Gabarito Lista 3 casa 2017 B

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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2017
Lista de exerc´ıcios 3 - Correlac¸a˜o e Regressa˜o C A S A (gabarito)
Exerc´ıcio 1. (3 pontos)
Por elasticidade de um queijo entende-se a capacidade do queijo derretido esticar, sendo que, na avaliac¸a˜o
desta capacidade envolvem-se ainda fatores como a resisteˆncia, auseˆncia de rompimento do fio e a adereˆncia
(a tendeˆncia e´ exigir-se um queijo com boa elasticidade e que, ao se esticar, na˜o arrebente e mantenha ainda
certa adereˆncia, por exemplo, a` superf´ıcie de uma pizza). A tabela a seguir apresenta dados para investigar
como a elasticidade na ruptura do queijo mussarela (medida em %) varia segundo a temperatura (em ◦C).
Amostra Temperatura (X) Elasticidade (Y)
1 59 178
2 63 182
3 68 207
4 72 208
5 74 197
6 78 215
7 83 212
(a) (0,5) Construa o diagrama de dispersa˜o de Y em func¸a˜o de X.
(b) (1,0) Obtenha o coeficiente de correlac¸a˜o entre X e Y. Com base nesse valor, fac¸a um comenta´rio
sobre a associac¸a˜o entre as varia´veis.
(c) (0,5) Obtenha a reta de regressa˜o Yˆ = a+ bX.
(d) (0,5) Qual e´ o significado do coeficiente b obtido?
(e) (0,5) Com base na reta do item (c), obtenha uma estimativa da elasticidade me´dia de um queijo
sujeito a uma temperatura de 70 ◦C.
Soluc¸a˜o:
(a)
60 65 70 75 80
18
0
19
0
20
0
21
0
Temperatura (X)
E
la
st
ic
id
ad
e 
(Y
)
Figura 1: Diagrama de dispersa˜o da Elasticidade (Y) em func¸a˜o da temperatura (X).
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Grupo B - 2o semestre de 2017
Lista de exerc´ıcios 3 - Correlac¸a˜o e Regressa˜o C A S A (gabarito)
(b) O coeficiente de correlac¸a˜o entre as varia´veis X e Y e´ dado por
r =
n∑
i=1
XiYi − nX Y
(n− 1)SXSY
onde
S2X =
n∑
i=1
X2i − nX
2
n− 1 e S
2
Y =
n∑
i=1
Y 2i − nY
2
n− 1
Calculando, temos que
X =
7∑
i=1
Xi
7
= 71 e Y =
7∑
i=1
Yi
7
= 199, 8571
7∑
i=1
X2i = 35707 e
7∑
i=1
Y 2i = 280899
7∑
i=1
XiYi = 99964
Enta˜o,
S2X =
7∑
i=1
X2i − 7X
2
6
=
35707− 7 · (71)2
6
= 70
S2Y =
7∑
i=1
Y 2i − 7Y
2
6
=
280899− 7 · (199, 8571)2
6
= 216, 4762
Por fim, o coeficiente de correlac¸a˜o e´ dado por
r =
7∑
i=1
XiYi − 7X Y
6SXSY
= 0.8597
O coeficiente de correlac¸a˜o r = 0.8597 indica correlac¸a˜o positiva entre a temperatura e a elasticidade de
ruptura do queijo. Este valor sugere forte relac¸a˜o linear crescente entre as varia´veis, assim aumentando-se
a temperatura, aumenta-se a elasticidade do queijo.
(c) A reta de regressa˜o ajustada e´ obtida fazendo
b =
n∑
i=1
XiYi − nX Y
(n− 1)S2X
e a = Y − bX
Utilizando os valores calculados no item (b) obtemos b = 1, 51 e a = 92, 65. Assim, a reta de regressa˜o
e´ dada por
Yˆ = 92, 65 + 1, 51X
(d) Para o aumento da temperatura em um grau, estima-se que a elasticidade do queijo aumenta, em
me´dia, 1,51 %.
Pa´gina 2 de ??
