CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA TUDÃO

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CÁLCULO VETORIAL E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
CCE0643_A1__V1 
 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
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MP3 
 
Aluno: RÉGIS Matr.: 
Disc.: CALC. VET. GEO. AN. 2020.1 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões 
que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são: 
 
 
(3;6) 
 
(-3;-2) 
 
(-3;2) 
 
(-3;6) 
 (3;2) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para 
verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) 
Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, 
direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O 
sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A 
direção é para onde o vetor está apontando. 
 
 V,V,F,F. 
 
V,F,V,F. 
 
V,F,V,V. 
 
F,V,F,F. 
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V,V,V,V. 
 
 
 
Explicação: 
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas 
vetoriais 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 
3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗. 
 
 
(126/3, 104/3) 
 
(134/3, 96/3) 
 
(126/3, 96/3) 
 (134/3, 119/3) 
 
(104/3, 119/3) 
 
 
 
Explicação: 
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 
12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ? 
 
 
-3/2 
 
2/5 
 8/3 
 
3/2 
 
-8/3 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
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5. 
 
 
Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), 
calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗. 
 
 
(-9, 145/3) 
 
(-11, 154/3) 
 
(9, 145/3) 
 
(-11, -145/3) 
 (-11, 145/3) 
 
 
 
Explicação: 
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ 
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5) 
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3) 
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55) 
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = 
(2, 3,5) sejam ortogonais. 
 
 
-15 
 
-26 
 
-30 
 
13 
 -13 
 
 
 
 
 
 
 
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7. 
 
 
Dados os vetores u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é: 
 
 3i -2j+k 
 
3i -2j-k 
 
3i -2j 
 
-2j+k 
 
i -2j+k 
 
 
 
Explicação: 
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Que características de um vetor precisamos conhecer para que 
ele fique determinado? 
 
 
Direção, Intensidade e Coordenada 
 
Localização, Intensidade e Sentido 
 
NRA 
 Direção, Intensidade e Sentido 
 
Direção, Sentido e Ângulo 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
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MP3 
 CCE0643_A1_29_V2 
 
 
Aluno: RÉGIS Matr.: 20 
Disc.: CALC. VET. GEO. AN. 2020.1 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de 
questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-
2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗. 
 
 
 (104/3, 119/3) 
 
 (126/3, 104/3) 
 
 (134/3, 96/3) 
 (134/3, 119/3) 
 
 (126/3, 96/3) 
 
 
 
Explicação: 
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= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 
12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4). 
 
 
 30° 
 
 90° 
 
 60° 
 
 45° 
 0° 
 
 
 
Explicação: 
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 
!!u!!=V3²+2² = V9+4 = V13 
!!v!!=V6²+4² = V36+16 = V52 = 2V13 
 
Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = u.v / !!u!!.!!v!! = 
26 / V13.2V13 = 26 / 2.13 = 1 
Daí: A=0° 
 
 
 
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3. 
 
 
Dados os vetores u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é: 
 
 
 3i -2j 
 
 3i -2j-k 
 
 i -2j+k 
 3i -2j+k 
 
 -2j+k 
 
 
 
Explicação: 
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,-4), 
determine 1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗. 
 
 (-3/2, 59/2) 
 
 (2/3, 59/2) 
 
 (-1/2, 59/2) 
 
 (-2/3, 59/2) 
 
 (1/2, 59/2) 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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Explicação: 
1/2v ⃗-5u ⃗-3w ⃗ = 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 12) = 
(-3/2, 59/2) 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são: 
 
 
 (-3;6) 
 
 (-3;-2) 
 
 (3;6) 
 
 (-3;2) 
 (3;2) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , 
B=(3,2) e C=(-2,5). 
 
 
 (-29,-10) 
 (23,-13) 
 
 (18,-28) 
 
 (21,-11) 
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 (15,13) 
 
 
 
Explicação: 
2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13) 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da 
operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ? 
 
 
 (0,1) 
 
 (2,2) 
 (0,0) 
 
 (1,1) 
 
 (1,0) 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e 
(F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma 
grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O 
módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta 
suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está 
apontando. 
 
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 V,F,V,F. 
 V,V,F,F. 
 
 F,V,F,F. 
 
 V,F,V,V. 
 
 V,V,V,V. 
 
 
 
Explicação: 
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas 
vetoriais 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 CCE0643_A2__V1 
 
 
Aluno: RÉGIS Matr.: 20 
Disc.: CALC. VET. GEO. AN. 2020.1 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de 
questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
 
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1. 
 
 
Sobre os vetores i = (1,0) e j = (0,1), podemos afirmar: 
 
 
 Não são nem ortogonais e nem unitários 
 São ortogonais e unitários 
 
 São ortogonais, mas não são unitários 
 
 São unitários, mas não são ortogonais 
 
 Formam um ângulo de 60º 
 
 
 
Explicação: 
i . j = 0, logo i e j são ortogonais 
|i| = |j| = 1, logo são unitários 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Demonstrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais. Dado os vetores i = (1, 0, ,0) e j = (0, 1, 0). 
 
 
 -1 
 0 
 
 -4 
 
 2 
 
 3 
 
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Explicação: 
O produto entre i.j = (1,0,0).(0,1,0) = 1.(0) + 0.(1) + 0.(0) = 0. O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, o vetor 0.v = 0 para todo o vetor v. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o vetor →AB 
 
 dado os pontos A(-1, -2, -3) e B(0, 1, 2) 
 
 
 (1, 0, 5) 
 
 (-1, 0, 1) 
 (1, 3, 5) 
 
 (0, 1, 2) 
 
 (1, 2, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Os valores de a e de b, de modo que (3a - 4, 2b - 8) = (11, -10), são 
respectivamente: 
 
 
 12 e 1 
 
 10 e 6 
 5 e -1 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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 18 e 6 
 
 -1 e -12 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 3a-4=11 => 3a=15 => a=5 e 2b-8=-10 => 2b=-2 => b=-1 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou 
intensidade, direção e sentido. O módulo é o tamanho do vetor, sua 
direção é a mesma da reta suporte que o contém, e o sentido é para 
onde ele está apontado. Uma mesma direção possui dois sentidos. 
Por exemplo, a direção horizontal apresenta o sentido para a direita 
e o sentido para a esquerda; a direção vertical apresenta o sentido 
para cima e o sentido para baixo. Sabendo disso, considere os 
vetores u e v de módulo u = 2 e v = 5, que possuem a mesma origem 
e formam um ângulo de 60° entre eles. Determine, usando a regra do 
paralelogramo, o módulo do vetor soma resultante de u e v. 
 
 
 √28 
 
 3√19 
 
 5 + √13 
 √39 
 
 12 - √3 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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Explicação: 
Construido o paralelogramo, temos 
|u + v|² = 5² + 2² - 2.5.2cos120 
|u + v| = raiz(29 - 20.(-1/2)) = raiz(39) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dados os vetores →u 
=(0,1,2), →v=(3,0,1), calcule 3→u x (→u+→v 
 
) 
 
 
 (-9,3,18) 
 
 (3,0,-9) 
 
 (0,9,-9) 
 
 (18,3,-9) 
 (3,18,-9) 
 
 
 
Explicação: 
⎡⎢⎣ijk036313⎤⎥⎦ 
 
 
 
 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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7. 
 
