EPS e Avaliando Aprendizado - Cálculo III

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
	Considere as seguintes equações diferenciais:
I) \(4(y')^5 + y'' =1 \)
II) \({\partial^5y \over \partial x^5} - {\partial^2y \over \partial x^2} = 0 \)
III) \((y'')^3 + (y')^5 = x\)
De acordo com as alternativas, determine a alternativa correta.
	
	
	
	A primeira é de grau 5 e a segunda é de ordem 3.
	
	
	A segunda e a terceira são de ordens iguais.
	
	
	A terceira é de ordem 1 e grau 5.
	
	
	A primeira e a segunda são de graus iguais a 1.
	
	
	A segunda é de ordem 2 e a grau 3 e a terceira é de ordem 2 e grau 3.
	
Explicação:
A primeira e a segunda são de graus iguais a 1, ou seja, é o grau da mais alta derivada da ED.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dadas as EDOs abaixo:
I - \(t^{3}\frac{d^{3}y}{dt^{3}}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ \frac{dy}{dt}+ty^{2}=0\)
II - \(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ sen(t +y)y´+ y=sen(t)\)
III - \( {(\frac{d^{2}y}{dt^{2}})}^{2}+t \frac{dy}{dt}+2y=t \)
Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a alternativa II é linear.
	
	
	I, II e III são não lineares.
	
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
Explicação:
I, II e III são não lineares, porque: as alternativas I e III possuem termos quadráticos e a alternativa II apresenta a variável multiplicada pela sua derivada.
	
	
	
	
		
	
		3.
		Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo:
\(t^2s^{(2)}-ts=1-sen(t)\)
	
	
	
	Ordem 2 e grau 2.
	
	
	Ordem 2 e grau 1.
	
	
	Ordem 1 e grau 1.
	
	
	Ordem 1 e grau 2.
	
	
	Ordem 4 e grau 2.
	
Explicação:
Ordem de uma ED corresponde a ordem da derivada de mais alta ordem da ED. Grau de uma ED corresponde ao grau ("expoente") do termo da ED que definirá sua ordem
	
	
	
	
		
	
		4.
		Considere as seguintes equações diferenciais:
a) \(4(y')^5 + y'' -1\)
b) \({ {\partial^5y} \over {\partial x^5} } - ({ {\partial^2y} \over {\partial x^2} })^3 = 0\)
Em relação a ordem e grau das equações, podemos afirmar que:
	
	
	
	A primeira tem grau 2 e a segunda tem ordem 2.
	
	
	A primeira tem ordem 2 e a segunda tem grau 1.
	
	
	Ambas possuem graus iguais.
	
	
	A primeira tem grau 5 e a segunda tem ordem 5.
	
	
	Ambas possuem ordem iguais.
	
Explicação:
Opção A é verdadeira.
A ordem  de uma ED é a ordem da derivada de maior ordem  presente na ED.
Grau é o expoente ao qual a maior derivada está elevada.
Assim sendo, letra a) possui ordem 2 e grau 1, e a letra b) possui ordem 5 e grau 1.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo:
\(x^{4}y^{(4)}+xy^{3}=e^{x}\)
	
	
	
	Ordem 4 e grau 1.
	
	
	Ordem 4 e grau 4.
	
	
	Ordem 4 e grau 3.
	
	
	Ordem 1 e grau 1.
	
	
	Ordem 1 e grau 4.
	
Explicação:
O aluno deve mostrar conhecimento sobre as definições de ordem e grau de uma EDO
	
	
	
	
		
	
		6.
		Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será?
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	(2 , - sen t, t2)
	
	
	(t ,  sen t, 3t2)
	
	
	(2t , - sen t, 3t2)
	
	
	(2t , cos t, 3t2)
	
	
	
	
		
	
		7.
		Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo:
I - \({(y^{(IV)})}^{2}+3xy'+2y=e^{2x}\)
II - \(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ t \frac{dy}{dt}+2y=sen(t)\)
III - \(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ \frac{dy}{dt}+ty^{2}=0\)
Assinale a alternativa verdadeira.
	
	
	
	Apenas a alternativa II é linear.
	
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a alternativa I e II é linear.
	
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	
Explicação:
I possui função exponencial e III tem o termo \(y^2\)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Seja a função F parametrizada por:
   .
Calcule F(2)
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	(4,5)
	
	
	(5,2)
	
	
	(2,16)
	
	
	(6,8)
	
	
		
	
		1.
		Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
\(t^{2}y^{(2)}+ty´+2y=sen(t)\)
	
	
	
	4ª ordem e não linear.
	
	
	2ª ordem e não linear.
	
	
	2ª ordem e linear.
	
	
	3ª ordem e linear.
	
	
	4ª ordem e linear.
	
Explicação:
A ordem de uma ED é a ordem das derivadas de mais alta ordem(das derivadas) nela presentes. O grau é a potência da mais alta ordem da derivada presente na ED. É linear porque a variável dependente \(y\) e suas derivadas aparecem em combinações aditivas de suas primeiras potências.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo:
I - \({(y^{(IV)})}^{2}+3xy'+2y=e^{2x}\)
II - \(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ t \frac{dy}{dt}+2y=sen(t)\)
III - \(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ \frac{dy}{dt}+ty^{2}=0\)
Assinale a alternativa verdadeira.
	
