UNIDADE 5 Análise Dimensional e Semelhança

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Capítulo 5 Capítulo 5 Capítulo 5 Capítulo 5 –––– Análise Dimensional e Semelhança DinâmicaAnálise Dimensional e Semelhança DinâmicaAnálise Dimensional e Semelhança DinâmicaAnálise Dimensional e Semelhança Dinâmica 
 
5.1. Análise Dimensional5.1. Análise Dimensional5.1. Análise Dimensional5.1. Análise Dimensional 
 
5.1.1. Revisão dos Sistemas de Unidades5.1.1. Revisão dos Sistemas de Unidades5.1.1. Revisão dos Sistemas de Unidades5.1.1. Revisão dos Sistemas de Unidades 
Antes de iniciar o estudo propriamente dito da análise 
dimensional, relembre que existem dois sistemas diferentes pelos quais 
podemos escrever as dimensões das quantidades físicas. Estes sistemas 
são dados pelos conjuntos força-comprimento-tempo (FLT) e massa-
comprimento-tempo (MLT). 
Para retomar estes conceitos expresse cada uma das grandezas 
seguintes em termos de (a) força F, comprimento L e tempo T, e (b) 
massa M, comprimento L e tempo T. 
 
 
Grandeza 
Símbolo/ 
Unidade 
F-L-T M-L-T 
1 Área A (m²) 
2 Volume v (m³) 
3 Velocidade V (m/s) 
4 Aceleração g (m/s²) 
5 Velocidade angular ω (rad/s) 
6 Força F (N) 
7 Massa M (kg) 
8 Peso específico γ (N/m³) 
9 Massa específica ρ (kg/m³) 
10 Pressão p (Pa) 
11 Viscosidade absoluta µ (N.s/m²) 
12 Viscosidade cinemática ν (m²/s) 
13 Módulo de elasticidade E (Pa) 
14 Potência P (N.m/s) 
15 Torque T (N.m) 
16 Vazão Q (m³/s) 
17 Tensão de cisalhamento τ (Pa) 
18 Tensão superficial σ (N/m) 
19 Peso W (N) 
 
Observe que em mecânica, as relações básicas entre os sistemas FLT e 
MLT são obtidas por meio da segunda lei de Newton. Dimensionalmente 
podemos escrever: 
2T
ML
F = 
A partir da qual as dimensões de qualquer das quantidades envolvidas 
pode ser convertida de um sistema para outro. 
 
 
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5.1.5.1.5.1.5.1.2222. Introdução. Introdução. Introdução. Introdução 
Muitos problemas da mecânica dos fluidos não podem ser 
resolvidos apenas com procedimentos analíticos, sendo necessário 
recorrer a procedimentos experimentais. O uso de experimentos para o 
entendimento de alguns processos da mecânica dos fluidos requer um 
planejamento adequado. Neste contexto, tem-se a importância da 
análise dimensional e semelhança, para que os dados obtidos 
experimentalmente tenham validade para “explicar” e quantificar os 
fenômenos em escala real. 
Os métodos da análise dimensional baseiam-se no princípio da 
homogeneidade dimensional, formulada por Fourier em 1822, segundo 
o qual toda equação que exprime um fenômeno físico deve ser 
dimensionalmente homogênea, isto é, as dimensões em ambos os dimensões em ambos os dimensões em ambos os dimensões em ambos os 
membros da equação devem ser as mesmasmembros da equação devem ser as mesmasmembros da equação devem ser as mesmasmembros da equação devem ser as mesmas. Embora a manipulação 
das dimensões não possa produzir nenhuma solução analítica completa 
dos problemas físicos, a análise dimensional proporciona um 
instrumento poderoso para a solução de problemas que não permitem 
soluções analíticas e que devem ser resolvidos experimentalmente. 
Neste caso a própria análise dimensional aponta o caminho para o 
máximo de informações com o mínimo de experiências (Vennarde & 
Street, 1978). 
Considere o escoamento em regime permanente, incompressível 
de um fluido Newtoniano em um tubo longo, horizontal e que apresenta 
parede lisa. Este é um exemplo de escoamento simples, mas que exige 
dados experimentais. Não se pode avaliar a queda de pressão (∆p) no 
escoamento por unidade de comprimento de tubo sem informações 
experimentais. 
Pode-se escrever esse problema da seguinte forma: 
),,,( VDfp µρ=∆ onde: 
VelocidadeV
idadeVis
EspecíficaMassa
DiâmetroD
=
=
=
=
cos
.
µ
ρ 
Essa equação indica que se espera que a perda de pressão por 
unidade de comprimento de tubo é função dos fatores contidos entre 
parêntese, no entanto a função que relaciona as variáveis é 
desconhecida. O objetivo dos experimentos que devem ser realizados é 
a determinação da natureza desta função. 
Para realizar os experimentos de forma adequada e sistemática 
pode-se imaginar alterar uma das variáveis, enquanto todos os outros 
fatores permanecem constantes e medir como varia a queda de 
pressão, conforme apresentado na Figura 1. Observa-se que alguns 
desses experimentos seriam muito difícies de realizar. Por exemplo, é 
necessário variar a massa específica do fluido enquanto a viscosidade 
permanece constante (Figura 1c). Como isto pode ser feito? Mesmo que 
uma vez obtidas essas curvas, como combinar estes resultados para 
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obter a relação funcional entre ∆p, D, ρ, µ e V válida para qualquer 
escoamento em um tubo similar ao utilizado nas experiências? 
 
