Apostila Resistência dos Materiais I - 2015 UNIFICADO

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
 Prof. Coord. MSc. Eng. Alessandro Saraiva Loreto 
 Prof. MSc. Eng. Pedro Genuino de Santana Junior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5º Período de Eng.Civil 
5º Período de Eng.San. Ambiental 
7º Período de Eng.San. Ambiental 
9º Período de Eng.San. Ambiental 
 
Nome: ______________________________________________ Período:______ 
 
 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 Prof. Coord. MSc. Eng. Alessandro Saraiva Loreto 
 Prof. MSc. Eng. Pedro Genuino de Santana Junior 
 
5º Período de Eng.Civil 
5º Período de Eng.San. Ambiental 
7º Período de Eng.San. Ambiental 
9º Período de Eng.San. Ambiental 
INTRODUÇÃO 
 
 A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as 
relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a 
intensidade das forças internas que agem no interior do corpo. 
 No projeto de qualquer estrutura ou máquina, em primeiro lugar, é 
necessário usar os princípios da estática para determinar as forças que agem 
sobre os vários elementos, bem como no seu interior. O tamanho dos elementos, 
sua deflexão e estabilidade dependem não só das cargas internas, mas também 
do tipo do material de que são feitos. 
 Por consequência, a determinação precisa e a compreensão fundamental 
do comportamento do material serão de vital importância para o 
desenvolvimento das equações necessárias usadas na resistência dos 
materiais. 
 
REVISAO GERAL 
 
GRANDEZA ESCALAR 
É caracterizada por um número real. Como, por exemplo, o tempo, a 
massa, o volume, o comprimento, etc. 
 
GRANDEZA VETORIAL 
Uma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência de três 
elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemático que possui 
 
2 
 
intensidade, direção e sentido. Em problemas de estática é muito comum a 
utilização de grandezas vetoriais como posição, força e momento. 
A posição de um ponto no espaço em relação a outro ponto caracteriza 
uma grandeza vetorial. Para descrever a posição de uma cidade A em relação à 
outra cidade B, é insuficiente dizer que ambas estão separadas por uma 
distância de 100 km, para se caracterizar um vetor, deve-se dizer, por exemplo, 
que a cidade B se encontra 100 km a oeste da cidade A. 
A força também é caracterizada como uma grandeza vetorial, pois quando 
se empurra uma peça de móvel através do chão aplica-se na mesma uma força 
com intensidade suficiente para mover o móvel e com a direção desejada para 
o movimento. 
 
REPRESENTAÇÃO DE UMA GRANDEZA VETORIAL 
 
Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma seta, 
que é utilizada para definir seu módulo, sua direção e seu sentido. Graficamente 
o módulo de um vetor é representado pelo comprimento da seta, a direção é 
definida através do ângulo formado entre um eixo de referência e a linha de ação 
da seta e o sentido é indicado pela extremidade da seta. 
A figura mostra a representação gráfica de dois vetores força atuando ao 
longo dos cabos de fixação de um poste, o ponto O é chamado de origem do 
vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta. 
 
 
 
 
 
 
3 
 
LEI DOS SENOS 
 
 Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos a, b e g, a lei dos senos 
é definida da seguinte forma: “Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são 
proporcionais”. 
 
 
 
 
LEI DOS COSSSENOS 
 
 A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos a, b e g, a lei 
dos cossenos é definida do seguinte modo: “Num triângulo, o quadrado da 
medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, 
menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do 
ângulo oposto ao primeiro lado”. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
SOMA VETORIAL – REGRA DO PARALELOGRAMO 
 
 O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial 
com a aplicação da regra do paralelogramo. 
 
 
 
 
EXEMPLO 01) 
O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o 
módulo e a direção da força resultante. 
 
 
 
 
 
5 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02) 
Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com 
problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30KN. 
Encontre suas componentes nas direções AC e BC. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
1) O elo da figura está submetido às forças F1 e F2, determine a intensidade e 
a orientação da força resultante. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
2) A chapa está submetida a duas forças Fa e Fb. Se ϴ=60º, determine a 
intensidade da força resultante e sua intensidade em relação ao eixo horizontal. 
 
 
 
7 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Duas forças são aplicadas a fim de remover a estaca mostrada. Determine o 
ângulo ϴ e o valor da força F de modo que a força resultante seja orientada 
verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
4) A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores 
de Fa e Fb de modo a produzir uma força resultante de 950N orientada no eixo 
X positivo, considerando ϴ=50º. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. 
Determine o módulo e a direção da força resultante. 
 