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a alternativa II é linear.
	
	
	Apenas a alternativa I e II é linear.
	
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
Explicação:
I possui função exponencial e III tem o termo \(y^2\)
	
	
	
	
		
	
		3.
		Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
\(\frac{d^{3}y}{dt^{3}}+t\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+({cos}^{2}(t))y=t^{3}\)
	
	
	
	3ª ordem e linear.
	
	
	6ª ordem e linear.
	
	
	5ª ordem e não linear.
	
	
	5ª ordem e linear.
	
	
	3ª ordem e não linear.
	
Explicação:
Ordem da ED = maior ordem presente na ED
Grau - expoente do termo que define a ordem da ED
	
	
	
	
		
	
		4.
		Resolvendo a equação diferencial dy/y = (cos x)dx, obtemos:
	
	
	
	ln y = sen x + C
	
	
	y = ln x + C
	
	
	ln y = cos x + C
	
	
	e) sen y + cos x = C
	
	
	ln y = x + C
	
Explicação:
Resposta: b) ln y = sen x + C Basta integrar ambos os membros
	
	
	
	
		
	
		5.
		Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será?
	
	
	
	(2 , - sen t, t2)
	
	
	(2t , - sen t, 3t2)
	
	
	(t ,  sen t, 3t2)
	
	
	(2t , cos t, 3t2)
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	
		
	
		6.
		Resolva a seguinte EDO utilizando a técnica de Fator Integrante:
\(y^2 cos (x) dx + (4+5y \ sen(x))dy = 0\)
	
	
	
	\(x^5 sen(x) + y^5 = k\)
	
	
	\(y^5 sen(x) + y^4 = k\)
	
	
	\(y^5x sen(x) + y^5 = k\)
	
	
	\(y^5 sen(x) + y^5 = k\)
	
	
	\(y^5 sen(y) + y^4 = k\)
	
Explicação:
 Para chegar  a  esta solução ,\(y^5 sen(x) + y^4 = k\)   coloque a ED dada na forma padrão e teremos o P(x). Aplique o método de solução realizando a integração.
	
	
	
	
		
	
		7.
		"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di Prima.  Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
 
 (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
	
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(I), (II)e (III)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(I)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo:
\(x^{4}y^{(4)}+xy^{3}=e^{x}\)
	
	
	
	Ordem 1 e grau 4.
	
	
	Ordem 4 e grau 1.
	
	
	Ordem 1 e grau 1.
	
	
	Ordem 4 e grau 3.
	
	
	Ordem 4 e grau 4.
	
Explicação:
O aluno deve mostrar conhecimento sobre as definições de ordem e grau de uma EDO
	Resolvendo a equação diferencial cosydy=dxx, obtemos:
		
	
	cos y - ln x = C
	
	ln y - sen x = C
	
	ln y - cos x = C
	 
	sen y - ln x = C
	
	e) sen y - cos x = C
	
Explicação:
 Basta integrar ambos os membros.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a equação diferencial (cos y)dy - (sen x)dx = 0, obtemos:
		
	
	sen x - cos y = C
	
	sen y + cos y = C
	 
	sen y + cos x = C
	
	sen x + cos y = C
	
	sen x - cos x = C
	
Explicação: Resposta: a) sen y + cos x = C Basta fazer (cos y)dy = (sen x)dx e integrar ambos os membros
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
y(4)+y(3)+y(2)+y´+y=1
		
	
	3ª ordem e não linear.
	 
	4ª ordem e linear.
	
	3ª ordem e linear.
	
	5ª ordem e linear.
	
	4ª ordem e não linear.
	
Explicação:
4ª ordem - a derivada de mais alta ordem na ED é 4
linear - todas as derivadas da ED estão em expoente 1
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3
		
	
	5ª ordem e não linear.
	
	6ª ordem e linear.
	 
	3ª ordem e linear.
	
	5ª ordem e linear.
	
	3ª ordem e não linear.
	
Explicação:
Ordem da ED = maior ordem presente na ED
Grau - expoente do termo que define a ordem da ED
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Resolva a seguinte EDO utilizando a técnica de Fator Integrante:
y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0
		
	
	y5xsen(x)+y5=k
	
	y5sen(y)+y4=k
	 
	y5sen(x)+y4=k
	
	y5sen(x)+y5=k
	
	x5sen(x)+y5=k
	
Explicação:
 Para chegar  a  esta solução ,y5sen(x)+y4=k   coloque a ED dada na forma padrão e teremos o P(x). Aplique o método de solução realizando a integração.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere as seguintes equações diferenciais:
a) 4(y′)5+y″−1
b) ∂5y∂x5−(∂2y∂x2)3=0
Em relação a ordem e grau das equações, podemos afirmar que:
		
	
	Ambas possuem ordem iguais.
	
	Ambas possuem graus iguais.
	
	A primeira tem grau 5 e a segunda tem ordem 5.
	
	A primeira tem grau 2 e a segunda tem ordem 2.
	 
	A primeira tem ordem 2 e a segunda tem grau 1.
	
