Aula 5 - Oscilações.pdf

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B Mecânica Clássica I
Nesta aula exploraremos a física
e a matemática das oscilações.
Começaremos com o oscilador
harmônico simples e em seguida
passaremos para as oscilações
amortecidas e finalmente as
oscilações forçadas.
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INTRODUÇÃO
Mecânica Clássica IOscilações
Porque estudar as oscilações/oscilador?
A vibração de um cristal de quartzo em
um relógio moderno, o movimento do pêndulo
de um relógio antigo, as vibrações sonoras
produzidas por um clarinete ou pelo tubo de um
órgão, o movimento produzido pelos pistões no
motor de um automóvel são exemplos de
movimentos que se repetem indefinidamente.
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B Mecânica Clássica IOscilações
Trata-se do movimento periódico ou
oscilação, que será discutido nessa aula. O seu
entendimento é essencial para o estudo de
vários tópicos da Física, como por exemplo, as
ondas mecânicas e eletromagnéticas.
Um corpo que executa um movimento
periódico possui sempre uma posição de
equilíbrio estável. Quando ele é deslocado des-
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B Mecânica Clássica IOscilações
ta posição e liberado, surge uma força ou um
torque (restauradora) que o faz retornar para
sua posição de equilíbrio.
Porém quando atinge este ponto, como
acumulou alguma energia cinética, ele
atravessa este ponto e para em algum ponto do
outro lado, sendo novamente puxado para sua
posição de equilíbrio.
Por exemplo, a
força responsável pela
união entre moléculas
diatômicas é
representada na figura.
O estudo dessas
oscilações representa
uma importante técnica
para a compreensão da
estrutura
molecular/atômica dos
materiais.
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LEI DE HOOKE
Mecânica Clássica IOscilações
Como é do nosso conhecimento, uma
massa pressa a uma extremidade de uma mola,
que obedece à lei de Hooke, executa um
movimento oscilatório do tipo harmônico
simples.
A lei de Hooke afirma que a força
exercida por uma mola tem a forma:
,)( kxxFx −=
onde x é o deslocamento da mola a partir do seu
comprimento de equilíbrio e k é um número
positivo chamado de constante da força
(constante elástica da mola).
O fato de k ser positivo significa que o
equilíbrio em x = 0 é estável.
Para:
❑ x = 0 não há força;
❑ x > 0 a força é
negativa;
❑ x < 0 a força é
positiva.
kxxFx −=)(
Se k fosse negativo, a força apontaria para
fora do ponto de origem e o equilíbrio seria
instável, nesse caso, não esperaríamos ter
oscilação.
Um forma exatamente equivalente para
expressar a lei de Hooke é dada pela energia
potencial
Em qualquer um dos casos, a força é uma
força de restauração e o equilíbrio é estável.
2
2
1
)( kxxU =
Vamos analisar o comportamento de U(x)
na vizinhança da posição de equilíbrio.
Como qualquer função pode ser expandida
em uma série de Taylor, temos
Considere um sistema conservativo
unidimensional arbitrário que é especificado pela
coordenada x e tem energia potencial U(x).
Suponha que o sistema tenha um equilíbrio
estável na posição x = xo, a qual podemos
considerar como sendo a origem (x = 0).
...)0´´(
2
1
)0´()0()( 2 +++= xUxUUxU
O primeiro termo é uma constante, que
podemos definir como sendo zero.
Como x = 0 é um ponto de equilíbrio,
U´(0) = 0, e o segundo termo é igual a zero.
Como o equilíbrio é estável, U´´(0) é
positivo!!
Renomeando U´´(0) como k, concluímos
que para pequenos deslocamentos é sempre uma
boa aproximação considerarmos
...)0´´(
2
1
)0´()0()( 2 +++= xUxUUxU
2
2
1
)( kxxU =
kxxFx −=)(
Exemplo 1: Cubo em equilíbrio sobre um cilindro
Um cilindro rígido de borracha de raio r é
mantido fixo tendo seu eixo na horizontal e um
cubo de madeira de massa m e lados 2b está em
equilíbrio sobre o cilindro, com seu centro
verticalmente acima do eixo do cilindro e quatro
dos seus lados paralelos ao eixo.
O cubo não pode deslizar
sobre a borracha do cilindro,
mas ele pode, naturalmente,
pender de um lado para outro,
conforme ilustrado na figura
ao lado.
Exemplo 1: Cubo em equilíbrio sobre um cilindro
Examinando a energia potencial do cubo,
determine se o equilíbrio, para o cubo centrado
acima do cilindro é estável ou instável.
Exemplo 1: Cubo em equilíbrio sobre um cilindro
Mostre que, para pequenos ângulos , a
energia potencial assume a forma da lei de
Hooke U()=(1/2)k2.
Como já discutido em aulas anteriores, as
características principais do movimento de
qualquer sistema unidimensional podem ser
compreendidas a partir de um gráfico de U(x)
versus x.
Para energia potencial da lei de Hooke, esse
gráfico é uma parábola.
Se a massa m tem a energia potencial dessa
forma e tem energia total E > 0, ela está presa e oscila
entre os dois pontos de retorno onde U(x) = E, com
energia cinética zero, e a massa está instantaneamente
em repouso.
Como U(x) é simétrico em torno de x=0, os dois
pontos de retorno são equidistantes em lados opostos à
origem e são tradicionalmente denotados por x = A.
2
2
1
)( kxxU =
UTE +=
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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
Mecânica Clássica IOscilações
O problema do oscilador harmônico
simples (OHS) é importante por duas razões. A
primeira é que muitos problemas envolvendo
vibrações mecânicas com pequenas amplitudes
são reduzidos àquele do OHS, ou a uma
combinação desses osciladores.
A segunda razão é que as equações que
descrevem o comportamento do OHS ocorrem
em diversos problemas físicos de áreas como
acústica, óptica, mecânica, eletricidade (circuitos
elétricos) e mesmo física atômica. O OHS
apresenta características comuns a muitos
sistemas físicos.
Vamos examinar a equação de movimento
para uma massa m que é colocada na posição de
equilíbrio estável.
Considere um carrinho, sobre um trilho sem
atrito, que está preso a uma mola.
Vimos que podemos aproximar a energia
potencial por 𝑈 𝑥 =
1
2
𝑘𝑥2 ou,
equivalentemente, a força 𝐹𝑥 𝑥 = −𝑘𝑥. Logo, a
equação de movimento é:
kxFxm x −==
xx
m
k
x 2−=−=
m
k
=
Essa equação se aplica a muitos sistemas
físicos de coordenadas distintas. Por exemplo, já
vimos em aulas anteriores que para um pêndulo
(ou uma prancha de skate em um hemisfério) cuja
a posição é determinado por um ângulo ,
a equação de movimento, para pequenos ângulos,
é dada por:
 2−=
A equação é uma equação diferencial
linear, homogênea, de segunda ordem e assim
tem duas soluções independentes.
Soluções exponenciais xx 2−=
Essas duas soluções independentes podem ser
escolhidas de várias formas distintas, porém,
talvez, a mais conveniente seja a seguinte:
l
g
=
R
g
=
Pode-se verificar que ambas a funções
satisfazem a ED. Além disso, qualquer constante
multiplicada por qualquer uma das soluções é
também uma solução; a soma de qualquer uma
dessas novas soluções é também uma solução.
Logo, a função
é também uma solução para quaisquer que sejam
as constantes C1 e C2.
Portanto, qualquer solução pode ser
expressa nessa forma com umaescolha
apropriada dos coeficiente C1 e C2.
tietx =)( tietx −=)(
titi eCeCtx  −+= 21)(
As soluções exponenciais são mais
convenientes de serem manipuladas. Entretanto,
essa forma tem uma desvantagem.
Sabemos que x(t) é real, enquanto as duas
soluções exponenciais são complexas. Isso
significa que os coeficientes C1 e C2 devem ser
escolhidos cuidadosamente de forma a garantir
que x(t) seja real.
A partir da fórmula de Euler, podemos
reescrever as duas exponenciais:
As soluções seno e cosseno
)()cos( tisente ti  =
Substituindo na solução geral e
reagrupando os termos, encontramos:
Essa forma pode ser considerada como a
definição do movimento harmônico simples (ou
MHS): qualquer movimento que seja uma
combinação linear de senos e cossenos
dessa maneira é chamado de harmônico
simples.
titi eCeCtx  −+= 21)(
)()()cos()()( 2121 tsenCCitCCtx  −++= )()cos()( 21 tsenBtBtx  +=
Como as funções cos(t) e sen(t) são
reais, o requisito para x(t) ser real significa
simplesmente que os coeficiente B1 e B2 devem
ser reais.
Podemos facilmente determinar os
coeficientes B1 e B2 a partir das condições
iniciais do problema.
Em t=0, x(0)=B1. Ou seja, B1 é justamente a
posição inicial x(0)=xo. Similarmente, derivando
a solução geral, identificamos B2 como a
velocidade inicial vo.
)()cos()( 21 tsenBtBtx  +=
Se iniciarmos as oscilações puxando o
carrinho além de x=xo e largando-o a partir do
repouso (vo=0), então B2=0 e apenas o termo
cosseno permanece na solução geral. Logo:
)()cos()( tsen
v
txtx oo  +=
)cos()( txtx o =
Se lançarmos o carrinho a partir da origem
(xo=0), dando a ele um impulso no instante t=0,
apenas o termo seno permanece, e
)()( tsen
v
tx o 

