PARTE IV - MOVIMENTO SOB ACAO DE FORCA CENTRAL (REVISADO 02-2012)

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PARTE IV
	
MOVIMENTO SOB AÇÃO DE UMA FORÇA CENTRAL 
1 – INTRODUÇÃO
	Uma força é denominada central se ela é escrita na forma 
. Sua dependência é somente em r (e não r) e tem direção do versor 
. Se 
 é negativo (atração), a força tem sentido contrário ao versor; se 
 for positivo (repulsão), ela terá o mesmo sentido do versor. Lembre-se de que o versor 
 aponta da origem do sistema de coordenadas para o ponto localizado no espaço pelo vetor 
. Na maioria dos casos em que duas partículas interagem entre si, a força entre elas é (pelo menos primariamente) uma força central.
	O objetivo nesta seção é desenvolver métodos adequados para tratar diversos problemas que envolvam forças centrais. Embora em situações reais uma partícula possa não estar fixa na origem, ela será considerada assim, com a justificativa de que a massa fixa é muito maior do que a massa da outra partícula. Portanto, sua aceleração será muito menor e a idealização da situação permite considerar uma delas fixa. A massa maior está situada na origem do sistema de coordenadas e o movimento da partícula a ser estudada orbita em torno dela. Os argumentos que permitem tais aproximações podem ser feitos mais quantitativamente, como será tratado na próxima seção. 
2- MASSA REDUZIDA, CENTRO DE MASSA E LEIS DE CONSERVAÇÃO
	
	Em alguns livros textos, além de se escolher a origem do sistema de coordenadas como o centro de massa, utiliza-se o conceito de massa reduzida para descrever o movimento de um sistema formado por duas partículas. A opção neste texto será descrever o movimento, colocando a origem na partícula de maior massa; a massa do sistema será fundamentalmente a partícula de menor massa. Para justificar essas escolhas, é necessário avaliar quantitativamente as diferenças entre as duas descrições. Por exemplo, suponha que se deseja calcular a massa reduzida do sistema Terra-Lua, ou Sol-Terra, e a seguir localizar o centro de massa desses sistemas. 
	Define-se massa reduzida, µ, de um sistema constituído por duas partículas ( e só definido para dois corpos) como:
				(221).
O nome massa reduzida vem do fato que µ é sempre menor do que a menor massa entre as duas.
	Se 
 representa a massa da Terra e 
, a massa do Sol, tem-se:
 kg.
Esse valor é a massa da Terra a menos de um desvio de 
. Então, para fins práticos, pode-se considerar que a massa reduzida do sistema Terra-Sol coincide com a massa da Terra. 
	Foi dito que se escolheria a origem do sistema de coordenadas no centro do Sol. Que desvio percentual se comete com essa escolha ao invés de eleger a origem do sistema de coordenadas no centro de massa do sistema Sol-Terra? 
	Por simetria, o centro de massa (CM) está na reta que une os dois corpos (considerados como partículas), como indicado na figura 45. 
Figura 45 – O sistema Sol-Terra
	Colocando-se a origem no centro geométrico do Sol, a componente x do CM é dada por:
.
O valor do raio do Sol é 
; quando comparado com 
, percebe-se que o centro de massa do sistema está próximo ao centro geométrico do Sol. 
	Em síntese, os desvios relacionados à consideração da massa reduzida como a massa da partícula de menor massa e à localização da origem do sistema de coordenadas no centro geométrico do Sol são perfeitamente aceitáveis para os propósitos deste texto. Entretanto, existem casos nos quais essas condições não se cumprem; por exemplo, quando as massas têm magnitudes comparáveis. Somente em casos nos quais uma das massas é muito maior do que a outra é que se pode considerar a massa reduzida como a menor delas e também escolher o sistema de eixos coordenados no CM da maior massa. No caso de movimento planetário, embora o Sol esteja se movendo com grande velocidade em torno de centro da Galáxia, as órbitas dos planetas não são afetadas pela translação do sistema solar como um todo. 
	Existem duas leis de conservação para forças centrais, que serão discutidas a seguir. 
I – Conservação do momento angular
	
Suponha uma partícula de massa m submetida a uma força F. Em relação a uma origem O, define-se o torque dessa força F como: 
.
Se a força é central, isto é, 
, então o torque pode ser escrito
 
,
porque o produto vetorial de dois vetores paralelos é nulo.
	No entanto, o torque exercido sobre a partícula, por uma força F, é a variação temporal do momento angular:
, e, como o torque se anula para forças centrais, 
.
O resultado é que o vetor L se mantém constante, o que significa que o módulo e o sentido do vetor devem permanecer inalterados. Isso significa que existe uma característica comum nos movimentos sob ação de forças centrais: a trajetória se dá em um plano invariante e perpendicular ao vetor L. Portanto, o movimento pode ser analisado utilizando-se um sistema bidimensional de coordenadas. 
	O momento angular é definido por:
				(222).
Um sistema bidimensional de coordenadas é suficiente para descrever o movimento da partícula. Poderíamos utilizar um sistema cartesiano convencional xy com os versores 
 mantidos fixos. Entretanto, pela simetria do problema, é mais conveniente o uso de coordenadas polares com os versores 
 não fixos. A simetria aqui referida relaciona-se à força central: como sua magnitude só depende de r (e não do vetor r), ela apresenta simetria esférica, ou seja, é rotacionalmente invariante. Em qualquer ponto sobre uma esfera de raio r, e em qualquer direção, o módulo da força terá o mesmo valor. 
	O objetivo aqui é obter o momento angular em coordenadas polares. A figura 46 indica a equivalência entre o sistema cartesiano xy e as coordenadas polares rθ. 
COMENTÁRIO. Observe, entretanto, que será usado o ângulo θ como aquele determinado entre o vetor posição e o eixo x. Embora isso seja comum, ao estudar coordenadas esféricas (3D), reserva-se o uso de θ para o ângulo entre o raio vetor e o eixo z. O que se define em 2D como θ, é escrito como φ em 3D. 
Figura 46 – Os versores 
 são fixos no plano, mas 
 variam suas posições quando r muda 
As coordenadas r e θ estão relacionadas com x e y por
 , 
; 
o módulo do vetor posição é 
.
	Os versores 
, definidos nas direções crescentes de r e θ, respectivamente, estão relacionados com 
 através das relações: 
			(223),
			(224).
Derivando (223) e (224) em relação a θ, tem-se:
 
				(225),
 
			(226).
A notação tem a função de enfatizar que os versores 
 são funções do ângulo θ e este é função do tempo.
	Os resultados (225) e (226) podem ser ilustrados geometricamente pelos incrementos 
 e 
 mostrados na figura 47. Observe que 
 tem o sentido de 
 e que 
 tem o sentido de 
, como obtidos analiticamente em (225) e (226).
UM POUCO BORRADA, NÉ?
Figura 47 – Incrementos nos versores 
 
	O vetor posição r é dado em coordenadas polares por:
					(227).
A velocidade da partícula é:
.
Então, 
; usando-se (225), pode-se escrever:
					(228).
Essa é expressão da velocidade da partícula em coordenadas polares. Algumas vezes, essa expressão é escrita em forma de componentes:
, com 
 e 
.
A relação (228) é aquela de que se precisa para usar em (222); antes, porém, é necessário obter a expressão da aceleração porque ela será utilizada na descrição do movimento: 
 
			(229).
O valor de 
 já foi obtido para escrever (228):
				(230).
Para a outra derivada, 
, tem-se: 
.
No entanto, 
�� EMBED Equation.3 por (226). Portanto,
				(231).
Substituindo as duas derivadas, (230) e (231), na expressão (229), tem-se: 
 
