aulas 1 a 10 geometria analitica

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1.
		Dados os pontos A = (1, 3) e B = (5,2), determine as coordenadas do Ponto C, interno ao segmento AB, de modo que os vetores VAC e VAB sejam tais que,  VAC =2/3.VAB .
	
	
	
	C = (11/3, 7/3)
	
	
	C = (4, 10/3)
	
	
	C = (5/3, 2/5)
	
	
	C = (1/3, 2/3)
	
	
	C = (10/3, 4/5)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Demonstrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais. Dado os vetores i = (1, 0, ,0) e j = (0, 1, 0).
	
	
	
	-4
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	-1
	
	
	2
	
Explicação:
O produto entre i.j = (1,0,0).(0,1,0) = 1.(0) + 0.(1) + 0.(0) = 0. O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, o vetor 0.v = 0 para todo o vetor v.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores:  2(AB)+3(BC) +5(AC) ?
	
	
	
	(0,0)
	
	
	(-7,4)
	
	
	(7,4)
	
	
	(-7,-4)
	
	
	(7,-4)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
 
	
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	-3
	
	
	2
	
	
	-4
	
Explicação:
Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 1/2 (AB) ⃗+3(CD) ⃗-6(AC) ⃗.
	
	
	
	(25/2, 181/2)
	
	
	(35/2, 181/2)
	
	
	(25/2, -191/2)
	
	
	(-25/2, -181/2)
	
	
	(25/2, -181/2)
	
Explicação:
Observe que:
AB=B-A=(-5,5)  ;  CD=D-C=(1,-11)  e  AC=C-A=(-2,10)
Logo: 1/2AB+3CD-6AC = 1/2(-5,5)+3(1,-11)-6(-2,10) = (-5/2+3+12 , 5/2-33-60) = (25/2 , -181/2).
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3).
	
	
	
	13/7
	
	
	10/3
	
	
	12/7
	
	
	10/7
	
	
	12/5
	
Explicação:
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0)
Fazer |PA| = |PB|
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2).
	
	
	
	53°
	
	
	35°
	
	
	47°
	
	
	60°
	
	
	45°
	
Explicação:
Fazer a = u . v / (|u| . |v|)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Dado os vetores: u= (2,5-2) e v = (4, -5, 7), encontre o vetor 2u-3v:
	
	
	
	(-8, 25, -25)
	
	
	( 4, 10, -4 )
	
	
	(-8, -25, -25)
	
	
	( -7, 6, 8)
	
	
	( 8, 25, 25)
	
Explicação: 2( 2, 5, -2) - 3( 4, -5, 7)= ( -8, 25, -25)
		1.
		Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
	
	
	
	x=2 e y=2
	
	
	x=2 e y=4
	
	
	x=4 e y=2
	
	
	x=4 e y=-4
	
	
	x=4 e y=4
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é
	
	
	
	x = 2
	
	
	x = 1
	
	
	x = -5
	
	
	x = -1
	
	
	x = 25
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o vetor x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor:
	
	
	
	(D) x = 2i - 4k
	
	
	(A) x = - 2i
	
	
	(E) x = 2i + 0k - 4j
	
	
	(B) x = 2i - 4
	
	
	(C) x = 2i - 4j
	
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X)
	
	
	
	X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	
	X - C = - 1/3 (A-C) + 4/3 (B-C)
	
	
	X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	
	X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	
	X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
	
	
	
	Nenhuma das anteriores
	
	
	x=4 e y=4
	
	
	x=4 e y=-4
	
	
	x=-4 e y=4
	
	
	x=0 e y=4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
	
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	-6
	
	
	-4
	
	
	6
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dada as seguintes afirmações:
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
IV. O módulo do vetor →uu→=(-3,0,-4) é igual a 5
V. As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →ii→, →jj→ e →kk→, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
	
	
	
	III e IV estão corretas
	
	
	I, IV e V estão corretas
	
	
	IV e V estão corretas
	
	
	Apenas I está correta
	
	
	I e III estão corretas
	
Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	
	 
		
	
		8.
		O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos é:
	
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	3
	
	
	6
	
	
	9
	
Explicação:
Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais
		1.
		Dado os vetores A (1,2,3) e B (4,5,6), calcule o produto escalar A.B
	
	
	
