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Matemática p/ SEDUC-CE (Professor-Matemática) Pós-Edital
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SUMÁRIO
Probabilidade .................................................................................................................... 2
Eventos independentes ................................................................................................................... 4
Eventos mutuamente excludentes .................................................................................................. 6
Probabilidade da união de dois eventos .......................................................................................... 7
Eventos complementares ................................................................................................................ 8
Reposição ...................................................................................................................................... 10
Probabilidade condicional ............................................................................................................. 13
Independência estatística ............................................................................................................. 15
Valor esperado .............................................................................................................................. 17
BATERIA DE QUESTÕES RESOLVIDAS .......................................................................................... 18
LISTA DE QUESTÕES ............................................................................................................... 64
Gabarito .......................................................................................................................... 84
Principais pontos da aula ................................................................................................. 85
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Caros alunos,
Nesta aula vamos tratar sobre o seguinte trecho do seu edital:
Probabilidade
Bons estudos!
Prof. Arthur Lima
Instagram @ProfArthurLima
PROBABILIDADE
Imagine que você possui um dado e vai lançá-lo uma vez. Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 ou
6. Isso é o que chamamos de espaço amostral ? o conjunto dos resultados possíveis de um
determinado experimento aleatório. Chamamos este experimento de aleatório pois: antes de
executá-lo (jogar o dado) não podemos prever o resultado que será obtido; podemos repetir este
experimento indefinidamente; e após executá-lo várias vezes, esperamos ver um certo padrão
(neste caso, esperamos que após vários lançamentos tenhamos um número parecido de resultados
1, 2, 3, 4, 5 e 6).
Digamos que só nos interessam os resultados pares. Isto é, apenas os resultados 2, 4 e 6. Esse
subconjunto do espaço amostral é chamado de Evento, sendo composto apenas daqueles resultados
que nos são favoráveis.
Conhecendo essas duas definições, podemos definir a probabilidade de obter o nosso Evento em
um determinado experimento aleatório como:
n(Evento)Probabilidade do Evento=
n(Espaço Amostral)
Na fórmula acima, n(Evento) é o número de elementos do subconjunto Evento, isto é, o número de
resultados favoráveis; e n(Espaço Amostral) é o número total de resultados possíveis no
experimento aleatório. Por isso, costumamos dizer também que:
número de resultados favoráveisProbabilidade do Evento=
número total de resultados
Em nosso exemplo, n(Evento) = 3 possibilidades, e n(Espaço Amostral) = 6 possibilidades. Portanto:
3 1Probabilidade do Evento= 0,50 50%
6 2
Uma propriedade importante do espaço amostral é: a probabilidade de ocorrência do próprio
espaço amostral é 100%. No caso do dado, a probabilidade de obter um dos 6 números existentes é
de 100%, pois isso sempre vai ocorrer. Na fórmula, teríamos:
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n(Espaço Amostral)Probabilidade do Espaço Amostral= 1 100%
n(Espaço Amostral)
Observe que, sabendo o número total de resultados e o número de resultados favoráveis, o cálculo
da probabilidade é muito simples. Portanto, normalmente a dificuldade dos exercícios está
justamente no cálculo dessas duas parcelas. Em alguns casos (como no exemplo do dado) é possível
simplesmente contar os casos possíveis e os casos favoráveis. Entretanto, na maioria das vezes será
necessário lembrar os conceitos de princípios de contagem / análise combinatória para resolver a
questão.
Veja este primeiro exemplo, onde as probabilidades podem ser calculadas sem recorrer à análise
combinatória:
FGV ʹ IBGE ʹ 2016) Raíza e Diego resolvem disputar um jogo em que cada um deles lança uma
moeda honesta de forma independente e simultânea. Ela será vencedora no caso de dois
resultados iguais, e ele, de dois diferentes. As probabilidades de vitória dela e dele são,
respectivamente, iguais a:
a) 2/3 e 1/3
b) 1/4 e 2/4
c) 1/3 e 2/3
d) 1/2 e 1/2
e) 3/4 e 1/4
RESOLUÇÃO:
Aqui é fácil listarmos os resultados possíveis com os lançamentos das duas moedas. São eles:
1) Cara-Cara
2) Cara-Coroa
3) Coroa-Cara
4) Coroa-Coroa
Portanto, veja que Raíza tem duas chances de ganhar (1 e 4), e Diego tem outras duas chances
(2 e 3). O total de resultados possíveis é igual a 4. Portanto,
Probabilidade de Raíza ganhar = favoráveis / total = 2 / 4 = 1/2
Probabilidade de Diego ganhar = favoráveis / total = 2 / 4 = 1/2
Resposta: D
Veja mais este exercício. Nele você pode recorrer à análise combinatória para conseguir calcular
todos os casos (embora seja possível listar todos à mão):
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CESGRANRIO ʹ PETROBRAS ʹ 2015) Em um grupo, formado por 20 mulheres e 10 homens, há
apenas 12 mulheres e 8 homens com mais de 21 anos. Duas pessoas do grupo foram escolhidas
ao acaso. Se ambas tiverem mais de 21 anos, então a probabilidade de elas serem de sexos
diferentes é
a)
96
190
b)
94
190
c)
96
200
d)
1
96
e)
1
48
RESOLUÇÃO:
Temos 12 + 8 = 20 pessoas com mais de 21 anos, sendo 12 mulheres e 8 homens. O total de
formas de selecionar duas pessoas com mais de 21 anos é:
C(20,2) = 20x19 / 2! = 190
O número dessas duplas formadas por 1 homem e 1 mulher é 12 x 8 = 96. Esses são os casos
favoráveis. A probabilidade de selecionar uma dessas duplas é:
P = favoráveis / total
P = 96 / 190
Resposta: A
EVENTOS INDEPENDENTES
Qual seria a probabilidade de, em dois lançamentos consecutivos do dado, obtermos um resultado
par em cada um deles? Veja que temos dois experimentos independentes ocorrendo: o primeiro
lançamento e o segundo lançamento do dado. O resultado do primeiro lançamento em nada
influencia o resultado do segundo.
Quando temos experimentos independentes, a probabilidade de ter um resultado favorável em um
E um resultado favorável no outro é dada pela multiplicação das probabilidades de cada
experimento:
P(2 lançamentos) =P(lançamento 1) P(lançamento 2) u
Em nosso exemplo, teríamos:
P(2 lançamentos) =0,50 0,50 0,25 25% u
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Portanto, a chance de obter dois resultados pares em dois lançamentos de dado consecutivos é de
25%. Generalizando, podemos dizer que a probabilidade de dois eventos independentes A e B
acontecerem é dada pela multiplicação da probabilidade de cada um deles:
P (A e B) = P(A) x P(B)
Sendo mais formal, também é possível escrever P(A B)=P(A) P(B) u , onde simboliza a
intersecção entre os eventos A e B.
Analise essa questão:
ESAF ʹ ATRFB ʹ 2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco,
um correntista deve utilizar sua senha constituída por três letras, não necessariamente
distintas, em determinada sequência, sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com
exceção do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três
vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para
digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra
de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de ele apertar
aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da
senha?
a) 0,001.
b) 0,0001.
c) 0,000125.
d) 0,005.
e) 0,008.
RESOLUÇÃO:
Na primeira tecla apertada ao acaso temos 5 das 25 letras disponíveis. Portanto, a chance dessa
tecla conter a primeira letra da senha (que pode ser qualquer uma das 25) é de 5 em 25, isto
é, P = 5/25 = 1/5.
Da mesma forma, a chance da segunda tecla apertada ao acaso conter a segunda letra da senha
é de 5 em 25, ou seja, P = 1/5. Analogamente, a chance da terceira tecla apertada conter a
terceira letra da senha é P = 1/5.
A chance de acertar a primeira E acertar a segunda E acertar a terceira letras da senha é dada
pela multiplicação dessas probabilidades, pois temos três eventos independentes entre si:
1 1 1 1 0,008
5 5 5 125
P u u
Resposta: E
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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES
Existem certos eventos que, se ocorrerem, excluem a possibilidade de ocorrência de outro. Por
ĞdžĞŵƉůŽ ?�ŝŵĂŐŝŶĞ�ƋƵĞ���Ġ�Ž�ĞǀĞŶƚŽ� “ŽďƚĞƌ�Ƶŵ�ƌĞƐƵůƚĂĚŽ�ƉĂƌ�ŶŽ�ůĂŶĕĂŵĞŶƚŽ�ĚĞ�Ƶŵ�ĚĂĚŽ ? ?�Ğ���Ġ�Ž�
ĞǀĞŶƚŽ� “ŽďƚĞƌ�Ƶŵ�ƌĞƐƵůƚĂĚŽ�şŵƉĂƌ ? ?�sĞũĂ�ƋƵĞ ?�ƐĞ���ŽĐŽƌƌĞƌ, ele impossibilita a ocorrência simultânea
de B (afinal, não há um número que seja par e ímpar ao mesmo tempo).
Chamamos esses eventos de mutuamente exclusivos, pois A exclui a possibilidade de ocorrer B, e B
exclui a possibilidade de ocorrer A. Quando tempos eventos mutuamente exclusivos, a
probabilidade de ocorrência simultânea é nula:
( ) 0P A B
Veja esta questão:
FGV ʹ MRE ʹ 2016) Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se
aleatoriamente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de que o
número da segunda bola retirada da urna seja par é:
(A) 1/2
(B) 3/7
(C) 4/7
(D) 7/15
(E) 8/15
RESOLUÇÃO:
Temos duas situações que nos interessam: aquela onde o 1º número é par e o 2º também, e
aquela onde o 1º número é ímpar e o 2º é par. Repare que elas são mutuamente excludentes,
afinal se tivermos par-par, automaticamente NÃO teremos impar-par.
Vejamos a probabilidade de cada uma delas:
- 1º número par e o 2º também:
Temos 7 números pares de 1 a 15, em um total de 15 números. A chance de o primeiro ser par
é de 7 em 15, ou 7/15. A chance de o segundo ser par também é de 6 em 14 números restantes,
ou seja, 6/14 = 3/7. Assim, a chance de o 1º ser par e o 2º ser par também é de 7/15 x 3/7 =
3/15 = 1/5.
- 1º número ser ímpar e o 2º ser par:
Temos 8 números ímpares de 1 a 15, em um total de 15 números. A chance de o primeiro ser
ímpar é de 8 em 15, ou 8/15. A chance de o segundo ser par é de 7 em 14 números restantes,
ou seja, 7/14 = 1/2. A probabilidade de o 1º ser ímpar e o 2º ser par é de 8/15 x 1/2 = 4/15.
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Como os casos são mutuamente excludentes, devemos somar suas probabilidades:
P = 1/5 + 4/15 = 3/15 + 4/15 = 7/15
Resposta: D
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Dados dois eventos A e B, chamamos de A B o evento que ocorre quando ocorrem A, B ou ambos.
Se A = probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado e B = probabilidade de
obter o número 5, A B ocorre se o resultado do dado for {2, 4, 5, 6}. Portanto, a probabilidade do
evento A B é:
4 2( )
6 3
P A B
Essa probabilidade pode ser calculada também através da seguinte expressão:
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B � �
Neste caso, veja que P(A) = 3/6 e P(B) = 1/6. Note ainda que A e B são eventos mutuamente
exclusivos, pois o número 5 não é par. Portanto, ( ) 0P A B , como vimos logo acima.
Assim,
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 4 2( ) 0
6 6 6 3
P A B P A P B P A B
P A B
� �
� �
Note, portanto, que a probabilidade do evento A OU do evento B ocorrerem é simplesmente igual à
soma das probabilidades, caso sejam eventos mutuamente exclusivos.
Vamos exercitar a fórmula da probabilidade da união de eventos com esta questão:
FGV ʹ SEFAZ/RJ ʹ 2009) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9.
Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para P(A ŀ B).
(A) 0,13.
(B) 0,22.
(C) 0,31.
(D) 0,49.
(E) 0,54.
RESOLUÇÃO:
A probabilidade da União entre A e B é:
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P(A B) = P(A) + P(B) ? P(A B)
P(A ou B) = 0,4 + 0,9 ? P(A e B)
P(A ou B) = 1,3 ? P(A e B)
O menor valor possível para P(A ou B) ocorre quando o menor (A) está contido no maior (B):
Neste caso, P(A ou B) = P(B) = 0,9. Assim,
P(A ou B) >= 0,9
Por outro, o maior valor possível para P(A ou B) é 100%, ou 1. Assim,
0,9 ( ) 1P A Bd d
0,9 1,3 ( ) 1P A Bd � d
0, 4 ( ) 0,3P A B� d � d �
0, 4 ( ) 0,3P A Bt t
Assim, a probabilidade da intersecção deve ser um número entre 0,3 e 0,4. A única alternativa
possível é a letra C, isto é, P(A e B) = 0,31.
Resposta: C
EVENTOS COMPLEMENTARES
O lançamento de um dado só pode ter resultados pares ou ímpares. Portanto, somando a
probabilidade de obter resultados pares com a probabilidade de obter resultados ímpares, teremos
100%. Se já calculamos a probabilidade de ter resultados pares (50%), podemos obter a
probabilidade de ter resultados ímpares segundo a fórmula abaixo:
Probabilidade(ímpares) = 1 - Probabilidade(pares)
O subconjunto dos resultados pares é o complemento do subconjunto dos resultados ímpares, pois
unindo esses dois subconjuntos obtemos o espaço amostral. Em outras palavras, o que estamos
dizendo aqui é que a probabilidade de um evento ocorrer é igual a 100% menos a probabilidade do
seu complemento ocorrer. Portanto, podemos utilizar a expressão abaixo:
Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec)
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Nesta fórmula, E é o Evento procurado e Ec o seu complemento. Vamos utilizaressa propriedade
para resolver o seguinte problema: qual a probabilidade de, efetuando duas vezes o lançamento de
um dado, obter pelo menos um resultado par?
EĞƐƚĞ�ĐĂƐŽ ?�Ž�ŶŽƐƐŽ��ǀĞŶƚŽ�Ġ P� “ŽďƚĞƌ�ƉĞůŽ�ŵĞŶŽƐ�Ƶŵ�ƌĞƐƵůƚĂĚŽ�ƉĂƌ ? ?�K�ƐĞƵ�ĐŽŵƉůĞŵĞŶƚŽ�Ġ� “ŶĆŽ�
ŽďƚĞƌ�ŶĞŶŚƵŵ�ƌĞƐƵůƚĂĚŽ�ƉĂƌ ? ?�ŽƵ�ƐŝŵƉůĞƐŵĞŶƚĞ� “ŽďƚĞƌ�ĂƉĞŶĂƐ�ƌĞƐƵůƚĂĚŽƐ�şŵƉĂƌĞƐ ? ?���ƉƌŽƉƌŝĞĚĂĚĞ�
vista acima nos diz que:
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares)
Usamos a propriedade pois é bem fácil calcular a probabilidade de ter apenas resultados ímpares.
Sabemos que, no primeiro lançamento, a chance de ter um resultado ímpar é de 50%, e no segundo
lançamento, outros 50%. Para que o resultado seja ímpar no primeiro E no segundo lançamentos,
basta multiplicar essas duas probabilidades: 50% x 50% = 25%. Portanto:
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares)
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - 25%=75%
Vamos trabalhar isso no exemplo abaixo:
ESAF ʹ MPOG ʹ 2009) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson
e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de
existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão
que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso,
três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que
Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à
comissão é, em termos percentuais, igual a:
a) 30 %
b) 80 %
c) 62 %
d) 25 %
e) 75 %
RESOLUÇÃO:
Chamemos os 5 moradores de A, B, C, D e E. Sabendo que D não pertence à comissão, podemos
calcular o total de comissões de 3 pessoas que podem ser criadas utilizando-se um total de 4
indivíduos. Trata-se da combinação de 4, 3 a 3:
C(4,3) = C(4,1) = 4
São tão poucas comissões que podemos listá-las rapidamente:
A, B, C
A, B, E
A, C, E
B, C, E
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Veja que, das 4, C participa de 3. Portanto, a probabilidade dele estar na comissão é:
P = 3 / 4 = 0,75 = 75% (letra E)
A probabilidade de C participar também pode ser calculada sem listar as comissões, lembrando
que:
Probabilidade de C fazer parte = 1 ʹ Probabilidade de C não fazer parte
Se nem D nem C fizerem parte das comissões, temos 3 pessoas para formar 3 comissões. O
total de comissões que podem ser formados é C(3,3) = 1. Assim, a probabilidade de C não fazer
parte é de 1 em 4 comissões, ou seja:
(3,3) 11 1 75%(4,3) 4
CP
C
� �
Para este cálculo acima, basta lembrar que, caso nem D nem C façam parte, restam apenas 3
pessoas para serem escolhidas formando grupos de 3, isto é, C(3,3).
Resposta: E
REPOSIÇÃO
Um problema muito comum em questões de concursos segue o seguinte modelo: você possui uma
urna com 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. Você retira uma bola, vê a sua cor, coloca-
a de volta na urna retira outra bola. Qual a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas?
Veja que, após retirar a primeira bola, você a colocou de volta no saco, ou seja, você a repôs. Estamos
diante de um cálculo de probabilidades com reposição. A probabilidade de ter retirado uma bola
branca do saco é de 2 em 7, isto é, 27 . Como você devolveu esta bola ao saco, a probabilidade de
retirar outra bola branca é novamente de 27 . Temos dois eventos independentes, portanto a
probabilidade combinada será a multiplicação dessas duas: 2 2 47 7 49u .
