Matemática - Volume 4

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ENSINO MÉDIO
PRÉ-VESTIBULAR
MAT
MATEMÁTICA
COLEÇÃO PV
Copyright © Editora Poliedro, 2022.
Todos os direitos de edição reservados à Editora Poliedro.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal, Lei 9.610
de 19 de fevereiro de 1998.
ISBN 978-65-5613-330-0
Presidente: Nicolau Arbex Sarkis
Autoria: Flavio Lieb Filho, João Guilherme Giudice, Marco
Aurélio de Melo Miola, Renato Alberto Rodrigues (Tião)
e Umberto Cesar Chacon Malanga
Edição e conteúdo: Ana Paula Enes, Juliana Grassmann
dos Santos, Andriele de Carvalho Landim Aquino, Larissa
Calazans Nicoletti Mesquita, Rodrigo Macena e Silva,
Waldyr Correa dos Santos Junior e Júlia Lima Souza (assist.)
Edição de arte: Christine Getschko, Marina Ferreira,
Bruna H. Fava, Lourenzo Acunzo e Nathalia Laia
Design: Adilson Casarotti
Licenciamento e multimídia: Leticia Palaria de Castro
Rocha e Jessica Clifton Riley, Danielle Navarro Fernandes e
Vitor Hugo Duarte Medeiros
Revisão: Daniel de Febba Santos, Bianca da Silva Rocha,
Bruno Oliveira Freitas, Eliana Marília Gagliotti Cesar, Ellen
Barros de Souza, Ingrid Lourenço, Sara de Jesus Santos,
Sárvia Martins e Thiago Marques
Impressão e acabamento: PierPrint
Crédito de capa: BEST-BACKGROUNDS/Shutterstock.com
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Sumário
Frente 1
12 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton ������������������������������������������������������������������������ 5
Números binomiais, 6
Triângulo de Pascal, 7
Binômio de Newton, 9
Revisando, 11
Exercícios propostos, 12
Texto complementar, 14
Resumindo, 14
Quer saber mais?, 15
Exercícios complementares, 16
BNCC em foco, 18
13 Probabilidades ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 19
Experimento aleatório e espaço amostral, 20
Cálculo de probabilidades, 20
Probabilidade condicional, 23
Distribuição binomial, 27
Revisando, 28
Exercícios propostos, 29
Texto complementar, 37
Resumindo, 37
Quer saber mais?, 39
Exercícios complementares, 39
BNCC em foco, 50
Frente 2
9 Polinômios ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 51
Monômios de uma variável, 52
Binômios, 55
Trinômios com uma variável, 56
Polinômios, 57
Gráficos de polinômios com coeficientes reais, 64
Operações com polinômios, 69
Revisando, 77
Exercícios propostos, 79
Texto complementar, 87
Resumindo, 88
Quer saber mais?, 88
Exercícios complementares, 88
BNCC em foco, 96
10 Equações polinomiais �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 97
Equações de uma variável, 98
Equações polinomiais de uma variável, 99
Raízes de polinômios 3 soluções de equações, 105
Relações entre coeficientes e raízes, 112
Revisando, 113
Exercícios propostos, 115
Texto complementar, 120
Resumindo, 121
Quer saber mais?, 122
Exercícios complementares, 122
BNCC em foco, 126
Frente 3
14 Cilindros ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 127
Definição, 128
Cilindro circular reto ou cilindro de revolução, 128
Cilindro oblíquo, 128
Seção meridiana, 129
Cilindro equilátero, 129
Seção não meridiana, 129
Áreas no cilindro de revolução, 129
Volume de um cilindro, 130
Tronco de um cilindro reto, 130
Revisando, 132
Exercícios propostos, 136
Texto complementar, 139
Resumindo, 140
Quer saber mais?, 140
Exercícios complementares, 140
BNCC em foco, 144
15 Cones e esferas ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 145
Cones, 146
Esferas, 150
A descoberta de Arquimedes, 150
Inscrições e circunscrições, 154
Sólidos de revolução, 159
Revisando, 161
Exercícios propostos, 166
Texto complementar, 175
Resumindo, 176
Quer saber mais?, 179
Exercícios complementares, 180
BNCC em foco, 186
16 Troncos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 187
Semelhança de sólidos, 188
Semelhança de sólidos e paralelismo, 189
Tronco de pirâmide, 190
Tronco de cone, 190
Revisando, 193
Exercícios propostos, 195
Texto complementar, 200
Resumindo, 200
Quer saber mais?, 201
Exercícios complementares, 201
BNCC em foco, 204
Gabarito ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 205
Números binomiais, triângulo de
Pascal e binômio de Newton
Um binômio elevado à segunda potência (a 1 b)2 ou elevado à terceira potência
(a 1 b)3 pode ser facilmente representado geometricamente e desenvolvido alge-
bricamente pela aplicação da propriedade distributiva. À medida que a potência
aumenta, fica muito mais trabalhoso desenvolver algebricamente a expressão e se
torna inviável representá-la geometricamente. O estudo proposto neste capítulo
facilita o trabalho com esse tipo de expressão e mostra uma importante ferramenta
para a resolução de exercícios que envolvem probabilidades e suas aplicações em
cálculos que envolvem jogos.
12
CAPÍTULO
FRENTE 1
o
ta
ra
e
v
74
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
6 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Números binomiais
No capítulo anterior, entre outras coisas, vimos como
representar e calcular uma combinação. Os números bino-
miais correspondem a uma maneira diferente de apresentar
ou representar as combinações.
Sejam n e k números naturais, com n. k. Um número
binomial ou um coeficiente binomial n sobre p, represen-
tado por
n
k
 é dado por
n
n k k
!
( )! !2 ?
 e dizemos que n é o
numerador e k é a classe do número binomial.
Atenção
Note que o número binomial representa uma combina-
ção
n
k n k
 C
,
5 ou seja, é a quantidade de conjuntos com
k elementos que podemos formar a partir de n elementos
disponíveis. Essa relação pode ser um grande ponto de
partida para tornar este estudo menos abstrato.
Casos particulares
Retomando a simplificação de números fatoriais aplica-
da no capítulo anterior, vamos conciliá-la com os chamados
números binomiais e calcular seus valores. Veja alguns
exemplos:
ɔ C
10
4
10!
(10 4)! 4!
10 9 8 7 !
 4 3 2 1
 210
10, 4
5 5
2 ?
5
? ? ? ?
? ? ? ?
5
ɔ C
12
3
12!
(12 3)! 3!
12 11 10 !
 3 2 1
 220
12, 3
5 5
2 ?
5
? ? ?
? ? ?
5
ɔ C
15
13
15!
(15 13)! 13!
15 14 !
2 1 !
 105
15, 13
5 5
2 ?
5
? ?
? ?
5
Confira agora alguns casos particulares aos quais de-
vemos estar atentos.
I.
n n
nn
C
0
!
( 0)! 0!
!
! 1!
1
, 0
5 5
2 ?
5
?
5
O conjunto vazio é o único conjunto sem elementos.
Exemplos:
n3
0
11
0
25
0 0
15 5 5 5
II. 5 5
2 ?
5 5
n n
n
nnC 1
!
( 1)! 1! 1
, 1
 A partir de n elementos podemos formar n conjun-
tos com apenas 1 elemento.
Exemplos:
4
1
 45 ;
12
1
 125 ;
27
1
275 ;
n
n
1
5
III. n
n
n
n n n
n
nn n
C
!
( )! !
!
0! !
1, 5 5
2 ?
5
?
5
 A partir de n elementos, podemos formar um único
conjunto com n elementos.
Exemplos:
n
n
4
4
12
12
21
21
15 5 5 5
Confira as afirmações de cada caso particular utilizando
seus conhecimentos sobre conjuntos.
Binomiais complementaresPara quaisquer números binomiais
n
k
 e
p
q
 com n. k
e p . q, a igualdade
n
k
p
q
5 é válida apenas quando
n 5 p e k 5 q ou quando n 5 p e k 1 q 5 n.
Vamos retomar com exemplos a propriedade enuncia-
da. Note a igualdade dos números apresentados:
6
4
6
2
6!
(6 4)! 4!
6!
(6 2)! 2!
6!
2!4!
6!
4!2!
5 ~
2 ?
5
2 ?
~ 5
Note acima que com 6 elementos disponíveis, a quan-
tidade de possibilidades de escolha de 4 elementos para
formar um conjunto é igual à quantidade de possibilidades
de escolha para um conjunto de 2 elementos.
Também são válidas as igualdades:
10
3
10
7
5
15
5
15
10
5
22
18
22
4
5
Assim, observamos que com 10 elementos disponíveis,
a quantidade de possibilidades de escolha de 3 elementos
para formar um conjunto é igual à quantidade de possi-