 
(a) (b) 
 
(c) (d) 
Figura 1: Representação gráfica da queda de pressão no escoamento 
em um tubo com a variação de diferentes variáveis. 
 
Por isso, que se costuma agrupar as variáveis envolvidas em 
combinações adimensionais (denominados grupos adimensionais) de 
modo que, o problema acima poderia ser visto da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Representação gráfica da queda de pressão utilizando 
parâmetros adimensionais. 
 
ou seja, através de dois grupos adimensionais em vez de cinco 
variáveis. Experimentalmente iremos variar o grupo adimensional 
∆p 
µ 
D, ρ, V constantes ∆p 
ρ 
D, V, µ constantes 
∆p 
V 
D, ρ, µ constantes ∆p 
D 
V, ρ, µ constantes 
2V
pD
ρ
∆
µ
ρVD






=
∆
µ
ρ
φ
ρ
VD
V
pD
2
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µρ /VD e determinar o valor correspondente de )/( 2VpD ρ∆ . A Figura 2 
mostra os resultados experimentais em uma única curva. Essa curva é 
válida para qualquer combinação de tubo com parede lisa e fluido 
(incompressível e Newtoniano). A utilização dos grupos adimensionais 
nesse problema, possibilita a realização do experimento com tubos de 
diâmetros adequados, sem necessidade de variar o diâmetro ou de 
realizar experimentos com vários fluidos diferentes. 
A base para esta simplificação reside na consideração das 
dimensões das variáveis envolvidas. A verificação dos grupos 
apresentados no exemplo anterior, mostra que eles são, de fato, 
produtos adimensionais: 
[ ][ ]
[ ][ ]
000
2224
3
2
/
TLF
TLTFL
LFL
V
pD
==
∆
−−ρ
 
[ ][ ][ ]
[ ]
000
2
124
TLF
TFL
LLTTFLVD
==
−
−−
µ
ρ
 
Esta análise dimensional baseia-se na aplicação do teorema de Vaschy 
Buckingham ou de π (pi), que é desenvolvido na sequência. 
 
5.1.5.1.5.1.5.1.3333. . . . Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de ππππ ou de Vaschy Buckinghamou de Vaschy Buckinghamou de Vaschy Buckinghamou de Vaschy Buckingham 
 
O teorema π demonstra que em um problema físico envolvendo 
“n” grandezas, nas quais comparecem “m” dimensões, as grandezas 
podem ser agrupadas em “n-m” parâmetros adimensionais 
independentes. 
Sejam A1, A2, A3,..., An, as grandezas envolvidas, tais como 
pressão, viscosidade, velocidade, etc. Sabe-se que todas as grandezas 
são essenciais à solução devendo pois existir alguma relação funcional: 
F(A1, A2, A3,..., An) = 0 
Se π1, π2, π3, etc. representam grupos adimensionais das 
grandezas A1, A2, A3,..., An, com “m” dimensões envolvidas, então 
existe uma equação do tipo: 
f(π1, π2, π3, ..., πn-m) = 0 
As “m” dimensões representam as dimensões de referência 
necessárias para descrever as variáveis envolvidas. Normalmente as 
dimensões de referência necessárias para descrever as variáveis 
originais são as dimensões básicas MLT ou FLT. Em alguns casos, 
apenas duas dimensões podem ser necessárias para descrever as 
variáveis originais.Na sequência apresenta-se uma metodologia para determinar os 
grupos adimensionais π. 
 
