Apostila Eng Mec 2015

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
Universidade da Região de Joinville – UNIVILLE 
Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra Linear e Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
Professora: Lisiane Peron Schmoeller Nau 
Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica 
2015 
 
 
2 
 
MATRIZ 
 
Definição: Matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas 
representadas respectivamente por m x n (lê-se m por n), onde m ≥ 1 e representa o número de 
linha e n ≥ 1 e representa o número de colunas. 
As matrizes (tabelas) são representadas por letra maiúscula, as filas horizontais são 
chamadas de linhas e as filas verticais são chamadas de colunas. Os números contidos nesta 
tabela são chamados de elementos. 
Representação Algébrica da matriz 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎 x 𝒏 , onde i representa as linhas e j as colunas. 
 
 
Podemos construir uma matriz numérica a partir da matriz algébrica. 
Observe o exemplo: Achar os elementos da matriz 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟑 x 2 em que (𝒂𝒊𝒋) = 𝟑. 𝒊 − 𝒋. 
Resolução: A representação genérica desta matriz é: 
𝐴 = (
𝑎11
𝑎21
𝑎31
 
𝑎12
𝑎22
𝑎32
)
3 x 2
 utilizando a sentença acima dada, teremos: 𝐴 = (
2
5
8
 
1
4
7
)
3 x 2
 
 
TIPO DE MATRIZES 
 
Matrizes Quadradas: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e 
colunas, agora dizemos que a matriz é de ordem n. Exemplo: 𝐴 = (
2
1
4
4 3
) é uma matriz de ordem 
2. 
Elementos da matriz quadrada: 
 Diagonal principal é o conjunto dos elementos, tais que i = j. 
 Diagonal secundária é o conjunto dos elementos, tais que i +j = n + 1. 
3 
 
 
 
Ex.: 𝐴 = (
2 1 0
5 4 3
8 7 6
) a diagonal principal é formado pelos elementos 2, 4 e 6 e a diagonal 
secundária pelos elementos 0, 4 e 8. 
 
Matriz Nula: é a matriz que todos os seu elementos são nulos. Ex.: 𝐵 = (
0 0 0
0 0 0
)
2 x 3
 
Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal 
principal são nulos. Ex.: C= (
2 0
0 3
) 
Matriz de Identidade: é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 
e os demais elementos são nulos. Notação In , onde n indica a ordem da matriz de identidade. Ex.: 
𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
). 
 
Matriz Transpostas: Dada a matriz A de ordem m x n chamamos de matriz transposta de A, 
indicada por At de ordem n x m que se obtém a partir de A, trocando ordenadamente suas linhas 
por colunas e suas colunas por linhas. Ex.: A=(
2 10
−30 3
) então At = (
2 −30
10 3
) 
Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada onde B = Bt. Ex.: 𝐵 = (
1 5
5 3
) 
Matriz Oposta: a matriz oposta é obtida na troca dos sinais dos elementos correspondentes. 
𝐴 = (
−1 25
5 −3
) ⟹ (− 𝐴) = (
1 −25
−5 3
) 
 
IGUALDADE DE MATRIZES 
 
Duas matrizes A e B de mesmo tipo são iguais, se cada elemento de A for igual ao 
elemento correspondente de B. Notação A = B. Ex.: Se A = (
2 𝑦
𝑥 3
) e B = (
2 −3
0 3
) , se A = B então 
y = – 3 e x = 0. 
 
4 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
Adição e Subtração 
A adição ou subtração de duas matrizes A e B, do mesmo tipo é efetuada somando-se ou 
subtraindo-se os seus elementos correspondentes. De uma forma geral, as 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚 x 𝑛 , 
B=(𝑏𝑖𝑗)𝑚 x 𝑛 e C = (𝑐𝑖𝑗)𝑚 x 𝑛 , temos na adição C = A + B ⇒ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 e na subtração C = A – B 
⇒ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗. 
Propriedades 
 Comutativa: A + B = B + A 
 Associativa: (A + B) +C = A +(B +C) 
 Elemento neutro: A + 0 = A 
 Elemento Oposto: A + (– A) = 0 
 
Multiplicação de um número real por uma matriz 
Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar este número pelos 
elementos da matriz. 
Ex.: 5. (
2 −1
6 −2
) = (
10 −5
30 −10
) 
 
Multiplicação de matrizes 
Definição: Dada uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚 x 𝑛 e uma matriz 𝐵 = (𝑏𝑗𝑘)𝑛 x 𝑝 , denomina-se produto de A 
por B a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑘)𝑚 x 𝑝 tal que o elemento 𝑐𝑖𝑘 é a soma dos produtos da i-ésima linha da A 
pelos elementos correspondentes de j-ésima coluna de B. 
 
Na multiplicação de duas matrizes, A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao 
número de linhas de B; o produto AB terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de 
colunas de B. 
𝐴𝒎 x 𝑛 . 𝐵𝑛 x 𝒑 = (𝐴. 𝐵)𝒎 x 𝒑 
 
Ex.: Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij: 
 
 1ª linha e 1ª coluna 
 
 1ª linha e 2ª coluna 
5 
 
 
 
 2ª linha e 1ª coluna 
 
 2ª linha e 2ª coluna 
 
. 
 
Propriedades 
 Associativa: A.(BC) = (AB).C 
 Distributiva à direita: A.(B + C) = AB +AC 
 Distribuição à esquerda: (B + C).A = BA +CA 
 
Matriz Inversa 
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, se existir uma matriz B, de mesma ordem, tal 
que A . B = B . A = In, então B é matriz inversa de A e representamos a matriz inversa 
por A-1 . 
Ex. Determinar a inversa da matriz 𝐴 = (
2 4
1 5
). 
Resolução: Sabemos que A . A-1 = I, onde 𝐴 = (
2 4
1 5
) , 𝐴−1 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) 𝑒 𝐼 = (
1 0
0 1
) , assim 
teremos: 
(
2 4
1 5
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) ⇒ (
2𝑎 + 4𝑐 2𝑏 + 4𝑑
𝑎 + 5𝑐 𝑏 + 5𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
Para descobrir os valores de a, b, c e d, resolveremos o sistema: 
{
2𝑎 + 4𝑐 = 1
𝑎 + 5𝑐 = 0
 ∴ 𝑎 =
5
6
 e 𝑐 =
−1
6
 
{
2𝑏 + 4𝑑 = 0
𝑏 + 5𝑑 = 1
 ∴ 𝑏 =
−2
3
 e 𝑑 =
1
3
 Logo, a matriz inversa 𝐴−1 = (
5
6
−2
3
−1
6
1
3
). 
6 
 
DETERMINANTE 
 
Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. 
 
Determinante de 1ª Ordem 
O determinante da matriz 𝐴 = |𝑎11| é o próprio número 𝑎11. Notação: det A ou |𝑎11|. 
 Ex.: 𝐴 = |2| ⇒ det A=2 ou |2|=2 
𝐴 = |−14| ⇒ det A=-14 ou |-14|= – 14 
 
Determinante de 2ª Ordem 
O determinante da matriz A = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| é igual à diferença entre o produto dos elementos 
da diagonal principal e o produto da diagonal secundária, ou seja: det A = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11. 𝑎22 −
𝑎12. 𝑎21 
Ex.: A = |
1 3
4 2
| ⇒ det A = 1.2 – 3.4 = – 10 
 
Determinante de 3ª Ordem 
Para o cálculo desse determinante será utilizado a Regra de Sarrus. 
Seja a matriz 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois 
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser 
precedida do sinal positivo): 
7 
 
 
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois 
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve 
ser precedida do sinal negativo): 
 
 
Assim: 
 
 
det 𝐴 = (𝑎11. 𝑎22. 𝑎33 + 𝑎12. 𝑎23. 𝑎31 + 𝑎13. 𝑎21. 𝑎32) − (𝑎13. 𝑎22. 𝑎31 + 𝑎11. 𝑎23. 𝑎32 + 𝑎12. 𝑎21. 𝑎33) 
 
 
Ex.: Calcule o determinante da matriz 𝐴 = |
1 3 −2
2 0 1
−1 2 4
| 
 
Aplicando a Regra de Sarrus termos: 
 
det 𝐴 = |
1 3 −2
2 0 1
−1 2 4
| 
 1 
2 
−1 
3
0
 2
 
 
det A = 1.0.4 + 3.1.(-1) + (-2).2.2 – (3.2.4 + 1.1.2 + (-2).0.2) = 0 – 3 – 8 – (24 + 2 + 0) = – 37 
 
 
 
8 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Chamamos de Equação Linear toda equação de forma: 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏, onde 
𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são números reais chamadosde coeficiente das incógnitas 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 e b é um 
número real chamado termo independente. 
 
Classificação dos Sistemas Lineares 
 Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: 
 
 
Solução de um Sistemas Lineares 
 A solução de um sistema é uma n-upla de valores ordenados ( 𝑠1, 𝑠2 … . 𝑠𝑛 ) que é, 
simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. 
Ex.: O sistema {
2𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 + 3𝑦 = 7
 tem com solução x = 1 e y = 2. Como só admite uma única solução 
podemos dizer que o sistema é possível e determinado. 
 
Solução de um Sistemas pela Regra de Cramer 
 A Regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mais só poderá ser 
utilizada se o número de equações e o número de incógnita forem iguais. 
 Portanto para resolver um sistema linear, utilizando esta regra, devemos calcular o 
determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituir os termos independentes 
em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes (Dx, Dy, ... Dz). Os valores das 
incógnitas são calculados da seguinte forma: 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
 .... 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
 
 
 
SISTEMAS LINEARES 
POSSÍVEL 
 (quando admite solução) 
DETERMINADO 
(D≠0) 
 (admite uma única solução) 
INDETERMINADO 
 (D=0; Dx=0; Dy=0; ...Dz=0) 
(admite infinitas soluções) 
IMPOSSÍVEL 
(D=0;Dx≠0;Dy≠0;....Dz≠0) 
 (quando não admite solução) 
9 
 
 
Ex.: Resolver, utilizando a Regra de Cramer, o sistema {
2𝑥 − 3𝑦 = 𝟏
𝑥 + 4𝑦 = 𝟔
 
Solução: 
𝐷 = |
2 −3
1 4
| = 2.4 − ((−3). 1) = 11 como D≠0, o sistema é possível 
𝐷𝑥 = |
𝟏 −3
𝟔 4
| = 1.4 − ((−3). 6) = 22 
𝐷𝑦 = |
2 𝟏
1 𝟔
| = 2.6 − (1.1) = 11 como Dx≠0 e Dy≠0, o sistema é determinado 
 
Portanto, 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
22
11
= 2 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
11
11
= 1 
 
Obs: É utilizado o mesmo procedimento para determinantes de 3ª ordem. 
 
 
 
10 
 
 
 
11 
 
 
 
12 
 
VETORES 
 
Diferença entre Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial 
Grandeza Escalar: são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real 
(acompanhado de uma unidade adequada). Exemplo: comprimento, temperatura, área, volume, 
massa. 
Grandeza Vetorial: são aquelas que não ficam completamente definidas apenas pelo número com 
sua unidade de medida, ou seja, para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer 
seu módulo (comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Exemplo: força, velocidade, 
aceleração. 
 
VETOR é uma grandeza vetorial. Os vetores do plano ou do espaço são representados por 
segmentos orientados. Todos os segmentos orientados que tem a mesma direção, o mesmo 
sentido e o mesmo comprimento (módulo) são representantes de um mesmo vetor. 
Um vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada por uma flecha. 
Podemos representar o vetor das seguintes formas: �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴. 
 
 
 
 
Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores 
 
Dado os vetores 
u
 = (x1, y1) e v = (x2, y2) são paralelos se tiverem a mesma direção 
podendo ou não ter o mesmo sentido. Indica-se por 
vu

//
. Se tiver o mesmo sentido recebem o 
nome de equiversos e se tiver sentido contrários recebem o nome de contraversor. Se dois 
vetores são paralelos então 
2
1
2
1
y
y
x
x

. 
 
 
 
 
Dado os vetores �⃗⃗� = (x1, y1) e �⃗� =(x2, y2), são ortogonais e indica-se por �⃗⃗� ⊥ �⃗� se, e somente 
se, x1.x2 +y1. y2 = 0. Ou seja, �⃗⃗� 𝑒 �⃗� são ortogonais se a flecha que representa �⃗⃗� faz um ângulo reto 
com o que representa �⃗�. 
 
 
 
 
v B 
A 
Observe que A é a origem da flecha e B é a ponta da flecha. 
v 
u 
v 
u 
u 
v 
13 
 
Igualdade de Vetores 
 Dois vetores são iguais se tiverem o mesmo módulo, direção e sentido, então �⃗⃗� = �⃗�. 
 
