Lista Micro IV - Bens Públicos

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Faculdade de Economia, Universidade Federal Fluminense 
Microeconomia III 
Lista 9 - Capítulo 36: Bens Públicos 
 
Respostas 
 
0. Ler resumo, fazer exercícios de revisão e estudar apêndice do capítulo sobre bens públicos (Varian pp. 742-
744). 
 
1. Quais as duas propriedades dos bens públicos? Um programa transmitido pela “TV aberta” é um bem público? 
E um programa transmitido pela TV a cabo? A educação básica, garantida pela Constituição Federal, pode ser 
considerada um bem público? 
Bens públicos são caracterizados por serem não rivais e não excludentes. 
- Ausência de excludência significa que o bem não pode ser restrito a um grupo específico de 
pessoas; ninguém pode ser excluído do seu consumo. 
- Ausência de rivalidade significa que a quantidade consumida de determinado bem por uma 
pessoa não altera a quantidade do bem disponível para os demais indivíduos. 
 
a. Um programa transmitido pela “TV aberta” não pode ser restrito a um grupo específico de pessoas, e 
o consumo por parte de uma pessoa não reduz a quantidade consumida por outra pessoa. Bens públicos, 
portanto. 
b. Um programa transmitido pela TV a cabo é restrito àqueles que pagam mensalidade à empresa 
fornecedora. Portanto, este serviço exclui certos consumidores. Porém, dentro do grupo dos assinantes, 
não há rivalidade no consumo. (Estes bens, excludentes, mas não rivais, às vezes são classificados como 
“bens de clube”.) 
c. Quanto à educação básica, a própria existência de escolas e faculdades privadas mostra que é possível 
excluir consumidores. Portanto, uma característica de bem público não é atendida pela educação. 
Todavia, não há rivalidade dentro de certos limites físicos: quantos alunos podem ser adicionados a uma 
sala? Qual é o alcance da voz do professor? Portanto, a educação pode ser considerada um bem com 
uma característica típica de bens privados (excludência) e com uma característica de bens públicos (não-
rivalidade), porém, apenas dentro de certos limites, os quais dependem da tecnologia disponível (Uma 
aula ministrada pela internet e acessível a todos seria um bem público, certo?). 
Por vezes, a educação é parcial ou totalmente financiada e produzida pelo setor público, mas isto não a 
torna um bem público: não confundir fonte de financiamento com a natureza do bem! As razões para 
intervenção governamental neste setor se fundamentam em outros argumentos (ex: externalidades 
sociais positivas geradas pela educação, equalização de oportunidades etc.) e não na natureza do bem. 
 
2. Barack Obama e Hu Jintao são dois jovens que compartilham uma república de estudantes durante um ano. 
Num mercado de produtos de segunda-mão, eles encontram um sofá velho, que ficaria perfeito na sua sala de 
estar. A utilidade de Obama é dada por: uO(S, MO) = (1 + S)MO; enquanto a de Hu é expressa por: uH(S, MH) = 
(2 + S)MH. Nessas expressões, MO e MH indicam os montantes de dinheiro que Obama e Hu possuem para 
gastar em outros bens além do sofá; S=1 se eles adquirem o sofá; S=0 se não o adquirem. Obama dispõe de 
uma riqueza total de WO, enquanto Hu possui WH. 
a. Qual é o preço de reserva de Obama pelo sofá? (1 + 0)WO = (1 + 1)(WO – rO)  rO = WO/2. 
b. Qual é o preço de reserva de Hu pelo sofá? (2 + 0)WH = (2 + 1)(WH – rH)  rH = WH/3. 
c. Se Obama tem riqueza total de WO = $80, enquanto a de Hu é WH = $75, eles poderiam comprar o sofá e 
obter uma melhoria de Pareto com relação a não comprar? Possivelmente, mas desde que o sofá não 
custasse caro demais... 
d. Para que a melhoria de Pareto seja possível, qual deve ser o preço máximo do sofá? Trata-se da soma dos 
preços de reserva dos dois esudantes: rO + rH = WO/2 + WH/3 = 80/2 + 75/3  40 + 25 = $65. 
 