Explicação:
Opção A é verdadeira.
A ordem  de uma ED é a ordem da derivada de maior ordem  presente na ED.
Grau é o expoente ao qual a maior derivada está elevada.
Assim sendo, letra a) possui ordem 2 e grau 1, e a letra b) possui ordem 5 e grau 1.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo:
I - t3d3ydt3+tdydt+y=t
II - d2ydt2+tdydt+t2y=et
III - t2dydt+ty=sen(t)
Assinale a alternativa correta.
		
	 
	I, II e III são lineares.
	
	I, II e III são não lineares.
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
	Apenas a alternativa II é linear.
	
Explicação:
 É linear porque a variável dependente y e suas derivadas aparecem em combinações aditivas de suas primeiras potências.
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di Prima.  Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
 
 (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
		
	
	(I)
	
	(I) e (II)
	
	(I) e (III)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(II) e (III)
	ED - PRIMEIRA ORDEM
	
		
	
		1.
		A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é
	
	
	
	y=x+C
	
	
	y=ln 2x -1
	
	
	y=2x-ln(x+1)+C
	
	
	y=ln x+C
	
	
	y=C/x
	
Explicação:
xy´+y=0 é
xdy/dx = -y
-dy/y = dx/x
-lny = lnx + c
-lny = lncx
lny + lncx = 0
lncxy = 0
cxy = 1
y = 1/cx
	
	
	
	
		
	
		2.
		Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 7y = 28?
	
	
	
	4
	
	
	10
	
	
	6
	
	
	8
	
	
	2
	
	
	
	
		
	
		3.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
\(y´=5y\)
	
	
	
	\(y=ce^{5x}\)
	
	
	\(y=ce^{-x}\)
	
	
	\(y=ce^{-5x}\)
	
	
	\(y=ce^{x}\)
	
	
	Nenhuma das alternativas
	
Explicação:
dy/dx = 5y -> dy/ y = 5dx -> lny = 5x + c -> y = ce5x
	
	
	
	
		
	
		4.
		Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR: 
a) d²y/dx² = -2x(dy/dx) + 2y 
b) dx/dt = k(4-x).(1-x) 
encontramos:
	
	
	
	(a)não linear (b)não linear
	
	
	(a)linear (b)linear
	
	
	impossivel identificar
	
	
	(a)não linear (b)linear
	
	
	(a)linear (b)não linear
	
	
	
	
		
	
		5.
		Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para auxiliar na compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos frequentemente geram uma equação que contém algumas derivadas de uma função desconhecida. Tal equação é chamada de equação diferencial. Para iniciar o estudo de tal equação, se faz necessário alguma terminologia comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação diferencial se faz necessário classificar esta equações.
Três classificações primordiais são:
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial)
2. Segundo a ordem desta equação.
3. Segundo a linearidade.
Classifique as seguintes equações:
a) dxdt=5(4-x)(1-x)
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x
c) ∂4u∂x4+∂2u∂t2=0
d) d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0
Admitindo os seguintes índices para a classificação:
A=1: para E.D.O.
A=2: para E.D.P.
n: A ordem da Equação
B=5: para equação linear
B=6: para equação não linear
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em:
 
	
	
	
	7; 8; 11; 10
	
	
	8; 8; 9; 8
	
	
	8; 9; 12; 9
	
	
	8; 8; 11; 9
	
	
	7; 8; 9; 8
	
	
	
	
		
	
		6.
		Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações.
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0   toda função , definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por  na equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b).
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções queverificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
	
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I)
	
	
	(II)
	
	
	(III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	
	
		
	
		7.
		Resolvendo a equação diferencial separável xdy = ydx, obtemos:
	
	
	
	y + x = C
	
	
	ln y = x + C
	
	
	ln y = ln x + C
	
	
	y = ln x + C
	
	
	x = ln y + C
	
Explicação:
Resposta: a) ln y = ln x + C Basta  separar as variáveis e integrar ambos os membros.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis:
\(\frac {dy}{dt} = e^{t-y}\)
	
	
	
	\(y = t + k \)
	
	
	\(y = ln({e^t} + c)\)
	
	
	\(y = ln (e) + c\)
	
	
	\(y = e^{ty} + k\)
	
	
	\(y = e^{t-y}\) 
	
Explicação:
eydy = etdt
ey = et + c
y = ln(et + c)
	
	
		
	
		1.
		Dadas as funções abaixo, determine quais são homogêneas.
I - \(f(x,y)=5x^{4}+x^{2}y^{2}\)
II - \(f(x,y)=xy+y^{2}\)
III - \(f(x,y)=x+ysen(\frac{y}{x})\)
	
	
	
	Apenas a II.
	
	
	Todas são homogêneas.
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Apenas a I.
	
	
	Apenas a II.
	
Explicação:
Aplique o teste: \(f(tx, ty) = t^nf(x,y)\)
	
	
	
	
		
	
		2.
		Classifique a equação diferencial x^3 y" + xy' + (x^2 - 4)y = 0 de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade:
	
	
	
	equação diferencial parcial de terceira ordem e não linear;
	
	
	equação diferencial ordinária de segunda ordem e linear;
	
	
	equação diferencial ordinária de terceira ordem e linear;
	
	
	equação diferencial ordinária de primeira ordem e não linear.
	
	
	equação diferencial parcial de primeira ordem e linear;
	
	
	
	
		
	
		3.
		Dada uma função de modo que f(5,6)=7  e seu grau é igual a 1, podemos afirmar que  f(20,24) é:
	
	
	
	20
	
	
	24
	
	
	1
	
	
	7
	
	
	28
	
Explicação:
28
	
	
	
	
		
	
		4.
		Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é possível encontrar uma solução particular para uma equação diferencial.
	