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Grupo B - 2o semestre de 2017
Lista de exerc´ıcios 3 - Correlac¸a˜o e Regressa˜o C A S A (gabarito)
(e) Utilizando a reta obtida no item (c) temos que para a temperatura de 70 ◦C (x=70)
Yˆ = 92, 65 + 1, 51× 70 = 198, 35
Exerc´ıcio 2. (2,5 pontos)
O sandu´ıche Big Mac, presente em todos os pa´ıses onde a rede McDonald’s opera, foi utilizado como um
ı´ndice econoˆmico. Em 1986, a revista britaˆnica The Economist criou o ı´ndice Big Mac, com o objetivo
de comparar o valor do Big Mac em diversos pa´ıses do mundo. Os dados a seguir representam as varia´veis
Y- nu´mero me´dio de minutos de trabalho necessa´rios para comprar um BigMac
X- nu´mero me´dio de minutos de trabalho necessa´rios para comprar um quilo de pa˜o
Z- sala´rio me´dio anual do professor do ensino fundamental em milhares de do´lares, para uma amostra de 45
pa´ıses, em um determinado instante de tempo.
(a) (0,5) Construa os diagramas de dispersa˜o de Y em func¸a˜o de X e Y em func¸a˜o de Z. Comente.
(b) (0,5) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o entre X e Y e entre Z e Y e interprete os valores obtidos.
(c) (0,5) Como seria poss´ıvel prever o nu´mero de minutos de trabalho necessa´rios para comprar um
BigMac (Y) em func¸a˜o do nu´mero de minutos de trabalho necessa´rios para comprar um quilo de pa˜o (X)
? Qual e´ a estimativa do acre´scimo me´dio em Y com o aumento de uma unidade em X ? Obtenha uma
previsa˜o do valor de Y para um pa´ıs na˜o observado na amostra para qual X e´ igual a 50.
(d) (0,5) Obtenha a reta de regressa˜o de Y em func¸a˜o de Z. Qual e´ o significado pra´tico do coeficiente
“b” obtido?
(e) (0,5) Como seria mais razoa´vel prever a varia´vel Y: pela varia´vel X ou por Z. Por queˆ?
Soluc¸a˜o:
(a)
0 50 100 150 200
50
10
0
15
0
20
0
X
Y
ll
l
l
l
l l
l
l
l
lll
l
ll
l
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l
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Figura 2: Diagrama de dispersa˜o da varia´vel Y em func¸a˜o de X.
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Grupo B - 2o semestre de 2017
Lista de exerc´ıcios 3 - Correlac¸a˜o e Regressa˜o C A S A (gabarito)
0 10 20 30 40 50 60
50
10
0
15
0
20
0
Z
Y
ll
l
l
l
ll
l
l
l
l l l
l
ll
l
l
l
l
l l
l
l
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l
Figura 3: Diagrama de dispersa˜o da varia´vel Y em func¸a˜o de Z.
No diagrama de dispersa˜o da varia´vel Y em func¸a˜o de X observa-se que com o aumento da varia´vel X,
tem-se um aumento na varia´vel Y. Por outro lado, no diagrama de dispersa˜o da varia´vel Y em func¸a˜o de Z
observa-se que com o aumento da varia´vel Z, tem-se um decre´scimo na varia´vel Y.
(b) Utilizamos a sequeˆncia de comandos no Rcmdr Estat´ısticas → Resumos → Matriz de correlac¸a˜o,
para calcular a correlac¸a˜o linear entre as varia´veis.
Para as varia´veis X e Y temos que r = 0, 55, indicando correlac¸a˜o linear positiva e moderada entre as
varia´veis.
Para as varia´veis Z e Y obtemos r = −0, 67, indicando correlac¸a˜o linear negativa e moderada.
(c) Para prever o nu´mero de minutos de trabalho necessa´rios para comprar um BigMac (Y) em func¸a˜o
do nu´mero de minutos de trabalho necessa´rios para comprar um quilo de pa˜o (X) podemos utilizar a reta
de regressa˜o de Y em func¸a˜o de X.
A reta de regressa˜o pode ser obtida utilizando o Rcmdr fazendo Estat´ısticas → Ajuste de Modelos →
Regressa˜o linear.
A reta de regressa˜o ajustada e´ dada por Yˆ = 34, 48 + 0, 74X.
Dessa forma, a estimativa do acre´scimo me´dio em Y com o aumento de uma unidade em X e´ 0, 74.
Utilizando a reta de regressa˜o obtida temos que para X= 50
Yˆ = 34, 48 + 0, 74× 50 = 71, 48
(d) A reta de regressa˜o de Y em func¸a˜o de Z e´ dada por Yˆ = 94, 16− 2, 05Z.