3. Visconde de Mauá tem mil habitantes, e seus moradores consomem apenas um bem privado: chocolate quente. 
Há apenas um bem público: campos de futebol. Todos os habitantes têm a mesma função de utilidade, Ui(Xi, G) 
= Xi – 100/G, onde Xi expressa a quantidade de chocolates quentes consumida pelo morador i, enquanto G 
indica a área municipal destinada a campos de futebol. O preço de uma caneca de chocolate quente é R$1, 
enquanto o custo de estender o campo de futebol é de R$10 por metro quadrado. Todos os habitantes têm a 
mesma renda, de R$1000 por mês. 
 2 
a. Qual é a taxa marginal de substituição entre campos de futebol e chocolate quente (em valor absoluto)? 
TMS = – (∂Ui/∂G)/(∂Ui/∂Xi) = – [(– 1)*(– 100*G-2)]/1 = – 100/G². Qual é o custo marginal de um metro 
quadrado adicional de campo de futebol (medido em termos de chocolates quentes)? 10. 
b. Como sabemos que há mil habitantes na cidade, todos com a mesma TMS, é possível escrever uma 
equação que expresse a igualdade entre a soma dos valores absolutos das TMSs e o custo marginal. Qual é ela 
neste caso? Qual é a quantidade eficiente (Pareto-ótima) de G? 
Equação: 1.000*(|- 100/G²|) = 10. 
Resolvendo-a, obtém-se a quantidade eficiente: G = 100. 
c. Suponha que todos os moradores paguem uma proporção igual do custo de manter/estender os campos de 
futebol. Sabe-se – do enunciado deste exercício – que o gasto total da prefeitura com campos de futebol é de 
R$10G. Então o imposto municipal a ser pago por cada cidadão será R$10G/1000 = R$G/100. Todo ano, os 
cidadãos de Visconde de Mauá votam para decidir qual deve ser a extensão dos campos de futebol. Cada 
cidadão sabe que, se a extensão dos campos de futebol for G, então ele ou ela poderá consumir certa 
quantidade de canecas de chocolate quente. Qual será esta quantidade? Xi = 1000 – G/100. 
d. Portanto, podemos expressar a restrição orçamentária de um consumidor como Xi + G/100 = 1000, certo? 
Com o propósito de decidir qual deverá ser a extensão dos campos de futebol, um eleitor simplesmente 
precisa, através da escolha de Xi e de G, resolver um problema simples de maximização da utilidade, sujeito a 
uma restrição orçamentária. Depois de resolver isto, ele votará pela quantidade de G que considerar 
apropriada. Qual será o valor de G no nosso exemplo? 
Max Ui(Xi, G) = Xi – 100/G 
s.a. Xi + G/100 = 1.000 
Substituindo-se a restrição orçamentária no programa de maximização, obtemos: 
Max Ui(Xi, G) = 1.000 – G/100– 100/G 
A condição de primeira ordem da maximização será: 
(∂Ui/∂G) = 0  -1/100 –100*(-1)*G-2 = 0  G = 100. 
e. Se a prefeitura provê campos de futebol na extensão desejada pelos eleitores, estes campos terão extensão 
maior, menor ou igual ao da extensão ótima de Pareto? Igual. 
 
4. O vilarejo histórico de Paranapiacaba, localizado na Serra do Mar entre São Paulo e Santos, tem população de 
mil habitantes. A principal atividade econômica dessa localidade é o ecoturismo. Seus habitantes estão 
interessados em: alimentar-se bem e proteger a natureza local, por meio de fiscalização florestal. Proteger um 
hectare da mata custa o equivalente a 1 tonelada de comida. A população é bastante homogênea, tendo todos os 
cidadãos as mesmas preferências, expressas pela seguinte função de utilidade: Ui(xi, g) = xi + √g/20, onde xi 
expressa as toneladas de comida consumidas pelo cidadão i, ao passo que g indica os hectares de mata 
protegidos. 
a. Qual é a taxa marginal de substituição entre comida e preservação da mata (em valor absoluto)? 
(∂Ui/∂g)/(∂Ui/∂xi)| = [(1/20)* (½)*(g-½)]/1 = [1/(40√g)] = 1/(40√g). 
b. Qual é a quantidade Pareto-ótima de hectares a serem protegidos? 1.000*[(1)/(40√g)] = 1 (O custo de 
proteger uma unidade de mata é igual a uma unidade de comida)  25 = √g  g = 25²  g = 625. 
 