Agora, e se o exercício dissesse que você não coloca de volta na urna a bola que retirou? Estaríamos
diante de um cálculo de probabilidades sem reposição. Neste caso, a probabilidade de retirar uma
bola branca inicialmente continua igual: 27 . Já no momento de retirar a segunda bola, teremos
apenas 6 bolas dentro da urna, sendo que destas apenas 1 é branca. Portanto, a probabilidade de
retirá-la não é mais de 27 , e sim
1
6 . Assim, a probabilidade de retirar duas bolas brancas da urna
será: 2 1 2 17 6 42 21u .
Outra forma de efetuar esse cálculo último cálculo é observando que o número de conjuntos de 2
bolas que podemos formar com 7 bolas é igual a combinação de 7, 2 a 2: C(7,2) = 21. E o número de
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conjuntos de 2 bolas que podemos formar apenas com as 2 bolas brancas é igual a C(2,2) = 1.
Portanto, a probabilidade de tirar exatamente duas bolas brancas, sem reposição, é P = 1/21.
Para finalizar, vejamos uma variação do problema envolvendo a urna: qual seria a probabilidade de
se retirar uma bola branca ou retirar uma bola preta?
Veja que, das 7 bolas, 2 são brancas e 3 são pretas. A probabilidade de se retirar uma bola branca já
foi calculada anteriormente, e é igual a 27 . Analogamente, a probabilidade de se retirar uma bola
preta é de 37 . A probabilidade de ocorrer um evento (bola branca) OU o outro evento (bola preta)
é dada por:
( Pr ) ( ) (Pr ) - ( Pr )P Branca eta P Branca P eta P Branca eta �
Sabemos que a probabilidade de uma bola ser branca e preta ao mesmo tempo é nula, ou seja,
( Pr ) 0P Branca eta . Isto é, estamos diante de eventos mutuamente excludentes.
Portanto, bastaria somar 27 +
3
7 =
5
7 .
Dica: repare que quando utilizamos o E (probabilidade dos eventos A e B acontecerem) basta
multiplicar as probabilidades de cada evento. Já quando utilizamos o OU (probabilidade dos
eventos A ou B), basta somar as probabilidades de cada evento. Isso só vale para
probabilidade de eventos independentes (no caso do E) ou mutuamente excludentes (no
caso do OU) ? mas a grande maioria dos exercícios de concurso são assim.
Vamos exercitar DUAS questões: um caso sem reposição e um caso com reposição. Acompanhe e
veja as diferenças de abordagem.
ESAF ʹ ANAC ʹ 2016) Uma caixa contém seis bolas brancas e quatro pretas. Duas bolas serão
retiradas dessa caixa, uma a uma e sem reposição, então a probabilidade de uma ser branca e
a outra ser preta é igual a
a) 4/15.
b) 7/15.
c) 2/15.
d) 8/15.
e) 11/15.
RESOLUÇÃO:
A chance de a primeira ser branca é de 6 em 10, ou 6/10. E a chance de a segunda ser preta,
neste caso, é de 4 em 9, ou 4/9, de modo que a probabilidade de a primeira ser branca e a
segunda ser preta é de:
P = 6/10 x 4/9 = 24/90 = 8/30 = 4/15
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De modo análogo, a chance de a primeira ser preta é de 4/10, e da segunda ser branca é de
6/9 neste caso, ficando:
P = 4/10 x 6/9 = 4/15
Somando as probabilidades destes dois casos mutuamente excludentes, temos 8/15.
Outra forma de resolver: o total de formas de retirar 2 das 10 bolas é dado pela combinação
C(10,2) = 10x9 / 2 = 45. Já as formas de tirar 1 bola branca e 1 bola preta são 6x4 = 24. Assim,
a probabilidade de tirar 1 branca e 1 preta é dada por:
P = 24 / 45 = 8 / 15
Resposta: D
ESAF ʹ MPOG ʹ 2009) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e
na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas
de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três
bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da
mesma cor e com os respectivos números pares?a) 10/512.
b) 3/512.
c) 4/128.
d) 3/64.
e) 1/64.
RESOLUÇÃO:
Muito cuidado ao seguinte detalhe: vamos retirar as bolas com reposição, ou seja, vamos
retirar uma, devolve-la à urna, e retirar outra. Podemos acabar tirando a mesma bola duas ou
três vezes.
Se queremos retirar 3 bolas da mesma cor e pares, temos as seguintes possibilidades:
- retirar 3 bolas azuis pares OU retirar 3 bolas amarelas pares OU retirar 3 bolas vermelhas
pares.
Vamos calcular separadamente a probabilidade de cada uma dessas possibilidades, e a seguir
somá-las, ƉŽŝƐ�ƚĞŵŽƐ�Ž�ĐŽŶĞĐƚŝǀŽ� “Kh ? ?�
Das 200 bolas, 50 são azuis e, destas, 25 são pares. A probabilidade de retirar uma bola azul
par é de 25/200 = 1/8. A probabilidade da primeira E da segunda E da terceira bola serem azuis
e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 A?� ? ? ? ? ?� ?ŵƵůƚŝƉůŝĐĂŵŽƐ�ƉŽŝƐ�ƚĞŵŽƐ�Ž�ĐŽŶĞĐƚŝǀŽ� “� ?� ? eventos
independentes).
Das 200 bolas, 100 são amarelas e, destas, 50 são pares. A probabilidade de retirar uma bola
amarela par é de 50/200 = 1/4. A probabilidade da primeira E da segunda E da terceira bola
serem amarelas e pares é P = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64.
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Das 200 bolas, 50 são vermelhas e, destas, 25 são pares. A probabilidade de retirar uma bola
vermelha par é de 25/200 = 1/8. A probabilidade da primeira E da segunda E da terceira bola
serem vermelhas e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512.
Portanto, a probabilidade de tirar 3 bolas da mesma cor e pares é dada pela soma:
P = 1/512 + 1/64 + 1/512 = 10/512
Resposta: A
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Neste tópico vamos tratar sobre outro tipo muito comum de questões em concursos. Imagine que
vamos lançar um dado, e estamos analisando 2 eventos distintos:
A Æ sair um resultado par
B Æ sair um resultado inferior a 4
Para o evento A ser atendido, os resultados favoráveis são 2, 4 e 6. Para o evento B ser atendido, os
resultados favoráveis são 1, 2 e 3. Vamos calcular rapidamente a probabilidade de cada um desses
eventos:
3( ) 50%
6
3( ) 50%
6
P A
P B
A pergunta em sua prova pode ser: no lançamento de um dado, qual é a probabilidade de obter um
resultado par, dado que foi obtido um resultado inferior a 4?
Em outras palavras, essa pergunta é: qual a probabilidade do evento A, dado que o evento B
ŽĐŽƌƌĞƵ ?�DĂƚĞŵĂƚŝĐĂŵĞŶƚĞ ?�ƉŽĚĞŵŽƐ�ĞƐĐƌĞǀĞƌ�W ?� ?� ?� ?ůĞŝĂ� “ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ�ĚĞ�� ?�ĚĂĚŽ�� ? ? ?�
Aqui já sabemos de antemão que B ocorreu. Portanto, o resultado do lançamento do dado foi 1, 2
ou 3 (três resultados possíveis). Destes resultados, apenas um deles (o resultado 2) atende o evento
A. Portanto, a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é simplesmente:
1( / ) 33,3%
3
P A B
E se nos fosse perguntado qual a probabilidade de obter um resultado inferior a 4, dado que o
resultado do lançamento foi um número par? Isto é, qual a probabilidade de B ocorrer, dado que A
ocorreu?
Veja que, se A ocorreu, o resultado foi 2, 4 ou 6. Destes, apenas o resultado 2 atende o evento B (é
inferior a 4). Portanto,
1( / ) 33,3%
3
P B A
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Coincidentemente, obtivemos o mesmo resultado para P(A/B) e P(B/A). A probabilidade de um
evento ocorrer, dado que outro ocorreu, é chamada de probabilidade condicional. Uma outra forma
de calculá-la é através da seguinte divisão:
( )( / ) ( )
P A BP A B
P B
A fórmula nos diz que a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é a divisão entre a
probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente e a probabilidade de B ocorrer.
Para que A e B ocorram simultaneamente (resultado par e inferior a 4), a única possibilidade é o
resultado igual a 2. Isto é, apenas 1 dos 6 resultados nos atende. Assim,
1( )
6
P A B .
Para que B ocorra (resultado inferior a 4), já vimos que 3 resultados atendem. Portanto,
3( )
6
P B
Logo, usando a fórmula acima, temos:
1( ) 16( / ) 33,3%3( ) 36
P A BP A B
P B
Veja essa questão:
ESAF ʹ MINISTÉRIO DA FAZENDA ʹ 2013) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja
probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um
número z do conjunto Z dado pelo intervalo {z ɸ�N | 7 A?�z A?�11}. Se ocorrer coroa, seleciona-se,
ao acaso, um número p do intervalo P = {p ɸ�N | 1 A?�p < 5}, em que N representao conjunto dos
números naturais. Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado,
Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o
lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto P se ocorreu
coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter
ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a:
a) 6/31
b) 1/2
c) 1/12
d) 1/7
e) 5/6
RESOLUÇÃO:
Sejam os eventos:
Impar = probabilidade de o número escolhido ser ímpar
Coroa = probabilidade de obter coroa
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O enunciado nos solicitou a probabilidade de ter obtido coroa, dado que o número selecionado
é ímpar. Isto é,
P(Coroa|Impar) = P(Coroa e Impar) / P(Impar)
A probabilidade de obter coroa é 1/6, e com isso a probabilidade de pegar um número ímpar
no conjunto P é de 2/4 (pois temos ?�ŶƷŵĞƌŽƐ�şŵƉĂƌĞƐ�ŶŽ�ŝŶƚĞƌǀĂůŽ� ?�A?�Ɖ�AM� ? ?�ƋƵĞ�Ġ�ĨŽƌŵĂĚŽ�
por 4 números). Assim,
P(Coroa e Impar) = (1/6) x (2/4) = 1/12
A probabilidade de obter cara é 5/6, e com isso a probabilidade de pegar um número ímpar no
conjunto Z é de 3/5 (pois temos 3 números ímpĂƌĞƐ�ŶŽ�ŝŶƚĞƌǀĂůŽ� ?�A?�nj�A?� ? ? ? ?��ƐƐŝŵ ?�
P(Cara e Impar) = (5/6) x (3/5) = 1/2
Portanto, a probabilidade de obter um número ímpar é:
P(Impar) = P(Cara e Impar) + P(Coroa e Impar) = 1/2 + 1/12 = 7/12
Com isso,
P(Coroa|Impar) = P(Coroa e Impar) / P(Impar)
P(Coroa|Impar) = (1/12) / (7/12) = 1/7
Resposta: D
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
Vimos acima que, quando dois eventos A e B são independentes, podemos dizer que:
P(A B)=P(A) P(B) u
Por outro lado, vimos que:
( )( / ) ( )
P A BP A B
P B
Substituindo a primeira equação nesta segunda, temos:
( ) ( ) ( )( / ) ( ) ( )
( / ) ( )
P A B P A P BP A B
P B P B
P A B P A
u
Esta última equação nos diz que, se A e B são dois eventos independentes, a probabilidade de A
ocorrer dado que B ocorreu é igual aprópria probabilidade de A ocorrer. Isto é, o fato de B ter
ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer ou não. Da mesma forma, podemos dizer que:
P(B/A) = P(B)
Exemplificando, sejam os eventos A = obter o número 2 no primeiro lançamento de um dado; e o
evento B = obter o número 6 no segundo lançamento. Qual a probabilidade de obter o número 6 no
segundo lançamento, dado que foi obtido o número 2 no primeiro?
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Sabemos que esses dois eventos são independentes, afinal o fato de ter saído o número 2 no
primeiro lançamento em nada altera a probabilidade de sair o número 6 no segundo lançamento.
Portanto, a probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu (P(B/A)), é simplesmente a
probabilidadede B ocorrer (isto é, P(B)). Como P(B) = 1/6, podemos dizer que:
P(B/A) = P(B) = 1/6
Portanto, a probabilidade de obter 6 no segundo lançamento, dado que foi obtido 2 no primeiro, é
igual a 1/6.
Veja essa questão:
ESAF ʹ MTur ʹ 2014) Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; P(A/B) = 0,25.
Assim, pode-se afirmar que:
a) A e B são eventos dependentes.
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos.
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes.
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes.
e) P(A B) = 0 e os eventos são independentes.
RESOLUÇÃO:
Veja que:
( )( | ) ( )
P A BP B A
P A
( )0,5
0, 25
P A B
0,5 0,25 ( )P A Bu
0,125 ( )P A B
Temos ainda que:
( )( | ) ( )
P A BP A B
P B
0,1250,25 ( )P B
0,125( ) 0,50
0,25
P B
Assim, veja que:
P(A)xP(B) = 0,25x0,50 = 0,125 = ( )P A B
Como P(A)xP(B) = ( )P A B , podemos dizer que os eventos são independentes.
Resposta: D
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VALOR ESPERADO
/ŵĂŐŝŶĞ� ƋƵĞ� ǀĂŵŽƐ� ǀĂŵŽƐ� ĞdžĞĐƵƚĂƌ� Ž� ĞdžƉĞƌŝŵĞŶƚŽ� ĂůĞĂƚſƌŝŽ� “y ? ?� ƋƵĞ� ĐŽŶƐŝƐƚĞ� Ğŵ� ĞĨĞƚƵĂƌ� Ž�
ůĂŶĕĂŵĞŶƚŽ�ĚŽ�ŶŽƐƐŽ�ĚĂĚŽ ?��ƵƐĐĂŵŽƐ�Ă�ŽĐŽƌƌġŶĐŝĂ�ĚŽ�ĞǀĞŶƚŽ� “ŽďƚĞƌ�Ƶŵ ƌĞƐƵůƚĂĚŽ�ƉĂƌ ? ?�:Ą�ǀŝŵŽƐ�
que, em cada lançamento, a probabilidade de obter um resultado par é P = 50%.
Após 40 lançamentos, esperamos que quantos tenham dado resultado par?
Ora, basta multiplicar a probabilidade de ter resultado par em cada lançamento (50%) pelo número
de lançamentos (40):
Sucessos = 50% x 40 = 20
Ou seja, é esperado que 20 resultados sejam pares. Generalizando, após N repetições de um
ĞdžƉĞƌŝŵĞŶƚŽ� ĐŽŵ� “Ɖ ?� ĐŚĂŶĐĞƐ� ĚĞ� ƋƵĞ� Ž� ŶŽƐƐŽ� �ǀĞŶƚŽ� ŽĐŽƌƌĂ ?� ?� Ġ� ĞƐƉĞƌĂĚŽ� ƋƵĞ� Ž� ŶƷŵĞƌŽ� ĚĞ�
resultados em que o nosso evento ocorreu seja:
Sucessos = N x p
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BATERIA DE QUESTÕES RESOLVIDAS
1. Instituto Acesso ʹ SEDUC/AM ʹ 2018) Um espaço amostral é particionado em 4 eventos disjuntos
X, Y, Z e W, cujas probabilidades são, respectivamente, P, 2P2, P2 e P. A probabilidade da união dos
eventos X e Y é:
A) 1/9
B) 2/9
C) 1/3
D) 5/9
E) 4/9
RESOLUÇÃO:
Para resolver a questão, devemos considerar P2 como P². A soma de todas as probabilidades desse
espaço amostral deve ser 1. Logo:
P + 2P² + P² + P = 1
3P² + 2P ? 1 = 0
P =
ିଶേඥଶమିସǤଷǤሺିଵሻଶǤଷ
P =
ିଶേ ?ସାଵଶ
P = (-2 + 4)/6 = 2/6 = 1/3
Portanto, a probabilidade de união dos eventos X e Y será:
P (X U Y) = P + 2P² = (1/3) + 2(1/9)
P (X U Y) = 3/9 + 2/9 = 5/9
Resposta: D
2. Instituto Acesso ʹ SEDUC/AM ʹ 2018) Quinze pessoas, sendo três mulheres, formam uma fila de
maneira aleatória. Qual a probabilidade das três mulheres não ficarem juntas na fila, ou seja, de elas
não ficarem em três posições vizinhas?
A) 34/35
B) 32/35
C) 31/33
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D) 33/35
E) 32/33
RESOLUÇÃO:
Para achar o total de maneiras de se formar filas, basta permutar as quinze pessoas. Logo:
Total = P(15) = 15!
O enunciado pede a probabilidade das três mulheres não ficarem juntas. Vamos calcular a
probabilidade complementar desse evento, ou seja, os casos em que elas ficarão juntas. Para isso,
devemos pensar nas três mulheres como uma única posição da fila. Temos:
P(13) = 13!
Mas devemos, ainda, considerar, que as três mulheres podem se permutar entre si. Então, os casos
em que elas estão juntas na fila passam a ser:
P(13) x P(3) = 13!3!
A probabilidade fica:
P(juntas) = (13!3!)/15! = 3!/(15 x 14) = (2 x 3)/(15 x 14) = 1/35
Portanto, a probabilidade complementar, que corresponde à probabilidade de elas NÃO ficarem
juntas, será de:
P = 1 ? P(juntas) = 35/35 ? 1/35 = 34/35
Resposta: A
3. FUMARC - SEE/MG ʹ 2018) Em uma sala do último ano do ensino médio com 50 alunos, sendo 28
meninas, foi feita uma pesquisa sobre o curso que pretendiam fazer na faculdade. Entre os 6 alunos
que responderam que pretendiam fazer Arquitetura estavam apenas 2 meninas. Tomando ao acaso
um desses alunos, qual é a probabilidade de que, sendo menina, pretenda fazer Arquitetura?