 
9 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA 
 
1º A ação de um sistema de forças não se altera se a ele acrescentarmos, ou 
dele subtrairmos, um sistema equilibrado de forças. 
2º A condição necessária e suficiente para que duas forças constituem um 
sistema equilibrado é que elas sejam colineares, tenham o mesmo módulo e 
sentidos contrários. 
3º A ação de duas forças aplicadas num mesmo ponto é equivalente à ação de 
uma força única, aplicada nesse ponto, representada pela diagonal do 
paralelogramo formado pelos vetores representativos daquelas duas forças. 
4º A ação de um corpo sobre outro corresponde sempre uma reação igual e 
contrária, deste corpo sobre o primeiro. 
 
CONSEQUENCIAS IMEDIATAS DOS PRINCIPIOS DA ESTÁTICA 
 
 No estudo do equilíbrio dos corpos rígidos, podem supor-se as forças 
aplicadas em qualquer ponto das respectivas linhas de ação. 
 Porem quando os problemas envolvem os esforços internos ou 
deformações de um corpo, os mesmos podem sofrer uma compressão ou tração. 
 
10 
 
 
MOMENTO DE UMA FORÇA 
 
 O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo, fornece 
uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno 
do ponto ou do eixo. 
 Momento é uma grandeza vetorial, possui intensidade direção e sentido. 
É determinado através da equação: 
 M = F x d onde, 
 M= momento 
 F= força 
 d= distância. 
 
 
 
Rotação no sentido horário – Momento negativo 
Rotação no sentido anti-horário – Momento positivo 
 
 
11 
 
MOMENTO DE UM BINÁRIO 
 
 Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, 
sentidos opostos e separadas por um distância d. O efeito de um binário é 
proporcionar rotação ou tendência de rotação em um determinado sentido. 
 
 A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. 
Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto 
não é zero.Pois as forças tendem a girar o corpo. 
EXEMPLO 01) 
Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
 
 SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02) 
Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
 
 SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
EXEMPLO 03) 
Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B, C e D.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 04) 
Determine o momento das forças que atuam na estrutura mostrada 
em relação ao ponto A. 
 SOLUÇÃO 
 
 
13 
 
VARIAÇÃO DO MOMENTO DE UM SISTEMA COM CENTRO DE 
REDUÇÃO 
 Admita-se que um dado sistema de forças se reduz no ponto B à 
resultante R e o momento Mb. Pode-se transportar essa força R para um outro 
ponto A, desde que se considere o seu momento de transporte (R x d) do ponto 
B para o ponto A. Nessas condições o sistema é equivalente ao sistema inicial. 
Portanto o Ma é o momento do sistema dado, em relação ao ponto a, pode-se 
escrever: Ma = Mb + R x d 
 
EXEMPLO 01) 
Substitua as três forças mostradas na figura por uma força resultante e um 
momento equivalente em relação ao ponto O. 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
EXEMPLO 02) 
Uma força vertical de 100 N é aplicada na extremidade de uma alavanca que 
está fixa em O. Determine: 
a) O momento da força de 100 N em relação ao ponto O; 
b) A intensidade da força horizontal aplicada em A que produz o mesmo 
momento em relação ao ponto O; 
c) A menor força em A que produz o mesmo momento em relação ao ponto O; 
d) A que distância do eixo deverá estar uma força vertical de 240 N de modo a 
produzir o mesmo momento em relação ao ponto O, 
e) Se alguma das forças obtidas nas alíneas b) c) e d) são equivalentes à força 
original. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
CARGAS DISTRIBUÍDAS 
 
Até o presente momento consideramos em nossas aulas apenas forças 
concentradas, isto é, que atuam em um único ponto do corpo. 
Na realidade, a ação de uma força é sempre distribuída continuamente, 
quer por um volume, quer sobre uma superfície. 
Dessa forma a ação de infinitas resultantes atuando em todas as 
partículas de um corpo ou em todos os pontos da superfície de contato entre 
dois corpos. 
A força concentrada é apenas uma abstração, e pode ser considerada 
como a resultante de um sistema contínuo de esforços elementares. A 
substituição desse sistema contínuo pela sua resultante – isto é, hipótese de 
força concentrada – é um procedimento somente valido nos problemas de 
estática dos corpos rígidos. Não obstante, quando uma força se distribui sobre 
uma superfície de dimensões muito pequenas, pode-se, muitas vezes, admitir 
essa superfície reduzida a um ponto, mesmo na estática dos corpos 
deformáveis, por ser desprezível o erro introduzido nos resultados. 
Os três tipos mais utilizados de cargas distribuídas são: 
 Retangular 
 Triangular 
 Trapezoidal 
 