5. Há três grupos em uma comunidade. Suas respectivas curvas de demanda por televisão estatal em horas de 
programação, T, são dadas, respectivamente, por W1 = $150 – T; W2 = $200 - 2T; e W3 = $250 – T. Suponha 
que a televisão estatal seja um bem público puro que possa ser produzido com um custo marginalconstante 
igual a $200 por hora. 
a. Qual seria o número de horas eficiente de transmissão para a televisão estatal? 
Devemos somar verticalmente as curvas de demanda que representam os benefícios marginais para 
cada indivíduo, obtendo a soma dos benefícios marginais. O gráfico abaixo mostra as curvas de 
demanda individuais e a soma resultante. 
 3 
 
Tempo Disposição a pagar 
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Soma Vertical 
0 150 200 250 600 
50 100 100 200 400 
100 50 0 150 200 
150 0 0 100 100 
200 0 0 50 50 
250 0 0 0 0 
 
Portanto, a igualdade entre a soma das disposições marginais a pagar e o custo marginal (∑TMS=Cmg) 
será atingida para o tempo T = 100 horas de programação. 
 
Disposição 
a pagar
Tempo de TV
250
100
200
300
400
500
50 100 150 200 300
600
CMg
W1
W2
W3
 
 
b. Quantas horas seriam transmitidas pela televisão estatal como resultado de um mercado competitivo 
privado? O número eficiente de horas é dado pela condição de igualdade entre o custo marginal e o 
benefício privado marginal. 
W1 = CMg  $150 – T = $200  T = -50 horas 
W2 = CMg  $200 – 2T = $200  T = 0 horas 
W3 = CMg  $250 – T = $200  T = 50 horas 
 
Graficamente, para determinar o número de horas que seria fornecido pelo mercado, devemos agregar 
as curvas de demanda individuais horizontalmente. As curvas de demanda para os Grupos 1 e 2 se 
encontram abaixo de CMg = $200 para todo T > 0. Apenas o Grupo 3 estaria disposto a pagar o valor 
do custo marginal, $200. A esse preço, seriam fornecidas 50 horas de programação televisiva (por 
assinatura). 
 
 
Quantidade Demandada 
Preço Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Soma 
Horizontal 
250 0 0 0 0 
200 0 0 50 50 
150 0 25 100 125 
100 50 50 150 250 
50 100 75 200 375 
0 150 100 250 500 
 
 4 
Disposição a
pagar
Tempo de TV
250
50
100
150
200
250
50 100 150 200 300
300
CMg
W1
W2
W3
 
 
6. (ANPEC 2009) Suponha que existam dois agentes e que exista um bem público e um bem privado, ambos 
disponíveis em quantidades contínuas. A provisão do bem público é dada por G = g1 + g2, em que gi é a 
contribuição do agente i (para i=1,2) para a provisão do bem público. A utilidade do agente 1 é 
  111 3, xGxGU  e a do agente 2 é   222 5, xGxGU  em que xi é o consumo do bem privado pelo agente i 
(em que i=1,2). 
 
a. Ambos os agentes apresentam preferências de um tipo bem específico. Qual é este tipo? Em que sentido 
este tipo de função facilita a resolução do exercício? 
Trata-se de preferências quase-lineares. Conforme slides do curso ou o Varian: “em geral, a 
quantidade ótima do bem público será diferente para diferentes quantidades do bem privado. Porém, 
com preferências quase-lineares, todas as alocações eficientes apresentarão quantidade única do bem 
público. A utilidade marginal do bem privado será sempre igual a 1, qualquer que seja a quantidade de 
xi. A TMS entre os bens público e privado dependerá apenas de G, sendo independente de xi”. 
 
b. Determine o nível G* de provisão eficiente do bem público. 
(A resolução abaixo segue o apêndice do capítulo 36 do Varian e foi extraída de Schmidt (2011), o livro 
contendo exercícios resolvidos da ANPEC.). 
Max U1(x1, G) 
s.a. U2(x2, G) = U2* 
e s.a. x1 + x2 + G = w1 + w2 
 