	
	
	Apenas I e II são corretas.
	
	
	Apenas I e III são corretas.
	
	
	Apenas I é correta.
	
	
	Todas são corretas.
	
	
	Apenas II e III são corretas.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0:
	
	
	
	equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear.
	
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear;
	
	
	equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear
	
	
	equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear
	
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear
	
	
	
	
		
	
		6.
		Verifique se a função \(f(x,y)=x^{3}+xy^{2}e^{\frac{y}{x}}\) é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Homogênea de grau 3.
	
	
	Homogênea de grau 2.
	
	
	Homogênea de grau 1.
	
	
	Homogênea de grau 4.
	
	
	Não é homogênea.
	
Explicação:
Calcular f(tx, ty) e verificar que f(tx, ty) = t³f(x, y)
	
	
	
	
		
	
		7.
		Dado um conjunto de funções  {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n:
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1]
Calcule o Wronskiano  formado pelas funções na primeira linha,pelas  primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: f(x)= e2x  ;
                             g(x)=senx     e     
                              h(x)= x2+3⋅x+1
Determine o   Wronskiano  W(f,g,h) em x= 0.
	
	
	
	 2      
	
	
	 -1     
	
	
	 1       
	
	
	 7
	
	
	-2     
	
Explicação:
O wronskiano nos indica se as respostas de equações diferenciasi são LI ou LD.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Uma função \(f(x,y)\)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando \(f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)\).
Verifique se a função \(f(x,y)=5x^{4}+x^{2}y^{2}\) é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	É função homogênea de grau 4.
	
	
	É função homogênea de grau 5.
	
	
	Não é função homogênea.
	
	
	É função homogênea de grau 3.
	
	
	É função homogênea de grau 2.
	
Explicação:
Calculando f(tx, ty), verifica-se, no exemplo pedido f(tx, ty) = t4f(x, y)
	
	
		
	
		1.
		Uma solução da equação diferencial y´=y é a função:
	
	
	
	y = ex
	
	
	y = 2x
	
	
	y = x2.e
	
	
	y = e2
	
	
	y = x2
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - \(ydx+xdy=0\)
II - \((x-2y)dx+(x+y)dy=0\)
III - \((2x^{2}-y)dx+(x+y)dy=0\)
	
	
	
	I, II e III são exatas.
	
	
	I, II e III são não exatas.
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Apenas a II.
	
	
	Apenas a I.
	
Explicação:
Uma EDO da forma Mdx + Ndy será exata quando dM/ dy = dN / dx
	
	
	
	
		
	
		3.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - \(2xydx+(1+x^{2})dy\)
II - \((x+sen(y))dx+(xcos(y)-2y)dy=0\)
III - \((2xy+x)dx+(x^{2}+y)dy=0\)
	
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Apenas a II.
	
	
	Apenas a I.
	
	
	Nenhuma é exata.
	
	
	I, II e III são exatas
	
Explicação:
Basta aplicar o Teste da Exatidão e verificar se as derivadas parciais de M em relação a y são iguais às derivadas parciais de N em relação a x, nas alternativas apresentadas.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Resolva a seguinte EDO EXATA:
\(y' = {{5y - 2x} \over {-5x + 3y^2}}\)
	
	
	
	\(- 5y + y^3 + x^2 = k\)
	
	
	\(- 5x^2 + y^3 + x^2 = k\)
	
	
	\(- 5xy + y^3 + x^2 = k\)
	
	
	\(- 5x + y^3 + x^2 = k\)
	
	
	\(- 5xy^2 + y^3 + x^2 = k\)
	
Explicação:
Inicie fazendo \(y' = dy/dx\)
O método abrange desde a comprovação da Condição de Exatidão, escolhendo-se uma ordem de integração de M(x,y)  ou  N(x,y), chegando-se a uma função g(x,y) que, se derivada parcialmente em relação a x e a y, reproduza M(x,y) e N(x,y). Derive a função abaixo parcialmente em relação a x e a y e encontraremos M e N.
\(- 5xy + y^3 + x^2 = k\)
	
	
	
	
		
	
		5.
		Resolva a seguinte EDO EXATA:
\((y - x^2)dx - (y^2 - x) dy = 0\)
	
	
	
	\(y - \frac{x^3}{3} - \frac{y^3}{3} + 3k\)
	
	
	\(yx - \frac{x^3}{3} - \frac{y^3}{3} = k \)
	
	
	\(y - \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = k\)
	
	
	\(yx^3 - \frac{x^3}{3} - \frac{y^3}{3} = k \)
	
	
	\(y - \frac{x^3}{3} - \frac{y^3}{3} + c\)
	
Explicação:
O método abrange desde a comprovação da Condição de Exatidão, escolhendo-se uma ordem de integração de M(x,y)  ou  N(x,y), chegando-se a uma função g(x,y) que, se derivada parcialmente em relação a x e a y, reproduza M(x,y) e N(x,y). Derive a função abaixo parcialmente em relação a x e a y e encontraremos M e N.
\(yx - \frac{x^3}{3} - \frac{y^3}{3}= k \)
	
	
	
	
		
	
		6.
		Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent.
	