bilidades de escolha para um conjunto de 7 elementos.
Omesmo ocorre com 15 elementos disponíveis para a
formação de conjuntos com 5 ou 10 elementos, ou ainda
com 22 elementos disponíveis para a formação de conjun-
tos com 4 ou 18 elementos.
A igualdade
n
k
n
p
5 com n . k e p . q, é válida
quando k5 p ou quando k1 p5 n, e neste caso dizemos
que
n
k
 e
n
p
 são binomiais complementares.
Exemplos:
a)
x
x x x
12 12
9
 9 ou 9 12 35 ~ 5 1 5 ~ 5
b)
x
x x x
18 18
16
 16 ou 16 18 25 ~ 5 1 5 ~ 5
Exercício resolvido
1. Aline faz parte de um grupo de  pessoas. Quais são
as possibilidades de formar um grupo de  pessoas:
a) sem restrições?
b) escolhendo Aline para o grupo?
c) sem escolher Aline para o grupo?
7
F
R
E
N
T
E
 1
Resolução:
a) Podemos resolver este problema com a com-
binação C0, 4, que pode ser representada por
5
? ? ? ?
? ? ? ?
5
10
4
10 9 8 !
4 3 2 1
210
Assim, existem  possibilidades para formarmos
um grupo com  pessoas a partir de um grupo de
 pessoas.
b) Escolhendo Aline, sobram 3 vagas para 9 pessoas.
Podemos resolver o problema com a combinação
C9, 3, definida por 5
? ? ?
? ? ?
5
9
3
9 8
3 2 1
84
Assim, existem  possibilidades para formarmos
um grupo com  pessoas a partir de um grupo de
 pessoas, com Aline incluída no grupo.
c) Eliminando Aline das opções, serão 4 vagas para
9 pessoas disponíveis. Podemos resolver o pro-
blema com a combinação C9, 4, que pode ser
resolvida por 5
? ? ? ?
? ? ? ?
5
9
4
9 8 7 6
4 3 2 1
126
Assim, existem  possibilidades para formar-
mos grupos com  pessoas a partir de  pessoas
disponíveis, sabendo que Aline não estará em ne-
nhum grupo.
Note que, somando os grupos com a presença
de Aline com os que ela não participa, temos a
quantidade total de grupos que podemos formar
sem restrições:
1 5 ~ 1 5
9
3
9
4
10
4
84 126 210
Triângulo de Pascal
Uma maneira de apresentarmos os números binomiais
é utilizando o triângulo de Pascal.
Nele, dispomos números binomiais em linhas, em uma
configuração que lembra o formato de um triângulo. Em
cada linha mantemos o numerador constante e, em cada
coluna, a classe. Assim, temos a disposição:
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha n
C
o
lu
n
a
0
C
o
lu
n
a
 1
C
o
lu
n
a
 2
C
o
lu
n
a
 3
C
o
lu
n
a
 4
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
n
0
n
1
n
2
n
3
n
4
C
o
lu
n
a
n
n
n
»
ˆ
Triângulo de Pascal
Observe o triângulo quando calculados os números
binomiais.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
æ ˆ
Propriedades do triângulo de Pascal
Podemos perceber algumas regularidades no triângulo
de Pascal.
Elementos das extremidades
Os primeiros e últimos elementos de cada linha são
iguais a 1.
Isso se deve a dois fatores:
ɔ O primeiro elemento de cada linha é da forma
n
0
e, como vimos anteriormente,
n
0
 15 para qualquer
n natural.
ɔ O último elemento de cada linha é da forma
n
n
 e,
como também vimos anteriormente,
n
n
 15 para
qualquer n natural.
Elementos equidistantes dos extremos de uma linha
Os termos equidistantes dos extremos de cada linha
são iguais, pois tratam-se de binomiais complementares.
Considere a linha n. Os elementos equidistantes dos
extremos dessa linha podem ser escritos como
n
k01
e
n
n k2
.
Como k 1 (n 2 k) 5 n,
n
k01
 e
n
n k2
 são bino-
miais complementares. Assim:
Na linha 6, por exemplo, o número que está a uma dis-
tância de 2 posições do primeiro número é 15. O número
que está distante 2 posições do último número também é 15.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
æ ˆ
Verifique essa propriedade nas outras linhas do
triângulo.
8 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Relação de Stifel
A soma de dois elementos consecutivos de uma linha
é igual ao elemento abaixo do elemento da direita, isto é:
Essa relação é conhecida como relação de Stifel.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
æ ˆ
Utilizando a expressão do número binomial podemos
provar qualquer das igualdades apresentadas anteriormente.
Exemplos:
a)
8
5
8
6
9
6
1 5 ~
8!
(8 5)! 5!
8!
(8 6)! 6!
9!
(9 6)! 6!
~
2 ?
1
2 ?
5
2 ?
~
8 7 6 5!
3 2 1 5!
8 7 6!
2 1 6!
9 8 7 6!
3 2 1 6!
~
? ? ?
? ? ?
1
? ?
? ?
5
? ? ?
? ? ?
~ 56 1 28 5 84
b)
11
7
11
8
12
8
1 5 ~
11!
(11 7)! 7!
11!
(11 8)! 8!
12!
(12 8)! 8!
~
2 ?
1
2 ?
5
2 ?
~
11 10 9 8 7!
4 3 2 1 7!
11 10 9 8!
3 2 1 8!
12 11 10 9 8!
4 3 2 1 8!
~
? ? ? ?
? ? ? ?
1
? ? ?
? ? ?
5
? ? ? ?
? ? ? ?
~ 330 1 165 5 495
Teorema das linhas
Somando todos os elementos de uma linha temos:
Exemplos:
a)
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
1 1 1 1 5
5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 24
b)
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
1 1 1 1 1 5
5 1 1 5 1 10 1 10 1 5 1 1 5 32 5 25
Saiba mais
Exercícios resolvidos
2. Resolva a equação 1 5
x
11
6
11
7
12
.
Resolução:
Pela relação de Stifel, temos:
( )
1 5 ~ 5
x x
11
6
11
7
12 12
7
12
12
7
~ x 5  ou x 5  2  5 
Portanto, S 5 {, }.
3. Calcule ∑
5
p
p
8
2
7
.
Resolução:
Considere ∑5 5 1 1 1
5
p
p
S
8 8
2
8
3
…
8
7
2
7
Pelo teorema das linhas, temos:
1 1 1 1 1 5 5
8
0
8
1
8
2
…
8
7
8
8
2 256
8
Assim:
1 1 1 5
8
0
8
1
S
8
8
256~
~  1  1 S 1  5 ~ S 5 
4. Em uma sala, há  lâmpadas que acendem de forma
independente. De quantas maneiras podemos ilumi-
nar essa sala?
Resolução:
Podemos acender um conjunto de , , ,  ou  lâmpa-
das. Para cada conjunto, há um número de possibilidades
que pode ser obtido do triângulo de Pascal.
1
5
5
1
9
F
R
E
N
T
E
 1
Pelo teorema das linhas, sabemos que:
1 1 1 1 1 5 5
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
2 32
5
Como
5
0 representa o caso em que nenhuma lâm-
pada está acesa, temos:
1 1 1 1 5 2 5 2 5
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
32
5
0
32 1 31
Assim, há  possibilidades de iluminar a sala.
Binômio de Newton
O termo “binômio” vem de bi (dois) 1 nômio (nome)
e se refere à quantidade de parcelas de uma expressão.
No Binômio de Newton, temos um binômio (a 1 b), sendo
a e b números reais, como base de uma potência n, com
n natural.
As potências de binômios com expoentes iguais ou
menores do que 3 foram apresentadas no capítulo de fato-
ração. Agora, vamos mostrar uma maneira de desenvolver
aquelas com expoentes maiores que 3.
Observe a relação entre os coeficientes do desen-
volvimento das potências e os termos do triângulo de
Pascal:
1 (a 1 b)051
1 1 (a 1 b)151 ?a 1 1 ?b
1 2 1 (a 1 b)251 ?a2 1 2 ?ab 1 1 ?b2
1 3 3 1 (a 1 b)351 ?a3 1 3 ?a2b 1 3 ?ab2 1 1 ?b3
1 4 6 4 1(a 1 b)451 ?a414 ?a3b16 ?a2b214 ?ab311 ?b4
æ æ
Observe os expoentes de a. A primeira parcela tem
expoente igual ao do binômio e ele vai diminuindo nas
parcelas seguintes até a última, onde ele é nulo.
Os expoentes de b, por outro lado, começam com
expoente zero e aumentam até o expoente do binômio.
Por que isso ocorre?
Vamos calcular, por exemplo, o coeficiente do termo
a
4
b
2 do desenvolvimento de (a 1 b)6.
(a1 b)65 (a1 b) ? (a1b) ? (a1 b) ? (a1 b) ? (a1 b) ? (a1 b)
Para obtermos a4b2, multiplicamos no processo dessa
distributiva 4 vezes a e 2 vezes b, considerando os 6 fa-
tores. Observe algumas possibilidades de obtermos esse
resultado:
a ? a ? a ? a ? b ? b, a ? a ? b ? a ? a ? b, b ? a ? b ? a ? a ? a,
b ? a ? a ? a ? a ? b, ...
O número de possibilidades para obtermos a4b2 é a
soma da quantidade de parcelas a4b2 que podem ser for-
madas, e pode ser calculada do número de grupos de dois
b que escolhemos a partir das 6 parcelas disponíveis, ou
seja, a partir de
6
2
.
Exemplo: Vamos desenvolver (2x 1 y)4.




