	25
	
	
	-20
	
	
	-33
	
	
	32
	
	
	30
	
Explicação:
A.B=(1,2,3).(4,5,6)=1.4+2.5+3.6=4+10+18=32
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dados os vetores u= -i -3j -2k e v= -4i -2j+xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
	
	
	
	-5
	
	
	4
	
	
	-4
	
	
	3
	
	
	5
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim:
u.v=0 => (-1,-3,-2).(-4,-2,x)=0 => 4+6-2x=0 => x=5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dado os vetores a (0,3,-1) e b (4,1,-3), calcule o produto escalar a.b
	
	
	
	10
	
	
	9
	
	
	11
	
	
	3
	
	
	6
	
Explicação:
cosØ = a.b / (|a|.|b|) onde Ø é o ângulo formado entre os vetores a e b
a.b = xa.xb + ya.yb + za.zb
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Um cubo tem volume igual a 216 cm3. Qual o volume, em cm3 de um tetraedro inscrito nesse cubo?
	
	
	
	36
	
	
	44
	
	
	24
	
	
	27
	
	
	54
	
Explicação: 216 : 6 = 36
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determinar o ângulo entre os vetores u =(1,-2,1) e v =(-1,1,0)
	
	
	
	60°
	
	
	135°
	
	
	30°
	
	
	150°
	
	
	120°
	
Explicação:
cos a = u . v / (|u| . |v|)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O volume do Paralelepípedo com um vértice na origem e arestas u= 2i + 2j + 5k,  v= 10i e w= 6i + 10j é:
	
	
	
	570
	
	
	550
	
	
	555
	
	
	500
	
	
	575
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dado os vetores a (5,4,-3) e b (2,-2,3), calcule o produto escalar a.b
	
	
	
	-12
	
	
	-5
	
	
	-7
	
	
	-9
	
	
	-15
	
Explicação:
a.b = 5.2 + 4.(-2) + (-3).3
	
	
	
	 
		
	
		8.
		O produto escalar entre u=(1,0, 1) e v=(0,1,0) é igual a
	
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	-1
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
		1.
		Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (4,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (1, 0, 1) 
	
	
	
	x=4+t y=-2 z=t
	
	
	x=4-t y=-2 z=t
	
	
	x=4+t y=-2 z=2t
	
	
	x=4+2t y=-2 z=t
	
	
	x=4+t y=-2t z=t
	
Explicação:
Uma reta que passa pelo ponto A = (xa , ya, za) e tem a direção do vetor B = (xb , yb, zb) terá as seguintes equações paramétricas:
x = xa + txb; y = ya + tyb; z = za + tzb
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Podemos afirmar que a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(5,2,3) é:
	
	
	
	1
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	4
	
Explicação:
4
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3).
	
	
	
	x=-4+2t
y=-1
z=3+5t
	
	
	x=t
y=2y
z=5+3t
	
	
	x=-4+t
y=-2-t
z=3-5t
	
	
	x=2t
y=-3t
z=5t
	
	
	x=2-4t
y=-t
z=5+3t
	
Explicação:
Temos que as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") basta substituir os valores para obtermos:x=2-4t
                 y=-t
                z=5+3t
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (1, 1, 1 )
	
	
	
	x =5+t y= -2 z=t
	
	
	x =5 y= -2+t z=t
	
	
	x =5+t y= -2+t z=t
	
	
	x =5+t y= -2+t z=2t
	
	
	x =5+t y= t z=t
	
Explicação:
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. Temos que:
(x,y,z) = (5,-2,0) + t(1,1,1) => x=5+t  ,  y=-2+t  e  z=t.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a direção do vetor (2,2, 2 )
	
	
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2t
	
	
	x= 5+2t y=2 z=2+2t
	
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2+2t
	
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2
	
	
	x= 5 y=2+2t z=2+2t
	
Explicação:
Temos :
(x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2)  => x=5+2t , y=2+2t e z=2t
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
	
	
	
	X= -1-t y = -2 z = t
	
	
	X= 1+t y = -2 z = t
	
	
	X= -1+t y = -2 z = t
	
	
	X= -1+t y = -2 z = -t
	
	
	X= -1+t y = 2 z = t
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t
                                                                    y=-2
                                                                    z=t
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
	
	
	
	X= 2+t y = t z = 1+t
	
	
	X= -2+t y = -t z = 1+t
	
	
	X= -2+t y = t z = -1+t
	
	
	X= -2+t y = t z = 1+t
	
	
	X= -2-t y = t z = 1+t
	
Explicação:
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1)
Daí, as equações paramétricas da reta serão:  x=-2+t   ,   y=t    ,    z=1+t.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sabe-se que o módulo do vetor VAB mede 4 unidades de cumprimento, sendo A = (1, 2) e B = (-2, k). Nessas condições é correto afirmar que o valor de k é:
	
	
	
	2
	
	
	-2 ou 3
	
	
	-1 ou -2
	
	
	0 ou 3
	
	
	1 ou 3
		1.
		Dado o plano p1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano p1 e é paralelo ao plano p2:x-3=0.           
	