=
Esses dois casos simples estão ilustrados na
figura.
Como o argumento do seno e do cosseno é
t, a função x(t) repete-se após um tempo  para
o qual =2. Isto é, o período é:
k
m



 2
2
==
A solução geral 𝑥 𝑡 = 𝐵1 cos 𝜔𝑡 + 𝐵2 sen 𝜔𝑡
é mais difícil de visualizar do que os dois caso
especiais da figura anterior e pode ser útil
reescrevê-la como segue: primeiro, definimos
uma nova constante
A solução cosseno com diferença de fase 2
2
2
1 BBA +=
Podemos agora reescrever a solução geral:
)(sen)cos()( 21 tBtBtx  += 




+= )(sen)cos()( 21 t
A
B
t
A
B
Atx 
 )()cos(cos)( tsensentAtx  += 




+= )()cos()( 21 tsen
A
B
t
A
B
Atx 
)cos()(  −= tAtx
diferença de fase
amplitude
Há outra maneira conveniente de se escrever a
solução geral em termos das exponenciais complexas
𝑥 𝑡 = 𝑒𝑖𝜔𝑡 e 𝑥 𝑡 = 𝑒−𝑖𝜔𝑡.
Os coeficientes C1 e C2 estão relacionados aos
coeficiente B1 e B2 da forma seno-cosseno pela equações:
Solução como parte real de uma
exponencial complexa
Como B1 e B2 são reais, isso mostra que C1 e C2 são
geralmente complexos e que C2 é o complexo conjugado
de C1,
)(
2
1
211 iBBC −=
*
12 CC =
)(
2
1
212 iBBC +=
Então, solução geral 𝑥 𝑡 = C1𝑒
𝑖𝜔𝑡 + C2𝑒
−𝑖𝜔𝑡 pode
ser escrita como:
𝑥 𝑡 = C1𝑒
𝑖𝜔𝑡 + C1
∗
𝑒−𝑖𝜔𝑡
onde o segundo termo à direita é exatamente o complexo
conjugado do primeiro termo.
Para qualquer número complexo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,
𝑧 + 𝑧∗ = 𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑥 − 𝑖𝑦 = 2𝑥 = 2Re 𝑧
onde Re z denota a parte real de z (a saber x) (Prob. 5.35).
Logo, a solução geral pode ser escrita como
𝑥 𝑡 = 2ReC1𝑒
𝑖𝜔𝑡
Se definirmos uma constante final C=2C1, temos:
iAeiBBC −=−= 21
)(ReRe)(  −== titi AeCetx
Esse resultado está ilustrado na
figura ao lado.
)(Re)(  −= tiAetx
O número complexo 𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛿) se move no
sentido anti-horário com velocidade angular  em
torno de um círculo de raio A.
A sua parte real [a saber x(t)] é a projeção do
número complexo sobre o eixo real.
Enquanto o número complexo segue em torno do
círculo, essa projeção oscila para frente e para trás
sobre o eixo x, com frequência angular  e amplitude
A.
Exemplo 2: Uma garrafa em um balde
Uma garrafa está boiando, com o gargalo para
cima, em um balde grande contendo água, conforme a
figura. Na posição de equilíbrio, ela está submersa
com uma profundidade do a partir do nível da
superfície da água.
Mostre que, se ela for
empurrada para baixo até uma
profundidade d e depois
largada, irá executar um
movimento harmônico e
determine a frequência de sua
oscilação. Se do=20 cm, qual é
o período das oscilações?
Considerações sobre a energia
Vamos considerar a energia do oscilador à
medida que oscila para frente e para trás. Como
x(t)=Acos(t-), a energia potencial é:
).(cos
2
1
2
1 222  −== tkAkxU
Derivando x(t) para obter a velocidade,
encontramos a energia cinética:
).(
2
1
2
1 2222  −== tsenAmxmT  ).(
2
1 22  −= tsenkAT
mk /2 =
).(cos
2
1 22  −= tkAU
Vemos que ambos U e T oscilam entre 0 e
(1/2)kA2, com suas oscilações fora de fase.
2
2
1
kAUTE =+= ).(2
1 22  −= tsenkAT
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OSCILADORES BIDIMENSIONAIS
Mecânica Clássica IOscilações
Em duas ou três dimensões, as
possibilidades para oscilações são
consideravelmente mais ricas do que em uma.
A situação mais simples é o chamado
oscilador harmônico isotrópico, para o qual a
força de restauração é proporcional ao
deslocamento a partir da posição de equilíbrio,
com a mesma constante de proporcionalidade
em todas as direções:
Ou seja, Fx=-kx, Fy=-ky (e Fz=-kz em três
dimensões), todas com a mesma constante k.
rF k−=
Essa força é uma força central na direção da
posição de equilíbrio, que podemos considerar
como sendo a origem (Prob. 5.19).
Outro exemplo de um oscilador isotrópico
bidimensional é uma esfera rolando próxima do
fundo de uma grande tigela esférica.
Dois exemplos importantes tridimensionais
são um átomo vibrando na vizinhança de sua
posição de equilíbrio em um cristal simétrico
(cúbico) e um próton (ou nêutron) quando ele se
move no interior do núcleo.
Vamos considerar uma partícula que está
sujeita a esse tipo de força e suponhamos que ela
esteja confinada a duas dimensões. A equação do
movimento, , se divide em duas equações
independentes:
mF/r =
onde introduzi a frequência angular  (que é a
mesma em ambas equações para x e y, porque o
mesmo é verdadeiro para as constantes da força).
Cada uma dessas duas equações tem
exatamente a mesma forma da equação
unidimensional discutida nos slides anteriores e
as soluções são:
,
2
2