1 5 ? ? 1 ? ? 1
1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1
1 ? ? 5 1 1 1 1
x y x y x y
x y x y x y
x x y x y x y
y x x y x y xy y
(2 )
4
0
(2 )
4
1
(2 )
4
2
(2 )
4
3
(2 )
4
4
(2 )
1 16 1 4 8 6 4 4 2
1 1 16 32 24 8
4 4 0 3 1
2 2 1 3 0 4
4 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
Note que:
• temos apenas uma possibilidade para formar x4y0:
x ? x ? x ? x
• temos 4 possibilidades para formar x3y1:
x ? x ? x ? y, x ? x ? y ? x, x ? y ? x ? x e y ? x ? x ? x
• temos 6 possibilidades para formar x2y2:
x ? x ? y ? y, x ? y ? x ? y, y ? x ? x ? y, y ? y ? x ? x,
y ? x ? y ? x e x ? y ? y ? x
• temos 4 possibilidades para formar x1y3:
x ? y ? y ? y, y ? x ? y ? y, y ? y ? x ? y e y ? y ? y ? x
• temos apenas 1 possibilidade para formar x0y4:
y ? y ? y ? y
Observe outro exemplo em que há uma subtração no
binômio. Vamos desenvolver (2x 2 y)4.
Note que (2x 2 y)4 5 (2x 1 (2y))4. Temos, então:




















⋅
2 5 ? ? 2 1 ? ? 2 1
1 ? ? 2 1 ? ? 2 1
1 ? ? 2 5 ? ? 1 ? ? 2 1
1 ? ? 1 ? 2 1 ? ? 5
5 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y
x y x x y
x y x y y
x x y x y xy y
(2 )
4
0
(2 ) ( )
4
1
(2 ) ( )
4
2
(2 ) ( )
4
3
(2 ) ( )
4
4
(2 ) ( ) 1 16 1 4 8 ( )
6 4 4 2 ( ) 1 1
16 32 24 8
4 4 0 3 1
2 2 1 3
0 4 4 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
Como o expoente de (2y) alterna entre um número par
e outro ímpar, temos a alternância de sinal nas parcelas.
De modo geral, para uma potência na forma (a 1 b)n
em que a e b são números inteiros e n é natural, podemos
escrever o desenvolvimento do binômio do seguinte modo:
Termo geral do binômio de Newton
A partir dos exemplos vistos, podemos escrever o ter-
mo geral T do binômio de Newton, que representa uma das
parcelas do desenvolvimento desse binômio. No caso de
(2x 1 y)4, sendo p um número natural, temos:








