Exercícios Resolvidos - Cálculo Vetorial

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Prof. André Assumpção 
Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial 
 
1. Como pode ser descrito o conjunto R2 ? 
Solução: R
2
 é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e pode ser descrito como {(x,y)  
x R e y  R}. 
2. Qual a condição para que dois pares ordenados sejam iguais ? 
Solução: Dizemos que os pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d. 
3. Determine x de modo que os pontos A=(2, 4) seja igual ao ponto B=(x, 2x). 
Solução: Para que A e B sejam iguais, as coordenadas (x,y) de ambos os pontos deverão ser iguais, ou 
seja, 2 = x e 4 = 2x. Assim, o valor de x=2 irá satisfazer às duas condições. 
4. Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10). 
Solução: Deveremos ter 2x = 10  x = 5 e y + 3 = 10  y = 7. 
5. Determine os valores de x e de y de modo que (x + y, x – y) = (4, 2). 
Solução: Deveremos ter 






.13
2
4
yex
yx
yx
 
6. Em quantos quadrantes podemos dividir o plano cartesiano ? 
Solução: O plano cartesiano é dividido em 4 quadrantes conforme mostrado no diagrama. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Quais são as características dos pontos que pertencem ao primeiro quadrante de R2 ? 
Solução: Os pontos que pertencem ao primeiro quadrantes de R
2
 deverão ter x > 0 e y > 0. 
 
8. Quais são as características dos pontos que pertencem ao segundo quadrante de R2 ? 
Solução: Os pontos que pertencem ao segundo quadrantes de R
2
 deverão ter x < 0 e y > 0. 
 
9. Quais são as características dos pontos que pertencem ao terceiro quadrante de R2 ? 
Solução: Os pontos que pertencem ao terceiro quadrantes de R
2
 deverão ter x < 0 e y < 0. 
 
10. Quais são as características dos pontos que pertencem ao quarto quadrante de R2 ? 
Solução: Os pontos que pertencem ao quarto quadrantes de R
2
 deverão ter x > 0 e y < 0. 
 
11. Quais são as características dos pontos que pertencem ao eixo das abscissas de R2 ? 
Solução: Os pontos que pertencem ao eixo das abscissas de R
2
 , ou seja, ao eixo x, deverão ter x  0 e 
y = 0. 
 
12. Quais são as características dos pontos que pertencem ao eixo das ordenadas de R2 ? 
Solução: Os pontos que pertencem ao eixo das ordenadas de R
2
 , ou seja, ao eixo y, deverão ter x = 0 e 
y  0. 
 
13. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine A + B. 
Solução: A + B = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d). 
 
14. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine A - B. 
Solução: A - B = (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d). 
 
 
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15. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine 2A + 3B. 
Solução: 2A +3B =2.(a,b) + 3.(c,d) = (2a ,2b ) + (3c,3d) = (2a+3c,2b+3d). 
 
16. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine 2A - 3B. 
Solução: 2A -3B =2.(a,b) - 3.(c,d) = (2a ,2b ) - (3c,3d) = (2a
 
-3 c,2b-3d). 
 
17. Dados os pontos A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), demonstre que (A+B) + C = A + (B+C). 
Solução: (A + B) + C = [(a,b) + (c,d)] + (e,,f) = (a+c,b+d) + (e,,f) = (a+c+e,b+d+f) = [a+(c+e), 
b+(d+f)] = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + [(c+e,d+f)] = A + (B+C). 
 
18. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), demonstre que A+B = B+A. 
Solução: A + B = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b) = B + A. 
 
19. Demonstre que o elemento neutro da adição de pares ordenados em R2, é o par O=(0,0). 
Solução: Sendo A = (a,b), e A + O = A, então (a,b) + O= (a,b) O = (a,b) – (a,b)  O = (a-a,b-b)  
O = (0,0). 
 
20. Demonstre que para todo A=(a,b)  R2, existe –A tal que A + (-A) = 0. 
Solução: Sendo A=(a,b)  R2 e A + B = 0, então (a,b) + B = (0,0)  B = (0,0) – (a,b)  B = (0-a,0-b) 
 B = (-a, -b). Como –a e –b  R, então B = (-a,-b) = -A  R2. 
 
