1ª Prova - Cálculo 3 - Prof Marivaldo Matos

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Gabarito 1A - manhã
Área por Integral Dupla A área de uma região D do plano xy é dada por:
A (D) =
Z 1
0
Z x2
0
dydx+
Z 2
1
Z 2�x
0
dydx:
01. Esboce o grá…co da região D.
Solução D é a região do primeiro quadrante, delimitada pelo eixo x, pela parábola y = x2 (ou x =
p
y)
e pela reta y = 2� x (ou x = 2� y).
02. Expresse a área A(D) por uma integral iterada na ordem dxdy.
Solução Para inverter a ordem de integração, observamos a região D = D1 [D2 descrita por:
0 � y � 1 e py � x � 2� y:
Assim,
A (D) =
Z 1
0
Z 2�y
p
y
dxdy:
03. Calcule o valor da área A(D).
Solução A área A (D) pode ser calculada por integração dupla em qualquer das ordens dxdy ou dydx:
Temos:
A (D) =
Z 1
0
Z 2�y
p
y
dxdy =
Z 1
0
(2� y �py) dy =
h
2y � 12y2 � 23y3=2
i1
0
= 2� 12 � 23 = 5=6:
Volume por Integral Dupla O volume de um sólido 
 acima de uma região D do plano xy é
dado por:
vol (
) =
Z 1
0
Z p4�x2
p
1�x2
�
x2 + y2
�
dydx+
Z 2
1
Z p4�x2
0
�
x2 + y2
�
dydx:
04. Esboce a região D.
Solução D é a região do primeiro quadrante, entre as circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
05. Expresse vol(
) por uma integral dupla emcoordenadas polares.
Solução Em coordenadas polares, temos x2 + y2 = r2 e o Jacobiano é J = r. Assim,
vol (
) =
Z �=2
0
Z 2
1
r2 � rdrd� =
Z �=2
0
Z 2
1
r3drd�:
06. Calcule vol(
).
Solução O cálculo do volume pode ser feito usando a intgral dupla em coordenadas cartesianas ou em
coordenadas polares. O cálculo em coordenadas polares torna-se mais simples. Temos:
vol (
) =
Z �=2
0
Z 2
1
r3drd� =
�
2
�
r4
4
�2
1
=
15�
8
:
A Massa de um Corpo Um corpo de massa M e densidade � =
�
x2 + y2 + z2
��1 tem o
formato da região 
 do primeiro octante, interna às superfícies
x2 + y2 = z2 e x2 + y2 + z2 = 2z:
Comentário Em primeiro lugar, observamos que as superfícies que determinam o corpo são: o cone
x2 + y2 = z2 e a esfera x2 + y2 + z2 = 2z, como ilustrado na …gura abaixo.
2
No primeiro octante, temos:
x2 + y2 = z2 ) z =
p
x2 + y2
x2 + y2 + z2 = 2z ) x2 + y2 + (z � 1)2 = 1 ) z = 1 +
p
1� x2 � y2
e a projeção no plano xy é a porção do disco x2 + y2 � 1 do 1o quadrante.
07. Expresse M por uma integral tripla em coordenadas cartesianas.
Solução Em coordenadas cartesianas a massa M se expressa sob a forma:
M =
ZZZ
� (x; y; z) dV =
Z 1
0
Z p1�x2
0
Z 1+p1�x2�y2
p
x2+y2
dzdydx
x2 + y2 + z2
:
08. Expresse M por uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Solução Em coordenadas cilíndricas, o cone z =
p
x2 + y2 e a esfera se expressam, respectivamente, por
z = r e z = 1 +
p
1� r2. A densidade é � (r; �; z) = �r2 + z2��1 e, sendo assim,
M =
Z �=2
0
Z 1
0
Z p1�r2
r
rdzdrd�
z2 + r2
09. Expresse M por uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Solução Em coordenadas esféricas, temos:
cone: � = �=4
esfera: � = 2 cos�
densidade: � = 1=�2
e a massa se expressa sob a forma:
M =
Z �=2
0
Z �=4
0
Z 2 cos�
0
�2 sen�d�d�d�
�2
=
Z �=2
0
Z �=4
0
Z 2 cos�
0
sen�d�d�d�:
10. Calcule o valor de M .
Solução O cálculo da massa torna-se mais simples em coordenadas esféricas. Temos:
M =
Z �=2
0
Z �=4
0
Z 2 cos�
0
sen�d�d�d� =
�
2
Z �=4
0
[�]2 cos�0 sen�d�
=
�
2
Z �=4
0
2 cos� sen�d� =
�
2
Z �=4
0
sen 2�d� =
�
4
[� cos 2�]�=40 = �=4:
3
Gabarito 1A - tarde
Área por Integral Dupla A área de uma região D do plano xy é dada por:
A (D) =
Z 1
0
Z p4�x2
p
1�x2
dydx+
Z 2
1
Z p4�x2
0
dydx:
01. Esboce o grá…co da região D.
Solução D é a região do primeiro quadrante, entre as circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
02. Expresse a área A(D) por uma integral dupla em coordenadas polares.
Solução Em coordenadas polares, a região D é descrita por: 0 � � � �=2 e 1 � r � 2 e, portanto,
A (D) =
Z �=2
0
Z 2
1
rdrd�:
03. Calcule o valor da área A(D).
Solução A área A (D) pode ser calculada por integração dupla em coordenadas cartesianas ou polares.