 
 
16 
 
 
EXEMPLO 01) 
Calcular o valor da resultante da carga uniformemente distribuída representada 
abaixo: 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02) 
Calcular o valor da resultante da carga triangular distribuída representada 
abaixo: 
 
 
 
17 
 
EXEMPLO 03) 
Calcular o valor da resultante da carga trapezoidal distribuída representada 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTO DE UMA CARGA DISTRIBUÍDA 
 
O momento de uma carga distribuída representa a soma de todos os 
momentos das forças elementares, em relação a um ponto qualquer, pode ser 
obtido com teoremas desde que se conheçam a resultante e o eixo central do 
sistema. 
 
 
 
FÓRMULA MOMENTO MOMENTO DE UM PONTO FORA DA CARGA 
Ma = P x L/2 x 2L/3 Mc = P x L/2 (L/3 + a) 
Mb = P x L/2 x L/3 Mc = P x L/2 (2L/3 + a) 
 
 
 
18 
 
EXEMPLO 01) 
Calcular o momento em relação aos pontos A e B e C, da carga distribuída da 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02) 
Calcular o momento em relação ao ponto D da carga distribuída da figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
EXEMPLO 03) 
Calcular o momento em relação aos pontos A e B e C, da carga distribuída 
triangular da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 04) 
Calcular o momento em relação aos pontos A, B e C da carga distribuída 
Trapezoidal da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
EQUILIBRIOS DOS SISTEMAS DE FORÇAS 
 
 Condições gerais de equilíbrio. Para que um sistema de forças coplanares 
seja equilibrado, é necessário e suficiente que sejam satisfeitas de acordo com 
as seguintes condições: 
1. As somas das projeções de todas as forças do sistema, sobre dois eixos 
quaisquer, Ox e Ou, no plano das forças, devem ser nulas. 
2. A soma dos momentos de todas as forças do sistema em relação a um 
ponto arbitrário, A, do seu plano, deve ser nula. 
 
Essas condições se indicam com as seguintes equações simbólicas: 
 ∑Fx = 0 
 ∑Fy = 0 
 ∑Ma = 0 
 As duas primeiras condições são necessárias para que a resultante do 
sistema seja nula; a terceira é necessária para que o sistema não seja redutível 
a um binário. 
 Essas condições são também suficientes, pois, satisfeitas as duas 
primeiras, o momento do sistema será, o mesmo em relação a qualquer ponto. 
 As três equações são de grande importância para a mecânica aplicada, 
sendo chamadas de equações algébricas redundantes. 
 
APOIOS 
 
 São elementos que restringem os movimentos das estruturas e podem ser 
classificados em: 
 
 
21 
 
 
 
EXEMPLO 01) 
 
Determine as reações nos apoios A e B da viga ilustrada abaixo. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
1) Determine as reações nos apoios, sabendo que F = 15 KN e a=1,2m; b=3,5m; 
c=2,4m e d=1,6m: 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine as reações no apoio A. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
23 
 
3) Determine as reações nos apoios. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante e um 
momento equivalente no ponto A. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante. 
Especifique onde a força atua, tomando como referência o ponto B. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
CENTRO DE GRAVIDADE; CENTRÓÍDE E BARICENTRO 
CENTRO DE GRAVIADADE 
 
Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho 
diferenciado, e assim, se o corpo estiver localizado dentro de um campo 
gravitacional, então cada uma das partículas terá um peso dW. Esses pesos 
formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas, e a resultante desse 
sistema é o peso total do corpo, que passa por um único ponto chamado centro 
de gravidade, G. 
 Equações para localização do centro de gravidade G em relação aos eixos 
x, y, e z tornam-se: 
 
�̅� =
∫𝑥𝑑𝑤
∫𝑑𝑤
 �̅� =
∫𝑦𝑑𝑤
∫𝑑𝑤
 𝑧̅ =
∫ 𝑧𝑑𝑤
∫𝑑𝑤
 
CENTRO DE MASSA DE UM CORPO 
 
 Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo, 
é importante localizar o centro de massa Cm do corpo. Essa localização pode 
ser determinada substituindo-sedW = g x dm ,nas equações anteriores. Como g 
é constante, ele é cancelado e, portanto, temos as seguintes equações para o 
centro de massa. 
�̅� =
∫𝑥𝑑𝑚
∫𝑑𝑚
 �̅� =
∫𝑦𝑑𝑚
∫𝑑𝑚
 𝑧̅ =
∫ 𝑧𝑑𝑚
∫𝑑𝑚
 