x y x y x y(2 )
4
0
(2 )
4
1
(2 )
4 4 0 3 1
1 5 1 1












x y x y x y
4
2
(2 )
4
3
(2 )
4
4
(2 )
2 2 1 3 0 4
1 1



p
x y
p
p p
T
4
(2 )
1
4
5
1
2
10 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Para p 5 0, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x y x y
x x
T
4
0
(2 ) T
4
0
(2 )
T 1 16 1 16
0 1
4 0 0
1
4 0
1
4 4
Para p 5 1, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x y x y
x y x y
T
4
1
(2 ) T
4
1
(2 )
T 4 8 32
1 1
4 1 1
2
3 1
2
3 3
Para p 5 2, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x y x y
x y x y
T
4
2
(2 ) T
4
2
(2 )
T 6 4 24
2 1
4 2 2
3
2 2
3
2 2 2 2
Para p 5 3, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x x y
x y xy
T
4
3
(2 ) y T
4
3
(2 )
T 4 2 8
3 1
4 3 3
4
1 3
4
3 3
Para p 5 4, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x x y
y y
T
4
4
(2 ) y T
4
4
(2 )
T 1 1
4 1
4 4 4
5
0 4
5
4 4
Generalizando, para (a 1 b)n com n, p é N, temos a
seguinte fórmula do termo geral para o binômio de Newton:
Exercícios resolvidos
5. Calcule o termo em x do desenvolvimento de
x
x
12
10
1 .
Resolução:
O termo geral do desenvolvimento do binômio é:
T
10
(x )
1
T1
2 10
p
1p xp
p
p5 ? ? ~1
2
1
10
T
1020 2
1
20 3
p
x x
p
x
p p
p
p
5 ? ? ~ 5
2 2
1
2
Como o termo desejado é o termo em x, igualando
os expoentes do termo geral e de x, temos:
 2 p 5 ~ p 5 ~ p 5 
Portanto, o termo pedido é:
T
10
4
T
10!
(10 4)! 4!
T
10 9 8
4 3 2 1
T 210
4 1
20 3 4
5
20 12
5
8
5
8
x x
x x
5 ~ 5
2 ?
~
~ 5
? ? ? ?
? ? ? ?
~ 5
1
2 ? 2
Portanto, o termo procurado é o quinto termo e é igual
a x.
6. Encontre o termo independente de x no desenvolvi-
mento de x
x
13
12
1 .
Resolução:
O termo geral do desenvolvimento é:
T
12
( )
1
1
3 12
p
x
xp
p
p
5 ? ? ~1
2
T
12
T
12
1
36 3
1
36 4
p
x x
p
xp
p p
p
p
5 ? ? ~ 51
2 2
1
2
No termo independente, temos x. Assim:
 2 p 5 ~ p 5 ~ p 5 
Portanto, o termo pedido é:
T
12
9
T
12
9
T
12!
(12 9)! 9!
T
12 11 10
3 2
220
9 1
36 4 9
10
36 36
10
0
10
x x
x
5 ~ 5 ~
~ 5
2 ?
~ 5
? ? ?
? ? ?
5
1
2 ? 2
Portanto, o termo independente de x é o o termo e
vale .
Soma dos coeficientes do desenvolvimento do
binômio
Vamos calcular a soma dos coeficientes do desenvol-
vimento do binômio.
Perceba que não são necessariamente iguais aos
termos do triângulo de Pascal, uma vez que os números
binomiais aparecem multiplicados pelos coeficientes de
cada termo.
Observe a soma dos coeficientes do desenvolvimento
de (2x 1 y)4. Temos:
(2x 1 y)4 5 16x4 1 32x3y 1 24x2y2 1 8xy3 1 y4
Logo, a soma S dos coeficientes é S5 161 321 241
1 81 15 81.
Uma das maneiras de se conhecer essa soma sem a
necessidade de conhecer o desenvolvimento do binômio
é substituindo os termos literais do binômio por 1. Assim,
no caso sugerido, considerando x 5 y 5 1, obtemos o
mesmo resultado:
S 5 (2 ? 1 1 1)4 5 (2 1 1)4 5 34 5 81
Exercício resolvido
7. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvi-
mento de:
a) (1 – x)20 b) (2a 1 3b)4 c) (5x – 3y)6
Resolução:
a) Fazendo x 5 1 em (1 – x)20, temos:
( – ) 5  5 
b) Fazendo a 5 b 5 1 em (2a 1 3b)4, temos:
( ?  1  ? ) 5 ( 1 ) 5  5 
c) Fazendo x 5 y 5 1 em (5x – 3y)6, temos:
( ?  –  ? ) 5 ( – ) 5  5 
11
F
R
E
N
T
E
 1
1. Calcule:
a)
11
2
b)
15
3
c)
30
29
2. Resolva a equação
x x
25
2 19
25
 12
5
2
.
3. Resolva a equação
x
15
5
15
6
16
2 4
1 5
1
.
4. Calcule ∑
p
p
7
 0
7
5
.
5. Quantos subconjuntos de dois elementos tem um
conjunto com dez elementos?
6. Desenvolva (x 1 ).
Revisando
7. Desenvolva (x – y).
8. Encontre o coeficiente do termo em x³ do desenvolvi-
mento de x
x
12
6
1 .
9. Calcule o termo independente do desenvolvimento
de x
x
1
8
1 .
10. Qual é a soma dos coeficientes do desenvolvimento
de (x – y)?
12 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Exercícios propostos
1. Calcule:
a)
10
3
b)
12
2
c)
25
0
d)
18
1
e)
15
15
2. Complete as igualdades apresentadas nos itens com
números na forma binomial.
a)
11
5
11
6
1 5
b)
20
10
20
11
1 5
c)
30
12
29
12
2 5
3. Walter faz parte de uma empresa em que há  co-
laboradores. A partir desse grupo, será formada uma
comissão de  pessoas para a brigada de incêndio.
Determine:
a) o número de comissões possíveis sendo Walter
um dos escolhidos.
b) quantas são as possibilidades de formar diferen-
tes comissões em que Walter não participa.
c) o total de comissões possíveis.
4. Calcule:
a) ∑
p
p
8
 0
8
5
b) ∑
p
p
10
 0
10
5
c) ∑
p
p
10
 2
9
5
5. Unesp 2021 Os motores a combustão utilizados em
veículos são identificados pelas numerações ., .
ou ., entre outras, que representam a capacidade
volumétrica total da câmara dos pistões, calculada de
acordo com o diâmetro e o curso de cada pistão e a
quantidade de pistões.
Para o cálculo dessa capacidade, considera-se que
cada câmara tem o formato de um cilindro reto cuja
altura é o curso do pistão. Desse modo, um motor que
possui  cilindros que deslocam  cm³ de mistura
gasosa cada totaliza uma capacidade volumétrica de
 cm³, sendo chamado de um motor   cilindra-
das ou, simplesmente, ..
Uma montadora registrou a patente de um motor em
que cada cilindro tem capacidade cúbica diferente,
contrariando o modelo usual. Para um motor com
  cilindradas, aoinvés de termos um motor
comtrês cilindros iguais de  cilindradas, podere-
mos ter um motor com três cilindros, mas de , 
e cilindradas, por exemplo. Em teoria, isso daria
maior versatilidade e efi ciência ao motor, quando com-
binado com a tecnologia de desativação de cilindros.
Nesse novo motor, no lugar de termos apenas a opção
de desativação de cilindros de  cilindradas, o ge-
renciamento eletrônico poderá desativar um cilindro
de  cilindradas, por exemplo, ou fazer a desativa-
ção de vários cilindros, conforme a necessidade. Com
esta solução, o leque de opções de motorização, ba-
seado nos diferentes ajustes de uso de um ou mais
cilindros, passa de  confi gurações possíveis para 
confi gurações de cilindradas resultantes. Já para um
motor  cilindros, as possibilidades sobem de  para
até  confi gurações diferentes de motorização.
Considere o Triângulo de Pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Um motor com  cilindradas, com cilindros de
, , , ,  e   cilindradas, terá, com
a tecnologia de desativação de cilindros, uma quanti-
dade de opções de motorização igual a
a) 30.
b) 63.
c) 64.
d) 36.
e) 72.
6. Para que os números binomiais
x
15
2
 e
x
15
2 sejam
iguais, a soma dos valores que x pode assumir é
igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
7. Mackenzie-SP 2017 Sabendo que ∑ n
p
p
n
 256
0
5
5
então o valor de n vale
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
13
F
R
E
N
T
E
 1
8. UFRGS 2014 Considere a configuração dos números
dispostos nas colunas e linhas abaixo.
C
o
lu
n
a
 0
C
o
lu
n
a
 1
C
o
lu
n
a
 2
C
o
lu
n
a
 3
C
o
lu
n
a
 4
C
o
lu
n
a
 5
C
o
lu
n
a
 6
C
o
lu
n
a
 7
...
Linha 0 1
Linha 1 1 1
Linha 2 1 2 1
Linha 3 1 3 3 1
Linha 4 1 4 6 4 1
Linha 5 1 5 10 10 5 1
Linha 6 1 6 15 20 15 6 1
Linha 7 1 7 21 35 35 21 7 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
O número localizado na linha 15 e na coluna 13 é
a) .
b) 9.
c) .
d) .
e) .
9. IME-RJ 2016 O valor da soma abaixo é:
1 1 1 1 1


2016
5
2017
5
2018
5
2019
5
2020
5
2016
6
a)
2020
6
b)
2020
7
c)
2021
5
d)
2021
6
e)
2022
5
10. Desenvolva os binômios apresentados a seguir.
a) (x 1 y)
b) (a

2 b)

11. Determine o valor numérico do polinômio p(x) 5 x
4
1
1 4x
3
1 6x
2
1 4x 1 2017 para x 5 4.
a)   9.
b) 8 .
c)   8.
d)   .
e)   .
12. EsPCEx-SP 2021 Qual o valor de n, no binômio
(x1 3)n para que o coeficiente do 5
o
 termo nas potên-
cias decrescentes de x seja igual a 5 670?
a) 
b) 
c) 
d) 8
e) 9
13. Efomm-RJ 2020 Assinale a alternativa que apresen-
ta o termo independente de x na expansão binomial
x
x
1
.
2
6
8
1
a) 
b) 8
c) 8
d) 
e) 
14. FGV-SP 2018 Uma aplicação financeira de C reais
à taxa mensal de juros compostos de x% é resgata-
da depois de  meses no montante igual a C
8
 reais.
Sendo assim,
C
C
8 é um polinômio P(x) de grau  cujo
coeficiente do termo em x5 será
a)  ? 
28
b)  ? 
28
c)  ? 
28
d)  ? 
2
e)  ? 
2
15. ESPM-SP 2018 No desenvolvimento do binômio
(x 1 p ? y)
n
, com p e n naturais, o termo 112x
6
y
2
 é o
terceiro quando feito com potências crescentes de
y e o sétimo quando feito com potências crescentes
de x. O valor de p 1 n é igual a:
a) 
b) 
c) 9
d) 
e) 
16. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de:
a) (x 2 y)
b) (a 1 b)

17. FGV-RJ 2016 Um grupo de oito alunos está sendo
liderado em um passeio por dois professores e, em
determinado momento, deve se dividir em dois sub-
grupos. Cada professor irá liderar um dos subgrupos
e cada aluno deverá escolher um professor. A única
restrição é que cada subgrupo deve ter no mínimo um
aluno.
O número de maneiras distintas de essa subdivisão
ser feita é
a) 8.
b) .
c) 8.
d) .
e) .
18. ITA-SP 2013 O coeficiente de x4y
4
 no desenvolvimen-
to de (1 1 x 1 y)
10
 é
a) 
b) 
c) 
d) 89
e) 
14 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Texto complementar
Aplicação do binômio de Newton
O binômio de Newton pode ser uma alternativa para efetuar algumas operações com juros compostos.
Para saber, por exemplo, qual é o montante de uma aplicação de R$ 1 000,00 a juros de 1% ao mês após um ano, podemos relembrar o cálculo
de juros compostos em matemática financeira e aplicá-lo à situação descrita:
M5 C
0
? (11 i )t~ M5 1 000 ? (11 0,01)12
Note que temos um binômio como base da potência. Na impossibilidade de utilização de uma calculadora, podemos desenvolver o binômio:
⋅
(1 0,01) (1 10 )
12
0
1 (10 )
12
1
1 (10 )
12
2
1 (10 )
12
3
1 (10 ) ...
12
0
1 10
12
1
1 10
12
2
1 10
12
3
1 10 ...
1 1 1 12 1 10 66 1 10 220 1 10 ...
1 0,12 0,0066 0,000220 ... 1,12682...
12 2 12
12 2 0 11 2 1 10 2 2 9 2 3
0 2 4 6
2 4 6
1 5 1 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 5
5 1 1 1 1 5
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
Portanto, (11 0,01)12à 1,12682, pois as demais parcelas são muito pequenas se comparadas às primeiras e podem ser desprezadas.
O montante é dado, então, em reais, por:
M5 1 000 ? (11 0,01)12à 1 000 ? 1,12682à 1126,82
O resultado pode ser conferido em uma calculadora, onde obtemos R$ 1 126,82.
Texto elaborado para fins didáticos.
Resumindo
Números binomiais
Binomiais complementares
Triângulo de Pascal
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha n
C
o
lu
n
a
 0
C
o
lu
n
a
 1
C
o
lu
n
a
2
C
o
lu
n
a
 3
C
o
lu
n
a
 4
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
n
0
n
1
n
2
n
3
n
4
C
o
lu
n
a
n
n
n
»
ˆ
15
F
R
E
N
T
E
 1
Quer saber mais?
Sites
Instituto Blaise Pascal – Tecnologia e educação. Blaise Pascal. Disponível em: http://www.institutopascal.org.br/visao/institucional/
blaise-pascal.php. Acesso em: 8 fev. 2022.
O texto conta a história de Blaise Pascal, matemático a quem costuma-se atribuir a autoria do triângulo de Pascal.
SILVEIRA, J. F. Porto da. O triângulo de Pascal é de Pascal? UFRGS. Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2b.html.
Acesso em: 8 fev. 2022.
Nesta página você poderá ler uma discussão muito interessante sobre a autoria do triângulo de Pascal.
Calculados os valores numéricos, o triângulo terá a seguinte composição:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
æ ˆ
Propriedades do triângulo de Pascal
ɔ Elementos das extremidades: os primeiros e últimos elementos de cada linha são iguais a 1.
ɔ Elementos equidistantes dos extremos de uma linha são iguais.
ɔ Relação de Stifel
ɔ Teorema das linhas
Binômio de Newton
( )
0 1 2
…
1
, e
0 1 1 2 2 1 1 0
1 5 1 1 1 1
2
1
é R é N
2 2 2
a b
n
a b
n
a b
n
a b
n
n
a b
n
n
a b
a b n
n n n n n n
Termo geral do binômio (a 1 b)n
16 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Exercícios complementares
1. UEPG-PR 2013 Assinale o que for correto.