Vetor Oposto 
O vetor oposto é quando eles têm o mesmo módulo, a mesma direção mais sentidos 
contrário. O oposto de𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ é 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Portanto, o oposto de �⃗⃗� é indicado por − �⃗⃗� . 
 
 
 
 
Vetor Nulo 
Será representado por um ponto, como se fosse uma flecha de origem e ponta coincidente. 
Tal vetor será indicado por 0⃗⃗, ou A – A, ou ainda 𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo A um ponto qualquer no espaço. O 
oposto do vetor nulo é ele mesmo, ou seja, −0⃗⃗ = +0⃗⃗. 
 
Módulo de um Vetor 
É um número não negativo que indica o comprimento de um vetor. Indicado por |�⃗�| ou |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |, 
sendo A=(x1, y1) e B=(x2, y2), então teremos: 
 
|�⃗�| = √𝑥2 + 𝑦2 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
 
Vetor Unitário 
O vetor �⃗� é unitário se |�⃗�| = 1. 
 
Versor 
O versor de um vetor �⃗⃗� não nulo é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo 
sentido. 
 
𝑣𝑒𝑟𝑠 �⃗⃗� =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
 
 
u 
- u 
14 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
 
Adição de Vetores 
Sejam os vetores �⃗⃗� e �⃗� representados pelos segmentos orientados AB e BC, 
respectivamente teremos: 
 
 
 
 
 
 
Sendo 
u
 // 
v
 , a maneira de se obter o vetor 
u
 + 
v
 é a mesma que está ilustrada abaixo: 
 Mesmo sentido Sentido oposto 
 
u
 
v
 
u
 
 
 
u
 + 
v
 
v
 
 
u
 + 
v
 
No caso de vetores �⃗⃗� e �⃗� não serem paralelos, há outra maneira de se encontra a soma 
�⃗⃗� + �⃗� . Representam-se �⃗⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e �⃗� = 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ por segmento orientado de mesma origem A. 
Completa-se o paralelogramo ABCD e o segmento orientado de origem A, que corresponde à 
diagonal do paralelogramo, é o vetor �⃗⃗� + �⃗�, isto é, 
 
�⃗⃗� + �⃗� = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da Adição 
Dados os vetores 
u
 , 
v
 e 
w
 , teremos as seguintes propriedades: 
* Associativa: 
)()( wvuwvu


 
* Comutativa: 
uvvu


 
* Existe um só vetor nulo 
0
 , tal que, para todo vetor 
v
 , se tem: 
vvv

 00
 
* Qualquer que seja o vetor 
v
 , existe um só vetor -
v
 , tal que: 
0)(  vvvv

 
 
 
A 
B 
C 
 
ACACBCABvu  )()(
 
 
 
 C 
 + 
A 
B 
D 
15 
 
Subtração de Vetores 
Dados os vetores 
u
 e 
v
 , definimos a diferença 
u
 - 
v
 por 
u
 -
v
 =
u
 +(-
v
 ). Denotamos por 
diferença de pontos: 
 
 
 
Obs. A diferença de vetores não é comutativa, ou seja: 
uvvu


. 
 
Multiplicação de um Número Real por um Vetor 
Dado um vetor 
v
 ≠ 0 e um número real k ≠ 0, chama-se produto do número real k pelo vetor 
v
 o vetor 
vkp

.
. 
 
Operações 
Sejam os vetores os vetores 
u
 = (x1, y1) e v = (x2, y2) e a є . Define-se: 
* 
u
 +
v
 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2) 
* a. 
u
 = a. (x1, y1) = (a.x1, a.y1) 
 Portanto, para somar dois vetores, somam-se suas correspondentes e para multiplicar um 
vetor por um número, multiplicam-se cada componente do vetor pelo mesmo número. 
 
Ângulos 
O ângulo entre dois vetores não nulos 
u
 e 
v
 é o ângulo  formado por duas semi-retas OA e OB 
de mesma origem O, onde 
OBv 
, 
OAu 
 e 
º180º0 
. Se forem paralelos e demesmo 
sentido  = 0º e se forem paralelos e de sentido contrário  = 180º. 
 
Exemplo: A figura é construída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Determinar 
se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
 
OPMNg
EGABf
HIACe
MFIFd
OPBCc
PHAMb
OFABa






)
)
//)
)
)
)
)
 
 
 
 
A 
C 
B 
CBCBABvu  )()(
 
M N E 
O P F 
G 
D C B A 
L 
K 
J 
I H 
16 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. A figura abaixo apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo o 0 o ponto de 
intersecção das diagonais desse losango. Determinar se é verdadeira ou falsa cada uma das 
seguintes afirmações: 
FEOBg
OHABf
CDAFe
BDACd
HGDOc
CHAFb
OGEOa






)
)
//)
)
)
)
)
 
 
2. Assinale verdadeiro ou falso, caso seja falso justifique: 
a) Vetor é uma grandeza escalar? ( ) 
b) Um vetor é uma flecha? ( ) 
c) Duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representante de 
um mesmo vetor? ( ) 
d) O vetor �⃗� é oposto a −�⃗� ? ( ) 
e) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴? ( ) 
f) 
BAAB 
? ( ) 
g) Dizemos que o vetor é ortogonal a outro vetor, se e somente se, �⃗⃗�. �⃗� ≠ 0. ( ) 
 
 
Vetor Definido por Dois Pontos 
 
Dado os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), sendo o ponto 0 a origem e AB as extremidades 
temos: 
 
 
 
 
 
 
Assim temos: 
),(),(),(
)0()0(
12121122 yyxxyxyxAB
ABABOAOBAB

 
 
 A F B 
 D H C 
E G 
0 
x1 x2 
y1 
y2 
A 
B 
17 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determinar a origem A do segmento representado pelo vetor �⃗⃗� = (2, 3), sendo a sua 
extremidade o ponto B(0,4). 
2. Dado os vetores, �⃗⃗� = (-1, 3), �⃗� = (2, 1) e �⃗⃗⃗� = (0, 2), calcule: 
a) 2. �⃗⃗� - �⃗� + 4. �⃗⃗⃗� 
b) 3. (�⃗⃗� + �⃗�) – 2.( �⃗⃗� − �⃗⃗⃗�) 
3. Sendo A(2, 0), B(0, 3) e C(1, -2) determine D, tal que 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
4. Calcule o módulo do vetor �⃗⃗� = (-3, 4). 
5. Sabendo que o ponto de origem A tem as coordenadas (4, 5) e a extremidade B tem as 
coordenadas (0, 4). Calcule |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |. 
 
 
Vetores no 3 – aplicam-se as mesmas propriedades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
* A origem do sistema é O (0,0,0) e representa o vetor nulo. 
 
* O vetor oposto de �⃗� = (x, y, z) é - �⃗� = (-x, -y,-z). 
 
* Dois vetores �⃗⃗� = (x1, y1, z1) e �⃗� = (x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 =y2 e z1= z2. 
 
* Dados os vetores 
u
 = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) e a є . Define-se: 
a) �⃗⃗� + �⃗� = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1+ y2, z1+ z2) 
b) a. �⃗⃗� = a. (x1, y1, z1) = (a.x1, a.y1, a z1) 
 
* Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então: 
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (x2 – x1, y2 –y1, z2 – z1). 
 
y1 x1 
z1 
P(x1,y1,z1) 
z 
x 
y 
18 
 
* O módulo do vetor �⃗� = (x, y, z) é dado por: |�⃗�| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
 
* Dado A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) então o módulo é dado por: 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 
 
* Para �⃗⃗�= (x1, y1, z1) e �⃗�= (x2, y2, z2), tem-se: 
a) �⃗⃗�//�⃗� se, e somente se, 
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x

 
b) �⃗⃗� ⊥ �⃗� se, e somente se, x1.x2 +y1. y2 +z1. z2 = 0. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Dados os pontos A(5, -1, 2), B(6, 2, 4) e C(7, 1, 3), determinar: 
a) As componentes de 
CBBAACAB ,,,
 
b) As componentes de 
CAAB 
 
c) As componentes de 
CABA 
 
d) As componentes de 
CABCAB .5.2.3 
 
e) O vetor
x
 tal que 
CBACABx  .3.2.3
 
 
 
2. Dados os pontos A(1, -2, 3), B(4, 2, 4) e C(0, -2, 4), 
a) Determinar os vetores �⃗⃗� e �⃗� tal que: 
BCACBAu .3.2.4 
 
BCABv .3.2 
 
b) Determine o vetor �⃗� tal que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + �⃗� = 2. (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − �⃗� ) 
 
3. Dados os pontos A(5, -1, 2), B(6, 2, 4) e C(7, 1,3), determine: 
a) O módulo de: 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
b) O versor de 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
4. Dados os pontos P(3, 0, -1), Q(-4, -1, -1) e R(0, -1, -4), encontre: 
a) 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑄𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | b) Versor de 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 
5. Dados os pontos A(-1, 2, 3) e B(1, -1, m), determine m sabendo que |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = 7 
 
6. Determine no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1, -3, 7) e B(5, 7, -5). 
 
 
 
 
19 
 
 
 
Expressão Cartesiana de um Vetor 
 
 
 
b) Considere o ponto P(x, y, z) do espaço tridimensional e 
i
 , 
j
 e k , os versores dos eixos 
cartesianos ortogonais x, y e z. O vetor 
)( OPv 

tem origem em O e extremidade em P e pode 
ser expresso como combinação linear de 
i
 , 
j
 e k . Do paralelepípedo representado na figura 
abaixo se obtém: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Denomina-se expressão cartesiana do vetor (P – O), onde x, y e z são as coordenadas e x
i
 , y
j
 
e z
k
 as componentes do citado vetor. 
O par (x, y, z) é chamado de expressão analítica de �⃗�. Para exemplificar, veja a seguir alguns 
vetores e suas correspondentes expressões analíticas: 
 3
i
 - 5
j
 = (3, -5, 0) 
4
k
 = (0, 0, 4) 
-3
i
 = (-3, 0, 0) 
a) Seja x, y e z um sistema cartesiano ortogonal. Os 
vetores ortogonais e unitários, são representados por 
i
 , 
j
 e k (bases canônicas), ambos com origem em 
O e extremidade em (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). 
Portanto, 
)1,0,0(
)0,1,0(
)0,0,1(



k
j
i



 
 
 
0 
P 
Pz 
Px 
Py 
x 
y 
z 
(P – O) = (Px – O) + (Py – O) + (Pz – O), como Px 
– O = x
i
 , Py – O = y
j
 e Pz – O = zk , tem-se: 
(P – O) = 
kzjyixv


 
 
 
Exercícios 
 
1. Observe a figura abaixo e determine os pontos A, B, C, D, E, F, O e P. 
a) b) 
 
2. Dados os vetores �⃗⃗� = 3. 𝑖 − 5. 𝑗 e �⃗� = −2. 𝑖 + 7. �⃗⃗�, determine: 
a) �⃗⃗� + �⃗� 
b) �⃗⃗� + 2. �⃗� 
c) 3�⃗⃗� − �⃗� 
 
3. Dado o vetor �⃗� = 3. 𝑖 − 2. 𝑗 + √3. �⃗⃗�, determine o versor �⃗�. 
 
4. Calcule o perímetro do triângulo de vértices: A(1, 1, 0), B(0, 1, 1) e C(1, 1, 1). Faça a representação 
gráfica. 
 
5. Dados os vetores A(-1,3), B(2,5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular: 
CBBAc
BCOCb
ABOAa
.4.3)
)
)



 
 
6. Sejam os pontos A(-5,1) e B(1, 3) . Determine o vetor �⃗⃗⃗� = (𝑎, 𝑏) tal que, 
a) B = A + 2.�⃗⃗⃗� 
b) A = B + 3. �⃗⃗⃗� 
 
 
7. Dados os pontos A(1, -1) B(-3, 4) C(8, -6) e D(-2, 3), calcule: 
a) |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | 
b) |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 
c) |𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | 
d) |𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | 
e) |𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 
8. Dados os vetores �⃗⃗� = (3, 5), �⃗� = (−2, 3) e �⃗⃗⃗� = (4, 0), calcule: 
a) |�⃗⃗�| 
b) |�⃗�| 
c) |�⃗⃗⃗�| 
21 
 
Respostas 
5. a) (-4, 1) b)(2, 5) c) (-13, 18) 
6. a) �⃗⃗⃗� = (3, 1) b) �⃗⃗⃗� = (-2, -2/3) 
7. a) ≅ 6,4031 b) ≅ 8,062 c) ≅13,45 d) 5 e) ≅ 14,86 
8. a) ≅ 5,831 b) ≅ 3,606 c) 4 
PRODUTO ESCALAR 
 
DEFINIÇÃO ALGÉBRICA 
Chama-se produto escalar de dois vetores �⃗⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗⃗� e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗⃗� e se representa 
por �⃗⃗� . �⃗� ou < 𝑢⃗⃗⃗ ⃗ , �⃗� > , ao número real 
 
 
 
PROPRIEDADES 
Para quaisquer vetores �⃗⃗�, �⃗� e �⃗⃗⃗� e o número real α, é fácil verificarque:�⃗⃗� . �⃗� = �⃗�. �⃗⃗� (comutativa) 
a) �⃗⃗�. (�⃗� + �⃗⃗⃗�) = �⃗⃗� . �⃗� + �⃗⃗� . �⃗⃗⃗� e (�⃗⃗� + �⃗�). �⃗⃗⃗� = �⃗⃗�. �⃗⃗⃗� + �⃗� . �⃗⃗⃗� (distributiva) 
b) α(�⃗⃗� . �⃗�) = (α�⃗⃗�). �⃗� = �⃗⃗� . (𝛼�⃗�) (associativa) 
c) �⃗⃗� . �⃗⃗� > 0 se �⃗⃗� ≠ 0 e �⃗⃗� . �⃗⃗� = 0 se �⃗⃗� = 0⃗⃗ = (0, 0, 0) 
d) �⃗⃗� . �⃗⃗� = |�⃗⃗�|2 
 
DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA 
O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do 
ângulo por eles formado, ou seja, �⃗⃗�. �⃗� = |�⃗⃗�||�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃. 
 