	
				(232).
Esta equação estabelece a aceleração de uma partícula em coordenadas polares. Ela será utilizada mais tarde na descrição do movimento. 
	No primeiro parênteses à direita, o segundo termo, 
, é a conhecida aceleração centrípeta,cujo módulo é mais conhecido na Mecânica elementar sob a forma 
. A velocidade angular ω é identificada como 
.
	No segundo parênteses, o segundo termo, 
, é chamado aceleração de Coriolis, em homenagem ao engenheiro francês que a estudou. Os outros termos da equação não possuem nomes especiais.
	É necessário não perder o foco: o objetivo é calcular o módulo do momento angular (que deve ser constante porque L é constante), usando a velocidade em coordenadas polares. Então, (228) em (222) resulta: 
			(233).
O produto vetorial 
 se anula; 
 é um versor perpendicular ao plano do movimento (obviamente, está no sentido de L). Como um versor tem módulo unitário, 
= constante				(234).
Vê-se, então, que as variáveis 
 e 
 não são independentes: o produto delas deve ser uma constante para que o módulo do momento angular permaneça constante. Esse resultado é significativo porque permite, por exemplo, obter a segunda lei de Kepler, estudada no primeiro capítulo do livro Física Geral II, sob o nome de lei das áreas. A figura 48 mostra um trecho da órbita de uma partícula sob a ação de uma força central. A área 
, limitada por 
 e curva nesse intervalo de tempo, é dada por:
				(235).
Figura 48 – Área varrida pelo raio vetor em um intervalo de tempo Δt 
Dividindo-se por 
, tem-se:
.
Quando 
e 
, o segundo termo à direita da igualdade se anula. Assim, a taxa de variação da área é dada por:
�� EMBED Equation.3 .
Como 
 por (234), pode-se escrever,
 
				(236).
Essa relação estabelece a segunda lei de Kepler: o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.
	Note que a segunda lei de Kepler é consequência de a força ser central e não de sua forma analítica. Por exemplo, ela vale para forças atrativas ou repulsivas que variam com 
(
); vale para força cuja dependência seja linear com r (oscilador harmônico); enfim, basta a força ser central para que a segunda lei de Kepler se cumpra. 
II – Conservação da energia mecânica
	A relação (232) pode ser escrita na forma de componentes na direção 
 e na direção 
:
, 
					(237),
					(238).
	Se a força é central, então 
 e, portanto, só haverá aceleração radial da partícula:
				(239),
				(240).
	A energia cinética da partícula é dada por [usando (228)]:
.
A energia mecânica é:
�� EMBED Equation.3 			(241).
A expressão (234) pode ser usada para eliminar 
:
(234) → 
 e a equação (241) se torna:
				(242).
	Obteve-se, então, uma expressão para a energia mecânica de uma partícula submetida a uma força central. Observe que essa energia é constante no tempo, isto é, 
.
,
				(243).
O termo 
 pode ser escrito em função de 
, usando (234):
(234) → 
. Substituindo em (243), tem-se:
				(244).
Observe o termo entre colchetes: 
. Portanto,
				(245),
mas, por (239), 
 e, portanto, o termo entre colchetes anula-se, mostrando que, para forças centrais, a energia mecânica se conserva.
Em síntese, quando a partícula está submetida a um campo de força central, têm-se duas leis de conservação: a do momento angular e a da energia mecânica.
COMENTÁRIO. A conservação da energia mecânica, expressa pela condição 
, é um resultado esperado, porque estão sendo consideradas somente forças centrais, e estas são conservativas. 
Você poderia se perguntar por que foi tratado da conservação do momento angular e da conservação da energia mecânica e nada foi dito sobre o momento linear. Obviamente, existe a conservação do momento linear, porque as partículas sofrem forças de mesmo módulo e de sentidos opostos (terceira lei de Newton). Porém, essa lei não acrescenta nada na descrição do movimento, já que se está usando o CM como origem do sistema de coordenadas: o movimento uniforme do CM não interfere na descrição da órbita da partícula observada da origem do sistema de coordenadas. 
3 – EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
	
	A energia mecânica do sistema é dada por (241) ou, equivalentemente, pela equação (242), em termos do momento angular L:
				(246).
Essa equação pode ser resolvida para dt e integrada para se obter t(r):
			(247).
O sinal positivo refere-se a r crescente com o tempo e o sinal negativo, a r decrescente com o tempo. Conhecendo-se então 
, pode-se inverter essa relação e obter 
 Nem sempre é fácil resolver integrais desse tipo, mas, em alguns casos, dependendo do expoente da função U(r), a solução pode ser expressa por meio de funções elementares. 
	Uma vez determinada a função r(t), é necessário encontrar θ(t) para descrever completamente o movimento (lembre-se de que são necessárias duas coordenadas, pois o movimento é plano). A variável angular pode ser obtida através da conservação do momento angular:
				(248).
O procedimento para se obter as funções horárias, r(t) e θ(t), é primeiro resolver (247) e, em seguida, substituir em (248). 
	Vamos observar a expressão (247). Ela é muito parecida com a relação (44) da parte II: a diferença está no termo extra 
. De onde vem esse termo? Para perceber isso mais claramente, é necessário voltar à expressão da energia cinética: 
.
O segundo termo à direita é a raiz desse fator extra que se busca entender. Ele surge porque está sendo usado um sistema de coordenadas móveis para descrever o movimento da partícula (são os versores 
 e 
). 
	Para completar a análise, considere a equação (239):
				(249).
Transportando o termo 
 para o lado direito, obtém-se 
				(250).
Essa equação tem a mesma forma daquela que descreve o movimento unidimensional de uma partícula submetida a uma força real (real aqui significa uma força que representa a interação entre as partículas, como, por exemplo, a força gravitacional) e somada a uma “força centrífuga” 
. Essa força centrífuga aparece pelo fato de se estar utilizando um referencial não inercial para descrever o movimento. Note que a força centrífuga não representa uma interação entre as partículas: sua presença é justificada porque se estão usando as leis de Newton em referenciais não-inerciais.
	Se (250) for tratado como um problema unidimensional, pode-se pensar que o lado direito da igualdade seja uma força efetiva originada de uma energia potencial efetiva, 
:
.
Portanto, o potencial efetivo é dado por:
					(251).
EXEMPLO 31
	Esboçar (separadamente) os gráficos de 
 para as forças centrais dadas por:
(a) 
; (b) 
.
A força em (a) caracteriza um oscilador harmônico isotrópico (supondo k positivo); em (b), se 
, caracteriza-se como uma força gravitacional; se 
, uma força elétrica entre duas cargas [repulsiva se
 ou atrativa se 
]. 
SOLUÇÃO.
(a) Para obter o potencial efetivo, precisa-se do potencial real associado à força 
. 
 
.
Foi escolhido 
 no extremo inferior de integração para evitar a constante aditiva na energia potencial. Algo semelhante foi feito para osciladores unidimensionais.
	O potencial efetivo é dado pela soma de dois termos:
.
Para esboçar o gráfico dessa função, analisam-se separadamente os termos: ambos são positivos e o primeiro deles cresce com 
; o segundo termo varia com 
. Quando r →0, o primeiro termo se anula, enquanto o potencial centrífugo →∞. Para r→∞, a curva da energia potencial elástica, 
, diverge e o potencial centrífugo vai a zero. O ponto de mínimo para o potencial efetivo ocorre quando
.
Portanto, o ponto de mínimo se verifica em:
e o valor do potencial centrífugo é:
.
A figura 49 mostra a dependência do potencial efetivo, juntamente com as curvas de cada um de seus termos constituintes.
Figura 49 – Energia potencial efetiva para o oscilador harmônico bidimensional
(b) Para obter o potencial efetivo para esse caso, é necessário considerar duas possibilidades: (1) quando a força é atrativa e (2) quando é repulsiva.
No caso atrativo (1), a força é dada por:, com a constante A positiva.
O potencial associado a essa força é:
�� EMBED Equation.3 .
Então, o potencial efetivo para esse caso é dado por:
.
O primeiro termo à direita é sempre negativo e tende a 
 quando 
; quando r cresce, ele tende a zero por valores negativos. A análise do segundo termo é idêntica à do item (a). Observe, entretanto, que, quando 
, esse termo cresce mais rapidamente do que o módulo do primeiro e o resultado líquido é que 
. No outro extremo, quando 
, o segundo termo vai a zero mais rapidamente do que o primeiro: o resultado da soma desses comportamentos é tal que 
. Uma função com esse comportamento deve apresentar um ponto crítico: em algum ponto a função deve passar por um mínimo. Mais ainda, ela deve se anular pelo menos uma vez. Esses pontos serão determinados a seguir: 
.
Esse valor representa a raiz da equação: a curva corta o eixo r exatamente nesse ponto.
	O ponto crítico é determinado igualando a zero a primeira derivada de 
 