 
Dados os pontos A = (1, 3) e B = (5,2), determine as coordenadas do 
Ponto C, interno ao segmento AB, de modo que os vetores VAC e VAB 
sejam tais que, VAC =2/3.VAB . 
 
 
 C = (4, 10/3) 
 
 C = (10/3, 4/5) 
 C = (11/3, 7/3) 
 
 C = (5/3, 2/5) 
 
 C = (1/3, 2/3) 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o 
segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos 
congruentes. 
 
 
 (4 ,3) e (7, 8) 
 (2 ,5) e (4, 8) 
 
 (4 ,5) e (7, 9) 
 
 s.r 
 
 (3 ,5) e (4, 6) 
 
 
 
Explicação: 
xk = (6-0)/3 = 2; yk = (11-2)/3 = 3 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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P1 = (0 + 2.1, 2 + 3.1) = (2, 5) 
P1 = (0 + 2.2, 2 + 3.2) = (4, 8) 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
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PPT 
 
MP3 
 CCE0643_A2_289_V2 
 
 
Aluno: RÉGIS Matr.: 209 
Disc.: CALC. VET. GEO. AN. 2020.1 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de 
questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2). 
 
 
 47° 
 
 35° 
 
 53° 
 45° 
 
 60° 
 
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Explicação: 
Fazer a = u . v / (|u| . |v|) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i ¿ 5 j e v = i + j , pede-se 
determinar o módulo do vetor u + v. 
 
 
 100 
 5 
 
 10 
 
 30 
 
 25 
 
 
 
Explicação: basta somar os vetores e calcular a raíz. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam 
colineares é: 
 
 
 8 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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 11 
 
 5 
 10 
 
 9 
 
 
 
Explicação: 
Para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) sejam colineares, devem formar vetores 
paralelos entre si, ou seja, com suas coordenadas proporcionais, logo 
(-2-1)/(x-1) = (4-3)/(0-3) -> (x-1)/3 = 3/1 -> x-1 = 9 -> x = 10 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 (5, 30) 
 
 (-5, 30) 
 (-5, -30) 
 
 (5, -30) 
 
 (0, 30) 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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5. 
 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de 
extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes. 
 
 
 (3, 5) e (4, 6) 
 
 S.R 
 (2, 5) e (4, 8) 
 
 (4, 5) e (7, 9) 
 
 (4, 3) e (7, 8) 
 
 
 
Explicação: 
Ponto 1 = (0, 2) + (2, 3) = (2, 5) 
Ponto 2 = (2, 5) + (2, 3) = (4, 8) 
(2,3) = (B - A) / 3 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,4), determine 
2u ⃗-1/3 w ⃗+3v ⃗. 
 
 
 (2, -31/3) 
 (2, 23/3) 
 
 (2, 31/3) 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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 (-2, -31/3) 
 
 (-2, 31/3) 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 2u-1/3w+3v = (4,-6)-(-1,4/3)+(-3,15) = (4+1-3 , -6-4/3+15) = ( 2 , 
23/3) 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o vetor X na igualdade 3X + 2 u = 1/2v + X, sendo daos u = 
( 3,-1) e v = ( -2,4) 
 
 X = ( - 7/2 , 2) 
 
 X = ( 3,-2) 
 
 X = (-7 , 2) 
 
 X = ( 2. -7/2) 
 
 X = ( -2,-2) 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: 3x+2u=v/2+x => 6x+4u=v+2x => 4x=-4u+v => 4x=(-12,4)+(-2,4) => 
4x=(-14,8) => x=(-7/2,2) 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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8. 
 
 
Dados os vetores no plano, u = 3i - 4j e v = 2i + 2j o vetor 2u + 
v é: 
 
 
 
 10i - 3j 
 
 -6i + 8j 
 
 6i + 8j 
 8i - 6j 
 
 6i -8j 
 
CÁLCULO 
VETORIAL E 
GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
CCE0643_A3__V1 
 
 
Aluno: RÉGIS Matr.: 2 
Disc.: CALC. VET. GEO. AN. 2020.1 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de 
questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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1. 
 
 
 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 -5/8 
 -3/2 
 
 3/8 
 
 5/8 
 
 2/8 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no 
espaço o vetor x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor: 
 
 (D) x = 2i - 4k 
 
 (C) x = 2i - 4j 
 
 (B) x = 2i - 4 
 
 (A) x = - 2i 
 
 (E) x = 2i + 0k - 4j 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Tem-se os vetores x = (a + 3, 5, 2) e o vetor y = (- 4, b + 5, 2), logo os 
valores de a e b de modo que os vetores x e y sejam iguais é, 
respectivamente: 
 
 
 (D) 1 e 10 
 (A) - 7 e 0 
 
 (B) 7 e 0 
 
 (C) 7 e 7 
 
 (E) 1 e 0 
 
 
 
Explicação: Tem-se que a + 3 = - 4, logo a = - 7 Tem-se que b + 5 = 5, logo b = 0 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 
10, 8) sejam paralelos. 
 
 
 x=4 e y=-4 
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 x=4 e y=4 
 
 x=0 e y=4 
 
 x=-4 e y=4 
 
 Nenhuma das anteriores 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dada as seguintes afirmações: 
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma 
direção, um sentido e um módulo. 
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas 
escalares. 
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos 
diferentes. 
IV. O módulo do vetor →u 
 =(-3,0,-4) é igual a 5 
 As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →i , →j e →k 
 
V. , respectivamente. 
Marque a alternativa correta: 
 
 
 
 I e III estão corretas 
 
 Apenas I está correta 
 
 IV e V estão corretas 
 I, IV e V estão corretas 
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 III e IV estão corretas 
 
 
 
Explicação: 
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos 
é: 
 
 
 9 
 
 0 
 3 
 
 2 
 
 6 
 
 
 
Explicação: 
Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais 
 
 
 
 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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7. 
 
 
Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é 
 
 
 x = -5 
 
 x = 1 
 
 x = 25 
 x = -1 
 
 x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 3 
 
 -3 
 2 
 
 4 
 
 -2 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
 
Lupa Calc.Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
CCE0643_A3_20V2 
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Aluno: RÉGIS Matr.: 
Disc.: CALC. VET. GEO. AN. 2020.1 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de 
questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Duas forças de intensidade →F1=6,0N 
e →F2=8,0N 
 
agem sobre um corpo rígido e suas direções são desconhecidas. Determine o intervalo de valores que o 
módulo da intensidade da força resultante poderá assumir. 
 
 
 Entre -14 e 14 N. 
 
 Entre -8 e 14 N. 
 Entre 2 e 14 N. 
 
 Entre 6 e 14 N. 
 
 Entre 0 e 14 N. 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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2. 
 
 
Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 -4 
 
 0 
 -6 
 
 6 
 
 4 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o 
ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X) 
 
 
 X - C = - 1/3 (A-C) + 4/3 (B-C) 
 X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C) 
 
 X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C) 
 
 X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C) 
 
 X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C) 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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4. 
 