ORTOGONALIDADE 
Dois vetores �⃗⃗� 𝑒 �⃗� são ortogonais se, e somente se, 
 
 
ÂNGULO DE DOIS VETORES 
�⃗⃗⃗� . �⃗⃗⃗� = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐 
 
�⃗⃗⃗� . �⃗⃗⃗� = 𝟎 
 
22 
 
Da igualdade �⃗⃗�. �⃗� = |�⃗⃗�||�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 , podemos determinar o ângulo entre dois vetores não nulos, o 
cosseno entre eles é dado por: 
 
 
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS 
DIRETORES DE UM VETOR 
 
Seja o vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) não-nulos. 
Ângulos diretores de �⃗� são ângulos α, β, γ que �⃗� forma com os 
vetores 𝑖 (1, 0, 0), 𝑗 = (0, 1, 0)e �⃗⃗� = (0, 0, 1). 
Cosseno diretores de �⃗� são os cossenos de seus ângulos diretores, 
isto é, cosα, cos β e cos γ. 
 
Assim, utilizaremos a seguintes fórmulas para o cálculo dos cossenos diretores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o versor é um vetor unitário, decorre imediatamente: 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜸 = 𝟏 
 
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE O OUTRO 
 Sejam os vetores �⃗⃗� e �⃗� não-nulos e θ o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos 
vetores, digamos �⃗�, tal que �⃗� = 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, sendo 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ // �⃗⃗� e 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ �⃗⃗�. 
 As figuras abaixo representam as duas situações possíveis, podendo ser θ um ângulo agudo 
(figura(a)) ou obtuso (figura (b)). 
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
�⃗⃗⃗�. �⃗⃗⃗�
|�⃗⃗⃗�||�⃗⃗⃗�|
 
𝒄𝒐𝒔𝜶 =
�⃗⃗⃗�. 𝒊
|�⃗⃗⃗�||𝒊|
= 
(𝒙, 𝒚, 𝒛). (𝟏, 𝟎, 𝟎)
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 . √𝟏𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟎𝟐
=
𝒙
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
 
𝒄𝒐𝒔𝜷 =
�⃗⃗⃗�. 𝒋
|�⃗⃗⃗�||𝒋|
= 
(𝒙, 𝒚, 𝒛). (𝟎, 𝟏, 𝟎)
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 . √𝟎𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟎𝟐
=
𝒚
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
 
𝒄𝒐𝒔𝜸 =
�⃗⃗⃗�. �⃗⃗⃗�
|�⃗⃗⃗�||�⃗⃗⃗�|
= 
(𝒙, 𝒚, 𝒛). (𝟎, 𝟎, 𝟏)
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 . √𝟎𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟏𝟐
=
𝒛
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
 
 
Se �⃗⃗� e �⃗� são vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então: 
 
 θ é agudo (0 ≤ θ < 90°) se, e somente se, �⃗⃗� . �⃗� > 0, 
 θ é reto (θ = 90°) se, e somente se, �⃗⃗� . �⃗� = 0 e 
 θ é obtuso (90° <θ ≤ 180°) se, e somente se, �⃗⃗� . �⃗� < 0. 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor 
𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ é a projeção ortogonal de �⃗� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 �⃗⃗� e é indicado por 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗⃗� �⃗�. 
Assim teremos: 
 
 
 
P.S. O comprimento do vetor projeção de �⃗� sobre �⃗⃗�, sendo �⃗⃗� unitário (|�⃗⃗�| = 1) é igual ao módulo do 
produto escalar de �⃗� por �⃗⃗�. 
 
Exercícios - Lista 01 
1. Dados os vetores 
u
 =(2, -3, -1), 
v
 =(1, -1, 4) e w =(-1, 2, 0), calcular: 
a) 
u
 .
v
 
b) 
v
 .w 
c) 
w
.
u
 
d) 2
u
.
v
 
e) (
v
 +u ).(v +w ) 
f) (
v
 +u ).(v - 2u ) 
2. Calcular os módulos e o produto escalar dos vetores 
jiu 43 
 e 
kjiv 7
. 
3. Sejam os vetores 
u
 =(2, a, -1), 
v
 =(3, 1, -2) e w = (2a-1, -2, 4). 
Determine a de modo que 
u
 .
v
 = (
u
 +
v
 ). (
v
 +w ). 
 
4. Dados os pontos A(4, 0, -1),B(2, -2, 1) e C(1, 3, 2) e os vetores 
u
 =(2,1, 1), 
v
 = (-1, -2, 3), 
obter o vetor 
x
 tal que: 
a) 3.
x
 +2.
v
 = x +( uAB. ). v 
𝒑𝒓𝒐𝒋�⃗⃗⃗� �⃗⃗⃗� = (
�⃗⃗⃗� . �⃗⃗⃗�
�⃗⃗⃗� . �⃗⃗⃗�
) . �⃗⃗⃗� 
24 
 
b) 
xvvuxvBC .3)..()..( 
 
5. Encontre o valor de m sabendo que 
u
 .
v
 =15, sabendo que 
kjiu  23
 e 
kimv 3
. 
6. Dados os pontos A(2, -3, 3), B(3, -2, 3) e C(2, -4, 2), encontre: 
a) 
CAAB.
 
b) 
BCBA.
 
7. Indicar quais vetores são unitários:
a) 
u
 = (1, 1, 1) 
b) 
v
 = 








2
2
,0,
2
2 
 c) 
w
 = (0, 0, 1) 
8. Determinar m, sabendo-se que são ortogonais os vetores 
kjmiu  3
 e 
kjiv  2
. 
9. Determinar o vetor 
v
 , sabendo que |
v
 |=5, 
v
 é ortogonal ao eixo Ox, 
v
 .w = 6 e w = ji 2 . 
10. Determine o vetor 
w
, ortogonal ao eixo Oy, 
w
.
w 1 = 8 e w .w 2= -3, sendo w 1=(3, 1, -2) 
e 
w 2=(1,1,1). 
11. Sabendo que |
u
 | = 2, |
v
 | = 3 e 
u
 .
v
 = -1, calcular: 
a) (
u
 - 3
v
 ).
u
 
b) (2
v
 -
u
 ).(2
v
 ) 
c) (
u
 +
v
 ).(
v
 - 4
u
 ) 
d) (3
u
 + 4
v
 ). (-2
u
 - 5
v
 ) 
12. Provar que os pontos A(-1, 2, 3), B(-3, 6, 0) e C(-4, 7, 2) são vértices de um triângulo 
retângulo. 
13. Dados os pontos A(2, -3, 3), B(3, -2, 3) e C(2, -4, 2), encontre o ângulo entre 
AB
e 
CA
 
14. Determine o ângulo entre os vetores 
jiu 2
 e 
jiv 3
. 
15. Calcular |
u
 + 
v
 |, |
u
 - 
v
 | e (
u
 + 
v
 ).(
u
 - 
v
 ), sabendo que |
u
 | = 4, |
v
 |=3 e o ângulo ente 
u
 e 
v
 é de 60º. 
 
Resposta 
1. a) 1 b) -3 c) -8 d) 2 e)8 f) -11 2. |
u
 | = 5; |
v
 | = 3 e 
u
 .
v
 = -1 
25 
 
3. a = 
5
8
 4. a) 
x
=(3, 6, -9) b) 
x
=(
−1
3
,
−2
3
, 1) 5. m =6 
6. a) 1 b) 3 7. Os itens b e c são unitários 8. √2 9. 
v
 
= (0, 3, 4) ou (0, 3, -4) 10. 
)
5
17
,0,
5
2
(

w
 11. a) 7 b) 38 c) -4 d) -181 
12. Utilizar a ortogonalidade 13. θ = arc cos
2
1
= 60º 14. θ = arc cos
2
2 = 45º 15. 37 ; 
13
 ; 7 
Exercícios Lista 02 
1. Dados os vetores 
u
 = (1, 3, 4), 
v
 =(-1, 3, -2) e w = (-1, 4, 5), calcule: 
a) 
u
 .(
v
 + w ) b) u . v + u .w c) 3.(v .w ) 
2. Dados os vetores 
u
 =(-2, 3, 5), 
v
 =(-1, -1, -4) e w =(0, 2, 0), calcular: 
a) -2(
u
 .(2
v
 )) 
b) 
v
 .w 
c) 
w
.
u
+
v
 . w 
d) (-3
u
).
v
 
e) (
v
 +u ).(v +w ) 
f) (
v
 +u ).(v - 4u ) 
3. Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m – 1, 2m, 2) e C(1, 3, -1), determinar m de modo que o 
triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo. 
4. Sabendo que |
u
 | = 
2
, |
v
 |=3 e o 
u
 e 
v
 forma um ângulo de 
rad
4
3
determinar: 
a) |(2.
u
 - 
v
 ).(
u
 - 2.
v
 )| b) |(
u
 - 2.
v
 )| 
5. Qual o valor de α para que os vetores 
kjia 42 
 e 
kjib 3)21(2  
 sejam 
ortogonais? 
6. Dados os vetores 
a
= (2, 1, α), 
b
= (α+2, -5, 2) e 
c
= (2α, 8, α), determinar o valor de α 
para que o vetor 
a
+
b
 seja ortogonal ao vetor 
c
 - 
a
. 
7. Dados os pontos A(-1, 0, 5), B(2, -1, 4) e C(1, 1, 1), determinar x tal que 
AC
 e 
BP
sejam 
ortogonais, sendo P(x, 0, x - 3). 
8. Determinar o vetor 
u
 , tal que |
u
 | = 2, o ângulo entre 
u
 e 
v
 = (1, -1, 0) é de 45º e 
u
 é 
ortogonal a 
w
=(1, 1, 0). 
26 
 
9. Sabendo que 
ba 
, |
a
| = 6 e |
b
| = 8, calcular |
a
 + 
b
| e |
a
 - 
b
|. 
10. Determinar o ângulo entre os vetores: 
a) 
kjia  2
 e 
kjib 2
 b) 
kjia  2
 e 
jib 
 
11. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1).12. Seja o triângulo de vértices A(3, 4, 4), B(2, -3, 4) e C(6, 0, 4). Determinar o ângulo 
interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B? 
13. Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores 
kjia  2
 e 
kmjib )1(2 
. 
14. Calcular os ângulos diretores do vetor 
v
= (6, -2, 3). 
15. Os ângulos diretores de um vetor 
a
 são 45º, 60º e 120º e |
a
| = 2. Determinar 
a
. 
16. Dados os vetores 
u
= (3, 0, 1) e 
v
 = (-2, 1, 2), determinar: 
a) 
uproj
v
 b) 
vproj
u
 
Respostas 
 
1. a) 31 b) 31 c) 9 2. a)84 b) -2 c) 4 d) 63 e) 1 
f) -71 
3. m = 1 e a área A= 
2
30 4. a) 37 b) 50 5. α = -5 6. α = -6 ou α = 3 
7. x = 
2
25
 8. 
u
 = (1, -1, 
2
) ou (1, -1, -
2
) 9. a) 10 b) 10 
10. a) θ = arc cos (-
2
1
)= 120º b) θ = arc cos(-
2
3 )= 150º 
11. Ângulo A ≅51º ; ângulo B≅57º ; ângulo C≅72º 
12. Ângulo interno de B = 45º e o ângulo externo de B = 135º 13. m = 0 ou m = - 18 
14. α = arc cos 7
6
≅31º ; β = arc cos(- 7
2
) ≅ 107º ; γ = arc cos 7
3
≅ 65º15. )1,1,2( a 
16. a) 
)
9
8
,
9
4
,
9
8
(

uproj
v
 b)
)
5
2
,0,
5
6
(

vproj
u
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
Diferentemente do produto escalar, o produto vetorial, entre dois vetores 
u
 e 
v
 é um vetor. Ou seja, 
o produto escalar é um número e o produto vetorial é um vetor; e esse vetor tem várias 
características importantes e peculiares. 
Definição: Consideremos o espaço ℝ3 e os vetores 
u
 =(x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), chamamos de 
Produto Vetorial de 
u
 e 
v
 , o vetor 
u
 x
v
 definido por: 
�⃗⃗�x�⃗� = |
𝑥1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| . 𝑖 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧 2
| . 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| . �⃗⃗� 
Importante: 
 O produto vetorial 
u
 e
v
 pode ser indicado por 
u
 x
v
 ou 
u
 ^
v
 e lê-se “
u
 vetorial 
v
 ”. 
 Para simplificar o cálculo do produto vetorial, usaremos: 
 
 �⃗⃗�x�⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
 
 �⃗⃗�x�⃗� = −(�⃗�x�⃗⃗�) , isto é, os vetores �⃗⃗�x�⃗� 𝑒 �⃗�x�⃗⃗� são opostos, pois a troca de ordem dos 
vetores no produto vetorial, ou seja, troca de sinal de todas as componentes. Portanto, no produto 
vetorial a ordem dos fatores é importante. 
 
