prova 02 Gabarito g. analitica

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Disciplina: Geometria Anal´ıtica I
Professora: E´rica Maceˆdo
Coordenac¸a˜o: Gerusa Pinheiro / Adelmo Jesus /
Ma L´ıvia Coutinho
Semestre: 2015.2 Data: 05.05.2016
Po´lo: Grupo:
TP: TD:
Aluno: Nota: branco
Avaliac¸a˜o Presencial 2
Valor: 7, 0
LEIA COM ATENC¸A˜O AS INSTRUC¸O˜ES ABAIXO:
01. As respostas devera˜o ser escritas a` caneta esferogra´fica de tinta azul ou preta.
02. Lembre-se de colocar seu nome na prova.
03. Esta prova e´ individual. Na˜o e´ permitido qualquer tipo de comunicac¸a˜o e troca de material entre os presentes, nem consultas de qualquer espe´cie.
04. So´ sera˜o aceitas questo˜es com justificativas.
Questa˜o 1 (1,5). Calcule o valor de m para que a a´rea do paralelogramo determinado por ~u = (m,−3, 1)
e ~v = (1,−2, 2) seja igual a √26 u.a.
A a´rea do paralegoramo e´ A =
∣
∣∣∣
∣∣∣∣
∣
~i ~j ~k
m −3 1
1 −2 2
∣
∣∣∣
∣∣∣∣
∣
=| −4~i + (1 − 2m)~j + (3 − 2m)~k |= √26. Assim,
√
(−4)2 + (1− 2m)2 + (3− 2m)2 = √26→ 8m2 − 16m = 0→ m = 0 ou m = 2.
Questa˜o 2 (1,5). Qual o volume do tetraedro de base ABC e ve´rtice P sabendo que A(2, 0, 0), B(2, 4, 0),
C(0, 3, 0) e P (2,−2, 9)?
Temos que ~AP = (0,−2, 9); ~BP = (0,−6, 9) e ~CP = (2,−5, 9). Da´ı VT = 1
6
·
∣∣∣∣
∣∣∣
∣∣
0 −2 9
0 −6 9
2 −5 9
∣∣∣∣
∣∣∣
∣∣
=
1
6
· | 72 |=
12u.v.
Questa˜o 3 (1,5). Sa˜o dados os seguintes pontos: A(1, 0, 2), B(3, 6, 1), C(0, 1,−2) e D(1, 1, 0).
a. Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos A e C.
b. Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa pelos pontos B, C, D.
c. Qual a posic¸a˜o relativa entre a reta e o plano dos ı´tens ateriores?
a. Temos ~AC = (−1, 1,−4) e r : X = A+ t · ~AC, t ∈ R, ou seja, r : X = (1, 0, 2)+ t · (−1, 1,−4), t ∈ R.
b. Temos ~BD = (−2,−5,−1), ~CD = (1, 0, 2) e ~n =
∣
∣∣∣∣
∣∣∣∣
~i ~j ~k
−2 −5 −1
1 0 2
∣
∣∣∣∣
∣∣∣∣
= −10~i+ 3~j + 5~k. Da´ı a equac¸a˜o
geral do plano e´ −10x+3y+5z+ d = 0 onde usando o ponto D temos −10 · 1+ 3 · 1+ 5 · 0+ d = 0→
Disciplina: Geometria Anal´ıtica I
Professora: E´rica Maceˆdo
Coordenac¸a˜o: Gerusa Pinheiro / Adelmo Jesus /
Ma L´ıvia Coutinho
−10 + 3 + d = 0→ d = 7. Enta˜o, a equac¸a˜o geral do plano e´:−10x+ 3y + 5z + 7 = 0.
c. A reta e o plano acima sa˜o concorrentes pois ~vr ·~n = (−1, 1, 4) · (−10, 3, 5) = 10+3+20 = 33 6= 0.
Questa˜o 4 (1,0). Encontre a equac¸a˜o de uma reta que passa pelo ponto R(−2, 0, 3) e que e´ ortogonal
ao plano α : 2x− y + 3z − d = 0.
Se a reta e´ ortogonal ao plano α enta˜o seu vetor direc¸a˜o e o vetor normal ao plano sa˜o paralelos.
Em particular, podemos tomar como vetores iguais. Assim, ~vr = (2,−1, 3) e a equac¸a˜o da reta e´
r : X = (−2, 0, 3) + t · (2,−1, 3), t ∈ R.
Questa˜o 5 (1,5). Classifique em V ou F as afirmac¸o˜es.
( ) Dois planos sempre se interceptam.
( ) Duas retas reversas sempre esta˜o em planos distintos.
( ) Uma reta e um plano que na˜o sa˜o paralelos possui mais de um ponto em comum.
( ) Dois pontos sempre determinam uma u´nica reta.
( ) Quando um ponto na˜o pertence a um plano, podemos encontrar uma reta que contenha este ponto
e que seja ortogonal ao plano.
FVFVV