Na pra´tica para o aumento de uma unidade no sala´rio me´dio anual do professor (Z), o nu´mero me´dio de
minutos de trabalho necessa´rios para comprar um BigMac (Y) diminui, em me´dia, 2, 05 unidades.
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Grupo B - 2o semestre de 2017
Lista de exerc´ıcios 3 - Correlac¸a˜o e Regressa˜o C A S A (gabarito)
(e) Com base no item (b) podemos observar que o valor absoluto do coeficiente de correlac¸a˜o linear entre
Y e Z e´ maior do que o valor absoluto do coeficiente entre as varia´veis Y e X. Esse fato pode nos indicar
que seria mais razoa´vel prever a varia´vel Y utilizando a varia´vel Z.
Exerc´ıcio 3. (3,0 pontos) Os 2439 candidatos no Concurso Vestibular de uma universidade esta˜o
classificados no quadro abaixo, segundo carreira escolhida, sexo e resultado.
Carreira Sexo
Resultado
aprovado reprovado
Exatas
Masculino 512 313
Feminino 89 19
Humanas
Masculino 138 279
Feminino 131 244
Biolo´gicas
Masculino 22 351Feminino 24 317
Construa as tabelas apropriadas e nelas calcule as porcentagens para responder a`s questo˜es abaixo:
(a) (0,5) Os dados sugerem relac¸a˜o entre sexo e carreira ?
(b) (0,5) Os dados sugerem relac¸a˜o entre sexo e resultado?
(c) (0,5) E entre carreira e resultado?
(d) (0,5) Refac¸a o item (b), separadamente em cada carreira.
(e) (0,5) Voceˆ acha que os candidatos do sexo masculino sa˜o aprovados em proporc¸a˜o maior que a do
sexo feminino ? Responda analisando a tabela do item (b).
(f) (0,5) Voceˆ acha que os candidatos do sexo masculino sa˜o aprovados em proporc¸a˜o maior que a do
sexo feminino ? Responda analisando as tabelas do item (d).
Soluc¸a˜o:
(a)
Sexo
Carreira
Exatas Humanas Biolo´gicas Total
Masculino 825 (51,1% ) 417 (25,8%) 373 ( 23,1%) 1615 (100%)
Feminino 108 (13,1%) 375 (45,5%) 341 (41,4%) 824 (100%)
Total 933(38,2%) 792 (32,5%) 714 (29,3%) 2439 (100%)
Comparando as porcentagens de cada uma das linhas, podemos observar que existe alguma diferenc¸a
com relac¸a˜o a` porcentagem total. Aparentemente, ha´ influeˆncia do sexo do aluno na carreira.
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(b)
Sexo
Resultado
Aprovado Reprovado Total
Masculino 672 (41,6%) 943 (58,4%) 1615 (100%)
Feminino 244 (29,6%) 580 (70,4%) 824 (100%)
Total 916 (37,6%) 1523 (62,4%) 2439 (100%)
Podemos dizer que existe influeˆncia do sexo do aluno no resultado devido as diferenc¸as entre as porcentagens
das linhas entre si e com relac¸a˜o a` porcentagem total.
(c)
Carreira
Resultado
Total
aprovado reprovado
Exatas 601 (64,4%) 332 (35,6%) 933 (100%)
Humanas 269 (34%) 523 (66%) 792 (100%)
Biolo´gicas 46 (6,4%) 668 (93,6%) 714 (100%)
Total 916 (37,6%) 1523 (62,4%) 2439 (100%)
Comparando as porcentagens de cada uma das linhas, podemos observar que existe diferenc¸a com relac¸a˜o
a` porcentagem total. Desse modo, podemos dizer que os dados sugerem relac¸a˜o entre resultado e a carreira.
(d)
Sexo
Resultado (Exatas)
Aprovado Reprovado Total
Masculino 512 (62,1%) 313 (37,9%) 825 (100%)
Feminino 89 (82,4%) 19 (17,6%) 108 (100%)
Total 601 (64,4%) 332 (35,6%) 933 (100%)
Para a carreira de exatas podemos dizer que existe relac¸a˜o entre o sexo dos alunos e o resultado, ja´ que
podemos observar diferenc¸as entre as porcentagens de cada uma das linhas com relac¸a˜o a porcentagem total.