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5.1.5.1.5.1.5.1.4.4.4.4. Determinação dos termos Determinação dos termos Determinação dos termos Determinação dos termos ππππ 
 
Para a definição dos termos π através do método das variáveis 
repetidas seguem os seguintes passos: 
1)1)1)1) Faça uma lista com todas as variáveis qFaça uma lista com todas as variáveis qFaça uma lista com todas as variáveis qFaça uma lista com todas as variáveis que estão envolvidas no ue estão envolvidas no ue estão envolvidas no ue estão envolvidas no 
problema problema problema problema –––– definição das “n” grandezas que interferem no problema.definição das “n” grandezas que interferem no problema.definição das “n” grandezas que interferem no problema.definição das “n” grandezas que interferem no problema. 
Essa etapa é a mais difícil, sendo fundamental que se relacionem 
todas as variáveis importantes no problema. A análise dimensional 
estará incorreta se este passo não for realizado adequadamente. O 
termo “variável” engloba qualquer quantidade, incluindo constantes 
dimensionais e adimensionais, importante no fenômeno que está sendo 
investigado. 
É importante que todas as variáveis sejam independentes porque 
se deve manter o mínimo número de variáveis. Ex: ao escolher a área 
da seção tranversal de um tubo como variável, não se deve utilizar o 
diâmetro do tubo, já que área e diâmetro não são independentes. 
2)2)2)2) Expresse cada uma das variáveis em função dasExpresse cada uma das variáveis em função dasExpresse cada uma das variáveis em função dasExpresse cada uma das variáveis em função das “m”“m”“m”“m” dimensões dimensões dimensões dimensões 
básicasbásicasbásicasbásicas (dimensões de referência)(dimensões de referência)(dimensões de referência)(dimensões de referência).... 
Definir sistema MLT ou FLT 
3)3)3)3) Determine o número necessário de termos Determine o número necessário de termos Determine o número necessário de termos Determine o número necessário de termos ππππ.... 
Número de termos π = n – m m = Máximo 3 dimensões 
4)4)4)4) Escolha das variáveis repetidasEscolha das variáveis repetidasEscolha das variáveis repetidasEscolha das variáveis repetidas ou baseou baseou baseou base.... 
Escolher “m” das “n” grandezas, dimensionalmente 
independentes, que contenham, em conjunto, as “m” dimensões, e usá-
las como base. O número de variáveis repetidas é igual ao número de 
dimensões de referência. 
É importante lembrar que não podemos usar a variável 
dependente como uma das variáveis repetidas. Geralmente escolhem-
se as variáveis repetidas entre aquelas que são dimensionalmente mais 
simples. 
5)5)5)5) Formar (nFormar (nFormar (nFormar (n----m) parâmetros adimm) parâmetros adimm) parâmetros adimm) parâmetros adimensionais, com as “m” grandezas ensionais, com as “m” grandezas ensionais, com as “m” grandezas ensionais, com as “m” grandezas 
escolhidas e cada uma das grandezas restantes separadamenteescolhidas e cada uma das grandezas restantes separadamenteescolhidas e cada uma das grandezas restantes separadamenteescolhidas e cada uma das grandezas restantes separadamente.... 
Construir cada termo π pela multiplicação de uma variável não 
repetida pelo produto das variáveis repetidas elevadas a um expoente 
que torne a combinação adimensional. 
6)6)6)6) Verifique se todos os termosVerifique se todos os termosVerifique se todos os termosVerifique se todos os termos ππππ são adimensionaissão adimensionaissão adimensionaissão adimensionais.... 
7)7)7)7) Expresse o resultado da análise como uma relação entre os termos Expresse o resultado da análise como uma relação entre os termos Expresse o resultado da análise como uma relação entre os termos Expresse o resultado da análise como uma relação entre os termos ππππ 
e analise o significado da relação obtidae analise o significado da relação obtidae analise o significado da relação obtidae analise o significado da relação obtida.... 
Geralmente a relação entre os termos π apresenta a forma: 
π1 = φ (π2, π3, ..., πn-m) 
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EXEMPLO: 
Considere que A1, A2, A3, contém as dimensões M, L, T, não 
necessariamente em cada uma individualmente, mas em conjunto, 
então: 
π1 = A1x1 A2y1 A3z1 A4 
π2 = A1x2 A2y2 A3z2 A5 
.................................... 
πn-m = A1xn-m A2yn-m A3zn-m An 
Nestas equações os coeficientes devem ser determinados de 
modo que cada π resulte adimensional, ou seja, as dimensões das 
grandezas A devem ser igualadas a M0 L0 T0. 
π1 = A1x1 A2y1 A3z1 A4 = [M0 L0 T0] 
................................. 
πn-m = A1xn-m A2yn-m A3zn-m An = = [M0 L0 T0] 
 