CENTRÓIDE DE UM VOLUME 
 
 Se um corpo é feito de um material homogêneo, então sua densidade ρ 
(rho) será constante. Portanto um elemento diferencial de volume dV tem uma 
massa dm = ρ x dV. Substituindo essa massa nas equações do centro de massa 
e cancelando ρ, obtemos as fórmulas que localizam o centróide C ou o centro 
geométrico do corpo; conforme as equações abaixo: 
 
�̅� =
∫𝑥𝑑𝑣
∫𝑑𝑣
 �̅� =
∫𝑦𝑑𝑣
∫𝑑𝑣
 𝑧̅ =
∫ 𝑧𝑑𝑣
∫𝑑𝑣
 
 
26 
 
 
CENTRÓIDE DE UMA ÁREA 
 
 Se uma área se encontra no plano xy e estiver contornada pela curva 
 y = f(x), então seu centróide estará nesse plano xy e pode ser determinado a 
partir de integrais semelhantes às equações do volume: 
 
�̅� =
∫𝑥𝑑𝐴
∫𝑑𝐴
 �̅� =
∫𝑦𝑑𝐴
∫𝑑𝐴
 
 
Essas integrais podem ser avaliadas realizando-se uma integração 
simples se usarmos uma faixa retangular para o elemento de área diferencial 
 
 
CENTRÓIDE DE UMA LINHA 
 
 Se um segmento de linha (ou barra) estiver dentro do plano xy e puder 
ser descrito por uma curva fina y = f(x), então seu centróide é determinado a 
partir de: 
�̅� =
∫𝑥𝑑𝐿
∫𝑑𝐿
 �̅� =
∫𝑦𝑑𝐿
∫𝑑𝐿
 
 
 O centróide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto 
coincide com o centro de gravidade somente se o material que compõe o 
corpo for uniforme ou homogêneo. 
 As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centróide 
simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de 
todas as partes do sistema e o momento da ``resultante´´para o sistema. 
 Em alguns casos, o centróide está localizado em um ponto que não está 
sobre o objeto, como no caso de um anel, onde o centróide está no seu 
centro. Além disso, esse ponto estará sobre qualquer eixo de simetria 
para o corpo. 
 
 
27 
 
FORMULÁRIO 
 
 
 
 
28 
 
 
EXEMPLO 01) 
A figura mostrada no quadro é feita de um pedaço de arame fino e homogêneo. 
Determine a localização do centro de gravidade. 
 
 
EXEMPLO 02) 
Uma barra semicircular uniforme de peso W e raio r é ligada a um pino em A e 
repousa sobre uma superfície sem atrito em B. Determine as reações em A e B. 
 
 
 
 
 
 
29 
 
EXEMPLO 03) 
Numa chapa quadrada ABCD, homogênea e de lado a = 24 cm faz um corte 
também quadrado EFGH, de lado b = 12 cm. Determine a distância do centro de 
massa da chapa cortada à linha de base AD. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Determinar o centro de massa das figuras abaixo: 
A) 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
B) 
 
 
 
 
 
C) 
 
D) 
 
 
 
 
 
31 
 
2) Determine a força aplicada no cabo AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
MOMENTO DE INERCIA DE AREA 
 O momento de inércia de área representa o segundo momento de área 
em relação a um eixo. Normalmente ele é usado em fórmulas relacionadas à 
força e estabilidade de membros estruturais ou elementos mecânicos. 
 Se a forma da área for irregular, mas puder ser descrita matematicamente, 
então um elemento diferencial precisa ser relacionado e a integração sobre a 
área total deve ser realizada para determinar o momento de inércia. 
 
Ix = ʃª y² da 
 
Iy = ʃª x² da 
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
 
 Se o momento de inércia para uma área for conhecido em relação a um 
eixo Centroidal, então seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo 
pode ser determinado pelo teorema dos eixos paralelos. 
 
I = I + Ad² 
 
 
 
33 
 
Fórmulas para as figuras mais usadas. 
 