−=
−=
yy
xx




,
)cos()(
)cos()(



−=
−=
yy
xx
tAty
tAtx


onde as quatro constantes Ax, Ay, x e y são
determinadas a partir das condições iniciais do
problema.
Redefinindo a origem do tempo, a forma mais
simples para a solução geral é:
,
)cos()(
)cos()(



−=
−=
yy
xx
tAty
tAtx


,
)cos()(
)cos()(



−=
=


tAty
tAtx
y
x
onde =y-x é a fase relativa entre as oscilações
de y e x (Prob. 5.15).
,
)cos()(
)cos()(



−=
=


tAty
tAtx
y
x
O comportamento dessa solução depende dos
valores das três constantes Ax, Ay e .
Se Ax ou Ay for zero, a partícula executa um
MHS ao longo de um dos eixos.
Se Ax e Ay não forem zero, o movimento
depende criticamente da fase relativa .
Se =0, então x(t) e y(t) crescem e entram em
sintonia, e o ponto (x,y) se move para frente e
para trás sobrea linha inclinada que liga (Ax,Ay) a
(-Ax,-Ay).
,
)cos()(
)cos()(



−=
=


tAty
tAtx
y
x
Se =/2, então x(t) e y(t) oscilam fora de
sintonia, com x e um extremo quando y for zero e
vice-versa; o ponto (x,y) descreve uma elipse com
eixo maior Ax e eixo menor Ay.
,
)cos()(
)cos()(



−=
=


tAty
tAtx
y
x
Para outros valores de , o ponto (x,y) se move
em torno de uma elipse inclinada, conforme ilustra
a figura abaixo, para o caso de =/4.
,
)cos()(
)cos()(



−=
=


tAty
tAtx
y
x
Em um oscilador anisotrópico, as componentes da
força de restauração são proporcionais às componentes do
deslocamento, mas com constantes de proporcionalidade
distintas:
Um exemplo de tal força é a força sentida por
um átomo quando deslocado de sua posição de
equilíbrio, em um cristal de baixa simetria
(tetragonal), onde ele experimenta diferentes
constantes da força ao longo de diferentes eixos.
xkF xx −=
Por simplicidade, vamos considerar uma
partícula bidimensional, para qual a 2ª lei de
Newton se separa em duas equações:
ykF yy −= zkF zz −=
,
2
2




−=
−=
yy
xx
y
x




As soluções dessas duas equações são:
Devido ao fato de as duas frequências serem
diferentes, há uma variedade muito mais rica de
possíveis movimentos.
Se x/y for um número racional
(comensurável), é muito fácil de ver que (Prob.
5.17) o movimento é periódico e a trajetória
resultante é chamada de figura de Lissajous.
,
2
2