21. Sendo A e B  R2 e k  R, demonstre que k(A + B) = kA + kB. 
Solução: Supondo que A = (a,b) e B = (c,d), k(A + B) = k(a+c, b+d) = (k(a+c), k(b+d)) = (ka+kc, 
kb+kd) = (ka, kb) + (kc,kd) = k(a,b) + k(c,d) = kA + kB. 
 
22. Sendo k e h  R e A  R2, demonstre que A(k + h) = kA + mA. 
Solução: Supondo que A = (a,b), A(k + h) = (a,b).(k+h) = (a.(k+h), b.(k+h)) = (ak+ah, bk+bh) = 
(ak,bk) + (ah,bh) = kA + hA . 
 
23. Sendo k e h  R e A  R2, demonstre que k(hA) = (k.h)A. 
Solução: Supondo que A = (a,b), k(hA) =k(h(a,b)) = k(ha,hb)= (kha, khb) = (kh).(a,b)= (kh).A . 
 
24. Determine k  R de modo que k.A = A, para A  R2. 
Solução: Se k.A = A, então, k(a,b) = (a,b)  ka = a e kb = b  k = 1 R. 
 
25. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação ao eixo das abscissas. 
Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação ao eixo das abscissas é um ponto com a mesma 
abscissa e ordenada simétrica, ou seja, o ponto (2,-4). 
 
26. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação ao eixo das ordenadas. 
Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação ao eixo das ordenadas é um ponto com a mesma 
ordenada e abscissa simétrica, ou seja, o ponto (-2,4). 
 
27. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação a origem do plano cartesiano. 
Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação a origem do plano cartesiano é um ponto com 
ordenada e abscissa simétricas, ou seja, o ponto (-2,-4). 
 
28. Determine a distância entre os pontos A=(1,3) e B=(4, 7). 
Solução: A distância entre dois pontos em R
2
 é determinada por 
2
12
2
12,
)()( yyxxd
BA

. 
Assim, 
.525169)4()3()37()14(
2222
,

BA
d
 
 
 
 
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29. Determine a distância entre os pontos A=(-2,5) e B=(4, -3). 
Solução: A distância entre dois pontos em R
2
 é determinada por 
2
12
2
12,
)()( yyxxd
BA

. 
Assim, 
.101006436)8()6()53())2(4(
2222
,

BA
d
 
 
30. Determine o perímetro do retângulo ABCD, onde A=(1,2), B=(1,5), C=(4,5) e D=(4,2). 
Solução: Para calcular o perímetro do retângulo ABCD, deveremos determinar as medidas de seus 
lados. Porém, é importante perceber que a medida do lado AB é igual a medida do lado CD, e que o 
mesmo ocorre com os lados BC e DA. Assim, o perímetro do retângulo será dado por : 
.123.23.23.23.2)55()14(.2)25()11(.2222
222222
,,

CBBA
ddp
 
31. Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, onde A=(-1,2), B=(3,4), C=(4,0) e D=(2,-8). 
Solução: 
.1745517.217172
,,,,

ADDCCBBA
ddddp
 
32. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d) de R2, determine o ponto médio de 
AB
. 
Solução: O ponto médio do segmento 
AB
 é um ponto M situado entre os pontos A e B, onde 
).
2
,
2
(
2
),(),(
2
dbcadcbaBA
M






 
33. Dados os pontos A=(3,1) e B=(5,3) de R2, determine o ponto médio de 
AB
. 
34. Solução: O ponto médio do segmento 
AB
 é um ponto M situado entre os pontos A e B, onde 
).2,4()
2
31
,
2
53
(
2
)3,5()1,3(
2







BA
M
 
35. Como pode ser descrito o conjunto R3 ? 
Solução: R
3
 é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e pode ser descrito como {(x,y,z) 
 x, y e z R}. 
36. Qual a condição para que dois pares ordenados de R3 sejam iguais ? 
Solução: Dizemos que os pares ordenados (a,b,c) e (d,e,f) são iguais se, e somente se, a = d, b = e e c=f. 
37. Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x, 3x). 
Solução: Para que A e B sejam iguais, as coordenadas (x,y,z) de ambos os pontos deverão ser iguais, ou 
seja, 2 = x, 4 = 2x e t = 3x. Assim, os valores de x=2 e, por conseqüência, t=6 irão satisfazer às duas 
condições. 
38. Determine os valores de x e de y de modo que (5x, y + 5, z - 3) = (10, 10, 5). 
Solução: Deveremos ter 5x = 10  x = 2, y + 5 = 10  y =5 e z – 3 = 5 z=8 . 
39. Determine os valores de x, de y e de z, de modo que (x + y - z, 2x + 2y– z, x – y – 3z) = (0, 2, -2). 
Solução: Deveremos ter 









.21,3
23
222
0
zeyx
zyx
zyx
zyx
 
40. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine A + B. 
Solução: A + B = (a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f). 
 
41. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine A - B. 
Solução: A - B = (a,b,c) - (d,e,f) = (a-d, b-e, c-f). 
 
42. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine 2A + 3B. 
Solução: 2A +3B =2.(a,b,c)+ 3.(d,e,f) = (2a ,2b, 2c ) + (3d, 3e, 3f) = (2a+3d,2b+3e,2c+ef). 
 
43. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine 2A - 3B. 
Solução: 2A -3B =2.(a,b,c) – 3.(d,e,f) = (2a ,2b, 2c ) - (3d,3e,3f) = (2a –3d,2b-3e,2c-3f). 
 
 
 
 
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44. Dados os pontos A=(a,b,c), B=(d,e,f) e C=(g,h,i), demonstre que (A+B) + C = A + (B+C). 
Solução: (A + B) + C = [(a, b, c) + (d, e, f)] + (g, h, i) = (a+d,b+e,c+f) + (g, h, i) = (a+d+g,b+e+h, 
c+f+i) = [a+(d+g), b+(e+h), c+(f+i)] = (a, b, c) + (d+g, e+h, f+i) = (a, b, c)+[(d, e, f) + (g, h, i)] = A 
+ (B+C). 
45. Dados os pontos A=(a,b,c), B=(d,e,f), demonstre que A+B = B+A. 
Solução: A + B = (a, b, c)+ (d, e, f)= (a+d,b+e, c+f) = (d+a,e+b,f+c) = (d, e, f) + (a, b, c)= B + A. 
 
46. Demonstre que o elemento neutro da adição de pares ordenados em R3, é o par O=(0,0,0). 
Solução: Sendo A = (a, b, c), e A + O = A, então (a, b, c) + O= (a, b, c) O = (a, b, c) – (a, b, c)  O = 
(a-a, b-b, c-c)  O = (0,0,0). 
 
47. Demonstre que para todo A=(a,b,c)  R3, existe –A tal que A + (-A) = O. 
Solução: Sendo A=(a, b, c)  R3 e A + B = O, então (a, b, c) + B = (0,0,0)  B = (0,0,0) – (a, b, c)  B 
= (0-a,0-b, 0-c)  B = (-a, -b, -c). Como –a , –b e –c  R, então B = (-a,-b, -c) = -A  R3. 
 
48. Sendo A e B  R3 e k  R, demonstre que k.(A + B) = k.A + k.B. 
Solução: Supondo que A = (a, b, c) e B = (d, e, f), k(A + B) = k(a+d, b+e, c+f) = (k(a+d), k(b+e), 
k.(c+f)) = (k.a+k.d, k.b+k.e, k.c+k.f) = (k.a, k.b, k.c) + (k.d, k.e, k.f) = k.(a,b,c) + k.(d, e, f) = k.A + k.B. 
 
49. Sendo k e h  R e A  R3, demonstre que A(k + h) = k.A + m.A. 
Solução: Supondo que A = (a,b,c), A.(k + h) = (a,b,c).(k+h) = (a.(k+h), b.(k+h), c(k+h)) = (a.k+a.h, 
b.k+b.h, c.k + c.h) = (a.k, b.k, c.k) + (a.h, b.h, c.h) = k.A + h.A . 
 
50. Sendo k e h  R e A  R3, demonstre que k.(h.A) = (k.h).A. 
Solução: Supondo que A = (a,b,c), k.(h.A) = k.(h.(a,b,c)) = k.(h.a, h.b, h.c)= (k.h.a, k.h.b, k.h.c) = 
(k.h).(a,b,c)= (k.h).A . 
 
51. Determine k  R de modo que k.A = A, para A  R3. 
Solução: Se k.A = A, então, k.(a,b,c) = (a,b,c)  k.a = a, k.b = b e k.c = c k = 1 R. 
 