.
Esse é o único ponto crítico apresentado pela função e é um ponto de mínimo [você pode verificar isso calculando a segunda derivada de 
 no ponto 
]. Note que a raiz é o ponto médio entre a origem e o ponto de mínimo, isto é, 
. 
	A figura 50 mostra as curvas pertinentes à discussão estabelecida acima.
Figura 50 – Potencial efetivo para uma força atrativa da forma 
Para o caso repulsivo (2), (
, o potencial efetivo é dado por:
.
Nesse caso, ambos os termos à direita da igualdade são positivos em todo intervalo 
. A curva não corta o eixo r e nem possui pontos críticos (verifique essas afirmações). Um exemplo dessa situação é o movimento de um próton que se aproxima de outro mantido fixo na origem. Atente para a forma como inicialmente foi escrita a força: 
. Então, a constante A vale para esse caso de dois prótons 
, que torna 
, como deve ser para cargas de mesmo sinal. 
	
As curvas estão esboçadas na figura 51.
Figura 51 – Potencial efetivo para força repulsiva que varia com 
	
O exemplo 31 mostrou como é possível construir o potencial efetivo de uma partícula sujeita a forças centrais. As figuras obtidas foram esboçadas considerando que o momento angular seja diferente de zero. No caso de L ser nulo, a partícula se movimenta sobre uma reta que passa pela origem onde está localizado o centro de força, de forma que não existe variação temporal da coordenada θ, à qual o momento angular está estreitamente ligado. Além desse comentário, outros precisam ser feitos. Qualquer uma das figuras no exemplo 31 representa um “corte” vertical no comportamento de 
: ao mesmo tempo em que a coordenada r da partícula varia, a coordenada θ também varia. Então, o movimento angular relacionado à coordenada θ deve ser acrescentado à análise em r para compor o movimento plano da partícula. Uma representação mais realista do movimento pode ser conseguida se for construído um gráfico tridimensional, simplesmente girando a curva de 
 em torno do eixo vertical. A figura 52 é o resultado da rotação da curva para o potencial efetivo 
 da parte (a) do exemplo 31.
Figura 52 – Rotação de 
 em torno do eixo vertical
A figura 53 é a reprodução da figura 49, na qual são indicadas diversas energias mecânicas que o sistema pode possuir.
Suponha que uma partícula tenha uma energia mecânica 
, que é igual à mínima energia possível: valores menores do 
não são permitidos porque, da expressão da energia mecânica,
Figura 53 – O oscilador harmônico isotrópico e algumas possíveis energias mecânicas
,
escreve-se 
 e, para o valor 
( ponto de mínimo), 
. Portanto,
.
Uma vez fixada a energia mecânica (mínima), o raio fica automaticamente determinado: 
.
O movimento descrito pela partícula é um movimento circular uniforme em torno do centro de força: somente a coordenada θ pode variar, porque 
. A mesma análise pode ser feita para o caso (b - atrativo) do exemplo 31, com a energia mecânica (mínima) sendo determinada por 
. Esse caso será abordado novamente quando se analisar a força gravitacional.
	Quando o oscilador harmônico possui energia mecânica maior do que a energia mínima permitida, pode-se observar na figura 53 que existem dois pontos para os quais 
. Por essa razão, eles são chamados, em analogia ao movimento unidimensional, de pontos de retorno. Note que a análise se refere à coordenada r: a partícula executa um movimento bidimensional e, portanto, a velocidade angular 
 não se anula. Assim, a partícula tem seu movimento restrito em uma região limitada por 
e 
, pontos nos quais sua velocidade radial se anula. A parte boa dessa informação é saber que o movimento é restrito; a parte não muito boa é que, por enquanto, não se sabe absolutamente nada da trajetória. A figura 54 indica a região acessível limitada por 
. 
Figura 54 – Região acessível ao movimento da partícula
	Os valores de 
podem ser determinados em função dos parâmetros k, 
 e L. Para esses pontos de retorno, 
 e, portanto, 
:
.
Resolvendo essa equação algébrica de quarto grau, tem-se:
			(252),
			(253).
O intervalo espacial do movimento é dado por 
. Os resultados (252) e (253) poderiam suscitar alguma desconfiança no leitor, já que se
, levaria a uma raiz imaginária.
Observe por que essa condição, de fato, não pode acontecer. Se
.
	No entanto, isso está em desacordo com a seguinte escolha: 
 energia mecânica mínima.
	 Note que, se no caso limite de 
 ambos os raios coincidem, 
.
COMENTÁRIO. As relações (252) e (253) foram estabelecidas para um oscilador harmônico isotrópico. Entretanto, o mesmo procedimento pode ser feito para outros potenciais atrativos, desde que a órbita da partícula esteja contida em uma região limitada do espaço. Algumas combinações de valores de 
, 
 e L produzem um movimento em uma região restrita do espaço: isto assegura que existem um 
 e um 
, para os quais a velocidade radial, 
, se anula. Entretanto, em certos casos, as duas raízes coincidem e a órbita se degenera em uma circunferência.
Quando a partícula está confinada a se mover em regiões limitadas, é comum utilizar a expressão de estado ligado para designar tal situação. Por exemplo, o Sol e cada um dos planetas formam um estado ligado; da mesma forma, o elétron e o próton em um átomo formam um estado ligado. 
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 3)
1) Escreva o potencial efetivo para uma partícula livre.
2) Uma partícula de massa m está submetida a uma força central do tipo 
, (A>0).
a) Encontre o potencial efetivo.
b) Determine 
supondo que eles existam. Sob que condições de energia mecânica eles existem?
3) O potencial associado a uma força atrativa é da forma 
 (
).
a) Encontre o potencial efetivo e esboce um gráfico.
b) Que tipo de órbita existe para energia mecânica 
?
c) Discuta os movimentos possíveis se 
 e para 
.
4) Dado o potencial 
 com K positivo:
a) Encontre o potencial efetivo.
b) Qual é o raio para o movimento circular?
c) Mostre que, para a energia mecânica 
, é possível órbita circular.
d) Usando a expressão da conservação do momento angular, mostre que o período para as órbitas circulares (itens b e c) é dado por:
.
5) O potencial de Yukawa aparece na teoria de forças nucleares e é dado por:
 (K positivo).
a) Encontre a força associada a esse potencial.
b) Escreva o potencial efetivo.
c) É possível que existam órbitas circulares? 
d) Supondo órbitas circulares de raio
, mostre que o momento angular é dado por:
 