 
Dados os vetores u = i + k e v = 2i + 2j o vetor u + v é 
 
 
 (3,3,1) 
 
 (3,2,0) 
 (3,2,1) 
 
 (3,2,2) 
 
 (3,0,1) 
 
 
 
Explicação: Operar cada componente de vetor com seu componente 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 
10, 8) sejam paralelos. 
 
 
 x=2 e y=4 
 x=4 e y=4 
 
 x=4 e y=2 
 
 x=4 e y=-4 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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javascript:duvidas('1109144','6638','5','3520327','5');
 
 x=2 e y=2 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo-se que u = (a, b, c) é versor de v = (1,2,2), qual o valor 
de a 
 
 
 -1 
 
 0 
 
 1 
 1/3 
 
 2/3 
 
 
 
Explicação: 
u = v / |v| 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um 
parte de um heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte 
de um heliporto B localizado em (120, 160,1), com coordenadas em 
KM. se eles voam em direção a um heliporto localizado no ponto 
médio do segmento AB.Ache as coordenadas do ponto de encontro 
dos helicópteros. 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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 (0, 120, 0 ) 
 
 (0, 0, 0 ) 
 (90, 120, 1) 
 
 ( 120, 0, 0 ) 
 
 (-90, -120, -1) 
 
 
 
Explicação: O ponto médio é a media das coordenadas dos pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determinar os valores de m e n para que os vetores →u 
=(m+1)→i + 2→j + →k e →v 
 
=(4,2,2n-1) sejam iguais. 
 
 
 m= 0 e n= 1 
 
 m= 5 e n= -1 
 
 m= -5 e n= 1 
 
 m= 3 e n= -1 
 m= 3 e n= 1 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('1147391','6638','8','3520327','8');
Explicação: 
u=v => m+1=4 => m=3 , 2=2 e 1=2n-1 => n=1 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
4a aula 
 Lupa 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A4_2_V1 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 29 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Dados os vetores u = (4, a, -1) e v (a, 2, 3) e os pontos A (4, -1, 2) e B (3, 2, -1), determinar o 
valor de a tal que u.(v + BA) = 5. 
 
 7/3 
 -7/3 
 8/5 
 0 
 7/6 
Respondido em 07/05/2020 22:29:37 
 
 
Explicação: 
BA = A - B = (1, -3, 3) 
v + BA = (a, 2, 3) + (1, -3, 3) = (a + 1, -1, 6) 
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javascript:abre_frame('2','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('3','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('3','4','','','314441618');
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:abre_frame('1','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('2','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('3','4','','','314441618');
u.(v+BA)=5 => (4, a, -1).(a + 1, -1, 6) = 5 => 4.(a + 1) + a.(-1) - 1.(6) = 5 => 4.a + 4 
- a - 6 = 5 => 3.a = 7 =>a = 7/3 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Dados os vetores u= i + 3j+ 2k e v= 4i +2j+xk, qual é o valor de x , sabendo que os 
vetores são ortogonais? 
 
 2 
 -5 
 4 
 5 
 -4 
Respondido em 07/05/2020 22:29:48 
 
 
Explicação: 
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim: 
u.v = 0 => (1.3,2) . (4.2.x) = 0 => 4+6+2x = 0 => 2x = -10 => x = -5. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Dado os vetores A (5,4,-3) e B (2,-2,3) qual o valor aproximado do ângulo entre eles 
 
 95º 
 110º 
 90º 
 104º 
 115º 
Respondido em 07/05/2020 22:30:14 
 
 
Explicação: 
cosØ = u.v / (|u|.|v|), onde Ø é o ângulo entre os vetores u e v 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4), calcule o produto escalar a.b 
 
 -19 
 -20 
 19 
 -17 
 -15 
Respondido em 07/05/2020 22:30:09 
 
 
Explicação: 
a.b = xa.xb + ya.yb + za.zb 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Dados os vetores u = 3i - 5j + 8k e v= 4i - 2j -k, calcular o produto escalar u.v. 
 
 18 
 12 
 13 
 22 
 14 
Respondido em 07/05/2020 22:30:33 
 
 
Explicação: produto escalar u.v = 3.(4) - 5.(-2) + 8.(-1) = 12 + 10 -8 = 14. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 2) e v=(1, x, 2) sejam ortogonais 
 
 x=2 
 x=-2 
 x=4 
 x=-4 
 x=0 
Respondido em 07/05/2020 22:30:41 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: u.v=0 => x+4=0 => x=-4. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 O ângulo, em graus, formado entre os vetores u e v, sendo u = (1, 0, 1) e v = (1, -√3, 0) é: 
 
 (A) 30 
 (C) 90 
 (E) 270 
 (D) 150 
 (B) 45 
Respondido em 07/05/2020 22:31:15 
 
 
Explicação: produto u.v= (0, 1, 0).(1, -√3, 0) = -√3 módulo u = 1 módulo de v = 2 Logo: cos x 
= (- √3/2), então x = arc cos (-√3/2) e portanto x = 150 graus 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 Um cubo tem volume igual a 216 cm
3
. Qual o volume, em cm
3
 de um tetraedro 
inscrito nesse cubo? 
 
 36 
 54 
 44 
 27 
 24 
Respondido em 07/05/2020 22:30:55 
 
 
Explicação: 216 : 6 = 36 
 
CÁLCULOVETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
4a aula 
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Exercício: CCE0643_EX_A4_2_V2 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 29 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Calcular a área do triângulo cujos os vértices são: A ( -2,3,1) , B( 1,2,3) e C ( 3,-1,2). 
considere a raiz quadrada de 3 igual a 1,7. 
 
 9,95 u.a 
 6,7 u.a 
 5.95 u.a 
 3,5 u.a 
 7,6 u.a 
Respondido em 07/05/2020 22:31:40 
 
 
Explicação: 
Calcular o módulo do produto vetorial entre AB e AC dividido por 2. Assim temos: 
javascript:abre_frame('1','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('1','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('2','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('2','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('3','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('3','4','','','314441618');
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:abre_frame('1','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('2','4','','','314441618');
javascript:abre_frame('3','4','','','314441618');
AB=B-A=(3,-1,2) 
AC=C-A=(5,-4,1) 
 i j k 
ABxAC = 3 -1 2 = -i+10j-12k+5k+8i-3j = 7i+7j-7k = (7,7,-7. 
 5 -4 1 
 
Então a área do tiângulo será dada por: !ABxAC! / 2 = !(7,7,-7)! / 2 = V7² + 7² + 
(-7)² / 2 = V49+49+49 / 2 = V147 /2 = V3. 7² / 2 = 7 V3 /2 = 7 x 1,7 / 2 = 11,9 
/ 2 = 5,95 ua (unidades de área) 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 O produto escalar entre u=(1,0, 1) e v=(0,1,0) é igual a 
 
 0 
 1 
 -1 
 3 
 2 
Respondido em 07/05/2020 22:31:34 
 
 
Explicação: 
Aplicação envolvendo produto escalar. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 
Considere os vetores →u 
=(1,-2,3) e →v=(1,1,3). Um vetor →w é o produto vetorial entre os vetores →u e →v . 
O vetor →w 
 é: 
 
 (-9,0,3) 
 (3,0,9) 
 (1,0,3) 
 (-9,3,3) 
 (-9,3,0) 
Respondido em 07/05/2020 22:31:58 
 
 
Explicação: 
 i j k 
Temos que: w=uxv= 1 -2 3 = -6i+3j+k+2k-3i-3j = -9i + 0j + 3k = (-9 , 0 , 3) 
 1 1 3 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 O produto escalar entre os vetores u=(1,2,3) e v=(3,2,1) é: 
 
 5 
 6 
 0 
 9 
 10 
Respondido em 07/05/2020 22:31:54 
 
 
Explicação: 
u.v = xu.xv + yu.yv + zu.zv 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Dados os vetores u=(-1,2´-4) e v=(3,-5,7) determine o valor de u.v - v.u. 
 
