamentos Familiares - POF 2002-2003 e passam
a incorporar os ponderadores derivados da POF 2008-2009.
O IBGE, através do Sistema Nacional de Índices de Preços ao Consumidor
- SNIPC, efetua, desde 1979, a produção contínua e sistemática
de Índices de Preços ao Consumidor - IPCs, em que as unidades
de coleta de preços são estabelecimentos comerciais e de prestação
de serviços, concessionárias de serviços públicos e domicílios para o
levantamento de aluguel e condomínio.
São produzidos, a partir do SNIPC, o Índice Nacional de Preços
ao Consumidor - INPC e o Índice Nacional de Preços ao Consumidor
Amplo - IPCA com período de coleta que se aproxima ao do mês civil.
O INPC e o IPCA referem-se a grupos populacionais distintos.
Seus resultados são obtidos a partir de médias aritméticas ponderadas
dos índices regionais calculados para as Regiões Metropolitanas de
Belém, Fortaleza, Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São
Paulo, Curitiba e Porto Alegre, além de Brasília-DF e do Município de
Goiânia, para as respectivas populações-alvo.
Também é produzido o IPCA-15, que difere do IPCA apenas no
período de coleta do mês de referência que é realizada, em geral, do
dia 15 do mês anterior ao dia 15 do mês de referência1.
O presente documento trata da atualização das estruturas de
ponderação do SNIPC a partir das informações sobre as despesas
realizadas pelas famílias, obtidas através da Pesquisade Orçamentos
Familiares - POF 2008-2009. Desde a implantação do SNIPC esta é a
quinta cesta de bens e serviços utilizada. As pesquisas de orçamentos
familiares, geradoras das estruturas, e os períodos de vigência dos
pesos no SNIPC encontram-se listados a seguir:
• com base no ENDEF 1974-19752, pesos vigentes de 1979 a maio de 1989;
• com base na POF 1987-1988, estrutura implantada em junho de 1989, vigente
até julho de 1999;
• com base na POF 1995-1996, ponderações implantadas em agosto de 1999,
estando em vigor até junho de 2006;
• com base na POF 2002-2003, implantada a partir de julho de 2006, com vigência
até dezembro de 2011; e
• com base na POF 2008-2009, implantada em janeiro de 2012.
Cabe destacar que a boa prática na produção de Índices de Preços ao Consumidor
indica como absolutamente necessária a atualização, pelo menos a cada cinco anos, das
cestas de bens e serviços. Dessa forma, o IBGE prevê a realização, a cada cinco anos, de
pesquisas de orçamentos familiares, segundo o modelo da POF 2008-20093 e de POFs
contínuas em intervalos mais curtos, o que torna factível o atendimento à recomendação.
O ponto de partida desta publicação é a definição da nova cesta do SNIPC,
levando em conta conceitos básicos que determinam o campo de consumo de um
IPC. Em continuação, aplicando-se esses conceitos, as categorias de gastos obtidas
a partir da POF 2008-2009 são estudadas para que se identifique, dentre elas, as que
devem compor as estruturas de ponderação. Na seqüência, aborda-se a ampliação do
escopo dos dados para as populações-objetivo e para as estruturas de ponderação.
Na segunda seção, com base nas distribuições de rendimentos familiares observadas,
também a partir da POF 2008-2009, são apresentados os critérios e a escolha das populações-
objetivo do INPC e IPCA, tendo em vista os propósitos de cada um dos indicadores.
A etapa preparatória à montagem das estruturas de ponderação, em que são
analisadas e organizadas as informações da POF 2008-2009 para a utilização específica nos índices de preços, constitui a terceira seção, cujo conteúdo inclui, ainda, os
procedimentos para o cálculo das ponderações e a geração das estruturas.
Outra importante etapa da atualização do SNIPC é a construção de novos ponderadores
das regiões, utilizados para o cálculo dos índices referidos ao total das áreas
pesquisadas, o INPC e o IPCA, que são obtidos a partir de médias ponderadas dos
IPCs regionais. O método adotado e a apresentação dos pesos das regiões são objeto
da quarta seção. Finalmente, são descritos procedimentos e métodos relacionados
à implantação das estruturas, tais como: a necessária atualização de cadastros de
produtos e informantes para a coleta de preços da nova cesta de bens e serviços e o
encadeamento das séries históricas de números-índices de preços.
Os Apêndices, apresentando textos, contêm um grau maior de detalhamento
das abordagens teóricas. Os Anexos, sob a forma de quadros e algoritmos, complementam
a descrição dos diversos temas abordados.
Cabe ressaltar que a atualização das estruturas de ponderação descritas nesse
documento não afetam a concepção dos Índices de Preços ao Consumidor produzidos
pelo IBGE no que se refere a procedimentos e regras de coleta, à crítica, ao método
geral de cálculo e à cobertura geográfica.