	
	
	x=310x=310
	
	
	x=710x=710
	
	
	x=3x=3
	
	
	x=103x=103
	
	
	x=35x=35
	
Explicação:
Plano paralelo a p2: x + k = 0
Reta AB
x = y = z = t
Interseção da reta AB com p1: 2t+5t+3t+3 = 0 -> 10t = -3 -> t = -0,3
x - 0,3 = 0 -> x = 3/10
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 2x + 5y - 10z - 20 = 0. Podemos afirmar que:
	
	
	
	P( 0, 0, -2 )
	
	
	P( 10, 0, 0 )
	
	
	P( 0, 0, 2 )
	
	
	P( 5, 0, 0 )
	
	
	P( 0, 4, 0 )
	
Explicação:
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-20=0 -> x = 10
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k?
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	-1
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		4.
		 Qual a equação do plano pi  que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) como vetor normal.
 
	
	
	
	3x+2y-4z+8=0
	
	
	 3x+2y-4z-8=0
	
	
	2x-y+3z-8=0
	
	
	2x-y+3z+8=0
	
	
	2x+y-3z-8=0
	
Explicação: Determinar a equação geral do plano usando um ponto e o vetor normal.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, 0) e é ortogonal ao (1,-2,-6) ?
 
	
	
	
	x - 2 y + 6 z - 5 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z - 5 = 0
	
	
	x - 2 y - 6 z - 5 = 0
	
	
	x - 2 y + 6 z - 5 = 0
	
	
	x - 2 y - 6 z + 5 = 0
	
Explicação:
1x - 2y - 5z - [+ 1 (3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> x-2y-6z+5 = 0
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual é a equação do plano que contém o ponto A (0, 1, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) 
 
	
	
	
	x - 2 y - 6 z -2 = 0
	
	
	-x - 2 y + 6 z +2 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z -2 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z +2 = 0
	
	
	x - 2 y - 6 z +2 = 0
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (0)+ 2 (1) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z+2 = 0
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A equação do plano que contém os pontos A(0,1,2 ) B( 1,-1,4) e C(2,2,2) está na opção
	
	
	
	-2x + 2y + 5z -12 = 0
	
	
	2x + 2j + 2k =0
	
	
	x + y + 2z - 1 =0
	
	
	3x + 7y - 5z -4 =0
	
	
	2x + 8y =2
	
Explicação:
produto vetorial de dois vetores quaisquer de um plano determina um vetor normal a esse plano. Depois substituir um dos pontos para achar a variavel independente desse plano.
LEMBRAR: o vetor v = (a,b,c) é ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Encontre a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(-1,0,1), B(2,-2,1) e C(0,1,-2).
	
	
	
	6x+9y+5z+1=0
	
	
	6x-9y-z+2=0
	
	
	6x+2y+5z+3=0
	
	
	5x+6y+9z+1=0
	
	
	9x+6y+5z=0
	
Explicação:
O vetor determinado pelos pontos A(-1,0,1), B(2,-2,1) e C(0,1,-2) será o mesmo determinado pelos vetores AP, AB e AC, onde P = (x,y,z) é ponto qualquer do plano, logo
∣∣
∣∣x+1yz−13−2011−3∣∣
∣∣=0|x+1yz−13−2011−3|=0
	
		1.
		Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que u e v sejam perpendiculares.
	
	
	
	4
	
	
	2,5
	
	
	3,5
	
	
	4,5
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o lugar geométricodos pontos P(x,y) do plano dos quais as tangentes traçadas do ponto à circunferência (x-3)2 + (y-2)2 =16 têm comprimento 3.
	