 0 
 -41 
 82 
 -4 
 -82 
Respondido em 07/05/2020 22:32:18 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
u.v = (-1,2,-4) . (3,-5,7) = -1,3+2.(-5) +(-4).7 = -3-10-28 = -41 
v.u = (3,-5,7) . (-1,2,-4) = 3.(-1)+(-5).2+7.(-4) = -3-10-28=-41 
Logo: u.v - v.u = -41 - (-41) = -41+41 = 0 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4) qual o valor aproximado do ângulo entre eles 
 
 145º 
 110,3º 
 140,8º 
 157,5º 
 120º 
Respondido em 07/05/2020 22:32:27 
 
 
Explicação: 
cosØ = a.b / (|a|.|b|) onde Ø é o ângulo formado entre os vetores a e b 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 Um reservatório em formato de paralelepípedo é determinado pelos seguintes vetores: 
 u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0) com unidades dadas em metros. Sabendo que cada metro cúbico de volume equivale a 1000 
litros, qual é a capacidade do reservatório? 
 
 50000 litros. 
 500 litros. 
 1000 litros. 
 5000 litros. 
 10000 litros. 
Respondido em 07/05/2020 22:32:36 
 
 
Explicação: Calcular o produto misto e depois o módulo do resultado do produto misto 
para encontra o volume. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 Sejam os vetores u = ( 3, 2, k ) e v = ( 2, 0, 1 ). O valor de K para que os vetores serem 
ortogonais é: 
 
 -5 
 5 
 -6 
 0 
 6 
Respondido em 07/05/2020 22:32:30 
 
 
Explicação: 
Aplicação envolvendo produto escalar. 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
5a aula 
 Lupa 
 
 
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PPT 
 
MP3 
 
 
 
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javascript:diminui();
javascript:aumenta();
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Exercício: CCE0643_EX_A5__V1 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 29 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 podemos afirmar que a distância dos pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é: 
 
 3 
 5 
 
√ 1 8 
 4 
 
√ 1 9 
Respondido em 07/05/2020 22:34:20 
 
 
Explicação: 
 
√ 1 9 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, 1 ) que tem a 
direção do vetor (3,0, 2) 
 
 x= 1 y=2 z=1+2t 
 x= 1+3t y=2 z=1 
 x= 1+3t y=2t z=1+2t 
 x= 1+3t y=2 z=t 
 x= 1+3t y=2 z=1+2t 
Respondido em 07/05/2020 22:34:43 
 
 
Explicação: 
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 X= -1-t y = -2 z = t 
 X= -1+t y = -2 z = t 
 X= -1+t y = -2 z = -t 
 X= -1+t y = 2 z = t 
 X= 1+t y = -2 z = t 
Respondido em 07/05/2020 22:34:55 
 
 
Explicação: 
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t 
 y=-2 
 z=t 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 X= -2+t y = -t z = 1+t 
 X= -2+t y = t z = 1+t 
 X= -2-t y = t z = 1+t 
 X= -2+t y = t z = -1+t 
 X= 2+t y = t z = 1+t 
Respondido em 07/05/2020 22:35:04 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1) 
Daí, as equações paramétricas da reta serão: x=-2+t , y=t , z=1+t. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (4,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 x=4+2t y=-2 z=t 
 x=4+t y=-2 z=t 
 x=4+t y=-2t z=t 
 x=4-t y=-2 z=t 
 x=4+t y=-2 z=2t 
Respondido em 07/05/2020 22:35:12 
 
 
Explicação: 
Uma reta que passa pelo ponto A = (xa , ya, za) e tem a direção do vetor B = (xb , yb, 
zb) terá as seguintes equações paramétricas: 
x = xa + txb; y = ya + tyb; z = za + tzb 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (2,2, 2 ) 
 
 x= 5+2t y=2 z=2+2t 
 x= 5+2t y=2+2t z=2t 
 x= 5 y=2+2t z=2+2t 
 x= 5+2t y=2+2t z=2+2t 
 x= 5+2t y=2+2t z=2 
Respondido em 07/05/2020 22:35:18 
 
 
Explicação: 
Temos : 
(x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2) => x=5+2t , y=2+2t e z=2t 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a 
direção do vetor v=(-4,-1,3). 
 
 x=-4+2t 
y=-1 
z=3+5t 
 x=2t 
y=-3t 
z=5t 
 x=-4+t 
y=-2-t 
z=3-5t 
 x=2-4t 
y=-t 
z=5+3t 
 x=t 
y=2y 
z=5+3t 
Respondido em 07/05/2020 22:35:30 
 
 
Explicação: 
Temos que as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a 
direção do vetor v=(x",y",z") basta substituir os valores para obtermos: x=2-4t 
 y=-t 
 z=5+3t 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (0, 0, 1 ) 
 
 x= 5 y=-2+t z=t 
 x= 5 y=-2 z=t 
 x= 5 y=-2 z=1 
 x= 5 - t y=-2 z=t 
 x= 5 y=-2+ t z=t 
Respondido em 07/05/2020 22:35:25 
 
 
Explicação: Substituir cada pontoe cada componente do vetor nos seus respectivos lugar 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
5a aula 
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Exercício: CCE0643_EX_A5__V2 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Obter a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P (2,-3) e tem 
direção do vetor v = (5,4). 
 
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javascript:abre_frame('2','5','','','314441481');
javascript:abre_frame('2','5','','','314441481');
javascript:abre_frame('3','5','','','314441481');
javascript:abre_frame('3','5','','','314441481');
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:abre_frame('1','5','','','314441481');
javascript:abre_frame('2','5','','','314441481');
javascript:abre_frame('3','5','','','314441481');
 Resp.: x = 2 + t e y = -3 + t 
 Resp.: x = 5t e y = 2 + 4t 
 Resp.: x = 2 + 5t e y = -3 + 4t 
 Resp.: x = 2 + 5t e y = 4 - 3t 
 Resp.: x = 5 + 2t e y = -3 + 4t 
Respondido em 07/05/2020 22:35:51 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 1, 1 ) 
 
 x =5 y= -2+t z=t 
 x =5+t y= -2+t z=t 
 x =5+t y= t z=t 
 x =5+t y= -2+t z=2t 
 x =5+t y= -2 z=t 
Respondido em 07/05/2020 22:36:00 
 
 
Explicação: 
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. 
Temos que: 
(x,y,z) = (5,-2,0) + t(1,1,1) => x=5+t , y=-2+t e z=t. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Os pontos a(a,2) e B(0,b) pertencem a reta (r): 2x+y-6=0. Qual a distÂncia entre os 
pontos A e B? 
 
