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Funções de Transferência Em teoria de controle, funções chamada funções de transferência são comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A função de transferência de um sistema de equação diferenciais lineares é definida como a relação da transformada de Laplace da saída para a transformada de Laplace da entrada. Consideramos o sistema definido pela seguinte equação diferencial: a d y dt a d y dt a dy dt a y b d x dt b d x dt b dx dt b xn n n n n n m m m m m m+ + + + = + + + +− − − − − −1 1 1 1 0 1 1 1 1 0... ... Onde y é saída do sistema e x é a entrada e n ≥ m. A função de transferência do sistema é obtida tomando-se a transformada de Laplace de ambos os membros da equação. função de transferência ( )G s saída entrada = LL [ ] [ ] condições iniciais nulas. G s Y s X s b s b s b s b a s a s a s a b s a s m m m m n n n n i i i m i i i n( ) ( ) ( ) ... ... = = + + + ++ + + + = − − − − = = ∑ ∑ 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 Usando o conceito de função de transferência, é possível representar a dinâmica do sistema pelas equações algébricas em "s". A aplicabilidade do conceito da função de transferência é limitada aos sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no tempo. Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 29 FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIAS DE SISTEMAS DINÂMICOS Suponha a seguinte equação diferencial de 1a ordem : V C dT dt wC T T Qiρ = − +( ) Se o processo está inicialmente no estado estacionário, portanto: ( ) ( ) ( ) T T T T Q Q i i i 0 0 0 = = = A saída T está relacionada às entradas Ti e Q pelo balanço de energia no estado-estacionário. 0 = − +wC T T Qi( ) Para eliminar a dependência do modelo das condições estacionárias, subtrai-se a relação no estado-estacionário da equação diferencial do modelo. [ ] ( )V C dTdt wC T T T T Q Qi iρ = − − − + −( ) ( ) [ ] ( )Vw d T Tdt T T T T wC Q Qi iρ ( ) ( ) ( )− = − − − + −1 fazendo ′= − ′ = − ′ = −T T T T T T e Q Q Qi i i , temos: [ ]Vw dTdt T T wC Qiρ ′ = ′− ′ + ′1 Substituindo : τ ρ= =V w e K wC 1 temos: [ ]τ dTdt T T KQi′ = ′− ′ + ′ Aplicando Laplace: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )τ sT s T T s T s KQ si' ' ' ' '+ = − +0 Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 30 Como T'(0) = 0 então: ( ) ( ) ( ) ( )τ sT s T s T s KQ si' ' ' '= − + ( ) ( ) ( ) ( )τs T s T s KQ si+ = +1 ' ' ' ( ) ( ) ( )T s s T s K s Q si' ' '= + + + 1 1 1τ τ Portanto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T s G s T s G s Q si' ' '= +1 2 Onde: ( )G s s1 1 1 = +τ ( )G s K s2 1 = +τ COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 1- É um modelo matemático expresso através de uma equação diferencial que relaciona a saída com a entrada. 2- Independe da magnitude e da natureza da entrada . 3- Inclui as unidades das entradas e saídas. 4- Não fornece informações sobre a estrutura física do sistema. 5- Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-se entradas conhecidas e analisando as saídas. Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 31 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA GANHO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A variação da saída no estado-estacionário é calculado diretamente, fazendo S = O. Em G(s) dá o ganho no estado-estacionário do processo, se ele existe. O ganho no estado-estacionário é a razão entre a variação da saída com a variação da entrada. K y y x x b a = −− = 2 1 2 1 0 0 Onde : 1 e 2 indicam diferentes estados-estacionários ( )y e x . ORDEM DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A ordem da função de transferência é a maior potência de "s" no denominador do polinômio que é a ordem da equação diferencial equivalente. O sistema é chamado de n-ésima ordem. CONSTANTE DE TEMPO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Se ambos o numerador e denominador forem divididos por ao polinômio característico (denominador) pode ser fatorado na forma de produto ( )τ i si +∏ 1 . O termo em "s" é chamado constante de tempo (τi) que dá uma informação da velocidade e das características da resposta do sistema. REALIZAÇÃO FÍSICA Dado um sistema descrito por G s b s b s b s b a s a s a s a m m m m n n n n( ) ... ... = + + + ++ + + + − − − − − 1 1 1 0 1 1 1 1 0 é fisicamente possível se n m≥ . Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 32 PÓLOS E ZEROS Dada a função de transferência: G s b s b s b s b a s a s a s a m m m m n n n n( ) ... ... = + + + ++ + + + − − − − − 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Esta expressão pode ser fatorada em ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )G s b a s z s z s z s p s p s p m n m n = ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − − − − − − 1 2 1 2 ... ... onde: zi são os zeros da função de transferência pi são os pólos de função de transferência Os pólos e zeros tem um papel importante na determinação do comportamento dinâmico do sistema. Podemos visualizar o tipo de comportamento dinâmico associado a cada tipo de pólo: • distintos e reais; • pares complexos e conjugados (a ± b j); • múltiplos raízes forma Lugar das raízes Compor tamento 1 pólos reais e negativos p1 = -a1 ( )y t C e a t= −1 1 2 pólos reais e positivos p1 = a1 ( )y t C ea t= 1 1 3 pólos complexos conjugados com parte real negativa p1 = - a + bi p2 = - a - bi ( ) ( )y t e C bt C btat= +− 1 2cos sen 4 pólos imaginários puros p1 = bi p2 = - bi ( )y t