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	1/2
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	
	
		
	
		7.
		Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0.
	
	
	
	y = C1e-t + C2e-t
	
	
	y = C1e-3t + C2e-2t
	
	
	y = C1et + C2e-5t
	
	
	y = C1e-t + C2
	
	
	y = C1e-t + C2et
	
	
	
	
		
	
		8.
		São grandezas escalares, exceto:
	
	
	
	A temperatura do meu corpo
	
	
	João empurrando um carrinho de mão, cheio de livros.
	
	
	A energia cinética nos pontos da trajetória do trenzinho da montanha russa.
	
	
	A espessura da parede da minha sala é 10cm.
	
	
	O carro parado na porta da minha casa.
	
	
		
	
		1.
		O Wronskiano de 3ª ordem  é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas funções.
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente dependentes nesse ponto.
Identifique, entre os pontos do intervalo[-π,π] apresentados, onde as funções t,sent,cost são linearmente dependentes.
	
	
	
	t=π2
	
	
	t=π3
	
	
	t=0
	
	
	t=π
	
	
	t=π4
	
	
	
	
		
	
		2.
		Identifique no intervalo[ - π,π] onde as funções {t,t2, t3} são  lineramente dependentes.
	
	
	
	t= π
	
	
	t=0
	
	
	t= π3
	
	
	t=-π
	
	
	t=-π2
	
	
	
	
		
	
		3.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3yy'=exp(x)
	
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	
	
		
	
		4.
		Qual a única resposta correta como solução da ED :  dydx=yx+1 ?
	
	
	
	lny=ln|1-x |
	
	
	lny=ln|x+1|
	
	
	lny=ln|x -1|
	
	
	lny=ln|x 1|
	
	
	lny=ln|x|
	
	
	
	
		
	
		5.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares.
I - \(y´+\frac{4}{x}y=x^{4}\)
II - \(y´-2xy=x\)
III - \(y´-3y=6\)
	
	
	
	Nenhuma alternativa anterior está correta.
	
	
	Apenas a II.
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Apenas a I.
	
Explicação:
Uma EDO é linear quando a variável que está sendo derivada não tem, em nenhum termo, expoente diferente de 1
	
	
	
	
		
	
		6.
		Classificando a equaçâo diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
ydx + xdy = 0 concluimos que ela é;
	
	
	
	Separável, Homogênea e Exata
	
	
	Separável, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Separável, Homogênea e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Dado um conjunto de funções  {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n:
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1]
Calcule o Wronskiano  formado pelas funções na primeira linha,pelas  primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: f(x)= e2⋅x  ;
                             g(x)=senx     e     
                               \(h(x) = x² + 3x + 1\)
Determine o   Wronskiano  W(f,g,h) em x= 0.
	
	
	
	 2      
	
	
	 -1     
	
	
	-2     
	
	
	 7
	
	
	 1       
	
Explicação:
A explicação da construção do wronskiano está no texto da pergunta.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável.
	
	
	
	y = c.x
	
	
	y = c.x^3
	
	
	y = c.x^4
	
	
	y = c.x^7
	
	
	y = c.x^5
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
	
	
		
	
		1.
		Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento populacional supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é proporcional a população presente naquele instante y(t), portanto podemos descreve-lo como um problema de Valor Inicial dy/dt = k y onde y(0) = y0. Com base nessa informação, encontre a solução do problema de crescimento populacional (problema de valor inicial) sabendo que  y0 = 3 e que em 10 dias havia 240 indivíduos.
	
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 7ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 56t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 e4t . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 80 t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = t2 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 45t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) =  ekt + t. Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dado um conjunto de funções  {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n:
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1]
Calcule o Wronskiano  formado pelas funções na primeira linha,pelas  primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções:
                               f(x)= \(e^{2x}\)  ;
                             g(x)=senx     e     
                             \(h(x) = x^2+3x+1\)
Determine o   Wronskiano  W(f,g,h) em x= 0.
	
	
	
	 1       
	
	
	 -1     
	
	
	 7
	
	
	 2      
	
	
	-2     
	
Explicação:
Calculando-se o Wronskiano, encontra-se W= -2.
	
	
	
	
		
	
		3.
		Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 4y = 0.
	
	
	
	y = C1cos3t + C2sen3t
	
	
	y = C1cost + C2sent
	
	
	y = C1cos6t + C2sen2t
	
	
	y = C1cos4t + C2sen4t
	
	
	y = C1cos2t + C2sen2t
	
Explicação:
Trata-se de uma EDH com raízes complexas, cuja resposta típica é do tipo: \(y = C_1e^(ax) cos(bx) + C_2e^(ax)sen(bx)\)
	
	
	
	
		
	
		4.
		Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2).
	
	
	
	o Limite será 12.
	
	
	o Limite será 0.
	
	
	o Limite será 1.
	
	
	o Limite será 5.
	
	
	o Limite será 9.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções  particulares da equação y + y = 0. Calcule o Wronskiano.
	