O Lagrangeano (L) será: 
L = U1(x1, G) – λ[U2(x2, G) – U2*] – μ[x1 + x2 + G – w1 + w2] 
L = [3*G½ + x1] – λ[5*G½ + x1 – U2*] – μ[x1 + x2 + G – w1 + w2] 
 
As condições de primeira ordem serão: 
∂L/∂x1 = 0  1 – μ = 0  μ = 1 
∂L/∂x2 = 0  – λ – μ = 0  λ = – 1 
∂L/∂G = 0  3/(2*G½) – λ[5/(2*G½)] – μ = 0 
 
3/(2*G½) – λ[5/(2*G½)] = 1 
(Expressão da linha anterior é igual a TMS1 + TMS2 = CMgG) 
2*G½ = 8 
G* = 16 
 
 
7. Teresa Cristina e Maria Rita dividem um apartamento. Cada umas delas gasta parte da renda domiciliar em 
bens privados, que consomem separadamente, como comida e roupas, e parte em bens públicos, que consomem 
conjuntamente, como microfone, pandeiro e violão. A utilidade de Teresa Cristina é 2XT + G, e a de Maria Rita 
é XM.G, onde XT e XM são as quantidades de dinheiro que gastam em bens privados, e G é a quantia destinada a 
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comprar bens públicos. A cada semana, Teresa Cristina e Maria Rita dispõem de um total de R$8mil para 
gastar, tanto com bens privados para cada uma delas, como com bens públicos. 
a. Qual é (em valor absoluto), a TMS entre os bens privado e público, para Teresa Cristina? E para Maria 
Rita? ½ e XM/G. (Notem que a preferência de Teresa Cristina é quase-linear, o que implica que sua 
TMS independe de XM; por outro lado, a preferência de Maria Rita não é quase-linear, de modo que a 
TMS depende da quantidade de bem privado.) 
b. Escreva uma equação que expresse a condição de provisão eficiente do bem público. ½ + XM/G = 1 (custo 
de cada unidade extra de bem público adquirida é R$1 real). 
c. Suponha que cada uma das cantoras gaste R$2000 com bens privados, e que gastem R$4000 com bens 
públicos. Trata-se de uma situação eficiente no sentido de Pareto? Neste caso, temos: 
XM = 2.000 
XT = 2.000 
G = 4.000 
A condição de eficiência é: ½ + XM/G = 1. 
Substituindo os valores, temos: ½ + 2.000/4.000 = 1. Portanto, é eficiente no sentido de Pareto. 
d. Dê um exemplo de uma outra situação eficiente no sentido de Pareto, em que Maria Rita gaste mais do que 
R$2000 em bens privados, e Teresa Cristina gaste menos do que R$2000. 
XM = 2.500 
XT = 500 
G = 5.000 
Substituindo os valores na condição de eficiência, temos: ½ + 2.500/5.000 = 1. 
e. Dê agora um exemplo de uma situação eficiente no sentido de Pareto, em que Teresa Cristina gaste mais do 
que R$2000. 
XM = 1.000 
XT = 5.000 
G = 2.000 
Substituindo os valores na condição de eficiência, temos: ½ + 1.000/2.000 = 1. 
f. Descreva o conjunto de alocações eficientes de Pareto (Dica: por meio de duas equações). 
Equação 1 (condição de eficiência): ½ + XM/G = 1  XM/G = ½ 
Equação 2 (restrição orçamentária domiciliar): XM + XT + G = 8.000 
g. Os ótimos de Pareto que tratam melhor Teresa Cristina do que Maria Rita terão mais, menos, ou a mesma 
quantidade de bem público do que o ótimo de Pareto que as trata igualmente? Menos. (Compare o item (e), 
em que Teresa Cristina é “bem tratada” e se gastam $2.000 com bens públicos, com o item (d), em que 
Maria Rita é “bem tratada” e se gastam $5.000 com bens públicos). 
 