−=
−=
yy
xx
y
x







−=
=
)cos()(
)cos()(


tAty
tAtx
yy
xx
Para x/y=2, a figura mostra uma
órbita da partícula e o movimento x se
repete duas vezes tanto quanto o
movimento y (nunca preencherá o
retângulo!!).
Se x/y for um número
irracional (incomensurável), o
movimento será mais
complicado e nunca se repetirá.
Esse tipo de movimento é
chamado quaseperiódico
(preencherá o retângulo!!)
O oscilador bidimensional é um exemplo de
sistema no qual a mudança infinitesimal pode
resultar em um tipo de movimento
qualitativamente diferente.
O movimento se dará ao longo de um caminho
fechado se as duas frequências angulares forem
comensuráveis.
Porém, se a relação entre as frequências
angulares divergir de uma fração racional, mesmo
por uma quantia infinitesimal, o caminho não será
fechado e “preencherá” o retângulo.
Para que o caminho seja
fechado, a relação entre as
frequências angulares deverá ser
conhecida como sendo uma
fração racional.
Se as frequências angulares dos movimentos nas
direções x e y forem diferentes, a forma da curva de
Lissajous dependerá da diferença de fase .
Diagramas de fase
O estado de movimento de um oscilador
unidimensional ( ሷ𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0) será totalmente especificado
como uma função do tempo se duas quantidades forem
fornecidas em um instante de tempo, ou seja, as condições
iniciais 𝑥 𝑡𝑜 e ሶ𝑥(𝑡𝑜).
Podemos considerar as quantidades 𝑥 𝑡 e ሶ𝑥(𝑡) como
sendo as coordenadas de um ponto em um espaço
bidimensional, denominado espaço de fase.
À medida que o tempo varia, o ponto 𝑝(𝑥, ሶ𝑥) que
descreve o estado da partícula oscilatória se moverá ao
longo de um determinado caminho de fase no plano de
fase.
Para condições iniciais diferentes do oscilador, o movi-
mento será descrito por diferentes caminhos de fase.
Qualquer caminho fornecido representa o histórico
temporal completo do oscilador para um determinado
conjunto de condições iniciais.
A totalidade de todos os caminhos de fase possíveis
constituem o retrato da fase ou diagrama de fase do
oscilador.
Sabemos que, para o OHS ( ሷ𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0), temos:
)cos()(  −= tAtx
)()(  −−= tsenAtx
se eliminarmos t dessas equações, encontramos para
equação do caminho:
1
22
2
2
2
=+
A
x
A
x 
Esta equação representa uma
família de elipse. Sabemos que a
energia total E do oscilador é
1
2
𝑘𝐴2 e 𝜔2 = 𝑘/𝑚 , podemos
reescrever a equação como:
1
22
2
2
2
=+
A
x
A
x 
1
/2/2
22
=+
mE
x
kE
x 
Então, cada caminho de fase corresponde à energia total
definida do oscilador (E=const.).
Por que os caminhos de fase estão no sentido
horário??
Dois caminhos de fase podem se cruzar?? Por
que??
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OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Mecânica Clássica IOscilações
Vamos retornar ao oscilador
unidimensional e considerarmos a possibilidade
de que há forças de atrito atuando, que irão
amortecer a oscilação.
Como já estudado em aulas anteriores, há
várias possibilidades para as forças de atrito.
Vimos também que, em certas ocasiões, é uma
aproximação razoável assumir que a força resis-
tiva é proporcional a v ou a v2. Aqui, assumirei
que a força resistiva é proporcional a v (f=-bv).
Uma das principais razões é que esse caso
leva a uma equação especialmente simples de se
resolver e a equação é muito importante pois
surge em vários outros contextos e, por isso,
merece ser estudada.
Considere, então, um objeto
unidimensional, como um carrinho preso a uma
mola, que está sujeita a uma força que obedece a
lei de Hooke, -kx, e uma força de atrito, -bv.
A força resultante sobre o objeto é –bv - kx
e a segunda lei de Newton nos dá:
Uma das belezas da Física é a forma como a
mesma equação matemática surge em contextos
totalmente diferentes, de modo que nosso
conhecimento sobre a equação em uma situação é
transportado imediatamente para outra.
Por exemplo, essa equação diferencial
aparece no estudo de circuitos RLC visto no
curso de Física Geral III.
Vamos encontrar essa equação aplicando a
lei de Kirchoff para o circuito do slide a seguir.
xbkxfFxm x  −−=+= 0=++ kxxbxm 
Observe que a indutância L do circuito
elétrico exerce o papel da massa do oscilador, o
resistor R corresponde a constante resistiva e 1/C
à constante da mola.
Para resolver a equação diferencial do
oscilador amortecido é conveniente dividi-la por
m e introduzir outras duas constantes.
xCRLx VVVVV =−−−
xx V
C
q
iR
dt
di
LV =−−− 0
1
=++ q
C
qRqL 
0=++ kxxbxm 
Renomearei a constante b/m como 2. Esse
parâmetro é chamado de constante de
amortecimento.
A constante k/m renomearei para o
2,
denotada como frequência natural do sistema, a
frequência na qual ele oscila se não houvesse
forças de atrito presentes.
Com essas notações, a equação do oscilador
amortecido fica:
0=++ x
m
k
x
m
b
x 
0=++ kxxbxm 
02 2 =++ xxx o 
Essa equação é outra equação diferencial
linear homogênea de segunda ordem.
Portanto, se por algum mecanismo
pudermos conseguir duas soluções independentes,
digamos x1(t) e x2(t), então qualquer solução deve
ter a forma C1x1(t)+C2x2(t).
Vamos tentar a solução da forma:
02 2 =++ xxx o 
rtetx =)( rtretx =)( rtertx 2)( =
Substituindo na equação diferencial, temos:
02 22 =++ orr 
As soluções dessa equação são,
naturalmente,
Logo, temos:
02 22 =++ orr  .22 or  −−= 22
1 or  −+−= 222 or  −−−=
A solução geral será:
trtr
eCeCtx 21 21)( +=
.)(
2222
21 


 +=
−−−− ttt oo eCeCetx

Essa solução é um tanto confusa para ser
elucidativa, mas, examinando vários intervalos da
constante de amortecimento , podemos começar
entender o que ela significa.
.)(
2222
21 


 +=
−−−− tttoo eCeCetx

Oscilação não amortecida
Se não há amortecimento, então a constante
de amortecimento  é zero e a solução geral
reduz-se a:
.)(
2222
21 


 +=
−−−− ttt oo eCeCetx

titi oo eCeCtx
 −+= 21)( )cos()(  −= tAtx o
(OHS)
Amortecimento fraco
Suponhamos que a constante de
amortecimento  seja pequena. Especificamente,
suponhamos que:
.)(
2222
21 


 +=
−−−− ttt oo eCeCetx

)( imentosubamorteco 
Nesse caso, a raiz quadrada no expoente da
equação geral fica: 1
2222  ii oo =−=− 22
1
 −= o
O parâmetro 1 é uma frequência que é
menor do que a frequência natural o.
( )titit eCeCetx 11 21)(  −− +=
No importante caso de amortecimento
muito fraco (<<o), 1 é muito próximo de o.
Essa solução é o produto de dois fatores: o
primeiro, e-t, é um decaimento exponencial, que
decresce uniformemente até zero. O segundo tem
exatamente a forma das oscilações não
amortecidas, exceto pelo fato de que a frequência
natural o é substituída pela frequência menor 1.
A solução geral tem a forma:
( )titit eCeCetx 11 21)(  −− +=
)cos()( 1  −= − tAetx t
Essa solução descreve claramente um
movimento harmônico simples de frequência 1
com uma amplitude decrescendo
exponencialmente Ae-t.
)cos()( 1  −= − tAetx t
Ae-t
-Ae-t
Esse resultado sugere outra interpretação
para constante de amortecimento . Como  tem
dimensão inversa do tempo, 1/ é tempo, e agora
vemos que ela é o tempo para o qual a função
amplitude Ae-t cai de 1/e (36%) do seu valor
inicial.
Logo, para oscilações subamortecidas, 
pode ser visto como o parâmetro de decaimento,
uma medida da taxa na qual o movimento
amortece.
Quanto maior for , mais rapidamente a
oscilação morrerá, pelo menos no caso  << o.
)cos()( 1  −= − tAetx t
ido]subamortec[movimento)( =decaimentodeparâmetro
Ao contrário do oscilador harmônico simples, a energia do
oscilador amortecido não é constante no tempo.
A taxa de perda de energia no oscilador amortecido é
proporcional ao quadrado da velocidade vetorial!
)cos()( 1  −= − tAetx t
Energia total e a taxa de
perda de energia do oscilador
amortecido.
Amortecimento forte
Suponhamos agora que a constante de
amortecimento  seja grande. Especificamente,
suponhamos que:
.)(
2222
21 