Características do Vetor �⃗⃗⃗�x�⃗⃗⃗� 
 
 
Considerando os vetores �⃗⃗�=(𝑥1,𝑦1 , 𝑧1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
28 
 
 
 Direção �⃗⃗⃗�x�⃗⃗⃗� é perpendicular (ortogonal) aos vetores �⃗⃗� e �⃗� simultaneamente. 
 
 Sentido �⃗⃗⃗�x�⃗⃗⃗� : �⃗⃗�, �⃗� e �⃗⃗�x�⃗� , nesta ordem, formam um triedro positivo(segue a regra da mão 
direita). 
 
 
 
 Nulidade do produto vetorial 
 �⃗⃗�x�⃗� = 0⃗⃗ se: 
o Um dos vetores for nulo; 
o Os dois vetores forem paralelos entre si, ou seja, �⃗⃗�//�⃗�. 
 
 Vetor Unitário 
 𝑣𝑒𝑟𝑠 = 
�⃗⃗⃗�x�⃗⃗�
|�⃗⃗⃗�x𝑣|⃗⃗⃗⃗
 
 
 Caso particular 
Os vetores 𝑖, 𝑗 𝑒 �⃗⃗� , nesta ordem formam um triedro positivo. Apresentamos um dispositivo 
mnemônico pra lembrar os seis produtos vetoriais possíveis com estes três vetores unitários 
que determinam o sistema cartesiano. Associando estes vetores a três pontos distintos de 
uma circunferência, e adotando o sentido anti-horário, o produto vetorial de dois vetores 
sucessivos quaisquer é o vetor seguinte. Assim, neste dispositivo temos imediatamente 
𝑖 x 𝑗 = �⃗⃗� (sentido anti-horário) e 𝑗 x 𝑖 = − �⃗⃗� (sentido horário). A tabela abaixo apresenta as 
seis possibilidades com o produto vetorial não-nulo: 
 
0
0
0
ijk
ikj
jki
kjix



 
 
 
 
 
 Módulo de �⃗⃗⃗�x�⃗⃗⃗� 
29 
 
|�⃗⃗⃗�x�⃗⃗⃗�| = |�⃗⃗⃗�|. |�⃗⃗⃗�|. 𝒔𝒆𝒏𝜽 (com 0 ≤ 𝜃 ≤ 180°). Importante saber que: |�⃗⃗�x�⃗�| = |�⃗�x�⃗⃗�|. 
 
 
30 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL 
 
Cálculo de áreas Paralelogramo 
Observe o paralelogramo: 
 
 
 
 
Este paralelogramo está determinado pelos vetores não nulo �⃗⃗� e �⃗�, a medida da base é |�⃗⃗�| e a altura 
é |�⃗�|. 𝑠𝑒𝑛𝜃. Sabemos através da geometria analítica que a área deste paralelogramo é o produto da 
base pela altura, ou seja, A = b x h, assim teremos: 
𝑨 = |�⃗⃗⃗�|. |�⃗⃗⃗�|. 𝒔𝒆𝒏𝜽, ou seja, 
 𝑨 = |𝒖 ⃗⃗⃗⃗ x 𝒗⃗⃗⃗⃗ | 
 
Para calcular a altura relativa à base �⃗⃗�, teremos: 𝒉 =
|�⃗⃗⃗� 𝐱 𝒗|⃗⃗⃗⃗
|�⃗⃗⃗�|
 
 
Cálculo de áreas Triângulo 
Observe o triângulo ao lado: 
 
 
 
 
A área de um triângulo determinados pelos vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗⃗⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 ) é 
numericamente igual ao módulo do produto vetorial desses vetores dividido por dois, ou seja, 
𝑨 = 
|�⃗⃗⃗�|.|�⃗⃗⃗�|.𝒔𝒆𝒏𝜽
𝟐
 , ou seja, 
𝑨𝑨𝑩𝑪 =
|�⃗⃗⃗�𝒙�⃗⃗⃗⃗�|
𝟐
 
Para calcular a altura relativa à base �⃗⃗�, teremos: 𝒉 =
|�⃗⃗⃗� 𝐱 𝒗|⃗⃗⃗⃗
|�⃗⃗⃗�|
 
31 
 
 
Para finalizar o estudo do produto vetorial, segue as conclusões finais: 
 O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral (�⃗⃗�x�⃗�)x�⃗⃗⃗� ≠ �⃗⃗�x(�⃗�x�⃗⃗⃗�). 
 Para quaisquer vetores �⃗⃗�, �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� e o escalar α, são válidas as propriedades: 
 �⃗⃗�𝑥(�⃗� + �⃗⃗⃗�) = (�⃗⃗�𝑥𝑣) + (�⃗⃗�𝑥�⃗⃗⃗�) e (�⃗⃗� + �⃗�)𝑥�⃗⃗⃗� = (�⃗⃗�𝑥�⃗⃗⃗�) + (�⃗�𝑥�⃗⃗⃗�) 
 ∝ (�⃗⃗�𝑥�⃗�) = (∝ �⃗⃗�)𝑥�⃗� = �⃗⃗�𝑥(∝ �⃗�) 
 �⃗⃗�. (�⃗�𝑥�⃗⃗⃗�) = (�⃗⃗�𝑥�⃗�). �⃗⃗⃗� 
 
Exemplos 
1. Dado os vetores �⃗⃗� = (3, 1, 2) 𝑒 �⃗� = (−2, 2,5) calcular �⃗⃗� x v⃗⃗. 
 
2. Determinar o vetor �⃗� , tal que �⃗� seja ortogonal ao eixo y e �⃗⃗� = �⃗�𝑥�⃗� , sendo �⃗⃗� = (1, 1, −1) 𝑒 
�⃗� = (2, −1,1) 
 
3. Dados os vetores �⃗⃗� = (1, −1, 1) 𝑒 �⃗� = (2, −3, 4) , calcular a área do paralelogramo determinado 
pelos vetores �⃗⃗� 𝑒 �⃗� e a altura relativa a base �⃗⃗� . 
 
4. Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, -1, 0) e C(4, 2, -2), determinar a área do triângulo ABC e a altura 
relativa a base AB. 
 
Exercícios 
1. Conhecendo os vetores �⃗� = 2𝑖 + 3𝑗 + �⃗⃗�, �⃗⃗� = 𝑖 − 𝑗 + 2�⃗⃗� , pede-se: 
a) a⃗⃗ x b⃗⃗ 
b) b⃗⃗ x a⃗⃗ 
c) |a⃗⃗ x b⃗⃗| 
d) |b⃗⃗ x a⃗⃗| 
 
2. Dados os vetores �⃗� = 2𝑗 + �⃗⃗�, �⃗⃗� = 𝑖 + 3𝑗 + 4�⃗⃗� e 𝑐 = −𝑖 + 4𝑗 + 2�⃗⃗�, determinar: 
a) a⃗⃗ x b⃗⃗ 
b) a⃗⃗ x c⃗⃗ 
c) b⃗⃗ x c⃗⃗ 
d) a⃗⃗.(b⃗⃗ x c⃗⃗) 
e) (a⃗⃗ x b⃗⃗).c⃗⃗
 
3. Dados os vetores �⃗� = (1, 1, 2), �⃗⃗� = (3, 1, −1) 𝑒 𝑐 = (0, 2, 1), encontre: 
a) c⃗⃗ x b⃗⃗ 
b) b⃗⃗ x (c⃗⃗ - a⃗⃗) 
c) (a⃗⃗ + b⃗⃗) x (b⃗⃗ - c⃗⃗) 
32 
 
4. Dados os vetores �⃗� = 3𝑖 − 𝑗 − 2�⃗⃗�, �⃗⃗� = 2𝑖 + 4𝑗 − �⃗⃗� e 𝑐 = −𝑖 + �⃗⃗�, determinar: 
a) |a⃗⃗ x a⃗⃗| 
b) (2b⃗⃗) x (3b⃗⃗) 
c) (a⃗⃗ x c⃗⃗⃗ ⃗)+(c ⃗⃗⃗x a⃗⃗) 
d) (a⃗⃗ - b⃗⃗⃗⃗ ) x c⃗⃗ 
e) (a⃗⃗ x b⃗⃗⃗⃗ ) x c⃗⃗⃗ ⃗ 
f) �⃗� x (�⃗⃗� + 𝑐) 
g) �⃗� x �⃗⃗� + �⃗� x c⃗⃗ 
h) (a⃗⃗ x b⃗⃗).b⃗⃗ 
i) (a⃗⃗ x b⃗⃗).c⃗⃗ 
j) a⃗⃗.(b⃗⃗ x c⃗⃗) 
 
 
5. Efetuar: 
a) 𝑖 x k⃗⃗ 
b) i⃗ x j⃗ 
c) j⃗ x (2i⃗) 
d) (3i⃗)x (2k⃗⃗) 
e) (3i⃗)x (2j⃗) 
f) (i⃗ x j⃗)x j⃗ 
g) i⃗ x (j⃗ x j⃗) 
 
6. Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, 0, 1) e C(2, -1, -3), determinar o ponto D tal que AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ x AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 
 
7. Determinar o vetor �⃗� tal que �⃗�. �⃗� = −7 e �⃗� x �⃗⃗� = (3, 5, −2), sabendo que �⃗� = (1, 4, −3) e �⃗⃗� =
(4, −2, 1). 
 
8. Dados os vetores �⃗⃗� = (3, −1, 2) e �⃗� = (−2, 2, 1), calcular a área do paralelogramo determinado 
por �⃗⃗� 𝑒 �⃗�. 
 
9. Sendo |�⃗⃗�| = 4 e |�⃗�| = 3 e o ângulo entre �⃗⃗� e �⃗� é igual a 150°, calcular a área do triângulo 
construído sobre �⃗⃗� e �⃗�. 
10. Calcular a área dotriângulo construído sobre �⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗 + �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� = −𝑖 + 𝑗 − �⃗⃗�. 
 
11. Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por �⃗⃗� = (𝑚, −3, 1)𝑒 �⃗� =
(1, −2, 2) seja igual a √26. 
 
12. No triângulo de vértices A(0, 0, 2), B(3, -2, 8) e C(-3, -5, 10) , calcular: 
a) A medida dos lados a, b e c; 
b) A medida dos ângulos �̂�, 𝐵 ̂e �̂�; 
33 
 
c) A área do triângulo. 
13. Calcular a área do triângulo eqüilátero ABC de lado igual a 10 e o ângulo no vértice A é igual a 
60°. 
 
14. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados: 
 
a) A(-4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0,- 1, 3) b) A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0) 
 
15. Achar o vetor a⃗⃗ tal que a⃗⃗. b⃗⃗ = 6 e a⃗⃗ x c⃗⃗⃗ = (2,12,3) , sabendo que as componentes do vetor 
b⃗⃗ = (0,4,5) e do vetor c⃗ = (3, 0, −2). 
 
16. Achar o vetor |a⃗⃗|, conhecendo |a⃗⃗xb⃗⃗| = 4√2, |b⃗⃗| = 2 e o ângulo entre a⃗⃗ e b⃗⃗ é igual a 45º. 
 
17. Dados os vetores a⃗⃗ = (1, 1, 0) e b⃗⃗ = (−1, 1,2), determinar um vetor ortogonal a a⃗⃗ e b⃗⃗. 
 
18. Determinar um vetor concomitantemente perpendicular ao vetor u⃗⃗ + v⃗⃗ e 2v⃗⃗ − u⃗⃗ , sendo u⃗⃗ =
(1, 1, 0) e v⃗⃗ = (2, 0, −1). 
 
