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Leitura em
Mecaˆnica Quaˆntica Aplicada
Ph.W. Courteille
Universidade de Sa˜o Paulo
Instituto de F´ısica de Sa˜o Carlos
4 de Outubro de 2013
2
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
A mecaˆnica quaˆntica de Heisenberg e Schro¨dinger e´, junto com a teoria da relatividade de Ein-
stein, a teoria mais fundamental da f´ısica. Engloba todo o resto da f´ısica com a excec¸a˜o da
gravitac¸a˜o. Na verdade, a mecaˆnica quaˆntica como a teoria da relatividade podem ser consid-
eradas meta-teorias, pois cada teoria ou modelo que trata de um qualquer sistema ou fenoˆmeno
especifico tem uma interpretac¸a˜o cla´ssica ou quaˆntica, respectiva relativista. Sistemas altamente
excitados sa˜o normalmente bem descritos pelas leis da mecaˆnica cla´ssica, ma´s em baixas ener-
gias observe-se experimentalmente um comportamento totalmente diferente, incompat´ıvel com
as leis cla´ssicas e frequentemente com o entendimento sauda´vel.
Na˜o obstante, a mecaˆnica quaˆntica entrou no mundo cotidiano, transistor, laser, bomba
nuclear, etc.. A raza˜o disso e´, que sistemas de baixas energias sa˜o facilmente controla´vel e
manipulavel, e podem ser utilizados para operac¸o˜es ra´pidas e precisas. O computador quaˆntico
pode ser a pro´xima etapa.
Hoje em dia a mecaˆnica quaˆntica e´ ta˜o importante que e´ praticamente sinoˆnima com ”f´ısica”.
A parte cla´ssica deixamos com engenheiros, quando o sistema consiste de mais do que uma
mole´cula ou si a mole´cula e´ complicada demais, deixamos com qu´ımicos, quando o sistema
comec¸a a se mover ou crescer sozinho preferemos deixar com bio´logos. Mesmo assim, a mecaˆnica
quaˆntica e´ longo de ser cumprida, e cada dia temos surpresas ou descobertas revoluciona´rios.
Trabalhar nessa a´rea e´ realmente uma desafio quotidiano para o bom entendimento.
O objetivo desse curso e´ 1. a introduc¸a˜o no universo da mecaˆnica quaˆntica e 2. a aplicac¸a˜o
das leis em sistemas de baixas energias. As sistemas de baixa energia mais puros sa˜o gases de
a´tomos frios interagindo com radiac¸a˜o o´ptica. Esses no´s levaram ate´ a criac¸a˜o de estados quasi
macrosco´picos, ma´s mesmo assim puramente quaˆnticos, os ”Condensados de Bose-Einstein”.
O audito´rio desse curso de Mecaˆnica Quaˆntica Aplicada sa˜o alunos de va´rias cieˆncias exatas
com va´rias n´ıveis de noc¸o˜es ba´sicas da mecaˆnica quaˆntica.
1.1 Conteu´do
1) Operadores em mecaˆnica quaˆntica
2) Postulados da mecaˆnica quaˆntica e equac¸a˜o de Schro¨dinger
3) Mecaˆnica quaˆntica matricial. Movimento linear e oscilador harmoˆnico. Momento angular e
a´tomo de hidrogeˆnio. Teoria de perturbac¸a˜o e me´todo variacional. Noc¸o˜es sobre simetrias e
representac¸a˜o de grupos. Estruturas atoˆmicas e moleculares. Rotac¸o˜es e vibrac¸o˜es moleculares.
Transic¸o˜es eletroˆnicas moleculares. Propriedades ele´tricas e o´pticas de mole´culas.
No semina´rio o estudante apresentara´ um to´pico em 15 minutos. Ele tambe´m entregara´ um
trabalho cient´ıfico de 4 paginas em forma digital. To´picos poss´ıveis sa˜o:
3
4 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
- Condensac¸a˜o de Bose-Einstein,
- Estados comprimidos - squeezed states,
- O me´todo de Hartree-Fock,
- A radiac¸a˜o do corpo negro e sua influencia sobre os estados dos a´tomos,
- O efeito Zeno quaˆntico,
- Evoluc¸a˜o temporal de uma part´ıcula livre descrita por um pacote de onda gaussiano unidi-
mensional,
- A´tomos exo´ticos: O muonio,
- O salto quaˆntico. A sua historia e observac¸a˜o,
- O gato de Schro¨dinger,
- O a´tomo de he´lio,
- A hipo´tese de Einstein-Podolski-Rosen e a sua falsificac¸a˜o experimental.
1.2 Forma de Avaliac¸a˜o
Uma prova escrita e um semina´rio sobre to´picos especiais.
1.3 Bibliografia
P.W. Atkins e R.S. Friedman, Molecular Quantum Mechanics (Oxford University 1997, 2001)
I.N. Levine, Quantum Chemistry, (Boston, Allyn and Bacon, 1983)
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum mechanics, vol. 1, (Wiley Interscience)
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o 3
1.1 Conteu´do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Forma de Avaliac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Fundac¸a˜o da mecaˆnica quaˆntica 1
2.1 Antecedentes histo´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1.1 Relac¸a˜o de dispersa˜o e equac¸a˜o de Schro¨dinger . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Interpretac¸a˜o de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Equac¸a˜o de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.4 Distribuic¸o˜es no espac¸o e no momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.5 Valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.6 Evoluc¸a˜o temporal de valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Formalismo da mecaˆnica quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Principio de superposic¸a˜o (Postulado 1.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Interpretac¸a˜o da func¸a˜o de onda (Postulado 2.) . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Notac¸a˜o bra-ket de Dirac e representac¸a˜o com vetores . . . . . . . . . . . 6
2.2.4 Observa´veis (Postulado 3.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.5 Representac¸a˜o de operadores como matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.6 Princ´ıpio de correspondeˆncia (Postulado 4.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.7 Equac¸a˜o de Schro¨dinger e medidas quaˆnticas (Postulado 5.) . . . . . . . . 9
2.2.8 O gato de Schro¨dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.9 Equac¸a˜o estaciona´ria de Schro¨dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Formulac¸a˜o abstrata da mecaˆnica quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 A´lgebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Bases completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3 Degeneresceˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.4 Bases como operadores unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.5 Sistema completa de operadores comutandos . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.6 Relac¸a˜o de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.7 Simetrias na mecaˆnica quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.8 Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Evoluc¸o˜es temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Transformac¸o˜es unita´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Imagens de Heisenberg e de Schro¨dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3 Teorema de Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Movimento linear / Potenciais separa´veis 23
3.1 Movimento translacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Bom comportamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Separac¸a˜o das dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5
6 CONTEU´DO
3.2 Potencial retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Potencial de caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 Potencial de caixa multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 Potenciais com va´rias sec¸o˜es de profundidades constantes . . . . . . . . . 25
3.2.4 Poc¸o de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1 Matriz T de espalhamento . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Matriz S de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 Tunelamento e reflexa˜o quaˆntica num poc¸o de potencial . . . . . . . . . . 29
3.3.4 Coliso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.5 Teoria de espalhamento ela´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Oscilador harmoˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Fatorizac¸a˜o do hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.2 Oscilador harmoˆnico na representac¸a˜o espacial . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.3 Propriedades do oscilador harmoˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.4 Oscilador harmoˆnico multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.5 Estados coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.6 Evoluc¸a˜o temporal do oscilador harmoˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.7 Quantizac¸a˜o do campo eletromagne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Movimento orbital / O a´tomo de hidrogeˆnio 43
4.1 Part´ıcula num potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Transformac¸a˜o em coordenadas relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.2 Part´ıcula num potencial cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.3 Hamiltoniano em coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.4 A equac¸a˜o de Schro¨dinger radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.5 Rotor r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.6 O modelo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1 Operador do momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2 A´lgebra SU(2) do momento angular e spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.3 O spin do ele´tron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Acoplamento de momentos angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Bases desacopladas e acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Coeficientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Me´todos de aproximac¸a˜o 61
5.1 Perturbac¸o˜es estaciona´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Me´todo de perturbac¸a˜o para um sistema de dois n´ıveis . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Me´todo de perturbac¸a˜o independente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.3 TPIT com estados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Me´todo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1 Frac¸a˜o de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 Me´todo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Perturbac¸o˜es temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.1 Sistema de dois n´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
CONTEU´DO 7
5.3.2 A formula de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.3 Me´todo de perturbac¸a˜o dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Transic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.1 Taxas de transic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.2 Perturbac¸o˜es perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.3 Radiac¸a˜o do corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4.4 Probabilidades de transic¸o˜es de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4.5 Largura natural de uma transic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5 Me´todos nume´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5.1 Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.2 Simulac¸o˜es de Monte-Carlo da func¸a˜o de onda . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 A´tomos com spin em campos externos 81
6.1 Estrutura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.1 Acoplamento spin-o´rbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.2 Correc¸o˜es relativ´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 Estrutura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1 Deslocamento de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Interac¸a˜o com campos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1 Efeito Zeeman da estrutura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.2 Efeito Zeeman da estrutura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.3 Efeito Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.4 Regras de selec¸a˜o para emissa˜o em certas direc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 A´tomos de muitos ele´trons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4.1 Simetrizac¸a˜o de fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4.2 O princ´ıpio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4.3 He´lio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4.4 Me´todo de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4.5 Modelo da camada eletroˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.6 Resumo dos graus de liberdade de um a´tomo . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7 Mole´culas 105
7.1 Ligac¸a˜o molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.1 Ligac¸a˜o ioˆnica e covalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.2 Estrutura dos n´ıveis molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.1.3 Energia de localizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Aproximac¸a˜o de Born-Oppenheimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.1 Dı´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.2 Hamiltoniano molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.3 Potenciais de curto e longo alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 Bandas rotacionais e vibracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3.1 Excitac¸o˜es rotacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3.2 Regras de selec¸a˜o rotacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.3 Excitac¸o˜es vibracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.4 Vibrac¸o˜es anharmoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3.5 Regras de selec¸a˜o vibracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 CONTEU´DO
7.3.6 Espectros ro-vibracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
0 CONTEU´DO
Cap´ıtulo 2
Fundac¸a˜o da mecaˆnica quaˆntica
2.1 Antecedentes histo´ricos
No final do se´culo 19, tudo parecia simples: a mate´ria e a luz era tudo que existe. A mate´ria
e´ constitu´ıda de a´tomos e luz e´ uma onda. Portanto, para descrever um sistema real, so´ basta
calcular as trajeto´rias das suas part´ıculas elementares, a propagac¸a˜o da luz e a maneira como
eles interagem. Claro que no´s sabemos agora que a vida na˜o e´ ta˜o simples,e que os a´tomos sa˜o
tambe´m ondas e luz tambe´m se comporta como part´ıculas.
Fricc¸o˜es entre as noc¸o˜es antigas e´ observac¸o˜es novas apareceram no fim do se´culo 19, como
por exemplo a divergeˆncia infravermelha da radiac¸a˜o do corpo negro. O pioneiro das novas
ide´ias fui Max Planck, que em 1905, com uma pequena ajuda de Einstein quantisou o campo
eletromagne´tico, e portanto a luz, em pequenos osciladores harmoˆnicos. Isso fui o ponto de
partida do desenvolvimento de uma nova teoria chamada de mecaˆnica quaˆntica. Logo essa teoria
fui aplicada para explicar o efeito fotoele´trico. A segunda etapa importante fui inicializada por
Niels Bohr que quantisou em 1913 o a´tomo de hidrogeˆnio em n´ıveis de excitac¸a˜o discretos.
Nesse curso de mecaˆnica quaˆntica aplicada nos vamos concentrar na mate´ria, isto e´, aplicar
essa teoria em ele´trons, a´tomos e mole´culas. So´ daremos uma pequena perspectiva para a
quantizac¸a˜o da luz.
Tabela 2.1: Esboc¸o histo´rico da quantizac¸a˜o da luz
1801 Young Luz e´ difratada como uma onda
1860 Maxwell teoria unificada da eletrodinaˆmica incluindo a luz
1888 Hertz detecc¸a˜o de ondas ra´dio
∼ 1890 medidas precisas do espectro de radiac¸a˜o do corpo negro
1900 Planck hipo´tese dos quantas: E = hν
1905 Einstein efeito foto ele´trico, a luz se comporta como uma part´ıcula
A ide´ia de que mate´ria e´ feita de part´ıculas menores vem Leukipp 500 anos a.c. Seu aluno
Demokrit achou que os a´tomos se movem livremente, colidem, combinam-se e separam-se: ”Ha´
nada mais e´ a´tomos e espac¸o livre.”Os a´tomos microsco´picos teriam as mesmas caracter´ısticas
como os objetos macrosco´picos que eles formam quando se combinam, por exemplo a cor e a
forma. Hoje sabemos que a ide´ia ba´sica era bom, ma´s a realidade e´ um pouco mais complicado.