Para o problema exposto no item 5.1.2, onde se procurava definir 
a queda de pressão ∆p, em um tubo longo, horizontal e de parede lisa 
com escoamento em regime permanente. Seguindo os passos 
apresentados para a definição dos termos adimensionais. 
1)1)1)1) Definição das “n” grandezas que interferem no problema.Definição das “n” grandezas que interferem no problema.Definição das “n” grandezas que interferem no problema.Definição das “n” grandezas que interferem no problema. 
∆p = f (D, ρ, µ, V) 
n = 5 variáveis 
2)2)2)2) Expresse cada uma das variáveis em função dasExpresse cada uma das variáveis em função dasExpresse cada uma das variáveis em função dasExpresse cada uma das variáveis em função das “m”“m”“m”“m” dimensões dimensões dimensões dimensões 
básicasbásicasbásicasbásicas (dimensões de referência)(dimensões de referência)(dimensões de referência)(dimensões de referência).... 
m = 3 dimensões básicas FLTm = 3 dimensões básicas FLTm = 3 dimensões básicas FLTm = 3 dimensões básicas FLT 
∆p = [FL-3] 
D = [L] 
ρ = [FL-4T2] 
µ = [FL-2T] 
V =[LT-1] 
3)3)3)3) Determine o número necessário de termos Determine o número necessário de termos Determine o número necessário de termos Determine o número necessário de termos ππππ.... 
Número de termos π = n – m = 5-3 = 2 termos π 
4)4)4)4) Escolha das variáveis repetidasEscolha das variáveis repetidasEscolha das variáveis repetidasEscolha das variáveis repetidas.... 
Variáveis repetidas ou base: D, ρ, V 
5)5)5)5) Formar (nFormar (nFormar (nFormar (n----m) parâmetros adimensionais, com as “m” grandezas m) parâmetros adimensionais, com as “m” grandezas m) parâmetros adimensionais, com as “m” grandezas m) parâmetros adimensionais, com as “m” grandezas 
escolhidas escolhidas escolhidas escolhidas e cada uma das grandezas restantes separadamentee cada uma das grandezas restantes separadamentee cada uma das grandezas restantes separadamentee cada uma das grandezas restantes separadamente.... 
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π1=Dx1.ρy1.Vz1. ∆p 
[L]x1. [FL-4T2]y1.[LT-1]z1.[FL-3] = F0.L0.T0 
 
F0 → y1+1 = 0 → yyyy1111====----1111 
L0 →x1 -4y1+z1-3= 0 → xxxx1111 = 1= 1= 1= 1 
T0 →2y1-z1 = 0 → zzzz1111====----2222 
 
π1=D1.ρ-1.V-2. ∆p → 21 V
pD
ρ
π
∆
= 
 
π2=Dx2.ρy2.Vz2. µ 
[L]x2. [FL-4T2]y2.[LT-1]z2.[FL-2T]= F0.L0.T0 
 
F0 → y2+1 = 0 → yyyy2222====----1111 
L0 →x2 -4y2+z2-2= 0 → xxxx2222 = = = = ----1111 
T0 →2y2-z2+1 = 0 → zzzz2222====----1111 
 
π2=D-1.ρ-1.V-1. µ → 
VDρ
µ
π =2 
 
6)6)6)6) Verifique se todos os termosVerifique se todos os termosVerifique se todos os termosVerifique se todos os termos ππππ são adimensionaissão adimensionaissão adimensionaissão adimensionais.... 
7)7)7)7) Expresse o resultado da análise como umExpresse o resultado da análise como umExpresse o resultado da análise como umExpresse o resultado da análise como uma relação entre os termos a relação entre os termos a relação entre os termos a relação entre os termos ππππ 
e analise o significado darelação obtida. e analise o significado da relação obtida. e analise o significado da relação obtida. e analise o significado da relação obtida. 






=
∆
VDV
pD
ρ
µ
φ
ρ 2
 
Podemos rearranjar os termos π, e assim a relação entre os 
termos π1 e π2 fica: 






=
∆
µ
ρ
φ
ρ
VD
V
pD
2
 
 
Exercícios: 
1) Deseja-se estudar, com o uso da análise dimensional, o escoamento 
de um líquido sobre um vertedor retangular, sem contração lateral, 
conforme figura. O vertedor está montado num canal de largura b. 
Determinar uma fórmula que relacione a vazão Q do líquido, supondo-
se que a vazão dependa dos fatores: 
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Q = f (H, b, g, ρ) 
 
 
2) A perda de carga por unidade de comprimento ∆H/L no escoamento 
em regime turbulento num conduto liso depende da velocidade (V), do 
diâmetro (D), da aceleração da gravidade (g), da viscosidade dinâmica 
(µ) e da massa específica (ρ). Determinar, com o auxílio da análise 
dimensional, a forma geral da equação que rege o fenômeno. 
 