Bens e serviços - abordagem conceitual para gastos
especiais
Os itens que devem ser analisados com especial atenção, quando da definição
dos bens e serviços que irão compor a cesta de bens e serviços, cuja variação de
preços o Índice de Preços ao Consumidor - IPC irá refl etir, encontram-se destacados
a seguir. As reflexões e recomendações internacionais, relativas a cada caso, estão
apresentadas no Apêndice 1.
Impostos, licenças e taxas
Os impostos indiretos que estão associados à produção e à comercialização e
que incidem sobre vendas, sobre produtos industrializados, importação etc., compõem
um IPC, pois formam o preço final de mercado dos bens e serviços.
Entretanto, os impostos de natureza direta, isto é, aqueles incidentes sobre a
renda e o patrimônio não são apropriados nos IPCs. Por isso, a estrutura do Sistema
Nacional de Índices de Preços ao Consumidor - SNIPC não contempla, dentre os impostos
diretos, o Imposto sobre a Propriedade Predial e Territorial Urbana - IPTU, prática
que é observada pela grande maioria dos produtores de IPCs internacionalmente.
O Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores - IPVA, classificado
como um imposto direto, é a exceção, uma vez que, na prática internacional, um
conjunto importante de países o mantém no cálculo dos IPCs, tendo em vista estar
associado ao uso do veículo particular que se caracteriza como um item de consumo.
Quanto às taxas, a exemplo da cobrada na obtenção da carteira de habilitação,
são também incluídas no cálculo do IPC.
Jogos e apostas
Nos jogos e apostas, apenas a parte do gasto relativa ao custo do serviço prestado
refere-se à despesa de consumo e, portanto, esta é a parcela alvo de pesquisa nos
IPCs. A outra parte da despesa de uma aposta é destinada ao prêmio, constituindo-se
em transferência entre as famílias, ou seja, dispêndio monetário sem contrapartida
de bens ou serviços para o consumidor.
Para assegurar a ponderação adequada para os jogos e apostas é feito um
cálculo de gasto líquido, apropriando-se a diferença entre o valor total das apostas e
os valores pagos em premiações.
Seguros
A Organização Internacional do Trabalho - OIT, através das recomendações aprovadas
na 17a Conferência Internacional de Estatísticos do Trabalho - CIET, realizada em
Genebra no ano de 2003, indica que sejam incluídos nos IPCs os gastos com seguro,
exceto os do tipo “seguro de vida”, pois este caracteriza “aumento do ativo” familiar.
Além disso, a indenização não reverte para o próprio segurado. São classificados
como consumo os serviços prestados pelas seguradoras relativos a “riscos contra
incêndio”, “roubo e inundações”, “saúde”, “transportes”, “responsabilidade civil” etc.
Conceito e cálculo dos números-índices de preços ao consumidor
Um número-índice de preços é uma estatística que visa medir a variação relativa
de preços de um conjunto de bens e serviços, consumidos por determinada população,
em uma sequência de períodos de tempo.
O que caracteriza, única e exclusivamente, a fórmula do Índice de Laspeyres,
adotada pelo IBGE no cálculo dos IPCs, é a hipótese de que as quantidades do período base
de ponderação se mantêm constantes, ao longo do tempo.
O Índice de Laspeyres para a medida do movimento de preços entre dois momentos
t (período de referência) e 0 (período-base) é usualmente expresso:
De forma idêntica, pode-se expressar pesos como proporções do gasto em cada
bem ou serviço, no total de gastos anuais das famílias, no ano-base de ponderação,
tal como:
A fórmula anterior descreve, apenas, a comparação de duas situações no tempo.
No entanto, usualmente, os índices são calculados com periodicidade definida, em
geral mensal, sendo os resultados com maior periodicidade (trimestrais, semestrais,
anuais etc.) obtidos de forma acumulada em uma sequência ordenada ao longo do
tempo. Assim, para se determinar o número-índice entre dois valores extremos 0 e t
os resultados periódicos (na prática, mensais) são acumulados de modo que:
Resultados mensais: mês de referência (t) e mês anterior (t-1):
A fórmula acima compara a evolução do custo de uma mesma cesta de mercadorias
na produção dos índices mensais, ou seja, quando trabalhamos com relativos
t/t-1 devemos ponderá-los por pesos móveis período a período, para assim o método
de cálculo refletir o consumo de uma cesta fixa em quantidades.