 2V5 
 V5 
 8V5 
 4V5 
 3V5 
Respondido em 07/05/2020 22:36:08 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 ->a=2 -> A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 -> B(0,6) 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4 + 16 = V20 = 2V5 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 X= -1+t y = t z = -1+t 
 X= -1+t y = t z = 1+t 
 X= -1+t y = t z = 1-t 
 X= -1+t y = -t z = 1+t 
 X= 1+t y = t z = 1+t 
Respondido em 07/05/2020 22:36:17 
 
 
Explicação: 
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e z=1+t 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Determinar o valor de m para que as retas r: y=mx-5 e s: x=-2+t sejam 
ortogonais. 
 z=-3x y=4-2t 
 z=5t 
 
 7/2 
 13/2 
 -11/2 
 -15/2 
 -9/2 
Respondido em 07/05/2020 22:36:25 
 
 
Explicação: 
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente U=(1,m,-3) e v=(1,-2,5). 
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v= 0, daí: 
(1,m,-3).(1,-2,5)=0 => 1-2m-15=0 => m=-15/2 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 -70x + 19y + 123 = 0 
 
 -69x + 20y + 123 = 0 
 
 -69x + 21y - 122 = 0 
 -68x + 19y + 122 = 0 
 
 70x - 21y - 124 = 0 
 
Respondido em 07/05/2020 22:36:33 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos 
dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 
incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 Sabe-se que o módulo do vetor VAB mede 4 unidades de cumprimento, sendo A = (1, 2) e B 
= (-2, k). Nessas condições é correto afirmar que o valor de k é: 
 
 1 ou 3 
 0 ou 3 
 -1 ou -2 
 2 
 -2 ou 3 
Respondido em 07/05/2020 22:36:41 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0) 
 
 3 
 5 
 2 
 4 
 √3 
Respondido em 07/05/2020 22:36:34 
 
 
Explicação: 
 
√3 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
6a aula 
 Lupa 
 
 
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Exercício: CCE0643_EX_A6__V1 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
javascript:abre_frame('1','6','','','314441523');
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javascript:abre_frame('2','6','','','314441523');
javascript:abre_frame('2','6','','','314441523');
javascript:abre_frame('3','6','','','314441523');
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javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:abre_frame('1','6','','','314441523');
javascript:abre_frame('2','6','','','314441523');
javascript:abre_frame('3','6','','','314441523');
 
 
 Qual a equação do plano pi que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) como 
vetor normal. 
 
 
 2x+y-3z-8=0 
 2x-y+3z-8=0 
 3x+2y-4z-8=0 
 2x-y+3z+8=0 
 3x+2y-4z+8=0 
Respondido em 07/05/2020 22:37:07 
 
 
Explicação: Determinar a equação geral do plano usando um ponto e o vetor normal. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor (-
1,-2,-6) ? 
 
 
 -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 -x + 2 y + 6 z - 35 = 0 
 -x - 2 y - 6 z+ 35 = 0 
 -x +2 y - 6 z - 35 = 0 
 -x - 2 y + 6 z - 35 = 0 
Respondido em 07/05/2020 22:37:16 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 A equação do plano que contém os pontos A(0,1,2 ) B( 1,-1,4) e C(2,2,2) está na opção 
 
 -2x + 2y + 5z -12 = 0 
 x + y + 2z - 1 =0 
 2x + 2j + 2k =0 
 3x + 7y - 5z -4 =0 
 2x + 8y =2 
Respondido em 07/05/2020 22:37:24 
 
 
Explicação: 
produto vetorial de dois vetores quaisquer de um plano determina um vetor normal a 
esse plano. Depois substituir um dos pontos para achar a variavel independente desse 
plano. 
LEMBRAR: o vetor v = (a,b,c) é ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Qual é a equação do plano que contém o ponto A (0, 1, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) 
 
 
 x - 2 y - 6 z -2 = 0 
 -x - 2 y + 6 z +2 = 0 
 x - 2 y - 6 z +2 = 0 
 -x - 2 y - 6 z +2 = 0 
 -x - 2 y - 6 z -2 = 0 
Respondido em 07/05/2020 22:37:34 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (0)+ 2 (1) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z+2 = 0 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 O produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 ) é igual a: 
 
 0 
 48 
 32 
 34 
 -28 
Respondido em 07/05/2020 22:37:25 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e 
B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto 
onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao plano 
2:x3=0. 
 
 
x=310 
 
x=103 
 
x=35 
 
x=710 
 
x=3 
Respondido em 07/05/2020 22:37:34 
 
 
Explicação: 
Plano paralelo a 2: x + k = 0 
Reta AB 
x = y = z = t 
Interseção da reta AB com 1: 2t+5t+3t+3 = 0 -> 10t = -3 -> t = -0,3 
x - 0,3 = 0 -> x = 3/10 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 O Módulo do vetor VAB, sendo A = (-1, 3) e B = (1; 3) é: 
 
 2 
 3,52 
 2,83 
 4 
 0 
Respondido em 07/05/2020 22:37:59 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 Considere o vetor u = (0,4,3). O módulo de tal vetor é igual a: 
 
 1 
 3 
 4 
 2 
 5 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
6a aula 
 Lupa 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A6__V2 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 9 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 2x + 5y - 
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javascript:abre_frame('2','6','','','314441523');
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10z - 20 = 0. Podemos afirmar que: 
 
 P( 5, 0, 0 ) 
 P( 0, 4, 0 ) 
 P( 10, 0, 0 ) 
 P( 0, 0, 2 ) 
 P( 0, 0, -2 ) 
Respondido em 07/05/2020 22:38:21 
 
 
Explicação: 
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-
20=0 -> x = 10 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
O ângulo formado entre os planos π1:2x−y+z−1=0 
 e π2:x+z+3=0 
mede: 
 
 60° 
 30° 
 45° 
 90° 
 180° 
Respondido em 07/05/2020 22:38:15 
 
 
Explicação: 
Temos que: π1:2x−y+z−1=0 e π2:x+z+3=0 
Então:π1=(2,-1,1) 
 π2=(1,0,1) . Daí: π1.π2 = 2+1=3 
!π1! = V2²+(-1)²+1² = V6 
!π2! = V1²+0²+1¹ = V2 
Daí: cos A = 3 / V6.V2 = 3 / V12 = 3 / 2V3 = 3V3 / 6 = V3 / 2 => A=30° 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, 0) e é 
ortogonal 
ao (-1,-2,-6) ? 
 
 x - 2 y - 6 z +11 = 0 
 -x + 2 y - 6 z - 11 = 0 
 -x - 2 y - 6 z + 11 = 0 
 -x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
 x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
Respondido em 07/05/2020 22:38:24 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z-11 = 0 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor 
normal ao plano é: 
 
 2x - y + 3z + 2 = 0 
 2x - y + 3z - 2 = 0 
 3x + y + 2z + 2 = 0 
 3x - y + 2z + 2 = 0 
 2x - y + 3z - 6 = 0 
Respondido em 07/05/2020 22:38:49 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k? 
 
 0 
 1 
 3 
 -1 
Respondido em 07/05/2020 22:38:40 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Determinar o vetor x que satisfaz as seguintes condições: x (esc) (3i+2j)=6 e x (vet) 
(2i+3k)=2i. Seja x=x1i+x2j+x3k. 
 
 x1=3, x2=-7/2 e x3=0 
 x1=1, x2=3 e x3=-7/2 
 x1=0, x2=3 e x3=-7/2 
 x1=0, x2=-3 e x3=7/2 
 x1=-7/2, x2=0 e x3=3 
Respondido em 07/05/2020 22:38:46 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 Encontre a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(-1,0,1), B(2,-2,1) e C(0,1,-
2). 
 