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/11
(D) 1/14
(E) 1/25
RESOLUÇÃO:
Sabemos que apenas 2 meninas nessa sala pretendem fazer Arquitetura. Como são 28 meninas no
total, a probabilidade que uma menina pretenda fazer Arquitetura será de:
P =
ଶଶ଼
P =
ଵଵସ
Resposta: D
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4. FUMARC - SEE/MG ʹ 2018) Em uma escola, foram consultados 800 alunos sobre a realização de
uma oficina extraturno. Desses, 385 optaram por oficina de música, 428 optaram por oficina de
pintura e 47 não opinaram. Selecionando, ao acaso, um desses alunos, qual é a probabilidade de ele
ter optado pelas duas oficinas? (A) 40,6%
(B) 0,1%
(C) 6,1%
(D) 7,5%
(E) 10,7%
RESOLUÇÃO:
Fazendo o diagrama de Venn, vamos achar o número de pessoas que optou pelas duas oficinas:
385 ? X + X + 428 ? X + 47 = 800
860 ? X = 800
X = 60
A probabilidade de uma dessas pessoas ser selecionada será de:
P =
଼
P = 0,075 = 7,5 %
Resposta: D
5. CESPE ʹ SEDUC/AL ʹ 2018) Acerca de probabilidade e estatística, julgue os próximos itens.
() Situação hipotética: A média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a
51,8 kg. Nessa sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg.
Assertiva: Nesse caso, essa sala de aulas tem 24 meninos e 36 meninas.
() Considere que de uma urna com 10 bolas numeradas de 1 a 10, uma pessoa deva retirar,
aleatoriamente, duas bolas ao mesmo tempo. Nesse caso, a probabilidade de que seja 12 a soma
dos números das bolas retiradas é superior a 9%.
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==102307==
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() Considere que fichas numeradas de 11 a 99 sejam colocadas em uma urna e que uma delas seja
retirada aleatoriamente. Nesse caso, a probabilidade de o número da ficha retirada ter o algarismo
das dezenas menor que o algarismo das unidades é inferior a 35%.
() Situação hipotética: Na revisão de um livro, o editor contou 20 páginas que tiveram 0, 1, 2, 3 ou 4
erros; 36 páginas que tiveram 5, 6, 7, 8 ou 9 erros. Prosseguindo, ele obteve os valores mostrados
na tabela a seguir.
Assertiva: Nesse caso, a frequência relativa para os dados da classe modal da tabela é de 40%.
RESOLUÇÃO:
Vamos analisar as alternativas:
() Situação hipotética: A média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a
51,8 kg. Nessa sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg.
Assertiva: Nesse caso, essa sala de aulas tem 24 meninos e 36 meninas.
sĂŵŽƐ�ĐŚĂŵĂƌ�ĚĞ� “W ?�Ă�ƐŽŵĂ�ĚŽƐ�ƉĞƐŽƐ�ĚŽƐ� ? ?�ĂůƵŶŽƐ ?��ŽŵŽ�Ă�ŵĠĚŝĂ�Ġ� ? ?,8 kg, temos:
Média =
ୗ୭୫ୟ�ୢ୭ୱ�୮ୣୱ୭ୱ୬ ?�ୢୣ�ୟ୪୳୬୭ୱ
51,8 =
P = 60 x 51,8P = 3108 kg
^ĂďĞŵŽƐ�ƋƵĞ�Ă�ŵĠĚŝĂ�ĚŽ�ƉĞƐŽ�ĚŽƐ�ŵĞŶŝŶŽƐ�ĨŽŝ� ? ?�ŬŐ ?�^ĞŶĚŽ� “Ŷ ?�Ž�ŶƷŵĞƌŽ�ĚĞ�ŵĞŶŝŶŽƐ�Ğ� “ŵ ?�Ă�ƐŽŵĂ�
de seus pesos, temos:
62 =
୫୬
m = 62n
K�ŶƷŵĞƌŽ�ĚĞ�ŵĞŶŝŶĂƐ�ƐĞƌĄ� “ ? ? ? Ŷ ?�Ğ�Ă�ƐŽŵĂ�ĚĞ�ƐĞƵƐ�ƉĞƐŽƐ� “ ? ? ? ?� ? ŵ ? ?��ŽŵŽ�Ă�ŵĠĚŝĂ�Ġ� ? ?�ŬŐ ?�ĨŝĐĂ P
45 =
ଷଵ଼�ି�୫ି୬
3108 - m = (60 ? n). 45
3108 - m =2700 ? 45n
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3108 ? 2700 = m ? 45n
408 = m ? 45n
Substituindo m = 62n na equação:
408 = 62n ? 45n
17n = 408
n = 24 meninos
Como são 60 alunos, existem 36 meninas. Item CORRETO.
() Considere que de uma urna com 10 bolas numeradas de 1 a 10, uma pessoa deva retirar,
aleatoriamente, duas bolas ao mesmo tempo. Nesse caso, a probabilidade de que seja 12 a soma
dos números das bolas retiradas é superior a 9%.
O número de casos possíveis em que duas bolas podem ser retiradas dessa urna será dado por:
C (10;2) =
ଵ�ൈ�ଽଶ = 45 casos possíveis
Os casos cuja soma dos números das bolas resulta em 12 são enumerados a seguir: 2+10; 3+9; 4+8;
5+7; 6+6; 7+5; 8+4; 9+3; 10+2. Total de 9 casos favoráveis.
Portanto, a probabilidade será:
P =
ୡୟୱ୭ୱ�ୟ୴୭୰୴ୣ୧ୱୡୟୱ୭ୱ�୮୭ୱୱÀ୴ୣ୧ୱ
P =
ଽସହ = ଵହ
P = 20%
A banca deu como gabarito que o item está errado, mas como 20% é superior a 9% a resposta estaria
correta.
() Considere que fichas numeradas de 11 a 99 sejam colocadas em uma urna e que uma delas seja
retirada aleatoriamente. Nesse caso, a probabilidade de o número da ficha retirada ter o algarismo
das dezenas menor que o algarismo das unidades é inferior a 35%.
Temos no total: 99 ? 11= 88 + 1ª ficha = 89 fichas possíveis de serem retiradas.
Vamos analisar os números em que o algarismo da dezena é menor do que o algarismo da unidade:
1º) Dezena 10: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2º) Dezena 20: 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
3º) Dezena 30: 34, 35, 36, 37, 38, 39
4º) Dezena 40: 45, 46, 47, 48, 49
5º) Dezena 50: 56, 57, 58, 59
6º) Dezena 60: 67, 68, 69
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7º) Dezena 70: 78, 79
8º) Dezena 80: 89
9º) Dezena 90: não há casos
Total de casos favoráveis: 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36
Probabilidade =
ୡୟୱ୭ୱ�ୟ୴୭୰୴ୣ୧ୱୡୟୱ୭ୱ�୮୭ୱୱÀ୴ୣ୧ୱ
Probabilidade =
ଷ଼ଽ
Probabilidade ؆ 40,4%
Item ERRADO.
Resposta: CCE
6. FCC ʹ ALESE ʹ 2018) Segundo a previsão do tempo, a probabilidade de chuva em uma cidade é de
50% no sábado e 30% no domingo. Além disso, ela informa que há 20% de probabilidade de que
chova tanto no sábado quanto no domingo. De acordo com essa previsão, a probabilidade de que
haja chuva nessa cidade em pelo menos um dos dois dias do final de semana é igual a
(A) 100%.
(B) 80%.
(C) 70%.
(D) 60%.
(E) 50%.
RESOLUÇÃO:
Sendo S a probabilidade de chuva no sábado e D a probabilidade de chuva no domingo, podemos
dizer que:
P(S ou D) = P(S) + P(D) ? P(S e D)
O enunciado nos disse que:
P(S) = 50%
P(D) = 30%
P(S e D) = 20%
Logo,
P(S ou D) = 50% + 30% - 20% = 60%
Resposta: D
7. FCC ʹ SEDU/ES ʹ 2016) De acordo com a abordagem frequentista, afirmar que a probabilidade de
sair cara no lançamento de uma moeda honesta é 50% é equivalente a dizer que
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(A) em 1000 lançamentos aleatórios da moeda ocorrem 500 caras.
(B) haverá alternância entre cara e coroa na sequência de lançamentos aleatórios se a moeda for
lançada muitas vezes.
(C) depois de sair duas coroas seguidas no lançamento aleatório dessa moeda, a chance de sair cara
no terceiro lançamento será maior do que 50%.
(D) para um número muito grande de lançamentos aleatórios, o gráfico da probabilidade de
ocorrência de cara em função do número de lançamentos da moeda tenderá a ser uma linha paralela
a um dos eixos.
(E) para um número muito grande de lançamentos aleatórios, o gráfico da probabilidade de
ocorrência de cara em função do número de lançamentos da moeda tenderá a ser uma parábola.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada alternativa de resposta.
(A) em 1000 lançamentos aleatórios da moeda ocorrem 500 caras.
�ŵďŽƌĂ�Ă�ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ�ĚĞ�ƌĞƐƵůƚĂĚŽ� “ĐĂƌĂ ?�ƐĞũĂ�ĚĞ� ? ?A? ?�ŝƐƚŽ�E�K�ƐŝŐŶŝĨŝĐĂ�ƋƵĞ�ƚĞƌĞŵŽƐ�ĞdžĂƚĂŵĞŶƚĞ�
50% dos lançamentos com este resultado. Alternativa FALSA.
(B) haverá alternância entre cara e coroa na sequência de lançamentos aleatórios se a moeda for
lançada muitas vezes.
Não necessariamente. Como os resultados acontecem ao acaso e são independentes uns dos outros,
o fato de ter saído cara em um lançamento em nada afeta a probabilidade de sair cara ou coroa no
próximo. É possível, inclusive, termos sequências de lançamentos com resultados iguais. Alternativa
FALSA.
(C) depois de sair duas coroas seguidas no lançamento aleatório dessa moeda, a chance de sair cara
no terceiro lançamento será maior do que 50%.
FALSO. Como vimos no item anterior, os lançamentos são independentes entre si, de modo que
resultados anteriores em nada afetam o resultado de um novo lançamento.
(D) para um número muito grande de lançamentos aleatórios, o gráfico da probabilidade de
ocorrência de cara em função do número de lançamentos da moeda tenderá a ser uma linha paralela
a um dos eixos.
Como a probabilidade de ocorrência de cara é 50%, isto significa que, à medida que o número de
lançamentos aumenta, o percentual de lançamentos com resultado cara tende a 50%. Desta forma,
passamos a ter um gráfico constante (paralelo ao eixo horizontal) na altura da probabilidade de 50%.
Alternativa VERDADEIRA.
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(E) para um número muito grande de lançamentos aleatórios, o gráfico da probabilidade de
ocorrência de cara em função do número de lançamentos da moeda tenderá a ser uma parábola.
Como vimos anteriormente, o gráfico tende a ficar horizontal, uma vez que o percentual de
ůĂŶĕĂŵĞŶƚŽƐ� “ĐĂƌĂ ?�ĐŽŶǀĞƌŐĞ�ƉĂƌĂ� ? ?A? ?��ůƚĞƌŶĂƚŝǀĂ�&�>^� ?
Resposta: D
8. FCC ʹ SEDU/ES ʹ 2016) Admita que a probabilidade de nascer um menino seja de 50%. Entre seis
nascimentos, a probabilidade de que três sejam meninas é igual a
(A) 2/3
(B) 5/16
(C) 1/2
(D) 1/6
(E) 1/3
RESOLUÇÃO:
Vamos achar o número total de resultados possíveis: para cada nascimento, existem 2 eventos
possíveis (ser menino ou menina). Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, nos 6
nascimentos teremos:
Total de eventos= 2.2.2.2.2.2=64
A questão deseja saber a probabilidade de nascer 3 meninas. Portanto, os casos favoráveis são
obtidos pela permutação de 6 nascimentos com repetição de 3 meninas e 3 meninos. Observe que
ŶĂƐĐĞƌ� “ŵĞŶŝŶĂ ?�ŵĞŶŝŶŽ ?�ŵĞŶŝŶĂ ?�ŵĞŶŝŶŽ ?�ŵĞŶŝŶĂ ?�ŵĞŶŝŶŽ ?�Ġ�ĚŝĨĞƌĞŶƚĞ ?�ƉŽƌ�ĞdžĞŵƉůŽ ?�ĚŽ�ĐĂƐŽ�ĚĞ�
ŶĂƐĐĞƌ� “ŵĞŶŝŶĂ ?�ŵĞŶŝŶĂ ?�ŵĞŶŝŶĂ ?�ŵĞŶŝŶŽ ?�ŵĞŶŝŶŽ ?�ŵĞŶŝŶŽ ? ?
P(6;3;3) = 6!/(3!3!) = 6.5.4/3.2 = 5.4
P(6;3;3) = 20
A probabilidade será:
P(3 meninas) = 20/64
P(3 meninas) = 5/16
Resposta: B
9. FCC - ISS/Teresina - 2016) Em uma repartição pública os processos que chegam para análise e
deferimento são distribuídos com igual probabilidade para 4 auditores: A, B, C e D. Sabe-se queas
probabilidades dos auditores A, B, C e D não deferirem um processo são dadas, respectivamente,
por 30%, 35%, 22% e 33%. Nessas condições, a probabilidade de um processo, escolhido ao acaso,
ser deferido é igual a
(A) 65%.
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(B) 60%.
(C) 70%.
(D) 72%.
(E) 75%.
RESOLUÇÃO:
Como cada auditor tem a mesma probabilidade de receber o processo, podemos dizer que cada um
deles tem chance de 100% / 4 = 25% de receber o processo.
Uma vez recebido, a chance de cada um deles DEFERIR é, respectivamente, 70%, 65%, 78% e 67%.
Veja que basta subtrair a chance de cada um deles não deferir de 100%.
Assim, a probabilidade de um processo ser deferido é:
P = 25%x70% + 25%x65% + 25%x78% + 25%x67%
P = 25% x (70% + 65% + 78% + 67%)
P = 25% x 280%
P = 280% / 4
P = 70%
Resposta: C
10. FCC ʹ SEFAZ/MA ʹ 2016) Roberta tem que ler dois processos diferentes e dar, em cada um,
parecer favorável ou desfavorável. A probabilidade de Roberta dar parecer favorável ao primeiro
processo é de 50%, a de dar parecer favorável ao segundo é de 40%, e a de dar parecer favorável a
ambos os processos é de 30%. Sendo assim, a probabilidade de que Roberta dê pareceres
desfavoráveis a ambos os processos é igual a
(A) 30%.
(B) 50%.
(C) 20%.
(D) 40%.
(E) 60%.
RESOLUÇÃO:
Sendo F1 e F2 as probabilidades de parecer favorável no primeiro e segundo processos, podemos
dizer que:
P(F1 ou F2) = P(F1) + P(F2) ? P(F1 e F2)
P(F1 ou F2) = 50% + 40% ? 30%
P(F1 ou F2) = 60%
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Portanto, a probabilidade de Roberta dar parecer favorável em algum processo é de 60%, de modo
que a probabilidade de ela dar parecer desfavorável em AMBOS é de 100% ? 60% = 40%.
Resposta: D
11. FCC ʹ SEFAZ/PI ʹ 2015) Um estudo mostra que 20% de todos os candidatos que estão prestando
determinado concurso público possuem doutorado em determinada área do conhecimento.
Selecionando-se ao acaso e com reposição 4 desses candidatos, a probabilidade de que exatamente
2 possuam doutorado é igual a
(A) 13,24%
(B) 10,24%
(C) 5,72%
(D) 8,46%
(E) 15,36%
RESOLUÇÃO:
A chance de sucesso (ter doutorado) é p = 20%, e de fracasso é q = 100% - 20% = 80%. Se quisermos
2 sucessos e 2 fracassos, nesta ordem, a probabilidade é:
Probabilidade = (20%)2x(80%)2
Probabilidade = 0,04x0,64
Probabilidade = 0,0256 = 2,56%
Ocorre que os 2 sucessos e 2 fracassos podem ocorrer em qualquer ordem. Assim, podemos
permutar os 4 candidatos, com repetição de 2 sucessos e 2 fracassos:
Pr(4; 2 e 2) = 4! / (2! x 2!)
Pr(4; 2 e 2) =4 x 3 x 2 x 1 / (2 x 1 x 2 x 1)
Pr(4; 2 e 2) =4 x 3 / (2 x 1)
Pr(4; 2 e 2) = 6
Multiplicando a probabilidade obtida por 6, temos:
Probabilidade final = 6 x 2,56% = 15,36%
Resposta: E
12. FCC ʹ SEFAZ/PE ʹ 2015) Em uma empresa, apenas 30% dos atuais gerentes falam inglês
fluentemente. A direção decidiu contratar N novos gerentes, todos com inglês fluente, de modo que,
mantidos os atuais gerentes, o percentual de gerentes que falam inglês fluentemente na empresa
suba para 60%. Sendo A o número atual de gerentes, é correto concluir que N representa
(A) 30% de A.
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(B) 45% de A.
(C) 75% de A.
(D) 50% de A.
(E) 60% de A.