Na fórmula de Laspeyres, as ponderações são atualizadas pela relação entre o
relativo do subitem e o índice geral ao longo do tempo, portanto os pesos dos subitens
sofrem algumas modificações em função de qualquer mudança nos preços de
um dado subitem. Para aqueles subitens que têm crescimentode preços acima da
média, os pesos crescem relativamente ao período-base; para os que têm crescimento
abaixo da média, decrescem; e permanecem iguais aqueles subitens cujos relativos
apresentam variações idênticas à média. Assim, temos:
Utilizando o princípio do encadeamento, acima descrito, o número-índice passa a
depender da trajetória da variável preço, em vez de seus valores nos períodos inicial e
final. A acumulação da fórmula acima resulta no Índice de Laspeyres entre os pontos 0 e t.
Por isso, para calcular os números-índices de preços para intervalos de tempo
superiores a 1 mês, partindo-se de estimativas referentes a intervalos mensais, a operação
apropriada, como já vista, é a multiplicação dos índices parciais associados a
cada subintervalo de 0 a t. É importante ressaltar que é condição necessária que a união
dos intervalos exalta o intervalo completo a fi m de que não haja vácuos no índice.
Séries de números-índices encadeadas
O processo de encadeamento envolve a junção da série antiga à nova série,
sendo este elo posicionado no mês de implantação da nova estrutura de pesos, prevista
para janeiro de 2012. No referido mês, verifica-se a interseção entre duas séries
associadas a cestas distintas de bens e serviços, razão pela qual fundamental será
observar a magnitude e trajetória das séries analisadas.
O processo de encadeamento para números-índices pode ser feito basicamente
através de duas alternativas: atualizar a antiga série ou estimar a nova série para trás.
O IBGE optou pela primeira opção, a qual envolve a multiplicação sucessiva do último
valor da série antiga pelos relativos mensais da nova série (BRAULE, 2001). Ou seja,
uma forma de obter a série encadeada é multiplicar o índice mensal atualizado pelo
número-índice com a antiga base.
Exemplificando, matematicamente temos:
As famílias que se constituem objeto de investigação do SNIPC são residentes
em centros urbanos das regiões cobertas pela pesquisa, sendo a população-objetivo
do Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo - IPCA, mantidos objetivo do índice
e o critério de seleção, as famílias com rendimentos de 1 a 40 salários mínimos.
A população-objetivo do Índice Nacional de Preços ao Consumidor - INPC, também,
mantidas as definições históricas, passa a ser as famílias com pessoa de referência
assalariada e rendimentos de 1 a 5 salários mínimos.
Vale ressaltar, também, no processo de produção e aprimoramento de estatísticas
oficiais, especialmente dos Índices de Preços ao Consumidor - IPCs, a importância
da existência de documentação detalhada aliada a uma necessária e permanente
estratégia para manter informados os usuários. Nesse contexto se insere o presente
texto, e sua disponibilização junto com as novas estruturas de ponderação do SNIPC.
Questão 4) - Realizar uma entrevista com um Administrador de empresas ou Empreendedor, procurando identificar a importância dos conceitos da matemática financeira em seu trabalho: a importância de saber calcular o preço à vista e o prazo, fornecer condições de pagamento atraentes ao consumidor, mas que considerem as condições financeiras como taxa de juros e prazos de obtenção do capital. A partir da entrevista, elabore um breve relatório sobre a mesma, elaborando também um exemplo de política de crediário para um determinado produto, nessa política devem ser estabelecidas as condições financeiras para pagamento à vista, pagamento 30 dias após a compra e o parcelamento em três vezes iguais, sem entrada.
Resposta:
No que podemos observar na entrevista a Matemática Financeira tem extrema importância para a tomada de decisões na empresa e, sua aplicação quando bem desenvolvida, traz maior rentabilidade possibilitando o processo de maximização nos resultados. Certamente com uma boa base desse conhecimento traz à compreensão de problemas. Segundo o empreendedor Ronaldo Mazza Rabello, a Matemática Financeira também pode ser aplicada em diversas situações cotidianas como calcular as prestações de um financiamento optando pelo pagamento à vista ou parcelado. Fornece o instrumental necessário à avaliação de negócios, de modo a identificar os recursos mais atraentes em termos de custos e os mais rentáveis no caso de investimentos financeiros ou de bens de capital.Nas situações mais simples e corriqueiras do dia-a-dia, como por exemplo, se você tem dinheiro em algum tipo de poupança/investimento, ou em um pequeno negócio, ou ambos, e quer comprar um carro ou um eletrodoméstico. Você deve decidir se paga à vista, mediante saque da aplicação ou do capital de giro da empresa, ou se acolhe o financiamento oferecido pelo vendedor. As ferramentas da Matemática Financeira vão indicar-lhe a melhor decisão.Nas avaliações econômico-financeiras existe o binômio risco-retorno. Avaliação ou apuração do retorno de investimentos é um problema da Matemática Financeira. Já o Risco é um problema da Estatística e pode ser definido como a possibilidade de perda. Diz respeito apenas à possibilidade de ocorrer um resultado diferente do esperado.Decisões com base em dados contábeis aumentam os riscos uma vez que se baseiam em dados passados. Decisões devem ser tomadas com base nas expectativas futuras, à luz das novas tendências e dos fluxos de caixa projetados. Vamos dar o exemplo do produto vendido pelo entrevistado, o produto em questão é a venda de diárias numa suíte em seu Hotel. O cliente pode comprar as diárias à vista efetuando em deposito bancário, o valor a vista no cartão ou em dinheiro. Para pagamento a prazo após 30 dias só poderá ser no cartão de crédito onde pode ser parcelado em 3x sem juros sem entrada.