8. São Francisco de Itabapoana é uma área de pesca altamente produtiva no Rio de Janeiro, que pode ser dividida 
em duas zonas em termos de sua população de peixes. A Zona 1 tem uma população maior por milha quadrada, 
mas está sujeita a rendimentos acentuadamente decrescentes em relação ao esforço de pesca. A quantidade 
pescada diariamente, em toneladas, na Zona 1 é de 
F1 = 200X1 – 2X12, 
onde X1 é o número de barcos pesqueiros em atividade na Zona 1. Na Zona 2 há menos peixes por milha 
quadrada mas ela é maior e os rendimentos decrescentes não são um problema. A quantidade pescada 
diariamente na Zona 2 é 
F2 = 100X2 – X22, 
onde X2 é o número de barcos pesqueiros em atividade na Zona 2. A quantidade marginal pescada QMgF em 
cada zona é expressa pelas equações: 
QMgF1= 200-4X1 e QMgF2=100-2X2 
Atualmente há 100 barcos autorizados pelo governo do estado do Rio de Janeiro a pescar nessas duas zonas. Os 
peixes são vendidos a R$100 a tonelada. O custo total por barco é constante e igual a R$1.000 por dia. 
Responda as questões abaixo: 
a. Se os barcos fossem autorizados a pescar onde quisessem, não havendo qualquer restrição do governo, 
quantas embarcações estariam pescando em cada uma das zonas? Qual seria o valor bruto da pesca? 
Na ausência de restrições, os barcos se dividirão naturalmenteentre as duas zonas de modo a igualar a 
quantidade média pescada (QMeF1 e QMeF2) por cada embarcação em cada zona. (Caso a quantidade 
média pescada seja maior em uma das zonas, alguns barcos se deslocarão da zona com menor 
quantidade pescada para a outra zona, até que as quantidades médias pescadas nas duas regiões sejam 
iguais). Devemos resolver o seguinte sistema de equações: 
QMeF1 =QMeF2 e X1+X2=100 onde 
QMeF1=200X1 – 2X12/ X1=200 – 2X1 e 
 6 
QMeF2=100X2 – X22/ X2=100- X2 
Logo, como QMeF1 =QMeF2, temos 200 – 2X1=100- X2 
Substituindo X1 na equação acima por 100 – X2 , teremos: 200 – 2(100 – X2) =100- X2 
Resolvendo a equação, teremos X1=200/3 e X2=100/3 (quantidade de barcos em cada zona). 
A quantidade total pescada pode ser obtida inserindo-se os valores de X1 e X2 nas equações de pesca F1 
e F2. Substituindo os valores encontrados, devemos encontrar F1=4.444 e F2=2.222. A quantidade total 
pescada é F1+F2=6.666. Ao preço de R$100 a tonelada, o valor da pesca é R$666 e a quantidade média 
pescada por cada um dos 100 barcos é 66,66 toneladas. O lucro por barco é dado pela diferença entre o 
custo total e a receita total: Lucro = 100x66,66-1.000=R$5.666. O lucro total da frota é R$566.600. 
b. Se o governo brasileiro estivesse disposto a restringir o número de barcos, qual o número de embarcações 
que deveria ser alocado para cada zona? Qual passaria a ser o valor bruto da pesca? Suponha que o número 
total de barcos permaneça igual a 100. 
Suponha que o governo deseje maximizar o valor social líquido da pesca, isto é, a diferença entre o 
benefício social total e o custo social total. Para tanto, o governo deve igualar a quantidade marginal 
pescada nas duas zonas, sujeito a restrição de que o número de barcos é 100: 
QMgF1 =QMgF2 e X1+X2=100 onde 
QMgF1=200 – 4X1 e QMgF2=100 – 2X2 .Igualando as quantidades marginais de cada zona e 
substituindo o valor de X1 ou X2 da restrição, chegaremos a X1=X2=50. 
A quantidade total pescada pode ser obtida inserindo–se os valores de X1 e X2 nas equações de pesca, 
assim como fizemos na letra (a). Vocês deverão chegar aos novos valores de F1=5.000 e F2=2.500. A 
nova quantidade total pescada será de 7.500 toneladas. Ao preço de mercado, o valor da pesca é 
R$750.000 e o lucro total é R$650.000. 
Observe que os lucros não se distribuem igualmente entre os barcos nas duas zonas. A quantidade 
média pescada na Zona 1 é 100 toneladas por barco, enquanto que a quantidade média pescada na 
Zona 2 é 50 toneladas por barco. Logo, a pesca na Zona 1 resulta em lucros mais elevados para os 
proprietários individuais dos barcos. 
c. Caso outros pescadores estejam dispostos a adquirir barcos e aumentar a frota pesqueira atual, será que o 
governo que estivesse interessado em maximizar o valor líquido da pesca obtida estaria disposto a conceder 
autorizações para eles? Por que? 
Em primeiro lugar, devemos calcular o número de barcos em cada zona que maximiza o lucro. O lucro 
na Zona 1 é: 
Lucro1 =100(200X1 – 2X12)-1000X1 => Lucro1 =19.000X1-200X12 
Para determinar uma variação do lucro associada a uma mudança em X1 é necessário derivar a função 
Lucro em relação a X1: ∂Lucro1/∂ X1=19.000-400X1. Para determinar o nível de produção que maximiza 
o lucro, igualamos a derivada a zero e resolvemos em função de X1. Vocês deverão encontrar X1=47,5. 
Inserindo X1 na equação de lucro da Zona 1 =19.000x47,5-200x(47,5)2 =R$451.250. 
Para a Zona 2, faremos o mesmo procedimento. Vocês devem encontrar: 
Lucro2 =100(100X2 – X22)-1000X2 => Lucro2 =9.000X2-100X22 
Novamente, derivando a função de lucro em relação a X2,igualando a zero e resolvendo para o nível de 
produção que maximiza o lucro na Zona 2, encontraremos X2=45 e Lucro2=R$202.500. 
O lucro total obtido nas duas zonas é de R$653.750 com 47,5 barcos na Zona 1 e 45 barcos na Zona 2. 
Dado que um número maior do que 92,5 barcos reduz o lucro total, o governo não deveria conceder 
novas licenças. 
 