	
	
	uma elipse de centro na origem
	
	
	um par de retas concorrentes.
	
	
	umpar de retas paralelas
	
	
	uma circunferência de raio 5
	
	
	uma parábola de vértice (3,2)
	
Explicação:
O raio da circunferência dada e a tangente formaram um triangulo retangulo de catetos 3 e 4, e a distancia dos pontos ao centro da circunferencia será a hipotenusa desse triangulo
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Num dado sistema cartesiano os pontos A(0,5), B (3,-2) e C(-3,-2) definem uma região geométrica. Podemos afirmar que a figura tem o formato de:
	
	
	
	Um triângulo equilátero
	
	
	Um triângulo retângulo
	
	
	Um triângulo isósceles
	
	
	Um triângulo escaleno reto
	
	
	Um triângulo escaleno
	
Explicação:
Vetores no plano - distância entre pontos no plano.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2)?
	
	
	
	(x−4)2+(y−3)2=sqrt5(x−4)2+(y−3)2=sqrt5
	
	
	(x−4)2+(y−3)2=5(x−4)2+(y−3)2=5
	
	
	(x−3)2+(y−4)2=sqrt5(x−3)2+(y−4)2=sqrt5
	
	
	(x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5
	
	
	(x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5
	
Explicação:
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
 
 
	
	
	
	AM=2√3AM=23
	
	
	AM=2AM=2
	
	
	AM=2√2AM=22
	
	
	AM=3√2AM=32
	
	
	AM=√2AM=2
	
Explicação:
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4)
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela equação geral x² + y² - 2x - 8y + 12 = 0.
	
	
	
	o centro é (4, 1) e o raio é √5.
	
	
	o centro é (5, 4) e o raio é 1.
	
	
	o centro é (5, 1) e o raio é 2.
	
	
	o centro é (1, 4) e o raio é √5.
	
	
	o centro é (1, 5) e o raio é 2.
	
Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja (x−1)²+(y−3)²=18(x−1)²+(y−3)²=18 a equação reduzida de uma circunferência. A razão entre a área desta circunferência e a área do quadrado inscrito nesta circunferência, nesta ordem, é:
	
	
	
	(B) π/2
	
	
	(A) π
	
	
	(D) 3π/2
	
	
	(E) 3π
	
	
	(C) 2π/3
	
Explicação:
Da equação temos que r²=18r²=18, a área da circunferência é: A=πA=πr² = 18ππ.
Quadrado circunscrito, por Pitágoras:(2r)²=x²+x²(2r)²=x²+x², portanto, x=6x=6, logo a área do quadrado é 36. A razão será igual a: 18ππ/36 = ππ/2.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o módulo compreendido entre:
	
	
	
	14 cm e 30 cm
	
	
	5 cm e 20 cm
	
	
	21 cm e 26 cm
	
	
	25 cm e 40 cm
	
	
	8 cm e 22 cm
		1.
		Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2
	
	
	
	(13/2, -8)
	
	
	(13/2, 8)
	
	
	(13,9)
	
	
	(13/2, -9)
	
	
	(13, -9)
	
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0
	
	
	
	x = y2 + 3y + 4 
	
	
	x = (-y2 + 4y + 3) / 2
	
	
	x = y2
	
	
	x = 4
	
	
	x = y
	
Explicação:
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, temos d(X,F)=d(X,P)
=
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, obtemos:
x2-6x+9+y2-4y+4=x2-8x+16
ou seja, 2x=3-y2+4y de onde x= 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e d: x= -2
	
	
	
	x = y2 / 2
	
	
	x = y2 / 8
	
	
	x = y2 / 32
	
	
	x = y2 / 16
	
	
	x = y2 / 4
	
Explicação:
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em .
	
	
	
	y = 4x²
	
	
	y = -x2 / 6
	
	
	y = -x2 / 6 + 4x / 9
	
	
	y = -x2 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54
	
	
	y = -x2 / 6 - 97 / 54
	
Explicação:
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0).
	
	
	
	(-1, 3, 1)
	
	
	(-1, 2, 1)
	
	
	(1, -4, 2)
	
	
	(1, 3, -1)
	
	
	(-2, 1, 1)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar:
	
	
	
	O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens diferentes.
	
	
	O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
	
	
	O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗.
	
	
	Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário.
	