C bt C bt= +1 2cos sen 5 pólos complexos conjugados com parte real positiva p1 = a + bi p2 = a - bi ( ) ( )y t e C bt C btat= +1 2cos sen Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 33 PROCESSO Os processos reais consistem na combinação de sistemas básicos elementares. É fundamental para o bom conhecimento desses processos entender o comportamento dos sistemas elementares. SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Sistemas de primeira ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por equações diferenciais de primeira ordem . Modelo a dy dt a y bu1 0+ = Onde: y - Variável saída u - Variável entrada a a dy dt y b a u dy dt y K up p 1 0 0 + = ∴ + =τ Parâmetros de dinâmica τp - constante de tempo Kp - ganho do processo Função de transferência No domínio “s” temos: ( ) ( ) ( ) ( )τ τp p p p sy s y s K u s G s K s + = ∴ = +1 Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 34 Exemplo Um reator de mistura perfeita , com nível constante e reação de primeira ordem. Balanço Material ( )V dCdt F C C KCA A A A+ − + =0 0 ( )V dC dt F K C FCA A A+ + = V F K dC dt C F F K CA A A+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + = + 0 τ dC dt C K CA A p A+ = 0 onde: K F F K e V F Kp = + = +τ No domínio "s" temos : () ( ) ( )τ p A A p AsC s C s K C s+ = 0 ( ) ( )( )G s C s C s Kp s A A p = = + 0 1τ A resposta dinâmica de primeira ordem depende do tipo de entrada Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 35 Resposta ao degrau ( ) ( )( )G s C s C s Kp s A A p = = + 0 1τ (Função de transferência) ( ) ( )C s K s C sA p p A= +τ 1 0 ( )C s M SA0 = (Degrau) ( )C s K s M SA p p = + ⋅τ 1 No domínio t (transformada inversa de Laplace) ( )C t K M eA p t p= −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − 1 τ SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Sistema de segunda ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por equações diferenciais de segunda ordem. Também pode ser composto por duas funções de transferência de 1a ordem em série. Modelo a d y dt a dy dt a y bu a a d y dt a a dy dt y b a u2 2 2 1 0 2 0 2 2 1 0 0 + + = ∴ + + = τ ζτ2 2 2 2 d y dt dy dt y k up+ + = Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 36 se considerarmos ω τn = 1 e multiplicando todos os termos por ωn2 temos: d y dt dy dt y k un n p n 2 2 2 22+ + =ζω ω ω Parâmetros de dinâmicos Kp - Ganho estacionário do processo ξ - Fator de amortecimento τ - Determina a velocidade da resposta ( equivalente à constante de tempo do processo ) ωn - Freqüência natural de oscilação do processo. Função de transferência No domínio "s" temos ( ) ( ) ( ) ( )τ ζ τ2 2 2s y s sy s y s K u sp+ + = ( ) ( )( )G s y s u s K s s p= = + +τ ζτ2 2 2 1 ou ( ) ( ) ( ) ( )s y s sy s y s K u sn n p n2 2 22+ + =ζ ω ω ω ( ) ( )( )G s y s u s K s s p n n n = = + + ω ζω ω 2 2 22 Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 37 Há três formas importantes das funções de transferência de segunda ordem: Form a Faixa do Fator de Amortecimen to característic a de resposta do sistema características dos pólos (raízes) 1 ζ > 1 sobre amortecido pólos reais e distintos 2 ζ = 1 criticamente amortecido pólos reais e iguais 3 0 < ζ < 1 sub amortecido pólos complexos e conjugados O caso mais importante é o sistema sub-amortecido. Há uma série de parâmetros de interesse na resposta do sistema. Freqüência de Oscilação Amortecida ω ω ζ ω ζτd n dou= − = − 1 12 2 Período de Oscilação Amortecida Pd d = 2πω Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 38 Rise Time(tr) - tempo de subida - Tempo onde a resposta alcança o novo estado-estacionário pela 1a vez. É uma medida da velocidade de resposta do sistema ao degrau. tr d = πω2 Time to first peak (tp) - instante para o 1o pico - Tempo em que o sistema atinge o 1o pico. t p d = πω Settling Time - tempo de estabilização - Tempo requerido para que o processo tenha a resposta na banda de 5% do estado- estacionário t s n = 4ζω Overshoot - sobre-sinal - Quantidade máxima na qual a resposta ultrapassa o valor do estado-estacionário. É representado como uma fração do valor em estado-estacionário. O a b es = = − − πζ ζ1 2 Decay-ratio - razão de decaimento - Razão entre as amplitudes de dois picos consecutivos. ( )D c a O er s= = = − −2 2 1 2 πζ ζ Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 39 SISTEMAS COM TEMPO MORTO O tempo morto é uma característica presente em muitos processos, é conhecida como dinâmica de tubulação e a propriedade do sistema de responder a uma entrada após um certo tempo, td. Modelo ( ) ( )y t x t td= − Parâmetros de dinâmica td - Tempo morto Função de transferência ( ) ( )( )Gp s y s x s e t d s= ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − SISTEMA COM RESPOSTA INVERSA A resposta inversa é o resultado de dois efeitos opostos. Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 40 Função de transferência ( ) ( )( )( )G s K s s s ondep a a= + + + < τ τ τ τ 1 1 1 0 1 2 ou ( ) ( ) ( )G s K s K s = + − + 1 1 2 21 1τ τ supondo K1 e K2 positivos, então K1τ2 < K2τ1. PROCESSOS DE INTEGRADORES Processos integradores são aqueles que não estabilizam com o tempo. Um caso típico é um sistema de nível de líquido. Exemplo - Nível de Líquido A dh dt q qi= − fazendo ′ = −q q qi temos: Funções de Transferência Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 41 A dh dt q= ′ No domínio "s" temos ( ) ( )Ash s q s= ′ ( ) ( )h s As q s= ′1 ( ) ( ) h s q s As′ = 1
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