	
	
	O Wronskiano será 5.
	
	
	O Wronskiano será 3.
	
	
	O Wronskiano será 0.
	
	
	O Wronskiano será 13.
	
	
	O Wronskiano será 1.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Aplicando a transformada de Laplace na função y = 4sen4t, obtemos:
	
	
	
	4s²+16
	
	
	4s²+4
	
	
	4ss²+16
	
	
	ss²+16
	
	
	16s²+16
	
	
	
	
		
	
		7.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1 e y'(0)=0
	
	
	
	y(t)=53e-t+23e-(4t)
	
	
	y(t)=43e-t - 13e4ty(t)= - 43e-t - 13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e-t+13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e-t - 13e-(4t)
	
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: \(m² + 5m + 4 = 0\)...(1)
Raízes: \(m_1 = -1; m_2 = -4\)   ... A resposta típica é: \(y(t) = C_1\mathrm{e}^{-t} + C_2\mathrm{e}^{-4t}\)....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
\(y(0) = 1; y'(0) =0\)
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: \(C_1 = \frac{4}{3}; C_2 = - \frac{1}{3}\)
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
\(y(t) = \)\(\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-t} - \frac{1}{3}\mathrm{e}^{-4t}\)
 
	
	
	
	
		
	
		8.
		Podemos afirmar que o fator integrante da equação \({(6xy)dx +(4y+ 9x^2) dy}\)     é:
	
	
	
	\(I= {2y}\)
	
	
	\(I = {xy}\)
	
	
	\(I= {x^2}\)
	
	
	\(I=2x\)
	
	
	\(I= {y^2}\)
	
Explicação:
\(I = {y^2}\)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
	
	
		
	
		1.
		Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2:
	
	
	
	𝑦 = − 𝑥 + 8
	
	
	𝑦 = 2𝑥² + 𝑥 - 2
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 10
	
	
	𝑦 = 𝑥² − 𝑥 + 2
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8
	
	
	
	
		
	
		2.
		Determine c1 e c2 de modo que f(x)=c1e2x+c2ex+2senx satisfaça as seguintes condições iniciais: f(0)=0 e f'(0)=1. Marque a única resposta correta.
	
	
	
	c1=e-1
c2=e+1
	
	
	c1=-1
c2=-1
	
	
	c1=-1
c2=1
	
	
	c1=-1
c2=0
	
	
	c1=-1
c2=2
	
Explicação:
O chamado, problema de condição inicial, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo.
	
	
	
	
		
	
		3.
		Determine a solução da equação diferencial x2 y + xy + 9y = 0, x > 0
	
	
	
	y = c1 cos (3 ln x)
	
	
	y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x)
	
	
	y = c1 sen ( ln x) + c2 sen (3ln x)
	
	
	y =  c2 sen (3ln x)
	
	
	y = c1 cos ( ln x) + c2 sen (ln x)
	
	
	
	
		
	
		4.
		Sabendo que y1 = cos x e y2 = sen x são soluções particulares da equação y + y = 0 utilizando o princípio de superposição podemos afirmar que:
I - y = c1 sen x + c2 cos x também é solução da equação.
II - y = c1 sen x + c2 cos x não é solução da equação.
III - y1/y2 é LI
IV - o Wronskiano nos garante que se y1 e y2 são LI, entao o W(y1,y2) é dirente de zero em cada ponto num intervalo aberto I.
	
	
	
	Apenas IV é verdadeiras
	
	
	Apenas I, III e IV são verdadeiras.
	
	
	Todas as afirmações são verdadeiras,
	
	
	Apenas I e IV são verdadeiras.
	
	
	Apenas I e II são verdadeiras.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0).
	
	
	
	tende a zero
	
	
	tende a 1
	
	
	tende a 9
	
	
	tende a x
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	
		
	
		6.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1 e y'(0)=0
	
	
	
	y(t)=43e-t+13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e-t - 13e4t
	
	
	y(t)=53e-t+23e-(4t)
	
	
	y(t)= - 43e-t - 13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e-t - 13e-(4t)
	
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: \(m² + 5m + 4 = 0\)...(1)
Raízes: \(m_1 = -1; m_2 = -4\)   ... A resposta típica é: \(y(t) = C_1\mathrm{e}^{-t} + C_2\mathrm{e}^{-4t}\)....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
\(y(0) = 1; y'(0) =0\)
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: \(C_1 = \frac{4}{3}; C_2 = - \frac{1}{3}\)
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
\(y(t) = \)\(\frac{4}{3}\mathrm{e}^{-t} - \frac{1}{3}\mathrm{e}^{-4t}\)
 
	
	
	
	
		
	
		7.
		 Sobre Transformadas de Laplace podemos afirmar:
 É um método simples.
Serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
Equação Diferencial são resolvidas através de integrais e derivadas.
Serve para transformar uma Equação algébrica com condições iniciais em uma equação Diferencial  , de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
 É um método complexo.
	
	
	
	As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
	
	
	As alternativas 2,3 e 5 estão corretas.
	
	
	As alternativas 2 e 3 estão corretas.
	
	
	As alternativas 1,3 e 4 estão corretas.
	
