1ª Lista - Cálculo 3 - Prof Edson

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Nos exercícios 01 a 08, calcule ∫∫
D
ydxdyxf ),( , onde D é a região descrita em cada caso. 
01. 
2)(
1),(
yx
yxf
+
= , D o retângulo 21,43 ≤≤≤≤ yx . 
02. 
2
2
),(
y
xyxf = , D no 1º quadrante, limitada pelas retas 2, == xxy e pela hipérbole 
x
y 1= . 
03. xyxf =),( , D o triângulo cujos vértices são )1,1(,)0,0( e )1,0( . 
04. xyxf =),( , D no 1º quadrante, limitada pela reta 2=+ yx e pelo arco da circunferência de 
raio 1, que tem seu centro no ponto )1,0( . 
05. y
x
eyxf =),( , D limitada pela parábola xy =2 e pelas retas 0=x e 1=y . 
06. 22),( yxyxf −= , D o triângulo cujos vértices são )1,1(,)0,0( − e )1,1( . 
07. 
22),( yx
xyxf
+
= , D limitada pela parábola 
2
2xy = e pela reta xy = . 
( Sugestão: cuuarctguuduarctg ++−=∫ )1ln(2
1 2 ) 
08. 22),( yxyxf += , D no 1º quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela circunferência 
de centro na origem e raio a . 
Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida. 
09. ∫ ∫
4
0
12
3 2
)),((
x
x
xdydyxf 10. ∫ ∫
1
0
3
2
)),((
x
x
xdydyxf 
11. ∫ ∫
−
−
a xa
a
xa
xdydyxf
0
2
22
22
)),(( 12. ∫ ∫
−
−−
1
0
1
1 2
)),((
y
y
ydxdyxf 
13. Calcule ydxd
b
y
a
x
D
∫∫ −− 2
2
2
2
1 , sendo D ∈= ),({ yx R2 / }12
2
2
2
≤+
b
y
a
x . 
( Sugestão:Faça uax = e vby = ) 
14. Calcule ydxdyxyx
D
∫∫ −+ )(sen)( 22 , onde D ∈= ),({ yx R
2 / }|||| π≤+ yx . 
( Sugestão:Faça yxu += e yxv −= ) 
15. Se D ∈= ),({ yx R2 / }1|||| ≤+ yx , mostre que ∫∫∫
−
=+
1
1
)()( udufydxdyxf
D
. 
( Sugestão: Faça yxu += e yv = ) 
16. Calcule a área da região que não contém a origem, sendo limitada pela reta 1=x e pela 
circunferência 422 =+ yx . 
17. Calcule a área da região interior à elipse de equação 1
94
22
=+
yx . 
18. Calcule a área da região compreendida entre as parábolas 25102 += xy e 962 +−= xy . 
19. Calcule a área comum aos círculos limitados por 422 =+ yx e 4)2( 22 =+− yx . 
20. Calcule a área da região interior à lemniscata )2(cos22 θ=r e exterior à circunferência de 
centro na origem e raio unitário. 
21. Calcule a área da região interior à cardióide θcos1 +=r e à direita da reta 
4
3
=x . 
22. Calcule o volume limitado pelo cilindro 422 =+ yx e pelos planos 0=z e 4=+ zy . 
23. Calcule o volume limitado pelo parabolóide 22 4yxz += , pelo plano 0=z e pelos cilindros 
xy =2 e yx =2 . 
24. Calcule o volume limitado pelo parabolóide 224 yxz += , pelo cilindro yyx 822 =+ e pelo 
plano 0=z . 
25. Calcule o volume do sólido limitado pelo plano 0=z , pelo cilindro xyx 222 =+ e pelo cone 
222 zyx =+ . 
26. Calcule o volume do sólido contido no parabolóide 222 yxz += , limitado por este e pela esfera 
de equação 3222 =++ zyx . 
27. Calcule o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelas superfícies ,1, =+= yxyxz 
xyxyyx 2,,2 === e 0=z . 
( Sugestão:Faça yxu = e 
x
yv = ) 
28. Ao calcular-se, por dupla integração, o volume V do sólido situado abaixo do parabolóide de 
equação 22 yxz += e acima de uma região D do plano XY, obteve-se a seguinte soma de 
integrais 
V = ∫ ∫∫ ∫
−
+++
2
1
2
0
22
1
0 0
22 ))(())((
yy
ydxdyxydxdyx . 
Faça um gráfico da região D e verifique se é possível obter o valor desse mesmo volume sem a 
necessidade do cálculo de uma soma de integrais. Qual o valor do volume procurado ? 
29. Calcule a integral tripla da função yzyxf =),,( , sobre o tetraedro do 1º octante, delimitado 
pelos planos coordenados e pelo plano 1=++ zyx . 
30. Calcule a integral tripla da função zzyxf =),,( , sobre o sólido do 1º octante, delimitado pelos 
planos 62,2,0,0 =+=+== xyyxzy e pelo cilindro 422 =+ zy . 
31. Calcule a integral tripla da função 2),,( xzyxf = , sobre o sólido limitado pelos planos 
4,0 == zz e pelo cilindro 922 =+ yx . 
32. Sendo R o sólido do 1º octante, limitado pelos planos 0=x , 0=y , 1,0 =+= yxz e 
1=+ zx , verifique que ∫∫∫
R
zyddxdzx = 
40
1 , 
a) integrando primeiro em relação a z, depois em relação a y e, finalmente, em relação a x e 
b) integrando primeiro em relação a x, depois em relação a y e, finalmente, em relação a z. 
33. Prove que o volume da esfera de equação 2222 azyx =++ vale 3
3
4 aπ , usando, inicialmente, 
coordenadas cilíndricas e, posteriormente, coordenadas esféricas. 
Nos exercícios 34 a 37, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla. 
34. Sólido do 1º octante, delimitado pelos planos xzyx === ,0,0 e pelo cilindro 21 yz −= . 
35. Sólido interior ao cilindro xyx 422 =+ , delimitado pela esfera 16222 =++ zyx e pelo plano 
0=z . 
36. Sólido interseção dos parabolóides 221 yxz −−= e 122 −+= yxz . 
37. Sólido do 1º octante, delimitado pelos planos 0,0 == yx , pela esfera 6222 =++ zyx , 
situado entre os cones 22 yxz += e 222 yxz += . 
38. O volume de um certo sólido é dado por 
V = xdydzd
yx
yx
xx
])([
22
22
2
4
4
2
0
2
0
∫∫ ∫
−−
−−−
−
. 
Descreva o sólido graficamente, dando as equações das superfícies que o delimitam. 
39. Em relação ao problema anterior, exprima o mesmo volume como uma integral tripla em 
coordenadas cilíndricas. 
40. Fez-se um orifício circular em uma esfera, de forma que o eixo do orifício coincidiu com o 
diâmetro da esfera. Calculou-se o volume do sólido restante e obteve-se 
V = ∫∫ ∫
− 24
0
2
0
2
1
])([2
r
ddrdzr θ
π
. 
Determine o raio do orifício, o raio da esfera e o valor de V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R E S P O S T A S 
01. )
24
25(ln 02. 
4
9
 03. 
6
1
 04. 
6
1
 05. 
2
1
 06. 
6
π
 07. 2ln 08. 
6
3aπ
 