n n
n2 2
5
2

4
1
4
2
4
3
4
4
 151 1 1 5
 A soma das soluções da equação
x
11 10
3
10
2
2 5 é 11.
 A equação
x x
10 10
2 4
5
2
 tem duas soluções distintas.

n n n
1 2
 1
2
1 5
1
Soma:
2. UPF-RS 2016 Desenvolvendo o binômio (x 2 y)n, obtém-se um polinômio de  termos. O valor de n é:
a) 15 b) 10 c) 5 d) 4 e) 2
3. EsPCEx-SP 2017 O valor da expressão
E 5 ()5 1  ? () 1  ? () 1  ? () 1  ? () 1 
é igual a
a) 9 ? 103 b) 9 ? 10 c) 10 d) 999 999 e) 999 ? 10
4. ITA-SP A expressão 1 )(2 3 5
5
 – 2 )(2 3 5
5
 é igual a
a) 2 630 5 b) 2 690 5 c) 2 712 5 d) 1584 15 e) 1 604 15
5. Unioeste-PR 2013 O valor da expressão
 2  ?  ?  1  ?  ?  2  ?  ?  1 
é igual a
a) 153(153 – 3)3 1 3. b) 1474. c) 154 ?34. d) 1534. e) 154 ?104.
6. UEPG-PR Considerando que, a5 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 b5 5  e a 2 b 5 2,assinale o que for
correto.
 a > 1.
 b < 0.

b
a
 é um número natural.
 a b
5
2
.
2 2
1 5

a
b
1
3
.5
Soma:
7. Ifal 2017 O termo independente no desenvolvimento do binômio x
x
2
32
3
5
2 é
a) –720. b) –360. c) 0. d) 360. e) 720.
8. Uern 2013 A soma dos algarismos do termo independente de x no desenvolvimento do binômio de Newton
x
x
2
8
1 é
a) 3 b) 4 c) 6 d) 7
9. Uece 2020 O termo independente de x no desenvolvimento binomial de x x
x
13
3
13
? 1 é
a) 725. b) 745. c) 715. d) 735.
17
F
R
E
N
T
E
 1
10. Uece 2016 No desenvolvimento de x(x 1 )1, o coeficiente de x é
a) 480. b) 320. c) 260. d) 180.
11. UEPG-PR 2016 Dois casais, Marcos e Maria e Leonardo e Lucia, vão ao teatro, sentando-se em quatro lugares con-
secutivos que sobraram numa mesma fila. Considerando n o número de maneiras diferentes que os quatro podem
sentar, de tal forma que Marcos sempre fique ao lado de Maria e Leonardo fique ao lado de Lucia, assinale o que for
correto.
 O coeficiente do termo central do desenvolvimento do binômio (x 1 y)n é maior que 80.
 Um dos termos do desenvolvimento do binômio (x 2 2)n é igual a 112x6.
 Acendendo pelo menos uma lâmpada, pode-se iluminar de 256 modos diferentes uma sala que tem n lâmpadas,
com interruptores independentes.
 Se x 5 1, então
n
x
n
x3 2 2 11
5
1
.
 Existem menos que 50 maneiras de sentar-se n meninos num banco que tem apenas dois lugares.
Soma:
12. UEPG-PR 2016 No desenvolvimento do binômio x
k
x
n
2
3
1 , onde n e k são números reais, o º termo vale x7.
Nesse contexto, assinale o que for correto.
 n é um número primo.
 n 1 k > 10.
 O desenvolvimento não tem um termo independente de x.
 A soma de seus coeficientes é 81.
 O coeficiente do 3º termo vale 84.
Soma:
13. FGV-SP 2013 Desenvolvendo-se o binômio P(x) 5 (x 1 )5, podemos dizer que a soma de seus coeficientes é
a) 16 b) 24 c) 32 d) 40 e) 48
14. UFPE No desenvolvimento binomial de 1
1
3
10
1 , quantas parcelas são números inteiros?
15. UEPG/PSS-PR Considerando que n é a solução da equação A
n,  5 An,  e que m é solução da equação
A
m, 5 5 Cm, , assinale o que for correto.
 A soma dos coeficientes do binômio (3x 1 1)m 2 n é 64.
 Se
mp np p n
14 14
,
2
5
1
 então p 5 3 ou p 5 2.
 O quarto termo do desenvolvimento do binômio (x 1 m)n é 14 580x3.
 O valor de
n n n n n n n
0 1 2 3 4 5 6
 64.1 1 1 1 1 1 5
Soma:
16. UFC-CE Poupêncio investiu R$ , numa aplicação bancária que rendeu juros compostos de % ao mês, por
cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é sufi-
ciente para que Poupêncio compre um computador de R$ , à vista? Explique sua resposta.
17. Mackenzie-SP 2019 Se S 5 {, , , ..., }, o número de pares ordenados distintos, (A, B), em que A e B são subcon-
juntos, disjuntos, de S é
a) 30 b) 30 2 1 c) 39 d) 20 2 1 e) 20
18. FGV-SP 2017 O coeficiente de x1 na expansão de ( 1 x 1 x5)1 é igual a
a) 120. b) 90. c) 81. d) 60. e) 54.
BNCC em foco
MATEMÁTICA Capítulo 12 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
1.
Representantes de turma são alunos da própria classe que têm uma função parecida com a de mediação e gerência. É
o principal elo entre a turma e a instituição (docentes, coordenação e UNIFAP) por isso precisam ter disponibilidade para
participar, efetivamente, das reuniões para as quais forem demandados. É o interlocutor do grupo. Está responsável por
administrar eventuais conflitos e deve estar em permanente diálogo em prol do consenso. Esse estudante que vai levar ques-
tões comuns (e não particulares) dos demais colegas de sala para professores e coordenadores. Eles também podem tomar
decisões importantes pela turma, já que têm o poder para isso - mas, claro, após uma consulta aos demais colegas de turma,
não podendo tomar nenhuma decisão sozinho.
a)
b)
2.
a)
b)
c)
d)
e)
3.
a)
b)
EM13MAT310
EM13MAT203
EM13MAT312
Probabilidades
Um dos grandes anseios do ser humano é estar no controle das mais variadas situa-
ções, prevendo e prevenindo condições desfavoráveis. Apesar do desenvolvimento
da teoria das probabilidades ter sido baseada em jogos de azar, atualmente é uma
importante ferramenta para racionalizar previsões dos mais variados tipos, tais como,
acompanhar a ocorrência de fenômenos naturais (asteroides, vulcões e furacões), em
estudos biológicos, financeiros, de marketing ou econômicos, embasando decisões
governamentais, empresariais e até mesmo pessoais. Neste capítulo, vamos conhecer
e compreender os conceitos básicos e os cálculos que envolvem as probabilidades.
13
CAPÍTULO
FRENTE 1
20 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
Experimento aleatório e espaço
amostral
Um experimento (ou fenômeno) é aleatório quando,
mesmo que repetido exatamente nas mesmas condições,
não conseguimos prever seu resultado. Apesar de conhe-
cermos as possibilidades, não há como assegurar com
certeza qual será o resultado. O valor da face voltada para
cima no lançamento de um dado, o resultado do lançamen-
to de uma moeda cuja massa é distribuída igualmente, o
sorteio de uma carta de baralho comum são alguns exem-
plos de experimentos aleatórios.
Existem outras situações, como uma partida de futebol,
a ocorrência de chuva e a aprovação em um concurso, que
não podem ser classificadas como eventos ou fenômenos
aleatórios, pois sofrem influências de decisões, de caracte-
rísticas de clima, ou de conhecimentos prévios, entre outros.
Já os experimentos em que podemos prever com
exatidão o que ocorrerá são chamados de experimentos
determinísticos.
A análise da probabilidade dos experimentos ou fe-
nômenos aleatórios será o nosso objeto de estudo. Como
não podemos de antemão definir o resultado desse tipo
de fenômeno, buscamos elementos que ajudem a nos
aproximarmos de um resultado mais preciso (limitando ao
mínimo possível o total de possibilidades), por exemplo com
o espaço amostral.
Espaço amostral é o conjunto de todos os resulta-
dos possíveis de um experimento ou fenômeno aleatório.
Vamos utilizar o símbolo V para diferenciá-lo de outros
conjuntos.
Exemplos:
• No lançamento de um dado, o espaço amostral é
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• No lançamento de duas moedas, considerando C para
o resultado cara e K para coroa, temos como resulta-
dos possíveis V 5 {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}.
Evento, evento certo e evento impossível
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amos-
tral. Vamos utilizar letras maiúsculas para representar esses
subconjuntos.
Exemplos:
• No experimento aleatório de lançar um dado, cujo es-
paço amostral é V, A é o evento “o número da face
voltada para cima ser par” e é um subconjunto de V:
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} A 5 {2, 4, 6}
• No experimento aleatório de lançar duas moedas simul-
taneamente, cujo espaço amostral é V, B é o evento
“ocorrer duas coroas nesse lançamento” e é um sub-
conjunto deV:
V 5 {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)} B 5 {(K, K)}
Dizemos que um evento A é certo se coincidir com
o espaço amostral do experimento aleatório considerado
(A 5 V).
Exemplo:
• No experimento aleatório de lançar um dado e verifi-
car a face voltada para cima, cujo espaço amostral éV,
A é o evento “o valor sorteado é representado por um
número natural” e é um subconjunto de V:
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dizemos que um evento B é impossível se ele for vazio
(B 5 0).
Exemplo:
• No experimento aleatório de lançar um dado e veri-
ficar a face voltada para cima, cujo espaço amostral
é V, B é o evento “o valor sorteado é representado
por um número maior do que 6”:
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} B 5 0
Nesse caso, como não existe nenhum elemento de V
maior do que 6, B é vazio e, de fato, é impossível sortear
um número maior do que 6 em um dado comum.
Cálculo de probabilidades
Espaço amostral equiprovável
Para prosseguir com esse estudo, é importante defi-
nir alguns parâmetros para os experimentos.Neste caso,
vamos trabalhar com experimentos e fenômenos cujo es-
paços amostrais sejam equiprováveis.
Um espaço amostral é considerado equiprovável quan-
do todos os eventos formados por um único elemento do
espaço amostral têm a mesma chance de ocorrer.
Exemplo:
• No lançamento de um dado comum e honesto, todos
os números têm a mesma chance de serem sortea-
dos. Nesse caso, o experimento de lançar um dado
honesto tem espaço amostral equiprovável.
• Se no experimento de sortear bolas de uma urna
em que houver mais bolas azuis do que vermelhas,
há mais chance de sortear uma bola azul do que de
sortear uma bola vermelha, o que mostra um espaço
amostral não equiprovável. Considerando o sorteio
de uma bola na urna da figura a seguir cujas bolas só
são diferentes pela cor, as chances de retirarmos uma
bola vermelha ou uma bola azul não são iguais.
V 5 {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, V}
Se considerarmos que cada bolinha azul é diferente
das outras, as chances de tirar cada uma das bolinhas passa
a ser igual e o espaço amostral V será equiprovável.
Probabilidade
Considere o espaço amostral V de um experimento
aleatório, tal queV é finito eV=0. A probabilidade P(A) de
ocorrer um evento A é dada pela razão entre n(A), que é o
número de elementos do evento A, e n(V), que é o número
de elementos do espaço amostral V, ou seja:
21
F
R
E
N
T
E
 1
Uma vez que o evento A é um subconjunto não vazio
de V, vale a relação:
0 , n(A) , n(V)
Analisando P(A), temos que:
,
V
, ~ , ,
n
n
0
(A)
( )
1 0 P(A) 1
Assim, nenhum evento pode ter uma probabilidade
negativa ou maior que 1.
Decorre da definição que a probabilidade de ocorrên-
cia de um evento certo é dada por:
5
V
~ 5
V
V
5
n
n
n
n
P(A)
(A)
( )
P(A)
( )
( )
1
Também a partir da definição, podemos concluir que
a probabilidade de ocorrência de um evento impossível é
dada por:
5
V
~ 5
V
5
n
n n
P(A)
(A)
( )
P(A)
0
( )
0
Exercícios resolvidos
1. Lançando um dado honesto, qual a probabilidade de:
a) ocorrer número par?
b) ocorrer número maior que 4?
Resolução:
Sendo o espaço amostral V 5 {, 2, 3, , 5, 6}, temos:
a) Sendo A o evento “ocorrer número par no lança-
mento de um dado honesto”, temos A 5 {, 4, }.
Assim, podemos escrever:
P(A)
3
6
1
2
5 5
b) Sendo B o evento “ocorrer número maior que 4 no
lançamento de um dado honesto”, temos B5 {, }.
Assim, podemos escrever:
P(B)
2
6
1
3
5 5
2. Lançando dois dados honestos, qual a probabilidade:
a) do produto das faces ser ímpar?
b) da soma dos dados ser 9?
Resolução:
Podemos escrever o espaço amostral na forma de pa-
res ordenados ou usando um quadro de dupla entrada
para representar n(V)5 6 ? 65 36.
1   4  
1 X X X