52. Determine a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(2, 4, 5). 
Solução: A distância entre dois pontos em R
3
 é determinada por 
)()()(
12
2
12
2
12,
zzyyxxd
BA

. 
Assim, 
.39441)2()2()1()35()24()12(
222222
,

BA
d
 
53. Determine a distância entre os pontos A=(-1, 3,-2) e B=(1, -2, 3). 
Solução: A distância entre dois pontos em R
3
 é determinada por 
)()()(
12
2
12
2
12,
zzyyxxd
BA

. 
Assim, 
.1325425254)5()5()2())2(3()32())1(1(
222222
,

BA
d
 
54. Dados os pontos A=(1,2) e B=(5,3), represente no plano cartesiano o segmento orientado . 
 
 
55. Calcule o módulo do segmento orientado AB, sendo A=(1,2) e B=(5,3). 
Solução: O módulo do segmento orientado AB será calculado pela distância entre A e B. Assim, teremos 
.1714)23()15(
2222
AB
 
56. Calcule o módulo do segmento orientado AB, sendo A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3). 
Solução: O módulo do segmento orientado AB será calculado pela distância entre A e B. Assim, teremos 
.30)5()1()2()23()32()11(
22222
AB
 
 
57. Determine um vetor v que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido do 
segmento orientado AB, onde A=(1,2) e B=(5,3). 
Solução: Para que v tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido de AB, então v = B-A = 
(5,3) – (1,2) = (4,1). 
AB

 
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58. Determine um vetor u que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido do 
segmento orientado AB, onde A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3). 
Solução: Para que u tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido de AB, então u = B-A 
= (-1, 2, -3) – (1, 3, 2) = (-2, -1,-5). 
59. Determine um vetor t que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao do 
segmento orientado AB, onde A=(1,2) e B=(5,3). 
Solução: Para que t tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao de AB, então t = 
A-B = (1,2) – (5,3) = (-4,-1). 
 
60. Determine um vetor z que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao do 
segmento orientado AB, onde A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3). 
Solução: Para que z tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao de AB, então z = 
B-A = (1, 3,2) – (-1,2,-3) = (2, 1,5). 
 
61. Dados o ponto P=(2,1) e o vetor v=(5,3), determine o ponto Q de modo que P+v = Q. 
Solução: Se P + v = Q, então, (2,1) + (5,3) = Q  Q=(7,4). 
 
62. Dados os pontos P=(2,4) e Q=(-3,5), determine o vetor v de modo que Q + v = P. 
Solução:Se Q + v = P, então, v = P-Q  v = (2,4)-(-3,5)  v = (2+3, 4-5)  v=(5,-1). 
 
63. Dados os pontos A=(1, -2, 3), B=(1, -3, 2) e C=(-1, 3, 1), determinar as coordenadas do ponto D tal 
que 
0 CDAB
. 
Solução: Se D=(x, y, z) e 
).0,0,0()1,3,1()1,1,0(,.0,,0  zyxsejaOuCDABentãoCDAB
 
Assim, x + 1 + 0 = 0  x = -1. 
 y – 3 - 1 = 0  y = 1. 
 z – 1 – 1 = 0  z = 2. 
64. Prove que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio. 
Solução: Considere o paralelogramo ABCD, de diagonais AC e DB. Seja M o ponto médio de AC. Como 
BM = BC + CM = AD + MA = MD, pode-se afirmar que M também é ponto médio de BD. 
 
65. Represente no plano cartesiano o vetor v=(4,1). 
 
 
66. Represente no plano cartesiano o vetor t=(-4, -1). 
 
67. Determine o módulo do vetor v=(a,b). 
Solução: O vetor v=(a,b) terá origem no ponto (0,0) e extremidade no ponto (a,b), assim 
2222
)0()0( babav 
 
68. Determine o módulo do vetor u=(a,b,c). 
Solução: O vetor u=(a,b,c) terá origem no ponto (0,0,0) e extremidade no ponto (a,b,c), assim 
.)0()0()0(
222222
cbacbav 
 
 
69. Determine o módulo do vetor v=(4,1). 
Solução: 
.1711614
2222
 bav
 
70. Determine o módulo do vetor t = (-4, -1). 
Solução: 
.17116)1()4(
22
t
 
 
 
 
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71. Determine o módulo do vetor u=(-2, -1, -5). 
Solução: 
.302514)5()1()2(
222222
 cbau
 
72. Determine o módulo do vetor z=(2, 1, 5). 
Solução: 
.302514512
222
z
 
 
73. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine v + u. 
Solução: v + u = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d). Geometricamente, determinamos o vetor v+u da seguinte 
maneira: 
 
 
 
 
 
74. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine v - u. 
Solução: v - u = (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d). 
 
75. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine u – v. 
Solução: u -v = (c,d) - (a,b) = (c-a, d-b). 
 
76. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine 2v + 3u. 
Solução: 2v +3u =2.(a,b) + 3.(c,d) = (2a ,2b ) + (3c,3d) = (2a+3c,2b+3d). 
 
77. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine 2v – 3u. 
Solução: 2v –3u =2.(a,b) - 3.(c,d) = (2a ,2b ) - (3c,3d) = (2a -3 c,2b-3d). 
 
 
78. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d) e t=(e,f), demonstre que (v+u) + t = v + (u+t). 
Solução: (v + u) + t = [(a,b) + (c,d)] + (e,,f) = (a+c,b+d) + (e,,f) = (a+c+e,b+d+f) = [a+(c+e), 
b+(d+f)] = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + [(c+e,d+f)] = v + (u+t). 
 
79. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d),demonstre que v+u = u+v. 
Solução: v + u = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b) = u + v. 
 
80. Demonstre que o elemento neutro da adição de vetores em R2, é o vetor o=(0,0). 
Solução: Sendo v = (a,b), e v + o = v, então (a,b) + o= (a,b) o = (a,b) – (a,b)  o = (a-a,b-b)  o = 
(0,0). 
 
81. Demonstre que para todo vetor v=(a,b)  R2, existe –v tal que v + (-v) = o. 
Solução: Sendo v=(a,b)  R2 e v + v’ = o, então (a,b) + v’ = (0,0)  v’ = (0,0) – (a,b)  v’= (0-a,0-b) 
 v’ = (-a, -b). Como –a e –b  R, então v’ = (-a,-b) = -v  R2. 
 
82. Sendo v e u vetores de R2 e k  R, demonstre que k(v + u) = kv + ku. 
Solução: Supondo que v = (a,b) e u = (c,d), k(v + u) = k(a+c, b+d) = (k(a+c), k(b+d)) = (ka+kc, 
kb+kd) = (ka, kb) + (kc,kd) = k(a,b) + k(c,d) = kv + ku. 
 
83. Sendo k e h  R e v um vetor de R2, demonstre que v(k + h) = kv + mv. 
Solução: Supondo que v = (a,b), v(k + h) = (a,b).(k+h) = (a.(k+h), b.(k+h)) = (ak+ah, bk+bh) = (ak,bk) 
+ (ah,bh) = kv + hv . 
 
84. Sendo k e h  R e v um vetor de R2, demonstre que k(hv) = (k.h)v. 
Solução: Supondo que v= (a,b), k(hv) =k(h(a,b)) = k(ha,hb)= (kha, khb) = (kh).(a,b)= (kh).v. 
 
 
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85. Determine k  R de modo que k.v = v, para todo vetor de R2. 
Solução: Se k.v = v, então, k(a,b) = (a,b)  ka = a e kb = b  k = 1 R. 
 
86. Os vetores u=(3,4), v=(2, 3b) e t=(5a,1) satisfazem à equação 2u – 3v + t = o, onde o é o vetor nulo. 
Assim, determine os valores de a e b. 
Solução: 2.(3,4) – 3.(2, 3b) + (5a,1)=(0,0)  (6, 8) – (6, 9b) + (5a, 1) = (0,0)  (6-6+5a,8-9b+1) = 
(0,0)  5a = 0 e 9 – 9b = 0  a = 0 e b = 1. 
 
87. Dados os vetores u=(4,3), v=(-5,1) e w=(3,0), determine u - v+w. 
Solução: (4,3) – (-5,1) + (3,0) = (4 + 5 + 3, 3 – 1 + 0) = (12, 2). 
 
88. Os vetores u=(1,2), v=(5, 7) e w=(x,2) do R2, satisfazem à equação 4u + 3w = 2v. Determine o valor 
de x. 
Solução: 4.(1,2) + 3.(x,2) = 2.(5,7)  (4,8) + (3x, 6) = (10,14)  (4+3x, 14) = (10,14)  4 + 3x = 10 
 3x = 6  x = 2. 
 