No seguinte, em vez de seguir o curso histo´rico, introduziremos primeiro o formalismo da
mecaˆnica quaˆntica e discutiremos depois, como interpretar e aplicar o formalismo.
1
2 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
Tabela 2.2: Esboc¸o histo´rico da quantizac¸a˜o da mate´ria
500 a.c. Demokrit invenc¸a˜o do a´tomo
1800 Avogadro, Dalton reinvenc¸a˜o do a´tomo
1897 Thomson transporte de cargas, modelo de passas num bolo
1909 Rutherford, Geiger, Marsden espalhamento α, concentrac¸a˜o da carga num nu´cleo
1911 Rutherford modelo planeta´rio
1900 Bohr orbitais quantizados
1923 de Broglie mate´ria tem caracter´ısticas de ondas
1927 Davisson, Germer, Stern experieˆncias de difrac¸a˜o de ele´trons e a´tomos
2.1.1 Relac¸a˜o de dispersa˜o e equac¸a˜o de Schro¨dinger
Apesar das similaridades entre part´ıculas de luz e part´ıculas de material, existem diferencias
nota´veis: O fo´ton e´ uma part´ıcula relativista, na˜o tem massa de repouso. No entanto, com a
ide´ia que uma part´ıcula massiva tem qualidade de onda podemos tentar um ansatz de equac¸a˜o
de onda pelo menos para part´ıculas que sa˜o similares a luz no sentido que tem velocidades altas,
isto e´, part´ıculas relativ´ısticas.
Da formula de Planck, E = ~ω e da formula de de Broglie, p = ~k, utilizando o principio
relativ´ıstico de equivaleˆncia entre massa e energia, obtemos para uma part´ıcula massiva
E2 = m2c4 + c2p2 ou ω2 − c2k2 = m
2c4
~2
. (2.1)
Dessa equac¸a˜o segue a equac¸a˜o de Klein-Gordon
∂2
∂t2
A− c2∇A = −m
2c4
~2
A , (2.2)
que e´ resolvida por um pacote de ondas (na˜o sujeito a´ forc¸as exteriores)A(r, t) =
∫
ei(kr−ωt)a(k)d3k.
Agora fazemos a transic¸a˜o para velocidades na˜o-relativ´ısticas, v � c, podemos expandir a
relac¸a˜o de dispersa˜o,
E =
√
m2c4 + c2m2v2 = mc2
(
1 +
v2
2c2
+ ..
)
ou ~ω = mc2 +
~2k2
2m
. (2.3)
e obter a equac¸a˜o de ondas
i~
∂
∂t
A =
(
mc2 − ~
2
2m
∇
)
A , (2.4)
ou com a transformac¸a˜o ψ = eimc
2t/~A,
i~
∂
∂t
ψ = − ~
2
2m
∆ψ . (2.5)
Si a part´ıcula e´ dentro de um potencial, a sua energia total e´ E = p2/2m+ V (r, t). Com a
substituic¸a˜o
E −→ i~ ∂
2
∂t2
e p −→ −i~ ∂
∂t
, (2.6)
obtemos a equac¸a˜o de Schro¨dinger
i~
∂
∂t
ψ =
(
− ~
2
2m
∆ + V (r, t)
)
ψ . (2.7)
2.1. ANTECEDENTES HISTO´RICOS 3
2.1.2 Interpretac¸a˜o de Born
Segundo a nossa convicc¸a˜o atual, a verdade completa (negligenciando efeitos relativ´ısticos) sobre
um sistema e´ conteu´do nessa equac¸a˜o de Schro¨dinger. Essa declarac¸a˜o na˜o nos deixe mais esperto
do que antes. Precisamos saber a significac¸a˜o da func¸a˜o de onda. Max Born propoˆs no ano 1926
a interpretac¸a˜o da quantidade ∫
V
|ψ(r, t)|2d3r (2.8)
como probabilidade de encontrar a part´ıcula no volume V .
Si |ψ(r, t)|2 tem a significac¸a˜o de uma densidade de probabilidade, o quadrado da func¸a˜o de
onda deve ser integra´vel, ∫
R3
|ψ(r, t)|2d3r <∞ . (2.9)
Isso no´s permite de normalizar a func¸a˜o de onda,
∫
R3 |ψ(r, t)|2d3r ≡ 1.
2.1.3 Equac¸a˜o de continuidade
Em mecaˆnica quaˆntica associamos a func¸a˜o de onda que descreve um sistema quaˆntico a uma
”onda de probabilidade”. Como a equac¸a˜o de Schro¨dinger descreve uma evoluc¸a˜o temporal,
para ser u´til, a func¸a˜o de onda deve permitir fluxos de probabilidade. Vamos definir a densidade
de probabilidade e o fluxo de probabilidade por
ρ(r, t) = ψ∗(r, t)ψ(r, t) (2.10)
j(r, t) =
~
2mi
[ψ∗(r, t)∇ψ(r, t)− ψ(r, t)∇ψ∗(r, t)] .
Partindo da equac¸a˜o de Schro¨dinger podemos facilmente derivar a equac¸a˜o de continuidade
ρ˙(r, t) +∇j(r, t) = 0 . (2.11)
Na forma integral,
− d
dt
∫
V
ρd3r =
∫
V
∇ · jd3r =
∮
∂V
j · dS . (2.12)
Sendo I =
∫
S
~j · d~S a ”corrente”de probabilidade que flui atrave´s da superf´ıcie S que delimita a
”carga”de probabilidade
∫
V ρ(~r, t)d
3~r, obtemos
−Q˙ = I . (2.13)
A equac¸a˜o da continuidade e´ obviamente similar a`quela do eletromagnetismo.
Exerc´ıcio: 1 Demonstre a conservac¸a˜o local da probabilidade atrave´s das definic¸o˜es das densi-
dades de probabilidade, ρ(~r, t), e de corrente ~j(~r, t). 1
1Veja Cohen-Tannoudji, Cap.III,D-1-c
4 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
2.1.4 Distribuic¸o˜es no espac¸o e no momento
Ate´ agora so´ falamos de distribuic¸o˜es espaciais, ψ(r, t). Ma´s tambe´m poderia´mos falar de dis-
tribuic¸o˜es de velocidade ou de momento. Na mecaˆnica cla´ssica, uma part´ıcula tem uma posic¸a˜o
e uma velocidade bem definida. Sabendo a posic¸a˜o e a velocidade, usando as equac¸o˜es de New-
ton podemos predizer as coordenadas nos tempos futuros. Vamos analisar, si a equac¸a˜o de
Schro¨dinger permite isso tambe´m.
A soluc¸a˜o mais geral dessa equac¸a˜o pode ser escrito como superposic¸a˜o de ondas planas
ei(r·k−ωt) com ~ω = p2/2m e ~k = p:
ψ(r, t) =
∫
d3p 1
(2pi~)3/2ϕ(p)e
i(r·k−ωt) =
∫
d3p 1
(2pi~)3/2ϕ(p)e
i(r·p/~−p2t/2m) . (2.14)
No tempo t = 0, isso e´ uma transformac¸a˜o de Fourier,
ψ(r, 0) =
∫
d3p 1
(2pi~)3/2ϕ(p)e
ir·k , (2.15)
que podemos inverter,
ϕ(p) =
∫
d3r 1
(2pi~)3/2ψ(r, 0)e
−ir·k . (2.16)
Na auseˆncia de forcas a distribuic¸a˜o de momento fica estaciona´ria. Podemos agora utilizar a
distribuic¸a˜o de momento para como coeficientes da expansa˜o da func¸a˜o de onda temporal, escrita
acima. Assim, a expansa˜o representa uma soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Schro¨dinger.
A quantidade |ϕ(p)|2 e´ a densidade de probabilidade no espac¸o de momento. E´ fa´cil mostrar∫
|ϕ(p)|2d3p = 1
(2pi~)3
∫
d3p
∫
d3rψ∗(r)eir·k
∫
d3r′ψ(r′)e−ir
′·k (2.17)
=
∫
d3p
∫
d3r
∫
d3r′ψ∗(r)ψ(r′)δ3(r− r′) = 1 .
Como as probabilidades |ψ(r)|2 e |ϕ(p)|2 sa˜o interligados por transformac¸a˜o de Fourier, ja´
sabemos que na˜o podemos localizar as duas simultaneamente. Si uma delas esta´ bem localizada,
a outra e´ necessariamente deslocalizada.
Exerc´ıcio: 2 A distribuic¸a˜o espacial de uma part´ıcula seja dada por uma func¸a˜o gaussiana
com a largura ∆x. Calcula a distribuic¸a˜o de momento e a sua largura ∆p.So´ considere uma
dimensa˜o.
2.1.5 Valores esperados
Ja´ vimos que as distribuic¸o˜es posic¸a˜o e momento de uma part´ıcula sa˜o manchados. Calculamos
os valores me´dios dessas distribuic¸o˜es assim:
〈r〉 =
∫
d3r|ψ(r, t)|2r e 〈p〉 =
∫
d3p|ϕ(p, t)|2p . (2.18)
2.1. ANTECEDENTES HISTO´RICOS 5
Agora podemos calcular,
〈p〉 =
∫
d3pϕ∗(p)
∫
d3r 1
(2pi~)3/2ψ(r)pe
−ir·k (2.19)
=
∫
d3pϕ∗(p)
∫
d3r 1
(2pi~)3/2ψ(r)
(−~i )∇e−ir·k
=
∫
d3pϕ∗(p)
∫
d3r 1
(2pi~)3/2 e
−ir·k ~
i∇ψ(r) =
∫
d3rψ∗(r)~i∇ψ(r) .
Aqui utilizamos
∫
V ψ∇ξ =
∮
∂V ψξ−
∫
V ψ
′ξ = − ∫V (∇ψ)ξ desde que a func¸a˜o u deve desaparecer
na borda do volume. O resultado e´, que o valor esperado do momento pode ser exprimido atrave´s
de um operador pˆ ≡ (~/i)∇ agindo sobre a func¸a˜o de onda.
Mais geralmente, podemos calcular o valor esperado de uma func¸a˜o de r e p
〈f(r,p)〉 =
∫
d3rψ∗(r)f(r, pˆ)ψ(r) . (2.20)
Ma´s aqui e´ importante notar, que os operadores rˆ e pˆ na˜o necessariamente comutam. Por
exemplo,
pˆxxψ =
~
i
d
dx
xψ =
~
i
ψ + x
~
i
d
dx
xψ 6= x~
i
d
dx
xψ = xpˆxψ . (2.21)
2.1.6 Evoluc¸a˜o temporal de valores esperados
Com a derivada temporal da componente x da posic¸a˜o
d
dt
〈x〉 =
∫
d3r
d
dt
|ψ|2x = −
∫
d3rx∇j = −
∫
dSxj +
∫
d3rj∇x =
∫
d3rjx , (2.22)
podemos escrever
d
dt
〈mr〉 = m
∫
d3rj = m
∫
d3r
~
2mi
[ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗] (2.23)
=
1
2
∫
d3r[ψ∗pˆψ + ψpˆψ∗] =
∫
d3rψ∗pˆψ = 〈pˆ〉 ,
porque pˆ e´ hermitiano.
Agora vamos calcular a segunda derivada,
d
dt
〈pˆ〉 =
∫
d3r
[(
1
i~Hˆψ
)∗
pˆψ + ψ∗pˆ 1i~Hˆψ
]
=
i
~
∫
d3rψ∗(Hˆpˆ− pˆHˆ)ψ = i
~
〈[Hˆ, pˆ]〉 . (2.24)
Depois,
i
~
〈[Hˆ, pˆ]〉 = i
~
〈[Vˆ , pˆ]〉 = i
~
∫
d3rψ∗
[
Vˆ
~
i
∇ψ − ~
i
∇(V ψ)
]
= −
∫
d3rψ∗ψ∇V = 〈Fˆ〉 . (2.25)
Essa equac¸a˜o se chama teorema de Ehrenfest. O teorema afirma que na mecaˆnica quaˆntica os
valores me´dios seguem as mesmas leis da mecaˆnica cla´ssica. A lei de Newton,
〈Fˆ〉 = d
2
dt2
〈mrˆ〉 , (2.26)
e um exemplo. Leis similares sa˜o va´lidas para o momento angular e a conservac¸a˜o de energia.
6 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
2.2 Formalismo da mecaˆnica quaˆntica
O desenvolvimento formal da mecaˆnica quaˆntica sera´ o assunto desse sec¸a˜o. Aprenderemos o que
sa˜o observa´veis e conheceremos os postulados que estabelecem a fundac¸a˜o da mecaˆnica quaˆntica
e o famoso principio da incerteza de Heisenberg.