O entrevistado é o Empreendedor Ronaldo Mazza Rabello, sócio proprietário das Academias Workout e do Lotus Club Hotel.
Questão 5) Solicitar informações na rede bancária em relação a uma operação de desconto de duplicatas. A partir das informações obtidas, elaborar um exemplo no qual se apure o valor liberado ao cliente e o CET mensal e o CET anual (taxa efetiva mensal e taxa efetiva anual da operação). Obter também informações sobre um financiamento realizado através da tabela Price. Elabore um exemplo em planilha EXCEL, montando a tabela de informações das prestações e calculando o CET mensal e o CET anual do financiamento.
Os critérios de avaliação de investimentos são:
-Todos os investimentos estão sujeitos à correção monetária com base nos índices oficiais.
-Os investimentos relevantes em sociedades coligadas, sobre cuja administração tenha influência ou de que participe com 20% ou mais do capital social, e em sociedades controladas, são avaliados pelo método de equivalência patrimonial.
-As demais participações societárias são avaliadas ao custo de aquisição, deduzido de provisão para perdas prováveis na realização de seu valor, quando essa perda estiver comprovada como permanente.
-As bonificações recebidas em ações ou quotas de capital não são mais contabilizadas como acréscimos do valor dos investimentos.
A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa que produz um VPL igual a zero. Considera-se atraente o projeto que apresentar um TIR maior ou igual à TMA. Apesar de ser um dos métodos preferidos na análise de projetos, são necessários alguns cuidados especiais em sua utilização, pois mesmo não sendo um dos melhores indicadores a TIR é uma das formas de avaliação de projetos mais utilizadas no meio empresarial.
O tempo de recuperação do Capital, chamado de (payback) é o prazo para recuperação de um investimento em um projeto. O investimento será recuperado quando o lucro gerado pelo projeto igualar o valor do investimento realizado. É encontrado somando-se os valores dos fluxos de caixa negativos com os valores de fluxos de caixas positivos, até o momento em que essa soma resulta em zero. A partir dele, é possível visualizar em quanto tempo o projeto irá retornar seu investimento.
- Tabela PRICE: Conhecida também como Sistema Francês de Amortização, é o sistema de financiamento mais usado em automóveis, e bens de pequeno valor, comocomprar em lojas de varejo. A principal característica deste sistema é a parcela fixa do início ao fim e a amortização é crescente.
Questão 5- Solicitar informações na rede bancária em relação a uma operação de desconto de duplicatas. A partir das informações obtidas, elaborar um exemplo no qual se apure o valor liberado ao cliente e o CET mensal e o CET anual (taxa efetiva mensal e taxa efetiva anual da operação). Obter também informações sobre um financiamento realizado através da tabela Price. Elabore um exemplo em planilha EXCEL, montando a tabela de informações das prestações e calculando o CET mensal e o CET anual do financiamento.
Os critérios de avaliação de investimentos são:
-Todos os investimentos estão sujeitos à correção monetária com base nos índices oficiais.
-Os investimentos relevantes em sociedades coligadas, sobre cuja administração tenha influência ou de que participe com 20% ou mais do capital social, e em sociedades controladas, são avaliados pelo método de equivalência patrimonial.
-As demais participações societárias são avaliadas ao custo de aquisição, deduzido de provisão para perdas prováveis na realização de seu valor, quando essa perda estiver comprovada como permanente.
-As bonificações recebidas em ações ou quotas de capital não são mais contabilizadas como acréscimos do valor dos investimentos.
A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa que produz um VPL igual a zero. Considera-se atraente o projeto que apresentar um TIR maior ou igual à TMA. Apesar de ser um dos métodos preferidos na análise de projetos, são necessários alguns cuidados especiais em sua utilização, pois mesmo não sendo um dos melhores indicadores a TIR é uma das formas de avaliação de projetos mais utilizadas no meio empresarial.