RESOLUÇÃO:
Após a entrada os N gerentes novos, o total passa a ser A + N. Já os gerentes que falam inglês são
30%.A + N = 0,30A + N. A porcentagem deles em relação ao total é:
P = (0,30A + N) / (A + N)
60% = (0,30A + N) / (A + N)
0,60 x (A + N) = 0,30A + N
0,60A + 0,60N = 0,30A + N
0,60A - 0,30A = N - 0,60N
0,30A = 0,40N
3A = 4N
N = 3A/4
N = 0,75A
N = 75% x A
Resposta: C
13. FCC ʹ ASSEMBLEIA LEGISLATIVA DO PERNAMBUCO ʹ 2014) Ordenando ao acaso todas as letras
da palavra TRIBUNAL, o que inclui a própria palavra TRIBUNAL, teremos 40320 palavras (palavras
com ou sem significado). Escolhendo ao acaso uma dessas palavras, a probabilidade de que ela
comece e termine por vogal é igual a
(A)
3
14
(B)
5
28
(C)
1
7
(D)
1
14
(E)
3
28
RESOLUÇÃO:
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A palavra tribunal é composta por oito letras, sendo três vogais. Como queremos apenas as palavras
começadas e terminadas por vogal, observe que temos apenas 3 possibilidades para a primeira letra,
e com isso nos sobram 2 possibilidades para a última letra. Sobram ainda outras 6 letras que
podemos permutar nas posições restantes ficando com:
3 x (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) x 2 = 4320
Esse é o número de casos favoráveis. A probabilidade de obter um desses casos, sabendo que o total
de casos é igual a 40320, é dada por:
P = 4320 / 40320
Simplificando a expressão, temos:
P = 216 / 2016
P = 54 / 504
P = 27 / 252
P = 3 / 28
Resposta: E
14. FCC ʹ ASSEMBLEIA LEGISLATIVA DO PERNAMBUCO ʹ 2014) Um dado não convencional tem 4
faces equiprováveis e numeradas de 1 à 4. A probabilidade de que a soma dos números obtidos em
três lançamentos desse dado seja maior do que 4 é igual a
A)
15
16
B)
1
16
C)
7
8
D)
3
4
E)
8
9
RESOLUÇÃO:
Temos quatro possibilidades de resultado no primeiro lançamento, outras quatro possibilidades de
resultados no segundo lançamento, e a mesma coisa no terceiro lançamento, totalizando 4x4x4 =
64 possibilidades de resultados (embora naturalmente alguns sejam valores repetidos).
A única forma de obter uma soma menor que 4 é pela sequência de três lançamentos com resultado
igual a 1, ou seja:
1 - 1 - 1, cuja soma é 3
Já para obter soma é igual a 4, temos as seguintes possibilidades:
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2 - 1 - 1
1 - 2 - 1
1 - 1 - 2
Portanto, do total de 64 sequências de lançamentos possíveis, apenas 1 + 3 = 4 delas resultam em
somas iguais ou inferiores a 4, de modo que as outras 60 possibilidades levam a resultados maiores
que 4. A probabilidade de obter uma delas é igual a:
P = 60 / 64
P = 15 / 16
Resposta: A
15. FCC ʹ Assembleia Legislativa da Paraíba ʹ 2013) A figura indica três das seis faces de um dado
não convencional. Esse dado não é convencional porque em suas seis faces aparecem apenas
marcações com os números 3, 5 e 6.
Em um lançamento ao acaso, a probabilidade de sair o número 6 nesse dado é
1
3
, e a de sair o
número 3 é
1
2
. Nas condições descritas, a soma dos números indicados nas seis faces desse dado é
igual a
(A) 23.
(B) 29.
(C) 26.
(D) 28.
(E) 27.
RESOLUÇÃO:
Se a probabilidade de sair o 6 é de 1/3, ou seja, 2/6, significa que duas das 6 faces do dado contém
o número 6. E se a probabilidade de sair o 3 é de ½, ou 3/6, vemos que três das 6 faces contém o
número 3.
Assim, 2 faces contém o 6, 3 faces contém o 3, e a face restante deve ter um 5. A soma das faces é:
Soma= 6 + 6 + 3 + 3 + 3 + 5 = 26
Resposta: C
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16. FCC ʹ DPE/SP ʹ 2013) Uma bolsa contém apenas 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Sorteando ao
acaso uma bola dessa bolsa, a probabilidade de que ela seja preta é
(A) maior do que 55% e menor do que 60%.
(B) menor do que 50%.
(C) maior do que 65%.
(D) maior do que 50% e menor do que 55%.
(E) maior do que 60% e menor do que 65%.
RESOLUÇÃO:
Temos 7 chances em 12 de pegar uma bola preta, o que nos dá a probabilidade de:
P = 7/12 = 58,33%
Resposta: A
17. FCC ʹ CAIXA ʹ 2013) Três dados convencionais e honestos de seis faces são lançados
simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos três números obtidos no lançamento seja
maior do que 15 é
(A) 1/18.
(B) 1/12.
(C) 5/108.
(D) 3/54.
(E) 1/36.
RESOLUÇÃO:
Para a soma ser maior do que 15, temos as seguintes possibilidades:
Dado 1 Dado 2 Dado 3
4 6 6
5 5 6
5 6 5
5 6 6
6 4 6
6 5 6
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6 5 5
6 6 4
6 6 5
6 6 6
Veja que temos 10 possibilidades de obter soma maior que 15. O total de possibilidades existentes
no lançamento de 3 dados é 6 x 6 x 6 = 216. Assim, a chance de obter uma das 10 favoráveis é:
P = 10 / 216 = 5 / 108
Resposta: C
KďƐ ? P� ŶŽƚĞ� ƋƵĞ� ĞƵ� ŶĞŵ� ĨŝƋƵĞŝ� ďƵƐĐĂŶĚŽ� Ƶŵ� ŵĠƚŽĚŽ� “ĞůĂďŽƌĂĚŽ ?� ƉĂƌĂ� ĐŽŶƚĂƌ� ĂƐ� ? ?�
possibilidades de obter soma maior que 15. Simplesmente as relacionei e contei. É importante saber
quandŽ�ǀĂůĞ�Ă�ƉĞŶĂ�ůĂŶĕĂƌ�ŵĆŽ�ĚĞƐƐĞƐ�ŵĠƚŽĚŽƐ� “ďƌĂĕĂŝƐ ? ?�^ſ�Ġ�ƉƌĞĐŝƐŽ�ƐĞƌ�ŽƌŐĂŶŝnjĂĚŽ ?�ƉĂƌĂ�ŶĆŽ�
esquecer de contar nenhuma possibilidade.
18. FCC ʹ SABESP ʹ 2012) Os técnicos de uma empresa avaliaram que a probabilidade de que certo
equipamento de medição da marca X venha a apresentar algum defeito no período de um ano após
a sua compra é de 1/30. A empresa adquiriu, no início do ano, três desses equipamentos de medição,
que serão usados de maneira independente. De acordo com a avaliação dos técnicos, a
probabilidade de que exatamente um deles venha a apresentar algum defeito ao longo do primeiro
ano de uso é igual a
(A)
ଵଽǤ
(B)
ଵଶǤ
(C)
଼ସଵଶǤ
(D)
଼ସଵଽǤ
(E)
ଵǤ଼ଶଶǤ
RESOLUÇÃO:
Se exatamente um produto apresentar defeito, teremos a seguinte probabilidade:
P (1 defeito) = P (defeito) x P (sem defeito) x P (sem defeito)
P (1 defeito) =
ଵଷ�x ଶଽଷ�x ଶଽଷ
P (1 defeito) =
଼ସଵଶ
Como qualquer um dos três produtos pode ser o produto com defeito, devemos multiplicar essa
probabilidade por três:
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P (1 dos produtos com defeito) = 3 x
଼ସଵଶ
P (1 dos produtos com defeito) =
଼ସଵଽ
Resposta: D
19. FCC ʹ Banco do Brasil ʹ 2011) Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25
funcionários, cujas idades, em anos, são as seguintes:
24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32
35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48
48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65
A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a sua idade seja
superior a 48 anos é de:
a) 28%
b) 27,4%
c) 27%
d) 25,8%
e) 24%
RESOLUÇÃO:
Observe que temos 25 funcionários, dos quais apenas 6 tem mais de 48 anos. A probabilidade de
escolher um deles é:
P = favoráveis/total = 6/25 = 0,24 = 24%
Resposta: E
20. FCC ʹ Sergipe Gás S/A ʹ 2010) A tabela abaixo apresenta o consumo médio mensal de 100
residências em um bairro servido pela SERGAS.
Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o seu consumo médio
mensal de gás natural seja de 25 m3 é
a) 2/25
b) 7/100
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c) 3/50
d) 1/20
e) 1/25
RESOLUÇÃO:
Para começar, veja que temos 100 residências ao todo. Assim, podemos descobrir o valor de X:
100 = 28 + 53 + 11 + X
X = 8
Portanto, 8 das 100 residências tem consumo igual a 25m3. A probabilidade de escolher uma casa
com este consumo é:
8 2
100 25
favoráveisP
total
Resposta: A
21. FCC ʹ SEFAZ/SP ʹ 2010) Everaldo deve escolher um número de quatro algarismos para formar
uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros: 163, que corresponde ao número de seu
apartamento. Se Everaldo escolher de modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que
a senha formada seja um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si, é de
(A) 60%.
(B) 55%.
(C) 50%.
(D) 45%.
(E) 40%.
RESOLUÇÃO:
Existem 10 algarismos que podem ser escolhidos por Everaldo para completar a senha. Destes 10,
sabemos que 5 são pares, e permitiriam formar uma senha par. Para que todos os algarismos sejam
distintos entre si, o último algarismo não pode ser o 6, que já foi usado na senha. Assim, sobram 4
opções que atendem a condição dada no enunciado.
Portanto, das 10 opções existentes, apenas 4 atendem a condição. A probabilidade de ser formada
uma senha que seja um número par e tenha os quatro algarismos distintos é P = 4/10 = 40%.
Resposta: E
22. FCC ʹ SEFAZ/SP ʹ 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. João e
sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários
escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um deles, João ou sua esposa, faça
parte da comissão é
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a) 1/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 3/10
RESOLUÇÃO:
O total de comissões com 3 funcionários que podem ser formadas a partir de um grupo de 6
funcionários é dada pela combinação de 6, 3 a 3:
C(6,3) = 20
Dessas, estamos interessados apenas nas que tenham, no máximo, ou João ou sua esposa. Isto é,
elas podem ter apenas João, apenas a esposa ou nenhum deles.
Podemos resolver esse problema calculando quantas comissões podem ser formadas incluindo
tanto João quanto sua esposa. Neste caso, já temos 2 das 3 pessoas da comissão escolhidas. Temos
ainda 4 pessoas disponíveis para a última vaga restante, isto é, 4 possibilidades.
Se existem 4 possíveis comissões incluindo João e também sua esposa, então o número de comissões
que tenha, no máximo, um deles, é 20 ? 4 = 16. Assim, a chance de obter uma comissão que tenha
no máximo 1 deles é:
P = 16/20 = 4/5
Resposta: D
23. FCC ʹ TRF/4ª ʹ 2010) O número de televisores vendidos diariamente em uma loja apresenta a
seguinte distribuição de probabilidades de venda:
A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor é igual a 10%
e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a probabilidade de que em um determinado
dia sejam vendidos 2 televisores é de
(A) 10%.
(B) 12%.
(C) 15%.
(D) 18%.
(E) 20%.
RESOLUÇÃO:
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Veja na tabela que a probabilidade de que sejam vendidos zero televisores (P(0)), isto é, não seja
vendido nenhum, é igual a x. Como o próprio enunciado disse que esta mesma probabilidade é igual
a 10%, então x = 10%.
A probabilidade de que sejam vendidos mais do que 3 televisores (isto é, sejam vendidos 4 OU 5 Æ
P(4) + P(5)), é igual a 2y + x. Como enunciado disse que esta mesma probabilidade é igual a 30%,
então:
2y + x = 30%
2y + 10% = 30%
y = 10%
Repare que a soma das probabilidades deve ser igual a 100% (pois a probabilidade do espaço
amostral é sempre 100%). Portanto,
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 100%
x + 3y + z + z +2y + x = 100%
2x + 5y +2z = 100%
20% + 50% + 2z = 100%
z = 15%
Assim, P(2) é igual a 15%.
Resposta: C
24. FCC ʹ TRT/3ª ʹ 2010) A probabilidade de que um cliente de banco, escolhido aleatoriamente,
participe de um fundo multimercado promovido pelo banco é 0,20. Se cinco clientes são escolhidos
aleatoriamente e com reposição, a probabilidade de que a proporção de participantes seja
exatamente 0,40 é:
a) 0,0816
b) 0,1048
c) 0,1280
d) 0,1850
e) 0,2048
RESOLUÇÃO:
Vamos calcular quantos dos 5 clientes escolhidos devem ser participantes do fundo, para que a
proporção de participantes seja exatamente igual a 0,4 (40%). Para isto, basta você montar a
proporção a seguir:
5 clientes -------------- 100% do grupo
C clientes -------------- 40% do grupo
Multiplicando as diagonais, temos:
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5 x 40% = C x 100%
2 = C
Portanto, queremos que exatamente 2 clientes escolhidos sejam participantes do fundo E os outros
3 não o sejam. A chance de um cliente ser participante do fundo é igual a 0,2. Assim, a chance de
não ser participante é igual a 1 ? 0,2 = 0,8.
Vamos calcular a chance de exatamente o primeiro E o segundo clientes escolhidos serem
ƉĂƌƚŝĐŝƉĂŶƚĞƐ� ? “^ ? ?�ĚĞ�Ɛŝŵ ? ?���ŽƐ� ?�ƐĞŐƵŝŶƚĞƐ�ŶĆŽ�Ž�ƐĞƌĞŵ� ? “E ? ?�ĚĞ�ŶĆŽ ? P
Prob 0,2 0,2 0,8 0,8 0,8SSNNN u u u u
Veja que esta é a probabilidade de termos exatamente essa ordem: SSNNN. Precisamos ainda
permutar esta ordem, observando que temos 5 elementos, com repetição de 2 S e de 3N:
5!(5,3,2) 10
3!2!
Permutação
Portanto, a probabilidade de obter 5 pessoas conforme solicitado no enunciado é dado pela
multiplicação de P pelo número de permutações (10):
Probabilidade (5,3,2) Prob
Probabilidade 10 0,2 0,2 0,8 0,8 0,8
Probabilidade 10 0,04 0,64 0,8
Probabilidade 8 0,04 0,64
Probabilidade 0,32 0,64 0,2048
SSNNNP u
u u u u u
u u u
u u
u
Resposta: E
25. FCC ʹ DNOCS ʹ 2010) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado
eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda:
A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do
eletrodoméstico é igual a
(A) 87,5%.
(B) 80,0%.
(C) 75,0%.
(D) 60,0%.
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(E) 50,0%.
RESOLUÇÃO:
Lembrando que a probabilidade do espaço amostral é igual a 100%, podemos dizer que:
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 100%
P + P + 3P + 2P + P = 100%
8P = 100%
P = 12,5%
A probabilidade de que tenha sido vendido mais do que 1 eletrodoméstico (P(X>1)) é igual a 100%
menos as probabilidades de terem sido vendidos zero ou apenas 1 eletrodoméstico:
P(X > 1) = 100% - P(0) ? P(1)
P(X>1) = 100% - 12,5% - 12,5% = 75%
Resposta: C
Obs.: Você chegaria ao mesmo resultado se simplesmente somasse P(2) + P(3) + P(4)
26. FCC ʹ TJ/AP ʹ 2009) Em uma prateleira há 16 pastas que contêm processos a serem arquivados
e cada pasta tem uma etiqueta na qual está marcado um único número, de 1 a 16. Se as pastas não
estão dispostas ordenadamente na prateleira e um Técnico Judiciário pegar aleatoriamente duas
delas, a probabilidade de que nessa retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas
somem 13 unidades é de
a) 4%
b) 4,2%
c) 4,5%
d) 4,8%
e) 5%
RESOLUÇÃO:
Para saber de quantas formas diferentes podemos agrupar 16 pastas em grupos de 2, basta calcular
a combinação de 16, 2 a 2:
C(16,2) = 120
Destas combinações, vejamos em quantas delas a soma das etiquetas é igual a 13:
1 e 12; 2 e 11; 3 e 10; 4 e 9; 5 e 8; 6 e 7.
Como você vê, existem apenas 6 das 120 combinações cuja soma das etiquetas é igual a 13. A
probabilidade de retirar uma dessas combinações é:
6 1 0,05 5%
120 20
favoráveisP
total
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Resposta: E
27. FCC ʹ TRT/3ª ʹ 2009) Determinados processos de um tribunal são encaminhados para a análise
de 3 analistas: X, Y e Z. Sabe-se que 30% de todos esses processos são encaminhados para X, 45%
para Y e 25% para Z. Usualmente, por falta de documentação, uma parcela de tais processos é
devolvida. Sabe-se que 5% , 10% e 10% dos processos de X, Y e Z, respectivamente, são devolvidos.
A probabilidade de que um processo escolhido ao acaso tenha sido encaminhado para X, sabendo
que foi devolvido, é:
a) 4/15
b) 3/17
c) 6/19
d) 7/15
e) 3/19
RESOLUÇÃO:
Imagine que temos 100 processos. Portanto, 30 foram encaminhados para X, 45 para Y e 25 para Z.
X devolveu 5% dos 30 processos que recebeu, isto é, devolveu 5% * 30 = 1,5 processos.