 6x+9y+5z+1=0 
 6x-9y-z+2=0 
 5x+6y+9z+1=0 
 6x+2y+5z+3=0 
 9x+6y+5z=0 
Respondido em 07/05/2020 22:38:55 
 
 
Explicação: 
O vetor determinado pelos pontos A(-1,0,1), B(2,-2,1) e C(0,1,-2) será o mesmo 
determinado pelos vetores AP, AB e AC, onde P = (x,y,z) é ponto qualquer do plano, 
logo 
∣∣ ∣∣x+1yz−13−2011−3∣∣ ∣∣=0 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, 0) e é ortogonal ao (1,-2,-6) ? 
 
 
 -x - 2 y - 6 z - 5 = 0 
 x - 2 y - 6 z + 5 = 0 
 x - 2 y + 6 z - 5 = 0 
 x - 2 y - 6 z - 5 = 0 
 x - 2 y + 6 z - 5 = 0 
Respondido em 07/05/2020 22:39:20 
 
 
Explicação: 
1x - 2y - 5z - [+ 1 (3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> x-2y-6z+5 = 0 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
7a aula 
 Lupa 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A7__V1 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 2 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 
 Seja (x−1)²+(y−3)²=18 
a equação reduzida de uma circunferência. A razão entre a área desta circunferência e a área do quadrado inscrito nesta circunferência, nesta ordem, é: 
 
 (D) 3π/2 
 (C) 2π/3 
 (E) 3π 
 (A) π 
 (B) π/2 
Respondido em 07/05/2020 22:39:42 
 
 
Explicação: 
Da equação temos que r²=18 
, a área da circunferência é: A=πr² = 18π 
. 
Quadrado circunscrito, por Pitágoras: (2r)²=x²+x² 
, portanto, x=6, logo a área do quadrado é 36. A razão será igual a: 18π/36 = π 
/2. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela equação geral x² + y² - 2x - 
8y + 12 = 0. 
 
 o centro é (1, 4) e o raio é √5. 
 o centro é (1, 5) e o raio é 2. 
 o centro é (5, 1) e o raio é 2. 
 o centro é (5, 4) e o raio é 1. 
 o centro é (4, 1) e o raio é √5. 
Respondido em 07/05/2020 22:39:51 
 
 
Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos 
C = (-A/2; -B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Num dado sistema cartesiano os pontos A(0,5), B (3,-2) e C(-3,-2) definem uma região 
geométrica. Podemos afirmar que a figura tem o formato de: 
 
 Um triângulo escaleno reto 
 Um triângulo escaleno 
 Um triângulo retângulo 
 Um triângulo equilátero 
 Um triângulo isósceles 
Respondido em 07/05/2020 22:39:46 
 
 
Explicação: 
Vetores no plano - distância entre pontos no plano. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Dados os vetores u = ( 1,2,3) e v = (m-3, 2,-3), podemos afirmar que 
o valor de m para que o produto escalar u.v seja igual a zero , é: 
 
 6 
 7 
 8 
 4 
 5 
Respondido em 07/05/2020 22:39:52 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de 
coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos 
principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, 
representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. 
Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é 
representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi 
para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas 
cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo 
representa, respectivamente os vetores AB e BC? 
 
 AB = 3i + 2j e BC = 1i + 1j 
 AB = 3i + 2j e BC = 1i - 1j 
 AB = 3i + 2j e BC = 4i + 3j 
 AB = 3i - 2j e BC = 1i + 1j 
 AB = 3i - 2j e BC = 4i - 3j 
Respondido em 07/05/2020 22:40:16 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a: 
 
 2 
 4 
 1 
 3 
 0 
Respondido em 07/05/2020 22:40:28 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 Determine o lugar geométricodos pontos P(x,y) do plano dos quais as tangentes traçadas 
do ponto à circunferência (x-3)2 + (y-2)2 =16 têm comprimento 3. 
 
 uma elipse de centro na origem 
 um par de retas concorrentes. 
 uma parábola de vértice (3,2) 
 uma circunferência de raio 5 
 umpar de retas paralelas 
Respondido em 07/05/2020 22:40:21 
 
 
Explicação: 
O raio da circunferência dada e a tangente formaram um triangulo retangulo de 
catetos 3 e 4, e a distancia dos pontos ao centro da circunferencia será a hipotenusa 
desse triangulo 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2)? 
 
 (x−3)2+(y−4)2=5 
 (x−4)2+(y−3)2=5 
 (x−4)2+(y−3)2=sqrt5 
 (x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5 
 (x−3)2+(y−4)2=sqrt5 
Respondido em 07/05/2020 22:40:55 
 
 
Explicação: 
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
7a aula 
 Lupa 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A7__V2 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
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Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o módulo 
compreendido entre: 
 
 21 cm e 26 cm 
 14 cm e 30 cm 
 5 cm e 20 cm 
 25 cm e 40 cm 
 8 cm e 22 cm 
Respondido em 07/05/2020 22:41:29 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 O centro e o raio da circunferência dada pela equação x² + y² - 8x - 6y + 9 = 0 são 
respectivamente: 
 
 Centro C(4,3) e raio 16 
 Centro C(-4, -3) e raio 3 
 Centro C(-4, -3) e raio 4 
 Centro C(4,3) e raio 3 
 Centro C(4,3) e raio 4 
Respondido em 07/05/2020 22:41:39 
 
 
Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos 
C = (-A/2; -B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Encontre o centro e o raio da circunferência cuja equação é: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 20. 
 
 r = 4 e C(2,4) 
 r = 3 e C(0,1) 
 r = 4 e C(-2,-4) 
 r = 4 e C(-1, -2) 
 r = 5 e C(1,2) 
Respondido em 07/05/2020 22:41:48 
 
 
Explicação: 
Da expressão dada, completa-se o quadrado : (x−1)²−1+(y−2)²−4=20 
 (x−1)²+(y−2)²=25 
Logo, da expressão acima, teremos: 
C(1,2);r=5 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Na elaboração de um projeto, alunos de engenharia construíram um diagrama de forças que atuam sobre o objeto em análise. Os alunos 
identificaram a atuação de cinco forças distintas, representadas vetorialmente por 𝐹1 = (√2, −√2), 𝐹2 = (−√3, √3), 𝐹3 = (0 , 3), 𝐹4 = (2, −√3) e 
𝐹5 = (1, −2). O vetor com maior intensidade é: 
 
 
F3 
 
F4 
 F1 
 
F5 
 
F2 
Respondido em 07/05/2020 22:41:57 
 
 
Explicação: 
F3 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que u e v sejam 
perpendiculares. 
 
 4,5 
 4 
 2,5 
 3 
 3,5 
Respondido em 07/05/2020 22:41:47 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Identifique o centro e o raio do círculo representada pela equação geral x² + y² - 8x - 
4y + 11 = 0. 
 
 o centro é (4, 2) e o raio é 3. 
 o centro é (4, 3) e o raio é 2. 
 o centro é (4, 2) e o raio é 2. 
 o centro é (3, 2) e o raio é 4. 
 o centro é (4, 3) e o raio é 3. 
Respondido em 07/05/2020 22:42:12 
 
 
Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos 
C = (-A/2; -B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos afirmar que o comprimento da 
mediana AM é: 
 
 
 
 AM=2√ 2 
 
AM=2 
 AM=3√ 2 
 AM=2√ 3 
 AM=√ 2 
Respondido em 07/05/2020 22:42:03 
 
 
Explicação: 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do 
lado BC. Podemos afirmar que o comprimento da mediana AM é: 
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4) 
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2) 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de 
coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos 
principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, 
representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. 
Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é 
representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi 
para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas 
cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo 
representa, respectivamente os vetores AB e BC? 
 