O tempo de recuperação do Capital, chamado de (payback) é o prazo para recuperação de um investimento em um projeto. O investimento será recuperado quando o lucro gerado pelo projeto igualar o valor do investimento realizado. É encontrado somando-se os valores dos fluxos de caixa negativos com os valores de fluxos de caixas positivos, até o momento em que essa soma resulta em zero. A partir dele, é possível visualizar em quanto tempo o projeto irá retornar seu investimento.
- Tabela PRICE: Conhecida também como Sistema Francês de Amortização, é o sistema de financiamento mais usado em automóveis, e bens de pequeno valor, como comprar em lojas de varejo. A principal característica deste sistema é a parcela fixa do início ao fim e a amortização é crescente.
Questão 6) 
De acordo com o artigo “Taxa interna de retorno modificada” pesquisado por Antonio Carlos De Souza Sampaio Filho em 2008 o indicador do período de retorno simples de um projeto (Ex: Abertura de uma padaria) é a forma de mensuração da velocidade com que as entradas de caixas retornam o investimento inicialmente feito na implantação de um projeto. Em termos práticos, trata-se do tempo em que o capital investido no projeto irá demorar para retornar ao bolso do investidor. O período de retorno simples de um projeto também e conhecido por payback simples, play back tradicional ou simplesmente payback.
Segundo Brealey et AL. (2002, PT. 179), “O período de retorno do investimento de um projeto é o período de tempo antes de você recuperar seu investimento inicial”
Segundo Brigham (2001, p. 426), Na concepção dos grandes investidores existe uma regra básica, quanto maior o tempo de retorno de capital investido maior o risco de perda, ao contrario quanto menor for o tempo de retorno, menor será a risco da empresa. Apesar de suas restrições o indicador de retorno de capital e usado normalmente quando o risco de um investimento e muito alto e os investidores tem interesse em recuperar rapidamente o capital.
Para Damondaran (2004, p.256), projetos com os investimentos retornados rápido são considerados os mais relevantes, os mais atraentes, concluindo que todas as entradas de caixas alem do período de retorno são consideradas como lucro.
Caso as empresas tenham determinado um prazo máximo para reposição do capital investido, o período do retorno do investimento pode ser o primeiro indicador dos riscos do negocio, sendo que a aceitação do investimento estará condicionada ao período do retorno do investimento ser menor ou igual ao prazo estabelecido.
Na sua essência, o período de retorno simples do investimento e uma medida de liquidez do projeto, e não da sua rentabilidade. Ele pode ser aplicado, sem restrições, a projetos convencionais que apresentem fluxos de caixa com as seguintes características.
FC0 < 0 e FCj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n
onde FC0 e FCj são os fluxos de caixa líquidos nos períodos 0 e j, respectivamente.
período de retorno simples de um projeto (PRS), que não leva em consideração a dimensão tempo, é obtido de acordo com a equação:
Onde: 
FCj = fluxo de caixa líquido no período j 
k = período considerado 0, 1, 2, ...n
A formula apesar de sua aparência complexa e aplica com procedimentos bem simples. O primeiro, quando os fluxos de caixa decorrentes do investimento apresentam um valor uniforme durante toda o período do projeto. Nesse caso, basta dividir o investimento inicial pelo valor do fluxo de caixa conforme e mostrado na equação abaixo:
Payback= Investimento/ Valor do Fluxo de Caixa
O critério para tomada de decisão na aplicação no Payback simples tem como fundamento na vida util do projeto. Um projeto e aprovado quanto o seu período de retorno do investimento e menor ao seu tempo estimado de vida útil.
Usualmente os empresários colocam um prazo para o retorno do capital do projeto iniciado, isso independente da vida util do mesmo, tendo como parâmetro de comparação o tempo maximo do retorno de capital admitido pelas empresas em substituição ao tempo de vida do projeto.
Sendo assim, tendo como base essa analise a foram recomendada para aceitar ou um projeto ou não tem que ser com retornos de investimento iguais ou menores ao tempo máximo aceitado pelos investidores (empresários), claramente que quanto mais inferior for o período de retorno de investimento, melhor a viabilidade financeira econômica do projeto em questão, para essa expressão temos a seguinte equação “PRS ≤ tmax Aceitar o projeto; PRS > tmax Rejeitar o projeto”.
Payback Descontado
A variante avaliada pelas empresas como retorno descontado, também conhecida como Payback econômico, Payback ajustado, Payback a valor presente, ou Payback descontado é a metodologia que procurar contornar a variante errada do método do período de retorno tradicional de não levar em consideração o valor do dinheiro no tempo (Brigham et AL., 2001, p. 425). Segundo Citado no artigo “Taxa interna de retorno modificada” pesquisado por Antonio Carlos De Souza Sampaio Filho em 2008 Brigham e Ehrhardt (2006, p. 505), “O período de payback descontado é definido como o numero de períodos necessários para recuperar o investimento dos fluxos de caixa liquida descontadas”
Da mesma forma que o Payback simples o payback descontado e uma medida de liquidez do projeto de investimento, e não da sua rentabilidade. È para ser aplicável sem delimitadores a projetos de investimentos comuns que possuem fluxos de caixas com as seguintes características.