 +=
−−−− ttt oo eCeCetx

)( ecimentosuperamorto 
Nesse caso, a raiz quadrada na exponencial
da solução geral é real e nossa solução fica:
Aqui, temos duas funções reais, ambas decrescem
à medida que o tempo passa. Nesse caso, o
movimento é tão amortecido que ele não permite
uma oscilação de fato.
tt oo eCeCtx
)(
2
)(
1
2222
)(
 −+−−−−
+=
A figura ilustra um
caso típico no qual foi dado
um impulso ao oscilador a
partir da origem em t=0.
O primeiro termo à direita da solução geral
decresce mais lentamente do que o segundo.
Logo, o movimento a longo prazo é
dominado pelo primeiro termo. Em particular, a
taxa na qual o movimento deprecia pode ser
caracterizada pelo coeficiente no primeiro
expoente.
tt oo eCeCtx
)(
2
)(
1
2222
)(
 −+−−−−
+=
O parâmetro de decaimento para esse caso é:
Uma inspeção cuidadosa desse
parâmetro mostra que - ao contrário do que
podemos esperar – a taxa de decaimento
do movimento superamortecido se torna
menor se a constante de amortecimento  é
aumentada (Problema 5.20).
tt oo eCeCtx
)(
2
)(
1
2222
)(
 −+−−−−
+=
ecido]superamort[movimento)( 22 odecaimentodeparâmetro  −−=
Amortecimento crítico
A fronteira entre o movimento
subamortecido e o superamortecido é chamada de
amortecimento crítico e ocorre quando a
constante de amortecimento é igual à frequência
natural, =o.
Nesse caso, as duas soluções que
encontramos para solução geral são a mesma:
.)(
2222
21 


 +=
−−−− ttt oo eCeCetx

Precisamos encontrar uma segunda solução, que
podemos verificar que é dada por (Prob.5.21):
.)( tetx −=
.)( ttetx −=
Portanto, a solução geral para o
amortecimento crítico é:
Observe que ambos os termos contem o mesmo
fator exponencial e-t. Como esse fator é o que
domina o decaimento da oscilação quando t→,
podemos dizer que ambos os termos decaem com
a mesma taxa, com parâmetro de decaimento
tt teCeCtx  −− += 21)(
]cento[amortecim)( ríticodecaimentodeparâmetro o ==
22super
00
oo
o
o
crítico
sub
nenhum
decaimentodeParâmetrontoAmortecime





−−
=

=
Abaixo temos a comparação das taxas (parâmetro de
decaimento) com as quais os vários tipos de oscilações
amortecidas desaparecem.
Há situações em que desejamos que qualquer
oscilação desapareça tão rapidamente quanto possível.
Por exemplo, desejamos que a agulha de um medidor
analógico se estabilize rapidamente para a medição em
questão. Similarmente, em um carro, desejamos que as
oscilações causadas por uma estrada esburacada decaiam
rapidamente. Em tais casos, devemos planejar para que as
oscilações sejam amortecidas e para os resultados mais
rápidos, o amortecimento deve ser razoavelmente
próximo do crítico.
DIAGRAMA DE FASE
Diagrama de fase de um oscilador
harmônico simples para uma variedade de
energias totais E.
Diagrama de fase de um oscilador
subamortecido amortecido ( < o).
Diagrama de fase de um oscilador
superamortecido amortecido ( > o).
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OSCILAÇÕES AMORTECIDAS FORÇADAS
Mecânica Clássica IOscilações
Qualquer oscilador natural, por si próprio,
irá eventualmente parar, uma vez que as
inevitáveis forças de amortecimentos dissiparão
toda sua energia.
Por isso, se desejarmos que as oscilações
continuem, devemos dispor de alguma força
“motriz” externa para mantê-las.
Se denotarmos a força motriz externa por
F(t) e, assumirmos como antes que a força de
amortecimento tem a forma –bv, então a força resultante
no oscilador é –bv – kx + F(t) e a equação de movimento
pode ser escrita como:
)(tFkxxbxm =++ 
Como anteriormente, podemos reescrever essa equação
substituindo b/m por 2, k/m por o
2 e F(t)/m por f(t).
Logo:
)(2 2 tfxxx o =++  
Vamos nos ater ao caso em que a força motriz f(t) é uma
função senoidal no tempo,
),cos()( tftf o =
É conveniente, entretanto, usar a forma exponencial,
onde a solução da equação diferencial resultante terá uma
parte real e outra imaginária. Tomaremos como solução
apenas a parte real.
ti
oo efxxx
 =++ 22 
A solução da equação diferencial linear acima é dada
pela soma de duas partes, a primeira parte sendo a
solução da equação diferencial homogênea e a segunda
parte sendo qualquer solução particular.
Como vimos, a solução da equação homogênea
representa uma oscilação que eventualmente decai no
tempo a zero [x(t)=Ae-tcos(1t-)] - é chamado o termo
transiente.
),cos()( tftf o =
Estamos interessados na solução que dependa da
natureza da força aplicada. )()(  −= tiAetxUma vez que esta força varia senoidalmente com otempo e tem amplitude constante [f(t)=focos(t)], érazoável esperar uma solução para a qual o deslocamentox(t) também tenha uma dependência temporal senoidal.
Portanto, para o regime estacionário, tentaremos
uma solução na forma:
Se esta função tentativa for correta, teremos:
( ) ( ) ( ) tiotiotiti efAeAe
dx
d
Ae
dx
d   =++ −−− )(2)()(
2
2
2
ti
oo efxxx
 =++ 22 
Depois de efetuar as operações indicadas e cancelar
os fatorescomuns teremos:
22222 4)(  +−
=
o
ofA
Logo, nossa solução particular fica:
( ) ( ) ( ) tiotiotiti efAeAe
dx
d
Ae
dx
d   =++ −−− )(2)()(
2
2
2





−
=
22
2
arctan


o
)()(  −= tiAetx
Diferença de fase entre a força
aplicada e a resposta do sistema
Amplitude das oscilações causadas pela
força motriz f(t).
)(
22222 4)(
)( 

−
+−
= ti
o
o e
f
tx )cos(
4)(
)(
22222


−
+−
= t
f
tx
o
o
A solução anterior é apenas uma solução particular da
equação de movimento. A solução geral é determinada
somando qualquer solução da equação homogênea
correspondente; isto é:
Como ambos os termos extras nessa solução geral
caem exponencialmente à medida que o tempo passa,
eles são chamados de transientes.
Eles dependem das condições iniciais do problema,
mas são eventualmente irrelevantes: o comportamento de
longo prazo da solução é dominado pelo termo cosseno.
)cos(
4)(
)(
22222