.
e) Ainda sob a hipótese de órbitas circulares de raio 
, mostre que a energia mecânica é dada por:
.
4 – EQUAÇÕES DA ÓRBITA
	Foi visto que a energia mecânica do sistema pode ser escrita na forma (242):
.
Usando a definição de potencial efetivo, essa expressão é reescrita como:
					(254).
Com isso, a relação(247) tem a forma:
				(255).
Não se ganha muita coisa com essa substituição: apenas se descreve o problema em termos de uma nova definição. Para encontrar r(t) e θ(t), ter-se-iam as mesmas dificuldades em resolver as integrais (247) e (248). 
	Em muitos casos, é mais interessante obter diretamente a equação da órbita, 
, ao invés de determinar as funções horárias, r(t) e θ(t). É o que se fará a seguir, pelo menos formalmente, de duas formas diferentes.
I – EQUAÇÃO INTEGRAL DA ÓRBITA
	A variável θ pode ser considerada função de r, que, por sua vez, é função do tempo. Então,
�� EMBED Equation.3 			(256).
A conservação do momento angular (234) fornece a expressão para 
:
					(257).
Note que, como L é constante no tempo, 
 não pode mudar o sinal e, portanto, θ(t) cresce monotonicamente com o tempo.
A relação (246) fornece 
:
				(246).
Dividindo (257) por (246), obtém-se, usando (256):
.
Integrando a expressão, obtém-se 
:
			(258).
Sem dúvida, dependendo da forma de 
, a integral pode ser bastante difícil, mas, em princípio, fica determinada a equação integral da órbita, θ(r).
II – EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA ÓRBITA 
	A solução da equação integral da órbita (258) pode apresentar um trabalho considerável, dependendo da forma do potencial 
 Nessa subseção, obter-se-á a equação diferencial da órbita, cujo uso, sob muitos aspectos, é mais flexível. Por exemplo, quando se conhece a trajetória, pode-se obter a lei de força que governa o movimento. Inversamente, dada a lei de força, pode-se determinar a trajetória da partícula. A informação pouco animadora é que a trajetória é expressa em coordenadas polares e nem sempre sua identificação é imediata. 
	Inicialmente, escreve-se a equação diferencial radial (239):
				(239).
Substituindo 
 por 
[ dada por (257)], tem-se:
				(259).
	A mudança conveniente a ser feita é a seguinte:
					(260).
A variável radial, r (ou u), é função de θ, que, por sua vez, é função de t:
mas 
,
e também 
, e, por (257), 
 e como 
, tem-se 
.
Substituindo esses dois resultados na equação para 
, tem-se:
�� EMBED Equation.3 				(261).
Precisamos da segunda derivada, 
, para utilizar a equação diferencial radial (259): 
.
A função auxiliar u depende da variável angular θ e um modo seguro de calcular a derivada é fazer 
:
.
Substituindo 
 e voltando à notação original, obtém-se:
.
Finalmente, pode-se escrever 
: 
�� EMBED Equation.3 			(262).
	Esse resultado é usado em (259):
				(263).
Essa é a equação diferencial da órbita. Da mesma maneira que a equação integral da órbita, a equação diferencial (263) pode demandar considerável esforço para ser resolvida. Por exemplo, dependendo da forma analítica da lei de força 
, pode ser bastante difícil encontrar a solução da equação diferencial da órbita. Entretanto, para um dos casos mais importantes (se não o mais importante), forças que variam com 
, a equação diferencial é particularmente simples. Esse caso será tratado em detalhes mais adiante.
EXEMPLO 32
	Resolva a equação diferencial da órbita para uma partícula livre.
SOLUÇÃO
Uma partícula livre significa que nenhuma força atua sobre ela; portanto, 
. Nesse caso, (263) se torna uma equação linear e homogênea:
.
Essa equação é idêntica àquela de um oscilador harmônico simples na variável u, na qual o tempo é substituído pela coordenada angular θ. Sua solução é bem conhecida:
.
Fazendo 
, a solução é escrita como:
.
Foi afirmado anteriormente que, às vezes, a identificação de uma curva em coordenadas polares pode não ser imediata. Nesse caso, a solução representa uma reta que não passa pela origem (figura 55).
Figura 55 – A reta em coordenadas polares
EXEMPLO 33
	Determine a lei de força que governa o movimento de uma partícula de massa m, sabendo-se que a trajetória é dada por 
.
SOLUÇÃO
A equação da trajetória é dada e pede-se a lei de força. Não necessariamente é preciso identificar que tipo de trajetória a partícula segue: pode-se resolver o problema analiticamente e obter a lei de força. Entretanto, é conveniente conhecer a curva para se ter uma idéia do que acontece. 
	A equação 
 representa uma circunferência de raio a, com centro no ponto 
, e o centro de força está na origem do sistema de coordenadas (veja, por exemplo, Cálculo – vol.II (11ª ed.), G. B. Thomas, seção 10.8). 
Figura 56 – Trajetória circular descrita por 
, onde 
,
.
.
Então, a equação diferencial da órbita fica:
,
.
Pode-se multiplicar o lado direito por 
:
.
Então, a lei de força que governa o movimento varia com 
: nesse caso, a partícula passa pelo centro de força. Em conexão com esse exemplo, você poderia retornar ao problema 3 proposto na seção anterior e verificar a solução encontrada. 
EXEMPLO 34
	Encontre a lei de força (central) que permite que uma partícula se mova em uma espiral logarítmica dada por 
, onde k e α são constantes.
SOLUÇÃO
Nesse exemplo, poder-se-ia ter a condição inicial dada por 
. Isto significa que a partícula inicialmente se encontra sobre o eixo x e tem uma componente (não nula) da velocidade na direção do eixo y. Nessas circunstâncias, a partícula segue uma espiral logarítmica e colapsa com o centro de força. Você verá ao final da solução que a força deve ser atrativa, independente do sinal de α: 
, onde 
,
.
.
A equação diferencial da órbita fornece:
.
Como foi dito no início da solução, a força que varia com 
 é atrativa: somente uma força atrativa e com essa dependência em r pode suportar uma trajetória na forma de espiral logarítmica. Isto não significa que sempre se terá órbitas espirais, mas sim que, dependendo das condições iniciais, a partícula pode descrever uma espiral. 
EXEMPLO 35
	Determinar r(t) e θ(t) para o exemplo 34.
SOLUÇÃO
Como a força é central, o momento angular é conservado: 
, mas a expressão 
é conhecida;portanto, 
.
Da conservação do momento angular, tem-se:
,
�� EMBED Equation.3 .
Para obter r(t), usamos 
 e a expressão 
, obtida acima.
	Então, 
�� EMBED Equation.3 .	
EXEMPLO 36
	Qual a energia mecânica do sistema para o caso tratado nos exemplos 34 e 35?
SOLUÇÃO
A energia mecânica é dada por (242):
.
Para obtê-la, precisamos calcular 
.
Do exemplo 35, tem-se r(t):
 
 
.
O potencial associado à força central 
 é dado por:
�� EMBED Equation.3 .
Com os dois resultados obtidos, pode-se escrever a energia mecânica:
�� EMBED Equation.3 .
A energia mecânica é nula se considerarmos, como se faz usualmente, 
.
 