89. Determine o produto interno entre os vetores u=(a,b) e v=(c,d). 
Solução: Simbolizamos o produto interno, que também é denominado de produto escalar, por<a;v> ou 
u.v, que é determinado da seguinte maneira: <u;v> = (a,b).(c,d) = a.c+b.d. 
 
90. Determine o produto interno entre os vetores u=(2,3) e v=(4,2). 
Solução: <u;v> = (2,3).(4,2) = 2.4 + 3.2 = 8+6 = 14. 
 
91. Determine o produto interno entre os vetores u=(-2,1) e v=(5,-3). 
Solução: <u;v> = (-2,1).(5,-3) = (-2).5 + 1.(-3) = -10+(-3) = -10 – 3= -13. 
 
92. Determine o produto interno entre os vetores u=(3,6) e v=(2,-1). 
Solução: <u;v> = (3,6).(2,-1) =3.2 + 6.(-1) = 6 – 6 = 0. 
 
93. Determine o produto interno entre os vetores u=(-2,4,1) e v=(2,5,-3). 
Solução: <u;v> = (-2,4,1).(2,5,-3)= (-2).2+4.5+1.(-3) = -4+20 –3=13. 
 
94. Determine o produto interno entre os vetores u=(2,-2,3) e v=(-1,5,4). 
Solução: <u;v> = (2,-2,3).(-1,5,4)= 2.(-1)+(-2).5+3.4 = -2+(-10)+ 12= -2 -10+12= 0. 
 
95. Demonstre que, para u  0, u.u > 0. 
Solução: Sendo u=(a,b), onde a e b R*, u.u = (a,b) . (a,b) = a.a + b.b = a2 + b2. Como,  a e b R*, a2 
>0 e b
2 
> 0, então a
2
 + b
2
>0. 
 
96. Demonstre que u.v = v.u, para u e v  R2. 
Solução: Sendo u=(a,b) e v=(c,d), u.v = (a,b) . (c,d) = a.c + b.d = c.a + d.b = (c,d).(a,b) = v.u. 
 
97. Demonstre que u.(v+w) = u.v + u.w, para u, v e w  R2. 
Solução: Sendo u=(a,b), v=(c,d) e w=(e, f), u.(v+w) = (a,b).[(c,d) + (e, f)] = (a,b). (c+e, d+ f) = 
a.(c+e) + b.(d+f) = ac + ae + bd + bf = ac + bd + ae + bf = (a,b) . (c,d) + (a,b).(e, f) = u.v + u.w. 
 
98. Demonstre que u.(k.v) = k.(u.v), para u e v  R2 e k  R. 
Solução: Sendo u=(a,b) e v=(c,d), u.(k.v) = (a,b).(k.(c,d)) = (a,b).(kc,kd) = kab + kcd = k.(ab + cd) = 
k.(a,b).(c,d) = k.(u.v). 
 
 
 
 
 
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99. Demonstre que o módulo de um vetor u  R2 também pode ser calculado por
uuu .
. 
Solução: Sabemos que, para u = (a,b), 
22
bau 
. Como a
2
 + b
2
 = (a,b).(a,b) = u.u, então, 
uuu .
. 
100. Determine o valor de x para que o vetor v=(x,2) seja unitário. 
Solução: Um vetor é unitário quando seu módulo é igual a 1. Assim, 
.
2
3
4
3
4
1
11
4
1
1
4
1
1
4
1
1)
4
1
(
222
2
2
2222











xxxx
xxxx
 
101. Demonstre que o vetor , para v  R2 e não nulo, é necessariamente unitário. 
 
Solução: Sendo v=(a,b), onde a e b  R*, 
.1
',).,(
),(
'
22
22
22
2
22
2
2
22
2
22222222














































ba
ba
ba
b
ba
a
ba
b
ba
a
vAssim
ba
b
ba
a
ba
ba
v
 
102. Determine o versor do vetor v=(2,4). 
Solução: O versor de um vetor v qualquer, não nulo, é um vetor unitário que possui a mesma direção e o 
mesmo sentido de v. O versor de v, simbolizado por v’, é determinado por . Assim, para v = (2,4) 
teremos: 
).
5
2
,
5
1
(
52
)4,2(
20
)4,2(
42
)4,2(
'
22


v
 
103. Sendo u=(-2,3) e v=(5, -2), determine u’+ v’. 
Solução: Sendo u’ e v’ os versores de u e v respectivamente, 
então:
).
13
1
,
13
1
()
13
)2(3
,
13
32
(
13
)2,3(
13
)3,2(
)2()3(
)2,3(
)3()2(
)3,2(
2222