 X X X O
4 O
 X X O X
 O
a) Estão marcadas com X todas as multiplicações
cujos fatores são dois números ímpares. Sendo A
o evento “ocorrer número ímpar na multiplicação
do resultado de dois dados honestos”, temos que
isso só ocorre quando os dois fatores são ímpa-
res, ou seja, A 5 {(1, 1), (1, ), (1, ), (, 1), (, ),
(, ), (, 1), (, ), (, )}. Assim, verificamos que
n(A) 5 9, consequentemente:
P(A)
9
36
1
4
5 5
b) No quadro, estão marcados com O todos os pares
cuja soma é 9. Sendo B o evento “ocorrer soma 9
na adição do resultado de dois dados honestos”,
temos B 5 {(, ), (4, ), (, 4), (, )}. Assim, verifi-
camos que n(B) 5 4, e:
P(B)
4
36
1
9
5 5
3. De um grupo de seis homens e quatro mulheres, es-
colheremos três pessoas para formar uma comissão.
Qual a probabilidade de serem escolhidos duas mu-
lheres e um homem?
Resolução:
O número possível de comissões é o número de ele-
mentos do espaço amostral:
( ) C
10 9 8
3 2 1
12010, 3V 5 5
? ?
? ?
5n
Sendo A o evento “ocorrência de comissões com
2mulheres e homem”, temos:
n(A) C C
4 3
2 1
6 364, 2 6, 15 ? 5
?
?
? 5
Assim, a probabilidade é dada por P(A)
36
120
3
10
5 5 .
4. Em uma urna há cinco bolas pretas e quatro bolas
brancas de mesmo tamanho. Retirando-se três bolas
sem reposição, qual a probabilidade de a 3ª bola ser
preta?
Resolução:
O número de possibilidades de retiradas é o número
de elementos do espaço amostral.
1ª bola ª bola ª bola
ô ô ô
9 ? 8 ? 7 5 04
Portanto, n(V) 5 5.
Para encontrar o número de possibilidades de retira-
da com a bola preta na 3ª posição, começamos pela
terceira opção. Restam, assim,  possibilidades para a
ª bola e  possibilidades para a 2ª bola:
1ª bola ª bola ª bola
ô ô ô
8 ? 7 ?  5 80
Assim, n(A) 5 2.
A probabilidade pedida é P(A)
280
504
5
9
5 5 .
22 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
Atenção
Interseção de dois eventos
A interseção de dois eventos é outra operação simples
vinda da teoria de conjuntos que nos ajudará a resolver
exercícios que envolvem probabilidades. Lembrando que a
ideia de interseção está ligada a simultaneidade, “ao mes-
mo tempo” e muitas vezes ao conectivo “e”.
Lembrando que a interseção de dois conjuntos A e B é
o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente
a A e a B e para indicá-la usamos o símbolo “ì”.
Considerando, por exemplo, o espaço amostral
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} de um experimento aleatório e
os eventos A 5 {1, 2, 3, 4} e B 5 {4, 5, 6, 7}, a interseção
entre eles será A ì B 5 {4}.
Exercícios resolvidos
5. Lançando dois dados honestos, calcule a probabili-
dade de ocorrer, simultaneamente, o sorteio de dois
números ímpares e a soma dos números sorteados
ser igual a 8.
Resolução:
Temos n(V) 5  ? 5 .
1 2 3 4 5 6
1 X X X
2 O
3 X X Y
4 O
5 X Y X
6 O
Assim, temos:
• o evento A – sorteio de dois números ímpares
(indicados por X no quadro) ñ A 5 {(1, 1), (1, 3),
(1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}, logo,
n(A) 5 9;
• o evento B – a soma dos números sorteados ser
igual a  (indicados por O no quadro)ñ B5 {(2, 6),
(3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}, logo, n(B)5 5.
Assim, A ì B 5 {(, ), (, )} e n(A ì B) 5 , logo,
a probabilidade dos eventos ocorrerem simulta-
neamente é P(A B)
2
36
1
18
ì 5 5 .
6. Sorteando uma carta de um baralho comum de  car-
tas, qual a probabilidade de ocorrer uma carta de copas
e um número par?
Resolução:
Como o baralho tem  cartas, sendo  de cada nai-
pe, n(V) 5 .
Para o evento A, ser sorteada uma carta de copas,
temos n(A) 5 :
A 5 {A ,  ,  ,  ,  ,  ,  , 8 ,  , 0 , J ,
Q , K }
Para o evento B, ser sorteada uma carta com um nú-
mero par, temos n(B) 5 0:
B 5 {♦, ♦, ♦, 8♦, 0♦,  ,  ,  , 8 , 0 ,  ,  ,
 , 8 , 0 ,  ,  ,  , 8 , 0 }
O evento sortear uma carta de copas e com um número
par é dado, então, por A ì B 5 { ,  ,  , 8 , 0 },
logo, n(Aì B)5 .
Assim, P(A B)
5
52
ì 5 .
Atenção
União de dois eventos
A união de conjuntos também nos ajudará com cálculo
de probabilidades e será preciso identificá-la nos exercícios.
Lembraremos dessa operação sempre que existirem ideias
como unir ou juntar, escolhas do tipo “esse ou aquele”,
“tanto faz um ou outro” e, principalmente, quando estiver
envolvido o conectivo “ou”.
A união, ou reunião, de dois conjuntos, A e B, resulta
em um único conjunto, que contém tanto os elementos do
conjunto A quanto os do conjunto B e mais nenhum outro
elemento, e para indicá-la usamos o símbolo “í”.
Considerando, por exemplo, o espaço amostral
V5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} de um experimento e os eventos
A 5 {1, 2, 3, 4} e B 5 {4, 5, 6, 7}, a união entre eles é o
conjunto A í B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
No estudo dos conjuntos, vimos que n(Aí B)5 n(A)1
1 n(B) 2 n(A ì B), assim, dividindo todas as parcelas por
n(V), teremos:
n
n
n
n
n
n
n
n
(A B)
( )
(A)
( )
(B)
( )
(A B)
( )
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
í
V
5
V
1
V
2
ì
V
í 5 1 2 ì
Durante a resolução de um exercício que envolva a
união de dois eventos, é preciso lembrar da soma de proba-
bilidades e de verificar se há interseção entre os conjuntos
ou se eles são disjuntos.
23
F
R
E
N
T
E
 1
Exercício resolvido
7. Lançando um dado comum e honesto, qual a probabi-
lidadeda face voltada para cima ser a de um número
par ou de um número múltiplo de 3?
Resolução:
Considerando o espaço amostral V 5 {, 2, 3, , 5, 6}
e os eventos:
A: ser sorteado um número parñ A 5 {2, , 6}
B: ser sorteado um número múltiplo de 3ñ B 5 {3, 6}
Temos que A ì B 5 {6}, assim, a probabilidade de
ocorrer um número par ou múltiplo de 3 é:
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
P(A B)
3
6
2
6
1
6
4
6
2
3
í 5 1 2 ì
í 5 1 2 5 5
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando
a ocorrência de um deles exclui a possibilidade do outro
ocorrer e, portanto, não podem ocorrer simultaneamente.
Matematicamente, podemos escrever A ì B 5 0.
A probabilidade da união nesses casos é:
P(A í B) 5 P(A) 1 P(B)
Exercício resolvido
8. Lançando um dado comum e honesto, qual a pro-
babilidade de ocorrerem números maiores que  ou
ocorrer o número 3?
Resolução:
Considerando o espaço amostral V 5 {, 2, 3, , 5, 6}
e os eventos:
A: ser sorteado um número maior que ñ A 5 {5, 6}
B: ser sorteado o número 3ñ B 5 {3}
Temos que A ì B 5 0, assim, a probabilidade de
ocorrer um número maior que  ou o número 3 é:
P(A B) P(A) P(B)
P(A B)
2
6
1
6
3
6
1
2
í 5 1
í 5 1 5 5
Eventos complementares
SendoV o espaço amostral de um determinado expe-
rimento, considerando um evento A, podemos escrever o
evento A, complementar de A em relação a V.
Para esses conjuntos, é valido afirmar que Aí A 5 V
e que A ì A 5 0.
Assim, se os elementos de um evento A respeitam de-
terminada propriedade, os elementos que não pertencem
a A, necessariamente pertencem ao seu complemento, A.
Portanto, o complemento de um conjunto A é formado por
elementos que não respeitam a propriedade que define
os elementos de A.
Considerando, por exemplo, o lançamento de um dado
honesto, temos o espaço amostral V 5 {1, , , 4, , },
sendo A o evento ocorrer um número maior do que 4, en-
tão A5 {, }. Consequentemente, o evento A é o de não
ocorrer um número maior do que 4, logo, A 5 {1, , , 4}.
Ainda podemos escrever:
(A) (A) ( )
(A)
( )
(A)
( )
( )
( )
P(A) P(A) 11 5 V ~
V
1
V
5
V
V
~ 1 5n n
n
n
n
n
n
n
Se conhecemos a probabilidade de ocorrência de um
evento, conhecemos a probabilidade de seu complemento.
Exercício resolvido
9. Lançando um dado honesto três vezes, qual a proba-
bilidade de não ocorrerem três números iguais?
Resolução:
O lançamento de um dado por três vezes implica que
n(V) 5 6 ?6 ?6 5 26.
Sendo A o evento de não ocorrerem três números
iguais nos lançamentos, o evento A, complementar
de A é o de ocorrerem três números iguais nesses
lançamentos do dado.
Assim, A 5 {(, , ), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (, , ), (5, 5, 5),
(6, 6, 6)} e sua probabilidade de ocorrer é dada por
P(A)
6
216
1
36
5 5 .
Levando em conta que P(A) 1 P(A) 5 , temos que:
P(A) P(A) 1 P(A)
1
36
1 P(A) 1
1
36
35
36
1 5 ~ 1 5 ~ 5 2 5
Essa é a probabilidade de não ocorrerem três núme-
ros iguais nos lançamentos do dado.
Saiba mais
Probabilidade condicional
Dependendo do tipo de informação que possuímos em
relação a determinado experimento, o cálculo das probabi-
lidades relacionadas a ele pode sofrer alterações.
Sorteando um estudante qualquer de uma sala de aula
ao acaso, todos os estudantes da sala têm a mesma pro-
babilidade de serem escolhidos. Já se soubermos que o
escolhido é um menino, por exemplo, as meninas veem sua
probabilidade cair a zero enquanto os meninos têm a sua
probabilidade de escolha aumentada.
24 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
Vamos analisar um outro exemplo. A partir de um grupo
de pessoas, montamos o quadro a seguir, segundo a cor
dos cabelos:
Loiros (L) Castanhos (C) Total
Escolhendo uma pessoa ao acaso, considerando os
dados do quadro, vamos calcular a probabilidade da pes-
soa sorteada:
• ser uma moça: 5P(M) 28
50
• ter cabelos castanhos: 5P(C) 34
50
• ser uma moça e ter cabelos castanhos: ì 5P(M C) 21
50
• ser uma moça ou ter cabelos castanhos:
í 5 1 2 ì
í 5 1 2 5
P(M C) P(M) P(C) P(M C)
P(M C)
28
50
34
50
21
50
41
50
Quando se quer que seja “uma moça e tenha cabe-
los castanhos”, não temos nenhuma informação sobre a
pessoa escolhida. Porém, se fosse pedida a probabilida-
de da pessoa escolhida ser uma moça, sabendo que ela
possui cabelos castanhos, devemos notar que temos a
informação sobre a cor dos cabelos e isso já restringe as
possibilidades.
Assim, a probabilidade da pessoa escolhida ser uma
moça sabendo que ela possui cabelos castanhos pode ser
escrita na forma: 5P(M|C)
21
34
.
Qual a probabilidade da pessoa escolhida ser loira sa-
bendo que é um rapaz?
Novamente a informação sobre a pessoa escolhida ser
um rapaz diminui as opções e, nesse caso, a probabilidade
pode ser escrita como: 5P(L |R)
9
22
.
Observando os exemplos anteriores, temos:
5
ìn
n
P(M|C)
(M C)
(C)
5
ìn
n
P(L |R)
(L R)
(R)
Assim, é possível definir uma expressão para o cálculo
da probabilidade condicional. Conforme vimos, a infor-
mação “sabendo que ocorreu B” restringe as opções do
evento e do espaço amostral:
P(A)
(A)
( )
P(A |B)
(A B)
( B)
P(A |B)
(A B)
(B)
ocorreu o evento B5
V
5
ì
Vì
~
~ 5
ì
n
n
n
n
n
n
Dividindo numerador e denominador por n(V), obtemos
a expressão para o cálculo da probabilidade condicional:
Exercícios resolvidos
10. Lançando dois dados, qual a probabilidade da soma
das faces voltadas para cima ser igual a 7, sabendo
que em um dos dados ocorreu o número 3?
Resolução:
O número de elementos do espaço amostral é
n(V) 5 6 ?6 5 36.
     