Y devolveu 10% dos 45 processos que recebeu, ou seja, 4,5 processos.
Z devolveu 10% dos 25 processos que recebeu, ou seja, 2,5 processos.
Ao todo, 1,5 + 4,5 + 2,5 = 8,5 processos são devolvidos. Destes, 1,5 são devolvidos por X.
Assim, sabendo que um processo foi devolvido, a chance de ele ter sido encaminhado para X é:
1,5 15 3
8,5 85 17
favoráveisP
total
Resposta: B
28. FCC ʹ TCE/MG ʹ 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em cada um dos quais
foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números de 1 a 8. Se no interior da caixa os
processos não estão ordenados e, para dar início à execução de tal tarefa, um funcionário do
Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa
retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de
(A) 25%
(B) 20%
(C) 12,5%
(D) 10%
(E) 7,5%
RESOLUÇÃO:
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Se temos 8 processos, a quantidade de duplas que podemos formar com eles é dada pela
combinação de 8, 2 a 2:
8 7(8,2) 28
2 1
C u u
Existem as seguintes possibilidades de pegar 2 processos consecutivos: (1 e 2), (2 e 3), (3 e 4), (4 e
5), (5 e 6), (6 e 7), (7 e 8). Isto é, 7 possibilidades atendem o pedido do enunciado. A probabilidade
de pegar uma delas é:
7 1 0,25 25%
28 4
favoráveisP
total
Resposta: A
29. FGV ʹ ICMS/RO ʹ 2018) Dois eventos A e B têm probabilidades iguais a 70% e 80%. Os valores
mínimo e máximo da probabilidade da interseção de A e B são
(A) 20% e 50%.
(B) 20% e 70%.
(C) 50% e 70%.
(D) 0% e 70%.
(E) 30% e 50%.
RESOLUÇÃO:
Aqui podemos lembrar que:
P(Aou B) = P(A) + P(B) ? P(A e B)
Substituindo os valores conhecidos:
P(A ou B) = 0,7 + 0,8 ? P(A e B)
P(A ou B) = 1,5 ? P(A e B)
O maior valor que P(A ou B) pode assumir é 100%, ou seja, 1.
Neste caso:
1 = 1,5 ? P(A e B)
P(A e B) = 0,5 = 50%
O maior valor que a probabilidade da interseção P(A e B) pode assumir é aquele correspondente ao
menor dos conjuntos, isto é, P(A) = 70%.
Desta forma, podemos marcar a alternativa D (50% e 70%).
Resposta: D
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30. FGV ʹ ICMS/RO ʹ 2018) Júlia e Laura são irmãs e fazem parte de um grupo de 5 meninas. Desse
grupo, três serão sorteadas para um passeio. A probabilidade de que uma das irmãs seja sorteada e
a outra não seja sorteada é de
(A) 40%.
(B) 50%.
(C) 60%.
(D) 70%.
(E) 80%.
RESOLUÇÃO:
São 5 meninas a serem selecionadas para formar grupos de 3. Portanto o conjunto universo será
combinação de 5, 3 a 3:
C(5;3) = 5!/3!2!
C(5;3) = 5.4/2 = 10
Portanto, 10 grupos diferentes podem ser formados com as meninas.
Agora vamos calcular o número de casos favoráveis: uma das irmãs ser sorteada e a outra não.
Sorteando Laura, restarão 3 meninas para serem sorteadas nas outras 2 vagas. Portanto: C(3;2)=3.
Se Júlia for sorteada, serão mais 3 casos possíveis. No total, considerando o grupo com Laura ou com
Júlia, serão 6 casos.
Probabilidade=6/10
Probabilidade= 0,6 = 60%
Resposta: C
31. FGV ʹ ICMS/RO ʹ 2018) Um dado é lançado quatro vezes. A probabilidade de que o número ´6´
seja obtido ao menos duas vezes é, aproximadamente, igual a
(A) 0,05.
(B) 0,13.
(C) 0,25.
(D) 0,40.
(E) 0,50.
RESOLUÇÃO:
Podemos calcular da seguinte forma:
P (duas ou mais vezes) = 100% ? P(nenhuma vez) ? P(uma vez)
Para o número 6 não sair nenhuma vez, temos 5/6 de probabilidade em cada lançamento,
totalizando:
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P(nenhuma vez) = (5/6)4 = 625 / 1296
Para o número 6 sair no primeiro lançamento e depois não sair nos outros três, a probabilidade
seria de 1/6 no primeiro e 5/6 em cada um dos outros três, totalizando (1/6) x (5/6)3. Devemos
multiplicar essa probabilidade por 4, uma vez que o 6 pode sair uma única vez em cada um dos
quatro lançamentos. Assim, temos:
P(uma vez) = 4 x (1/6) x (5/6)3
P(uma vez) = 500/1296
Logo,
P (duas ou mais vezes) = 1 ? 625/1296 ? 500/1296
P (duas ou mais vezes) = 1 ? 1125/1296
P (duas ou mais vezes) = 1296/1296 ? 1125/1296
P (duas ou mais vezes) = 171/1296 = 0,13 (aproximadamente)
Resposta: B
32. FGV ʹ SEPOG/RO ʹ 2017) Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão
sorteados aleatoriamente entre quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento
B. A probabilidade de os dois funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) ¼
(D) 1/6
(E) 3/4
RESOLUÇÃO:
Para estabelecer todas as maneiras possíveis de se selecionar dois funcionários, vamos fazer
combinação de 4 funcionários selecionados dois a dois:
C(4;2) = 4!/2!2!
C(4;2) = 4.3/2
C(4;2) = 6 maneiras possíveis
A questão pede a probabilidade de os dois sorteados serem do mesmo departamento. Portanto, os
casos favoráveis serão: escolher dois funcionários de A OU escolher dois funcionários de B.
Escolher dois funcionários de A: C(2;2)=1
Escolher dois funcionários de B: C(2;2)=1
Assim, os casos favoráveis serão 1 + 1 = 2.
A probabilidade será:
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P = 2/6
P = 1/3
Resposta: B
33. FGV ʹ Pref. Salvador ʹ 2017) Júlio vai lançar uma moeda honesta 4 vezes seguidas. A
probabilidade de que o número de caras seja igual ao número de coroas é de
(A) 1/2.
(B) 1/3.
(C) 3/4.
(D) 3/8.
(E) 5/8.
RESOLUÇÃO:
Queremos 2 caras e 2 coroas. Para isso acontecer exatamente nesta ordem, ou seja, CARA-CARA-
COROA-COROA, a probabilidade é:
P =
ଵଶ ݔ ଵଶ �ݔ ଵଶ �ݔ ଵଶ ൌ ଵଵ
Como não é preciso que os resultados ocorram exatamente nesta ordem, podemos permutar os 4
resultados com a repetição de 2 caras e de 2 coroas, isto é:
P(4; 2 e 2) =
ସǨଶǨ௫ଶǨ ൌ ଶସଶ௫ଶ ൌ ?
Portanto, podemos multiplicar por 6 a probabilidade acima, chegando a:
P = ?�ݔ ଵଵ ൌ ଷ଼
Resposta: D
34. FGV ʹ MRE ʹ 2016) Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se
aleatoriamente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de que o
número da segunda bola retirada da urna seja par é:
(A) 1/2
(B) 3/7
(C) 4/7
(D) 7/15
(E) 8/15
RESOLUÇÃO:
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Temos duas situações que nos interessam: aquela onde o 1º número é par e o 2º também, e aquela
onde o 1º número é ímpar e o 2º é par. Vejamos a probabilidade de cada uma delas:
- 1º número par e o 2º também:
Temos 7 números pares de 1 a 15, em um total de 15 números. A chance de o primeiro ser par é de
7 em 15, ou 7/15. A chance de o segundo ser par também é de 6 em 14 números restantes, ou seja,
6/14 = 3/7. Assim, a chance de o 1º ser par e o 2º ser par também é de 7/15 x 3/7 = 3/15 = 1/5.
- 1º número ser ímpar e o 2º ser par:
Temos 8 números ímpares de 1 a 15, em um total de 15 números. A chance de o primeiro ser ímpar
é de 8 em 15, ou 8/15. A chance de o segundo ser par é de 7 em 14 números restantes, ou seja, 7/14
= 1/2. A probabilidade de o 1º ser ímpar e o 2º ser par é de 8/15 x 1/2 = 4/15.
Como os casos são mutuamente excludentes, devemos somar suas probabilidades: 1/5 + 4/15 = 3/15
+ 4/15 = 7/15.
Resposta: D
35. FGV ʹ TJ/PI ʹ 2015) Em um saco há 3 bolas brancas, 3 bolas amarelas e 3 bolas vermelhas. Duas
delas são retiradas ao acaso. A probabilidade de que essas bolas sejam de cores diferentes é:
(A) 3/4;
(B) 3/5;
(C) 4/5;
(D) 2/3;
(E) 1/2.
RESOLUÇÃO:
Retirada uma bola, seja lá de qual cor, qual a probabilidade de a segunda ter uma cor diferente?
Note que sobram no saco 2 bolas da cor da primeira e 6 bolas de cores diferentes da primeira. A
chance de a segunda ser diferente da primeira é, portanto, de 6 em 8 bolas restantes, ou 6/8 = 3/4.
Alternativa A.
Outra forma de resolver consiste em trabalhar com EVENTOS COMPLEMENTARES. A probabilidade
de ambas as bolas terem cor diferente é igual a 100% menos a probabilidade de ambas terem a
mesma cor, concorda? Então vamos calcular qual a chance das bolas terem a mesma cor?
Para saber a chance de as duas bolas serem brancas, note que para a primeira bola retirada ser
branca temos 3 chances em 9, ou 3/9 = 1/3 de probabilidade. Retirada esta bola, a chance de a
segunda ser branca também é de 2 em 8 restantes, ou 2/8 = 1/4. Para essas duas coisas acontecerem
sequencialmente, temos 1/3 x 1/4 = 1/12 de probabilidade. Analogamente, a probabilidade de as
duas serem amarelas é 1/12, e de as duas serem vermelhas é de 1/12 também. Portanto, a
probabilidade de as 3 bolas serem da mesma cor é de 1/12 + 1/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4.
Assim, a probabilidade de as bolas terem cores diferentes é:
P = 100% - 1/4 = 1 ? 1/4 = 4/4 ? 1/4 = 3/4
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Resposta: A
36. FGV ʹ TJ/PI ʹ 2015) Em uma urna há quatro bolas brancas e duas bolas pretas. Retiram-se,
sucessivamente e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de as duas bolas retiradas
serem da mesma cor é:
(A)
7
15
(B)
8
15
(C)
2
3
(D)
1
3
(E)
1
2
RESOLUÇÃO:
Podemos calcular separadamente a probabilidade de as duas serem brancas e de as duas serem
pretas. Veja:
- duas brancas:
A chance da primeira ser branca é de 4 em 6 bolas, ou 4/6 = 2/3. Retirando-a, sobram 3 brancas em
um total de 5 bolas, e a chance de a segunda ser branca também é de 3 em 5, ou 3/5. A probabilidade
da primeira E da segunda serem brancas é de 2/3 x 3/5 = 2/5.
- duas pretas:
A chance da primeira ser preta é de 2/6 = 1/3. Retirando-a, sobra 1 preta e 5 bolas ao todo, e a
chance de a segunda ser preta também é de 1/5. Portanto, a chance das duas bolas serem pretas é
de 1/3 x 1/5 = 1/15.
Como ambos os casos acima são mutuamente excludentes (se tivermos 2 pretas automaticamente
não teremos 2 brancas, e vice-versa), podemos somar as probabilidades, ficando com 2/5 + 1/15 =
6/15 + 1/15 = 7/15.
Resposta: A
37. FGV ʹ TCE/SE ʹ 2015) Em uma festa há somente mulheres solteiras e homens casados,
acompanhados de suas respectivas esposas. A probabilidade de que uma mulher sorteada ao acaso
nessa festa seja solteira é 2/7. A probabilidade de que uma pessoa sorteada ao acaso nessa festa
seja homem é:
(A) 5/7
(B) 2/9
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(C) 7/9
(D) 5/12
(E) 7/12
RESOLUÇÃO:
Seja H o número de homens na festa. Temos também este mesmo número de esposas, ou seja, H
esposas. Por fim, temos mais M mulheres solteiras. Ao todo temos H + H + M = 2H + M pessoas na
festa, das quais M são mulheres solteiras. O total de mulheres é H+M (casadas mais solteiras), e
entre elas a probabilidade de sortear uma solteira é de 2/7, ou seja,
2/7 = mulheres solteiras / total de mulheres
2/7 = M / (H+M)
2x(H + M) = 7 x M
2H + 2M = 7M
2H = 5M
2H/5 = M
O total de pessoas na festa é:
Total de pessoas = mulheres solteiras + mulheres casadas + homens casados = M + H + H = M + 2H
Substituindo M por 2H/5, como vimos acima, temos:
Total de pessoas = 2H/5 + 2H = 2H/5 + 10H/5 = 12H/5
A probabilidade de sortear um homem é:
P = homens / total de pessoas
P = H / (12H/5)
P = H x 5 / 12H
P = 5H / 12H
P = 5 / 12
Resposta: D
38. FGV ʹ BANCO DO NORDESTE ʹ 2014) Pedro pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de R$
100,00 por duas notas de R$ 50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 na carteira em
notas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas tem de cada valor. Sabe apenas
que tem pelo menos uma de cada valor. Considere que todas as distribuições possíveis de notas de
R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que podem ocorrer na carteira de Paulo sejam igualmente prováveis. A
probabilidade de que Paulo possa fazer a troca pedida por Pedro é de:
(A)
2
13
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(B)
4
13
(C)
5
13
(D)
6
13
(E)
7
13
RESOLUÇÃO:
Veja abaixo todos os casos um desenho de um total de 200 reais formado por notas de 50, 20 e 10
reais, sendo pelo menos uma nota de cada valor:
50 + 20 + 13x10
50 + 2x20 + 11x10
50 + 3x20 + 9x10
50 + 4x20 + 7x10
50 + 5x20 + 5x10
50 + 6x20 + 3x10
50 + 7x20 + 1x10
2x50 + 20 + 8x10
2x50 + 2x20 + 6x10
2x50 + 3x20 + 4x10
2x50 + 4x20 + 2x10
3x50 + 20 + 3x10
3x50 + 2x20 + 1x10
Veja que temos um total de 13 possibilidades, das quais apenas nas 6 últimas temos pelo menos
duas notas de 50 reais, o que possibilitaria dar o troco solicitado por Pedro. A probabilidade de
termos um desses casos é igual a:
P = 6 / 13
Resposta: D
39. FGV ʹ BANCO DO NORDESTE ʹ 2014) Um banco solicita a seus clientes uma senha adicional
formada por três letras, não necessariamente distintas, entre as dez primeiras letras do alfabeto.
Para digitar a senha em um caixa eletrônico, aparecem cinco teclas cada uma correspondendo a
duas letras:
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João percebeu que a pessoa ao lado apertou em sequência as teclas 2, 2, 4. A probabilidade de que
João adivinhe a senha dessa pessoa em uma única tentativa é:
(A)
1
2
(B)
1
3
(C)
1
4
(D)
1
6
(E)
1
8
RESOLUÇÃO:
Veja que para cada tecla apertada temos 2 possibilidades de letra. Assim, o total de senhas que
podem ser formadas é 2x2x2 = 8. A chance de acertar a senha da pessoa é, portanto, de 1 em 8, ou
seja, 1/8.
Resposta: E
40. FGV ʹ TCE/BA ʹ 2013) A figura a seguir mostra sequências de caminhos que podem ser
percorridos por uma pessoa, de cima para baixo, começando pela entrada E, e terminando em uma
das 5 salas representadas pelos quadrados da figura. Ao chegar a uma bifurcação há sempre 50% de
chance de a pessoa prosseguir por um caminho ou pelo outro
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A probabilidade de uma pessoa, ao terminar o percurso, chegar à sala A ou na sala B do desenho é,
aproximadamente de
(A) 40%.
(B) 55%.
(C) 64%.
(D) 69%.
(E) 73%.
RESOLUÇÃO:
Veja abaixo a figura, onde marquei pontos para facilitar a explicação:
A partir do ponto C, os caminhos para se chegar em N são:
D ? F ? I ? N
Para se chegar em O são:
D ? F ? I ? O
D ? F ? J ? O
D ? G ? J ? O
Para se chegar em P temos apenas E ? H ? L ? P.
Cada decisão a ser tomada tem probabilidade de 50%, ou 0,5. Para se chegar em N, O ou P temos ao
todo 5 possibilidades, sendo que cada uma exige 4 decisões, tendo probabilidade de 0,5 x 0,5 x 0,5
x 0,5 = 6,25% cada. Ao todo, a chance de chegar em N, O ou P é de 5 x 6,25% = 31,25%. Assim, a
chance de chegar em A ou B é o restante, ou seja, 100% = 31,25% = 68,75% (aproximadamente 69%).