 AB = 3i + 2j e BC = 1i - 1j 
 AB = 3i + 2j e BC = 1i + 1j 
 AB = 3i + 2j e BC = 4i + 3j 
 AB = 3i - 2j e BC = 1i + 1j 
 AB = 3i - 2j e BC = 4i - 3j 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
 
 
 
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8a aula 
 Lupa 
 
Vídeo PPT MP3 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A8__V1 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 2 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -
2, 0). 
 
 (-2, 1, 1) 
 (1, -4, 2) 
 (-1, 2, 1) 
 (-1, 3, 1) 
 (1, 3, -1) 
Respondido em 07/05/2020 22:42:41 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: 
 
 O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o 
sentido de qualquer um dos seus representantes. 
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
 O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w 
⃗. 
 O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-
retas de origens diferentes. 
 Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. 
 Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário. 
Respondido em 07/05/2020 22:42:49 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e 
d: x= -2 
 
 x = y
2
 / 4 
 x = y
2
 / 16 
 x = y
2
 / 8 
 x = y
2
 / 2 
 x = y
2
 / 32 
Respondido em 07/05/2020 22:42:53 
 
 
Explicação: 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0 
 
 x = y
2
 + 3y + 4 
 x = 4 
 x = y
2
 
 x = y 
 x = (-y
2
 + 4y + 3) / 2 
Respondido em 07/05/2020 22:42:45 
 
 
Explicação: 
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos 
pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, 
temos d(X,F)=d(X,P) 
= 
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, 
obtemos: 
x
2
-6x+9+y
2
-4y+4=x
2
-8x+16 
ou seja, 2x=3-y
2
+4y de onde x= 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2 
 
 (13,9) 
 (13/2, -9) 
 (13/2, 8) 
 (13, -9) 
 (13/2, -8) 
Respondido em 07/05/2020 22:43:07 
 
 
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice 
em . 
 
 y = 4x² 
 y = -x
2
 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54 
 y = -x
2
 / 6 + 4x / 9 
 y = -x
2
 / 6 
 y = -x
2
 / 6 - 97 / 54 
Respondido em 07/05/2020 22:43:15 
 
 
Explicação: 
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
8a aula 
 Lupa 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
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Exercício: CCE0643_EX_A8__V2 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice 
em. 
 
 y = -x
2
 / 6 + 4x / 9 
 y = -x
2
 / 6 
 y = -x
2
 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54 
 y = 4x² 
 y = -x
2
 / 6 - 97 / 54 
Respondido em 07/05/2020 22:48:02 
 
 
Explicação: 
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: 
 
 O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w 
⃗. 
 Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário. 
 Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. 
 O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-
retas de origens diferentes. 
 O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o 
sentido de qualquer um dos seus representantes. 
Respondido em 07/05/2020 22:47:58 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e 
d: x= -2 
 
 x = y
2
 / 2 
 x = y
2
 / 8 
 x = y
2
 / 16 
 x = y
2
 / 4 
 x = y
2
 / 32 
Respondido em 07/05/2020 22:48:19 
 
 
Explicação: 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0 
 
 x = y
2
 
 x = 4 
 x = (-y
2
 + 4y + 3) / 2 
 x = y 
 x = y
2
 + 3y + 4 
Respondido em 07/05/2020 22:48:11 
 
 
Explicação: 
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos 
pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, 
temos d(X,F)=d(X,P) 
= 
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, 
obtemos: 
x
2
-6x+9+y
2
-4y+4=x
2
-8x+16 
ou seja, 2x=3-y
2
+4y de onde x= 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2 
 
 (13/2, 8) 
 (13, -9) 
 (13,9) 
 (13/2, -9) 
 (13/2, -8) 
Respondido em 07/05/2020 22:48:38 
 
 
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 
0). 
 
 (-1, 3, 1) 
 (-1, 2, 1) 
 (1, -4, 2) 
 
(-2, 1, 1) 
 (1, 3, -1) 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
9a aula 
 Lupa 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A9__V1 07/05/2020 
Aluno(a): 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 
 Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é 6 e seu centro tem coordenadas C(-
2,0), a equação reduzida desta circunferência é: 
 
 (D) (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 36 
 (A) (x - 2)^2 = 3 
 (C) (x + 2)^2 + y^2 = 3 
 (E) (x + 2)^2 + y^2 = 36 
 (B) (x + 2)^2 + y^2 = 9 
Respondido em 07/05/2020 22:43:21 
 
 
Explicação: 
Sendo o diâmetro 6, então r =3 Tendo-se C(-2, 0) e r = 3, a equação será: (x - (- 
2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 = (x + 2)^2 + y^2 = 9 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 (ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa 
correta. 
 
 A medida do seu eixo maior é 25. 
 A medida do seu eixo menor é 9. 
 Seu centro é (−2,1). 
 Sua excentricidade é 0,8. 
 A distância focal é 4. 
Respondido em 07/05/2020 22:43:43 
 
 
Explicação: 
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0 
9x² - 36x + 25y² + 50y − 164 = 0 
9(x² - 4x) + 25(y² + 2y) − 164 = 0 
9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) − 164 - 9.4 - 25.1= 0 
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 164+36+25 
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225 
[(x - 2)²] / 25 + [(y + 1)²] / 9 = 1 
a² = 25 -> a = 5 
b² = 9 -> b = 3 
c² = 25 - 9 
c = 4 
e = c/ a = 4/ 5 = 0,8 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é 24. Determine a 
distância focal dessa elipse. 
 
 11 
 12/13 
 22 
 13/12 
 10 
Respondido em 07/05/2020 22:43:40 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa 
pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, respectivamente, 
 
 
√ 3 2 
 e 12 
 
2√ 3 
 e √ 3 2 
 3 e 1/2 
 
1/2 e √ 3 
 √ 3 
 e √ 3 2 
Respondido em 07/05/2020 22:43:48 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Determine os valores de p para que o ponto P(3,p) pertença à circunferência de 
equação x²+y²=18. 
 
 2 e -3 
 -1 e 9 
 +/- 1 
 +/- 9 
 +/- 3 
Respondido em 07/05/2020 22:43:59 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 3²+p²=18 -> 9+p²=18 -> p=+/- 3 
Logo; P(3,3) ou P(3,-3) 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0. 
 
 (3,4) e 6 
 (3,-1) e 5 
 (-1,3) e 5 
 (2,-3) e 4 
 (3,-2) e 4 
Respondido em 07/05/2020 22:44:22 
 
 
Explicação: 
Temos que: -2a=-4 -> a=2 
 -2b=6 -> b=-3 , daí: o centro é O(2,-3) 
a²+b²-r²=-3 -> 2²+(-3)² - r²= -3 -> 4+9-r²=-3 -> -r²=-16 -> r=4 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
Determine o valor de a, sabendo que os vetores →u=2→i+3→j+4→k 
e → v=→i −3→j+ a→k 
são ortogonais 
 
 2 
 7/4 
 1 
 2/4 
 5 
Respondido em 07/05/2020 22:44:16 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 
Chama-se Produto Escalar de dois vetores →u 
= x1→i + y1→j+ z1→k e →v = x2→i + y2→j+ z2→k denotado por →u.→v 
: 
 
 ao número real k, dado por: k = x+1x−1 
= y+1y−1= z+1z−1 
 ao número real k, dado por : k = x1x2 + 
y1y2 + z1z2 
 ao número real k dado por k = 
√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 
 ao vetor →w 
 dado por →w = (x1 + x2)→i + (y1 + y2 )→j + (z1 + z2)→k 
 ao vetor →w 
 dado por →w = x1x2→i + y1y2 →j + z1z2 →k 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
9a aula 
 Lupa 
 
 
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PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A9__V2 07/05/2020 
Aluno(a): 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Sabendo que a distância focal de uma elipse é 16 e o eixo menor é igual a 12, qual o 
comprimento do eixo maior? 
 