2.2.1 Principio de superposic¸a˜o (Postulado 1.)
Um sistema f´ısico pode se encontrar em va´rios estados. Uma part´ıcula pode ser em repouso
ou em movimento, um a´tomo de dois n´ıveis pode ser excitado ou deexcitado. Na mecaˆnica
quaˆntica, cada estado poss´ıvel e´ descrito por uma func¸a˜o de onda ψ. As func¸o˜es de ondas
podem ser func¸o˜es de va´rios tipos de coordenadas, ψ = ψ(~r), ψ = ψ(~p) ou ψ = ψ(E). A escolha
dos coordenados se chama representac¸a˜o. Um sistema pode ser em va´rios estados, por exemplo,
ψ1, ψ2, ..., ψk, ou mesmo em superposic¸o˜es de estados. Isto e´, si os ψk sa˜o estados poss´ıveis do
sistema com amplitudes αk, automaticamente a func¸a˜o
ψ =
∑
k
αkψk (2.27)
e´ um estado poss´ıvel tambe´m. Isso se chama principio de superposic¸a˜o. Significa, por exemplo
que uma part´ıcula pode ser simultaneamente em va´rios lugares ou que um a´tomo pode ser no
mesmo tempo excitado ou deexcitado.
Tem sistemas que so´ podem existir num nu´mero restrito de estados, como o a´tomo de dois
n´ıveis. Outros podem existir num nu´mero infinito de estados ou mesmo numa distribuic¸a˜o
continua de estados.
2.2.2 Interpretac¸a˜o da func¸a˜o de onda (Postulado 2.)
A func¸a˜o de estado (ou func¸a˜o de onda) caracteriza um sistema do qual podemos calcular va´rias
propriedades. A func¸a˜o pode ter valores complexas e na˜o tem interpretac¸a˜o f´ısica imediata. E´
um constructo matema´tico. No entanto, a norma |ψ|2 tem a significac¸a˜o de uma probabilidade
do sistema de estar no estado ψ. Isso e´ a interpretac¸a˜o de Born da func¸a˜o de onda.
Si ψk sa˜o todos os estados poss´ıveis de um sistema, a interpretac¸a˜o como probabilidade
requier ∑
k
|ψk|2 = 1 . (2.28)
Ou seja na representac¸a˜o espacial ∫ ∞
−∞
|ψ(x)|2 · dx = 1 . (2.29)
Isso e´ por causa da normalizac¸a˜o da probabilidade.
2.2.3 Notac¸a˜o bra-ket de Dirac e representac¸a˜o com vetores
Para distinguir mais facilmente os amplitudes (que sa˜o nu´meros complexos) e func¸o˜es de onda
utilisaremos desde agora a notac¸a˜o Bra-Ket de Dirac. As func¸o˜es sa˜o representados por kets,
|ψ〉 =
∑
k
αk|k〉 . (2.30)
2.2. FORMALISMO DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 7
As transposic¸o˜es complexas destes estados sa˜o representados por bras,
〈ψ| = |ψ〉† =
∑
k
α∗k〈k| . (2.31)
Porque esta notac¸a˜o? Si conhecemos uma base do sistema, tambe´m podemos exprimir a
func¸a˜o de onda por um vetor. Por exemplo, sabemos que |1〉, |2〉 e |3〉 sa˜o treˆs estados poss´ıveis
do sistema e linearmente independentes. Enta˜o podemos definir,
|1〉 =
10
0
 |2〉 =
01
0
 |3〉 =
00
1
 . (2.32)
Um estado ket arbitra´rio sera´ enta˜o
|ψ〉 =
α1α2
α3
 . (2.33)
O estado bra correspondente sera´
〈ψ| = (α∗1 α∗2 α∗3) . (2.34)
Agora podemos calcular a probabilidade de um sistema ser num estado |ψ〉 facilmente,
||ψ〉|2 = 〈ψ|ψ〉 = (α∗1 α∗2 α∗3) ·
α1α2
α3
 = |α1|2 + |α2|2 + |α3|2 . (2.35)
2.2.4 Observa´veis (Postulado 3.)
O u´nico jeitos de achar informac¸o˜es sobre um sistema e´ de medir os valores de grandezas car-
acter´ısticas do sistema, por exemplo a energia ou o momento linear. Na mecaˆnica quaˆntica as
grandezas f´ısicas observa´veis sa˜o descritos por operadores lineares e hermiteanos agindo sobre
o espac¸o de Hilbert das func¸o˜es de onda. Por distinguir melhor os observa´veis, frequentemente
colocaremos um chape´u no s´ımbolo. Por exemplo, Pˆ seria o operador do momento linear.
Para achar os valores atuais de uma qualquer observa´vel Aˆ numa situac¸a˜o especifica dada
por uma func¸a˜o de onda ψ precisamos resolver uma equac¸a˜o de autovalores,
Aˆ|ψ〉 = an|ψ〉 . (2.36)
Podemos reescrever a equac¸a˜o como an = 〈ψ|Aˆ|ψ〉. Os valores an sa˜o nu´meros reais, si a
observa´vel e´ hermiteana,
Aˆ = Aˆ† =⇒ an = a∗n . (2.37)
Exerc´ıcio: 3 Demonstre que os autovalores de uma observa´vel sa˜o reais.
O valor esperado Aˆ num estado |ψ〉 e´ Aψ ≡ 〈Aˆ〉ψ ≡ 〈ψ|Aˆ|ψ〉/〈ψ|ψ〉. Cada sistema quaˆntico
e´ completamente descrito por um conjunto completo de varia´veis dinaˆmicos quem, num estado
especifico do sistema adotam valores caracter´ısticos. Pela equac¸a˜o de movimento postulamos a
generalizac¸a˜o dos varia´veis dinaˆmicos Aψ que sa˜o operadores |ψ〉 7→ Aˆ|ψ〉. Tal operadores sa˜o
espec´ıficos para um sistema e independentes dos seu estado. Os varia´veis dinaˆmicos para um
estado especifico sa˜o obtidos com autovalores de um vetor de estado na varia´vel respectiva.
8 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
2.2.5 Representac¸a˜o de operadores como matrizes
Podemos representar os operadores como matrizes,
Aˆ ≡
∑
i,j
|i〉aij〈j| =
 :.. aij ..
:
 =
 :.. 〈j|Aˆ|i〉 ..
:
 . (2.38)
Por exemplo, 〈1|Aˆ|1〉 = (1 0 ..) · Aˆ ·
10
:
.
Projetores sa˜o definidos por,
pˆR ≡ |k〉〈k| =
0 : 0.. 1 ..
0 : 0
 . (2.39)
Por exemplo, 〈Pˆk〉 =
∑
n〈n|Pˆk|n〉 = |〈n|k〉|2.
Utilizando o formalismo de matrizes podemos definir outros operadores interessantes e veri-
ficar os seus propriedades,
|1〉〈1| =
(
1 0
0 0
)
, |2〉〈2| =
(
0 0
0 1
)
, (2.40)
|1〉〈2| =
(
0 1
0 0
)
= σ− , |2〉〈1| =
(
0 0
1 0
)
= σ+
de maneira que Hˆ = ~ω0|2〉〈2|. Os operadores de subida e descida, σ±, tambe´m se chamam
matrizes de Pauli. O vetor
~σ ≡
 σ+ + σ−i(σ− − σ+)
[σ+, σ−]
 (2.41)
e´ o vetor de Bloch que encontraremos mais tarde.
2.2.6Princ´ıpio de correspondeˆncia (Postulado 4.)
Os operadores posic¸a˜o e momento na˜o comutam,
[pˆj , xˆk] = −i~δjk e [pj , pk] = 0 = [xj , xk] . (2.42)
A mecaˆnica quaˆntica segue da mecaˆnica cla´ssica com a prescric¸a˜o, A(qk, pk, t) −→ A(qˆk, pˆk, t) =
A(qˆk, pˆk, t),
2 e vice versa. Deixando a menor quanta de energia poss´ıvel, ~ −→ 0, o comutador
desaparece, o espectro de energia torna-se continuo e recuperamos a mecaˆnica cla´ssica.
2Considerando o ordem de Weyl.
2.2. FORMALISMO DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 9
2.2.7 Equac¸a˜o de Schro¨dinger e medidas quaˆnticas (Postulado 5.)
A evoluc¸a˜o temporal e´ dada pela equac¸a˜o de Schro¨dinger
i~
∂
∂t
|ψ〉 = Hˆ|ψ〉 . (2.43)
Um sistema fechado, sem conexo˜es com o resto do mundo, desde agora chamado reservato´rio,
e´ descrito por hamiltoniano hermiteano. Um tal hamiltoniano na˜o e´ sujeito a´ dissipac¸a˜o, isto e´,
na˜o perde energia para o reservato´rio. Ma´s si isso for o caso, na˜o podemos descrever por uma
equac¸a˜o de Schro¨dinger o processo de uma medida quaˆntica. Pois antes da medida o sistema
pode ser em va´rios estados ou mesmo uma superposic¸a˜o de estados, enquanto depois da medida
sabemos exatamente o estado. Isso equivale a´ uma reduc¸a˜o de entropia, que na˜o e´ permitida
num sistema fechado.
O famoso postulado de von Neumann de reduc¸a˜o de estado ou de projec¸a˜o da func¸a˜o de onda
descreve o processo de uma medida quaˆntica em duas etapas distintas.3 Numa primeira fase o
aparelho de medida projeta o operador medido Aˆ numa base de autovetores. Isto e´, si a medida
e´ compat´ıvel com o operador, obtemos uma distribuic¸a˜o de amplitudes de probabilidade dos
resultados
〈Aˆ〉 = 〈ψ|Aˆ|ψ〉 = 〈ψ|Aˆ|
∑
k
ck|k〉 =
∑
k
akck〈ψ|k〉 =
∑
k
ak|ck|2 , (2.44)
com 〈ψ|ψ〉 = ∑k |ak|2 = 1. Por isso, podemos entender |〈k|ψ〉|2 como a probabilidade do sistema
de ser no autoestado |k〉.
Na segunda fase, o medidor vai ler o aparelho de medida, notar o resultado. Si o estado
e´ estaciona´rio, ele nunca vai mudar mais. Isto e´, cada medida subsequente vai dar o mesmo
resultado.
Exerc´ıcio: 4 Explique a ide´ia da medida quaˆntica no exemplo de uma medida da energia de
excitac¸a˜o de um a´tomo de dois n´ıveis.
2.2.8 O gato de Schro¨dinger
Uma das a´reas de investigac¸o˜es mais interessantes e´ a interface entre os mundo cla´ssicos e
quaˆnticos, macrosco´picos e microsco´picos. No inicio a questa˜o mais importante para os pioneiros
da mecaˆnica quaˆntica era: ”Como e´ poss´ıvel que uma part´ıcula voa simultaneamente atrave´s de
dois buracos?”Hoje em dia, esse fato e´ aceitado sem ser entendido. O pessoal se acostumou com
isso. A questa˜o que a f´ısica moderna faz e´: ”Como pode ser que o mundo cla´ssico e´ ta˜o diferente
do mundo quaˆntico?”, ”Porque a mecaˆnica quaˆntica permite superposic¸o˜es quaˆnticas de estados
que sa˜o classicamente proibidos?”, ”Porque no as leis fundamentais da mecaˆnica quaˆntica sa˜o
invaria´veis quando a flecha do tempo esta´ invertido, enquanto o mundo cla´ssico sempre vai do
passado ao futuro?Como pode ser que na mecaˆnica quaˆntica tem efeitos sem causa, enquanto o
mundo cotidiano parece ser determinado?”
Em algum limite, a mecaˆnica quaˆntica deve abranger a f´ısica cla´ssica. Ma´s apesar do teorema
de Ehrenfest, esse fato e´ longe se ser trivial. Algumas previso˜es da f´ısica cla´ssica e da f´ısica
quaˆntica sa˜o fundamentalmente diferentes e, em alguns casos, ate´ contradito´rias. Os estados do
3Simplificac¸a˜o para um estado puro.
10 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
gato de Schro¨dinger sa˜o o ep´ıtome desse fato: Em uma versa˜o, uma part´ıcula atravessa uma
fenda dupla. Por tra´s de uma das fendas e´ um detector. Si ele registra uma part´ıcula, um
aparelho matando um gato esta´ acionado. Como sabemos que na verdade quaˆntica a part´ıcula
atravessa as duas fendas em um estado de superposic¸a˜o, o gato deveria ser num estado de
superposic¸a˜o tambe´m. Na mecaˆnica quaˆntica os gatos podem estar em uma superposic¸a˜o de
”morto”e ”vivo”.
A gente acredita que as respostas das perguntas acima e´, de alguma maneira escondida nos
processos que decoherem os gatos de Schro¨dinger na transic¸a˜o do mundo microsco´pico ate´ o
mundo macrosco´pico. Isso e´ uma das motivac¸o˜es para tentar criar os majores (quasi macroscop-
icos) sistemas quaˆnticas poss´ıveis, colocar-lhes em estados de gato de Schro¨dinger e estudar a
sua decoherencia.4
Figura 2.1: Fenda dupla.