3) Uma investigação empírica foi realizada com o fim de determinar o 
período τ de oscilação de colunas de líquido colocadas em tubos em 
forma de “U” quando deslocadas de sua posição. Cinco experiências 
foram realizadas obtendo-se os resultados da tabela a seguir. 
Determine F(τ, L, D, ρ, g) 
 
 
massa 
específica comprimento diâmetro período 
 (g/cm3) (cm) (cm) (s) 
1 1,0 10,0 1,0 0,45 
2 13,6 21,0 1,0 0,65 
3 0,8 55,0 2,5 1,05 
4 1,2 8,2 0,5 0,41 
5 1,2 12,0 1,0 0,49 
 
 
4) Um certo escoamento depende da velocidade V, da massa específica 
ρ, de várias dimensões lineares L, L1, L2, da queda de pressão ∆p, da 
aceleração da gravidade g, da viscosidade µ, da tensão superficial σ, e 
do módulo de elasticidade volumétrica Kσ,. Aplicar a análise 
dimensional a estas variáveis para determinar um conjunto de 
parâmetros π. 
F (V, ρ, L, L1, L2, ∆p, g, µ, σ, K) = 0 
b 
H 
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Desenvolvendo esse último problemas, chegamos em: 
0,,
/
,,,,
21
2
2
2
=






 ∆
L
L
L
L
K
V
LV
VL
gL
V
V
p
F
ρρ
σ
µ
ρ
ρ
 
 
νµ
ρ VLVL
==Re 
 
Significado de alguns coeficientes adimensionais:Significado de alguns coeficientes adimensionais:Significado de alguns coeficientes adimensionais:Significado de alguns coeficientes adimensionais: 
 
11111111)))))))) CCCCCCCCooooooooeeeeeeeeffffffffiiiiiiiicccccccciiiiiiiieeeeeeeennnnnnnntttttttteeeeeeee ddddddddeeeeeeee PPPPPPPPrrrrrrrreeeeeeeessssssssssssssssããããããããoooooooo oooooooouuuuuuuu NNNNNNNNúúúúúúúúmmmmmmmmeeeeeeeerrrrrrrroooooooo ddddddddeeeeeeee EEEEEEEEuuuuuuuulllllllleeeeeeeerrrrrrrr 
g
V
H
DINÂMICAPRESSÃO
ESTÁTICAPRESSÃO
V
p
2
..
..
2
1
22
∆
==
∆
ρ
 
INÉRCIADEFORÇA
PRESSÃODEFORÇA
A
V
Ap
....
....
.
2
.
2
=
∆
ρ
 
Importante em escoamentos causados por diferença de pressão. 
Ex: escoamentos em condutos forçados. 
 
22222222)))))))) NNNNNNNNúúúúúúúúmmmmmmmmeeeeeeeerrrrrrrroooooooo ddddddddeeeeeeee FFFFFFFFrrrrrrrroooooooouuuuuuuuddddddddeeeeeeee ((((((((FFFFFFFFrrrrrrrr)))))))) 
A interpretação física do número de Froude é que ele representa 
uma medida, ou índice, das importâncias relativas das forças de inércia 
que atuam na partícula fluida e o peso da partícula. É importante 
ressaltar que o número de Froude não é igual a razão entre as forças 
mas indica algum tipo de medida da influência média destas duas 
forças. O número de Froude é importante nos problemas onde a 
gravidade (ou peso) é importante. As vezes o número de Froude é 
definido como o quadrado do número de Froude, como mostrado 
abaixo. 
Lg
V
gL
V
Fr
.
2
== 
PESO
INÉRCIADEFORÇAS
AgL
AV
gL
V
Fr
....22
===
ρ
ρ
 
Importante nos escoamentos com superfície livre. Identifica se o 
escoamento é torrencial (Fr > 1) ou fluvial (Fr < 1). Cálculo do ressalto 
hidráulico. 
 
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33333333)))))))) NNNNNNNNúúúúúúúúmmmmmmmmeeeeeeeerrrrrrrroooooooo ddddddddeeeeeeee RRRRRRRReeeeeeeeyyyyyyyynnnnnnnnoooooooollllllllddddddddssssssss ((((((((RRRRRRRReeeeeeee)))))))) 
VISCOSASFORÇAS
INÉRCIADEFORÇAS
VL
VLVL
..
.....
Re ==
µ
ρ
 
Importante no dimensionamento de condutos forçados. Quanto 
maior a ação relativa da viscosidade menor o número de Reynolds. 
Escoamentos laminares apresentam baixos valores para Re (Re < 2000) 
e escoamentos turbulentos altos valores (Re >4000). O fluido ideal, 
sem viscosidade e sem atrito interno possui Re infinito. Nos 
escoamentos de fluidos compressíveis o número de Mach geralmente é 
mais importante que o número de Reynolds. 
 