PROBLEMAS PROPOSTOS (seção 4)
1) É dada a informação de que a força é central e o movimento da partícula é limitado por 
. Portanto, não é conhecida sua órbita. Esboce algumas curvas representando as possíveis trajetórias dessa partícula. [Sugestão: veja a figura 54].
2) Suponha que alguém lhe diga que uma partícula tem sua trajetória em forma de uma espiral dada por 
. Se θ cresce linearmente com t, a força que atua sobre essa partícula pode ser central? Caso contrário, considere 
 e determine n para que a força seja central. [ Sugestão: use a equação (240)]. 
3) Uma partícula de massa m, sob ação de uma força central, tem equação de trajetória dada por 
, onde k é constante. Usando a equação diferencial da órbita, mostre que a lei de força é da forma
.
4) Considere ainda a trajetória do problema anterior. Mostre que θ varia com 
, isto é, 
. Qual o valor da constante A? Para efeito de comparação, no exemplo 35, a dependência acontece com o logaritmo de t. 
5) No exemplo 33, encontrou-se a lei de força 
.
a) Estabeleça a expressão para 
, supondo que 
. Esboce um gráfico dessa função.[Reveja o problema 3 da seção anterior].
b) Usando a equação integral da órbita e colocando 
, obtenha 
.
6) Uma partícula descreve uma lemiscata 
 sob a ação de uma força central situada na origem. Usando a equação diferencial da órbita, mostre que essa força é dada por:
.
7) A trajetória de uma partícula de massa m é uma cardioide dada por 
. Demonstre que a lei de força que governa o movimento é da forma:
.
5 – ESTABILIDADE DE ÓRBITAS CIRCULARES
	Em alguns exemplos e exercícios propostos, tem-se comentado a possibilidade de existir ou não órbitas circulares. O critério é muito simples: basta que a primeira derivada do potencial efetivo se anule,
					(264),
para que sejam possíveis órbitas circulares. (Note que se tem usado a derivada total porque estão sendo consideradas forças centrais, que, portanto, só dependem da coordenada r). Quando a energia mecânica for igual a 
, 
, a partícula executa um movimento circular uniforme: nessas condições 
. Uniforme porque se r não varia e a força é central, o momento angular, 
, será constante somente se 
 for constante. 
	Entretanto, resta saber se essas órbitas circulares são estáveis. Mesmo no caso de forças centrais atrativas, capazes de contrabalançar a força centrifuga, não é certo que essas órbitas sejam estáveis. Somente se o potencial efetivo apresentar um mínimo, as órbitas circulares serão estáveis. 
	Na figura 49, o potencial efetivo para o oscilador harmônico isotrópico possui um mínimo em 
e, para 
, a partícula executa um movimento circular uniforme estável. 
	Se você resolveu o problema 5 da seção anterior, deve ter notado que a curva de 
 apresenta um ponto de máximo, portanto, é possível ter órbitas circulares, porém estas serão instáveis. A figura 57 exemplifica uma energia potencial efetiva que apresenta um mínimo (órbita circular estável); na figura 58, a curva da energia potencial efetiva possui um máximo (órbita circular instável). Qualitativamente, o significado desses fatos é bastante simples: uma órbita circular é estável se, quando o movimento da partícula for ligeiramente perturbado, a variável r se mantiver muito próxima do raio da circunferência original. Se, por outro lado, ocorrer uma pequena perturbação em órbitas circulares instáveis, a variável r cresce levando a partícula a executar outro tipo de movimento. 
 
 Figura 57 - Órbitas circulares estáveis. Figura 58 - Órbitas circulares instáveis 
	A estabilidade da órbita circular é então determinada pelo sinal da segunda derivada de 
, calculada no ponto 
 raio da circunferência. Órbitas circulares estáveis demandam que esse valor seja positivo (concavidade para cima), enquanto órbitas circulares instáveis requerem um valor negativo (concavidade para baixo). Então, para existir a estabilidade, é necessário ter as duas condições usuais:
					(264),
				(265).
	A primeira condição, (264), pode ser escrita como: 
 
			(266).
Desse resultado, pode-se concluir que (1) a força deve ser atrativa [
]; (2) ela deve ser tal que “contrabalance” a força centrífuga.
	Considere-se a segunda condição, (265):
		(267).
No entanto, 
 pode ser escrita como:
 		(268).
Substituindo esse resultado e 
, dado por (266), em (267), tem-se:
 
					(269).
Essa é a condição para que a órbita circular seja estável.
EXEMPLO 37
	Estude a estabilidade de órbitas circulares para uma força central do tipo 
, onde K é uma constante positiva e n é um inteiro. O que se pede é a determinação dos valores de n que permitam órbitas circulares estáveis.
SOLUCÃO
Observe primeiramente que a força é atrativa. Entretanto, como veremos, nem toda força atrativa é capaz de suportar órbitas circulares estáveis. 
Para usar diretamente a desigualdade (269), é conveniente encontrar 
, embora seu valor não seja necessário para o que é pedido nesse exemplo. Isso é feito por meio da primeira derivada de 
. A expressão de 
 requer o conhecimento de 
:
 (
).
Então, pode-se escrever 
:
				(270).
A primeira derivada igualada a zero (ponto crítico) fornece:
.
O valor de 
 é obtido com a solução da equação. Portanto,
					(271).
.
Então, a desigualdade (269) é escrita como:
.
Como 
 são positivos, o termo entre colchetes deve ser negativo para que a desigualdade se cumpra. Portanto, a conclusão é que:
 
.
O resultado final é: para forças atrativas do tipo 
, é possível acontecer órbitas circulares estáveis somente para valores tais que 
. Por exemplo, forças da forma 
 permitem órbitas circulares estáveis. A primeira delas será estudada em detalhes na próxima seção. 
COMENTÁRIO. No desenvolvimento descrito no exemplo 37, o valor para 
 foi excluído da discussão. Entretanto, forças atrativas que variam com 
 também permitem órbitas circulares estáveis. Um dos problemas propostos no final dessa seção trata exatamente desse caso.
	A pergunta que pode ser feita agora é a seguinte: uma vez estabelecida a condição para a ocorrência de órbitas circulares estáveis, relação (269), o que acontece com a trajetória circular da partícula se ela for ligeiramente perturbada? Como consequência dessa ligeira perturbação, surgirá uma pequena oscilação radial que pode ser determinada por meio da análise da expressão de 
 nas proximidades do ponto de mínimo: 
	(270).
O segundo termo à direita da igualdade se anula porque a derivada é calculada no ponto de mínimo. Portanto, tem-se:
		(271).
	Se a intenção for estudar o tipo de movimento que a partícula executa quando sofre uma pequena perturbação em sua órbita circular estável, deve-se começar pela equação radial (250):
				(250),
mas essa equação pode ser escrita de forma equivalente pelo uso de (251):
			(271).
Como a partícula executa um movimento circular de raio constante 
, então 
. A expressão (250) fornece: 
�� EMBED Equation.3 				(272).
Essa relação estabelece meramente que a força centrífuga é igual à força atrativa. 
	Para pequenas perturbações, pode-se escrever:
				(273).
Derivando (271), tem-se:
A derivada do primeiro termo à direita é zero pelo fato de 
 ser uma constante; a derivada do segundo termo deve ser somente aplicada ao fator 
 porque 
é uma constante (é o valor da segunda derivada de
 calculada em 
). Então, pode-se escrever, com a substituição de 
 por 
:
				(274).
Finalmente, a equação radial (271), usando (273) e (274), fica:
 
				 (275).
A equação (275) é familiar: representa um oscilador harmônico simples. Assim, define-se uma frequência angular: 
 
				(276).
Conclusão: quando uma órbita circular estável sofre uma pequena perturbação, a partícula executa um movimento harmônico em torno da posição 
, com frequência angular dada por (276). Observe que o subescrito “radial” é para enfatizar que essas oscilações se processam na variável r; ao mesmo tempo, a partícula executa um movimento em torno do centro de força com velocidade angular 
.
	O termo 
pode ser interpretado como uma “constante de mola” que é solicitada quando a partícula tende a se afastar da órbita circular.
	Na figura 59, representam-se, de forma qualitativa, as oscilações em torno de 
 para uma trajetória inicialmente circular. 
Figura 59 – Oscilações em torno de uma órbita circular (o efeito está exagerado para melhor visualização)
EXEMPLO 38
	Suponha que um oscilador harmônico isotrópico execute um movimento circular uniforme em torno do centro de força. Sua órbita é ligeiramente perturbada. Encontre a frequência angular de pequenas oscilações. Compare com a frequência de rotação.
SOLUÇÃO
O oscilador harmônico isotrópico foi discutido no exemplo 31, parte (a). Foi visto que existe um ponto de mínimo e, portanto, uma trajetória circular é possível. O raio dessa circunferênciaé dado por 
e o potencial efetivo é 
.
.
A segunda derivada deve ser calculada em 
para se obter a frequência de pequenas oscilações radiais. Portanto, 
.
Então, a igualdade (276) fornece:
�� EMBED Equation.3 .
A frequência angular de rotação está relacionada com 
. A conservação do momento angular fornece 
:
, e, para a circunferência de raio 
, tem-se:
 