2.2.9 Equac¸a˜o estaciona´ria de Schro¨dinger
A forma geral da equac¸a˜o de Schro¨dinger em uma dimensa˜o e´
Hˆ|Ψ(t, x)〉 = i~ ∂
∂t
|Ψ(t, x)〉 , (2.45)
com Hˆ ≡ pˆ22m + V (x, t) com pˆ ≡ −i~ ∂∂x . Si o potencial esta´ independente do tempo, V (x, t) =
V (x), podemos fazer o seguinte chute, |Ψ(x, t)〉 ≡ ψ(x)·f(t). Inserido na equac¸a˜o de Schro¨dinger,
obtemos,
1
ψ(x)
(
− ~
2
2m
d2
dx2
+ V (x)
)
ψ(x) =
i~
f(t)
d
dt
f(t) = const. ≡ E . (2.46)
A soluc¸a˜o da parte direita e´ i~(ln f − ln f0) = E(t− t0). Portanto,
f(t) = f(0)e−iE(t−t0)/~ . (2.47)
Obviamente, |Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2.
4Tambe´m veja emaranhamento quaˆntico e efeito de Zeno quaˆntico.
2.3. FORMULAC¸A˜O ABSTRATA DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 11
Agora da´ para ver que a equac¸a˜o de Schro¨dinger estacionaria,
Hˆ|ψ(x)〉 = E|ψ(x)〉 , (2.48)
e´ nada mais do que uma equac¸a˜o de autovalores. Significa que a mecaˆnica de ondas do
Schro¨dinger e´ equivalente a´ mecaˆnica dos matrizes do Heisenberg.
Exerc´ıcio: 5 Considere um a´tomo de dois n´ıveis. O hamiltoniano e´ dado por,
Hˆ =
(
0 0
0 ~ω0
)
.
Usando a equac¸a˜o de Schro¨dinger, calcule autovalores e autovetores.
2.3 Formulac¸a˜o abstrata da mecaˆnica quaˆntica
2.3.1 A´lgebra de Lie
Os operadores formam uma a´lgebra de Lie L2. Isso significa que L2 e´ no mesmo tempo um
espac¸o de vetores complexo e linear com respeito a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o escalar e um anel na˜o-
comutativo com produto interno escalar. Em particular, L2 e´ unita´rio, normalizado, completo
e opera sobre um espac¸o de Hilbert de estados quaˆnticos e,
(Aˆ+ Bˆ)|ψ〉 = Aˆ|ψ〉+ Bˆ|ψ〉, (2.49)
(αAˆ)|ψ〉 = α(Aˆ|ψ〉) ,
(AˆBˆ)|ψ〉 = Aˆ(Bˆ|ψ〉) .
As propriedades do espac¸o Hilbert sa˜o
Aˆ|ψ + ϕ〉 = Aˆ|ψ〉+ Aˆ|ϕ〉 , (2.50)
Aˆ|aψ〉 = aAˆ|ψ〉 .
Utilizando a notac¸a˜o bra-ket de Dirac,
〈ψ|† ≡ |ψ〉 . (2.51)
Para um operador hermiteano, Aˆ = Aˆ†, temos 〈ψ|Aˆ|ψ〉 = 〈Aˆψ|ψ〉 ou 〈Aˆ〉 ≡ 〈ψ|Aˆ|ψ〉 = 〈Aˆ〉∗.
Existem operadores de identidade e de nulidade,
1ˆ|ψ〉 = |ψ〉 e 0ˆ|ψ〉 = 0 . (2.52)
Definimos o (anti-)comutador como
[Aˆ, Bˆ]∓ ≡ AˆBˆ ± BˆAˆ , (2.53)
que pode ser 6= 0. A soma e o produto de dois operadores hermiteanos sa˜o hermiteanos, porque
(Aˆ+ Bˆ)† = Aˆ† + Bˆ† = Aˆ+ Bˆ e (AˆBˆ)† = Bˆ†Aˆ† = BˆAˆ . (2.54)
12 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
As seguintes relac¸o˜es sa˜o sempre hermiteanos,
AˆBˆ + BˆAˆ e i(AˆBˆ − BˆAˆ) . (2.55)
Definimos o produto escalar como,
〈ψ|ϕ〉 . (2.56)
Dois estados sa˜o chamados ortogonais, si 〈ψ|ϕ〉 = 0.
A norma e´ escrito |ψ|2 = 〈ψ|ψ〉1/2, a desviac¸a˜o e´ ∆A ≡
√
〈Aˆ2〉 − 〈Aˆ〉2. Um operador unita´rio
e´ definido por Aˆ−1 = Aˆ†.
2.3.2 Bases completas
Si e´ imposs´ıvel achar um conjunto de amplitudes αk tal que∑
k
αk|ψk〉 = 0 , (2.57)
as func¸o˜es sa˜o chamados de linearmente independentes. Um conjunto de func¸o˜es linearmente
independentes pode formar uma base. O espac¸o aberto por um conjunto de func¸o˜es linearmente
independentes se chama espac¸o de Hilbert.
Um operador e´ completamente caracterizado por suas autovalores e´ autofunc¸o˜es. Si um
conjunto de autofunc¸o˜es |ψn〉 e´ completa, cada estado permitido do sistema pode ser expandido
nesses autofunc¸o˜es
|ψ〉 =
∑
k
ck|ψk〉 e Aˆ|ψk〉 = ak|ψk〉 . (2.58)
Para calcular propriedades de um sistema especifico, frequentemente queremos achar uma
representac¸a˜o matricial para um operador Aˆ. Para isso, resolvemos a equac¸a˜o de Schro¨dinger
estacionaria,isto e´, calculamos os autovalores e autovetores. Quando todos os autovalores sa˜o
diferentes, an 6= am, sabemos que os autovetores correspondentes sa˜o ortogonais, 〈n|m〉 = 0.
Exerc´ıcio: 6 Demonstre que dois autovetores de um operador hermiteano associados a dois
autovalores diferentes sa˜o ortogonais.
Frequentemente, por exemplo no case de uma part´ıcula num potencial finito, existem auto-
valores discretos (para E < 0) conjunto com autovalores cont´ınuos (para E > 0). Assumindo
〈ψm|ψ′m〉 = δm,m′ , 〈ψm|ψk〉 = 0 e 〈ψk|ψk′〉 = δ(k− k′), com uma base completa,∑
m
|ψm〉〈ψm|+
∫
d3k|ψk〉〈ψk| = 1ˆ , (2.59)
um vetor arbitra´rio pode ser expandido numa base ortogonal,
|ψ〉 =
∑
m
|ψm〉〈ψm|ψ〉+
∫
d3k |ψk〉〈ψk|ψ〉 . (2.60)
Isso tambe´m vale para observa´veis,
Aˆ =
∑
m
|ψm〉〈ψm|Aˆ|ψm〉〈ψm|+
∫
d3k |ψk〉〈ψk|Aˆ|ψk〉〈ψk| , (2.61)
2.3. FORMULAC¸A˜O ABSTRATA DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 13
e func¸o˜es de observa´veis,
f(Aˆ) =
∑
m
|ψm〉f(〈ψm|Aˆ|ψm〉)〈ψm|+
∫
d3k |ψk〉f(〈ψk|Aˆ|ψk〉)〈ψk| , (2.62)
2.3.3 Degeneresceˆncia
Um problema so´ acontece quando tem degeneresceˆncia, an 6= am. Nesse caso temos que construir
uma base. Para isso, tem o me´todo de ortogonalizac¸a˜o de Schmidt. Seja Aˆ|ak〉 = a|ak〉 para
cada k = 1, .., gk com 〈ak|am〉 6= 0 para cada k,m. O primeiro vetor da base ortogonal pode ser
escolhido livremente, p.ex.
|b1〉 ≡ |a1〉 . (2.63)
O segundo vetor e necessariamente uma combinac¸a˜o linear dos vetores |ak〉, isto e´, |b2〉 = |a2〉+
λ|b1〉. Com a condic¸a˜o 〈b1|b2〉 = 0 = 〈b1|a2〉+ λ〈b1|b1〉 obtemos para o segundo vetor
|b2〉 ≡ |a2〉 − |b1〉〈b1|a2〉〈b1|b1〉 . (2.64)
Do mesmo jeito podemos, calcular para um terceiro vetor, |b3〉 = |a3〉+µ|b1〉+ν|b2〉, as condic¸o˜es
〈b1|b3〉 = 0 = 〈b1|a3〉+ µ〈b1|b1〉 e 〈b2|b3〉 = 0 = 〈b2|a3〉+ ν〈b2|b2〉 e obter
|b3〉 ≡ |a3〉 − |b1〉〈b1|a3〉〈b1|b1〉 − |b2〉
〈b2|a3〉
〈b2|b2〉 . (2.65)
Uma maneira geral de escrever e´,
|bk〉 ≡
(
1− |b1〉〈b1|〈b1|b1〉 −
|b2〉〈b2|
〈b2|b2〉 − ..
)
|ak〉 . (2.66)
Exerc´ıcio: 7 Construe uma base ortonormal para o seguinte operador descrevendo um sistema
de treˆs n´ıveis degenerados
Aˆ =
 1 1 11 1 1
1 1 1
 .
2.3.4 Bases como operadores unita´rios
Existe uma outra maneira de formular o problema de autovalores. Seja |ψk〉 uma base ortonormal
com os autovalores respectivos ak. Construimos os matrizes,
U ≡ ( |ψ1〉 |ψ2〉 · · · ) e Eˆ =
 a1 0 · · ·0 a2
...
. . .
 . (2.67)
Com a definic¸a˜o de U temos,
U † =
 〈ψ1|〈ψ2|
...
 e U †U =
 〈ψ1|ψ1〉 〈ψ1|ψ2〉 · · ·〈ψ2|ψ1〉 〈ψ2|ψ2〉 · · ·
...
...
. . .
 = 1ˆ . (2.68)
14 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
Portanto
U †U = 1ˆ =⇒ U †UU−1 = 1ˆU−1 =⇒ U † = U−1 (2.69)
U †U = 1ˆ =⇒ UU †UU−1 = U 1ˆU−1 =⇒ UU † = 1ˆ . (2.70)
Tambe´m vale,
Hˆ|ψk〉 = Eˆ|ψk〉 = ak|ψk〉 =⇒ HˆU = UEˆ . (2.71)
Note, que isso na˜o vale para uma base na˜o ortonormal. Nesse caso, precisamos fazer uma
ortogonalizac¸a˜o de Schmidt e utilizar a condic¸ao det Uˆ = 1.
Exerc´ıcio: 8 Acha os autovalores e -vetores do operador Aˆ =
1 1 11 1 1
1 1 1
.
2.3.5 Sistema completa de operadores comutandos
Mesmo quando um sistema e´ simples, podemos lhe fazer va´rias perguntas. Por exemplo, consid-
eramos uma part´ıcula voando livremente no espac¸o. Podemos buscar a posic¸a˜o ou a velocidade
dela. Seja a o resultado da pergunta 〈ψa|Aˆ|ψa〉. Agora sabemos que o sistema esta´ no estado
|ψa〉. Depois dessa primeira pergunta, fazemos uma segunda pergunta 〈ψa|Bˆ|ψa〉. A resposta a
essa pergunta so´ da´ um autoestado b = 〈ψa|Bˆ|ψa〉, si os comutadores comutam,
[Aˆ, Bˆ] = 0 . (2.72)
Exerc´ıcio: 9 a. Demonstre que se dois operadores Aˆ e Bˆ comutam e se |ψ〉 e´ um autovetor de
Aˆ, Bˆ|ψ〉 tambe´m e´ um autovetor de Aˆ com o mesmo autovalor.
b. Demonstre que se dois operadores Aˆ e Bˆ comutam e se |ψ1〉 e |ψ2〉 sa˜o dois autovetores de Aˆ
com diferentes autovalores, o elemento de matriz 〈ψ1|Bˆ|ψ2〉 e´ igual a zero.
c. Demonstre que se dois operadores Aˆ e Bˆ comutam, podemos construir uma base ortonormal
com autovetores comuns a Aˆ e Bˆ.
A fato que operadores comutandos teˆm um sistema comum de autovetores autorizando auto-
valores afiados pode ser utilizado para construc¸a˜o e caracterizac¸a˜o de um estado. Por exemplo,
com Pˆx|ψ〉 = px|ψ〉 e Pˆy|ψ〉 = py|ψ〉, o estado pode ser descrito por
|ψpx,py〉 = e(i/~)(pxx+pyy)f(z) . (2.73)
No entanto, as autofunc¸o˜es sa˜o infinitivamente degenerados, porque o momento na direc¸a˜o z
na˜o esta´ especificado. O terceiro operador Pˆz|ψ〉 = pz|ψ〉 comuta com os outros,
[Pˆk, Pˆm] = δk,m . (2.74)
Portanto,
|ψ〉 = e(i/~)(pxx+pyy+pzz) , (2.75)
e´ um estado poss´ıvel do sistema.