19. Calcular a altura relativa ao vértice B do triângulo de vértices A(2, 4, 0), B(0, 2, 4) e C(6, 0, 2). 
 
 
Respostas 
1. a)(7, -3, -5) b) (-7, 3, 5) c) √83 d) √83 2. a) (5, 1, -2) b) (0, -1, 2) c) (-10, -6, 7) 
d) -5 e) -5 3. a) (-3, 3, -6) b) (0, 4, 4) c) (-3, 11, -10) 4. a) 0 b) 0⃗⃗ c) 0⃗⃗ 
d) (-5, 0, -5) e) (-1, -23, -1) f)(8, -2, 13) g) (8, -2, 13) h) 0 i) 5 j) 5 5. a) −𝑗 
b) �⃗⃗� c) −2�⃗⃗� d) −6𝑗 e) 6�⃗⃗� f) −𝑖 g) 0⃗⃗ 6. D(-4, -1, 1) 7. �⃗� = (3, −1, 2) 
8. 3. √10 9. A = 3 u.a. 10. 
√2
2
 u. a. 11. m = 0 ou m = 2 12. a) 7; 7√2; 7 b) 
45°; 90º; 45° c) A = 
49
2
u. a. 13. 25. √3 u.a. 14. a) 𝐴 = √35 𝑢. 𝑎. e ℎ = 
√210
3
 𝑢. 𝑐. b) 
𝐴 = 
7
2
 𝑢. 𝑎. e ℎ = 
7√5
5
 𝑢. 𝑐. 15. a⃗⃗ = (3, −1, 2) 16. |a⃗⃗| = 4 17. (2,-2,2) 18. (-3, 3, -
6) 19. h= 
10√2
3
 u.c. 
 
 
 
 
 
 
34 
 
PRODUTO MISTO 
 
Definição: Dados os vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) , �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e �⃗⃗⃗� = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3), o produto misto (ou 
a multiplicação mista) destes três vetores é o número real é representado por �⃗⃗�. (�⃗� x 𝑤⃗⃗⃗⃗⃗), quando 
tomados nessa ordem. 
O produto misto de �⃗⃗� , �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� também é indicado por (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) e para calculá-los, basta resolvermos o 
determinante formado pelas coordenadas dos três vetores em questão. Tendo em vista que: 
�⃗�𝑥�⃗⃗⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| = |
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| 𝑖 − |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| 𝑗 + |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| �⃗⃗� (definição do produto vetorial) 
Então: 
�⃗⃗�. (�⃗�x�⃗⃗⃗�) = 𝑥1 |
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| − 𝑦1 |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| + 𝑧1 |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| (aplicação do produto escalar) 
Logo, 
 �⃗⃗⃗�. (�⃗⃗⃗�x�⃗⃗⃗⃗�) = |
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
𝒙𝟑 𝒚𝟑 𝒛𝟑
| 
PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO 
As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes. 
 O produto misto (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. 
Se hipoteticamente tivermos (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) = 27, então (�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗⃗�) = -27. Então, se num produto 
misto (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) ocorrer: 
o Uma permutação de vetores, haverá mudança de sinal do produto misto. 
o Duas permutações de vetores, não haverá alteração no valor do produto 
misto. 
Resulta desta propriedade que os sinais (.) e (x) podem ser permutados, isto é, �⃗⃗⃗�. (�⃗⃗⃗�x�⃗⃗⃗⃗�) =
(�⃗⃗⃗�x�⃗⃗⃗�). �⃗⃗⃗⃗�. 
 (�⃗⃗� + �⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) = (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) + (�⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) 
 (�⃗⃗�, �⃗� + �⃗�, �⃗⃗⃗�) = (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) + (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) 
 (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗� + �⃗�) = (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) + (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗�) 
 (∝ �⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) = (�⃗⃗�, ∝ �⃗�, �⃗⃗⃗�) = (�⃗⃗�, �⃗�, ∝ �⃗⃗⃗�) =∝ (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) 
 (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) = 0 se: 
 Pelo menos um dos vetores for nulo; 
 Se �⃗⃗�, �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� forem coplanares , ou seja, estão no mesmo plano; 
 Se dois deles forem paralelos. 
35 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO 
 
Volume do Paralelepípedo 
Geometricamente, o produto misto �⃗⃗�. (�⃗� x 𝑤⃗⃗⃗⃗⃗)é igual 
a, em módulo, ao volume do paralelepípedo de 
arestas determinadas pelos vetores não-coplanares 
u⃗⃗, v⃗⃗ e w⃗⃗⃗⃗. Ou seja, o volume do paralelepípedo é igual: 
𝑽 = |(�⃗⃗⃗�, �⃗⃗⃗�, �⃗⃗⃗⃗�)| 
 
Volume do Tetraedro 
Decorrente do exposto até então, podemos calcular o 
volume do tetraedro gerado por três vetores não-
coplanares. 
𝑽 =
|(�⃗⃗⃗�, �⃗⃗⃗�, �⃗⃗⃗⃗�)|
𝟔
 
 
Para calcular a altura relativa à base �⃗⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗⃗�, teremos: 𝒉 =
(�⃗⃗⃗�,�⃗⃗⃗�,�⃗⃗⃗⃗�)
|�⃗⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗⃗�|
 
Exemplo 
1. Calcular o produto misto dos vetores �⃗⃗� = (2, 3, 5), �⃗� = (−1, 3, 3) 𝑒 �⃗⃗⃗� = (4, −3, 2). 
2. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores �⃗⃗� = (2, 0, 0), �⃗� =
(0, 7, 0) 𝑒 �⃗⃗⃗� = (0, 0, 5). 
3. Sejam A(1, 2, -1), B(5, 0, 1), C(2, -1, 1) e D(6, 1, -3) vértice de um tetraedro. Calcular o 
volume deste tetraedro. 
Exercícios 
1. Dados os vetores �⃗⃗� = (3, −1, 1), �⃗� = (1, 2, 2) e �⃗⃗⃗� = (2, 0, −3), calcular: 
a) (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�) b) (�⃗⃗⃗�, �⃗⃗�, �⃗�) 
 
2. Calcule o produto misto (�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�), sabendo que �⃗⃗� = (3, −1, 2), �⃗� = (2, 1, 0) e �⃗⃗⃗� = (0, 1, −1). 
 
3. Dados os vetores �⃗⃗� = (1, 1, 2), �⃗� = (3, 1, −1) e �⃗⃗⃗� = (0, 2, 1), calcule: 
a) �⃗⃗�. (�⃗�x�⃗⃗⃗�) b) (�⃗⃗⃗�, �⃗⃗�, �⃗�) c) (�⃗⃗�, �⃗⃗⃗�, �⃗�) 
 
4. Verifique se são coplanares os vetores: 
a) �⃗⃗� = (1, −1, 2), �⃗� = (2, 2, 1) e �⃗⃗⃗� = (−2, 0, 4) 
b) �⃗⃗� = (2, −1, 3), �⃗� = (3, 1, −2) e �⃗⃗⃗� = (7, −1, 4) 
5. Dados os pontos abaixo, verifique se são coplanares: 
36 
 
a) A(1, 1, 0) , B(0, 2, 3) , C(2, 0, -1) e D(-1, 3, 5) 
b) A(1, 1, 1) , B(1, 2, 1) , C(3, 0, 1) e D(5, 7, 10) 
 
6. Qual é o valor de m para que os vetores �⃗⃗� = (3, −1, 𝑚), �⃗� = (2, 𝑚, 0) e �⃗⃗⃗� = (1, 1, 𝑚) sejam 
coplanares? 
 
7. Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores �⃗⃗� = (2, 0, 0) , �⃗� = (0, 3, 0) e �⃗⃗⃗� =
(1,1,2) 
 
8. Determine o volume do tetraedro de vértices O(0, 0, 0) , A(6, 0, 0) , B(0, 6, 0) e C(0, 0, 6). 
 
9. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores �⃗⃗� = (3, −1, 4), �⃗� = (2, 0, 1) e �⃗⃗⃗� = (−2, 1, 5) . 
Calcular o seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores �⃗⃗� e �⃗�. 
 
10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
�⃗� = −𝑗 + 2�⃗⃗� , �⃗⃗� = −4𝑖 + 2𝑗 − �⃗⃗� e 𝑐 = 3𝑖 + 𝑚𝑗 − 2�⃗⃗� seja igual a 33. Calcular a altura deste 
paralelepípedo relativa à base definida por �⃗� e �⃗⃗� . 
 
11. Sabendo que os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (2, 1, −4) , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑚, −1, 3) e 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−3, 1, −2), determinam um 
tetraedro de volume 3. Calcular o valor de m. 
 
12. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores 𝑖, 𝑗 𝑒 �⃗⃗�. 
 
13. Determinar x para que o ponto A pertença ao plano BCD. Dados A(4, 5, x), B(-4, 4, 4), 
C(0,-1,-1) e D(3, 9, 4). 
 
14. Três vértices de um tetraedro de volume 6 são A(-2, 4 -1), B(-3, 2, 3), C(1, -2, -1). Determinar o 
quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy. 
 
15. Dados os pontos A(2, 1, 1), B(-1, 0, 1) e C(3, 2, -2), determinar o ponto D do eixo Oz paraque 
o volume do paralelepípedo determinado por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ seja 25 u.v. 
 
16. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A(2, 0, 0), B(2, 4, 0), C(0, 3, 
0) e P(2, -2, 9). Qual é a altura relativa ao vértice P? 
 
17. Calcule a distância do ponto D(2, 5, 2) ao plano determinado pelos pontos A(3, 0, 0), B(0, -3, 
0) e C(0, 0, 3). 
Respostas 
1.a) -29 b) -29 2. a) -1 3. a) 12 b) 12 c) -12 4. a) Não b) Sim 5. 
a) Sim b) Não 6. m = 0 ou m = -2 7. V = 12 u.v. 8. V = 36 u.v. 9. V = 17 
u.v. h = 
17√30
30
 u.c. 10. m =4 ou m = −
17
4
 e h = 
33√89
89
 𝑢. 𝑐. 11. m = −
17
2
 ou m = 
19
2
37 
 
 12. V = 1u.v. 13. 1 14. D(0, 2, 0) ou D(0, -4, 0) 15. D(0, 0, -10) ou D(0, 0, 15) 
16. 12 u.v. e 9 u.c. 17. 
4
√3
 𝑢. 𝑐. 
 
COMINAÇÃO LINEAR 
 
 
 
Sejam os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ do 
espaço vetorial V e os escalares a1, a2, 
...,an. Qualquer vetor �⃗� ∈ V da forma: 
 
 
é uma combinação linear dos vetores 
𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗⃗. 
 
Exemplo: Escrever o vetor �⃗� =
(−4, −18, 7) como combinação linear dos 
vetores �⃗⃗� = (1, −3, 2) e �⃗�1 = (2, 4, −1). 
 
 
Dependência Linear 
 
Definição: Consideremos n vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑛 ≥ 2, de um certo espaço vetorial (ℜ
2 ou ℜ3). 
Dizemos que o conjunto {𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗⃗} é Linearmente Dependente (LD) quando um dos seus 
vetores é combinação linear dos outros. 
Dizemos que o conjunto { 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ }é Linearmente Independente (LI) quando não é 
linearmente dependente, admite apenas a solução trivial. 
 