 
Ix = 1 x b x h³ Iy = 1 x b³ x h 
 12 12 
 
 
 
IX = 1 x b x h³ 
 36 
 
EXEMPLO 01) 
Determine o momento de inércia em relação aos eixos centroidais x e y. 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
1) Determine os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais X e Y da 
peça mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
35 
 
2) determine o centro de massa da figura: 
 
 
TRELIÇAS 
 
 Treliça é uma estrutura de elementos delgados ligados entre si pelas 
extremidades. 
 Treliças planas são aquelas se distribuem em um plano e geralmente são 
utilizadas em estruturas de telhados e pontes. 
 Os elementos de uma treliça atuam como barras de duas forças. Se uma 
força tende a alongar o elemento, é chamada de força de tração. Se uma força 
tende a encurtar o elemento, é chamada de força de compressão. 
 
MÉTODO DOS NÓS 
Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós 
e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a 
troca de sinais. 
Importante lembrar que somente os jogos de sinais deverão ser feitos nas 
equações dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser 
inseridas na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, 
ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
EXEMPLO 01) 
Calcular as forças normais N nas barras da viga sobre dois apoios em treliça 
representada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
1) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através 
do Método dos Nós nas figuras abaixo: 
 
A) 
 
 
 
 
EQUILIBRIO DE UM CORPO DEFORMÁVEL 
 
 A estática tem um importante papel no desenvolvimento e na aplicação 
da resistência dos materiais, para isso os seus fundamentos devem ser bem 
compreendidos. 
 Cargas externas. Um corpo pode ser submetido a vários tipos de cargas 
externas; todavia, qualquer uma delas pode ser classificada como força de 
superfície ou uma força de um corpo. Ex. força concentrada; força distribuída; 
reações nos apoios. 
Obs. Se o apoio impedir a translação em uma determinada direção, então 
uma força deve ser desenvolvida no elemento naquela direção; ou se o 
apoio impedir a rotação, um determinado momento deve ser exercido no 
elemento. 
 
 
38 
 
 
 Para a obtenção das cargas internas que agem sobre uma região 
específica no interior de um corpo, é necessário usar o método das seções que 
exige um corte imaginário passando pela região onde as cargas internas deverão 
ser determinadas, assim as duas partes do corpo são separadas e o diagrama 
de corpo livre é desenhado. Embora a distribuição da carga interna seja 
desconhecida, podemos usar as equações de equilíbrio para relacionar as forças 
externas sobre o corpo com a força e o momento resultantes em um ponto 
específico. 
 
TIPO DE CARGAS RESULTANTES 
 
 
 
 
 
39 
 
 Força Normal (N). 
 Força de Cisalhamento (V) ou (Q). 
 Momento de Torção ou Torque (T) ou (MT). 
 Momento Fletor (M) ou (MF). 
 
EXEMPLO 01) 
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C 
da viga mostrada abaixo: 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02) 
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C 
do eixo de máquina mostrado abaixo. O eixo está apoiado em mancais em A e 
B, que exercem somente forças verticais no eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 03) 
Determine as cargas internasresultantes que agem na seção transversal em G 
da viga de madeira. Considere que as articulações em A, B, C, D e E estejam 
acopladas por pinos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
01) Determine a resultante das forças internas nas figuras indicadas abaixo em 
cada ponto pedido: 
A) Ponto B. 
 
 
 
 
B) Ponto C e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
02) A lança DF do guindaste giratório e a coluna DE têm peso uniforme de 750 
N/m. Se o guindaste e a carga pesam 1.500 N, determine as cargas internas 
resultantes nas seções transversais que passam nos pontos A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
CONCEITO DE TENSÃO 
 Representa a intensidade da força interna sobre um plano específico 
(área) que passa por um determinado ponto. 
 
 
 
TENSÃO NORMAL E TENSÃO DE CISALHAMENTO 
 
 
 
 
 
44 
 
UNIDADES DE TENSÃO NO SI 
 
 No Sistema Internacional de Unidades (SI), a intensidade tanto da tensão 
normal quanto da tensão de cisalhamento é especificada na unidade básica de 
Newtons por metro quadrado (N/m²). 
 Esta unidade é denominada pascal (1 Pa = 1 N/m²), como essa unidade 
é muito pequena, nos trabalhos de engenharia são usados prefixos como quilo 
(10³), mega (10^6) ou giga (10^9). 
 
 
TENSÃO NORMAL MÉDIA – HIPÓTESES DE SIMPLIFICAÇÃO 
 
 É necessário que a barra permaneça reta tanto antes como depois da 
carga ser aplicada, e, além disso, a seção transversal deve permanecer plana 
durante a deformação. 
 