2.3. FORMULAC¸A˜O ABSTRATA DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 15
Do outro lado, si no´s escolhemos Pˆ 2z como terceiro operador, dando autovalores p
2
z, o estado
teria sido
|ψpx,py ,p2z〉 = e(i/~)(pxx+pyy)
{
cos
√
p2z
z
~
sin
√
p2z
z
~
. (2.76)
Portanto, existem duas soluc¸o˜es com os mesmos autovalores, px, py, p
2
z. Para levantar essa
degeneresceˆncia, precisamos introduzir mais uma observa´vel. Essa observa´vel pode ser, por
exemplo, a paridade Pˆ , isto e´, o comportamento da func¸a˜o de onda sobre espelhamento z −→ −z
no plano x-y. O fato, que os CCOC px, py, pz de um lado, e px, py, p
2
z, Pˆ do outro lado sa˜o
equivalentes mostra, que o nu´mero necessa´rio de observa´veis para um CCOC depende da escolha
judiciosa deles.
Tambe´m, o nu´mero necessa´rio para um conjunto completo de operadores comutandos (CCOC)
depende do nu´mero de graus de liberdade e´ da simetria do sistema. No caso da part´ıcula livre em
uma dimensa˜o basta considerar uma observa´vel so´, por exemplo Xˆ ou Pˆ . Em treˆs dimenso˜es,
ja´ precisamos pelo menos treˆs observa´veis comutandos.
Exerc´ıcio: 10 a. Acha os autovalores e os autovalores do operador Aˆ =
1 0 10 µ 0
1 0 1
 para
0 < µ < 2.
b. Escreve a matriz unita´ria U que satisfaz a auto-equac¸a˜o: AˆU = UEA, onde EA e´ a matriz
que tem todos autovalores de Aˆ na diagonale.
c. Agora considere o caso µ = 0. Acha um CCOC conjunto completo de operadores comutandos.
Isto e´, calcule as componentes de um segundo operador Bˆ comutando com U em func¸a˜o das suas
autovalores λ1, λ2 e λ3, e verifique [Aˆ, Bˆ] = 0.
2.3.6 Relac¸a˜o de incerteza
Ja´ aprendemos que observa´veis que na˜o comutam na˜o podem ser medidas com precisa˜o arbi-
traria. Esse principio pode ser quantificado. Sejam Aˆ e Bˆ dois observa´veis. Enta˜o,
∆Aˆ∆Bˆ = 12 |〈[Aˆ, Bˆ]〉| . (2.77)
Isso e´ a famosa relac¸a˜o de incerteza de Heisenberg. Por exemplo, [pˆ, xˆ] = −i~, e portanto
∆p∆x ≥ ~/2 e [Lˆx, Lˆy] = i~Lˆz tal que ∆lx∆ly ≥ ~〈lz〉/2. Tambe´m vale que, mais dif´ıcil mostrar
pois o tempo na˜o operador simples, ∆E∆t ≥ ~/2.
Exerc´ıcio: 11 Desenvolva a derivac¸a˜o formal do principio da incerteza de Heisenberg.
2.3.7 Simetrias na mecaˆnica quaˆntica
Operador de translac¸a˜o
Fazemos uma expansa˜o de Taylor do operador
Gˆ(τ) ≡ eτAˆBˆe−τAˆ =
∑
n
τn
n!
dn
dτn
Gˆ(0) . (2.78)
16 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
As derivada sa˜o facilmente calculadas
Gˆ′(τ) = AˆeτAˆBˆe−τAˆ − eτAˆBˆAˆe−τAˆ = [Aˆ, Gˆ(τ)] , (2.79)
Gˆ′′(τ) = Aˆ[Aˆ, Gˆ(τ)]− [Aˆ, Gˆ(τ)]Aˆ = [Aˆ, [Aˆ, Gˆ(τ)]] .
No ponto τ = 1 obtemos,
eAˆBˆe−Aˆ = Bˆ + [Aˆ, Bˆ] +
1
2!
[Aˆ, [Aˆ, Bˆ]] + ... . (2.80)
Agora aplicamos essa formula para dois operadores Pˆ e Rˆ relacionados pela regra de co-
mutac¸a˜o,
[Pˆ , Rˆ] = −i~ . (2.81)
Obtemos
e(i/~)aPˆ Rˆe(−i/~)aPˆ = Rˆ+ [(i/~)aPˆ , Rˆ] +
1
2!
[(i/~)aPˆ , a] + ... = Rˆ+ a . (2.82)
Isto e´, o operador Utr(a) ≡ e(−i/~)aPˆ faz uma translac¸a˜o espacial do operador de posic¸a˜o. O
operador e´ unita´rio,
Utr(a)
−1 = Utr(a)† . (2.83)
Para demonstrar como ele age num estado, vamos calcular,
Rˆe(−i/~)aPˆ |r〉 = e(−i/~)aPˆ (Rˆ+ a)|r〉 = (r + a)e(−i/~)aPˆ |r〉 . (2.84)
Portanto,
e(−i/~)aPˆ |r〉 = |r + a〉 . (2.85)
Finalmente, comparamos a expansa˜odo operador de translac¸a˜o
e(−i/~)aPˆ |r〉 =
(
1− i
~
aPˆ − 1
~2
(aPˆ )2
2!
+ ..
)
|r〉 , (2.86)
com a expansa˜o de Taylor do estado translatido,
|r + a〉 =
(
1 + a
d
dr
+
a2
2!
d2
dr2
+ ..
)
|r〉 . (2.87)
Obtemos
Pˆ |r〉 = −~
i
d
dr
|r〉 . (2.88)
Teorema de Noether
As leis fundamentais da f´ısica frequentemente sa˜o exprimidas como simetrias. O conhecimento
das simetrias permite a caracterizac¸a˜o do sistema e do seu comportamento sem saber os seus
detalhes. Muitas vezes podemos deduzir a equac¸a˜o diferencial do movimento so´ das simetrias.
As simetrias fundamentais definem as leis fundamentais da f´ısica. Seguinte o teorema de Noether
cada simetria corresponde a uma grandeza conservada, isto e´, invaria´vel para todos os tempos.
Ou seja, a invariaˆncia de um sistema para transformac¸a˜o de simetria representa uma lei de
2.3. FORMULAC¸A˜O ABSTRATA DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 17
conservac¸a˜o. Por exemplo, a homogeneidade do espac¸o corresponde a conservac¸a˜o do momento
linear.
Uma transformac¸a˜o de simetria e´ definida por
|ψ〉 −→ U |ψ〉 e Qˆ −→ UQˆU † . (2.89)
Uma lei de conservac¸a˜o que as func¸o˜es de onda e os operadores observa´veis tambe´m satisfazem
as mesmas equac¸o˜es fundamentais, isto e´ de Schro¨dinger ou de Heisenberg,
HˆU |ψ〉 != i~ d
dt
U |ψ〉 = i~dU
dt
|ψ〉+ i~U d
dt
|ψ〉 = i~dU
dt
|ψ〉+ UHˆ|ψ〉 . (2.90)
Isso da´,
[Hˆ, U ] = i~U˙ . (2.91)
Leis de conservac¸a˜o
• A homogeneidade temporal significa invariaˆncia para translac¸a˜o temporal, isto e´, a´ respeito
da transformac¸a˜o unita´ria translacional
U(τ) ≡ |ψ(τ)〉〈ψ(0)| = e(i/~)Eˆτ . (2.92)
Isso e´ equivalente a´ conservac¸a˜o de energia [Eˆ, Hˆ] = 0.
Imagine a experieˆncia seguinte: Comec¸amos para separar dois corpos. Depois mudamos as leis,
por exemplo, modificamos a atrac¸a˜o, e colocamos os corpos de volta. A energia total na˜o e´ nula.
Por isso, a conservac¸a˜o da energia indica que as leis sa˜o invaria´veis.
• A homogeneidade do espac¸o significa invariaˆncia para translac¸a˜o espacial, isto e´, a´ respeito
da transformac¸a˜o unita´ria translacional
U(a) ≡ |r + a〉〈r| = e(−i/~)pa . (2.93)
Isso e´ equivalente a´ conservac¸a˜o de momento [pˆ, Hˆ] = 0.
O teorema de Ehrenfest diz [pˆ, H] = −i~∂H∂pˆ . Portanto o comutador na˜o = 0 quando tem um
potencial, Hˆ = pˆ2/2m + V (rˆ). E´ claro que um potencial introduz uma inhomogeneidade de
energia para uma part´ıcula. Ma´s isso na˜o implica uma inhomogeneidade do espac¸o mesmo, pois
o que deve ser invaria´vel para translac¸a˜o e´ o sistema inteiro, isto e´, a part´ıcula que da´ origem
ao potencial junto com a part´ıcula que sente o potencial: Hˆ = pˆ21/2m1 + pˆ
2
2/2m2 + V (rˆ1 − r2).
• A isotropia espacial significa invariaˆncia para rotac¸a˜o, isto e´, a´ respeito da transformac¸a˜o
unita´ria rotacional
U(τ) ≡ eφ˜×.. = e(−i/~)Lˆφ . (2.94)
Isso e´ equivalente a´ conservac¸a˜o do momento angular [Lˆ, Hˆ] = 0.
Imagine que as forcas de atrac¸a˜o de dois corpos na˜o sa˜o iguais. Contrario a terceira lei de
Newton o corpo A atrai o corpo B mais do que o corpo B atrai o corpo A. Nesse caso depois de
um tempo os dois corpos tem momentos diferentes.
18 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
• O Galilei boost significa invariaˆncia de Galilei a´ respeito de |r + vt,p+mv〉〈r,p|, isto e´, a
independeˆncia de v do sistema inercial. A equac¸a˜o do movimento para um operador Gˆ e´
[Hˆ, Gˆ] = i~∂tGˆ. O operador unita´rio e´ U(v) = e(−i/~)Gˆv.
Ale´m das transformac¸o˜es de simetrias continuas existem transformac¸o˜es discretas. As sime-
trias discretas sa˜o importantes em f´ısica das part´ıculas elementares.
• A conservac¸a˜o da carga significa invariaˆncia a´ respeito de da transformac¸o˜es de gauge.
• A conservac¸a˜o da paridade significa invariaˆncia a´ reflexa˜o espacial sobre r→ −r.
• A reverso do tempo, t→ −t.
• As simetrias conjugac¸a˜o da carga, inversa˜o, e transformac¸a˜o θ significa invariaˆncia a´ trans-
formac¸o˜es CPT.
Paridade
A transformac¸a˜o de paridade e´ definida pela espalhamento da func¸a˜o de onda num ponto, por
exemplo x = 0,
Pˆ |ψ(x)〉 ≡ |ψ(−x)〉 . (2.95)
com
Pˆ 2 = Pˆ . (2.96)
Falamos de paridade par, quando Pˆ |psi(x)〉 = |ψ(x)〉 e de paridade ı´mpar, quando Pˆ |psi(x)〉 =
−|ψ(x)〉. Obviamente,
Exerc´ıcio: 12 Demonstre que as autofunc¸o˜es do hamiltoniano Hˆ = −(~/2m)(d2/dx2) + V (x)
possuem paridade definida no caso em que a energia e´ uma func¸a˜o par, isto e´, V (x) = V (−x).
2.3.8 Representac¸o˜es
Representac¸a˜o espacial
Ate´ agora o espac¸o de Hilbert era discreto. Ma´s frequentemente o espac¸o e´ continuo. Note que
se trata de uma equac¸a˜o de autovalores. Os autovalores sa˜o distribuidas continuamente, pois a
equac¸a˜o
−i~∇rψ(r) = pψ(r) , (2.97)
tem soluc¸o˜es para cada valor de E. As autofunc¸o˜es sa˜o ψ(r) = ae−ip·r/~.
Observa´veis que na˜o comutam correspondem a´ expanso˜es em diferentes bases e´ geram rep-
resentac¸o˜es alternativas. Por exemplo, podemos representar a mecaˆnica quaˆntica em espac¸o de
posic¸a˜o ou a espac¸o de momento linear. Si |r〉 e´ uma base do espac¸o de estados da part´ıcula,
Rˆ|r〉 = r|r〉 , 〈r′|r〉 = δ3(r′ − r) ,
∫
R3
|r〉〈r|d3r = 1 , (2.98)
2.3. FORMULAC¸A˜O ABSTRATA DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 19
podemos expandir um vetor de estado numa base de posic¸a˜o como
|ψ(t)〉 =
∫
R3
|r〉ψ(t, r)d3r . (2.99)
As quantidades 〈r|ψ(t)〉 = ψ(t, r) sa˜o as func¸o˜es de onde de Schro¨dinger. Tambe´m podemos dizer
que as func¸o˜es de onda sa˜o as coordenadas do estado na base particular |r〉. Por consequeˆncia
〈r|Rˆ|r′〉 = rδ(r− r′) (2.100)
〈r|f(Rˆ)|r′〉 = f(r)δ(r− r′) . (2.101)
Tambe´m vale
〈r|Aˆ|ψ(t)〉 =
∫
R3
A(r, r′)ψ(t, r′)d3r′ , (2.102)
onde a quantidade A(r, r′) ≡ 〈r|Aˆ|r′〉 e chamada kernel do operador. A transic¸a˜o da mecaˆnica
abstrata de Heisenbergs ate´ a mecaˆnica de ondas de Schro¨dingers e´ feito pelas substituic¸o˜es
|ψ(t)〉 → ψ(t, r) e Aˆ→ A(r, r′).