Dependência Linear de dois vetores 
Decorre da definição que dois vetores �⃗⃗� 𝑒 �⃗�, do ℜ2 ou ℜ3, são linearmente dependente 
quando um é múltiplo do outro, isto é, quando são paralelos. 
No ℜ2, sendo �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 �⃗� = (𝑥2, 𝑦2), temos: 
�⃗⃗⃗� = 𝒂𝟏𝒗𝟏⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒂𝟐𝒗𝟐⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝒂𝒏𝒗𝒏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
38 
 
 �⃗⃗� 𝑒 �⃗� linearmente dependente quando 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
 (𝑥2𝑦2 ≠ 0) 
 �⃗⃗� 𝑒 �⃗� linearmente independente quando 
𝑥1
𝑥2
≠
𝑦1
𝑦2
 (𝑥2𝑦2 ≠ 0) 
No ℜ3, sendo �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑒 �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), temos: 
 �⃗⃗� 𝑒 �⃗� linearmente dependente quando 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
 (𝑥2𝑦2𝑧2 ≠ 0) 
 �⃗⃗� 𝑒 �⃗� linearmente independente quando 
𝑥1
𝑥2
≠
𝑦1
𝑦2
 𝑜𝑢 
𝑦1
𝑦2
 ≠
𝑧1
𝑧2
 (𝑥2𝑦2𝑧2 ≠ 0) 
 
 
 
Dependência Linear de três vetores no ℜ3 
 Três vetores �⃗⃗�, �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗�, do ℜ3, são linearmente dependente quando são coplanares. Assim, 
sendo �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)𝑒 �⃗⃗⃗� = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3), teremos: 
 �⃗⃗�, �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� linearmente dependente quando (�⃗⃗�, �⃗� , �⃗⃗⃗�) = 0 
 �⃗⃗�, �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� linearmente independente quando (�⃗⃗�, �⃗� , �⃗⃗⃗�) ≠ 0 
 
Exercícios 
1. Escrever o vetor �⃗⃗⃗� = (2, 13) como combinação linear de �⃗⃗� = (1, 2)𝑒 �⃗� = (−1, 1). 
2. Escrever o vetor �⃗⃗⃗� = (10, 7, 4) como combinação linear de �⃗⃗� = (1, 0, 1), �⃗� = (1, 1, 1) 𝑒 𝑠 =
(0, −1, 1). 
3. Calcular o valor de k para que o vetor �⃗⃗⃗� = (3, 4, 𝒌) seja combinação linear de �⃗⃗� = (1, 1, 2), �⃗� =
(0, 2, 1). 
4. Para qual valor m o vetor �⃗⃗� = (1, −2, 𝒎) é uma combinação linear dos vetores �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗�, sabendo 
que �⃗� = 3𝑖 − 2�⃗⃗� e �⃗⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗 − 5�⃗⃗�? 
5. Verificar se o vetor �⃗� = (6, 6, −1) é combinação linear de �⃗⃗� = (2, 0, −1)𝑒 𝑐 = (0, 3, 1). 
6. Verificar se os vetores �⃗� 𝑒 �⃗⃗� são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes 
(LI) nos casos abaixo: 
a) �⃗� = (1, 2) 𝑒 �⃗⃗� = (3, 6) 
b) �⃗� = (6, 8) 𝑒 �⃗⃗� = (−2, −3) 
c) �⃗� = (2, 1, 3) 𝑒 �⃗⃗� = (4, 2, 5) 
d) �⃗� = (4, 6, −8) 𝑒 �⃗⃗� = (−2, −3, 4) 
 
7. Nos casos abaixo, verificar se os vetores são LD ou LI: 
39 
 
a) �⃗⃗� = (2, 1, 0), �⃗⃗� = (−1, 1, 1)𝑒 �⃗⃗⃗� = (0, 3, 2) 
b) �⃗⃗� = (1, 1, 2), �⃗⃗� = (1, 0, 1)𝑒 �⃗⃗⃗� = (0, 1,3) 
c) �⃗⃗� = (0, 1, 2), �⃗⃗� = (1, 2, 3)𝑒 �⃗⃗⃗� = (2, 3, 4) 
8. Determinar o valor de m para que os vetores �⃗� = (𝒎, 1, 0), �⃗⃗� = (2, 2, 3)𝑒 𝑐 = (−1, 0 ,2) sejam LD. 
 
Respostas: 1. �⃗⃗⃗� = 5�⃗⃗� + 3�⃗� 2. �⃗⃗⃗� = 9�⃗⃗� + �⃗� − 6𝑠 3. 𝑘 = 
13
2
 4. m = -8 5. Sim. 
�⃗� = 3�⃗⃗� + 2𝑐 6. a) LD b) LI c) LI d) LD 7. a) LD b) LI c) LD 8. 𝑚 =
7
4
 
 
 
40 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
PONTO 
 
Se �⃗� é um vetor que vai do ponto A(a, b) para o ponto B(x, y) então: 
 
�⃗� = (𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏) = (𝑥, 𝑦) − (𝑎, 𝑏) = 𝐵 − 𝐴 , logo, 
 𝐵 = �⃗� + 𝐴 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
Dados os pontos A(x1, y1 ,z1) e B(x2, y2, z2), a distância d entre eles é |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |. 
Como 
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = B – A = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) tem-se 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
1. Determinar a distância entre A e B, nos casos abaixo: 
a) A(-2, 0, 1) e B(1, -3, 2) (Resp.: √19 ) 
b) A(1, 0, 1) e B(2, -1, 0) (Resp.: √3 ) 
 
 
 
 
𝒅(𝑨,𝑩) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)𝟐 
41 
 
ESTUDO DA RETA 
 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
Definição: Qualquer vetor não-nulo paralelo a uma reta chama-se VETOR DIRETOR dessa reta. 
Considerando um ponto A(x1 , y1 , z1) e um vetor diretor �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Só existe uma reta r que passa 
por A e tem a direção de �⃗�. Um ponto P(x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo a �⃗� , 
ou seja se e , somente se, existe um número real 𝝀 tal que, 
 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝝀�⃗⃗⃗� (1) 
Isso equivale a 
 𝑷 − 𝑨 = 𝝀�⃗⃗⃗� , assim teremos: 
 (2) 
 
Também podemos escrevê-la em coordenadas: 
 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝝀(𝒂, 𝒃, 𝒄) + (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) (3) 
 
Definição: A equação 𝑷 = 𝝀�⃗⃗⃗� + 𝑨 é denominada EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA r ou EQUAÇÃO DA 
RETA r NA FORMA VETORIAL. 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E SIMÉTRICAS DA RETA 
Da equação vetorial da reta (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝝀(𝒂, 𝒃, 𝒄) + (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) ou ainda (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂𝝀 + 𝒙𝟏, 𝒃𝝀 +
𝒚𝟏, 𝒄𝝀 + 𝒛𝟏) pela condição de igualdade, obtém-se: 
 {
𝒙 = 𝒙𝟏 + 𝒂𝝀
𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒃𝝀
𝒛 = 𝒛𝟏 + 𝒄𝝀
 (4) 
 
Definição: O sistema de equação (4) é chamado de SISTEMA EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA r ou 
SISTEMA DE EQUAÇÃO DA RETA r NA FORMA PARAMÉTRICA. 
Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor de r é nula, podemos isolar 𝝀 no primeiro membro de 
cada uma das equações: 
𝜆 = 
𝑥−𝑥1
𝑎
 𝜆 = 
𝑦−𝑦1
𝑏
 𝜆 = 
𝑧−𝑧1
𝑐
 , portanto, 
 (5) 
𝒙 − 𝒙𝟏
𝒂
=
𝒚 − 𝒚𝟏
𝒃
= 
𝒛 − 𝒛𝟏
𝒄
 
𝑷 = 𝝀�⃗⃗⃗� + 𝑨 
42 
 
Definição: O sistema de equações (5) é chamado de sistema de EQUAÇÕES DA RETA r NA FORMA 
SIMÉTRICA. 
 
Observação: sob a hipótese de a = b = c ≠ 0 cada sistema de equações de r na forma paramétrica dá origem a 
um sistema de equação de r na forma simétrica. 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 
 
Em vez de realizar um tratamento genérico, tomaremos um caso particular. 
Seja a reta r definida pelo ponto A(2, -4, -3) e pelo vetor diretor �⃗� = (1, 2, −3) e expressa pelas 
equações simétricas: 
𝑟: 
𝑥 − 2
1
=
𝑦 + 4
2
=
𝑧 + 3
−3
 
 
A partir destas equações pode-se expressarduas variáveis em função da terceira. Isolando, 
primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtém-se: 
𝑥−2
1
=
𝑦+4
2
 
1. (𝑦 + 4) = 2. (𝑥 − 2) 
𝑦 + 4 = 2𝑥 − 4 
𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟖 
 
As equações {
𝑦 = 2𝑥 − 8
𝑧 = −3𝑥 + 3
 são EQUAÇÕES REDUZIDAS da reta r, na variável x. 
 
 
Logo, equações reduzidas na variável x serão sempre da forma: {
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏
𝒛 = 𝒑𝒙 + 𝒒 . 
 
 
 
RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS 
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
RETAS ORTOGONAIS 
Dadas as retas r e s, sejam �⃗⃗� 𝑒 �⃗� vetores diretores de r e s, respectivamente. Então elas fazem ângulo 
reto se e somente se �⃗⃗� ⊥ �⃗�. Indicamos r ⊥ 𝑠, assim temos: 
𝒓 ⊥ 𝒔 ⇔ �⃗⃗⃗�. �⃗⃗⃗� = 𝟎 
 
𝑥 − 2
1
=
𝑧 + 3
−3
 
1. (𝑧 + 3) = −3. (𝑥 − 2) 
𝑧 + 3 = −3𝑥 + 6 
𝒛 = −𝟑𝒙 + 𝟑 
43 
 
Observação: Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na figura ao lado, as retas r1 e r2 são 
ortogonais a r. Porém r2 e r são concorrentes. Neste caso, diz-se que são perpendiculares. 
 
 
 
 
RETAS ORTOGONAIS A DUAS RETAS 
 Sejam as retas r1 e r2 não-paralelas, com as direções 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, respectivamente. Toda reta r ao mesmo 
tempo ortogonal a r1 e r2 terá direção de um vetor �⃗� tal que: 
 {
�⃗�. 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
�⃗�. 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
 
Em vez de tomarmos um vetor �⃗� ≠ 0 como uma solução particular do sistema acima citado, 
poderíamos utilizar o produto vetorial, isto é: 
 
 
Definindo um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos. 
 
RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS 
 
Uma reta é paralela a um dos planos x0y (x, y, 0), x0z (x, 0, z) ou y0z (0, y, z) se seus vetores diretores 
forem paralelos ao correspondente plano. Neste casos uma das componentes do vetor é nula . 
 
 
RETAS PARALELAS AOS EIXOS COORDENADOS 
Uma reta é paralela a um dos eixos 0x, 0y ou 0z se seus vetores diretores forem paralelos as bases 
canônicas. Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas. 
*Lembrando bases canônicas são representadas pelos vetores 𝑖 = (1, 0, 0); 𝑗 = (0, 1, 0); �⃗⃗� = (0,0, 1). 
 
ÂNGULOS ENTRE RETAS 
 
Vamos considerar agora retas r e s não ortogonais. Então a medida 𝜃 em radianos do ângulo agudo 
entre elas é tal que 
 
 
 
 
Lembrando que �⃗⃗� 𝑒 �⃗� vetores diretores de r e s, respectivamente. 
�⃗⃗⃗� = 𝒗𝟏⃗⃗ ⃗⃗⃗ x 𝒗𝟐⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
|�⃗⃗⃗�. �⃗⃗⃗�|
|�⃗⃗⃗�|. |𝒗|⃗⃗⃗⃗
 para 𝟎 ≤ 𝜽 ≤
𝝅
𝟐
 
44 
 
INTERSECÇÃO DE RETAS 
As retas são concorrentes se e somente se o sistema formado pelas equações de r e s tiver solução única. 
 
 
DISTÂNCIA DE PONTO E RETA 
 
Dado um ponto P do espaço e uma reta r, vamos calcular a distância d(P, r) de P a r. Consideremos na 
reta r um ponto A e um vetor diretor �⃗�. Os vetores �⃗� e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ determinam um paralelogramo cuja altura 
corresponde à distância d(P, r). 
A área do paralelogramo é dada por: 
A = (base).(altura) = |�⃗�|.d (1) 
A = |�⃗� x 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (2) 
Comparando (1) e (2) teremos: 
 (2) 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS 
 
Dadas as retas r e s, vamos achar a distância d(r, s) entre elas. Sejam �⃗⃗� e �⃗� vetores diretores de r e s, 
respectivamente, e consideremos �⃗⃗� x �⃗�. 
 
1º caso: �⃗⃗� x �⃗� = 0 
Neste caso, �⃗⃗� //�⃗�, logo r // s. Então teremos: 
d(r, s) = d (P, s), com P ∈ r ou 
d(r, s) = d (P, r) , com P ∈ s 
2º caso: �⃗⃗� x �⃗� ≠ 0⃗⃗ 
Neste caso �⃗⃗� e �⃗� não são paralelos, e portanto r e s ou são concorrentes ou reversas. 
 Definimos como concorrentes quando d(r, s) = 0 
 Definimos como reversas para a seguinte situação: Seja r a reta definida pelo ponto A e pelo vetor diretor 
�⃗� e a reta s pelo ponto B e pelo vetor diretor �⃗⃗�.Os vetores �⃗�, �⃗⃗� 𝑒 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , por não serem coplanares, determinam 
𝒅 = 𝒅(𝑷, 𝒓) = 
|�⃗⃗⃗� x 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
|�⃗⃗⃗�|
 
�⃗⃗⃗� 
P 
A 
d 
d 
r 
s 
P 
45 
 
um paralelepípedo, cuja a altura é a distância d(r, s) que se quer calcular ( a reta s é paralela ao plano da base 
do paralelepípedo definida por �⃗� 𝑒 �⃗⃗�. O volume V do paralelepípedo é dado por 
V = (área da base).(altura) = |�⃗� x �⃗⃗�|. 𝑑 (a) 
V = |�⃗�, �⃗⃗�, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | (b) 
Comparando (a) e (b) temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
1. São dados os A(1, 3, -1) e �⃗� = (1, 1, 5). Escreva a equação vetorial da reta por A paralela a �⃗�. 
 