.
Comparando as duas frequências angulares, vê-se que 
. Isto significa que a nova trajetória da partícula, em cada ciclo, intercepta o raio original 
 por quatro vezes. A figura 60 é um esboço da situação.
Figura 60 – Oscilações radiais para um oscilador harmônico isotrópico 
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 5)
1) É dada a força atrativa 
.
a) Escreva a energia potencial efetiva.
b) Esse tipo de força admite órbita circular?
c) Se admitir, encontre o raio da circunferência.
d) Qual a frequência angular de pequenas oscilações, supondo que a órbita tenha sofrido uma pequena perturbação?
2) No exemplo 37, foi excluído o caso de 
. A intenção é discutir a estabilidade de órbitas circulares quando a força é do tipo 
. 
a) Encontre o potencial efetivo
b) É possível órbita circular estável? 
c) Em caso afirmativo, ache o raio da circunferência.
d) Mostre que a frequência radial para pequenas oscilações é dada por 
.
3) Usando (269), mostre que a condição para que a força central, 
 (
 positivos),
 apresente órbita circular estável é dada por 
.
6 – FORÇAS QUE VARIAM COM 
	A lei do inverso do quadrado é a mais importante de todas as forças centrais e, por isso, merece um tratamento detalhado. A força gravitacional e a força eletrostática são exemplos fundamentais de interações que variam com 
. Quando for abordada especificamente a força gravitacional, ver-se-á que a primeira e a terceira leis de Kepler, enunciadas no primeiro capítulo do livro Física Geral II, são consequências desse tipo de interação. Entretanto, a segunda lei (lei das áreas) decorre do fato de a força ser central e sua validade não se restringir a forças que variam com 
: ela reflete meramente a característica da conservação do momento angular. 
	A exemplo do que foi feito até agora, o centro de força será mantido fixo na origem do sistema de coordenadas, que coincide com o centro de massa, conforme a discussão realizada no início desta quarta parte. 
	No exemplo 31, parte (b), a força central foi escrita com um sinal negativo agregado à constante, porém, nesta seção, a força será representada por:
					(277).
	Associada a essa força existe uma energia potencial dada por:
					(278).
Note que se fez o ponto de referência coincidir com ∞ para evitar a constante aditiva na função energia potencial. Esse procedimento é comum e em nada modifica a descrição do movimento porque, na realidade, medem-se variações de energia potencial e não propriamente uma energia potencial absoluta (como se isso fosse factível).
	A constante K em (227) pode representar, por exemplo, o termo 
 no caso gravitacional (onde é sempre atrativa); ou 
 no caso eletrostático, com a convenção usual de se atribuir um sinal a cada carga: cargas de mesmo sinal se repelem e de sinais contrários se atraem. Assim, no caso eletrostático, a constante K pode ser positiva (repulsão) ou negativa (atração).
	O potencial efetivo para 
dado por (278) é escrito como:
					(279).
A figura 61 mostra diversas curvas para o potencial efetivo. Para 
, a curva decresce monotonicamente quando r cresce e 
 é positivo para qualquer r finito: somente energias mecânicas positivas são possíveis e o movimento é não limitado. A partícula se aproxima do centro de força e é arremetida para 
. Quando 
 (
), 
 para r finito. Novamente, somente energias mecânicas positivas são aceitáveis. Como no caso anterior, o movimento não é confinado a uma região limitada do espaço. Na verdade, trata-se de movimento retilíneo uniforme porque a força resultante é nula e, se 
, a partícula se move diretamente em direção ao centro de força até a colisão.
Figura 61 – Potencial efetivo para diversas combinações de L e K 
 Para valores negativos de K, a força é atrativa e, portanto, têm-se duas possibilidades: se 
, o potencial efetivo se reduz ao potencial associado à força F(r) e a trajetória será semelhante a uma queda livre para o centro de força. O caso mais interessante envolve 
. A curva do potencial efetivo apresenta um mínimo e, por isso, dependendo do valor da energia mecânica do sistema, diversas órbitas são possíveis. Para 
, o movimento é não limitado; quando 
, as trajetórias ocorrem em uma região limitada do espaço (estado ligado); para o valor mínimo, 
, a partícula executa um movimento circular uniforme. A figura 62 representa as trajetórias não limitadas (estados não ligados) para algumas combinações de K e L. As figuras 61 e 62 complementam-se de maneira a permitir uma visualização dos movimentos.
Figura 62 – Algumas possíveis trajetórias para estados não ligados quando 
	Quando K é negativo, a curva de 
 corta o eixo r uma única vez em 	
:
			(280).
O ponto de mínimo ocorre para 
:
 
 
		(281).
O valor mínimo de 
 acontece em 
:
				(282).
Esses resultados já haviam sido estabelecidos no exemplo 31.
	Para analisar quantitativamente o movimento sujeito à força central 
, será considerada a equação diferencial da órbita (263):
			(283).
Essa equação tem a mesma forma de um oscilador harmônico simples, forçado, e com frequência angular unitária. Então, a solução geral é dada pela soma da homogênea com uma particular:
				(284).
A solução (284) pode ser escrita para 
:
				(285).
Essa é a equação de uma cônica (elipse, parábola, hipérbole) em coordenadas polares; as constantes 
 são determinadas das condições iniciais. O foco de cada uma dessas curvas está no ponto 
, e, portanto, o centro de força está também no foco.
	É usual medir o ângulo polar, θ, a partir do raio vetor, r, em relação ao ponto de maior aproximação da partícula em relação ao centro de força: esse ponto é chamado de periélio no caso das órbitas planetárias. Isso equivale a fazer 
, ou seja, fazer o eixo polar coincidir com o eixo x. Assim, (285) pode ser escrita como:
 
				(286).
Analisando a expressão (286), vê-se que o valor de 
 ocorre quando 
 for máximo: isso é conseguido fazendo-se 
 (
). Portanto,
 				(287).
O valor de 
 ocorre quando 
 for mínimo: isso acontece para 
(
) e tem-se:
				(288).
A variável r é sempre positiva e, portanto, 
 também será. Analisando-se (287) e (288): em (287), vê-se que é possível essa condição se cumprir somente se 
 ou 
. Se o valor da constante K é positiva ou negativa, é sempre possível escolher um valor para A de tal forma que a desigualdade seja satisfeita. Entretanto, em (288), a situação é diferente: 
 indica que, se a constante K for positiva (repulsão), então esse termo será negativo; portanto, não existe um 
 (finito). Isso significa que, para valores positivos de K, não existem órbitas limitadas. Porém, quando 
(atração), é possível que existam órbitas limitadas (estados ligados) para certos valores de A. 
	A discussão precedente se tornaria mais compreensível caso se conhecesse a constante A em termos dos parâmetros que caracterizam o movimento. Para 
 e para 
( pontos de retorno), a velocidade radial se anula e, quando isso ocorre, a energia mecânica se iguala ao potencial efetivo:
 
			(289).
Quando essa equação for resolvida, serão determinados 
, porque ela é válida para esses pontos.
.			(290).
Com a substituição 
, essa equação fica: 
			(291).
Essa equação do segundo grau tem raízes dadas por:
 			(292).
Determinando-se duas raízes: 
 e 
, a correspondência é óbvia porque u é o recíproco de r. 
	O valor mínimo de r é dado por:
			(293).
O valorcorrespondente a r máximo é:
			(294).
A relação (293) [ou (294)] pode ser comparada com (287) [ou (288)] para se obter a constante A. Por exemplo, considere (293) e (287):
 