Sexo
Resultado (Humanas)
Aprovado Reprovado Total
Masculino 138 (33,1%) 279 (66,9%) 417 (100%)
Feminino 131 (34,9%) 244 (65,1%) 375 (100%)
Total 269 (34%) 523 (66%) 792 (100%)
Podemos ver que, para cada um dos resultados, as porcentagens de indiv´ıduos do sexo masculino e do
sexo feminino na carreira de humanas sa˜o pro´ximas da proporc¸a˜o total, indicando pouca relac¸a˜o entre sexo
e resultado.
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Sexo
Resultado (Biolo´gicas)
Aprovado Reprovado Total
Masculino 22 (5,9%) 351(94,1%) 373 (100%)
Feminino 24 (7%) 317 (93%) 341 (100%)
Total 46 (6,4%) 668 (93,6%) 714 (100%)
Da mesma forma, podemos observar que, para cada um dos resultados, as porcentagens de indiv´ıduos
do sexo masculino e do sexo feminino na carreira de biolo´gicas sa˜o pro´ximas da proporc¸a˜o total, indicando
pouca relac¸a˜o entre sexo e resultado.
(e) Com base na tabela (b) temos que dentre os candidatos do sexo masculino 41, 6% sa˜o aprovados e
dentre as candidatas do sexo feminino 29, 6% sa˜o aprovadas. Assim, os candidatos do sexo masculino sa˜o
aprovados em proporc¸a˜o maior que as candidatas do sexo feminino.
(f) Com base nas tabelas do item (d) temos que, para a carreira de exatas, entre os candidatos do
sexo masculino 62, 1% sa˜o aprovados e entre as canditadas 82, 4% sa˜o aprovadas. Assim, as candidatas sa˜o
aprovadas em proporc¸a˜o maior que os candidatos.
Para a carreira de humanas as proporc¸o˜es de aprovac¸a˜o entre os candidatos do sexo masculino (33, 1%)
e entre as candidatas (34, 9%) sa˜o pro´ximas.
Por fim, para a carreira de biolo´gicas as proporc¸o˜es de aprovac¸a˜o entre os canditados do sexo masculino
(5, 9%) e entre as candidatas (7%) sa˜o pro´ximas.
Assim, quando analisamos separadamente por correiras, as concluso˜es na˜o sa˜o as mesmas do item (e).
Exerc´ıcio 4. (1,5 pontos) O artigo “Emissions of ammonia and nitricoxide from an agricultural site
following application of different synthetic fertilizers and manures”publicado em Geosciences Journal Vol.
12, No. 2, p. 177 - 190, June 2008 e´ um estudo no qual as emisso˜es de amoˆnia (NH3) e o´xido n´ıtrico
(NO) foram medidas num me´todo de cultivo de couve chinesa, ao longo de um per´ıodo de um meˆs e meio
(setembro-outubro, 2006). Foram aplicados treˆs tipos de tratamentos (T1, T2, T3) (compreendendo dife-
rentes proporc¸o˜es de estrume, ure´ia e adubo NPK) para o cultivo. A figura retirada do artigo e apresentada
a seguir mostra a relac¸a˜o entre o pH do solo e as emisso˜es de amoˆnia (NH3) e o´xido n´ıtrico (NO).
(a) (0,5) Para qual tratamento observou-se uma correlac¸a˜o linear maior entre o pH e as emisso˜es de
amoˆnia (NH3)? Justifique.
(b) (0,5) Para qual tratamento observou-se uma correlac¸a˜o linear maior entre o pH e as emisso˜es de
o´xido n´ıtrico (NO)? Justifique.
(c) (0,5) Calcule o valor esperado das emisso˜es de o´xido n´ıtrico (NO) para os treˆs tratamentos se o pH
for de 6,3.
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Soluc¸a˜o:
(a) Para o tratamento T2 observou-se uma correlac¸a˜o linear maior entre o pH e as emisso˜es de amoˆnia
(r = 0, 5158).
(b) Para o tratamento T2 observou-se uma correlac¸a˜o linear maior entre o pH e as emisso˜es de o´xido
n´ıtrico (r = 0, 6938).
(c) Para o tratamento T1 temos que Yˆ (T1) = 282, 82× 6, 3− 1071, 1 = 710, 666.
Para o tratamento T2 temos que Yˆ (T2) = 834, 18× 6, 3− 4117 = 1138, 334.
Para o tratamento T3 temos que Yˆ (T3) = −67, 962× 6, 3 + 498, 56 = 70, 3994.
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