−
+−
= t
f
tx
o
o
trtr
o
o eCeCt
f
tx 21 21
22222
)cos(
4)(
)( ++−
+−
= 
A quantidade A é a amplitude das oscilações causadas pela
força motriz f(t). Ela mostra como a amplitude das oscilações
depende dos vários parâmetros. Particularmente, vemos que a
amplitude é máxima quando o, ou seja, o oscilador responde
melhor quando forçado com uma frequência  que é próxima da
sua frequência natural o.
22222 4)(  +−
=
o
ofA






−
=
22
2
arctan


o
A quantidade  representa a
diferença de fase entre a força de motriz e
o movimento resultante. Um atraso real
ocorre entre essa força e a resposta do
sistema. Para um o fixo, à medida que 
aumenta a partir de 0, a fase aumenta de
=0 em =0 até =/2 em =o e até  à
medida que →.
Os detalhes do movimento ditado pela
equação acima dependem da magnitude do
parâmetro de amortecimento .
Para ser específico, vamos assumir que o
nosso oscilador seja fracamente amortecido, com
 < o (subamortecido). Nesse caso, sabemos que
os dois termos transientes da solução geral podem
ser reescritos como:
trtr
o
o eCeCt
f
tx 21 21
22222
)cos(
4)(
)( ++−
+−
= 
).cos()cos()( 1 tr
t
tr teAtAtx   −+−= −
).cos()cos()( 1 tr
t
tr teAtAtx   −+−= −
Exemplo 3: Gráfico de um oscilador amortecido forçado
linear
Faça o gráfico de x(t) dado por
)cos()cos()( 1 tr
t
tr teAtAtx   −+−= −
para um oscilador amortecido forçado linear que é largado
do repouso a partir da origem no instante t=0, com os
seguintes parâmetros: frequência motriz =2 rad/s,
frequência natural o=5, constante de decaimento
=o/20 e amplitude motriz fo=1000. Apresente os
primeiros cinco ciclos forçados.
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RESSONÂNCIA
Mecânica Clássica IOscilações
Nas slides anteriores consideramos um
oscilador amortecido que está sendo
impulsionada por uma força motriz senoidal
f(t)=focos(t) com frequência angular .
Vimos que, à exceção dos movimentos
transientes que desaparecem rapidamente, a
resposta do sistema é oscilar senoidalmente com
a mesma frequência  da força motriz.
com amplitude A e fase  dadas por:
22222
2
2
4)(  +−
=
o
ofA
)cos()(  −= tAtx






−
=
22
2
arctan


o
A propriedade mais obvia é que a amplitude A
da resposta é proporcional à amplitude da força
motriz fo, dependente das frequências o e  e da
constante de amortecimento .
O caso mais interessante é quando  é muito
pequeno (subamortecido) e o segundo termo do
denominador é pequeno.
Se  e o são muito diferentes, então o
primeiro termo no denominador de A é grande e a
amplitude da oscilação forçada é pequena.
22222
2
2
4)(  +−
=
o
ofA
Por outro lado, se o é muito próxima de ,
ambos os termos no denominador são pequenos e
a amplitude é grande.
Isso significa que, se variarmos o ou , pode
haver mudanças completamente drásticas na
amplitude do movimento oscilatório.
A figura a seguir mostra A2 como função de o
com  fixa, para um sistema
fracamente amortecido
(=0,1).
Se tentarmos forçá-lo a vibrar com uma frequência ,
então, para valores de  próximos de o, o oscilador
responderá muito bem, mas se  estiver afastada de o,
ele dificilmente responderá.
Referimo-nos a esse fenômeno – a grande resposta
de um oscilador quando forçado à frequência correta –
como ressonância.
Sob a ação de seus próprios
dispositivos, o oscilador vibra
com sua frequência natural o.
Uma aplicação bastante comum da ressonância é a
recepção de ondas de rádio por um circuito RLC em seu
rádio. Quando você sintoniza o rádio para receber uma
estação a 90,1 MHz, você está ajustando o circuito RLC
do rádio de modo que sua frequência natural seja 90,1
MHz. As várias estações de rádio na vizinhança estão
enviando sinal, cada uma com sua própria frequência e
cada qual induzindo uma FEM no circuito de seu rádio,
mas apenas o sinal com a frequência correta consegue de
fato forçar uma corrente apreciável, que imite o sinal
enviado pela sua rádio favorita e reproduza o som
transmitido.
Um exemplo da ressonância mecânica do tipo
discutido aqui é o comportamento de um carro
trafegando em uma estrada com “costeletas” que
foram formadas por uma série de ondulações
regularmente espaçadas. Cada vez que a roda
atravessa uma ondulação, ela gera um impulso para
cima e a frequência desses impulsos depende da
velocidade do carro. Há uma certa velocidade na qual
a frequência desses impulsos se iguala à frequência
natural da vibração da roda sobre os amortecedores e
as rodas entram em ressonância, causando uma
viagem desconfortável. Se o motorista do carro
diminui ou aumenta a velocidade, ele “sai da
ressonância” e a viagem se torna mais suave.
Outro exemplo ocorre quando um pelotão de
soldados marcha sobre um ponte. Um ponte, como
quase todos os sistema mecânicos, ter certas
frequências naturais de vibração e, se coincidir de
os soldados marcharem com a mesma frequência
de uma dessas frequências naturais, a ponte pode
entrar em uma ressonância suficientemente
violenta de modo a danificá-la. Por essas razão, os
soldados andam em descompasso quando
marcham sobre uma ponte.
Em 7 de novembro de 1940, caiu a ponte pênsil de
1600 metros (Tacoma Narrows), apenas poucos meses
após a sua inauguração.
De madrugada, os ventos atingiram os 70km/h,
fazendo a estrutura oscilar muito, deslizando a alta
velocidade. Às 9h30 a ponte oscila em 8 ou 9 segmentos
com amplitude de 0,9m e frequência de 36 ciclos por
minuto. Às 10h00 dá-se um afrouxamento da ligação do
cabo de suspensão norte ao tabuleiro, o que faz a ponte
entrar num modo de vibração torcional a 14 ciclos por
minuto.
O eixo da via, os dois pilares e o
meio da ponte são nodos. A partir daí a
situação não se alterou muito durante
cerca de uma hora, até que às 11h00 se
desprende um primeiro pedaço de
pavimento e às 11h10 a ponte entra em
colapso, caindo no rio.
O local exato da resposta máxima (ressonância)
depende de se variarmos o com  fixo ou vice-versa.
Se variarmos o com  fixo esse mínimo ocorre
quando o= , tornando o primeiro termo igual a zero.
Por outro lado, se variarmos  com o fixo, o
segundo termo também varia e o máximo ocorre quando:
A amplitude é máxima quando o denominador de A é
mínimo:
22222
2
2
4)(  +−
=
o
ofA
22
2 2 −== o
Entretanto, quando << o (como em geral é o caso
mais interessante), =o.
Encontramos tantas frequências diferentes nesse
capítulo que vale a pena revisá-las.
.amortecidonãoosciladordonaturalfrequencia==
m
k
o
A amplitude máxima das oscilações forçadas é
determinada tomando-se o na amplitude, o que
resulta:
.amortecidoosciladordofrequencia221 =−=  o motriz.forçadafrequencia= máxima. é resposta a qual o paradevalor2 222  =−= o.2 o
o
máx
f
A