 20 
 18 
 10 
 12 
 16 
Respondido em 07/05/2020 22:46:39 
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Explicação: 
a² = b² + c² 
a² = 16² + 12² 
a = 20 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Dada a equação de uma Elipse a seguir 
25x
2
 + 16y
2
 + 288y + 896 = 0 
As medidas dos seus eixos Maior e Menor são , respectivamente: 
 
 
 25 e 16 
 20 e 10 
 10 e 8 
 20 e 16 
 49 e 25 
Respondido em 07/05/2020 22:46:45 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) 
pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a: 
 
 NRA 
 -15 
 -9 
 15 
 9 
Respondido em 07/05/2020 22:46:51 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
 
 80° 
 60° 
 30° 
 45° 
 90° 
Respondido em 07/05/2020 22:47:00 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que 
o triângulo PQR seja retângulo em P. 
 
 7 
 6 
 1 
 5 
 3 
Respondido em 07/05/202022:46:50 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 (IFB - 2017). Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos 
eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos 
da elipse. 
 
 (13, 0) e ( -13, 0) 
 (0, 12) e (0, - 12) 
 (12, 0) e (-12, 0) 
 (5, 0) e (-5, 0) 
 (0, 13) e (0, -13) 
Respondido em 07/05/2020 22:47:14 
 
 
Explicação: 
De acordo com os dados, o eixo maior fica no eixo y, onde a = 13 e b = 5, logo 
c² = 13² - 5² -> c = 12 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 Calcule a área da região delimitada pela circunferência x
2
 + y
2
 + 6x - 8y + 7 = 
0. 
 
 s.r 
 16 pi 
 8 pi 
 18 pi 
 12 pi 
Respondido em 07/05/2020 22:47:23 
 
 
Explicação: 
Devemos determinar o raio da circunferência para podermos definir sua área. 
Temos então, utilizando as relações que envolvem a fórmula geral da 
circunferência: 
-2a=6 -> a=-3 
-2b=-8 -> b=4 
a²+b²-r²=7 -> (-3)²+4²-r²=7 -> 9+16-r²=7 -> r²=18. 
Logo, a área da circunferência será: S= pi r² -> S=18pi 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa 
pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, respectivamente, 
 
 3 e 1/2 
 
1/2 e √ 3 
 √ 3 
 e √ 3 2 
 
√ 3 2 
 e 12 
 
2√ 3 
 e √ 3 2 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
10a aula 
 Lupa 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A10__V1 07/05/2020 
Aluno(a): 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) 
 
 20 
 5x (2)
1/2 
 10 x (2) 
1/2 
 10 
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 20 x(2)
1/2 
Respondido em 07/05/2020 22:44:59 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de 
equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e 
à reta r são iguais ? 
 
 Uma circunferência de equação x2+y2 =3 
 Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5 
 Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3 
 Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5 
 Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3 
Respondido em 07/05/2020 22:45:06 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ? 
 
 17 unidades de volume 
 15 unidades de volume 
 13 unidades de volume 
 16 unidades de volume 
 14 unidades de volume 
Respondido em 07/05/2020 22:44:56 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: 
A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2). 
 
 -9x-8y+z+7=0 
 -9x-3y+z+9=0 
 -9x-3y+z+=0 
 -9x-3y+z+7=0 
 -5x-3y+z+7=0 
Respondido em 07/05/2020 22:45:05 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Dada à hipérbole de equação 5x
2
 - 4y
2
- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da 
hipérbole. 
 
 (-2,-1) 
 (2, -1) 
 (-2,1) 
 (2,1) 
 (1,2) 
Respondido em 07/05/2020 22:45:12 
 
 
Explicação: 
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x
2
 - 4x + 4 - 4] - 4[y
2
 + 
2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)
2
 - 4(y + 1)
2
 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 
passamos a ter: (x - 2)
2
 / 4 + (y + 1)
2
 / 5 = 1. Então o centro é C(2, - 1) 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um 
ponto fixo e a uma reta fixa são iguais. 
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados: 
 
 foco e diretriz 
 centro e diretriz 
 centro e eixo 
 vértice e eixo 
 foco e eixo 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
10a aula 
 Lupa 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE0643_EX_A10__V2 07/05/2020 
Aluno(a): RÉGIS 2020.1 EAD 
Disciplina: CCE0643 - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 
 Dada à hipérbole de equação 5x
2
 - 4y
2
- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da 
hipérbole. 
 
 (2,1) 
 (-2,1) 
 (-2,-1) 
 (1,2) 
 (2, -1) 
Respondido em 07/05/2020 22:45:58 
 
 
Explicação: 
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x
2
 - 4x + 4 - 4] - 4[y
2
 + 
2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)
2
 - 4(y + 1)
2
 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 
passamos a ter: (x - 2)
2
 / 4 + (y + 1)
2
 / 5 = 1. Então o centro é C(2, - 1) 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: 
A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2). 
 
 -5x-3y+z+7=0 
 -9x-8y+z+7=0 
 -9x-3y+z+=0 
 -9x-3y+z+7=0 
 -9x-3y+z+9=0 
Respondido em 07/05/2020 22:45:50 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ? 
 
 16 unidades de volume 
 14 unidades de volume 
 13 unidades de volume 
 17 unidades de volume 
 15 unidades de volume 
Respondido em 07/05/2020 22:46:07 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de 
equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e 
à reta r são iguais ? 
 
 Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5 
 Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3 
 Uma circunferência de equação x2+y2 =3 
 Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3 
 Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5 
Respondido em 07/05/2020 22:46:14 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) 
 
 10 
 20 x(2)
1/2 
 10 x (2) 
1/2 
 20 
 5x (2)
1/2 
Respondido em 07/05/2020 22:46:16 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um 
ponto fixo e a uma reta fixa são iguais. 
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados: 
 
 centro e diretriz 
 vértice e eixo 
 foco e eixo 
 centro e eixo 
 foco e diretriz 
 
AVALIAÇÕES PARCIAIS 
 
Disc.: CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Aluno(a): 
 
Acertos: 8,0 de 9,0 07/05/2020 
 
 
1
a
 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam 
paralelos 
 
 -1 
 0 
 2 
 1 
 3 
Respondido em 07/05/2020 23:23:23 
 
 
2
a
 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , 
sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 -4 
 2 
 -3 
 3 
 4 
Respondido em 07/05/2020 23:31:22 
 
 
3
a
 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10). 
 
 x=7, y=5 
 x=1, y=2 
 x=2, y=1 
 x=3, y=3 
 x=5, y=7 
Respondido em 07/05/2020 23:25:14 
 
 
4
a
 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Sendo u = (5;3) e v = (2;4), o valor do produto interno usual ou 
produto escalar entre u e v é: 
 
 u . v = 34