Resposta: D
41. FGV ʹ TCE/BA ʹ 2013) Carlos tem duas calças jeans que ele usa para ir trabalhar. Uma das calças
é desbotada e a outra não. Carlos gosta igualmente das duas calças. Entretanto, por preguiça de tirar
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o cinto da calça que usou em determinado dia e colocar na outra, é duas vezes mais provável que
ele use, no dia seguinte, a mesma calça que usou em determinado dia do que use a outra calça. Hoje,
Carlos usou a calça desbotada. A probabilidade de Carlos usar a mesma calça desbotada depois de
amanhã é de
a) 2/9
b) 1/3
c) 4/9
d) 5/9
e) 2/3
RESOLUÇÃO:
Sendo P a probabilidade de ele usar a calça não-desbotada amanhã, a chance de ele usar a calça
desbotada é o dobro, ou seja, 2P. Juntas essas probabilidades somam 100%, ou seja, 1:
P + 2P= 1
P = 1/3
2P = 2/3
Em resumo, a probabilidade de repetir a mesma calça de um dia para outro é de 2/3, e a de mudar
de calça é de 1/3 (ou seja, metade da anterior).
Assim, para ele usar a calça desbotada depois de amanhã, temos dois caminhos:
1- usar a calça desbotada amanhã (probabilidade = 2/3) e repeti-la depois de amanhã (probabilidade
= 2/3):
Probabilidade = (2/3) x (2/3) = 4/9
2- usar a calça não-desbotada amanhã (probabilidade = 1/3) e depois voltar para a desbotada depois
de amanhã (probabilidade = 1/3):
Probabilidade = (1/3) x (1/3) = 1/9
Como estamos diante de eventos mutuamente excludente, basta somarmos as probabilidade,
obtendo 4/9 + 1/9 = 5/9.
Resposta: D
42. FGV ʹ SEAD/AP ʹ 2010) Uma urna contém 50 bolinhas idênticas numeradas de 1 a 50. Se quatro
bolinhas são aleatoriamente sorteadas com reposição, a probabilidade de que, dos quatro números
sorteados, dois sejam pares e dois sejam impares é igual a:
(A) 12,5%.
(B) 25,0%.
(C) 37,5%.
(D) 50,0%.
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(E) 62,5%.
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de obter um número par é de metade, ou seja, ½. Esta também é a probabilidade
de obter um número ímpar. Para que EXATAMENTE os dois primeiros sejam pares e os dois últimos
sejam ímpares, temos a probabilidade de:
P = (1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/16
Esta é a probabilidade de obter PAR´- PAR ? ÍMPAR ? ÍMPAR. Temos agora que permutar esse
resultado, afinal não é preciso que obtenhamos exatamente esta ordem. Trata-se da permutação de
4 resultados, com repetição de 2 pares e de 2 ímpares, isto é, P(4; 2 e 2) = 4! / (2! X 2!) = 6
permutações.
Temos 1/16 de probabilidade de obter cada uma das 6 permutações possíveis. Como qualquer uma
delas nos serve, a probabilidade de obter 2 pares e 2 ímpares, em qualquer ordem, é:
P = 6 x (1/16) = 3/8 = 0,375
Resposta: C
43. FGV ʹ ICMS/RJ ʹ 2010) Se A e B são eventos independentes com probabilidades P[A] = 0,4 e P[B]
= 0,5 então P[A B] é igual a:
(A) 0,2.
(B) 0,4.
(C) 0,5.
(D) 0,7.
(E) 0,9.
RESOLUÇÃO:
Se A e B são independentes, então:
P(A e B) = P(A) x P(B) = 0,4 x 0,5 = 0,2
Assim,
P(A ou B) = P(A) + P(B) ? P(A e B)
P(A ou B) = 0,4 + 0,5 ? 0,2 = 0,7
Resposta: D
44. FGV ʹ ICMS/RJ ʹ 2010) 40% dos eleitores de uma certa população votaram, na última eleição,
num certo candidato A. Se cinco eleitores forem escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade
de que três tenham votado no candidato A é igual a:
(A) 12,48%.
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(B) 17,58%.
(C) 23,04%.
(D) 25,78%.
(E) 28,64%.
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de um eleitor ter votado em A é de 0,4, e, portanto, a probabilidade de não ter
votado em A é de 0,6. Escolhendo 5 eleitores, a probabilidade de exatamente os 3 primeiros terem
escolhido A e os 2 últimos não é:
P = 0,4 x 0,4 x 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,02304
Esta é a probabilidade de exatamente: A ? A ? A ? NÃO A ? NÃO A. Podemos permutar estes 5
ĞůĞŝƚŽƌĞƐ ?�ĐŽŵ�ƌĞƉĞƚŝĕĆŽ�ĚĞ� ?� “� ?�Ğ�ĚĞ� ?� “E�K�� ? P�
P(5; 3 e 2) = 5! / (3! x 2!) = 10
Assim, a probabilidade de que exatamente 3 eleitores tenha votado em A é:
P = 10 x 0,02304 = 0,2304 = 23,04%
Resposta: C
45. FGV ʹ SEAD/AP ʹ 2010) Numa sala estão reunidos quatro auditores e seis fiscais. Se três dessas
pessoas forem aleatoriamente sorteadas para formar uma comissão, a probabilidade de que a
comissão seja composta por dois auditores e um fiscal é igual a:
a) 0,1
b) 0,2
c) 0,3
d) 0,4
e) 0,5
RESOLUÇÃO:
O total de comissões formados por 3 dessas 10 pessoas é de: C(10,3) = 120. Para formar comissões
com 2 auditores e 1 fiscal, temos C(4,2) = 6 possibilidades de escolher 2 dos 4 fiscais e 6
possibilidades de escolher um dos 6 auditores, totalizando 6 x 6 = 36 comissões possíveis.
A probabilidade de escolher uma dessas 36 comissões é:
P = 36 / 120 = 0,3
Resposta: C
46. VUNESP ʹ POLÍCIA CIVIL/SP ʹ 2013) São Paulo é uma cidade com inúmeros eventos que atraem
muitos visitantes estrangeiros. Visando qualificar o atendimento a esses visitantes, a Polícia Militar
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do Estado de São Paulo promove cursos de aperfeiçoamento em idiomas para membros da
corporação. A tabela mostra distribuição de integrantes de quatro cursos em relação ao sexo:
Sorteando-se dois nomes desse grupo, com reposição, a probabilidade de que ambos sejam de
pessoas do mesmo sexo é de
a) 16%.
b) 36%.
c) 40%.
d) 52%.
e) 60%.
RESOLUÇÃO:
O total de formas de selecionar 2 das 200 pessoas é:
C(200,2) = 200x199/2! = 100x199 = 19900
O total de formas de selecionar 1 homem e 1 mulher é simplesmente 120x80 = 9600. Veja
que todos os demais casos serão formados por duas pessoas do mesmo sexo (2 homens ou 2
mulheres), portanto esses casos somam 19900 ? 9600 = 10300.
A probabilidade de selecionar um desses casos é:
P = 10300 / 19900 = 103 / 199 = 51,7%
(aproximadamente 52%)
Resposta: D
47. VUNESP ʹ SP-URBANISMO ʹ 2014) Duas variáveis aleatórias, x e y, são independentes. A variável
x tem 60% de probabilidade de valer 1 e 40% de probabilidade de valer 0, enquanto a variável y tem
30% de probabilidade de valer 1 e 70% de probabilidade de valer 0. Suponha uma variável z = xy. A
variável z tem
a) 0% de probabilidade de valer 1.
b) 9% de probabilidade de valer 1.
c) 18% de probabilidade de valer 1.
d) 70% de probabilidade de valer 1.
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e) 100% de probabilidade de valer 1.
RESOLUÇÃO:
Como z é a multiplicação entre x e y, ela só será igual a 1 quando tanto x como y forem iguais
a 1. Como as probabilidades de x e y serem iguais a 1 são, respectivamente, 60% e 30%, então a
probabilidade de z ser igual a 1 é:
Probabilidade (z = 1) = 60% x 30% = 18%
Resposta: C
48. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Em um processo seletivo, três candidatos disputam uma vaga. Em um
dos testes, o coordenador de RH mostra-lhes 5 adesivos, 2 pretos e 3 brancos, e coloca um adesivo
nas costas de cada candidato. Cada um deles sabe a cor dos outros dois, mas não sabe a sua própria.
Raciocinando em termos de probabilidade sobre a cor atribuída a um dos candidatos, é correto
afirmar que:
a) se os outros dois são pretos, a probabilidade de ele ser branco é 1/2 .
b) se os outros dois são brancos, a probabilidade de ele ser preto é 2/5 .
c) se os outros dois são de cores diferentes, a probablidade de ele ser branco é 2/3.
d) se um dos dois é branco, a probabilidade de ele ser branco é 2/5.
e) se um dos dois é preto, a probabilidade de ele ser preto é 1/2.
RESOLUÇÃO:
Temos 2 adesivos pretos e 3 brancos. Se eu for um dos candidatos e ver dois adesivos pretos
nas costas dos demais concorrentes, isto garante que eu tenho um adesivo branco nas minhas
costas, ou seja, há 100% de probabilidade do meu adesivo ser branco. Se eu ver dois adesivos
brancos nas costas dos demais concorrentes, resta 1 adesivo branco e 2 pretos, de modo que eu
tenho 1/3 de probabilidadede ter um adesivo preto e 2/3 de ter um adesivo branco. Já se os adesivos
dos meus concorrentes forem de cores diferentes (1 preto e 1 branco), restam 1 preto e 2 brancos,
de modo que tenho 1/3 de chance de estar com um adesivo preto e 2/3 de estar com um adesivo
branco. Este último caso (sublinhado) é retratado pela alternativa C, que é o gabarito.
Resposta: C
49. VUNESP ʹ SP-URBANISMO ʹ 2014) Dois eventos, A e B, cujas probabilidades são P(A) = a e P(B)
= b, são exaustivos. Então a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada por:
a) zero.
b) um.
c) 1 ? a ? b.
d) a + b ? ab.
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e) ab.
RESOLUÇÃO:
Se dois eventos são exaustivos, isto significa que juntos eles abrangem todo o universo de
probabilidade. Isto é, P(A U B) = 100% = 1. Portanto, podemos marcar a alternativa B.
Resposta: B
50. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Três dados são lançados simultaneamente. A probabilidade de que
saiam dois números pares e um número impar é
a) 1/8
b) 1/4
c) 3/8
d) 1/6
e) 2/3
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de obter a sequência PAR-PAR-IMPAR é dada por ½ x ½ x ½ = 1/8. Como a
ordem não precisa ser exatamente esta, devemos permutar esses 3 resultados, notando a repetição
de 2 pares, o que nos dá P(3, 2) = 3! / 2! = 3. Portanto, ao todo temos 3 x 1/8 = 3/8 de probabilidade.
Resposta: C
51. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Três dados são lançados simultaneamente. A probabilidade de que os
três números sejam diferentes entre si é
a) 2/5
b) 35/256
c) 5/9
d) 5/56
e) 35/216
RESOLUÇÃO:
O total de resultados que podemos obter lançando 3 dados em sequência é dado por 6 x 6 x
6 = 216. Os resultados com números distintos são 6 x 5 x 4 = 120. Logo, a probabilidade de obter um
destes resultados é:
P = 120 / 216 = 40 / 72 = 20 / 36 = 10 / 18 = 5 / 9
Resposta: C
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52. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Uma urna contém 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Retira-se dela
uma bola ao acaso que, em seguida, é devolvida e misturada entre as demais. Retira-se, então, uma
segunda bola também ao acaso. A probabilidade de que a segunda bola seja branca é de
a) 12/25
b) 9/25
c) 6/25
d) 3/5
e) 2/5
RESOLUÇÃO:
Veja que a primeira bola foi devolvida à urna. Deste modo, no momento de retirar a segunda
bola temos 5 bolas ao todo na urna, das quais 3 são brancas. A probabilidade de que esta segunda
bola seja branca é de 3 em 5, ou 3/5.
Resposta: D
53. VUNESP ʹ PC/SP ʹ 2014) Sabe-se que o sistema de jogo desenvolvido por Pedro acerta o prêmio
menor de determinada loteria em 80% dos testes sorteados. Desse modo, é correto afirmar que a
probabilidade de Pedro acertar esse prêmio em pelo menos um dos dois próximos testes dessa
loteria é de
a) 80%.
b) 96%.
c) 100%.
d) 74%.
e) 68%.
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de Pedro errar em um sorteio é de 100% = 80% = 20%. Assim, a probabilidade
de ele errar nos DOIS próximos sorteios é de 20% x 20% = 4%. Logo, a probabilidade de ele acertar
pelo menos um dos próximos sorteios é de 100% - 4% = 96%.
Resposta: B
54. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Uma pesquisa com uma amostra de jovens entre 18 e 25 anos de uma
comunidade revelou que 70% deles estudam e que 50% deles trabalham. A pesquisa mostrou ainda
que 40% desses jovens trabalham e estudam.
Escolhido um jovem entre 18 e 25 anos dessa comunidade, a probabilidade de que seja estudante,
sabendo-se que não trabalha, é de
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a) 30%
b) 40%
c) 50%
d) 60%
e) 70%
RESOLUÇÃO:
Se tivermos 100 jovens, vemos que 70 deles estudam e 50 trabalham, e vemos que 40
estudam e trabalham. Portanto, dos 70 que estudam sabemos que 40 também trabalham, de modo
que 30 somente estudam e NÃO trabalham. E dos 50 que trabalham, sabemos que 40 também
estudam, de modo que 10 somente trabalham e NÃO estudam.
Até aqui temos 30 jovens que só estudam, 10 que só trabalham, 40 que fazem as duas coisas.
Somamos 30 + 10 + 40 = 80, de modo que faltam ainda outros 20 jovens para totalizar o grupo de
100 (estes 20 não trabalham e nem estudam).
Assim, ao todo o número de jovens que não trabalham é de 30 (só estudam) + 20 (não
estudam e nem trabalham) = 50. Destes, sabemos que 30 são estudantes, portanto a probabilidade
de pegar um desses 50 que não trabalham e ele estar entre os 30 que estudam é de 30 em 50, ou
30/50 = 60/100 = 60%.
Resposta: D
55. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Uma pesquisa com uma amostra de jovens entre 18 e 25 anos de uma
comunidade revelou que 70% deles estudam e que 50% deles trabalham. A pesquisa mostrou ainda
que 40% desses jovens trabalham e estudam.
Escolhendo-se, ao acaso, dois jovens entre 18 e 25 anos dessa comunidade, a probabilidade de que
pelo menos um deles seja estudante é de
a) 91%
b) 70%
c) 49%
d) 30%
e) 9%
RESOLUÇÃO:
Como vimos no exercício anterior, temos 30 jovens que só estudam, 10 que só trabalham, 40
que fazem as duas coisas, e 20 que não fazem nada.
Queremos a probabilidade de que pelo menos 1 dos 2 jovens selecionados seja estudante.
Vamos começar calculando a probabilidade de nenhum deles ser estudante.
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Ao todo temos 30 jovens que não estudam (os 10 que só trabalham e os 20 que não fazem
nada). As formas de selecionar dois deles somam C(30,2). O total de formas de selecionar dois dos
100 jovens é de C(100,2).
Assim, a probabilidade de selecionar 2 jovens e eles não estudarem é dada por:
P = C(30,2) / C(100,2)
P = (30x29/2!) / (100x99/2!)
P = 30x29 / 100x99
P = 10x29 / 100x33
P = 290 / 100x33
P = 0,0878
P = 8,78%
Esta é a probabilidade de ambos os jovens não estudarem. Logo, a probabilidade de pelo
menos um deles estudar é de P = 100% - 8,78% = 91,22%.
Resposta: A
Obs.: veja que eu calculei o caso sem reposição, ou seja, onde escolhemos os dois jovens sem
retorná-los à população. Se calcularmos o caso com reposição, onde selecionamos um jovem, vemos
se ele estuda ou não, retornamos ele à amostra, e selecionamos outro jovem, teremos exatamente
91%. Isto porque a probabilidade de um jovem estudar é 70%, de modo que a probabilidade de ele
não estudar é 30%. Assim, a probabilidade de dois não estudarem é de 30%x30% = 9%, de modo que
a probabilidade de pelo menos um estudar é de 100% - 9% = 91%.
56. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Uma urna contém 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Retira-se dela
uma bola ao acaso que, em seguida, é devolvida e misturada entre as demais. Retira-se, então, uma
segunda bola também ao acaso.
A probabilidade de que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes é
a) 24/25
b) 12/25
c) 8/25
d) 5/25
e) 3/ 5
RESOLUÇÃO:
Podemos considerar dois casos onde tiramos bolas com cores diferentes: a primeira preta e
a segunda branca, e a primeira branca e a segunda preta. Vejamos as probabilidades:
- primeira preta e segunda branca: 2/5x 3/5 = 6/25
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- primeira branca e segunda preta: 3/5 x 2/5 = 6/25
Ao todo temos 12/25, que é a probabilidade das duas bolas terem cores diferentes. Veja que
eu somei as probabilidades pois os dois eventos que considerei acima são mutuamente excludentes.
Resposta: B
57. VUNESP ʹ PC/SP ʹ 2014) A tabela a seguir apresenta dados dos ingressantes em uma
universidade, com informações sobre área de estudo e classe socioeconômica.
Classe A Classe B Classes C ou D
Exatas 300 200 150
Humanas 250 150 150
Biológicas 450 250 100
Se um aluno ingressante é aleatoriamente escolhido, é verdade que a probabilidade de ele
a) pertencer à classe B é de 40%.
b) estudar na área de Biológicas é de 40%.
c) pertencer à classe B e estudar na área de Biológicas é de 25%.
d) pertencer à classe B é de 20%.
e) estudar na área de Biológicas é de 22,5%.
RESOLUÇÃO:
Somando os números, temos um total de 2000 ingressantes. Vamos calcular as
probabilidades relativas a cada alternativa de resposta:
a) pertencer à classe B é de 40%.