	
	Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
 
		1.
		Determine o valor de a, sabendo que os vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→+3j→+4k→ e → v=→i −3→j+ a→k →v=i→ -3j→+ ak→ são ortogonais
	
	
	
	5
	
	
	2/4
	
	
	2
	
	
	7/4
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dada a equação de uma Elipse a seguir
25x2 + 16y2 + 288y + 896 = 0
As medidas dos seus eixos Maior e Menor são , respectivamente:
 
	
	
	
	10 e 8
	
	
	49 e 25
	
	
	20 e 16
	
	
	20 e 10
	
	
	25 e 16
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0.
	
	
	
	(3,4) e 6
	
	
	(-1,3) e 5
	
	
	(2,-3) e 4
	
	
	(3,-1) e 5
	
	
	(3,-2) e 4
	
Explicação:
Temos que: -2a=-4 -> a=2
                   -2b=6 -> b=-3   , daí: o centro é O(2,-3)
a²+b²-r²=-3 -> 2²+(-3)² - r²= -3 -> 4+9-r²=-3 ->  -r²=-16 -> r=4
	
	
	
	 
		
	
		4.
		P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P.
	
	
	
	7
	
	
	6
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	5
	
	
	
	 
		
	
		5.
		(IFB - 2017). Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse.
	
	
	
	(12, 0) e (-12, 0)
	
	
	(0, 12) e (0, - 12)
	
	
	(0, 13) e (0, -13)
	
	
	(5, 0) e (-5, 0)
	
	
	(13, 0) e ( -13, 0)
	
Explicação:
De acordo com os dados, o eixo maior fica no eixo y, onde a = 13 e b = 5, logo c² = 13² - 5² -> c = 12
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é  24. Determine a distância focal dessa elipse.
	
	
	
	10
	
	
	12/13
	
	
	13/12
	
	
	22
	
	
	11
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é 6 e seu centro tem coordenadas C(-2,0), a equação reduzida desta circunferência é:
	
	
	
	(A) (x - 2)^2 = 3
	
	
	(E) (x + 2)^2 + y^2 = 36
	
	
	(C) (x + 2)^2 + y^2 = 3
	
	
	(D) (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 36
	
	
	(B) (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
Explicação:
Sendo o diâmetro 6, então r =3 Tendo-se C(-2, 0) e r = 3, a equação será: (x - (- 2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 = (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	
	
	 
		
	
		8.
		(ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	A medida do seu eixo menor é 9.
	
	
	Seu centro é (−2,1).
	
	
	A medida do seu eixo maior é 25.
	
	
	A distância focal é 4.
	
	
	Sua excentricidade é 0,8.
	
Explicação:
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0
9x² - 36x + 25y² + 50y − 164 = 0
9(x² - 4x) + 25(y² + 2y) − 164 = 0
9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) − 164 - 9.4 - 25.1= 0
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 164+36+25
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225
[(x - 2)²] / 25 + [(y + 1)²] / 9 = 1
a² = 25 -> a = 5
b² = 9 -> b = 3
c² = 25 - 9
c = 4
e = c/ a = 4/ 5 = 0,8
	
	 
		
	
		1.
		Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais.
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados:
	
	
	
	foco e diretriz
	
	
	centro e eixo
	
	
	foco e eixo
	
	
	centro e diretriz
	
	
	vértice e eixo
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ?
	
	
	
	Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3
	
	
	Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3
	
	
	Uma circunferência de equação x2+y2 =3
	
	
	Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5
	
	
	Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ?
	
	
	
	14 unidades de volume
	
	
	13 unidades de volume
	
	
	15 unidades de volume
	
	
	16 unidades de volume
	
	
	17 unidades de volume
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2).
	
	
	
	-9x-3y+z+7=0
	
	
	-9x-3y+z+9=0
	
	
	-9x-8y+z+7=0
	
	
	-5x-3y+z+7=0
	
	
	-9x-3y+z+=0
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da hipérbole.
	
	
	
	(2, -1)
	
	
	(-2,1)
	
	
	(2,1)
	
	
	(1,2)
	
	
	(-2,-1)
	
Explicação:
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 - 4x + 4 - 4]  - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2, - 1)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4)
	
	
	
	20 x(2)1/2
	
	
	20
	
	
	10  x (2) 1/2 
	
	
	5x (2)1/2
	
	
	10
Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
	Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗.
		