 A fim de que a barra possa sofrer deformação uniforme, é necessário que 
P seja aplicada ao longo do eixo do centróide da seção transversal e o material 
deve ser homogêneo e isotrópico. 
 
45 
 
 
 A fim de que a barra possa sofrer deformação uniforme, é necessário que 
P seja aplicada ao longo do eixo do centroide da seção transversal e o material 
deve ser homogêneo e isotrópico. 
 Material Homogêneo: Possui as mesmas propriedades físicas e 
mecânicas em todo o seu volume. 
 Material Isotrópico: Possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas 
em todas as direções 
 
 
 
 
 
46 
 
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO NORMAL MÉDIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
EXEMPLO 01) 
A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a figura. 
Se AB tem diâmetro de 10 mm e BC tem diâmetro de 8 mm. Determinar a tensão 
normal média em cada haste. 
 
 
 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
01) Determine a tensão normal média na seção do pilar em I. 
 
 
 
48 
 
02) Determine a tensão de cisalhamento no pino de 6 mm de diâmetro. 
 
03) O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material 
falhar quando a tensão normal média atingir 0,84 MPa, determine a maior carga 
vertical P aplicada no centro que ele pode suportar. 
 
04) O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se ele for 
submetido a uma força P = 4 kN aplicada em seu centro, determine a tensão 
normal média no material. Mostre o resultado sobre um elemento de volume 
infinitesimal do material. 
 
 
49 
 
05) Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de topo angular 
de 60°. Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média 
suportada no plano da solda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) Um corpo de prova sob tração com área de seção transversal A é submetido 
a uma força axial P=150 KN. Determine a tensão de cisalhamento média máxima 
na seção do corpo de prova e θ=60º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
07) Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se 
for aplicada uma carga de 8 kN ao anel em B, determine a tensão normal média 
em cada haste se θ = 60°. 
 
 
 
 
08) Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm². 
Determine a tensão normal média em cada elemento resultante da aplicação da 
carga P = 40 kN. Indique se a tensão é de tração ou de compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
FATOR DE SEGURANÇA (FS) 
 
 O fator de segurança (F.S.) é a relação entre a carga de ruptura Fadm e 
a carga admissível Frup O fator de segurança é um número maior que 1 a fim de 
evitar maior possibilidade de falha. Valores específicos dependem dos tipos de 
materiais usados e da finalidade pretendida da estrutura ou máquina. 
 
 
 
FS = Fator de segurança 
F rup = Força de ruptura 
F adm = Força admissível 
 
σ rup = Tensão normal de ruptura 
σ adm = Tensão normal admissível 
 
Ƭ rup = Tensão de Cisalhamento Ruptura 
Ƭ adm = Tensão de Cisalhamento Admissível 
 
TENSÃO ADMISSÍVEL (adm) 
 
Um Engenheiro Civil ou Sanitarista responsável pelo projeto de um elemento 
estrutural deve restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. Vale 
ressaltar que é necessário fazer os cálculos usando-se uma tensão segura ou 
admissível. 
 
 
 
 
 
52 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
EXEMPLO 01) 
Os dois elementos estão interligados por pinos em B, que também apresenta 
vistas de cima dos acoplamentos em A e B. Se a tensão admissível de 
cisalhamento para os pinos é de 90 MPa e a tensão admissível de tração para a 
haste CD for igual a 115MPa. Determine com aproximação de 1mm o menor 
diâmetro dos pinos A e B e o diâmetro da haste CD necessários para suportar a 
carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02) 
O braço de controle está submetido ao carregamento mostrado. Determine, com 
aproximação de 5mm, o diâmetro exigido para o pino de aço em C se a tensão 
de cisalhamento admissível para o aço for de 55 MPa. O pino sofre cisalhamento 
duplo. 
 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 03) 
A haste esta apoiada em sua extremidade por um disco circular fixo apoiado. Se 
a haste passar por um orifício de 40mm de diâmetro, determine o diâmetro 
mínimo exigido para a haste e a espessura mínima do disco necessária para 
suportar a carga de 20 KN. A tensão normal admissível para a haste é de 60MPa 
e a tensão admissível de cisalhamento para o disco é de 35 MPa. 
 
 
 
 
 
56 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
01) A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para os 
parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for Ƭrup 
= 350 MPa. Use um fator de segurança para cisalhamento FS = 2,5. 
 