 			 (295).
Encontrado o valor de A, pode-se escrever a equação da cônica em coordenadas polares:
			(296).
A relação (294) reafirma a conclusão a que chegamos anteriormente: para K positivo, 
seria negativo, indicando que 
 deveria ser negativo, o que contraria o campo de definição da variável r. Portanto, para forças repulsivas não existe 
finito. 
	A equação da cônica em coordenadas polares, (296), restringe os valores da energia mecânica, 
,
para que a variável r seja real. Assim, tem-se:
			(297).
A igualdade é o valor mínimo do potencial efetivo dado pela relação (282). 
	Para analisar as órbitas possíveis, estaremos considerando 
 e a curva da energia potencial efetiva é reproduzida na figura 63.
	Um caso particular já discutido refere-se ao valor mínimo da 
: para 
, a equação da órbita (296) se reduz a:
Figura 63 – Potencial efetivo 
, com 
.
Obviamente, essa constante é positiva porque 
. Se você observar as expressões (293) e (294) para esse valor de energia mecânica, elas coincidem:
				(298).
O resultado não chega a ser surpreendente, pois, no ponto de mínimo de 
, a trajetória é uma circunferência e, portanto, 
 coincidem.
ESTUDO DAS CÔNICAS E DAS ÓRBITAS
Uma cônica é gerada pelo corte de um cone. Dependendo de como se efetua esse corte, diversas curvas podem surgir: a figura 64 mostra essas possibilidades.
Figura 64 – Os cortes em um cone
(a) ELIPSE
	A elipse é definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano, cuja soma das distâncias a dois focos fixos é constante. A figura 65 representa uma elipse e alguns parâmetros relevantes.
Figura 65 – A geometria da elipse 
Com a notação indicada na figura, tem-se:
					(299),
					(300).
De (299) tem-se:
				(301).
De (300) tem-se:
				(302).
Pode-se igualar (301) e (302):
					(303).
Essa é a equação de uma elipse com um dos focos na origem e o eixo polar coincidindo com o eixo x. O parâmetro 
 é chamado de excentricidade e, para a elipse, ele tem valores no intervalo 
.
	A excentricidade deve estar ligada, de alguma forma, às constantes de movimento, 
. Vamos considerar inicialmente a elipse que acabamos de estudar.
Para isso, é necessário comparar a equação (296) com a equação (303):
			(296).
A equação (303), para efeito de comparação, é escrita como:
				(303).
Comparando as duas expressões, conclui-se que:
(I) 
 que é positivo porque 
. Para explicitar essa condição, pode-se escrever 
.
(II) 
					(304).
Como se suspeitava, a elipse descrita pela partícula é função da energia mecânica e do momento angular. 
	Para a elipse, 
, e, portanto, 
 
.
Para satisfazer a desigualdade, 
 deve ser negativa, porém, 
, ou seja,
.
Então, para a elipse, o intervalo de energia deve ser:
 ou 
				(305).
Continuando a análise, para 
, a excentricidade se anula [verifique isso na equação (304)]. Portanto, para 
, tem-se uma circunferência que pode ser entendida como uma elipse degenerada, na qual os dois focos coincidem e se encontram no centro da “ex-elipse”. 
	Algumas propriedades da elipse podem ser enumeradas. Na figura 65, o semi-eixo menor b está relacionado com o semi-eixo maior a pela relação: 
.
A área da elipse pode ser obtida por integração e vale: 
.
	Trajetórias elípticas são características de estados ligados, isto é, existem 
. 
As leis de Kepler.
	Os resultados expressos pelo desenvolvimento feito são uma formalização da primeira lei de Kepler: os planetas se movem em elipses com o Sol em um dos focos. Portanto, essa lei, enunciada cerca de 80 anos antes da lei da Gravitação, decorre do fato de a força variar com 
. A rápida aceitação e o grau de confiabilidade da lei da Gravitação podem, em certa extensão, ser atribuídos à primeira lei (empírica) enunciada por Kepler. 
	A terceira lei de Kepler pode ser obtida combinando a segunda com a primeira, no seguinte sentido. A segunda lei estabelece a velocidade areal (236):
			(306),
onde τ é o tempo necessário para que o planeta complete uma revolução ao redor do centro de força (Sol). Como a área de uma elipse é 
, tem-se:
				(307).
Usando o resultado (306) para o quadrado do período e a relação (307), tem-se:
 ou 
.
Entretanto, 
 [pela relação (I) estabelecida logo após a eq. 303] e substituindo e simplificando-se, obtém-se:
				(308).
A constante 
 para os planetas do sistema solar é dada por 
 e, portanto, pode-se escrever
		(309).
Essa é a expressão matemática da terceira lei de Kepler: o quadrado do período de revolução dividido pelo cubo do semi-eixo maior, a, é uma constante para todos os planetas.
A terceira lei de Kepler decorre do fato de a força gravitacional ser diretamente proporcional à massa do planeta.
	A tabela 1 mostra diversos parâmetros sobre os corpos do sistema solar; observando a coluna das excentricidades, pode-se perceber que quase todos os planetas possuem sua órbita quase circular em torno do Sol. As exceções são Mercúrio, Marte e Plutão. 
	Os períodos e os semi-eixos maiores são expressos em anos e em unidades astronômicas (U.A.), respectivamente. Com essas unidades, a constante que aparece à direita na terceira de Kepler é muito próxima da unidade.
	Como última observação, considere um lançamento oblíquo de certa massa: ele foi estudado no livro Física Geral I com o título lançamento de projéteis e a trajetória encontrada foi uma parábola. Após estudar as órbitas sob ação de força central que varia com 
, percebe-se que o projétil, na verdade, deve seguir uma trajetória elíptica com o centro da Terra em um dos focos. A forma parabólica é somente uma aproximação pelo fato de se considerar a altura muito menor do que o raio da Terra e, portanto, a força gravitacional se mantém essencialmente constante. Sob essas circunstâncias, o arco de elipse pode ser aproximado por um arco parabólico.
TABELA 1 – ALGUNS PARÂMETROS DO SISTEMA SOLAR
	
	Nome
	Eixo semi maior (a)*
	Período (anos)
	Excentricidade
(ε)
	Massa**
	Sol 
	--------
	------
	---------------
	3.33
	Mercúrio
	0.3871
	0.2408
	0.2056
	0.0553
	Vênus 
	0.7233
	0.6152
	0.0068
	0.8150
	Terra
	1.000
	1.000
	0.0167
	1.000
	Marte
	1.5237
	1.8809
	0.0934
	0.1074
	Júpiter 
	5.2028
	11.862
	0.0483
	317.9
	Saturno
	9.5388
	29.456
	0.0560
	95.3
	Urano
	19.191
	84.07
	0.0461
	14.56
	Netuno 
	30.061
	164.81
	0.0100
	17.15
	Plutão 
	39.529
	248.53
	0.2484
	0.002
	Halley (cometa)
	18
	76
	0.967
	
	Eros (asteróide)
	1.4583
	1.7610
	0.2230
	
* Em unidades astronômicas (U.A.
).
** Em unidades da massa da Terra 
.
EXEMPLO 39
 	O cometa Halley tem órbita elíptica bastante alongada (
) e possui um período de 76 anos. Usando os dados da tabela 1:
(a) Encontre sua máxima aproximação do Sol (periélio) e sua distância máxima do Sol (afélio).
(b) Compare esses resultados com as órbitas dos planetas.
(c) Supondo que a Terra esteja em seu periélio também, calcule a distância entre os dois corpos. Considere que ambas as órbitas estejam no mesmo plano.
SOLUÇÃO
Para calcular a máxima aproximação e máximo distanciamento para uma trajetória elíptica, usa-se a figura 65 com as notações características.
.
.
(a) Com os valores do semi-eixo maior dados na Tabela 1, tem-se:
periélio → 
. Portanto,
 
 ou 
.
afélio → 
. Então,
 ou 
.
(b) O valor de 
 indica que o cometa Halley passa “dentro” da órbita de Vênus, 
, e
“além” da órbita de Netuno:
.
(c) O periélio da Terra é dado por:
 ou 
.
Então, a distânciaentre o cometa e a Terra é dada por: 
.
Esse valor é cerca de 150 vezes maior que a distância Terra-Lua.
(b) PARÁBOLA
	A parábola é definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) no plano, distando a do foco. A figura 66 mostra uma parábola com seus parâmetros característicos. Analogamente ao caso da elipse, o eixo polar coincide com o eixo x e o foco se localiza na origem. 	
Figura 66 – A geometria da parábola 
	Da figura vê-se que:
 e 
.
Como 
, tem-se:
 