 X O
 X O
 X X X Y X X
 Y
 O X
 O X
O evento A, marcado no quadro com X, ser sortea-
do o número 3 no lançamento de um dado honesto:
A 5 {(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 3), (5, 3), (6, 3)} ñ n(A) 5 11.
O evento B, marcado no quadro com O, ocorrer soma
7 no lançamento de dois dados honestos: B 5 {(1, 6),
(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}ñ n(B) 5 6.
Como A ì B 5 {(3, 4), (4,3)}, temos que n(A ì B) 5 2,
assim:
n
n
P(B | A)
(A B)
(A)
P(B | A)
2
11
5
ì
~ 5
11. Em uma sala de estudo, sorteando um estudante ao
acaso, a probabilidade de ter estudado matemática é
de 70%, de ter estudado física é de 50% e a probabi-
lidade de ter estudado física, sabendo que estudou
matemática é de 60%. Qual a probabilidade de ter es-
tudado física ou matemática?
Resolução:
Do enunciado, podemos escrever que a probabilida-
de de ter estudado:
• matemática: P(M) 5 %.
• física: P(F) 5 %.
• física, sabendo que estudou matemática: P(F | M) 5
5 %.
UsandoP(F |M)
P(F M)
P(M)
5
ì
, temos:
P(F M)
P(M)
60%
P(F M)
70%
60% P(F M) 42%
ì
5 ~
ì
5 ~ ì 5
Portanto, a probabilidade de o aluno ter estudado físi-
ca ou matemática é:
P(Fí M) 5 P(F) 1 P(M) 2 P(Fì M)
P(Fí M) 5 50% 1 70% 2 42% 5 78%
25
F
R
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N
T
E
 1
Eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes, quando a ocor-
rência de um deles não altera a probabilidade do outro ocorrer.
P(A | B) 5 P(A) P(B | A) 5 P(B)
Exemplo:
Sorteando uma carta de um baralho de 52 cartas, cal-
cule a probabilidade de:
a) ser sorteada uma dama.
 Como existem 4 damas no baralho, temos que
5 5P(Dama)
4
52
1
13
.
b) ser sorteada uma carta de copas.
 Como existem 13 cartas de copas, temos que
5 5P(Copas)
13
52
1
4
.
c) ser sorteada uma dama, sabendo que a carta é de
copas.
 Como só há uma dama de copas, temos que
5P(Dama|Copas)
1
13
.
d) ser sorteada uma carta de copas, sabendo que a carta
é uma dama.
 Só há 1 dama de copas entre as damas:
5P(Copas |Dama)
1
4
.
Assim, notamos que os eventos “ser sorteada uma dama”
e “ser sorteada uma carta de copas” são independentes.
Atenção
Produto de probabilidades
A simultaneidade aparece em muitas aplicações, mas
nem sempre é uma tarefa fácil perceber os conjuntos en-
volvidos ou a interseção entre eles. Para resolver esse tipo
de problema, podemos usar a expressão da probabilidade
condicional modificada:
Assim, para determinar a probabilidade de dois eventos
A eB ocorrerem ao mesmo tempo, dado por P(Aì B), deve-
mos multiplicar a probabilidade de ocorrência de um deles,
P(B), pela probabilidade de ocorrência do outro, sabendo
que o primeiro já ocorreu, P(A | B).
Para eventos independentes, utilizamos:
P(Aì B) 5 P(A) ? P(B)
Exercícios resolvidos
12. Retirando, sem reposição, duas bolas de mesmo ta-
manho e massa de uma urna com  bolas verdes,
 bolas amarelas e  bolas roxas, qual a probabilidade:
a) da 1ª bola sorteada ser verde e da 2ª ser roxa?
b) de uma bola sorteada ser verde e outra amarela?
c) de serem sorteadas bolas iguais?
Resolução:
Total de bolas:  1  1  5 
a) Note a simultaneidade dos fatos que devem ocor-
rer: 1a bola sorteada ser verde e 2ª bola ser roxa.
A probabilidade P1 será:
P P(1 verde) P(2 roxa | 1 verde) P
5
12
3
11
5
441
a a a
5 ? ~ 5 ? 5
b) Há duas opções para a retirada pedida: a 1ª bola
ser verde e a 2ª bola, amarela, ou a 1ª bola ser
amarela e a 2ª ser verde:
P(V A)
5
12
4
11
5
33
P(A V)
4
12
5
11
5
33
ì 5 ? 5
ì 5 ? 5
Como as probabilidades são iguais, basta calcular
uma delas e multiplicar esse valor por . Assim, a
probabilidade P
2
 de uma bola sorteada ser verde
e outra amarela é P 2
5
33
10
33
2
5 ? 5 .
c) Nesse caso, temos 3 opções: sortear 2 bolas ver-
des ou 2 bolas amarelas ou 2 bolas roxas. Esses
eventos são mutuamente exclusivos, assim:
• 2 verdesñ P(V)
5
12
4
11
10
66
5 ? 5
• 2 amarelasñ P(A)
4
12
3
11
6
66
5 ? 5
• 2 roxasñ P(R)
3
12
2
11
3
66
5 ? 5
A probabilidade P
3
 pedida é:
P
10
66
6
66
3
66
19
66
3
5 1 1 5
13. Considere as duas urnas da figura. Uma delas será
escolhida ao acaso e dela será sorteada uma bola.
A B
Qual a probabilidade de ser sorteada uma:
a) bola verde da urna A?
b) bola verde?
c) bola azul?
Resolução:
a) Novamente dois eventos devem ocorrer: urna A
e bola verde.
A probabilidade de ocorrer a urna A é
1
2
 e a de
ser sorteada uma bola verde, sabendo que ela é
da urna A é
3
5
, assim:
P(V A) P(A) P(V | A)
1
2
3
5
3
10
ì 5 ? 5 ? 5
26 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
b) Podemos ter bola verde da urna A ou bola verde
da urna B. Como não é possível uma bola estar
nas duas urnas ao mesmo tempo, basta somar-
mos as probabilidades obtidas:
P(V A) P(A) P(V | A)
1
2
3
5
3
10
ì 5 ? 5 ? 5
P(V B) P(B) P(V |B)
1
2
2
3
1
3
ì 5 ? 5 ? 5
A probabilidade pedida é P(V)
3
10
1
3
5 1 5
9 10
30
19
30
5
1
5 .
c) O evento “bola azul” é o complemento do evento
“bola verde”, assim:
1 5 ~ 5 2 ~ 5 2 5P(A) P(V) 1 P(A) 1 P(V) P(A) 1
19
30
11
30
“Invertendo” a probabilidade condicional
De um modo geral, é fácil calcular P(A | B), mas não é
tão fácil assim calcular e compreender P(B | A). Lembrando
que a interseção é comutativa e utilizando o produto de
probabilidades, temos:
Considerando as probabilidades do exercício resolvido
13, temos:
• de ser escolhida a urna A: 5P(A) 1
2
;
• da bola sorteada ser verde: 5P(V) 19
30
;
• da bola sorteada ser verde, sabendo que é da urna A:
5P(V | A)
3
5
.
Vamos calcular a probabilidade da bola sorteada ter
sido retirada da urna A, sabendo que ela é verde.
? 5 ?
? 5 ?
? 5
5
P(V) P(A | V) P(A) P(V | A)
19
30
P(A | V)
1
2
3
5
19
30
P(A | V)
3
10
P(A | V)
9
19
O complemento dessa probabilidade é P(B | V) 5
5 2 5
2
51
9
19
19 9
19
10
19
, ou seja, a chance maior é da
bola ter saído da urna B.
Probabilidade total
Dividindo o espaço amostral em vários eventos mutua-
mente exclusivos, podemos calcular a probabilidade de um
evento somando todas as suas possibilidades.
A
B
C
V
D
E
X
Sabendo que
X5 (Xì A)í (Xì B)í (Xì C)í (Xì D)í (Xì E), temos:
P(X)5 P(Aì X)1 P(Bì X)1 P(Cì X)1 P(Dì X)1 P(Eì X)
Exercício resolvido
14. Um piloto profissional de corrida tem 55% de pro-
babilidade de vencer determinada prova quando
chove. No caso de não chover durante a prova, sua
probabilidade de vitória passa a ser de 0%. Mo-
nitorando o serviço de meteorologia, sua equipe
estima em 40% a probabilidade de chuva durante
o evento. Qual é a probabilidade do piloto vencer
a corrida?
Resolução:
O piloto pode vencer (V) a prova com chuva (C) ou
sem chuva (C):
P(V) 5 P(Vì C) 1 P(Vì C)
• Probabilidade de chover: P(C) 5 %.
• Probabilidade de não chover: P(C)5 1% – %5
5 6%.
Assim:
P(V C) P(C) P(V | C) P(V C) 40% 55% 22%
P(V C) P(C) P(V | C) P(V C) 60% 30% 18%
ì 5 ? ~ ì 5 ? 5
ì 5 ? ~ ì 5 ? 5
Portanto, a probabilidade de o piloto vencer a prova é:
P(V) 5 P(Vì C) 1 P(Vì C) 5 22% 1 8% 5 40%
Espaço amostral não equiprovável
Um espaço amostral é dito não equiprovável quando,
dos eventos que o compõem, ao menos um elemento não
tem a mesma chance de ocorrência dos outros.
Nessa circunstância, não podemos utilizar
V
n
n
(A)
( )
no
cálculo da probabilidade.
Considerando, por exemplo, o lançamento de uma
moeda e a observação da face voltada para cima, notou-
-se que o número de caras ocorre 3 vezes mais que o
número de coroas. Lançando essa mesma moeda duas
vezes, qual a probabilidade das duas faces voltadas para
cima serem caras?
Chamando de C o evento “cara voltada para cima” e de
K o “coroa voltada para cima” e, sendo x a probabilidade
de ocorrência de coroa, temos:
5
5
x
x
P(C) 3
P(K){ .
Como esses eventos são complementares, podemos
afirmar que:
1 5 ~ 1 5 ~ 5 ~ 5x x x xP(C) P(K) 1 3 1 4 1
1
4
Assim, a probabilidade de ocorrer uma cara é P(C)
3
4
5 ;
 logo, a probabilidade de ocorrência de duas caras é igual
a ? 5
3
4
3
4
9
16
.
27
F
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E
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E
 1
Estabelecendo relações
Distribuição binomial
Esse método é a fronteira entre a probabilidade estu-
dada no Ensino Médio e as distribuições de probabilidades
estudadas no Ensino Superior. Em determinadas situações,
é possível a utilização de outras ferramentas apresentadas
anteriormente, porém a técnica da distribuição binomial
é muito útil quando aplicada em experimentos aleatórios
que podem ocorrer sucessivas vezes com apenas dois
resultados possíveis: ocorrer ou não ocorrer determinada
propriedade.
Exemplos:
a) Lançar um dado 10 vezes e verificar a face voltada
para cima:
A: ocorrer a face com o número 2;
A: não ocorrer a face com o número 2.
b) Observar o comportamento de 6 semáforos de uma
avenida, verificando:
B: a ocorrência de luz verde;
B: a não ocorrência de luz verde.
A distribuição binomial é utilizada para o cálculo da
probabilidade de um evento ocorrer um certo número de
vezes. Utiliza-se também a expressão “ocorrer um certo
número de sucessos ou fracassos”.
Assim, se a probabilidade de um semáforo estar com a
luz verde acesa é de
2
5
, qual a probabilidade de 4 semáfo-
ros estarem verdes num total de  observados?
Temos:
• Estar com a luz verde acesa: 5P(V)
2
5
;
• Não estar com a luz verde acesa: 5 2 5P V 1
2
5
3
5
( ) .
Alguns resultados possíveis são:
V V V V V V; V V V V V V; V V V V V V; V V V V V V;
V V V V V V; ...
Existem  “posições” a serem verificadas: 4 delas
devem ser “sucesso” (luz verde) e 2 delas devem ser “fra-
casso” (não luz verde), ou seja, são 5C
6
46, 4
 resultados
possíveis. Considerando as probabilidades, de sucesso ou
fracasso, a probabilidade P pedida será:
5 ? ? ? ? ? ? 5 ? ?
5 ? ? 5 5 5
P
6
4
2
5
2
5
2
5
2
5
3
5
3
5
6
4
2
5
3
5
P 15
16
625
9
25
432
3 125
0,13824 13,824%
4 2
É possível escrever uma expressão que pode ser utili-
zada na resolução de muitos exercícios. Considerando que
o experimento ocorra n vezes, com k sucessos, com uma
probabilidade de sucesso igual a p e de fracasso igual a
 2 p, temos:
5 ? ? 2
2n
k
p p
k n k
P (1 )
Essa fórmula é similar à do termo geral do desenvolvi-
mento do binômio de Newton.
Exercício resolvido
15. Um dado é lançado 10 vezes. Considerando a face
voltada para cima, qual é a probabilidade da face 
ocorrer exatamente 3 vezes?
Resolução:
Sendo n(V) 5 6, temos:
• Sucesso: ocorrer a face 2. A probabilidade é
p
1
6
5 .
• Fracasso: não ocorrer a face 2: A probabilidade é
p1 1
1
6
5
6
25 2 5 .
Para que ocorram 3 sucessos em 10 lançamentos, a
probabilidade P é:
P
10
3
1
6
5
6
120
1
216
78 125
279936
0,155
3 7
5 ? ? 5 ? ? à
Portanto, a probabilidade da face  ocorrer em 3 dos
10 lançamentos é de, aproximadamente, 15,5%.
28 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
1. Lançando dois dados honestos, qual a probabilidade
de a soma dos valores obtidos ser igual a 6?
2. Rodrigo faz parte de uma turma de 20 estudantes. Três
deles serão sorteados para uma apresentação. Qual a
probabilidade de Rodrigo ser sorteado?
3. Sorteando uma carta de um baralho de 52 cartas,
qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de
espadas?
4. Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos. Cal-
cule P(A), sabendo que P(B) 5 0,4 e P(Aí B) 5 0,7.
5. Mário e Nelson estão numa competição de tiro ao alvo.
Cada um tem direito a apenas um tiro. A probabilidade
de Mário acertar é de 80% e de Nelson acertar é de
75%. Qual a probabilidade de o alvo ser atingido?
6. Em uma urna há 6 bolas pretas e 4 brancas. Sortean-
do duas bolas sem reposição, qual a probabilidade de
sair uma bola de cada cor?
Revisando
7. Uma pessoa tem 3 cartões em seu bolso. O primeiro
deles é amarelo em um lado e vermelho no outro, o
segundo tem os dois lados vermelhos e o terceiro tem
um lado amarelo e outro azul. Sorteando um dos car-
tões aleatoriamente e observando apenas um lado,
qual a probabilidade de se ver um lado vermelho?
8. Em uma urna há 7 bolas vermelhas e 3 brancas, todas
de mesmo tamanho e massa. Sorteando cinco bolas
sem reposição, qual a probabilidade de serem sortea-
das 3 bolas vermelhas e duas brancas?
9. Maria vai prestar vestibular em três faculdades diferen-
tes. A chance de passar no 1º vestibular é de 50%, no
2º é de 40% e no 3º é de 60%. Qual a probabilidade de
ser aprovada em alguma prova?
10. Lançando um dado honesto 6 vezes, qual a probabili-
dade do número 1 ser sorteado apenas uma vez?
29
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N
T
E
 1
1. Enem 2015 Em uma central de atendimento, cem pes-
soas receberam senhas numeradas de  até . Uma
das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabili-
dade de a senha sorteada ser um número de  a 2?
a)
1
100
c)
20
100
e)
80
100
b)
19
100
d)
21
100
2. UEG-GO 2019 Em um programa de televisão, será sor-
teado um dos participantes para executar determinada
tarefa. Sabe-se que, entre os participantes,  são ho-
mens, 6 são mulheres e uma mulher recebeu imunidade
e não poderá participar do sorteio. Colocando-se os
nomes dos participantes que serão sorteados em uma
urna e retirando-se um deles ao acaso, a probabilidade
de que seja uma mulher é de
a)
1
2
c)
3
5
e)
5
9
b)
1
5
d)
1
9
3. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade
da soma das faces voltadas para cima ser igual a ?