FC0 < 0 e FCj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n 
onde FC0 e FCj são os fluxos de caixa líquidos nos períodos 0 e j, respectivamente
O período de retorno descontado (PRD), que leva em consideração a dimensão tempo do dinheiro, é obtido pela equação abaixo:
Onde: 
FCj = fluxo de caixa líquido no período j 
i = taxa mínima de atratividade 
j = período considerado 0, 1, 2, ...k
Os critérios para obtenção do resultado na metodologia de Retorno de capital descontado e o mesmo do Payback Simples, porem atualizamos toso os valores do fluxo de caixa para a data focal zero, descontados a uma taxa de juros representativa do custo do capital.
A avaliação feita para poder aplicar em um projeto e idêntica a do Payback simples e pode ser reconhecida na expressão“PRD ≤ tmaxAceitar o projeto; PRDtmaxRejeitar o projeto”
Um dos delimitadores apontados por Brigham e Houston (1999, p. 382) quanto ao retorno de investimento e ele não levar em consideração os fluxos de caixa a partir do instante em que acontece a recuperação do capital investido no projeto. Se os fluxos de caixa do projeto apresentarem no inicio do período valores maiores, isso quer dizer que possivelmente poderá recuperar o investimento mais acelerado, porem esse sintoma pode ser simplesmente ilusão, caso no final do período de retorno os fluxos decaixas caiam consideravelmente.
Para Ross et AL. (2002, p.127), o método do período do retorno do investimento não considera o valor do dinheiro no tempo, essa falta de relevância pode ser uma falta extremamente prejudicial a analise do projeto.
Algumas desvantagens que devem ser consideradas: 
-O payback simples ou descontado não pode ser usado quanto existis sianis de fluxo de caixa alternados mais de uma vez.
-Não fixa o maior valor do período de retorno do investimento sugerido para aceitação do projeto.
Podemos evidencias algumas vantagens em aplicar o método de retorno de capitais, como a simplicidade de calcular e interpretar os resultados. Segundo Brugham et AL. (2001, p. 426) é um indicador que vislumbra o aspecto da liquidez da tomada de decisão de investimento, quanto mais inferior for o período do payback, outros fatores mantidos contestantes, maior a liquidez do projeto.
Resumindo, o projeto de tempo inferior de retorno de investimento não quer dizer necessariamente que seja a opção mais vantajosa do ponto de vista econômico e financeiro. E apensar mais um fator para auxilio na decisão que os investidores vão tomar na escolho do projeto mais importante.
Valor Presente Liquido
A forma de utilização do Valor Presente Líquido tem sua base no conceito de equivalência monetárias do valor atual do fluxo de caixa. O valor presente liquido é a diferença entre o valor atual das receitas liquidas e o valor atual dos investimentos, levados á data zero do fluxode caixa, utilizando-se para isso a taxa de desconto apropriada: a menor taxa de atratividade do segmentos de negocio
O valor presente liquido de um projeto de investimento pode ser expresso pela equação:
Onde: 
FCj = fluxo de caixa líquido no período j 
i = custo de capital do projeto 
j = período considerado 0, 1, 2, ...k 
O Valor Presente Liquido positivo traduz que a atualização das vantagens sobrepõe os investimentos, e seu valor representa o montante que a empresa devera ganhar se realizar o projeto, em parametrização ao não realizar, ou seja, o ganho em esperar o adicional a remuneração obtida pela aplicação do dinheiro ao custo de capital. Mais rentável será o projeto quando o Valor do Presente Liquido for maior.
Segundo o autor Lemes Júnior et AL. (2005, p. 159), o critério de aceitação-rejeição da metodologia recomenda aceita todos os projetos que o Valor Presente Liquido e maior a zero positivo (0) e não aceitar os projetos que o valor presente liquido seja menor que zero negativo. 
No cenário do Valor Presente Liquido igual a zero, a aprovação do projeto transforme se indiferente, ou seja, terá a mesma relevância que investir o valor a taxa menor de atratividade. 
Segue as expressões que traduzem as aceitações ou rejeições de um projeto segundo o valor presente de liquido “VPL > 0 Aceitar o projeto; VPL = 0 Indiferente; VPL < 0 Rejeitar o projeto”.
Uma das grandes vantagens do Valor Presente Liquido é que pode ser usado em qualquer tipo de fluxo de caixa, inclusive os fluxos de caixa monetários negativos ou positivos. O valor presente líquido e também utilizável em situações de risco, onde as possibilidades podem se associar adequadamente aos fluxos de caixa do projeto.