2. Escreva a equação vetorial e paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B sendo: 
a) A(-4, 1, 2) e B(1, 1, 3) 
b) A(3, -1, 4) e B(4, 0, 5) 
c) A(-1, 5, 7) e B(8, 1, 9) 
d) A(0, 1, 3) e B(-1, -1, 2) 
e) A(-1, -2, -3) e B(8, 9, 10) 
 
3. Escreva a equação paramétrica da reta que passa pro A(1, 0, 3) e pelo ponto médio do segmento BC, sendo 
B(1, 7, 8) e C(1, -7, 2). 
 
4. Escreva a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e tem �⃗� como vetor diretor, 
nos casos abaixo: 
 
a) A(-1, -2, -3), B(1, 3, 5) e �⃗� = (2, 0, 3) 
b) A(-2, -2, 4), B(2, 2, 4) e �⃗� = (1, 0, 0) 
c) A(9, 9, 0), B(1, -1, 1) e �⃗� = (0, 2, 3) 
d) A(0, 1, 0), B(1, 0, 1) e �⃗� = (2, −1, −4) 
 
5. Observe a equação paramétrica da reta r abaixo: 𝑟: {
𝑥 = 2 + 3𝜆
𝑦 = −1 + 2𝜆
𝑧 = 10 − 𝜆
 
a) Calcule dois pontos e um vetor diretor de r. 
b) Verifique se os pontos 𝑃 (
7
2
, 0,
19
2
) e Q(5, 1, 8) pertencem a reta. 
𝒅 = 𝒅(𝒓, 𝒔) =
|(�⃗⃗⃗�, �⃗⃗⃗�, 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)|
|�⃗⃗⃗� x �⃗⃗⃗�|
 
46 
 
6. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da equação paramétrica e verifique se os pontos P( 1, 3, -3) e 
Q(-3, 4, 12) pertencem a reta. 
𝑟: {
𝑥 = 1 − 𝜆
𝑦 = 𝜆
𝑧 = 4 + 2𝜆
 
7. Determinar se são ortogonais ou não as retas r e s, nos seguintes casos: 
a) 𝑟: 𝑥 = 2𝜆 𝑦 = 1 − 𝜆 𝑧 = 1 
𝑠: 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 1 + 2𝜆 𝑧 = 30 + 10𝜆 
 
b) 𝑟: 𝑥 = 2 − 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 1 + 3𝜆 
𝑠: 𝑥 = 2𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 10 +
𝜆
3
 
 
c) 𝑟: 𝑥 = 2 − 2𝜆 𝑦 = 0 𝑧 = 6𝜆 𝑠: 
𝑥−1
2
= 𝑦 = 𝑧 
 
d) 𝑟: 
1−2𝑥 
5
= 𝑦 = 𝑧 𝑠: 
𝑥
2
=
𝑦
3
=
𝑧
2
 
 
 
8. Determinar m de modo que sejam ortogonais as retas r e s, nos casos abaixo: 
a) 𝑟: 
2𝑥−1
2
= 3 − 𝑦 = 2 − 𝑧 𝑠: 𝑥 = 𝑚𝜆 𝑦 = 3 𝑧 = 1 − 𝜆 
 
b) 𝑟: 𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 2 + 𝜆 𝑧 = 3 𝑠: 
𝑥
𝑚
=
𝑦
2𝑚
= 𝑧 − 1 
 
c) 𝑟: 
𝑥−1
2
=
𝑦−3
𝑚
=
𝑧−4
2𝑚
 𝑠: 
𝑥
𝑚
=
2𝑦−1
4𝑚
= 𝑧 
 
 
9. Calcule a medida em graus do ângulo entre as retas r e s, dadas respectivamente por: 
 
a) 𝑟: 𝑥 = 2 𝑦 = 3 + 𝜆 𝑧 = −𝜆 𝑠: 𝑥 = 2 + 𝜆 𝑦 = 3 + 𝜆 𝑧 = 3 
 
10. Calcule cos θ, sendo θ a medida do ângulo entre as retas r e s: 
a) 𝑟: 
𝑥
2
=
𝑦
3
=
𝑧−1
4
 𝑠: 
𝑥−1
2
= 𝑦 =
𝑧−10
2
 
 
b) 𝑟: 𝑥 = 2𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 3 − 𝜆 𝑠: 
2𝑥−1
4
=
𝑦
6
= 𝑧 − 2 
 
c) 𝑟: 𝑥 = 2 𝑦 = 1 − 3𝜆 𝑧 = 2𝜆 𝑠: 𝑥 = 1 𝑦 = 2𝜆 𝑧 = 3 − 3𝜆 
 
d) 𝑟: 𝑋 = (1, 0, 1) + 𝜆(−2, 2, 1)𝑠: 𝑋 = (0, 1, 0) + 𝜆(2, 2, 1) 
 
 
11. Verifique se as retas r e s são concorrentes. Em caso afirmativo calcule o ponto de intersecção. 
a) 𝑟: 𝑥 = 5 − 2𝜆 𝑦 = 3 − 𝜆 𝑧 = 𝜆 𝑠: 𝑥 = 2 + 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑧 = 3 − 𝜇 
 
47 
 
b) 𝑟: 𝑥 = 2𝜆 𝑦 = 1 − 𝜆 𝑧 = 0 𝑠: 𝑥 = 1 + 𝜇 𝑦 = 1 − 𝜇 𝑧 = −1 + 𝜇 
 
c) 𝑟: 
𝑥
2
=
𝑦−1
3
=
𝑧−2
5
 𝑠: 
𝑥−4
6
=
𝑦
9
=
𝑧−2
15
 
 
d) 𝑟: 𝑥 = 1 + 𝜆 𝑦 = 1 − 𝜆 𝑧 = 𝜆 𝑠: 𝑥 − 1 = 𝑦 − 1 = 𝑧 
 
12. Achar a distância do ponto P à reta s, nos casos abaixo: 
 
a) P(2, 3, -1) e s: x = 3 + t y = -2t z = 1 – 2t 
b) P(1, -1, 0) e s: x = 2 – t y = 0 z = t 
c) P(3, 2, 1) e s: y = 2x z = x + 3 
 
 
13. Calcular a distância entre s e r, nos casos abaixo: 
a) s: x = 2 – t y = 3 + t z = 1 – 2t e r: x = t y = -1 – 3t z = 2t 
b) s: x = y = z e r: y = x + 1 z = 2x – 1 
c) s: y = 2x z = 3 e r: (x, y, z) = (2, -1, 2) + t(1, -1, 3) 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS – RETA 
1. Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2, -3, 4) e B(1, -1, 2) e verifique se os pontos 
C(
5
2
, −4, 5) e D(-1, 3, 4) pertencem a r. 
 
 
2. Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(1, 2, 3)e é paralela à reta r: (x, y, z) = (1, 4, 3)+t(0,0,1). 
 
3. Dada a reta r: {
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 3 − 𝑡
𝑧 = −4 + 2𝑡
 , determinar o ponto de r tal que: 
 
a) A ordenada seja 6; 
b) A abscissa seja igual à ordenada; 
c) A cota seja o quádruplo da abscissa. 
 
4. A reta r passa pelo ponto A(4, -3, -2) e é paralela à reta 𝑠: {
𝑥 = 1 + 3𝑡
𝑦 = 2 − 4𝑡
𝑧 = 3 − 𝑡
 . Se P(m, n, -5)є r, determinar m e n. 
 
5. Determinar equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: 
a) A(1, -1, 2) e B(2, 1, 0) 
b) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2) 
c) A(3, 1, 4) e B(3, -2, 2) 
d) A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0) 
 
 
 
48 
 
6. Com base na figura ao lado, escrever equação da reta: 
a) A e B (forma paramétrica) 
b) C e D (forma simétrica) 
c) A e D (forma reduzida) 
d) B e C (forma simétrica) 
e) D e E (forma simétrica) 
f) B e D(forma reduzida)
 
 
 
7. O ponto P(m, 1, n ) pertence a reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Determinar P. 
 
8. Seja o triângulo de vértices A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, -1, 4). Escrever equações paramétricas da reta que 
passa pelo ponto médio de lado AB e pelo vértice oposto C. 
 
9. Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1, 1, 3), B(2, 1, 4) e C(3, -1, -1). Obter equações paramétricas 
dos lados AB, AC e BC e da reta r que cotem a mediana relativa ao vértice B. 
 
10. Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem à reta 𝑟: 
𝑥−3
−1
=
𝑦+1
2
=
𝑧−2
−2
. 
 
11. Determinar o ponto da reta 𝑟: 
𝑥−1
2
=
𝑦+3
−1
=
𝑧
4
 que possui: 
a) Abscissa 5; 
b) Ordenada 2. 
 
12. Obter o ponto de abscissa 1 da reta 𝑠: 
2𝑥+1
3
=
3𝑦−2
2
= 𝑧 − 4 . 
 
13. Obter equações reduzidas na variável x, da reta 
a) Que passa por A(4, 0, -3) e tem direção de �⃗� = (2, 4, 5); 
b) Pelos pontos A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1); 
c) Pelos pontos A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3); 
d) Dada por {
𝑥 = 2 − 𝜆
𝑦 = 3𝜆
𝑧 = −5 + 4𝜆
 
 
14. Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas: 
a) 𝑟: 
𝑥−2
4
=
𝑦
5
=
𝑧
3
 e 𝑠: {
𝑦 = 𝑛𝑥 + 5 
𝑧 = 2𝑥 − 2
 
b) 𝑟: {
𝑦 = 𝑛𝑥 − 1
𝑧 = 2𝑥
 e s: eixo Oy 
 
15. Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os seguintes casos: 
a) 𝑟1: {
𝑥 = 2𝑚𝜆 − 3
𝑦 = 1 + 3𝜆
𝑧 = −4𝜆
 e 𝑟2: {
𝑥 = 2𝑦 − 1
𝑧 = −𝑦 + 4
 
 
b) 𝑟1: {
𝑦 = 𝑚𝑥 + 3
𝑧 = 𝑥 − 1
 e r2: reta por A(1, 0, m) e B(-2, 2m, 2m) 
49 
 
16. Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas s1 e s2, nos 
casos abaixo: 
a) A(0, 0 , 0) 𝑠1 : 
𝑥
2
=
𝑦
1
=
𝑧−3
2
 e 𝑠2: {
𝑥 = 3𝑡
𝑦 = −𝑡 + 1
𝑧 = 2
 
 
b) A é intersecção de s1 e s2 𝑠1: 𝑥 − 2 =
𝑦+1
2
=
𝑧
3
 e 𝑠2: {
𝑥 = 1 − 𝑦
𝑧 = 2 + 2𝑦
 
 
 
 
 
50 
 
ESTUDO DO PLANO 
 
 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
 
Sendo π um plano, qualquer vetor não-nulo ortogonal a π será chamado de vetor normal a π. 
 
Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano π e �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐), um vetor normal ao plano. Como 
�⃗⃗� ⊥ 𝜋, �⃗⃗� é ortogonal a todo vetor representado em π. Então, um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, o 
vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é ortogonal a �⃗⃗�, isto é, 
 
�⃗⃗�. 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 
�⃗⃗�. (𝑃 − 𝐴) = 0 
(a, b, c).(x-x1, y-y1, z-z1) = 0 
a(x-x1) + b(y-y1) + c( z-z1) = 0 
ax - ax1 +b y - by1 + cz - cz1 = 0 
ax + b y + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0 , fazendo - ax1 - by1 - cz1 = d , 
teremos: 
 
 
 
 
Esta equação é denominada EQUAÇÃO GERAL DO PLANO π. 
 
 
Exemplo: Obter a equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem como vetor normal 
�⃗⃗� = (3,2, −4). 
Resolução: ax + b y + cz + d = 0 
3.2 + 2.(-1) + (-4).3 + d = 0 
6 – 2 – 12 +d = 0 
d = 8 
Então, a equação geral do plano será 3x +2y – 4z + 8 = 0 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
1. Obter a equação geral do plano π que passa pelo ponto A(3, 1, -6) e tem como vetor normal �⃗⃗� = (3,1, −1) 
e resolva os itens abaixo: 
a) O ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3; 
b) O ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2; 
c) O valor de k para que o ponto P(k, 2, k-1)∈ π; 
d) Escreva o ponto P do item c); 
e) O ponto de π que tem abscissa 2 e cuja a ordenada é o dobro da cota; 
f) Determinar o valor da cota, sabendo que a abscissa é 3 e a ordenada é 1. 
 