P = (200+150+250) / 2000 = 600/2000 = 30%. ERRADO.
b) estudar na área de Biológicas é de 40%.
P = (450 + 250 + 100) / 2000 = 800 / 2000 = 40%. CORRETO.
c) pertencer à classe B e estudar na área de Biológicas é de 25%.
P = 250 / 2000 = 125 / 1000 = 12,5 / 100 = 12,5%. ERRADO.
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d) pertencer à classe B é de 20%.
P = (200+150+250) / 2000 = 600/2000 = 30%. ERRADO.
e) estudar na área de Biológicas é de 22,5%.
P = (450 + 250 + 100) / 2000 = 800 / 2000 = 40%. ERRADO.
Resposta: B
58. VUNESP ʹ PREF. SJC ʹ 2015) Dos 20 funcionários de uma empresa multinacional, 9 fazem curso
de inglês, 8 fazem curso de francês, 6 fazem curso de alemão, e 2 não fazem curso de línguas. Sabe-
se ainda que 5 fazem apenas curso de francês, 6 fazem apenas curso de inglês, 3 fazem apenas curso
de alemão, e 1 faz cursos de inglês, francês e alemão. Sorteando-se ao acaso um dos 20 funcionários
dessa empresa, a probabilidade de que ele faça exatamente dois cursos das três línguas citadas é de
a) 10%
b) 12%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
RESOLUÇÃO:
Podemos começar desenhando o seguinte diagrama:
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Veja que já comecei representando os 2 funcionários que não fazem nenhum curso, o 1
funcionário que faz os 3 cursos, e aqueles funcionários que fazem apenas uma língua. Veja que até
aqui já representamos 6 + 1 + 5 + 3 + 2 = 17 dos 20 funcionários, e falta apenas preencher aquelas
regiões que fazem parte de dois conjuntos, ou seja, os funcionários que fazem dois idiomas. Eles são
20 ? 17 = 3 funcionários ao todo.
A probabilidade de escolher um deles é de 3 em 20, ou seja, 3/20 = 15/100 = 15%.
Resposta: C
59. VUNESP ʹ PC/SP ʹ 2013) Em um saco opaco, foram colocadas 64 bolas, sendo 48 amarelas e 16
brancas. A seguir, as bolas foram bem misturadas e retiradas 10 bolas do saco, ao acaso. Sem
recolocá-las de volta, o conteúdo do saco foi novamente misturado e a probabilidade de se retirar
uma bola branca diminuiu em 1/36. O número de bolas brancas retiradas foi
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 4.
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e) 0.
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de tirar uma bola branca era, inicialmente, de 16 em 64, ou 16 / 64 = 4 / 16
= 1 / 4. Essa probabilidade caiu em 1/36, ou seja, ela passou a ser de 1/4 - 1/36 = 9/36 ? 1/36 = 8/36
= 2/9.
Sendo B o número de bolas brancas retiradas. Assim, o total de bolas restante passou a ser
de 64 ? 10 = 54, das quais as bolas brancas são 16 ? B. A probabilidade de tirar uma bola branca ficou
sendo:
P = (16 ? B) / 54
2/9 = (16 ? B) / 54
2/9 x 54 = 16 ? B
2 x 6 = 16 ? B
12 = 16 ? B
B = 16 ? 12
B = 4 bolas
Resposta: D
60. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Ao iniciar a conferência de uma lista, contendo 10 valores lançados, um
contador não identificou erro nos dois primeiros lançamentos conferidos, mas sim, no terceiro
lançamento. Supondo-se haver dois, e somente dois, valores lançados de forma incorreta nessa lista,
a probabilidade de o próximo valor a ser conferido pelo contador, de forma aleatória, estar incorreto
pode ser representada pela fração:
a) 2/7
b) 2/10
c) 1/7
d) 1/10
e) 1/2
RESOLUÇÃO:
Veja que falta conferir 7 lançamentos (os 3 primeiros já foram), e só há 1 erro, logo a
probabilidade de o próximo estar errado é de 1 em 7, ou 1/7.
Resposta: C
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61. VUNESP ʹ PC/SP ʹ 2014) A sequência 1, 2, 4, 8, 16, ..., 262.144, 524.288 tem 20 elementos. Cada
elemento dessa sequência está escrito em uma única bolinha, e em nenhuma bolinha estão gravados
mais que um número da sequência. As 20 bolinhas, e somente elas, estão no interior de uma urna,
interior esse que não se pode enxergar. Uma dessas bolinhas é retirada da urna, aleatoriamente. A
probabilidade de, na bolinha retirada, estar escrito um número divisível por 256, ou seja, um número
que dividido por 256 resulta em quociente inteiro e deixa resto zero, é
a) 55%
b) 50%
c) 60%
d) 45%
e) 40%
RESOLUÇÃO:
Veja que os números da sequência são as potências de 2: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 218, 219.
Veja ainda que 256 = 16 x 16 = 24x24 = 28. Os números divisíveis por 256 serão, portanto, todas
aquelas potências de 2 maiores ou iguais a 28, isto é, de 28 até 219. Veja que estamos falando de 12
dos 20 números da sequência. Assim, a chance de selecionar um número divisível por 256 é de 12
em 20, ou 12/20 = 6/10 = 60 / 100 = 60%.
Resposta: C
Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço,
Prof. Arthur Lima
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LISTA DE QUESTÕES
1. Instituto Acesso ʹ SEDUC/AM ʹ 2018) Um espaço amostral é particionado em 4 eventos disjuntos
X, Y, Z e W, cujas probabilidades são, respectivamente, P, 2P2, P2 e P. A probabilidade da união dos
eventos X e Y é:
A) 1/9
B) 2/9
C) 1/3
D) 5/9
E) 4/9
2. Instituto Acesso ʹ SEDUC/AM ʹ 2018) Quinze pessoas, sendo três mulheres, formam uma fila de
maneira aleatória. Qual a probabilidade das três mulheres não ficarem juntas na fila, ou seja, de elas
não ficarem em três posições vizinhas?
A) 34/35
B) 32/35
C) 31/33
D) 33/35
E) 32/33
3. FUMARC - SEE/MG ʹ 2018) Em uma sala do último anodo ensino médio com 50 alunos, sendo
28 meninas, foi feita uma pesquisa sobre o curso que pretendiam fazer na faculdade. Entre os 6
alunos que responderam que pretendiam fazer Arquitetura estavam apenas 2 meninas. Tomando
ao acaso um desses alunos, qual é a probabilidade de que, sendo menina, pretenda fazer
Arquitetura?
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/11
(D) 1/14
(E) 1/25
4. FUMARC - SEE/MG ʹ 2018) Em uma escola, foram consultados 800 alunos sobre a realização de
uma oficina extraturno. Desses, 385 optaram por oficina de música, 428 optaram por oficina de
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pintura e 47 não opinaram. Selecionando, ao acaso, um desses alunos, qual é a probabilidade de ele
ter optado pelas duas oficinas? (A) 40,6%
(B) 0,1%
(C) 6,1%
(D) 7,5%
(E) 10,7%
5. CESPE ʹ SEDUC/AL ʹ 2018) Acerca de probabilidade e estatística, julgue os próximos itens.
() Situação hipotética: A média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a
51,8 kg. Nessa sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg.
Assertiva: Nesse caso, essa sala de aulas tem 24 meninos e 36 meninas.
() Considere que de uma urna com 10 bolas numeradas de 1 a 10, uma pessoa deva retirar,
aleatoriamente, duas bolas ao mesmo tempo. Nesse caso, a probabilidade de que seja 12 a soma
dos números das bolas retiradas é superior a 9%.
() Considere que fichas numeradas de 11 a 99 sejam colocadas em uma urna e que uma delas seja
retirada aleatoriamente. Nesse caso, a probabilidade de o número da ficha retirada ter o algarismo
das dezenas menor que o algarismo das unidades é inferior a 35%.
() Situação hipotética: Na revisão de um livro, o editor contou 20 páginas que tiveram 0, 1, 2, 3 ou 4
erros; 36 páginas que tiveram 5, 6, 7, 8 ou 9 erros. Prosseguindo, ele obteve os valores mostrados
na tabela a seguir.
Assertiva: Nesse caso, a frequência relativa para os dados da classe modal da tabela é de 40%.
6. FCC ʹ ALESE ʹ 2018) Segundo a previsão do tempo, a probabilidade de chuva em uma cidade é de
50% no sábado e 30% no domingo. Além disso, ela informa que há 20% de probabilidade de que
chova tanto no sábado quanto no domingo. De acordo com essa previsão, a probabilidade de que
haja chuva nessa cidade em pelo menos um dos dois dias do final de semana é igual a
(A) 100%.
(B) 80%.
(C) 70%.
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(D) 60%.
(E) 50%.
7. FCC ʹ SEDU/ES ʹ 2016) De acordo com a abordagem frequentista, afirmar que a probabilidade de
sair cara no lançamento de uma moeda honesta é 50% é equivalente a dizer que
(A) em 1000 lançamentos aleatórios da moeda ocorrem 500 caras.
(B) haverá alternância entre cara e coroa na sequência de lançamentos aleatórios se a moeda for
lançada muitas vezes.
(C) depois de sair duas coroas seguidas no lançamento aleatório dessa moeda, a chance de sair cara
no terceiro lançamento será maior do que 50%.
(D) para um número muito grande de lançamentos aleatórios, o gráfico da probabilidade de
ocorrência de cara em função do número de lançamentos da moeda tenderá a ser uma linha paralela
a um dos eixos.
(E) para um número muito grande de lançamentos aleatórios, o gráfico da probabilidade de
ocorrência de cara em função do número de lançamentos da moeda tenderá a ser uma parábola.
8. FCC ʹ SEDU/ES ʹ 2016) Admita que a probabilidade de nascer um menino seja de 50%. Entre seis
nascimentos, a probabilidade de que três sejam meninas é igual a
(A) 2/3
(B) 5/16
(C) 1/2
(D) 1/6
(E) 1/3
9. FCC - ISS/Teresina - 2016) Em uma repartição pública os processos que chegam para análise e
deferimento são distribuídos com igual probabilidade para 4 auditores: A, B, C e D. Sabe-se que as
probabilidades dos auditores A, B, C e D não deferirem um processo são dadas, respectivamente,
por 30%, 35%, 22% e 33%. Nessas condições, a probabilidade de um processo, escolhido ao acaso,
ser deferido é igual a
(A) 65%.
(B) 60%.
(C) 70%.
(D) 72%.
(E) 75%.
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10. FCC ʹ SEFAZ/MA ʹ 2016) Roberta tem que ler dois processos diferentes e dar, em cada um,
parecer favorável ou desfavorável. A probabilidade de Roberta dar parecer favorável ao primeiro
processo é de 50%, a de dar parecer favorável ao segundo é de 40%, e a de dar parecer favorável a
ambos os processos é de 30%. Sendo assim, a probabilidade de que Roberta dê pareceres
desfavoráveis a ambos os processos é igual a
(A) 30%.
(B) 50%.
(C) 20%.
(D) 40%.
(E) 60%.
11. FCC ʹ SEFAZ/PI ʹ 2015) Um estudo mostra que 20% de todos os candidatos que estão prestando
determinado concurso público possuem doutorado em determinada área do conhecimento.
Selecionando-se ao acaso e com reposição 4 desses candidatos, a probabilidade de que exatamente
2 possuam doutorado é igual a
(A) 13,24%
(B) 10,24%
(C) 5,72%
(D) 8,46%
(E) 15,36%
12. FCC ʹ SEFAZ/PE ʹ 2015) Em uma empresa, apenas 30% dos atuais gerentes falam inglês
fluentemente. A direção decidiu contratar N novos gerentes, todos com inglês fluente, de modo que,
mantidos os atuais gerentes, o percentual de gerentes que falam inglês fluentemente na empresa
suba para 60%. Sendo A o número atual de gerentes, é correto concluir que N representa
(A) 30% de A.
(B) 45% de A.
(C) 75% de A.
(D) 50% de A.
(E) 60% de A.
13. FCC ʹ ASSEMBLEIA LEGISLATIVA DO PERNAMBUCO ʹ 2014) Ordenando ao acaso todas as letras
da palavra TRIBUNAL, o que inclui a própria palavra TRIBUNAL, teremos 40320 palavras (palavras
com ou sem significado). Escolhendo ao acaso uma dessas palavras, a probabilidade de que ela
comece e termine por vogal é igual a
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(A)
3
14
(B)
5
28
(C)
1
7
(D)
1
14
(E)
3
28
14. FCC ʹ ASSEMBLEIA LEGISLATIVA DO PERNAMBUCO ʹ 2014) Um dado não convencional tem 4
faces equiprováveis e numeradas de 1 à 4. A probabilidade de que a soma dos números obtidos em
três lançamentos desse dado seja maior do que 4 é igual a
A)
15
16
B)
1
16
C)
7
8
D)
3
4
E)
8
9
15. FCC ʹ Assembléia Legislativa da Paraíba ʹ 2013) A figura indica três das seis faces de um dado
não convencional. Esse dado não é convencional porque em suas seis faces aparecem apenas
marcações com os números 3, 5 e 6.
Em um lançamento ao acaso, a probabilidade de sair o número 6 nesse dado é
1
3
, e a de sair o
número 3 é
1
2
. Nas condições descritas, a soma dos números indicados nas seis faces desse dado é
igual a
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(A) 23.
(B) 29.
(C) 26.
(D) 28.
(E) 27.
16. FCC ʹ DPE/SP ʹ 2013) Uma bolsa contém apenas 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Sorteando ao
acaso uma bola dessa bolsa, a probabilidade de que ela seja preta é
(A) maior do que 55% e menor do que 60%.(B) menor do que 50%.
(C) maior do que 65%.
(D) maior do que 50% e menor do que 55%.
(E) maior do que 60% e menor do que 65%.
17. FCC ʹ CAIXA ʹ 2013) Três dados convencionais e honestos de seis faces são lançados
simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos três números obtidos no lançamento seja
maior do que 15 é
(A) 1/18.
(B) 1/12.
(C) 5/108.
(D) 3/54.
(E) 1/36.
18. FCC ʹ SABESP ʹ 2012) Os técnicos de uma empresa avaliaram que a probabilidade de que certo
equipamento de medição da marca X venha a apresentar algum defeito no período de um ano após
a sua compra é de 1/30. A empresa adquiriu, no início do ano, três desses equipamentos de medição,
que serão usados de maneira independente. De acordo com a avaliação dos técnicos, a
probabilidade de que exatamente um deles venha a apresentar algum defeito ao longo do primeiro
ano de uso é igual a
(A)
ଵଽǤ
(B)
ଵଶǤ
(C)
଼ସଵଶǤ
(D)
଼ସଵଽǤ
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(E)
ଵǤ଼ଶଶǤ
19. FCC ʹ Banco do Brasil ʹ 2011) Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25
funcionários, cujas idades, em anos, são as seguintes:
24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32
35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48
48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65
A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a sua idade seja
superior a 48 anos é de:
a) 28%
b) 27,4%
c) 27%
d) 25,8%
e) 24%
20. FCC ʹ Sergipe Gás S/A ʹ 2010) A tabela abaixo apresenta o consumo médio mensal de 100
residências em um bairro servido pela SERGAS.
Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o seu consumo médio
mensal de gás natural seja de 25 m3 é
a) 2/25
b) 7/100
c) 3/50
d) 1/20
e) 1/25
21. FCC ʹ SEFAZ/SP ʹ 2010) Everaldo deve escolher um número de quatro algarismos para formar
uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros: 163, que corresponde ao número de seu
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apartamento. Se Everaldo escolher de modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que
a senha formada seja um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si, é de
(A) 60%.
(B) 55%.
(C) 50%.
(D) 45%.
(E) 40%.
22. FCC ʹ SEFAZ/SP ʹ 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. João e
sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários
escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um deles, João ou sua esposa, faça
parte da comissão é
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 3/10
23. FCC ʹ TRF/4ª ʹ 2010) O número de televisores vendidos diariamente em uma loja apresenta a
seguinte distribuição de probabilidades de venda:
A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor é igual a 10%
e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a probabilidade de que em um determinado
dia sejam vendidos 2 televisores é de
(A) 10%.
(B) 12%.
(C) 15%.
(D) 18%.
(E) 20%.
24. FCC ʹ TRT/3ª ʹ 2010) A probabilidade de que um cliente de banco, escolhido aleatoriamente,
participe de um fundo multimercado promovido pelo banco é 0,20. Se cinco clientes são escolhidos
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aleatoriamente e com reposição, a probabilidade de que a proporção de participantes seja
exatamente 0,40 é:
a) 0,0816
b) 0,1048
c) 0,1280
d) 0,1850
e) 0,2048
25. FCC ʹ DNOCS ʹ 2010) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado
eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda:
A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do
eletrodoméstico é igual a
(A) 87,5%.
(B) 80,0%.
(C) 75,0%.
(D) 60,0%.
(E) 50,0%.