21  o
Observamos que:
Isso mostra que valores menores da constante de
amortecimento levam a valores maiores da amplitude
máxima da oscilação.
.
2 o
o
máx
f
A


Observa-se na figura
que, se diminuirmos a
constante de
amortecimento , o pico
de ressonância não
apenas aumenta, como
também se torna mais
estreito.
Largura da ressonância: o fator Q
Podemos tornar essa ideia mais precisa
definido uma largura (ou largura completa na
metade do máximo – LCMM) como o intervalo
entre os dois picos onde A2 é igual à metade da
altura máxima.
Os dois pontos na metade do máximo são  
o  , (Prob. 5.41) conforme a figura abaixo.
Logo, a largura completa na metade do máximo é
LCMM  2.
A agudeza do pico de ressonância é obtida pela
razão de sua largura 2 pela sua posição, o.
Para muitos propósitos, desejamos uma
ressonância muito aguda, de modo que é uma
prática comum definir um fator de qualidade Q
como sendo o recíproco dessa razão:
.
2
oQ =
Um valor de Q grande indica uma
ressonância estreita e um valor de Q pequeno
uma ressonância larga.
Os valores de Q encontrados
nas situações físicas reais variam
bastante.
Para sistemas mecânicos
normais (ex: alto-falantes), os
valores podem ficar na faixa de
algumas unidades a 100.
.
2
oQ =
Os osciladores de cristal de quartzo
ou os diapasões podem ter Qs de 104.
Circuitos elétricos altamente sintonizados podem ter
valores variando de 104 a 105.
Valores de Qs para sistemas atômicos é da ordem de 5
107.
Ressonâncias com maiores Qs conhecidos ocorrem na
radiação dos lasers a gás, aproximadamente 1014.
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SOLUÇÃO POR SÉRIE DE FOURIER PARA
O OSCILADOR FORÇADO
Mecânica Clássica IOscilações
Nas aulas anteriores, discutimos um
oscilador que é forçado por uma força motriz
senoidal 𝑓 𝑡 = 𝑓𝑜cos(𝜔𝑡) . Há duas razões
principais para a importância de forças motrizes
senoidais: a primeira é simplesmente que há
muitos sistemas importantes nos quais a força
motriz é senoidal – circuito elétrico de um rádio
A segunda é um tanto sutil. Resulta que qualquer
força motriz periódica pode ser construída a partir de
uma força senoidal usando a poderosa técnica da série
de Fourier.
Portanto, em certo sentido, resolvendo o
movimento com uma força motriz senoidal já teremos
já solucionado o movimento para qualquer força
motriz periódica!!
Antes, vamos rever alguns aspectos importantes
das séries de Fourier. Vamos considerar a função f(t)
que é periódica com período :
𝑓 𝑡 + 𝜏 = 𝑓(𝑡)
qualquer que seja o valor de t.
é um bom exemplo.
Podemos descrever uma função com essa
propriedade como sendo -periódica.
Um simples exemplo de
uma função -periódica é a
força exercida sobre um prego
por um martelo que está
martelando a intervalos de .
Outro pode ser a pressão
exercida sobre o seu tímpano
por uma nota tocada por um
instrumento musical.
Em particular, há muitas funções senoidais que
são periódicas com um dado período: as funções
são todas -periódicas, como o são as correspondentes
funções seno.
Se t crescer por um valor , cada uma dessas
funções retorna ao seu valor original.
Podemos escrever essas funções senoidais um
pouco mais compactas se introduzirmos a frequência
angular 𝜔 = 2𝜋/𝜏, assim:
(Se n=0, a função cosseno é a constante 1 - que é
certamente periódica - enquanto o seno é 0 e não é de
forma alguma interessante.)
É verdadeiramente surpreendente, em certo
sentido, que essas funções seno e cosseno definam
todas as possíveis funções -periódicas!!!!!
Em 1807, o matemático francês
Jean Baptiste Fourier (1768-1830)
observou que toda função -periódica
pode ser escrita como uma combinação
linear de senos e cossenos, ou seja, se
onde as constantes an e bn dependem da função f(t).
f(t) for qualquer função periódica com período , então
ela pode ser expressa como a soma:
Esse resultado extraordinariamente útil é
chamado de teorema de Fourier e a soma acima é
chamada de série de Fourier para f(t).
Não é difícil de ver por que o teorema de
Fourier apresentou uma considerável surpresa, e
mesmo um ceticismo, quando foi publicado pela
primeira vez.
Ele argumenta que uma função descontínua,
como um pulso retangular, pode ser construída a
partir de funções seno e cosseno que são contínuas
e perfeitamente suaves!!!
Surpreendente ou não, isso se mostrou verdade,
como veremos brevemente através de um exemplo.
Talvez ainda mais surpreendente seja o fato de
que, com frequência, obtém-se uma excelente
aproximação mantendo apenas poucos termos da
série de Fourier.
Portanto, em vez de manipularmos uma função
tediosa e possivelmente descontínua, temos apenas
que manipular um pequeno número de funções se-
Antes de discutirmos a aplicação do
teorema de Fourier para o oscilador forçado,
precisamos verificar
algumas propriedades da série de Fourier.
A demonstração do teorema de Fourier é
complicada - na verdade, foram muitos anos
depois da descoberta de Fourier que uma
demonstração satisfatória foi encontrada - e
simplesmente solicito-o a aceitá-la.
Entretanto, uma vez que o resultado está
aceito, é fácil apreender a usá-lo.
no e cosseno.
Em particular, para uma função periódica f(t)
os coeficientes an e bn são dados por:
Infelizmente, os coeficientes para n=0
requerem uma tenção em separado.
Exemplo: Série de Fourier para pulso retangular
Determine a série de Fourier
para o pulso retangular
periódico apresentado na figura
ao lado, em termos do período ,
da altura do pulso fmax e da
duração do pulso .
Usando os valores =1, fmax=1 e =0,25,
desenhe o gráfico de f(t), como também a
soma dos três primeiros termos da sua série
de Fourier e a soma dos onze primeiros
termos.
Princípio da Superposição
A quantidade entre parênteses no lado esquerdo
é um operador linear, que podemos representar
por L.
Se generalizarmos a função de força
dependente do tempo no lado direito, podemos
escrever a equação de movimento como:
As oscilações que temos discutido obedecem a
uma equação diferencial da forma:
Uma propriedade importante dos operadores
lineares é que eles obedecem ao princípio da
superposição.
Esta propriedade resulta do fato de que os
operadores lineares são distributivos, isto é,
Portanto, se tivermos duas soluções, x1(t) e
x2(t), para duas funções de força diferentes, F1(t) e
F2(t),
podemos somar essas equações (multiplicadas por
constantes arbitrárias 1 e 2 e obter:
Podemos estender este argumento para um
conjunto de soluções xn(t), cada uma das quais
apropriada a uma determinada Fn(t):
Esta é justamente se identificarmos as
combinações lineares como:
Se cada uma das funções individuais Fn(t) tiver
uma dependência harmônica do tempo, como cos
nt, sabemos que a solução correspondente xn(t)
será fornecida pela equação:
Desse modo, se F(t) tem a forma
)cos(
4)(
A
)(
22222