O cálculo em coordenadas polares é mais simples. Temos
A (D) =
Z �=2
0
Z 2
1
rdrd� =
�
2
�
r2
2
�2
1
= 3�=4:
Volume por Integral Dupla O volume do sólido 
 acima da região D do plano xy e abaixo
da superfície z = x2 � y2 é dado por:
vol (
) =
Z 0
�1
Z 1+x
0
��x2 � y2�� dydx+ Z 1
0
Z 1�x
0
��x2 � y2�� dydx:
04. Esboce a região D.
Solução A região D e sua imagem R pela transformação T estão expostas nas …guras 1B e 1C, respec-
tivamente.
4
05. Expresse vol(
) por uma integral dupla na ordem dxdy.
Solução Para inverter a ordem de integração, observamos a Fig 1B, onde vemos que 0 � y � 1 e
y � 1 � x � 1� y: Assim,
vol (
) =
Z 1
0
Z 1�y
y�1
��x2 � y2�� dxdy:
06. Identi…que e esboce o grá…co da região R do plano uv, imagem de D, pela transformação
T : u = x+ y e v = x� y.
Solução A Fig. 1C mostra o grá…co da região R, imagem de D, e vemos que ela pode ser descrita por:
R : �1 � u � 1 e � 1 � v � u:
07. Expresse vol(
) por uma integral dupla sobre a região R.
Solução Um cálculo direto nos dá: ������ ux vxuy vy
������ =
������ 1 11 �1
������ = �2
e, sendo assim, obtemos da Fórmula de Mudança de Variável:
vol (
) =
Z 1
0
Z 1�y
y�1
��x2 � y2�� dxdy = 12 Z 1�1
Z u
�1
juvj dudv:
08. Calcule vol(
).
Solução O cálculo do volume deve feito por etapas, observando o sinal do produto uv. Na porção do 4o
quadrante, em que o produto uv é negativo, a integral que representa o volume correspondente deve ser
precedida do sinal (�). Logo,
vol (
) = 12
Z 1
�1
Z u
�1
juvj dudv = 12
�Z 1
0
Z u
0
uvdudv
�
| {z }
1o quadrante
+ 12
�Z 0
�1
Z u
�1
uvdudv
�
| {z }
3o quadrante
� 12
�Z 1
0
Z 0
�1
uvdudv
�
| {z }
4o quadrante
=
= 12
�
1
2
Z 1
0
u3du+ 12
Z 0
�1
�
u3 � u� du� 12 Z 1
0
(�u) du
�
= 14
�
1
4 � 14 + 12 + 12
�
= 1=4:
5
A Massa de um Corpo Em coordenadas cilíndricas r; � e z, a massa M de um corpo é dada
pela seguinte integral tripla:
M =
Z 2�
0
Z p2
0
Z p4�r2
r
3dzdrd�:
09. Expresse M por uma integral tripla: (a) em coordenadas cartesianas; (b) em coorde-
nadas esféricas.
Solução Em primeiro lugar, observamos que a densidade do corpo aparece naturalmente na expressão
da massa:
M =
Z 2�
0
Z p2
0
Z p4�r2
r
3
r
� rdzdrd�
onde vemos que a densidade é � = 1=r ou, em coordenadas cartesianas, � (x; y; z) = 1=
p
x2 + y2:
O corpo é a porção da esfera sólida x2 + y2 + z2 � 4 cortada pelo cone z =
p
x2 + y2, como ilustra a
…gura 1D abaixo.
A projeção no plano xy é o disco x2 + y2 � 2; de centro na origem e raio 2. Assim,
em coordenadas cartesianas: M =
Z p2
�p2
Z p2�y2
�
p
2�y2
Z p4�x2�y2
p
x2+y2
3dzdxdyp
x2 + y2
em coordenadas esféricas: M =
Z 2�
0
Z �=4
0
Z 2
0
3�2 sen�d�d�d�p
�2 sen2 �
=
Z 2�
0
Z �=4
0
Z 2
0
3�d�d�d�:
10. Calcule o valor de M .
Solução O cálculo da massa torna-se mais simples em coordenadas esféricas. Temos:
M =
Z 2�
0
Z �=4
0
Z 2
0
3�d�d�d� = 3 (2�) (�=4)
�
�2
2
�2
0
= 3�2
6
	Gabarito 1A - manhã
	Gabarito1A - tarde