 
 
ax + b y + cz + d = 0 
 
51 
 
EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 
 
Dado um plano π, tomemos o ponto A(x1, y1, z1) do mesmo e dois vetores �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐)e �⃗� = (𝑜, 𝑝, 𝑞) não 
paralelos, porém paralelos a π. Então para todo ponto P do plano, os vetores 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� 𝑒 �⃗� são coplanares (estão no 
mesmo plano), ou seja, (𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗�, �⃗�) = 0. Um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, existem números 
reais 𝛼 𝑒 𝛽 tal que: 
 
 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼�⃗⃗� + 𝛽�⃗� 
𝑃 − 𝐴 = 𝛼�⃗⃗� + 𝛽�⃗� 
 
 
 
Podemos expressar em coordenadas 
 
 
 (3) 
 
Esta equação é denominada EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO π. Os vetores �⃗⃗� 𝑒 �⃗� são vetores 
diretores de π. 
Da equação (3) obtém-se 
 
(x, y, z) = (x1+ αa + βo, y1 + bα + pβ, z1 + cα + qβ) que pela condição de igualdade, vem 
 
 
 
 
 
Estas equações são chamadas EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE π e α e β são variáveis auxiliares 
denominadas parâmetros. 
 
 
 
 Para escrever a equação geral a partir de uma equação 
paramétrica basta aplicar produto vetorial entre os vetores 
diretores para obter o vetor normal, ou seja, um vetor 
ortogonal aos vetores diretores. 
 
 
 
ÂNGULOS DE DOIS PLANOS 
 
Sejam os planos π1 e π2 com vetores normais �⃗⃗�1 𝑒 �⃗⃗�2, respectivamente. Chama-se ângulo de dois planos 
π1 e π2 o menor ângulo que um vetor normal a π1 forma com um vetor normal a π2. 
 
 
 
𝑷 = 𝑨 + 𝜶�⃗⃗⃗� + 𝜷�⃗⃗⃗� 
 
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + α (a, b, c) + β (o, p, q) ,com α e β є R 
 
{
𝒙 = 𝒙𝟏 + 𝜶𝒂 + 𝜷𝒐
𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝜶𝒃 + 𝜷𝒑
𝒛 = 𝒛𝟏 + 𝜶𝒄 + 𝜷𝒒
 com α e β є R 
 
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
|𝒏𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝒏𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
|𝒏𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|. |𝒏𝟐|⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
 com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
52 
 
PLANOS PERPENDICULARES 
 
Dados os planos π1 e π2 , sejam �⃗⃗�1 𝑒 �⃗⃗�2 vetores normais a π1 e π2, respectivamente. Então π1 e π2 , são 
perpendiculares se, e somente se, �⃗⃗�1 𝑒 �⃗⃗�2 são ortogonais. Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO 
 
 Sejam uma reta r com a direção do vetor �⃗� e um plano π, sendo �⃗⃗� um vetor normal a π, teremos: 
 
I) r // π ⟺ �⃗� ⊥ �⃗⃗� ⟺𝑣. �⃗⃗� = 0 
II) �⃗� ⊥ 𝜋 ⟺ �⃗� // �⃗⃗� ⟺ �⃗� = 𝛼�⃗⃗� 
 
 Como r⊥𝛑, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. 
 Um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a este. 
 
 
RETA CONTIDA EM PLANO 
 
Uma reta r está contida em um plano π se 
I) Dois pontos A e B de r forem também de π ou 
II) �⃗�. �⃗⃗� = 0, onde �⃗� é o vetor diretor de r e �⃗⃗� é o vetor normal de π e A ϵ π e A ϵ r. 
 
 
INTERSEÇÃO DE PLANOS 
 
 Sejam �⃗⃗�1 𝑒 �⃗⃗�2 vetores normais aos planos π1 e π2, respectivamente. Se �⃗⃗�1 𝑒 �⃗⃗�2 não forem paralelos 
então π1 e π2 se cortam e a sua intersecção é uma reta r. 
 A reta r fica determinada se conhecermos um ponto e um vetor diretor. Este último pode ser tomado 
como �⃗⃗�1 x �⃗⃗�2, e um ponto de r através das equações dos planos. 
 
 
 
INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANOS 
 
Exemplo: Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π, onde 𝑟: {
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 5 + 3𝑡
𝑧 = 3 − 𝑡
 e 
π: 2x – y + 3z – 4 = 0. 
 
 
 
𝝅𝟏 ⊥ 𝝅𝟐 ⇔ 𝒏𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝒏𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⟺ 𝒏𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 𝒏𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝟎 
 
53 
 
Solução: Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z) = (-1 + 2t, 4 + 3t, 3 – t). Se um deles é comum ao plano π, 
suas coordenadas verificam a equação de π: 
 
2x – y + 3z – 4 = 0 Para descobrir o valor de t substituiremos x, y e z pelos valores correspondentes da reta 
2(-1 + 2t ) – (4 + 3t) + 3(3 – t) – 4 = 0 assim teremos: 
-2 + 4t – 4 – 3t +9 – 3t – 4 = 0 
t = -1 Substituindo este valor nas equações de r obtém-se: 
 
x = -1 +2(-1) = -3 y = 5 + 3(-1) = 2 z= 3 – (-1) = 4 
 
Logo, o ponto de interseção de r e π é o ponto (-3, 2, 4). 
 
 
 
DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO 
Dados os pontos P e um plano π, quer-se calcular a distância d(P, π) de P a π. Seja A um ponto qualquer 
de π e �⃗⃗� um vetor normal a π. Então a distância d(P, π) é o módulo da projeção 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ na direção de �⃗⃗�. Assim 
teremos: 
 
 (3) 
(Utilizar para a forma de eq. vetorial e paramétrica, onde 
conseguimos construir o vetor normal, �⃗⃗� = �⃗⃗� x �⃗� ). 
 
 
Admitindo-se então que P(x0, y0, z0), π: ax + by + cz + d = 0 e A(x1, y1, z1) ∈ π, como 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (x0 – x1, y0 – y1, z0 – z1) 
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
=
(𝑎, 𝑏, 𝑐)
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
Pela fórmula (3) vem 
𝑑(𝑃, 𝜋) = |
(𝑥0 − 𝑥1, 𝑦0 − 𝑦1, 𝑧0 − 𝑧1). (𝑎, 𝑏, 𝑐)
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
| = |
𝑎. (𝑥0 − 𝑥1) + 𝑏. (𝑦0 − 𝑦1) + 𝑐(𝑧0 − 𝑧1)
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
| 
= |
𝑎𝑥0 − 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦0 − 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧0 − 𝑐𝑧1
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
| =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
Fazendo d = –ax1 – by1 – cz1 , pois A∈ π , tem-se 
 
 (4) 
(Utilizar para a forma de eq. geral do plano ). 
𝒅 (𝑷, 𝝅) =
|𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. �⃗⃗⃗�|
|�⃗⃗⃗�|
 
𝒅(𝑷, 𝝅) =
|𝒂𝒙𝟎 + 𝒃𝒚𝟎 + 𝒄𝒛𝟎 + 𝒅|
√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
 
P 
�⃗⃗� 
A 
54 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
1. Dê equações paramétricas do plano π que passa por A e tem �⃗⃗� 𝑒 �⃗� como vetores diretores, nos casos abaixo: 
a) A(1, 2, 3), �⃗⃗� = (4, 5, 6) e �⃗� = (7, 8, 9) 
b) A(-1, 0, 1), �⃗⃗� = (2, 1, 3) e �⃗� = (−1, −2, 1) 
 
2. Seja o plano π: 3x + y – z – 4 = 0, calcular: 
a) O ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3; 
b) O ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2; 
c) O valor de k para que o ponto P(k, 2, k – 1) pertença a π; 
d) O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota; 
e) O valor de k para que o plano π1: kx – 4y + 4z – 7 = 0 seja paralelo a π. 
 
3. Determinar uma equação geral do plano, para os casos abaixo: 
a) Paralelo ao plano π: 2x – 3y – z + 5 = 0 e que contenha o ponto A(4, -2, 1); 
b) Perpendicular à reta𝑟: {
𝑥 = 2 + 2𝑡
𝑦 = 1 − 3𝑡
𝑧 = 4𝑡 
 e que contenha o ponto A(-1, 2, 3); 
 
4. Dada a equação geral do plano π: 3x – 2y – z – 6 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de π. 
 
5. Sendo {
𝑥 = 1 + ℎ − 2𝑡
𝑦 = 1 − 𝑡 
𝑧 = 4 + 2ℎ − 2𝑡
 equações paramétrica de um plano π, obter uma equação geral. 
 
6. Escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos: 
a) A(1, 0, 2) , B(-1, 2, -1) e C(1, 1, -1) 
b) A(0, 0, 0), B(1, 1, 5) e C(-1, 1, 1) 
c) A(2, 0, -1), B(-2, 6, 3) e C(0, 3, 4) 
d) A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1) 
e) A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C(4, 2, 3) 
7. Determinar uma equação geral do plano para o seguinte caso: O plano passa por A(2, 0, -2) e é paralelo aos 
vetores �⃗⃗� = 𝑖 − 𝑗 + �⃗⃗� e 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝑖 + 3𝑗. 
 
8. Determinar o ângulo entre os seguintes planos: 
a) π1: x – 2y + z – 12 = 0 e π2: 2x – y – z +12 = 0 
b) π1: x – y + 4 = 0 e π2: 2x – y – z = 0 
c) π1: x + 2y – 6 = 0 e π2 y = 0 
d) 𝜋1: {
𝑥 = 1 + ℎ − 𝑡
𝑦 = ℎ + 2𝑡 
𝑧 = ℎ 
 e 𝜋2: {
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = −2ℎ
𝑧 = ℎ + 𝑡
 
 
 
9. Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos π1: x +my + 2z – 7 = 0 e 
π2: 4x +5y +3z +2 = 0. 
55 
 
10. Determinar m de modo que os planos π1 e π2 sejam perpendiculares: 
 
a) π1: mx + y – 3z -1 = 0 e π2: 2x -3my +4z +1 = 0 
b) 𝜋1: {
𝑥 = 2 − ℎ + 2𝑡
𝑦 = 2ℎ + 3 
𝑧 = 𝑡 − 2ℎ + 1
 e π2: 2mx + 4y – z – 1 = 0 
 
11. Verificar se a reta r está contida no plano π: 
a) 𝑟: {
𝑦 = 4𝑥 + 1
𝑧 = 2𝑥 − 1
 e π2: 2x + y – 3z – 4 = 0 
b) 𝑟: 𝑥 − 2 =
𝑦+2
2
= 𝑧 + 3 e 𝜋: {
𝑥 = ℎ + 𝑡 
𝑦 = −1 + 2ℎ − 3𝑡
𝑧 = −3 + ℎ − 𝑡 
 
 
12. Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π: 
a) 𝑟: {
𝑥 = 3𝑡
𝑦 = 1 − 2𝑡
𝑧 = −𝑡
 e π: 2x + 3y – 2z – 7 = 0 
 
b) 𝑟: {
𝑦 = 𝑥 − 10
𝑧 = −𝑥 + 1
 e π: 2x – y + 3z – 9 = 0 
 
13. Achar a distância do ponto C ao plano π, nos casos abaixo: 
a) C(2, -1, 2) e π: 2x – 2y – z + 3 = 0 
b) C(3, -1, 4) e π: x + y + z = 0 
c) C(1, 3, -6) e π: 4x – y + z + 5 = 0 
d) C(0, 0, 0) e π: 3x – 4y + 20 = 0 
e) C(1, 1, 1) e 𝜋: {
𝑥 = 2 + 2ℎ + 3𝑡
𝑦 = −1 + ℎ + 𝑡 
𝑧 = 2 − ℎ 
 
 
14. Calcular a distância entre os planos paralelos: π1: x + y + z = 4 e π2: 2x + 2y + 2z = 5 
 
15. Calcular a distância da reta s ao plano π, nos casos: 
a) s: x = 4 + 3t y = -1 + t z = t e π: x – y – 2z + 4 = 0 
b) s: x = 3 y = 4 e π: x + y – 12 = 0 
 
Respostas 
 
1. a) 𝜋: {
𝑥 = 1 + 4ℎ + 7𝑡
𝑦 = 2 + 5ℎ + 8𝑡
𝑧 = 3 + 6ℎ + 9𝑡
 b) 𝜋: {
𝑥 = −1 + 2ℎ − 𝑡
𝑦 = ℎ − 2𝑡 
𝑧 = 1 + 3ℎ + 𝑡
 2. a) P(1, 3, 2) b) P(0, 6, 2) c) k = 
1
2
 
d) P(2, -4, -2) e) k = -12 3. a) π: 2x – 3y – z – 13 =0 b) π: 2x – 3y +4z – 4 = 0 
4. :