O Valor Presente Liquido vem para trazer também aos investidos dos projetos um grande poder na tomada de decisão tendo sua formula simples de ser aplicada.
Em virtude da metodologia da aplicação do Valor Presente Liquido não levar em conta o tamanho do investimento pode ser considerar uma desvantagem na aplicação desta índice. Isso nos diz que vários projetos podem nos trazer o mesmo resultado porem com valores de investimentos distintos. Poderia ser o caso de se aplicar 10 e se obter 1 e contrapartida se aplicar 2 e obter 1.
Taxa interna de retorno
A Taxa interna de Retorno temo termo “interno” como indicador a utilização de nenhum indicador externo, como por exemplo, a menor taxa de atratividade usada pelo método do Valor Presente Liquido, são considerados somente os valores “internos” considerando exclusivamente ao fluxo de caixa do projeto.
Para se chegar ao calculo da taxa interna de retorno de algum investimento no projeto e primeiramente preciso se calcular a taxa de desconto que tem como resultado final igualar as entradas presentes no caixa ao valor presente do investimento, ou seja, achar o radical das equações:
Onde: 
FCj = fluxo de caixa líquido no período j 
TIR = taxa interna de retorno 
j = período considerado 0, 1, 2, ...k
A determinação complexa da Taxa Interna de Retorno pode ser vista de forma evidente observando se a equação que engloba todo seu cálculo. Segundo citação de Faro (1979, p. 26) no artigo de Antonio Carlos (2008), a conclusão de taxa interna de retorno e muito dificultosa, quando na verdade envolve o seu cálculo na resolução de um polinômio de grau “n” (numero de períodos no fluxo de caixa), por interpolação linear ou processos matemáticos iterativos. Se os coeficientes desse polinômio só tem uma raiz real positiva que é a única raiz que tem significado econômico. Com o a evolução eletrônica e tecnológica das formas e ferramentas de calculo como as calculadoras financeiras, dos microcomputadores e das planilhas eletrônicas, esse cálculo foi bastante facilitado.
Na metodologia de calculo taxa interna de retorno não existe a integração com ataxa mínima de atratividade porem segundo Ross et al. (2002) recomenda aceitar todos os projetos com taxa interna retorno maiores do que a taxa de mínima de atratividade e não aceitar quaisquer que sejam menores. Pode se concluir na expressão “TIR > TMA Aceitar o projeto; TIR = TMA Indiferente”.
Segundo Ross et al (2000, p 255) citado no artigo de Antonio Carvalho (2008) as regras de decisão da taxa interna de retorno e do Valor presente Liquido conduzem sempre as decisões iguais, sempre que as duas condições muito satisfatórias sejam realizadas.
- O fluxo de caixa do projeto precisa ser convencional, isto é, o primeiro fluxo de caixa é negativo e os demais são positivos;
-O projeto precisa ser independente. A decisão de aceitar ou rejeitar o projeto não afeta a decisão com relação a qualquer outro projeto. 
A metodologia empregada no calculo de Taxa interna de retorno apresenta uma indução a duas falhas relevantes com evidencia na interpretação dos investimentos a serem consideradas na pesquisa. A taxa interna de Retorno leva a função polinomiais e, quando, as equações podem apresentar mais de uma (ou nenhuma) solução, inclusive soluções que não tem significado algum na analise empresarial. A taxa interna de Retorno tem como princípios básicos que todos os valores de um fluxo de caixa, quer sejam positivos ou negativos, andem no tempo á própria taxa interna de retorno. Isso não tem coerência com a realidade, quando as taxas de financiamento e de reinvestimento são diferentes. O calculo da taxa interna de retorno tradicional pode estar superestimado ou subestimado.
Segundo citação de Faro, C. e Fato, P. (1999), “A possibilidade de colapso da taxa interna de retorno provocou uma intensa busca de condições de suficiência para sua aplicabilidade”.
Taxa Interna de Retorno Modificado
Os resultados calculados na Taxa Interna de Retorno podem induzir ao erro na sua interpretação devido a uma das limitações, todos os fluxos de caixa positivos são reinvestidos a taxa de retorno do projeto. Esse principio seria totalmente correto caso não houvesse uma grandediscrepância entre a Taxa Interna de Retorno e a Taxa de desconto utilizada para o projeto.
As formas de execução de cálculos da taxa interna de retorno pode as varias opções de escolhas de taxas internas para um mesmo projeto, se for notado mais de uma inversão de sinal no fluxo de caixa do projeto. A existência de varias taxas, embora matematicamente correto, não tem significado financeiro considerável para o processo de escolha do investimento segundo Ross et al. (2002).
E utilizado para corrigir essa situação o método da Taxa de Retorno Modificado, que usa em seus cálculos taxas de investimentos para reaplicações dos fluxos de caixa intermediários mais compatíveis ao mercado.