Qual seria o kernel do operador abstrato Pˆ na representac¸a˜o espacial?
Representac¸a˜o de momento
A relac¸a˜o de incerteza e´ sime´trica em rˆ e pˆ. Nada no´s impede escolher como base
Pˆ|p〉 = p|p〉 , 〈p′|p〉 = δ3(p′ − p) ,
∫
P 3
|p〉〈p|d3p = 1 , (2.103)
com as func¸o˜es de onda
|ψ(t)〉 =
∫
R3
|p〉ϕ(p, t)d3p , (2.104)
onde 〈p|ψ(t)〉 = ϕ(t,p).
As formulas sa˜o ana´logas a´ representac¸a˜o espacial. Em particular na representac¸a˜o de mo-
mento o operador de posic¸a˜o e´ r = i~∇p. As representac¸o˜es seguem uma da outra por trans-
formac¸a˜o de by Fourier. Desde −i~∇r〈r|p〉 = p〈r|p〉, sabemos
〈r|p〉 = h−3/2 exp( i~rp) . (2.105)
ψ e ϕ sa˜o representac¸o˜es diferentes do mesmo estado quaˆntico relacionadas por
〈r|ψ(t)〉 =
∫
R3
〈r|p〉〈p|ψ(t)〉d3p = h−3/2
∫
R3
eirp/~ϕ(p, t)d3p = ψ(r, t) (2.106)
〈p|ψ(t)〉 =
∫
R3
〈p|r〉〈r|ψ(t)〉d3r = h−3/2
∫
R3
e−irp/~ψ(r, t)d3r = ϕ(p, t) .
Ou usando o vetor de onda ~k = p
|ψ(r)〉 =
∫
R3
e2piirkϕ(k)d3k e |ϕ(k)〉 =
∫
R3
e−2piirkψ(r)d3r . (2.107)
Definindo a transformada de Fourier de func¸o˜es de operadores temos,
〈r|G(Pˆ)|r′〉 =
∫
d3p〈r|G(Pˆ)|p〉〈p|r′〉 = h−3/2
∫
d3pG(p)eik(r−r
′) = h−3G˜(r− r′) . (2.108)
20 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
Exerc´ıcio: 13 A partir do elemento de matriz 〈~r|Px|ψ〉 e das propriedades das transformadas
de Fourier demonstre que 〈~r|~P |ψ〉 = (~/i)∇〈~r|ψ〉.5
Isso significa, que tambe´m podemos entender um operador como uma regra determinando o
que acontece com uma func¸a˜o. Por exemplo, a regra pˆx, diz que a func¸a˜o deve ser derivada para
x.
Exerc´ıcio: 14 Escreva a equac¸a˜o de Schro¨dinger na representac¸a˜o de posic¸a˜o.6
2.4 Evoluc¸o˜es temporais
2.4.1 Transformac¸o˜es unita´rias
O melhor que podemos fazer para caracterizar um sistema e´ obviamente medir todas as ob-
serva´veis. No entanto, as func¸o˜es do estado na˜o sa˜o fixadas sem ambiguidade. Pois definindo
um operadorunita´rio, Uˆ † = Uˆ−1, obtemos
〈ψ|Aˆ|ψ〉 = 〈ψ|Uˆ †Uˆ AˆUˆ †Uˆ |ψ〉 = 〈Uˆψ|Uˆ AˆUˆ †|Uˆψ〉 . (2.109)
Isto e´, trocando |ψ〉 −→ Uˆ |ψ〉 e no mesmo tempo Aˆ −→ Uˆ AˆUˆ †, os resultados com realidade
f´ısica sa˜o os mesmos. Isso no´s permite escolher a melhor representac¸a˜o matema´tica para um
problema especifico. Um exemplo importante sa˜o as imagens de Heisenberg e de Schro¨dinger.
Exerc´ıcio: 15 Calcule a evoluc¸a˜o temporal de um a´tomo com dois n´ıveis acoplados por um
campo de luz usando o hamiltoniano,
Hˆ =
(
0 12~Ω
1
2~Ω ~∆
)
,
onde ∆ = ω − ω0 e´ a dessintonizac¸a˜o entre a frequeˆncia da luz e a frequeˆncia da transic¸a˜o e Ω
a frequeˆncia de Rabi.
0 5
0
0.5
1
t (s)
|1〉
 
,
 
|2〉
 
,
 
|3〉
Figura 2.2: (Code: QA Fundacao Evolucao.m) Evoluc¸a˜o temporal das populac¸o˜es para um
sistema de treˆs n´ıveis.
5Veja Cohen-Tannoudji, Cap.II, E-2-a & Apeˆndice I
6Veja Cohen-Tannoudji, Cap.II, Comp.DII ,2-c
2.4. EVOLUC¸O˜ES TEMPORAIS 21
2.4.2 Imagens de Heisenberg e de Schro¨dinger
Consideramos para comec¸ar um hamiltoniano estaciona´rio,
Hˆ = Hˆ(PS ,RS) com
d
dt
PˆS =
d
dt
RˆS = 0 . (2.110)
Isto e´, observa´veis AˆS(PS ,RS , t) so´ podem depender explicitamente do tempo, ma´s na˜o atrave´s
dos operadores PS e RS ,
∂
∂t
AˆS(t) =
d
dt
AˆS(t) . (2.111)
Nesse caso a soluc¸a˜o formal da equac¸a˜o de Schro¨dinger,
i~
d
dt
|ψS(t)〉 = Hˆ|ψS(t)〉 , (2.112)
pode ser escrito,
|ψS(t)〉 = e−(i/~)Hˆt|ψS(0)〉 ≡ Uˆ(t)|ψS(0)〉 . (2.113)
Isto e´, a dinaˆmica temporal e´ completamente dentro das func¸o˜es de ondas. Os operadores PˆS e
RˆS sa˜o estaciona´rios. Isso se chama a imagem de Schro¨dinger.
Do outro lado sabemos ja´, que transformac¸o˜es unita´rias na˜o mudem a f´ısica do sistema.
Portanto, o sistema descrito por
|ψS(t)〉 −→ Uˆ †|ψS(t)〉 ≡ |ψH〉 com AˆS(t) −→ Uˆ †AˆS(t)Uˆ ≡ AˆH(t) (2.114)
e´ equivalente. Nesse imagem de Heisenberg as func¸o˜es de onda sa˜o independente do tempo,
d
dt
|ψH〉 = d
dt
|ψS(0)〉 = 0 . (2.115)
Ma´s os operadores dependem im- e explicitamente do tempo,
d
dt
AˆH(t) =
d
dt
(
Uˆ †AˆS(t)Uˆ
)
=
dUˆ †
dt
AˆS(t)Uˆ + Uˆ
†AˆS(t)
dUˆ
dt
+ Uˆ †
∂AˆS(t)
∂t
Uˆ (2.116)
=
i
~
Hˆ†Uˆ †AˆSUˆ + Uˆ †AˆS
−i
~
HˆUˆ + Uˆ †
∂AˆS(t)
∂t
Uˆ =
i
~
[Hˆ, AˆH ] +
∂AˆH(t)
∂t
.
Os teorema podem ser generalizados para hamiltonianos dependentes do tempo,7 ma´s na˜o
vamos aprofundar aqui.
2.4.3 Teorema de Ehrenfest
As observa´veis na imagem de Heisenberg seguem as mesmas equac¸o˜es de movimento como as
grandezas cla´ssicas correspondentes. Esse princ´ıpio de correspondeˆncia se chame teorema de
Ehrenfest. Por exemplo, quando trabalhamos com varia´veis de posic¸a˜o e de momento [xˆ, kˆ] = i
e H = ~
2
2m kˆ
2 + V (xˆ) obtemos
[xˆ, H] = i~
∂H
∂pˆ
e [pˆ, H] = −i~∂H
∂xˆ
. (2.117)
7Theis, ”Grundzu¨ge der Quantentheorie”, p.75
22 CAPI´TULO 2. FUNDAC¸A˜O DA MECAˆNICA QUAˆNTICA
E utilizando a equac¸a˜o de Heisenberg,
˙ˆx =
∂H
∂pˆ
e ˙ˆp = −∂H
∂xˆ
. (2.118)
A equac¸a˜o do movimento para os valores esperados das observa´veis na imagem de Schro¨dinger
adota a forma
d
dt
〈A〉 = 〈∂tψ|A|ψ〉+ 〈ψ|∂tA|ψ〉+ 〈ψ|A|∂tψ〉 (2.119)
=
∂
∂t
〈A〉+ i
~
〈[H,A]〉 .
Os valores esperados se comportam como observa´veis de Heisenberg, isto e´, seguem as leis da
mecaˆnica de Hamilton e de Newton.
Exerc´ıcio: 16 Compare as equac¸o˜es do teorema de Ehrenfest com aquelas de Hamilton-Jacobi
para uma part´ıcula cla´ssica sujeita a um potencial independente do tempo. Discuta o limite
cla´ssico, isto e´, quando as equac¸o˜es de Hamilton-Jacobi aproximam-se daquelas de Ehrenfest.
Generalizac¸a˜o do comutador
Para operadores lineares satisfazendo [Aˆ, Bˆ] = i podemos dar a seguinte relac¸a˜o: [Aˆ, F (Aˆ, Bˆ)] =
i∂F (Aˆ,Bˆ)
∂Bˆ
. Uma consequeˆncia imediata de [p, r] = −i~ e´
[p, F (r)] = −i~∂F (r)
∂r
. (2.120)
O momento na˜o e´ definido singularmente pela relac¸a˜o de commutac¸a˜o, porque cada operador
transformada unitariamente satisfaz a relac¸a˜o tambe´m. Podemos expandir um momento unitari-
amente equivalente como p˜ = UpU+ = eiF (r)pe−iF (r) = p+ i[F (r), p] + 12! [F (r), [F (r), p]] + ....
Cap´ıtulo 3
Movimento linear / Potenciais
separa´veis
Nesse capitulo vamos analisar o movimento de translac¸a˜o e de vibrac¸a˜o de uma part´ıcula
quaˆntica. Em particular, vamos aprofundar o potencial retangular e o oscilador harmoˆnico.
3.1 Movimento translacional
Em uma dimensa˜o o hamiltoniano de uma part´ıcula livre e´,
Hˆ = − ~
2
2m
d2
dx2
. (3.1)
Portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o estacionaria de Schro¨dinger,
Hˆψ(x) = Eψ(x) , (3.2)
e´
ψ(x) = Aeikx +Be−ikx com k =
√
2mE
~2
. (3.3)
Nota bem, que as func¸o˜es eikx na˜o sa˜o quadraticamente integravel. Ma´s do outro lado, eles
na˜o representam sistemas f´ısicos reais. Em pratica, precisamos considerar pacotes de ondas ou
especificar um volume finito para a part´ıcula.
Nota tambe´m, que o espectro dos autovalores e´ continuo.
3.1.1 Bom comportamento
Para garantir a interpretac¸a˜o como densidade de probabilidade vamos exigir integrabilidade
quadra´tica, ∫
|ψ|2d3r = 1 . (3.4)
Vamos discutir uma excec¸a˜o para part´ıculas livres embaixo.
Isso significa, que a func¸a˜o de onda na˜o pode ser infinita em um volume finito. Ma´s pode
ser infinita num volume infinitamente pequeno.
A equac¸a˜o de Schro¨dinger contem a segunda derivada para a posic¸a˜o. A continua, e com
derivada continua.
23
24 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO LINEAR / POTENCIAIS SEPARA´VEIS
3.1.2 Separac¸a˜o das dimenso˜es
Frequentemente, um potencial 3D pode ser escrito da forma,
V (x, y, z) = Vx(x) + Vy(y) + Vz(z) . (3.5)
Isso e´ o caso, por exemplo, para um poc¸o retangular, Vx(x) = Vy(y) = Vz(z) = V0/3 dentro do
poc¸o. Tambe´m vale para um potencial harmoˆnico,
V (r) =
m
2
(
ω2xx
2 + ω2yy
2 + ω2zz
2
)
. (3.6)
Nesses casos, e´ geralmente u´til fazer o seguinte ansatz para a func¸a˜o de onda,
ψ(r) = ψx(x)ψy(y)ψz(z) . (3.7)
Pois inserindo ele na equac¸a˜o de Schro¨dinger,[
− ~
2
2m
(
d2
dx2
+
d2
dy2
+
d2
dz2
)
+ Vx(x) + Vy(y) + Vz(z)
]
ψx(x)ψy(y)ψz(z) = Eψx(x)ψy(y)ψz(z) ,
(3.8)
separa em treˆs equac¸o˜es unidimensionais independentes,
− ~
2
2m
ψ′′x(x)
ψx(x)
+ Vx(x) = const. ≡ Ex , (3.9)
e assim para y e z. Como E = Ex+Ey+Ez pode ter o mesmo valor para diferentes combinac¸o˜es
dos Ex, Ey e Ez, sistemas multidimensionais frequentemente sa˜o degenerados.