9. (ANPEC 2008) Com relação à teoria dos bens públicos, julgue as afirmações (V ou F): 
 
a. ( F ) Se um bem público puder ser provido em quantidade continuamente variável, então, para que sua 
provisão seja eficiente, é necessário que a média dos benefícios marginais de todos os usuários se iguale ao 
custo marginal de produção do bem. 
b. ( V ) A presença de “caronas” dificulta a oferta eficiente dos bens públicos pelos mercados. 
c. ( V ) No que tange à provisão de um bem público, o imposto de Groves-Clarke garante que, para as partes 
envolvidas, a revelação do valor líquido verdadeiro do bem público seja uma estratégia fracamente 
dominante. 
d. ( V ) O imposto de Groves-Clarke só funciona para utilidades quase-lineares. 
e. ( F ) Se as preferências individuais tiverem pico único, a preferência coletiva poderá apresentar a 
intransitividade característica do paradoxo do voto. 
 
10. Considere os custos da Euro 2004 (Campeonato Europeu de Futebol), os quais estão representados pelos 
valores dos investimentos nos estádios abaixo. No quadro abaixo, apresentam-se os valores: 
 7 
 
Estádio Clube que usa o 
estádio 
Custo estimado 
em 2001 
(milhões de 
euros) 
Capacidade 
do estádio 
Número 
médio de 
espectadores 
por jogo (em 
2001/2002) 
Braga Sporting de Braga 26 30.000 4.877 
Guimarães Vitória S. C. 14 34.000 8.214 
Antas F.C. Porto 58 50.000 28.102 
Bessa Boavista 26 30.000 7.303 
Aveiro Beira Mar 26 35.000 576 
Coimbra Académica 14 34.000 n.d. 
Leiria União de Leiria 17 30.000 851 
Alvalade Sporting 58 43.000 24.030 
Luz Benfica 18 65.000 25.522 
Faro Farense 26 30.000 1.016 
Total 283 
 
Em pesquisa realizada para avaliar o impacto do procedimento regulatório de seleção das cidades sede dos jogos da 
Euro 2004, foram apresentados os resultados sobre a propensão a pagar pelo bem semi-público Euro 2004: 
 
Itens Valor em 2000 
Valor total da propensão a pagar (no. de famílias = 
3.734.056 que declararam propensão a pagar positiva) 
1.008,19 euros 
Custo total 283.000.000 euros 
Custo público 43.300.000 euros 
Resultado -42.298.991,81 
 
a. A Euro 2004 foi eficiente do ponto de vista de Pareto? 
Com base nas (limitadas) informações indicadas acima, conclui-se que a Euro 2004 não foi melhoria no 
sentido de Pareto, já que a propensão a pagar agregada não excedeu os custos agregados.