 
 
104. Determine u’.u’, sendo u um vetor de R2. 
Solução:Sabemos que o módulo de um vetor u pode ser calculado por 
..uuu 
Assim, 
.1''.)''.()1(''.1''.'
22
 uuuuuuuuu
 
105. Prove que
vuvu .. 
, sendo u e v vetores de R
2
. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). 
Solução: 
 
106. Prove que, se o vetor u=(a,b) é paralelo ao vetor v=(c,d), ambos de R2 onde c.d  0, então 
d
b
c
a

 . 
Solução: Se u e v são paralelos, então u = kv. Logo, (a,b) = k(c,d)  (a,b) = (kc,kd)  a = kc e b = kd 
 
.k
d
b
c
a

 
107. Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos. 
Solução: Se u e v são paralelos, então 
.3
6
9.2
6
2
9
 xx
x
 
108. Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos. 
Solução: Se u e v são paralelos, então 
.44
810
52
 yex
y
x
 
109. Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é perpendicular ao 
terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. 
v
v
v '
v
v
v '
 
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Solução: Seja o triângulo ABC, onde M e N são, respectivamente, os pontos médios de AC e BC. 
Podemos afirmar que 
CNCB
MCAC
2
2


. 
Somando membro a membro teremos: 
.
2
1
2)(2 ABMNABMNCBACCNMC 
 
110. Prove que, se u e v são vetores de R2 tais que u=kv, então 
.. vku 
 
Solução: Supondo que v=(a,b), então u=(ka,kb). Assim, 
)(
2222222
bakubkaku 
 
...
22
vkubaku 
 
111. Prove que, sendo u e v vetores ortogonais, então u.v=0. 
Solução: Com o auxílio da figura, pode-se observar que u+v é a hipotenusa do triângulo retângulo que 
possui catetos u e v. Aplicando Pitágoras encontra-se 
      .
222
vuvu 
 Utilizando uma 
propriedade do produto interno tem-se: (u+v).(u+v) = u.u + v.v  u.u + u.v + v.u + v.v = u.u + v.v  
2(u.v) = 0  u.v=0. 
112. Verifique se os vetores u=(3,2) e v=(-4,6) são ortogonais. 
Solução: Os vetores serão ortogonais se e somente se u.v=0. Assim, (3,2).(-4,6)= -12+6 = -6  0. Logo 
u e v não são ortogonais. 
 
113. Obter y de modo que os pontos A=(3,y), B=(0,4) e C=(4,6) sejam os vértices se um triângulo 
retângulo em A. 
Solução: Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, os vetores AB e AC deverão ser ortogonais. 
Assim, AB.AC = 0. Logo, (B-A).(C-A) = 0 (0 - 3, 4 - y).(4 - 3, 6 - y) = 0  (-3, 4 – y).(1, 6-y) = 0  
-3.1 + (4 - y).(6 - y) = 0  -3 + 24 – 4y – 6y + y2 = 0  y2 –10y + 21 = 0  y = 3 ou y = 7. 
 
114. Sendo u=(2,5) e v=(5,2), verifique se u+v e u-v são ortogonais. 
Solução: u+v=(7,7) e u-v=(-3, 3). Assim, (7,7).(-3,3) = -21+21 = 0. Logo u+v e u-v são ortogonais. 
 
115. Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 3) e v=(1, x, 3) sejam ortogonais. 
Solução: Para que u e v sejam ortogonais, u.v = 0. Assim, (x, 0, 3).(1, x, 3) = 0  x + 0 + 9 = 0  x = -
9. 
 
116. Determine o vetor u ortogonal a v=(4, -1, 5) e a w=(1, -2, 3), tal que u.(1, 1, 1) = -1. 
Solução: Supondo u=(x, y, z) tem-se: 








11)1,1,1).(,,(
0320)3,2,1).(,,(
0540)5,1,4).(,,(
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx . Assim, solucionando o 
sistema, encontra-se x= 1, y = -1 e z = -1. Logo, u=(1, -1, -1).