 
 
 
02) As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é σ 
rup = 510 MPa. Usando um fator de segurança FS = 1,75 para tração, determine 
o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga 
mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em A e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
03) Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga. Se ambos 
tiverem uma tensão de tração admissível σadm = 200 MPa, determine o 
diâmetro exigido para cada cabo se a carga aplicada for P = 5 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO 
 
Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o 
tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser 
altamente visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados 
equipamentos que façammedições precisas. 
De modo geral, a deformação de um corpo não será uniforme em todo em todo 
o seu volume e, portanto, a mudança na geometria de cada segmento de reta 
interior do corpo pode variar ao longo de seu comprimento. Com isso, 
percebemos que a quantidade da mudança em qualquer segmento de reta 
localizado em um ponto distinto do corpo será diferente da observada em 
qualquer outro ponto. Além disso, essas mudanças também dependem da 
orientação do segmento de reta no ponto em questão. 
 
 
 
58 
 
DEFORMAÇÃO NORMAL 
 
 O alongamento ou contração de um segmento de reta por unidade de 
comprimento é denominado deformação normal. Se a deformação normal for 
conhecida, podemos usar essa equação para obter o comprimento final 
aproximado de um segmento curto de reta na direção de n após a deformação. 
Temos: 
𝜀 =
(∆𝑆′ − ∆𝑆)
∆𝑆
 
(∆𝑆′ − ∆𝑆) = 𝛿 Deslocamento 
𝜀 = Deformação Normal 
∆𝑆′ = Comprimento Final 
∆𝑆 = Comprimento Inicial 
 
DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO 
 
A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente 
eram perpendiculares um ao outro é denominada deformação por cisalhamento. 
Esse ângulo é representado por e medido em radianos (rad). 
𝜀 =
𝜋
2
− ∅′ 
DESLOCAMENTO 
𝛿 =∑
𝑃. 𝐿
𝐴. 𝐸
 
𝛿 = Deslocamento 
𝐿 = Comprimento 
𝐴 = Área da seção 
𝐸 = Módulo de Elasticidade 
 
EXEMPLO 01) 
Uma haste delgada é submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu 
eixo, o que cria uma deformação normal na haste de Ex=40x(10^-3) z^1/2, onde 
z é dado em metros. Determine (A) o deslocamento da extremidade B da haste 
devido ao aumento da temperatura e (B) a deformação normal média na haste. 
 
59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02) 
Uma força que atua na empunhadeira do cabo da alavanca provoca uma rotação 
no cabo da alavanca de ɵ=0,002 rad em sentido horário. Determine a 
deformação normal média desenvolvida no cabo BC. 
 
 
 
 
 
60 
 
EXEMPLO 03) 
A chapa é deformada até a forma representada pelas linhas tracejadas. Se, 
nessa forma deformada as retas horizontais na chapa permanecem horizontais 
e seus comprimentos não mudarem, determine (A) a deformação normal ao 
longo do lado AB e (B) a deformação por cisalhamento média da chapa em 
relação aos eixos x e y. 
 
 
EXEMPLO 04) 
A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga 
P aplicada a viga provocar um deslocamento de 10mm para baixo na 
extremidade C, determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e 
BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
EXEMPLO 05) 
A barra de aço A-36 é composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas de 
seção transversal Aab=600mm² e Abd=1200mm², respectivamente. Determine o 
deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) O diâmetro de um balão de borracha cheio de ar é 150 mm. Se a pressão do 
ar em seu interior for aumentada até o diâmetro atingir 175 mm, determine a 
deformação normal média na borracha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
02) O comprimento de uma fita elástica delgada não esticada é 375 mm. Se a 
fita for esticada ao redor de um cano de diâmetro externo 125 mm, determine a 
deformação normal média na fita. 
 
 
 
 
 
 
 
03) O diâmetro da parte central do balão de borracha é d = 100 mm. Se a pressão 
do ar em seu interior provocar o aumento do diâmetro do balão até d = 125 mm, 
determine a deformação normal média na borracha. 
 
 
04) A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a 
carga P aplicada à viga provocar um deslocamento de 10 mm para baixo na 
extremidade C, determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e 
BD. 
 
 
 
63 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a 
carga P aplicada à viga for deslocada 10 mm para baixo, determine a 
deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01) Duas marcas de referência são colocadas a exatamente 250 mm uma da 
outra, em uma barra de alumínio com diâmetro de 12 mm. Sabendo que uma 
força axial de 6000 N atuando nessa barra provoca um afastamento entre as 
marcas de 250,18 mm, determine o modulo de elasticidade em GPa do alumínio 
utilizado. 
 