3.2 Potencial retangular
3.2.1 Potencial de caixa
Vamos agora colocar a part´ıcula dentro de um poc¸o de potencial retangular, tal que o hamilto-
niano seja,
Hˆ = − d
2
dx2
+ V (x) com V (x) =
{
0 para x ∈ [0, L]
∞ para x /∈ [0, L] . (3.10)
Como as barreiras de potencial sa˜o altas, as paredes sa˜o duras, isto e´, a part´ıcula, mesmo sendo
uma part´ıcula quaˆntica, na˜o pode penetrar. A func¸a˜o de onda e os valores poss´ıveis de energia
sa˜o
ψ(t) =
√
2
L
sin
npix
L
e En =
n2~2pi2
2mL2
. (3.11)
Obviamente o espectro dos autovalores agora e´ discreto. Eles podem ser numerados por
um nu´mero integro n chamado de nu´mero quaˆntico. Nota que os n´ıveis de energia na˜o sa˜o
equidistantes.
Nota tambe´m que tem uma energia mı´nima E1 =
~2pi2
2mL2
que se chama energia do ponto zero.
Essa energia pode ser entendido como consequeˆncia do principio de incerteza de Heisenberg.
A part´ıcula e´ localizada com mais certeza do que ∆x < L. Portanto, ∆p > ~/∆x > ~/L. A
energia cine´tica me´dia e´
〈p2〉
2m
=
〈p〉2 + ∆p2
2m
=
∆p2
2m
>
~2
2mL2
. (3.12)
3.2. POTENCIAL RETANGULAR 25
0 0.5 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x / L (μm)
E
 , 
ψ 
 (μ
m
)
Figura 3.1: (Code: QA Movimento SquareWell)Func¸o˜es de onda e energias no poc¸o rectangular.
Exerc´ıcio: 17 Obtenha as func¸o˜es de onda e os n´ıveis de energia associados de uma part´ıcula
confinada em uma caixa, em que V (x) = 0 para 0 ≤ x ≤ l e V (x) =∞ sonst.
3.2.2 Potencial de caixa multidimensional
Num poc¸o multidimensional pode ter degeneresceˆncia, si o poc¸o e´ sime´trico. No caso de um poc¸o
2D quadra´tico Lx = Ly, as autoenergias sa˜o duplamente degeneradas, pois Enx,ny = Eny ,nx . No
caso de um poc¸o 3D cu´bico Lx = Ly = Lz, as autoenergias sa˜o 6 vezes degeneradas, pois
Enx,ny ,nz = Eny ,nz ,nx = Enz ,nx,ny = Enz ,ny ,nx = Eny ,nx,nz = Enx,nz ,ny .
Exerc´ıcio: 18 Obtenha as func¸o˜es de onda e os n´ıveis de energia associados de uma part´ıcula
confinada em uma caixa bidimensional, no qual a part´ıcula e´ confinada a uma superf´ıcie re-
tangular com dimenso˜es L1 na direc¸a˜o x e L2 na direc¸a˜o y, V (x, y) = 0 para 0 ≤ x ≤ L1 e
0 ≤ y ≤ L2 e V (x, y) =∞ sena˜o.
3.2.3 Potenciais com va´rias sec¸o˜es de profundidades constantes
Para achar a func¸a˜o de onda global em potenciais com va´rias sec¸o˜es de profundidades constantes,
resolvemos equac¸o˜es de Schro¨dinger separadamente para cada sec¸a˜o,(
− ~
2
2m
d2
dx2
+ Va
)
ψa(x) = Eψa(x) . (3.13)
A soluc¸a˜o geral para uma sec¸a˜o a com a energia potencial Va e´,
ψa(x) = Aae
ikax +Bae
−ikax , (3.14)
26 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO LINEAR / POTENCIAIS SEPARA´VEIS
onde ka =
1
~
√
2m(E − Va). Si E > Va, a onda esta´ propagante. ka e´ o vetor de onda da onda
de Broglie. Si E < Va, a onda esta´ evanescente. Isto e´, a onda decai dentro de um comprimento
κa = −ika.
Si a part´ıcula e´ confinada, isto e´, si E < V (x → ±∞), os poss´ıveis n´ıveis de energia sa˜o
quantizadas e o espectro e´ discreto.
Para cada transic¸a˜o entre dois sec¸o˜es a e b exigimos as condic¸o˜es de contorno,
ψ1(x) = ψ2(x) e ψ
′
1(x) = ψ
′
2(x) . (3.15)
Junto com a normalizac¸a˜o, 1 =
∫∞
−∞ |ψ|2dx, esses condic¸o˜es sa˜o suficiente para determinar a
func¸a˜o de onda sem ambiguidade.
Figura 3.2: Esquema de um potencial com va´rias sec¸o˜es de profundidades constantes.
3.2.4 Poc¸o de potencial
Considere uma part´ıcula com energia E e um poc¸o de energia potencial de profundidade finita
tal que V (x) = V0 < 0 para −L/2 > x > L/2 e V (x) = 0 sena˜o. A part´ıcula seja confinada,
E < 0.
Figura 3.3: Esquema de um poc¸o de potencial bilateral (esquerda) e unilateral (direito).
Os vetores de onda sa˜o
k1 = k3 =
√
2mE/~ e k2 =
√
2m(E − V0)/~ . (3.16)
As condic¸o˜es de contorno da˜o,
A1e
ik1L/2 +B1e
−ik1L/2 = A2eik2L/2 +B2e−ik2L/2 (3.17)
ik1A1e
ik1L/2 − ik1B1e−ik1L/2 = ik2A2eik2L/2 − ik2B2e−ik2L/2
A2e
−ik2L/2 +B2eik2L/2 = A3e−ik1L/2 +B3eik1L/2
−ik2A2e−ik2L/2 + ik2B2eik2L/2 = −ik1A3e−ik1L/2 + ik1B3eik1L/2 .
3.2. POTENCIAL RETANGULAR 27
Para part´ıculas confinadas, E < 0, o problema e´ totalmente sime´trico. Ale´m disso, a func¸a˜o de
onda deve desaparecer para x→ ±∞. Isto e´, podemos simplificar,
A3 = 0 = B1 e A1 = B3 . (3.18)
Isso da´,
A1e
ik1L/2 = A2e
ik2L/2 +B2e
−ik2L/2 =
k2
k1
(
A2e
ik2L/2 −B2e−ik2L/2
)
. (3.19)
Consideramos agora a parte imagina´ria do quociente B2/A2,
0 = Im
B2
A2
= Im
eik2L/2(k2 − k1)
e−ik2L/2(k2 + k1)
= Im
eik2L(k2 − iκ1)2
k22 + κ
2
1
(3.20)
onde substituimos k1 = iκ1 com κ1 > 0 e real.
0 = Im eik2L(k2 − iκ1)2 = −2κ1k2 cos k2L+ (−κ21 + k22) sin k2L (3.21)
=⇒ tan k2L = 2κ1k2−κ21 + k22
.
Para construir graficamente os valores dos momentos k2 associados aos n´ıveis de energia
permitidos a` part´ıcula introduzimos uma constante β ≡ ~/(L√2m|V0|). Assim,
tan k2L = tan
1
β
√
1− |E/V0| = 2
√|E/V0|√1− |E/V0|
1− 2|E/V0| =
2κ1k2
−κ21 + k22
. (3.22)
−10 0 10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
tan k2L ,
2κ1k2
−κ21 + κ22
E 
, V
0 
,
 
E n
Figura 3.4: Soluc¸a˜o gra´fica para um poc¸o de potencial bilateral finito.
No fundo de potenciais profundos, isto e´, 0 < E − V0 � E, temos k2 � κ1 e portanto,
tan k2L→ 0 =⇒ k2L = npi. As energias sa˜o enta˜o,
E − V0 = ~
2pi2
2mL2
n2 . (3.23)
Exerc´ıcio: 19 Obtenha as energias dos estados ligados de uma part´ıcula no poc¸o de potencial
em que V (x) = ∞ para x < 0, V (x) = −V0 para 0 ≤ x ≤ L/2 e V (x) = 0 para x > L/2.
Compare os valores obtidos com aqueles do poc¸o com paredes infinitamente altas.
28 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO LINEAR / POTENCIAIS SEPARA´VEIS
3.3 Barreira de potencial
O impulso de uma part´ıcula descrito por ψ(x, t) ∝ eikx e
〈ψ|pˆ|ψ〉 = 〈ψ|~
i
d
dx
|ψ〉 = ~k . (3.24)
Portanto, essa part´ıcula se propaga em direc¸a˜o +∞. Ao contrario, a part´ıcula e−ikx se propaga
em direc¸a˜o −∞. Em lugares em que o potencial muda de maneira abrupta, a part´ıcula pode ser
parcialmente refletida.
3.3.1 Matriz T de espalhamento
Podemos reescrever a transformac¸a˜o das amplitudes por um degrau de potencial como(
A2
B2
)
= T
(
A1
B1
)
, (3.25)
com a matriz T de espalhamento para uma part´ıcula com a energia E (ver Fig. 3.2),
T = 12
(1 + k1k2) ei(k1−k2)L (1− k1k2) ei(−k1−k2)L(
1− k1k2
)
ei(k1+k2)L
(
1 + k1k2
)
ei(−k1+k2)L
 (3.26)
= 12
(
e−ik2L 0
0 eik2L
)(
1 + k1k2 1− k1k2
1− k1k2 1 + k1k2
)(
eik1L 0
0 e−ik1L
)
.
Si existem mais zonas com profundidades diferentes, podemos concatenar as matrizes de
espalhamento,
T = Tk3,k2,bTk2,k1,a . (3.27)
Reflexa˜o quaˆntica num degrau de potencial
A reflexa˜o quaˆntica e´ uma propriedade na˜o cla´ssica do movimento de uma part´ıcula. Ela pode
ate´ ser refletida de um potencial atrativo. Para ver isso, consideramos uma onda plana eik1x
propagante no encontro de um degrau subindo ou descendo na posic¸a˜o x = 0.1 Uma parte da
onda sera´ refletida na regia˜o 1, outra sera´ transmitida na regia˜o 2,(
A2
B1
)
= S
(
0
1
)
=
(
T11 − T12T21/T22
−T21/T22
)
=
1
2
(
(1+k1/k2)2−(1−k1/k2)2
1+k1/k2
−1−k1/k21+k1/k2
)
(3.28)
=
1
k1 + k2
(
2k1
1
2(k1 − k2)
)
.
1Si a func¸a˜o de onda e´ determinada numericamente, a amplitude segue do contrasto da func¸a˜o de onda na
regia˜o 1. Definimos
K± ≡ 12
(
max |ψ1|2 ±min |ψ1|2
)
,
e achamos
|B| =
√
K+ +K− −√K+ −K−√
K+ +K− +
√
K+ −K− '
K−
2K+
.
Essa formula pode ser entendido como ana´logo da formula de Fresnel para ondas de mate´ria. Nesse sentido a
reflexa˜o de luz na interface optica (com as perdas t´ıpicas de 4% para vidro) podem ser interpretados como reflexa˜o
quaˆntica de luz.
3.3. BARREIRA DE POTENCIAL 29
Os resultados interessantes sa˜o: 1. mesmo com E < V0, a part´ıcula entra na regia˜o classica-
mente proibida: ψ2(x) ∝ e−κx com κ = 1~
√
2m(V0 − E), ou seja T > 0. 2. mesmo com E > V0,
a part´ıcula tem uma probabilidade de ser refletida no degrau: R > 0.
3.3.2 Matriz S de espalhamento
Outra definic¸a˜o comum e´ a matriz S de espalhamento.(
A2
B1
)
= S
(
B2
A1
)
(3.29)
Figura 3.5: Efeito tu´nel e reflexa˜o quaˆntica e numa barreira de potencial.
Para ver como as matrizes de espalhamento sa˜o interligadas comec¸amos com(
A2
B2
)
= T
(
A1
B1
)
=
(
T11A1 + T12B1
T21A1 + T22B1
)
, (3.30)
calculamos,
T21A2 − T11B2 = (T21T12 − T22T11)B1 , (3.31)
Substituindo A2 = T11A1 + T12B1,
B1 = −T21
T22
A1 +
1
T22
B2 . (3.32)
Agora
A2 = T11A1 + T12B1 = T11A1 + T12
T21A1 −B2
−T22 . (3.33)
Finalmente (
A2
B1
)
= S
(
B2
A1
)
=
(−T12/T22 T11 − T12T21/T22
1/T22 −T21/T22
)(
B2
A1
)
. (3.34)
3.3.3 Tunelamento e reflexa˜o quaˆntica num poc¸o de potencial
Part´ıculas lanc¸adas com a energia cine´tica E podem atravessar barreiras de potenciais V0 > E
ou ser refletido por barreiras com V0 < E. Para ver isso, consideramos uma part´ıcula propagante
de x = −∞ ate´ x = +∞ atrave´s de um poc¸o de potencial x ∈ [0, a].