	
	As alternativas 1 e 3 estão corretas.
	
Explicação:
As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Determine o Wronskiano W(senx,cosx)
	
	
	
	0
	
	
	senx cosx
	
	
	cos x
	
	
	sen x
	
	
	1
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
	
	
		
	
		1.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t),  da função: F(s)=2s2+9, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2,
L(cosat)= ss2+a2
	
	
	
	f(t)=13sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(3t)
	
	
	f(t)=sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(t)
	
	
	f(t)=23sen(4t)
	
Explicação:
Para resolver a questão basta comparar com as equações dadas na questão.
	
	
	
	
		
	
		2.
		A ordem e o grau da equação diferencial y'''- 4y'' + xy = 0 é:
	
	
	
	2º ordem e 2º grau
	
	
	3º ordem e 1º grau
	
	
	1º ordem e 3º grau
	
	
	3º ordem e 2º grau
	
	
	3º ordem e 3º grau
	
Explicação:
3º ordem e 1º grau
	
	
	
	
		
	
		3.
		A solução da equação diferencial é:
 
	
	
	
	sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	x²y²+sen(x)+C=0
	
	
	x²+sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	x²y²+sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	x²y²+ln(y)+C=0
	
	
	
	
		
	
		4.
		A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 .
(II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y).
(III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0  onde M=M(x,y)  e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado.
 
	
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I)
	
	
	(II)
	
	
	(III)
	
	
	
	
		
	
		5.
		Seja a transformada de Laplace de F(t), denotada aqui por L{F(t)}  e  definida por L{F(t)}=f(s)=∫0∞e-(st)F(t)dt.
Sabe-se que se L{F(t)}=f(s) então  L{eatF(t)}= f(s-a)
Portanto a transformada de Laplace da função F(t)=etcost , ou seja, L{etcost} é igual a  ...  
	
	
	
	s-1s2-2s+2
	
	
	s-1s2-2s+1
	
	
	s+1s2+1
	
	
	s-1s2+1
	
	
	s+1s2-2s+2
	
Explicação:
Aplicação do translação em frequência. A explicação já foi evidenciada no texto da questão. 
	
	
	
	
		
	
		6.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t),  da função: F(s)=2s2+9, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2,
L(cosat)= ss2+a2
	
	
	
	f(t)=13sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(t)
	
	
	f(t)=23sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(4t)
	
	
	f(t)=sen(3t)
	
Explicação:
No texto são informadas duas transformadas uma do seno e outra do cosseno. Aplicando a tabela das transformadas identificam-se os parâmetros necessários para dar a respostacorreta. 
	
	
	
	
		
	
		7.
		Um dos métodos de solução de uma EDLH é chamado de Método de Redução de Ordem, no qual é dada uma solução, por exemplo y1 e calcula-se a outra solução y2, pela fórmula abaixo:
 y2=y1∫e-∫(Pdx)y12dx
Assim, dada a solução y1 =cos(4x), indique a única solução correta de y2 para a equação y''-4y=0 de acordo com as respostas abaixo:
	
	
	
	sec(4x)
	
	
	cos-1(4x)
	
	
	tg(4x)
	
	
	sen-1(4x)
	
	
	sen(4x)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t),  da função: F(s)=2s2+9, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2,
L(cosat)= ss2+a2
	
	
	
	f(t)=13sen(3t)
	
	
	f(t)=23sen(4t)
	
	
	f(t)=23sen(t)
	
	
	f(t)=23sen(3t)
	
	
	f(t)=sen(3t)
	
Explicação:
Solução com o uso da tabela dada na questão.
SÉRIE DE FOURRIER
	
	
		
	
		1.
		A solução da equação diferencial (y-sen(x))dx + (sen(y) +ex)dy=0  é
	
	
	
	sen(x) + cos(y)+ex
	
	
	sen(x) - cos(x)+ex
	
	
	cos(y) - cos(x)+y
	
	
	sen(y) - cos(x)+yex
	
	
	cos(x) - cos(y)+yex
	
	
	
	
		
	
		2.
		Seja a função
 f(x)=x2cos(x)
Podemos afirmar que f é uma função:
	
	
	
	nem é par, nem impar
	
	
	Dependendo dos valores de x f pode ser par ou impar.
	
	
	Par
	
	
	é par e impar simultâneamente
	
	
	Impar
	
	
	
	
		
	
		3.
		Seja y + 5 y+ 6 y = 0 uma equaçao diferencial de 2 ordem. Encontre a solução geral desta equação.
	
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e+ c2 e5x+1, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 ex, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex+ c2 e5x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 e-4x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e-2x + c2 e-3x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	
	
		
	
		4.
		Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/ dx2 ) - 2 x (dy/dx) + 2y = x3 , x > 0
	
	
	
	y =  (1/2) e3t
	
	
	y = c1 et
	
	
	y = c1 et + c2 e2t + (1/2) e3t
	
	
	y = c1 et +  (1/2) e3t
	
	
	y = c1 et + c2 e2t
	
	
	
	
		
	
		5.
		Resolva a equação diferencial    exdydx=2x  por separação de variáveis.
	
	
	
	y=-12e-x(x-1)+C
	
	
	y=12ex(x+1)+C
	
	
	y=e-x(x-1)+C
	
	
	y=e-x(x+1)+C
	
	
	y=-2e-x(x+1)+C
	
	
	
	
		
	
		6.
		O elemento químico rádio (Ra) presente em um pedaço de chumbo se decompõe a uma taxa que é proporcional à sua quantidade presente. Se 10% do Ra decompõem em 200 anos, qual é porcentagem da quantidade original de Ra que estará presente no pedaço de chumbo após 1000 anos?
	