44444444)))))))) NNNNNNNNúúúúúúúúmmmmmmmmeeeeeeeerrrrrrrroooooooo ddddddddeeeeeeee WWWWWWWWeeeeeeeebbbbbbbbeeeeeeeerrrrrrrr ((((((((WWWWWWWW)))))))) 
σ
ρ LV
W
2
= 
LSUPERFICIATENSÃODEFORÇAS
INÉRCIADEFORÇAS
L
LLV
W
......
....2
==
σ
ρ
 
Importante nas interfaces gás-líquido, líquido-líquido e também 
onde as interfaces estão em contato com um contorno sólido. Exige a 
presença de superfície livre, mas quando grandes objetos são 
envolvidos, como embarcações em um fluido tal como a água, esse 
efeito é bastante pequeno. 
 
55555555)))))))) NNNNNNNNúúúúúúúúmmmmmmmmeeeeeeeerrrrrrrroooooooo ddddddddeeeeeeee MMMMMMMMaaaaaaaacccccccchhhhhhhh ((((((((MMMMMMMM)))))))) 
 
ρ/K
V
M = 
ELÁSTICASFORÇAS
INÉRCIADEFORÇAS
A
A
K
V
M
..
....
/
2
=








=
ρ
ρ
ρ
 
 
Importante no estudo de escoamentos compressíveis, como na 
análise do golpe de aríete, em hidráulica. No estudo de escoamentos 
supersônicos na aeronáutica. Quando as variações de densidade devido 
à pressão tornam-se significativas. 
 
A tabela a seguir resume os principais grupos adimensionais 
utilizados em mecânica dos fluidos. 
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Tabela 1 – Alguns grupos adimensionais e variáveis utilizadas na 
mecânica dos fluidos (Munson et al. 2004). 
Grupo 
adimensional Nome Interpretação Tipo de aplicação 
µ
ρVl
 Número de Reynolds 
Re 
Força de inércia / 
força viscosa 
É importante na 
maioria dos 
problemas de 
mecânica dos 
fluidos. 
gl
V
 Número de Froude 
Fr 
Força de inércia / 
força gravitacional 
Escoamentos com 
superfície livre. 
2V
p
ρ
∆
 Número de Euler 
Eu 
Força de pressão / 
força de inércia 
Problemas onde a 
pressão, ou 
diferenças de 
pressão, são 
importantes. 
ν
ρ
E
V 2
 Número de Cauchy 
Ca 
Força de inércia / 
força de 
compressibilidade 
Escoamentos onde a 
compressibilidade 
do fluido é 
importante. 
c
V
 Número de Mach 
Ma 
Força de inércia / 
força de 
compressibilidade 
Escoamentos onde a 
compressibilidade 
do fluido é 
importante. 
V
lω
 Número de Strouhal 
St 
Força de inércia 
(local) / força de 
inércia (convectiva) 
Escoamentos 
transitórios com 
uma frequência 
característica de 
oscilação. 
σ
ρ lV 2
 
Número de Weber 
We 
Força de inércia / 
força de tensão 
superficial 
Problemas onde os 
efeitos da tensão 
superficial é 
importante. 
 