Para a construção da expressão da Taxa Interna de Retorno Modificado, os fluxos de caixa intermediários negativos são levados ao valor presente, com uma taxa de financiamento compatível com as do mercado, enquanto que os fluxos intermediários positivos são levados ao valor futuro no ultimo período do fluxo de caixa, a partir de uma taxa de reinvestimento adequada com as praticadas no mercado. Fica fácil e direto com a aplicação da formula de juros compostos com todos os valores do fluxo de caixa concentrados no instante zero e no período final.
A formula de calculo da Taxa Interna de Retorno Modificado traz de volta com facilidade de interpretação seguida do aumento da tomada de decisão dos resultados na forma de taxa, facilita a comparação entre varias taxas de mercado obtendo uma taxa de retorno mais realista.
Usando o método tradicional da Taxa de Retorno Interna Modificada obtemos uma taxa de 24,89%. Considerando que os fluxos de caixa intermediários sejam reinvestidos ao custo de dinheiro próprio de 15%, e levantando no resultado para cada fluxo dos caixas intermediários o seguinte futuro:
VF1 = 300 x (1,15)3 = R$456 
VF2 = 400 x (1,15)2 = R$529 
VF3 = 500 x (1,15)1 = R$575
Colocando esses valores o fluxo de caixa do período 4, obtemos: 
Valor Final = VF1 + VF2 + VF3 + FC4 
Valor Final = 456 + 529 + 575+ 600 = R$2.160
Esse valor final nos da condições para calcular a taxa interna de retorno modificada, a partir da fórmula dos juros compostos: 
TIRM = (2.160/1000)1/4 -1 = 21,23%
Para alguns autores a Taxa Interna de Retorno Modificada é uma taxa de dois lados, uma vez que se mescla o Valor Presente Liquido, que capitaliza os fluxos de Caixas intermediários ao custo de capital, e do método de Taxa Interna de Retorno.
Pode concluir para a obtenção de um resultado igual para uma mesma escala e o mesmo tempo de vida útil de um projeto aos reinvestimentos dos fluxos de caixas intermediários ao custo do capital atrelado ao método da Taxa Interna de Retorno Modificada produzindo estas decisões.
Uma curiosidade sobre alguns pesquisadores, segundo Lin ( 1976, p 238) ele apresenta a expressão matemática da Taxa Interna de retorno Modificada apresentada abaixo:
Onde: 
Yj = Fluxo de caixa positivo no período j; 
Cj = Fluxo de caixa negativo no período j; 
i = Taxa de juros de investimento alternativo.
A formula mostra o valor futuro de todos os fluxos de caixas positivos dividido pelo valor presente de todos os fluxos de caixa negativo. 
Geralmente cada variação do método de Taxa Interna de Retorno Modificada produz uma taxa de retorno singular que leva se ao valor presente dos fluxos de caixa negativos com o valor final, personifica o valor futuro de todos os fluxos de caixa positivos no período final da vida útil de um projeto de investimento. A opinião e expressão de diversos trabalhos dos autores como Houston, Weston, Ehrhardt e Brigham se da pela formula geral da Taxa Interna de Retorno Modificado demonstrada em:
Onde: 
FCE = Fluxos de caixa positivos 
FCS = Fluxos de caixa negativos 
K = Custo de capital
Um projeto de investimento e aprovado se a Taxa Interna de Retorno Modificada estabelecida for igual ou superior ao custo de capital da empresa.
Se os fluxos de caixas de um projeto foram comuns e se os projetos forem independentes, os métodos da taxa interna de retorno modificada e do valor presente liquido levarão as mesmas escolhas de aprovação ou reprovação. Para melhor demonstrar segue as expressões que demonstram as situações “TIRM > TMA Aceitar o projeto; TIRM = TMA Indiferente: TIRM < TMA Rejeitar o projeto”.
Abaixo segue um quadro para melhor exemplificar as vantagens e desvantagens.
VANTAGENS DESVANTAGENS 
• Relacionado ao VPL, geralmente levando às mesmas decisões. 
• Fácil de entender e transmitir. 
• Supera o problema das múltiplas TIRs 
• Resolve o problema do pressuposto da taxa de reinvestimento da TIR 
• Pode levar a decisões erradas em comparações de projetos mutuamente exclusivos. 
 Bibliografia : 
MATHIAS, Washington Franco & GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. 
São Paulo: Atlas, 1886, ISBN 85-224-0812-2 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à Análise de 
Investimentos. 3ª ed. São Paulo: Pearson, 2004, ISBN 85-87918-07-9. 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6ª ed. São 
Paulo: Atlas, 2001, ISBN 85-224-27777-1
IBGE