	
	
	60,10%
	
	
	59,05%
	
	
	40,00%
	
	
	70,05%
	
	
	80,05%
	
Explicação: resolver a EDO dQ/dt=-kQ por varáveis separáveis
	
	
	
	
		
	
		7.
		Dada  função F(t) = 2t2 - 3t +4.  Use a transformada de Laplace para determinar F(s)
	
	
	
	3s2 -2s + 4
	
	
	4/s3 -  3/s2 + 4s-1
	
	
	4/s -3/s2 + 4/s3
	
	
	12s + 2/s - 3/s2
	
	
	4s2 - 3s + 4
	
	
	
	
		
	
		8.
		Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 anos, quando ela triplicará? Sugestão: dN/dt = kN
	
	
	
	1 anos
	
	
	2 anos
	
	
	5 anos
	
	
	10 anos
	
	
	20 anos
APLICAÇÕES PRÁTICAS DE EDO
	
	
		
	
		1.
		Sabe-se que a população de um determinado Estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20000 habitantes, determine a população inicial.
	
	
	
	7062 habitantes.
	
	
	2000 habitantes.
	
	
	5094 habitantes.
	
	
	9038 habitantes.
	
	
	3047 habitantes.
	
Explicação:
dP/dt = kP -> lnP = kt + c -> P = cekt
P = P0ekt
t = 2; P = 2P0
2P0 = P0e2k -> e2k = 2 -> 2k = ln2 -> k = 0,5ln2
P = P0ekt -> P = P0e0,5tln2
P(3) = 20000
20000 = P0e1,5ln2
20000 / P0 = 21,5
P0 = 7071
	
	
	
	
		
	
		2.
		Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
dy/dx = x/y + y/x +1 concluimos que ela é:
	
	
	
	linear
	
	
	homogenea
	
	
	exata
	
	
	separavel
	
	
	não é equação doiferencial
	
	
	
	
		
	
		3.
		Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 180ºC. Três minutos depois, sua temperatura passa para 150ºC. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 27ºC, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for 26ºC.
	
	
	
	1 hora.
	
	
	50 minutos.
	
	
	30 minutos.
	
	
	1 hora e 10 minutos.
	
	
	40 minutos
	
Explicação:
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = k(T-26), resolvendo, ln(T-26) = kt + c -> T = 26 + cekt . Como T(0) = 180, c = 154
T = 26+154e-kt. Fazendo T(3) = 150, achamos 124 = 154e-3k -> k = 0,072223679
Fazendo 27 = 26 + 154e-0,072223679t , achamos -0,072223679t = -5,0369526, logo t = 69,74
	
	
	
	
		
	
		4.
		Seja y = C1e-2t + C2e-3t  a solução geral da EDO  y" + 5y´ + 6y = 0.  Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y(0)=3.
	
	
	
	y = 3e-2t - 4e-3t
	
	
	y = 8e-2t + 7e-3t
	
	
	y = e-2t - e-3t
	
	
	y = 9e-2t - 7e-3t
	
	
	y = 9e-2t - e-3t
	
	
	
	
		
	
		5.
		Marque dentre as opções abaixo a solução da equação diferencial dydx=(1+y2).ex para x pertencente a o inervalo [-π2,π2]
	
	
	
	y=2.tg(2ex+C)
	
	
	y=cos(ex+C)
	
	
	y=tg(ex+C)
	
	
	y=2.cos(2ex+C)
	
	
	y=sen(ex+C)
	
	
	
	
		
	
		6.
		Indique qual é a solução da equação diferencial:
xdx+ydy=xy(xdy-ydx)
	
	
	
	C(1 - x²) = 1
	
	
	1+y²=C(1-x²)
 
	
	
	seny²=C(1-x²)
	
	
	1+y=C(1-x²)
	
	
	1+y²=C(lnx-x²)
	
	
	
	
		
	
		7.
		Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em uma sala com temperatura constante de 0ºF. Se após, 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF. Determine o tempo, aproximadamente, necessário para a barra chegar a temperatura de 25ºF.
	
	
	
	1 hora.
	
	
	40 minutos.
	
	
	50 minutos.
	
	
	20 minutos.
	
	
	30 minutos.
	
Explicação:
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = -k(T-0), resolvendo, T = 100 - ce-kt . Como T(0) = 50, c = 50
T = 100e-kt. Fazendo T(20) = 50, achamos k = -ln(0,5) / 20
Fazendo 100e-kt = 25, achamos kt = -ln0,25, logo t = 20ln0,25 / ln0,5 = 40
	
	
	
	
		
	
		8.
		Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1.
	
	
	
	ey =c-y
	
	
	ln(ey-1)=c-x
	
	
	y- 1=c-x
	
	
	lney =c
	
	
	ey =c-x