5.2. Semelhança5.2. Semelhança5.2. Semelhança5.2. Semelhança 
O uso de modelos físicos procura alcançar resultados que possam 
descrever o comportamento de uma estrutura similar real. Para isso é 
necessário que se obedeçam leis de semelhança, onde pode ser 
estabelecida a relação existente entre o modelo físico e outro sistema(protótipo). 
A semelhança entre modelos hidráulicos e os protótipos pode ser 
alcançada segundo três aspectos básicos: semelhança geométrica 
(medidas), semelhança cinemática (velocidades) e semelhança 
dinâmica (forças). 
Semelhança GeométricaSemelhança GeométricaSemelhança GeométricaSemelhança Geométrica ---- implica na semelhança de forma entre o 
modelo e o protótipo. Existe uma razão fixa entre os comprimentos 
homólogos no modelo e no protótipo. A semelhança geométrica envolve 
escalas pertinentes às seguintes grandezas: comprimentos, áreas e 
volumes. Além disso na semelhança geométrica todos os ângulos são 
preservados, todas as direções de escoamento são preservadas e a 
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orientação com respeito à vizinhança deve ser preservada, ou seja: 
Ângulo de ataque no modelo = Ângulo de ataque no protótipo. 
GEOMÉTRICAESCALADEFATOR
Lp
Lm
.......==λ 
relaçãoLLrLp
Lm
== 
2
2
2
Lr
Lp
Lm
Ap
Am
== 
Semelhança CinemáticaSemelhança CinemáticaSemelhança CinemáticaSemelhança Cinemática – 
Semelhança entre os movimentos dos fluidos. 
- o arranjo geométrico entre as linhas de corrente deve ser o mesmo; 
- a razão entre as velocidades e as acelerações em pontos 
correspondentes deve ser constante. 
VELOCIDADEDEESCALADEFATOR
Tr
Lr
Tp
Tm
Lp
Lm
TpLp
TmLm
Vp
Vm
.........
/
/
==÷== 
ACELERAÇÃODEESCALADEFATOR
Tr
Lr
Tp
Tm
Lp
Lm
TpLp
TmLm
ap
am
.........
/
/
22
2
2
2
==÷==
VAZÕESDEESCALADEFATOR
Tr
Lr
Tp
Tm
Lp
Lm
TpLp
TmLm
Qp
Qm
.........
/
/ 3
3
3
3
3
==÷== 
A semelhança cinemática implica na semelhança de movimento, 
ou seja, existe uma razão constante entre a velocidade de partículas 
homólogas, que se deslocam segundo trajetórias semelhantes, em 
direção e sentido. 
As condições de semelhança cinemática são geralmente 
encontradas automaticamente quando as condições de semelhança 
geométrica e semelhança dinâmica são satisfeitas. 
A Semelhança DinâmicaSemelhança DinâmicaSemelhança DinâmicaSemelhança Dinâmica implica na semelhança das forças e das 
massas envolvidas no fenômeno. Desta forma para que haja 
semelhança dinâmica, devem-se verificar duas condições básicas:a) as 
trajetórias descritas pelas partículas homólogas são geometricamente 
semelhantes; b) as forças correspondentes terão uma razão constante 
entre elas. As grandezas envolvidas são a Força e a Massa. 
 
aminérciadeforçaFFFFFF pressãoerficialtensãoelásticaavisnalgravitacio
rrrrrrr
.....supcos ==++++=∑
( )
( ) FORÇASDEESCALADEFATORVLT
L
L
T
L
L
L
am
am
F
F
rrr
r
r
rr
r
r
pp
mm
pp
mm
p
m ........22
2
2
23
3
==





=×==
∑
∑ ρρ
ρ
ρ
r
r
 
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A relação entre as resultantes será uma constante quando a 
relação entre as componentes o for, então para que haja semelhança 
dinâmica: 
( )
( ) ( ) ( ) pm
pg
p
mg
m
pg
mg
p
m FrFrFr
F
am
F
am
ou
F
F
am
am
==== .................
).().(
......................................
).(
).(
r
r
r
r
r
r
r
r
 
Da mesma forma, para que haja semelhança dinâmica: 
 
Rem = Rep Mm = Mp Wm = Wp Em = Ep 
 
São raros os fenômenos em que todos os coeficientes são 
importantes. Assim trabalha-se: 
- escoamento forçado: Rem = Rep e Em = Ep 
- escoamentos livres: Rem = Rep Frm = Frp 
Normalmente as aplicações são feitas utilizando-se o mesmo 
líquido (água a temperatura ambiente). Assim ρ e µ são iguais. 
ppmm
p
ppp
m
mmm DVDV
DVDV
== ........................................................................
µ
ρ
µ
ρ
 
mppm
p
p
m
m DVDV
gD
V
gD
V
== .................................................. 
Estas igualdades só podem ser satisfeitas quando Vm = Vp e Dm = 
Dp, o que mostra a impossibilidade de se realizar a semelhança a todo 
rigor. 
O estudo da dissipação da energia nos movimentos hidráulicos 
mostra que o papel do número de Reynolds no fenômeno, só se faz 
sentir até certo valor (Re0), chamado Reynolds de soleira, além do qual 
os coeficientes de perda independem dele. 
Para resolver o problema usa-se: 
Frm = Frp e Rep > Rem > Re0 
 
Exercício: 
1) Deseja-se determinar a força exercida pelo vento sobre um 
edifício de forma cilíndrica, com 100 m de altura e 25 m de diâmetro 
construído à beira-mar. A velocidade do vento é de 30 m/s. Os ensaios 
deverão, em princípio ser realizados numa canaleta horizontal com 
água escoando sobre um modelo reduzido. As dimensões do modelo 
deverão ser tais que haja uma altura h de água acima do mesmo, 
grande o suficiente para evitar a formação de ondas superficiais. 
Nestas condições, o fator de escala resulta λ = 1:200, por razões do 
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espaço disponível. Um dinamômetro permitirá a leitura da força Fm, no 
modelo. Qual o valor previsto para Fp ? Sabendo-se que F = 
Cd.ρ.V2.H.D / 2 e que Re soleira = 106. Devido a canaleta ser horizontal 
e serem eliminadas as ondas superficiais o número de Froude deixa de 
ter importância. 
 