 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Uma barra feita de poliestireno de comprimento igual a 304,8 mm e diâmetro 
igual a 12,7 mm está submetida a uma força de tração igual a 3558 N. Sabendo 
que E= 3,1 GPa, determine (a) o alongamento dessa barra e (b) a tensão normal 
na barra. 
 
 
 
 
 
 
03) Um fio de aço de 60 m de comprimento está submetido a uma força de tração 
de 6 KN. Sabendo que E = 200 GPa e que o comprimento do fio deve aumentar 
no máximo 48 mm, determine (a) o menor diâmetro que pode ser selecionado 
para o fio e (b) a tensão normal correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
04) Duas barras cilíndricas sólidas são unidas em B e submetidas a carga 
conforme mostra a figura abaixo. A barra AB é feita de aço (E = 200 GPa) e a 
barra BC, de latão (E = 105 GPa). Determine (a) o deslocamento total da barra 
composta ABC e (b) o deslocamento do ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
05) Cada uma das quatro barras verticais que conectam os dois elementos 
horizontais é feita de alumínio (E= 70 GPa) e tem seção transversal retangular e 
uniforme de 10 x 40 mm. Para o carregamento mostrado, determine o 
deslocamento de (a) o ponto E, (b) ponto F e (c) ponto G. 
 
 
 
 
 
 
07) Cada uma das barras AB e CD é feita de alumínio (E= 70 GPa) e tem seção 
transversal com área de 125 mm². Sabendo que elas suportam a barra rígida 
BC. Determine o deslocamento do ponto E. 
 
 
 
 
 
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) O poste é sustentado por um pino em C e por um arame de ancoragem AB 
de aço A-36. Se o diâmetro do arame for 5 mm, determine quanto ele se deforma 
quando uma força horizontal de 15 KN agir sobre o poste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
FLEXÃO PURA 
 
Vigas e eixos são elementos estruturais e mecânicos usados em projetos 
de Engenharia, tornando a determinação da tensão provocada nesses 
elementos pela flexao de extrema importância. Assim como os diagramas de 
força normal e de torque, os diagramas de força cortante e o maior momento em 
um elemento e especificam onde ocorrem esses máximos. Uma vez determinado 
o momento interno em uma seção, a tensão de flexão pode ser calculada. Em 
primeiro lugar, consideramos elementos retos, com seção transversal simétrica 
e feitos de materiais homogênios lineares elásticos. Em seguida, analisamos os 
casos especiais que envolvem flexão assimétrica e elementos feitos de materiais 
compósitos, também consideramos os elementos curvos, concentrações de 
tensão, flexão inelástica e tensões residuais. 
 
EXERCÍCIOS DE RESOLVIDOS 
 
01) Construa os diagramas de força cortante e do momento fletor para cada caso 
abaixo: 
A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
𝝈𝒏 =
𝑴.𝑪
𝑰
 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸.𝐼
 
 
EXEMPLO 01) 
Uma barra de seção transversal retangular medindo 20,3mm X 63,5mm esta 
submetida a dois momentos fletores iguais e opostos atuando no plano vertical 
de simetria da barra. Determine o valor do momento fletor M que provoca 
escoamento na barra. Considere σe=248MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
EXEMPLO 02) 
O tubo é um extrutado de uma liga de alumínio para o qual σE = 275MPa, σL = 
414MPA e E = 736PA. Desprezando o efeito dos adoçamentos, determine: (a) o 
momento fletor M para o qual o coeficiente de segurança será de 3 (b) o raio de 
curvatura correspondente ao tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
EXEMPLO 03) 
Uma peça de máquina feita de ferro fundido está submetido a um momento fletor 
de 3KN.m. sabendo que E = 165GPA e desprezando o efeito dos adoçamentos, 
determine: (a) Tensões de Tração e a compressão máxima na peça fundida (b) 
o raio de curvatura dessa peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
FLEXÃO DE BARRAS CONSTITUÍDAS DE VÁRIOS MATERIAIS 
 
 
 
Formulário 
 
 
 
EXEMPLO 04) 
Uma barra obtida unindo-se duas peças de aço (Eaço = 203GPA) e latão (Elatão 
= 105GPA) tem a seção transversal mostrada abaixo: Determine a Tensão 
máxima no aço e no latão quando a barra estiver em flexão para com um 
momento fletor M = 4,5KN.m.