 
09. ∫ ∫
48
0
3
12
)),((
y
y
ydxdyxf 10. ∫ ∫∫ ∫ +
3
2
12
0
3
2
3
)),(()),((
y
y
y
ydxdyxfydxdyxf 
 
11. ∫ ∫∫ ∫
−−
−
+
a yaya
yaa
a
a
ydxdyxfydxdyxf
2
222 22
2 00 2
)),(()),(( 
 
12. ∫ ∫∫ ∫
−
−
−
+
1
0
1
0
0
1
1
0
)),(()),((
2 xx
xdydyxfxdydyxf 
 
13. 
3
2 baπ
 14. 
3
4π
 16. 3
3
4
−
π
 17. π6 18. 
3
1516
 19. )334(
3
2
−π 
20. 
3
3 π− 21. 
16
398 +π
 22. π16 23. 
7
3
 24. π96 25. 
9
32
 
26. 
3
)536( −π
 
 
27. )24(
3
1
− 
 
28. É possível: ∫ ∫
−
=+
1
0
2
22
3
4])([
x
x
xdydyx 29. 
24
5
 30. 
3
26
 31. π81 34. 
15
4
 
 35. )43(
9
64
−π 36. π 37. )
5
1
2
1(6 −π 38. 0,2,4 22222 ==+=++ yxyxzyx 
 
39. θ
π θ
drdzdr
r
r
])([
2
2
20
cos2
0
4
4
∫ ∫ ∫
−
−−
 40. Raio do orifício: 1; Raio da esfera: 2; V = 34π . 