4. Lançando 3 dados, qual a probabilidade de não ocor-
rerem três números iguais?
5. Famerp-SP 2019 Os dados honestos P e Q possuem
seis e oito faces, respectivamente. As faces de P es-
tão numeradas com –2, –, , , 2 e 3. As faces de
Q estão numeradas com –, –3, –2, –, , , 2 e 3.
Lançando-se P e Q simultânea e aleatoriamente, a
probabilidade de que a soma dos números obtidos
seja maior que – é de
a) 8,7%. c) ,%. e) 0,%.
b) ,0%. d) 8,0%.
6. Unesp 2015 Uma loja de departamentos fez uma
pesquisa de opinião com   consumidores, para
monitorar a qualidade de atendimento de seus servi-
ços. Um dos consumidores que opinaram foi sorteado
para receber um prêmio pela participação na pesquisa.
A tabela mostra os resultados percentuais registrados
na pesquisa, de acordo com as diferentes categorias
tabuladas.
categorias
percentuais
Se cada consumidor votou uma única vez, a probabi-
lidade de o consumidor sorteado estar entre os que
opinaram e ter votado na categoria péssimo é, apro-
ximadamente,
a) 0% c) % e) %
b) 0% d) 9%
Exercícios propostos
7. Unicamp-SP 2017 Um dado não tendencioso de seis
faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que
o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do
que 3 é igual a
a)
1
3
b)
1
5
c)
1
7
d)
1
9
8. Enem 2020 O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê
certos direitos às pessoas com idade avançada, con-
cedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição
de imposto de renda antes dos demais contribuintes.
A tabela informa os nomes e as idades de 2 idosos
que aguardam suas restituições de imposto de ren-
da. Considere que, entre os idosos, a restituição seja
concedida em ordem decrescente de idade e que, em
subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem
seja decidida por sorteio.
Nome Idade (em ano)
Nessas condições, a probabilidade de João ser a séti-
ma pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a
a)
1
12
c)
1
8
e)
1
4
b)
7
12
d)
5
6
9. Fuvest 2014 O gamão é um jogo de tabuleiro muito
antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em
lances de dados, com estratégia, no movimento das
peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil,
o número total de casas que as peças de um jogador
podem avançar, numa dada jogada, é determinado
pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse
número é igual à soma dos valores obtidos nos dois
dados, se esses valores forem diferentes entre si; e
é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos
dois dados forem iguais. Supondo que os dados não
sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder
fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em
uma jogada é
a)
1
3
b)
5
12
c)
17
36
d)
1
2
e)
19
36
30 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
10. Unesp 2014 Em um condomínio residencial, há
120 casas e 230 terrenos sem edificações. Em um
determinado mês, entre as casas, 20% dos proprie-
tários associados a cada casa estão com as taxas de
condomínio atrasadas, enquanto que, entre os pro-
prietários associados a cada terreno, esse percentual
é de 10%. De posse de todos os boletos individuais de
cobrança das taxas em atraso do mês, o administra-
dor do empreendimento escolhe um boleto ao acaso.
A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um
proprietário de terreno sem edificação é de
a)
24
350
c)
47
350
e)
23
47
b)
24
47
d)
23
350
11. Em uma moeda viciada, a face coroa ocorre o dobro
de vezes que a face cara. Qual a probabilidade de
ocorrer coroa?
12. UFU-MG 2018 As irmãs Ana e Beatriz e seus respecti-
vos namorados vão sentar-se em um banco de jardim
(figura) de modo que cada namorado fique ao lado de
sua namorada.
A probabilidade de as irmãs sentarem-se uma ao lado
da outra é igual a
a) ,5.
b) ,.
c) ,45.
d) ,5.
13. ESPM-SP 2019 Uma urna contém  bolas idênticas
numeradas de 1 a . Quatro bolas serão retiradas uma
a uma, aleatoriamente, dessa urna e enfileiradas em
uma canaleta da esquerda para a direita, na ordem de
retirada, formando um número de  algarismos. A pro-
babilidade de o algarismo das unidades ser o maior
de todos os algarismos desse número é igual a:
a)
1
6
c)
1
2
e)
1
3
b)
2
3
d)
1
4
14. UFJF/Pism-MG 2019 Em um hospital trabalham 12
médicos, dos quais  são cardiologistas. Um pa-
ciente apareceu com uma doença cardíaca rara. A
direção do hospital resolveu montar um grupo de
estudos composto por médicos para analisar o caso.
a) Quantos grupos de estudos distintos com  mé-
dicos é possível montar para realizar o estudo?
b) Quantos grupos de estudos distintos com  médi-
cos têm pelo menos um cardiologista?
c) Um grupo de estudos com  médicos será formado
aleatoriamente para o estudo. Qual é a probabili-
dade de que tenha pelo menos um cardiologista
em sua composição?
15. Unioeste-PR 2019 Uma empresa possui 10 diretores,
dos quais, 3 são suspeitos de corrupção. Foi resolvido
se fazer uma investigação composta por uma comissão
de  diretores da empresa. A única condição imposta
é que a comissão de investigação selecionada tenha
a maioria de diretores não suspeitos. Selecionada, ao
acaso, uma comissão para apuração das suspeitas for-
mada por diretores desta empresa, é CORRETO afirmar
que a probabilidade de que esta comissãoatenda à
condição imposta está no intervalo:
a) (,; ,5)
b) (,5; ,7)
c) (,7; ,8)
d) (,8; ,9)
e) (,9; ,99)
16. FICSAE-SP 2016 Em uma urna vazia foram coloca-
das fichas iguais, em cada uma das quais foi escrito
apenas um dos anagramas da palavra HOSPITAL. A
probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha
dessa urna, no anagrama nela marcado as letras ini-
cial e final sejam ambas consoantes é
a)
5
14
b)
3
7
c)
4
7
d)
9
14
17. Unicamp-SP 2014 Um caixa eletrônico de certo ban-
co dispõe apenas de cédulas de 20 e 0 reais. No
caso de um saque de 00 reais, a probabilidade do
número de cédulas entregues ser ímpar é igual a
a)
1
4
b)
2
5
c)
2
3
d)
3
5
18. Unifesp 2018 Em uma classe de 16 alunos, todos são
fluentes em português. Com relação à fluência em lín-
guas estrangeiras, 2 são fluentes em francês e inglês, 6
são fluentes apenas em inglês e 3 são fluentes apenas
em francês.
a) Dessa classe, quantos grupos compostos por
alunos podem ser formados sem alunos fluen-
tes em francês?
b) Sorteando ao acaso  alunos dessa classe, qual é
a probabilidade de que ao menos um deles seja
fluente em inglês?
19. Unicamp-SP 2021 Um número natural é escolhido ao
acaso entre os números de 1 a 100, e depois dividido
por 3. A probabilidade de que o resto da divisão seja
igual a 1 é de
a)
31
100
.
b)
33
100
.
c)
17
50
.
d)
19
50
.
31
F
R
E
N
T
E
 1
20. Mackenzie-SP 2016 Antônio, José, Pedro, Maria e
Renata foram comemorar o aniversário de Antônio
em uma churrascaria da cidade. O garçom que os
recebeu acomodou-os prontamente em uma mesa re-
donda para 5 pessoas e assim que todos se sentaram
Antônio percebeu que, sem querer, haviam sentado
em volta da mesa por ordem de idade, isto é, a par-
tir do segundo mais novo até o mais velho, cada um
tinha como vizinho do mesmo lado, o colega imediata-
mente mais novo. A probabilidade de isso ocorrer se
os cinco amigos sentassem aleatoriamente é
a)
1
2
c)
1
6
e)
1
24
b)
1
4
d)
1
12
21. Unesp 2019 Dois números reais de  a , e que
podem ser iguais, serão sorteados ao acaso. Deno-
tando-se esses números por x e y, a probabilidade de
que eles sejam tais que x2 1 y2 ,  é igual a
a)
1
20
c)
p
20
e)
p
8
b)
p
64
d)
p
16
22. Fuvest-SP 2018 Em uma urna, há bolas amarelas,
brancas e vermelhas. Sabe-se que:
I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha
dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar
uma bola amarela.
II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a
probabilidade de retirar uma bola vermelha passa
a ser
1
2
.
III. Se forem retiradas 1 bolas vermelhas dessa
urna, a probabilidade de retirar uma bola branca
passa a ser
1
2
.
A quantidade de bolas brancas na urna é
a) 8.
b) 10.
c) 1.
d) 14.
e) 1.
23. Fuvest-SP 2015 De um baralho de 2 cartas, sete de
cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros,
uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele
mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as
demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre
as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A proba-
bilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de
ouros é:
a)
1
130
b)
1
420
c)
10
1 771
d)
25
7 117
e)
52
8 117
24. Unicamp-SP 2014 Uma loteria sorteia três números
distintos entre doze números possíveis.
a) Para uma aposta em três números, qual é a proba-
bilidade de acerto?
b) Se a aposta em três números custa R$ ,00, quan-
to deveria custar uma aposta em cinco números?
25. Unicamp-SP 2019 A figura abaixo representa um
dado na forma de um tetraedro regular com os vér-
tices numerados de  a . Em um lançamento desse
dado, deve ser observado o número estampado no
vértice superior.
a) Considere a soma dos números obtidos em dois
lançamentos de um dado tetraédrico. Determine
de quantas maneiras essa soma pode resultar em
um número primo.
b) Seja pn a probabilidade de se observar o número
n no lançamento de um dado tetraédrico tenden-
cioso para o qual p1 5 p 5 p3 5 4p4. Calcule
essas quatro probabilidades.
26. Unifesp 2014 Uma população de  camundon-
gos, marcados de  a , será utilizada para um
experimento em que serão sorteados aleatoriamente
camundongos. Dos  camundongos, apenas 2 têm
certa característica C, 5 têm certa característica C2 e
nenhum deles tem as duas características. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos
camundongos com a característica C1 esteja no
grupo sorteado?
b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado
tenha apenas 1 camundongo com a característica
C1 e ao menos  com a característica C?
27. Dois dados de 6 faces são lançados. Qual a probabi-
lidade:
a) da soma ser  ou 8?
b) de ocorrerem números iguais ou da soma ser 10?
c) de ocorrerem números diferentes e da soma ser ?
28. Em um grupo de 3 estudantes,  estudam matemáti-
ca, 5 estudam física e 3 estudam matemática e física.
Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade
de que ele:
a) estude matemática e física?
b) estude somente matemática?
c) não estude matemática nem física?
d) estude matemática ou física?
32 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
29. A e B são eventos mutuamente exclusivos. A probabi-
lidade de ocorrer o evento A é 20% e a de ocorrer A
ou B é 50%. Qual a probabilidade de ocorrer B?
30. UPE-SSA 2016 Se dois dados idênticos e não vicia-
dos são lançados, a probabilidade de a soma dos
pontos obtidos ser um múltiplo de 2 ou um múltiplo
de 3 é de aproximadamente
a) 66,6%
b) 6,%
c) ,%
d) ,%
e) ,%
31. Uerj 2018 Um jogo consiste em lançar cinco vezes
um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a
, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer.
Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo
menos três resultados pares.
A probabilidade de um jogador vencer é:
a)
3
5
c)
1
5
b)
2
3
d)
1
2
32. Efomm-RJ 2016 Um dado cúbico, não viciado, com fa-
ces numeradas de 1 a , é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face superior
do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a
probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja
sucessor de b OU que a, b, e c sejam primos?
a)
4
216
c)
108
216
e)
10
216
b)
27
216
d)
31
216
33. Unesp 2015 Um dado viciado, que será lançado uma
única vez, possui seis faces, numeradas de 1 a . A
tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência
de cada face.
número na face
probabilidade de
ocorrência da face
Sendo X o evento “sair um número ímpar” e Y um
evento cuja probabilidade de ocorrência seja 90%,
calcule a probabilidade de ocorrência de X e escreva
uma possível descrição do evento Y.
34. UEPG-PR 2019 Foram entrevistadas 72 pessoas,
perguntando em quais bancos: A, B ou C realizariam
investimentos financeiros. Das pessoas entrevista-
das, 25 disseram que realizariam investimentos nos
três bancos; 240 realizariam investimentos no banco
B, 70 realizariam investimentos nos bancos B e C; 0
realizariam investimentos nos bancos A e C; 215 re-
alizariam investimentos no banco A; 55 realizariam
investimentos nos bancos A e B e 355 realizariam in-
vestimentos no banco C.
A partir do exposto, assinale o que for correto.
 A probabilidade de investimento no banco A ou C
é menor do que %.
 A probabilidade de não investirem em nenhum
dos bancos é maior do que %.
 A probabilidade de investimento apenas no ban-
co C é maior do que %.
 A probabilidade de investimento no banco B e C
é menor do que %.
 A probabilidade de investimento no banco A ou B
é menor do que %.
Soma:
35. Fuvest-SP Um dado cúbico, não viciado, com faces
numeradas de 1 a , é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face su-
perior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c).
Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a
ou que c seja sucessor de b?
a)
4
27
c)
7
27
e)
23
54
b)
11
54
d)
10
27
36. Um dado honesto é lançado. Se o número observado
for menor que 4, qual a probabilidade de ele ser ímpar?
37. EsPCEx-SP 2021 Dois dados cúbicos