Para comec¸ardeterminamos a concatenac¸a˜o T = Tk3,k2,bTk2,k1,a. Depois achamos a S-matriz
que corresponde a` matriz T . Essa matriz e unita´ria,
detS = S11S22− S12S21 = 1 . (3.35)
30 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO LINEAR / POTENCIAIS SEPARA´VEIS
Alternativamente, (
S∗11 S∗21
S∗12 S∗22
)(
S11 S12
S21 S22
)
=
(
1 0
0 1
)
. (3.36)
Isso leve ate´,
|S12|2 + |S22|2 = T +R = 1 . (3.37)
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
T
E
β = 3
β = 10
Figura 3.6: (Code: QA Movimento Reflection.m) Coeficientes de transmissa˜o e reflexa˜o no
atrave´s de uma barreira de potencial.
Exerc´ıcio: 20 Considere que uma part´ıcula com energia E seja lanc¸ada (na direc¸a˜o eˆx) de
encontro a uma barreira de energia potencial de altura e largura finitas, tal que V (x) = 0 para
x < 0 ou x > L e V (x) = V0 para 0 ≤ x ≤ L.
a. Obtenha os coeficientes de reflexa˜o R e transmissa˜o T para o caso em que E > V0. Discuta
o resultado.
b. Fac¸a o mesmo para o caso E < V0.
3.3.4 Coliso˜es
Coliso˜es entre part´ıculas atrativas ou repulsivas podem ser descritos como espalhamento unidi-
mensional pela equac¸a˜o de Schro¨dinger
− ~
2
2m
ψ′′(x) + αδ(x)ψ(x)ψ(x) = Eψ(x) . (3.38)
Podem existir um espectro discreto de estados ligados e um continuo de estados livres.
Exerc´ıcio: 21 Calcule o coeficiente de transmissa˜o para o caso de uma part´ıcula com energia
E lanc¸ada de encontro a` barreira de energia potencial V (x) = αδ(x). O resultado se altera para
o caso em que V (x) = −αδ(x), com α > 0? Para esta u´ltima energia potencial, encontre a
energia do estado ligado da part´ıcula e sua correspondente func¸a˜o de onda.
3.3. BARREIRA DE POTENCIAL 31
3.3.5 Teoria de espalhamento ela´stico
Lembramos, primeiro, o uso da func¸a˜o de Green em eletrosta´tica. Da terceira equac¸a˜o de
Maxwell obtemos,
∆φ(r) = −ε−10 ρ(r) . (3.39)
Sendo definida por,
∆G(r) = δ3(r) , (3.40)
a func¸a˜o de Green fica,
G(r) =
−1
4pi
1
|r| . (3.41)
Com isso, achamos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Maxwell,
φ(r) =
(−G ? ε−10 ρ(r)) (r) = − 1ε0
∫
V
ρ(r0)G(r− r0)d3r0 = 1
4piε0
∫
V
ρ(x)
|r− x|d
3x , (3.42)
conhecida como lei de Poisson.
Esse mesmo procedimento pode ser utilizado para resoluc¸a˜o de equac¸a˜o de Schro¨dinger. Con-
sideramos duas part´ıculas envolvidas numa colisa˜o. Comec¸amos a partir da equac¸a˜o estaciona´ria
de Schro¨dinger reduzida ([Theis-84, p.124ff] und meine Unterlagen),[
− ~
2
2m
∆ + V (r)
]
ψ = Eψ . (3.43)
Introduzindo o vetor de onda k por,
E ≡ ~
2k2
2m
, (3.44)
a equac¸a˜o de Schro¨dinger fica,
(∆ + k2)ψ(r) =
2m
~2
V (r)ψ(r) . (3.45)
Para a equac¸a˜o de Schro¨dinger, a func¸a˜o de Green’s e´ uma a soluc¸a˜o de,
(∆ + k2)G(r) = δ3(r) . (3.46)
Ela adota a forma
G(r) = − 1
4pi
eik|r|
|r| , (3.47)
tal que,
ψ(r) =
(
−G ? 2m
~2
V ψ
)
(r) = −2m
~2
∫
V
G(r− r′)V (r′)ψ(r′)d3r′ . (3.48)
Teoria de perturbac¸a˜o da´ a serie de Born,
ψ(r) = ψi(r) +
(
−2m
~2
)
(G ? V ψi)(r) +
(
−2m
~2
)2
[G ? V (G ? V ψi)](r) (3.49)
= ψi(r) +
(
−2m
~2
)∫
V
G(r− r′)V (r′)ψi(r′)d3r′
+
(
−2m
~2
)2 ∫
V
G(r− r′)V (r′)G(r− r′′)V (r′′)ψi(r′′)d3r′d3r′′ .
32 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO LINEAR / POTENCIAIS SEPARA´VEIS
Somente, considerando a primeira ordem e inserindo uma onda plana, ψi(r) = e
ikiz/(2pi)3/2,
obtemos,
ψ(r) =
eikiz
(2pi)3/2
+
m
(2pi)3/22pi~2
∫
V
eik|r−r′|
|r− r′| V (r
′)eikizd3r′ . (3.50)
O comportamento asimptotico, r � r′, segue com,
|r− r′|2 = r2 + x2 − 2r · r′ ' r2
(
1− 2r · r
′
r2
)
(3.51)
|r− r′| ' r
√
1− 2r · r
′
r2
' r − r · r
′
r
,
dando com ks = krˆ e ki = keˆz
ψ(r) =
eikiz
(2pi)3/2
+
m
(2pi)3/22pi~2
∫
V
eik(r−r·r′/r)
|r− r′| V (r
′)eiki·r
′
d3r′ (3.52)
=
eikiz
(2pi)3/2
+
m
(2pi)3/22pi~2
eikr
r
∫
V
V (r′)ei(ki−ks)·r
′
d3r′
≡ 1
(2pi)3/2
(
eikiz +
eikr
r
f(ki, kf )
)
, (3.53)
com
f(ki, kf ) ≡ m
2pi~2
∫
V
V (r′)ei(ki−kf)·r
′
d3r′ = − m
2pi~2
〈kf |Vˆ |ki〉 .
3.4 Oscilador harmoˆnico
Muitos sistemas oscilam, na˜o so´ a luz. Outros exemplos sa˜o vibrac¸o˜es de mole´culas ou de
a´tomos numa rede cristalina ou de part´ıculas armadilhadas. Em geral, a maioria dos movimentos
perio´dicos sa˜o aproximadamente harmoˆnicos para vibrac¸o˜es pequenos e podem ser tratados de
maneira que vou detalhar agora.
Comec¸amos com o oscilador harmoˆnico unidimensional,[
−−~
2
2m
d2
dx2
+ V (x)− E
]
ψ(x) = 0 onde V (x) =
m
2
ω2x2 . (3.54)
3.4.1 Fatorizac¸a˜o do hamiltoniano
Podemos reescrever o hamiltoniano do oscilador harmoˆnico da maneira seguinte,
Hˆ = − ~
2
2m
d2
dx2
+
m
2
ω2xˆ2 =
(√
m
2
ω2xˆ−
√
~2
2m
d
dx
)(√
m
2
ω2xˆ+
√
~2
2m
d
dx
)
+
√
~2
2m
√
m
2
ω2
(3.55)
= ~ω
[(√
mω
2~
xˆ− i
√
1
2m~ω
pˆ
)(√
mω
2~
xˆ+ i
√
1
2m~ω
pˆ
)
+ 12
]
= ~ω
(
aˆ†aˆ+ 12
)
,
3.4. OSCILADOR HARMOˆNICO 33
onde aˆ ≡ √mω2~ xˆ + i√ 12m~ω pˆ = 1√2 ( 1aho xˆ+ iaho~ pˆ) com aho = √~/mω. aˆ† e´ a transposic¸a˜o
hermiteana. Agora vamos tentar descobrir as propriedades dos operadores aˆ† e aˆ. Primeiro o
comutador e´
[aˆ, aˆ†] =
[√
mω
2~
xˆ+ i
√
1
2m~ω
pˆ,
√
mω
2~
xˆ− i
√
1
2m~ω
pˆ
]
=
i
2~
[xˆ+ pˆ, xˆ− pˆ] = i
~
[pˆ, xˆ] = 1 .
(3.56)
Sabendo Hˆ|ψ〉 = E|ψ〉 e claro que aˆ†aˆ e´ uma observa´vel com o autovalor n ≡ E~ω − 12 ,
aˆ†aˆ|ψ〉 = ( E~ω − 12) |ψ〉 ≡ n|ψ〉 =⇒ |ψ〉 = |n〉 . (3.57)
Agora,
aˆ†aˆaˆ|ψ〉 = (aˆaˆ† − [aˆ, aˆ†])aˆ|ψ〉 = (aˆaˆ†aˆ− aˆ)|ψ〉 = aˆ(aˆ†aˆ− 1)|ψ〉 = (n− 1)aˆ|ψ〉 (3.58)
=⇒ aˆ|ψ〉 ∝ |n− 1〉
=⇒ n = 〈n|aˆ†aˆ|n〉 = C2〈n− 1|n− 1〉
=⇒ C = √n ,
isto e´ aˆ|ψ〉 e tambe´m um autovetor, ma´s com um nu´mero quaˆntico diminuido de uma unidade.
aˆ†aˆaˆ†|ψ〉 = aˆ†
(
[aˆ, aˆ†] + aˆ†aˆ
)
|ψ〉 = aˆ†
(
1 + aˆ†aˆ
)
|ψ〉 = (n+ 1)aˆ†|ψ〉 (3.59)
=⇒ aˆ†|ψ〉 ∝ |n+ 1〉
=⇒ n+ 1 = 〈n|aˆ†aˆ+ [aˆ, aˆ†]|n〉 = C2〈n+ 1|n+ 1〉
=⇒ C = √n+ 1 ,
isto e´ aˆ†|ψ〉 e tambe´m um autovetor, ma´s com um nu´mero quaˆntico aumentado de uma unidade.
aˆ† e aˆ sa˜o operadores de criac¸a˜o e de aniquilac¸ao de um corpu´sculo de energia
aˆ†|n〉 = √n+ 1|n+ 1〉 e aˆ|n〉 = √n|n− 1〉 . (3.60)
A representac¸a˜o matricial dos operadores de campo e´
aˆ† =
∑
n
√
n+ 1|n+ 1〉〈n| e aˆ† =
∑
n
√
n|n− 1〉〈n| . (3.61)
nˆ = aˆ†aˆ pode ser entendido como operador de nu´mero. O espectro de energia do oscilador
harmoˆnico e´ equidistante,
E = ~ω
(
n+ 12
)
. (3.62)
O estado com n quanta pode ser criado a partir do va´cuo,
|n〉 = aˆ
†
√
n
|n− 1〉 = aˆ
†n
√
n!
|0〉 . (3.63)
O estado |n〉 se chame estado de nu´mero ou estado de Fock.
34 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO LINEAR / POTENCIAIS SEPARA´VEIS
Incerteza em estados de Fock
Consideramos um OH de massa m e frequeˆncia angular ω preparado no estado estaciona´rio |n〉
que consiste num autoestado do hamiltoniano Hˆ com autovalor (n+ 1/2)~ω. Os operadores de
aniquilac¸a˜o e criac¸a˜o sa˜o,
aˆ =
1√
2
(
xˆ
aho
+ i
aho
~
pˆ
)
e aˆ† =
1√
2
(
xˆ
aho
− iaho
~
pˆ
)
. (3.64)
Portanto, os operadores posic¸a˜o e momento sa˜o,
√
2
1
aho
xˆ = aˆ+ aˆ† e
√
2i
aho
~
pˆ = aˆ− aˆ† . (3.65)
Os desvios quadra´ticos me´dios da posic¸a˜o xˆ e do momento pˆ sa˜o
∆x2 = 〈n|xˆ2|n〉 = a
2
ho
2
〈n|aˆaˆ+ aˆaˆ† + aˆ†aˆ+ aˆ†aˆ†|n〉 = a
2
ho
2
〈n|2nˆ+ 1|n〉 = a
2
ho
2
(2n+ 1) (3.66)
∆p2 = 〈n|pˆ2|n〉 = −~
2
2a2ho
〈n|aˆaˆ− aˆaˆ† − aˆ†aˆ+ aˆ†aˆ†|n〉 = −~
2
2a2ho
〈n| − 2nˆ− 1|n〉 = ~
2
2a2ho
(2n+ 1) .
(3.67)
A partir dos resultados do item anterior obtemos a relac¸a˜o de incerteza ∆x∆p para o OH
no estado |n〉, √
∆x2∆p2 =
~
2
(2n+ 1) . (3.68)
3.4.2 Oscilador harmoˆnico na representac¸a˜o espacial
Para simplificar a equac¸a˜o