	
	(134/3, 96/3)
	 
	(134/3, 119/3)
	 
	(104/3, 119/3)
	
	(126/3, 104/3)
	
	(126/3, 96/3)
	Respondido em 09/04/2020 17:56:41
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201513778962)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
		
	
	i -2j+k
	
	3i -2j
	 
	3i -2j+k-2j+k
	
	3i -2j-k
	Respondido em 09/04/2020 17:37:41
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201513794469)
	Acerto: 0,0  / 1,0
		Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j- k o vetor u + v é:
	
	
		
	 
	(3,-2,0)
	
	(3,-2,2)
	 
	(3,0,0)
	
	(3,-2,4)
	
	(3,-2,1)
	Respondido em 09/04/2020 17:42:40
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201513788603)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), então seu módulo vale:
		
	
	(C) 9
	 
	(E) 2√5
	
	(D) √7
	 
	(B) 3
	
	(A) 1
	Respondido em 09/04/2020 17:42:52
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201513600330)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é
		
	 
	x = -1
	
	x = 25
	 
	x = 2
	
	x = -5
	
	x = 1
	Respondido em 09/04/2020 17:56:29
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201513636183)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	 
	x=4 e y=4
	
	x=-4 e y=4
	
	Nenhuma das anteriores
	
	x=0 e y=4
	
	x=4 e y=-4
	Respondido em 09/04/2020 17:48:17
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201513714527)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Qual o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos A=(4,5) e B=(8,12).
		
	
	m=-7/4
	
	m=7/6
	 
	m=4/7
	
	m=-4/7
	 
	m=7/4
	Respondido em 09/04/2020 17:56:31
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201513630223)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considerando as afirmativas abaixo podemos afirmar que:
1. O módulo de um vetor unitário é sempre 1.
2. Podemos afirmar que o vetor v=(1,1,1) é um vetor unitário.
3. Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto misto entre eles é zero.
4. Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto escalar  entre eles é zero.
5. Vetores ortogonais tem o produto escalar entre eles igual a zero.
6. Vetores colineares tem a mesma direção.
7. Vetores paralelos tem a mesma direção.
		8. 
	
	Todas asafirmativas são falsas.
	
	Somente a afirmativa 4 é falsa.
	 
	Todas as afirmativas são corretas.
	 
	Somente as afirmativas 2 e 4 são falsas.
	
	Somente as afirmativas  4   e 6 são falsas.
	Respondido em 09/04/2020 17:56:33
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201513715527)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	podemos afirmar que a distância dos pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é:
		
	
	4
	
	3
	 
	√1919
	
	5
	
	√1818
	Respondido em 09/04/2020 17:56:38
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201515666549)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Os pontos a(a,2) e B(0,b) pertencem a reta (r): 2x+y-6=0. Qual a distÂncia entre os pontos A e B?
		
	
	8V5
	
	3V5
	 
	2V5
	
	V5
	
	4V5
 
Hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
	
	1a Questão (Ref.:201515666495)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5).
		
	
	(21,-11)
	 
	(23,-13)
	
	(18,-28)
	
	(15,13)
	
	(-29,-10)
	Respondido em 09/04/2020 17:58:51
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201513227278)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das diagonais desse quadrado, que terá área medindo:
		
	
	8 ua
	 
	16 ua
	
	24 ua
	
	4 ua
	
	12 ua
	Respondido em 09/04/2020 17:59:58
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201513809593)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade, direção e sentido. O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da reta suporte que o contém, e o sentido é para onde ele está apontado. Uma mesma direção possui dois sentidos. Por exemplo, a direção horizontal apresenta o sentido para a direita e o sentido para a esquerda; a direção vertical apresenta o sentido para cima e o sentido para baixo. Sabendo disso, considere os vetores u e v de módulo u = 2 e v = 5, que possuem a mesma origem e formam um ângulo de 60° entre eles. Determine, usando a regra do paralelogramo, o módulo do vetor soma resultante de u e v.
		
	 
	√39
	 
	5 + √13
	
	12 - √3
	
	3√19
	
	√28
	Respondido em 09/04/2020 18:17:33
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201513361649)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Quais são as equações simétricas das seguintes equações paramétricas x=t+3 e y=3+2t e z=1+2t:
		
	
	x-3= (y-2)/2=(z-3)/3
	 
	) x-1= (y-3)/2=(z-1)/3
	
	2x-2= (y-3)/3=(2z-1)/2
	 
	x-3= (y-3)/2=(z-1)/2
	
	x-2= (y-3)/3=(z-1)/2
	Respondido em 09/04/2020 18:17:36
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201513797704)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Duas forças de intensidade →F1=6,0NF→1=6,0N e →F2=8,0NF→2=8,0N agem sobre um corpo rígido e suas direções são desconhecidas. Determine o intervalo de valores que o módulo da intensidade da força resultante poderá assumir.
		