−
+−
= ttx
o
A solução do estado estacionárioé:
onde
Portanto, chegamos à importante conclusão de
que, se alguma função de força arbitrária F(t) pode
ser expressa como uma série (finita ou infinita) de
termos harmônicos, a solução completa também
poderá ser escrita como uma série similar de termos
harmônicos.
Isso completa a solução do movimento de
longo prazo de um oscilador forçado por uma força
motriz f(t). Resumindo, os passos são:
1. Determine os coeficientes n da série de
Fourier para a força motriz dada F(t);
2. Calcule as quantidades An e n;
3. Escreva a solução x(t) como a série de Fourier
Exemplo:
Considere um oscilador fracamente
amortecido que está sendo forçado
pelos pulsos retangulares periódicos
da figura ao lado.
Seja o período do oscilador o = 1, de modo que a
frequência natural é o = 2, e seja a constante de
amortecimento  = 0,2. Assuma que o pulso dure um
intervalo de tempo  = 0,25 e tenha uma altura fmáx = 1.
Calcule os seis primeiros coeficientes de Fourier An
para o movimento de longo prazo x(t) do oscilador,
assumindo que o período motriz é o mesmo que o período
natural, =o=1. Desenhe o gráfico do movimento
resultante para várias oscilações completas e repita o
exercício para =1,5o; 2,0o e 2,5o.
Podemos pensar em sistemas reais que podem
ser representados por esse problema.
Uma possibilidade simples é a de uma massa
pendurada na extremidade de um cordão, no qual
um professor está aplicando impulsos
regularmente espaçados com intervalos .
Um exemplo ainda mais familiar é o de uma
criança em um balanço, no qual o pai está dando
impulsos regularmente espaçados.
Devemos iniciar o movimento considerando
=o = 1, ou seja, o pai está impulsionando a
criança exatamente com a frequência natural.
Solução:
Os coeficientes de Fourier n da força motriz
já foram calculados no exemplo anterior:
Substituímos esses coeficientes e os dados
numéricos para encontrar An,
Os seis primeiros coeficientes de Fourier Ao, ... , A5:
Duas coisas se sobressaem nesses números: primeiro,
após A1, eles tornam-se pequenos rapidamente e para
quase todos os propósitos será uma excelente
aproximação ignorar todos os termos além dos três
primeiros da série de Fourier para x(t).
Segundo, o coeficiente A1 é bem maior do que todos
os demais. Isso é fácil de entender se você prestar atenção
na expressão para encontrar os coeficiente An.
Ressonância!!!!
Não podemos desenhar o gráfico da série infinita
para x(t); em vez disso, devemos considerar um número
finito de termos com os quais aproximamos x(t).
No presente caso, parece claro que três termos serão
suficientes, mas, para ficarmos garantidos, consideremos
seis.
A Figura mostra
x(t) como uma
aproximação da soma
dos seis primeiros
termos de
Exemplo:
Uma função de força de impulsão com forma de
“dente de serra” é mostrada na figura
Exemplos:
1) O sistema de suspensão de um automóvel é
criticamente amortecido e seu período das
oscilações livres não amortecidas é 1 s. Se o
sistema esta inicialmente deslocado por uma
quantidade xo do equilíbrio e é abandonado nessa
posição, encontre o deslocamento em t=1s.
2) A frequência de um oscilador amortecido é a
metade da frequência do mesmo oscilador sem
amortecimento. Encontre a razão entre as
amplitudes de duas oscilações sucessivas neste
oscilador.
3) O parâmetro de decaimento exponencial de
um sistema de suspensão de molas é um décimo
do valor crítico. Se a frequência natural é o,
encontre: (a) a frequência de ressonância, (b) o
fator de qualidade, (c) o ângulo de fase  quando
o sistema está numa frequência =o/2, e (d) a
amplitude nessa frequência.
4) Um pistão executa movimento harmônico
simples com uma amplitude de 0,1 m. Se ele
passa pelo centro do seu movimento com uma
velocidade de 0,5 m/s, qual é o período T da
oscilação.
5) Uma partícula executando um movimento
harmônico simples tem uma velocidade v1
quando o deslocamento é x1 e uma velocidade v2
quando o deslocamento é x2. Encontre a
frequência angular e a amplitude do movimento
em termos dessas quantidades dadas.
6) A frequência f de um oscilador harmônico
amortecido é 100 Hz e a razão entre dois
máximos sucessivos é 1/2. (a) Qual é a frequência
natural fo desse oscilador? (b) Qual é a frequência
de ressonância fr?
7) Considere um oscilador harmônico simples
com período . Seja f o valor médio de uma
variável qualquer f(t), cuja média sobre um ciclo
é:
𝑓 =
1
𝜏
න
0
𝜏
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 .
Mostre que T= U=
1
2
𝐸, onde E é a energia total
do oscilador.
GLOSSÁRIO
1- Uma análise do grau de simetria de cada um dos
sistemas cristalográficos permite concluir que o mais
simples, e o mais simétrico, é o cúbico, já que apresenta a
simetria do cubo, beneficiando da isometria das suas faces.
Os restantes seis sistemas ordenam-se de acordo com a
seguintes sequência decrescente de simetria: hexagonal,
tetragonal, romboédrico, ortorrômbico, monoclínico e
triclínico.
2- Isocronismo – quando o período de oscilação de um
sistema não depende da sua amplitude. Ex: o período do
pêndulo simples não depende da amplitude.
REFERÊNCIAS
Taylor, John R. Mecânica Clássica. 1ª
Edição, Ed. Bookman LTDA, Porto Alegre,
2013.
Shapiro, Ilya Lvovich; Peixoto, Guilherme.
Introdução à mecânica clássica. Editora
Livraria da Física. São Paulo, 2010.
Fowles, Grant R; Cassiday, George L.
Analytical Mechanics. 6ª Ed., Saunders college
Publishing, 1998.