26. FCC ʹ TJ/AP ʹ 2009) Em uma prateleira há 16 pastas que contêm processos a serem arquivados
e cada pasta tem uma etiqueta na qual está marcado um único número, de 1 a 16. Se as pastas não
estão dispostas ordenadamente na prateleira e um Técnico Judiciário pegar aleatoriamente duas
delas, a probabilidade de que nessa retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas
somem 13 unidades é de
a) 4%
b) 4,2%
c) 4,5%
d) 4,8%
e) 5%
27. FCC ʹ TRT/3ª ʹ 2009) Determinados processos de um tribunal são encaminhados para a análise
de 3 analistas: X, Y e Z. Sabe-se que 30% de todos esses processos são encaminhados para X, 45%
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para Y e 25% para Z. Usualmente, por falta de documentação, uma parcela de tais processos é
devolvida. Sabe-se que 5% , 10% e 10% dos processos de X, Y e Z, respectivamente, são devolvidos.
A probabilidade de que um processo escolhido ao acaso tenha sido encaminhado para X, sabendo
que foi devolvido, é:
a) 4/15
b) 3/17
c) 6/19
d) 7/15
e) 3/19
28. FCC ʹ TCE/MG ʹ 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em cada um dos quais
foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números de 1 a 8. Se no interior da caixa os
processos não estão ordenados e, para dar início à execução de tal tarefa, um funcionário do
Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa
retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de
(A) 25%
(B) 20%
(C) 12,5%
(D) 10%
(E) 7,5%
29. FGV ʹ ICMS/RO ʹ 2018) Dois eventos A e B têm probabilidades iguais a 70% e 80%. Os valores
mínimo e máximo da probabilidade da interseção de A e B são
(A) 20% e 50%.
(B) 20% e 70%.
(C) 50% e 70%.
(D) 0% e 70%.
(E) 30% e 50%.
30. FGV ʹ ICMS/RO ʹ 2018) Júlia e Laura são irmãs e fazem parte de um grupo de 5 meninas. Desse
grupo, três serão sorteadas para um passeio. A probabilidade de que uma das irmãs seja sorteada e
a outra não seja sorteada é de
(A) 40%.
(B) 50%.
(C) 60%.
(D) 70%.
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(E) 80%.
31. FGV ʹ ICMS/RO ʹ 2018) Um dado é lançado quatro vezes. A probabilidade de que o número ´6´
seja obtido ao menos duas vezes é, aproximadamente, igual a
(A) 0,05.
(B) 0,13.
(C) 0,25.
(D) 0,40.
(E) 0,50.
32. FGV ʹ SEPOG/RO ʹ 2017) Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão
sorteados aleatoriamente entre quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento
B. A probabilidade de os dois funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) ¼
(D) 1/6
(E) 3/4
33. FGV ʹ Pref. Salvador ʹ 2017) Júlio vai lançar uma moeda honesta 4 vezes seguidas. A
probabilidade de que o número de caras seja igual ao número de coroas é de
(A) 1/2.
(B) 1/3.
(C) 3/4.
(D) 3/8.
(E) 5/8.
34. FGV ʹ MRE ʹ 2016) Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1a 15. Retiram-se
aleatoriamente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de que o
número da segunda bola retirada da urna seja par é:
(A) 1/2
(B) 3/7
(C) 4/7
(D) 7/15
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(E) 8/15
35. FGV ʹ TJ/PI ʹ 2015) Em um saco há 3 bolas brancas, 3 bolas amarelas e 3 bolas vermelhas. Duas
delas são retiradas ao acaso. A probabilidade de que essas bolas sejam de cores diferentes é:
(A) 3/4;
(B) 3/5;
(C) 4/5;
(D) 2/3;
(E) 1/2.
36. FGV ʹ TJ/PI ʹ 2015) Em uma urna há quatro bolas brancas e duas bolas pretas. Retiram-se,
sucessivamente e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de as duas bolas retiradas
serem da mesma cor é:
(A)
7
15
(B)
8
15
(C)
2
3
(D)
1
3
(E)
1
2
37. FGV ʹ TCE/SE ʹ 2015) Em uma festa há somente mulheres solteiras e homens casados,
acompanhados de suas respectivas esposas. A probabilidade de que uma mulher sorteada ao acaso
nessa festa seja solteira é 2/7. A probabilidade de que uma pessoa sorteada ao acaso nessa festa
seja homem é:
(A) 5/7
(B) 2/9
(C) 7/9
(D) 5/12
(E) 7/12
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38. FGV ʹ BANCO DO NORDESTE ʹ 2014) Pedro pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de R$
100,00 por duas notas de R$ 50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 na carteira em
notas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas tem de cada valor. Sabe apenas
que tem pelo menos uma de cada valor. Considere que todas as distribuições possíveis de notas de
R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que podem ocorrer na carteira de Paulo sejam igualmente prováveis. A
probabilidade de que Paulo possa fazer a troca pedida por Pedro é de:
(A)
2
13
(B)
4
13
(C)
5
13
(D)
6
13
(E)
7
13
39. FGV ʹ BANCO DO NORDESTE ʹ 2014) Um banco solicita a seus clientes uma senha adicional
formada por três letras, não necessariamente distintas, entre as dez primeiras letras do alfabeto.
Para digitar a senha em um caixa eletrônico, aparecem cinco teclas cada uma correspondendo a
duas letras:
João percebeu que a pessoa ao lado apertou em sequência as teclas 2, 2, 4. A probabilidade de que
João adivinhe a senha dessa pessoa em uma única tentativa é:
(A)
1
2
(B)
1
3
(C)
1
4
(D)
1
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(E)
1
8
40. FGV ʹ TCE/BA ʹ 2013) A figura a seguir mostra sequências de caminhos que podem ser
percorridos por uma pessoa, de cima para baixo, começando pela entrada E, e terminando em uma
das 5 salas representadas pelos quadrados da figura. Ao chegar a uma bifurcação há sempre 50% de
chance de a pessoa prosseguir por um caminho ou pelo outro
A probabilidade de uma pessoa, ao terminar o percurso, chegar à sala A ou na sala B do desenho é,
aproximadamente de
(A) 40%.
(B) 55%.
(C) 64%.
(D) 69%.
(E) 73%.
41. FGV ʹ TCE/BA ʹ 2013) Carlos tem duas calças jeans que ele usa para ir trabalhar. Uma das calças
é desbotada e a outra não. Carlos gosta igualmente das duas calças. Entretanto, por preguiça de tirar
o cinto da calça que usou em determinado dia e colocar na outra, é duas vezes mais provável que
ele use, no dia seguinte, a mesma calça que usou em determinado dia do que use a outra calça. Hoje,
Carlos usou a calça desbotada. A probabilidade de Carlos usar a mesma calça desbotada depois de
amanhã é de
a) 2/9
b) 1/3
c) 4/9
d) 5/9
e) 2/3
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42. FGV ʹ SEAD/AP ʹ 2010) Uma urna contém 50 bolinhas idênticas numeradas de 1 a 50. Se quatro
bolinhas são aleatoriamente sorteadas com reposição, a probabilidade de que, dos quatro números
sorteados, dois sejam pares e dois sejam impares é igual a:
(A) 12,5%.
(B) 25,0%.
(C) 37,5%.
(D) 50,0%.
(E) 62,5%.
43. FGV ʹ ICMS/RJ ʹ 2010) Se A e B são eventos independentes com probabilidades P[A] = 0,4 e P[B]
= 0,5 então P[A B] é igual a:
(A) 0,2.
(B) 0,4.
(C) 0,5.
(D) 0,7.
(E) 0,9.
44. FGV ʹ ICMS/RJ ʹ 2010) 40% dos eleitores de uma certa população votaram, na última eleição,
num certo candidato A. Se cinco eleitores forem escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade
de que três tenham votado no candidato A é igual a:
(A) 12,48%.
(B) 17,58%.
(C) 23,04%.
(D) 25,78%.
(E) 28,64%.
45. FGV ʹ SEAD/AP ʹ 2010) Numa sala estão reunidos quatro auditores e seis fiscais. Se três dessas
pessoas forem aleatoriamente sorteadas para formar uma comissão, a probabilidade de que a
comissão seja composta por dois auditores e um fiscal é igual a:
a) 0,1
b) 0,2
c) 0,3
d) 0,4
e) 0,5
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46. VUNESP ʹ POLÍCIA CIVIL/SP ʹ 2013) São Paulo é uma cidade com inúmeros eventos que atraem
muitos visitantes estrangeiros. Visando qualificar o atendimento a esses visitantes, a Polícia Militar
do Estado de São Paulo promove cursos de aperfeiçoamento em idiomas para membros da
corporação. A tabela mostra distribuição de integrantes de quatro cursos em relação ao sexo:
Sorteando-se dois nomes desse grupo, com reposição, a probabilidade de que ambos sejam de
pessoas do mesmo sexo é de
a) 16%.
b) 36%.
c) 40%.
d) 52%.
e) 60%.
47. VUNESP ʹ SP-URBANISMO ʹ 2014) Duas variáveis aleatórias, x e y, são independentes. A variável
x tem 60% de probabilidade de valer 1 e 40% de probabilidade de valer 0, enquanto a variável y tem
30% de probabilidade de valer 1 e 70% de probabilidade de valer 0. Suponha uma variável z = xy. A
variável z tem
a) 0% de probabilidade de valer 1.
b) 9% de probabilidade de valer 1.
c) 18% de probabilidade de valer 1.
d) 70% de probabilidade de valer 1.
e) 100% de probabilidade de valer 1.
48. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Em um processo seletivo, três candidatos disputam uma vaga. Em um
dos testes, o coordenador de RH mostra-lhes 5 adesivos, 2 pretos e 3 brancos, e coloca um adesivo
nas costas de cada candidato. Cada um deles sabe a cor dos outros dois, mas não sabe a sua própria.
Raciocinando em termos de probabilidade sobre a cor atribuída a um dos candidatos, é correto
afirmar que:
a) se os outros dois são pretos, a probabilidade de ele ser branco é 1/2 .
b) se os outros dois são brancos, a probabilidade de ele ser preto é 2/5 .
c) se os outros dois são de cores diferentes, a probablidade de ele ser branco é 2/3.
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d) se um dos dois é branco, a probabilidade de ele ser branco é 2/5.
e) se um dos dois é preto, a probabilidade de ele ser preto é 1/2.
49. VUNESP ʹ SP-URBANISMO ʹ 2014) Dois eventos,A e B, cujas probabilidades são P(A) = a e P(B)
= b, são exaustivos. Então a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada por:
a) zero.
b) um.
c) 1 ? a ? b.
d) a + b ? ab.
e) ab.
50. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Três dados são lançados simultaneamente. A probabilidade de que
saiam dois números pares e um número impar é
a) 1/8
b) 1/4
c) 3/8
d) 1/6
e) 2/3
51. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Três dados são lançados simultaneamente. A probabilidade de que os
três números sejam diferentes entre si é
a) 2/5
b) 35/256
c) 5/9
d) 5/56
e) 35/216
52. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Uma urna contém 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Retira-se dela
uma bola ao acaso que, em seguida, é devolvida e misturada entre as demais. Retira-se, então, uma
segunda bola também ao acaso. A probabilidade de que a segunda bola seja branca é de
a) 12/25
b) 9/25
c) 6/25
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d) 3/5
e) 2/5
53. VUNESP ʹ PC/SP ʹ 2014) Sabe-se que o sistema de jogo desenvolvido por Pedro acerta o prêmio
menor de determinada loteria em 80% dos testes sorteados. Desse modo, é correto afirmar que a
probabilidade de Pedro acertar esse prêmio em pelo menos um dos dois próximos testes dessa
loteria é de
a) 80%.
b) 96%.
c) 100%.
d) 74%.
e) 68%.
54. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Uma pesquisa com uma amostra de jovens entre 18 e 25 anos de uma
comunidade revelou que 70% deles estudam e que 50% deles trabalham. A pesquisa mostrou ainda
que 40% desses jovens trabalham e estudam.
Escolhido um jovem entre 18 e 25 anos dessa comunidade, a probabilidade de que seja estudante,
sabendo-se que não trabalha, é de
a) 30%
b) 40%
c) 50%
d) 60%
e) 70%
55. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Uma pesquisa com uma amostra de jovens entre 18 e 25 anos de uma
comunidade revelou que 70% deles estudam e que 50% deles trabalham. A pesquisa mostrou ainda
que 40% desses jovens trabalham e estudam.
Escolhendo-se, ao acaso, dois jovens entre 18 e 25 anos dessa comunidade, a probabilidade de que
pelo menos um deles seja estudante é de
a) 91%
b) 70%
c) 49%
d) 30%
e) 9%
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56. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Uma urna contém 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Retira-se dela
uma bola ao acaso que, em seguida, é devolvida e misturada entre as demais. Retira-se, então, uma
segunda bola também ao acaso.
A probabilidade de que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes é
a) 24/25
b) 12/25
c) 8/25
d) 5/25
e) 3/ 5
57. VUNESP ʹ PC/SP ʹ 2014) A tabela a seguir apresenta dados dos ingressantes em uma
universidade, com informações sobre área de estudo e classe socioeconômica.
Classe A Classe B Classes C ou D
Exatas 300 200 150
Humanas 250 150 150
Biológicas 450 250 100
Se um aluno ingressante é aleatoriamente escolhido, é verdade que a probabilidade de ele
a) pertencer à classe B é de 40%.
b) estudar na área de Biológicas é de 40%.
c) pertencer à classe B e estudar na área de Biológicas é de 25%.
d) pertencer à classe B é de 20%.
e) estudar na área de Biológicas é de 22,5%.
58. VUNESP ʹ PREF. SJC ʹ 2015) Dos 20 funcionários de uma empresa multinacional, 9 fazem curso
de inglês, 8 fazem curso de francês, 6 fazem curso de alemão, e 2 não fazem curso de línguas. Sabe-
se ainda que 5 fazem apenas curso de francês, 6 fazem apenas curso de inglês, 3 fazem apenas curso
de alemão, e 1 faz cursos de inglês, francês e alemão. Sorteando-se ao acaso um dos 20 funcionários
dessa empresa, a probabilidade de que ele faça exatamente dois cursos das três línguas citadas é de
a) 10%
b) 12%
c) 15%
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d) 20%
e) 25%
59. VUNESP ʹ PC/SP ʹ 2013) Em um saco opaco, foram colocadas 64 bolas, sendo 48 amarelas e 16
brancas. A seguir, as bolas foram bem misturadas e retiradas 10 bolas do saco, ao acaso. Sem
recolocá-las de volta, o conteúdo do saco foi novamente misturado e a probabilidade de se retirar
uma bola branca diminuiu em 1/36. O número de bolas brancas retiradas foi
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 4.
e) 0.
60. VUNESP ʹ TJ/SP ʹ 2015) Ao iniciar a conferência de uma lista, contendo 10 valores lançados, um
contador não identificou erro nos dois primeiros lançamentos conferidos, mas sim, no terceiro
lançamento. Supondo-se haver dois, e somente dois, valores lançados de forma incorreta nessa lista,
a probabilidade de o próximo valor a ser conferido pelo contador, de forma aleatória, estar incorreto
pode ser representada pela fração:
a) 2/7
b) 2/10
c) 1/7
d) 1/10
e) 1/2
61. VUNESP ʹ PC/SP ʹ 2014) A sequência 1, 2, 4, 8, 16, ..., 262.144, 524.288 tem 20 elementos. Cada
elemento dessa sequência está escrito em uma única bolinha, e em nenhuma bolinha estão gravados
mais que um número da sequência. As 20 bolinhas, e somente elas, estão no interior de uma urna,
interior esse que não se pode enxergar. Uma dessas bolinhas é retirada da urna, aleatoriamente. A
probabilidade de, na bolinha retirada, estar escrito um número divisível por 256, ou seja, um número
que dividido por 256 resulta em quociente inteiro e deixa resto zero, é
a) 55%
b) 50%
c) 60%
d) 45%
e) 40%
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GABARITO
1. D
2. A
3. D
4. D
5. CCE
6. D
7. D
8. B
9. C
10. D
11. E
12. C
13. E
14. A
15. C
16. A
17. C
18. D
19. E
20. A
21. E
22. D
23. C
24. E
25. C
26. E
27. B
28. A
29. D
30. C
31. B
32. B
33. D
34. D
35. A
36. A
37. D
38. D
39. E
40. D
41. D
42. C
43. D
44. C
45. C
46. D
47. C
48. C
49. B
50. C
51. C
52. D
53. B
54. D
55. A
56. B
57. B
58. C
59. D
60. C
61. C
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PRINCIPAIS PONTOS DA AULA
Veja a seguir um resumo com os principais conceitos que você precisa guardar sobre o tema desta
aula.
Definição:
Eventos independentes:
Probabilidade da união de eventos:
Eventos mutuamente excludentes:
Eventos complementares:
CProbabilidade(E) = 1 - Probabilidade(E )
Probabilidade condicional:
número de resultados favoráveisProbabilidade do Evento=
número total de resultados
P(A B)=P(A) P(B) u
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B � � () 0P A B
( )( / ) ( )
P A BP A B
P B
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- onsidere a derivada da funçãoa seguir: teste. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) 38x3 - 6x2 + 8. B) 28x3 - 6x2 + 8. C) -6x2 + 8.
- os pontos de excentricidade (focos) são ???? 1 = ( 41 , 0 ) e ???? 2 = ( − 41 , 0 ) F 1 =( 41 ,0) e F 2 =(− 41 ,0) (e, se solicitado, a excentri
- Considere a derivada da funçãoa seguir: teste. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) 38x3 - 6x2 + 8. B) 28x3 - 6x2 + 8. C) -6x2 + 8.
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A. 6.59
B. 13.37
C. -1.80
D. -15.43
- Calcule o valor de X para a seguinte equação: 9x + 13 = 0
A. 12.44
B. 12.01
C. -1.44
D. 9.43