	
	Entre 6 e 14 N.
	
	Entre -14 e 14 N.
	 
	Entre -8 e 14 N.
	 
	Entre 2 e 14 N.
	
	Entre 0 e 14 N.
	Respondido em 09/04/2020 18:15:50
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201513778955)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	-3/2
	
	-5/8
	 
	3/8
	
	5/8
	
	2/8
	Respondido em 09/04/2020 18:15:57
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201513309496)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	O módulo e o versor do vetor v = (3, 4) é, respectivamente:
		
	
	7 e (3/5; 9/5)
	 
	5 e (7/25; 4/25)
	 
	5 e (3/5; 4/5)
	
	25 e (6/5; 9/5)
	
	10 e (2/5; 8/5)
	Respondido em 09/04/2020 18:15:39
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201513810115)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4) qual o valor aproximado do ângulo entre eles
		
	 
	157,5º
	 
	120º
	
	110,3º
	
	145º
	
	140,8º
	Respondido em 09/04/2020 18:15:47
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201513715530)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0)
		
	
	3
	
	4
	 
	√33
	
	2
	
	5
	Respondido em 09/04/2020 18:15:41
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201513652318)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular OA - AB
		
	 
	(1, 4)
	 
	(-4 1 )
	
	(1 ,1)
	
	(4, -4)
	
	(4, 1)
 Gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg
	
	1a Questão (Ref.:201513600324)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são:
		
	
	(-3;6)
	 
	(3;2)
	
	(-3;-2)
	
	(3;6)
	
	(-3;2)
	Respondido em 09/04/2020 18:19:45
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201513778959)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	-8/3
	 
	8/3
	
	-3/2
	
	3/2
	
	2/5
	Respondido em 09/04/2020 18:19:56
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201513788674)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considerando-se os pontos A(2,0,2), B(3,2,5) e C(2,3,5) e os vetores: u de origem em A e extremidade em B, v de origem em B e extremidade em C, a soma dos vetores u e v resulta na terna:
		
	
	(B) (7, 15, 12)
	
	(A) (0, - 3, - 3)
	 
	(E) (0, 0, 0)
	 
	(C) 0, 3, 3)
	
	(D) (2, 3, 3)
	Respondido em 09/04/2020 18:44:34
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201513809482)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sobre os vetores i = (1,0) e j = (0,1), podemos afirmar:
		
	 
	São ortogonais e unitários
	
	Não são nem ortogonais e nem unitários
	
	São ortogonais, mas não são unitários
	
	São unitários, mas não são ortogonais
	
	Formam um ângulo de 60º
	Respondido em 09/04/2020 18:46:53
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201513778958)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-2
	
	4
	 
	3
	
	-3
	 
	2
	Respondido em 09/04/2020 18:50:35
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201513774434)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X)
		
	 
	X - C = - 1/3 (A-C) + 4/3 (B-C)
	 
	X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	Respondido em 09/04/2020 18:52:33
	
	
	
	7a Questão(Ref.:201513783413)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Dados os vetores u= -4i -3j -2k e v= -i -2j-xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	-5
	
	4
	 
	-4
	
	5
	
	3
	Respondido em 09/04/2020 18:52:23
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201513788679)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	O ângulo, em graus, formado entre os vetores u e v, sendo u = (1, 0, 1) e v = (1, -√3, 0) é:
		
	
	(A) 30
	
	(E) 270
	 
	(B) 45
	 
	(D) 150
	
	(C) 90
	Respondido em 09/04/2020 18:56:53
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201515666526)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3).
		
	 
	x=2-4t
y=-t
z=5+3t
	
	x=-4+t
y=-2-t
z=3-5t
	
	x=-4+2t
y=-1
z=3+5t
	
	x=t
y=2y
z=5+3t
	
	x=2t
y=-3t
z=5t
	Respondido em 09/04/2020 18:28:58
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201513794689)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a direção do vetor (2,2, 2 )
		
	 
	x= 5+2t y=2+2t z=2t
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2+2t
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2
	
	x= 5 y=2+2t z=2+2t
	
	x= 5+2t y=2 z=2+2t