 
 
5.2.5.2.5.2.5.2.1. Escolha da Escala1. Escolha da Escala1. Escolha da Escala1. Escolha da Escala 
A escolha da escala, via de regra, não é totalmente arbitrária. 
Deve-se levar em conta certos fatores: 
- condições mínimas de semelhança; 
- precisão das medidas, o erro do modelo será extrapolado para o 
protótipo; 
- aparelhamento disponível; 
- custo do estudo face o valor econômico da obra; 
- espaço disponível; 
- capacidade de recalque das bombas. 
 
5.2.5.2.5.2.5.2.2. Modelos Distorcidos2. Modelos Distorcidos2. Modelos Distorcidos2. Modelos Distorcidos 
Certos problemas, especialmente aqueles que só envolvem linhas 
d’água em rios, podem ser estudados em modelos, que embora não 
satisfaçam integralmente as condições de semelhança geométrica, 
permitem estabelecer uma relação com o protótipo. Eles são concebidos 
em escalas geométricas desiguais em planta e em cotas e por isso são 
chamados distorcidos. 
Para compreender melhor a necessidade do uso de modelos 
distorcidos, imaginemos que se deseja reproduzir em modelo reduzido, 
o estuário de um rio. Supondo que esse modelo vai ser construído em 
um pavilhão fechado, onde se realizam as medições laboratoriais. 
Considerando a área superficial do estuário, verifica-se que para ser 
compatível com a área do laboratório, deve-se utilizar uma escala de 
1:1000. Agora considere que o estuário possua a profundidade méida 
h 
H=50 cm 
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de 5 m. Essa dimensão na escala 1:1000, corresponde a 5/1000 = 
0,005 m = 5 mm. Nessas condições, teria-se o líquido que forma o 
modelo reduzido, essencialmente, constituído por superfície livre e, 
nessas condições, o comportamento dinâmico do modelo será 
essencialmente condicionado pelos fenômenos de tensão superficial, 
falseando por completo a reprodução que se pretende da realidade 
física. Essa seria uma situação, em que o uso de modelos distorcidos 
seria adequado. 
Exemplo: 
Rio com 30 km de comprimento, 250 m de largura e 7 m de 
profundidade, velocidade média igual a 1,5 m/s e rugosidade tal que 
conduz a um número de Reynolds de soleira Re0 = 50.000 
 
EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 
1) Um casco de um navio de 200 m de comprimento deve navegar com 
velocidade de 8 m/s. Para seu estudo em modelo reduzido admite-se 
que o número de Reynolds de soleira seja 3.107. Tomando-se como 
dimensão característica o comprimento do casco, qual a escala 
geométrica mínimado modelo ? Qual a velocidade dos ensaios ? Os 
ensaios serão realizados com o mesmo líquido, água doce a 20º C (ν = 
10-6m²/s). 
 
2) As dimensões lineares de um modelo de medidor Venturi são 1/5 
daquelas do protótipo. O protótipo opera em água a 20ºC e o modelo 
em água a 93.3ºC. Se no protótipo a velocidade na garganta de 0,61 m 
de diâmetro é 6,1 m/s, qual a vazão necessária no modelo para haver 
semelhança ? 
 
3) As perdas numa bifurcação de uma tubulação de 1,22 m de diâmetro 
transportando gás (ρ = 413 kg/m3, µ = 2.10-4kg/m.s), V = 5 m/s 
devem ser determinadas num ensaio em modelo com água a 21,1ºC. O 
laboratório tem capacidade para circular 75,7 L/s de água. Que escala 
geométrica deve ser usada e como os resultados são utilizados para 
avaliar as perdas no protótipo ? 
As perdas podem ser calculadas pela equação de Darcy-Weissbach, ou 
seja: 
g
V
D
L
fH
2
2
=∆ onde f = coeficiente de atrito, admitir que fm = fp 
 
 
 
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5.3. Referências Bibliográficas5.3. Referências Bibliográficas5.3. Referências Bibliográficas5.3. Referências Bibliográficas 
 
CARNEIRO, F. L. Análise Dimensional e Teoria da Semelhança e dos 
Modelos Físicos. 2º ed.Ed. UFRJ, 1996. 
GASTALDINI, M. C. C. Notas de aula de Mecânica dos Fluidos. 
GILES, R. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica - McGraw-Hill. COLEÇÃO 
SHAUM - 1997. 
MUNSON, B.R., YOUNG, D. F., OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica 
dos Fluidos (Tradução da 2ª edição americana), Vol. 1, Ed. Edgard 
Blücher Ltda, 2004. 412p. 
VENNART & STREET. Elementos de Mecânica dos Fluidos, 5º edição, Ed. 
Guanabara Dois, 1978.