, ou 
			(310).
	Essa é a equação de uma parábola em coordenadas polares com o foco na origem do sistema de coordenadas e o eixo polar na direção x.
Comparando a equação da parábola em coordenadas polares com a equação geral das cônicas (296), tem-se:
(I) 
, porque K é negativo.
(II) 
.
A única possibilidade de haver essa igualdade é que o termo entre parênteses seja unitário:
, porque L, m e K são não nulos.
	A energia mecânica sendo nula, a excentricidade ε tem valor unitário para a parábola, como pode ser visto da equação geral das cônicas, [compare 310 e 311]:
				(311).
	A figura 67 reproduz a curva de energia potencial efetiva e mostra a energia mecânica nula coincidindo com o eixo r. Note que o raio 
 nesse caso é menor do que aquele correspondente à trajetória elíptica: a partícula consegue se aproximar mais do centro de força. Por outro lado, o movimento é ilimitado e a partícula atinge assintoticamente o infinito com velocidade nula. Portanto, não se tem um estado ligado. 
	Órbitas parabólicas só existem para potenciais atrativos: basta analisar a curva do potencial efetivo [figura 61] e ver que, para 
, a energia mecânica, 
, não pode ser nula.
Figura 67 – O potencial efetivo e a energia mecânica nula 
	.
(c) HIPÉRBOLE 
	A hipérbole é definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias a dois focos fixos é constante. A diferença pode ser positiva ou negativa e isso faz com que a hipérbole tenha dois ramos. A figura 68 representa uma hipérbole com seus dois ramos (positivo e negativo).
Figura 68 – A geometria da hipérbole
	Como usual, o foco F (onde se localiza o centro de força) está na origem do sistema de coordenadas e o eixo polar coincide com o eixo x. Vamos analisar o ramo positivo da hipérbole. 
				(312),
				(313).
O quadrado das relações (312) e (313) dão respectivamente:
 					(314),
		(315).
Igualando as expressões (314) e (315):
				(316).
Essa equação representa o ramo positivo de uma hipérbole. O centro de força estando em F, essa trajetória corresponde a uma interação atrativa. Nesse caso, 
é menor do que as distâncias mínimas para as duas outras cônicas: a trajetória hiperbólica é a que mais se aproxima do centro de força atrativo (obviamente para interações que variam com 
). Uma maneira de se convencer disso é observar a curva de 
: para energias mecânicas positivas (como deve ser para suportar órbitas hiperbólicas), a partícula atinge menores distâncias do centro de força. Essas comparações são válidas quando se considera o mesmo valor para o momento angular.
Figura 69 – O potencial efetivo e energia mecânica positiva
	Sabe-se que, para a hipérbole, 
. É instrutivo refazer as comparações entre (316) e a forma geral da cônica expressa em termos dos parâmetros físicos, (296). 
		(317).
Comparando os termos semelhantes, tem-se:
(I) 
,
(II) 
.
No entanto, essa expressão deve ser igual ao segundo termo à direita de (317). Portanto, uma vez mais conclui-se que:
.
	Para 
, tem-se 
, como deve ser para trajetórias hiperbólicas. Tal como as órbitas parabólicas, as hiperbólicas não são limitadas no espaço: a partícula, vindo de 
, contorna o centro de força atrativo e retorna para 
. 
	A figura 70 mostra as situações possíveis para as regiões acessíveis ao movimento da partícula. Em (a), o movimento é circular uniforme com 
; em (b), o movimento (elíptico) ocorre dentro da região limitada pelos raios 
com 
; em (c), a partícula tem acesso a qualquer ponto na região externa ao círculo de raio 
 e isso ocorre para 
: 
FALTOU ALGUMA COISA: CIRCUNFERENCIA DE R MAX EM (b). FAZER MAIS SEPARADAS.
(a) 
 (b) 
 (c) 
.
Figura 70 – Regiões acessíveis ao movimento da partícula
	A figura 71 apresenta os quatro tipos de órbitas analisados nesta seção.
Figura 71 – Possíveis órbitas em função da energia mecânica.
COMENTÁRIO. A primeira e a terceira leis de Kepler devem ter validades aproximadas porque todos os planetas estão sujeitos às atrações mútuas, adicionalmente à atração do Sol. Por essa razão, as forças que atuam sobre cada um dos planetas não seguem exatamente a lei do inverso do quadrado. Observações cuidadosas mostram que esses desvios da idealidade são pequenos, porém, mensuráveis: com as devidas correções, foi possível a descoberta do planeta Netuno e do ex-planeta Plutão (exonerado recentemente do status de planeta). 
PROBLEMAS PROPOSTOS (SEÇÃO 6)
1) Mostre que 
 para uma trajetória parabólica é a metade do raio da circunferência descrita pela partícula, conforme dado por (281).
2) O ramo negativo da hipérbole não foi tratado no texto e, portanto, vai ser comentado como um problema. 
a) Mostre que, para o ramo negativo, tem-se 
. Isso fica mais fácil se você observar 
 no ponto de maior aproximação.
b) Escreva os vetores 
 de forma semelhante ao que foi feito em (313). Lembre-se de que o ângulo θ é definido a partir do eixo polar (eixo x) até encontrar o vetor 
. Seguindo os passos subsequentes a (313), obtenha, então, a expressão para r:
 
.
3) Mostre que, para a elipse e para a hipérbole, o parâmetro a é dado por:
.
Esse é um fato curioso porque, por exemplo, o semi-eixo maior da elipse não depende do momento angular e nem da excentricidade. Entretanto, o semi-eixo menor, b, depende do momento angular. Mostre que,
.
4) Os ramos positivo e negativo da trajetória hiperbólica apresentam assíntotas quando 
 (veja figura 68). A partir da equação de r para tais órbitas, mostre que o ângulo α é dado por:
 quando 
.
5) Se você observar as três equações para as cônicas, vai notar que elas podem ser escritas de forma geral como
e que os valores dos parâmetros A e B dependem de qual cônica se está abordando.
a) Identifique esses parâmetros para a elipse, parábola e hipérbole.
b) Usando a equação diferencial da órbita (263), mostre que a força varia com 
. De certa forma, foi o que Newton fez, baseando-se nos dados de Kepler.
6) Usando a relação 
 (veja problema 3), mostre que uma partícula, descrevendo uma elipse sob ação de uma forca que varia com 
, tem sua velocidade v dada por:
,
onde a é o semi-eixo maior da elipse. Sugestão: use a conservação da energia mecânica.
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS – parte IV
SEÇÃO 3
(1) 
.
(2) (a) 
; 
 (b) 
, 
. 
 deve ser 
.
(3) (a) 
; (b) para 
 a órbita é circular instável; (c) (I) se 
 e a partícula está “longe” (
), o movimento é ilimitado. Se a partícula está “próxima” ao centro de força (
), a partícula pode ficar aprisionada no poço de potencial, desde que 
. Caso contrário, seu movimento é ilimitado. (II) se 
, a partícula fica aprisionada no poço de potencial e pode passar pelo centro de força.
(4) (a) 
; (b) 
.
(5) (a) 
; (b) 
; (c) sim.
SEÇÃO 4
(2) Essa força não pode ser central. Para 
, a força é central.
(4) 
.
(5) (a) 
.
SEÇÃO 5
(1) (a)
; (b) Sim; (c) 
; (d) 
.
(2) (a) 
; (b) Sim; (c) 
.
Seção 6
(5) (a) elipse 
, 
; parábola 
; hipérbole (ramo positivo) 
, 
; (ramo negativo) 
; 
.
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