Apostila logaritimos

Prévia do material em texto

Logaritmos
Definição
Sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.
logab=x⇔ax=b
Com a>0, a≠1 e b>0
Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base do logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo.
Exemplo: log216=4, pois 24=16.
Definições
I) O logaritmo cujo o logaritmando é igual a 1 e a base é qualquer, é igual a zero:
loga1=0, pois a0=1
II) O logaritmo cujo a base e o logaritmando são iguais é igual a um:
logaa=1, pois a1=a
III) A potência de base "a" e expoente logab é igual a b:
alogab=b
IV) Dois logaritmos são iguais, numa mesma base, se os logaritmandos são iguais:
logab=logac⇔b=c
Propriedade dos logaritmos
1. Logaritmo do produto
O logaritmo do produto de dois fatores "a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.
Se c > 0 e c≠1, a > 0, b > 0, então:
logc(a⋅b)=logca+logcb
Exemplo: log3(9⋅27)=log39+log327=2+3=5
2. Logaritmo do quociente
O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.
Se c > 0 e c≠1, a > 0, b > 0, então:
logc(a/b)=logca−logcb
Exemplo: log3(279)=log327−log39=3−2=1
3. Logaritmo da potência
O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.
Se a > 0 e a≠1, b > 0, c∈R, então:
logabc=c⋅logab
Exemplo: log395=5⋅log39=5⋅2=10
4. Logaritmo de uma raiz
O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando:
Se a > 0 e a≠1, b > 0, n∈N∗, então:
Loga(n√b)= logab1/n=1/n⋅logab
Exemplo: log5=13⋅log525=1/3⋅2=2/3
Mudança de Base
Algumas vezes, os logaritmos com bases diferentes precisam ser transformados para outra base, de forma que ela seja a mesma para ambos.
Se a, b e c são números reais positivos, então:
logab=, a≠1 e c≠1
Exemplo: log35 transformado para a base 2 fica:
log35=log25/log23
Se a e b são reais positivos e quisermos transformar logab para a base b, temos:
logab=logbb/logba=1/logba, a≠1 e b≠1
Exemplo: log34=1/log43
Se a e b são reais positivos, temos que:
logaβb=1β⋅logab, a≠1 e β≠0
Exemplo: log3510=1/5⋅log310
Exercícios
Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
log1664
 log5(0,000064)
 log493√7
Calcule o valor da incógnita “N” em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:
log5N=3
b) log2N=8
Escrever blogba=b−2⁡a=b−2, equivale a escrever
a) a=1b2a=1b2
b) b=a2b=a2
c) a=b2a=b2
d) b2=−ab2=−a
e) b=1a2
Se log √a = 1,236, então o valor de log ³√a é:
a) 0,236.
b) 0,824
c) 1,354
d) 1,854
Sabendo que log 2 = x, log 3 = y e log 5 = z, calcule os seguintes logaritmos em função de x, y e z:
a) log 10
b) log 27
c) log 7,5
O valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 é:
a) 1
b) – 1
c) 0
d) 2
e) 0,5
Equações e inequações logarítmicas
O que é uma equação logarítmica ?
Equação logarítmica é uma equação onde a incógnita aparece num logaritmo.
Exemplo:
log3(2x + 1) = 2
Como resolver uma equação logarítmica ?
Estudaremos as equações logarítmicas que podem ser resolvidas reduzindo todos os termos a logarítmicos de mesma base.
Sendo a positivo e diferente de zero, se:
logaA = logaB   então   A = B
Observação importante:
Ao resolver uma equação logarítmica é sempre preciso verificar se as soluções encontradas satisfazem à condição de que todos os logaritmos sejam de números positivos, uma vez que não existem logaritmos de números negativos. Esta é denominada de condição de existência.
Exemplos:
Quando existirem na equação logarítmica logaritmos de bases diferentes, inicialmente reduzimos os logaritmos à mesma base.
O que é uma inequação logarítmica ?
Inequação logarítmica é toda inequação onde a incógnita aparece num logaritmo.
Exemplo:
log3(2x + 1) < 2
Como resolver uma inequação logarítmica ?
Estudaremos as inequações logarítmicas que podem ser resolvidas reduzindo todos os termos
a logarítmicos de mesma base.
Sendo a > 1, como a função é crescente
logaA > logaB   então   A > B
as desigualdades possuem o mesmo sentido
Exemplo
Sendo 0 < a < 1, como a função é decrescente
logaA > logaB   então   A < B
as desigualdades possuem o sentidos contrários
 
Função logarítmica
Estudo da variação da função logarítmica.
Dados o número real a positivo e diferente de 1, denominado de base. A função logarítmica é definida como:
f ( x ) = loga x  ou seja y = loga x
A função logarítmica é inversa da função exponencial e portanto o seu gráfico é simétrico do gráfico da função exponencial em relação à reta y = x, sendo é representada graficamente por:
intercepta o eixo OX no ponto (1 ; 0)
não intercepta o eixo OY
quando a > 1 a função é crescente
quando 0 < a < 1 a função é decrescente
Propriedades da função logarítmica.
Propriedades da função logarítmica:
D ( f ) = R*+
Im ( f ) = R
f ( x ) não é par, nem impar
f ( x ) não é limitada.
Exercícios
 log5 (2x – 3) < log5 x 
log2 (x + 3) ≥ 3
 log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
Resolução
Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:
	2x – 3 > 0
2x > 3
x > 3/2
	x > 0      
Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3
Nesse caso, a solução é 
 
Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:
x + 3 > 0
x > – 3
Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:
log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 23 
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5 
A solução é .
 
Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:
	3x > 0       
x > 0      
	2x + 5 > 0
2x > – 5
​x > – 5/2
Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os logaritmandos:
log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5
Nesse caso, a solução é ​.
Exercícios
 Descubra o valor de x para que a igualdade abaixo seja válida.
log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5
Resolva a equação logarítmica 
logx + 3 (5x – 1) = 1.
Resolução:
Vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:
	3x + 10 > 0
3x > – 10
x > – 10
3
	        x > 0
Sabendo que a subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente, reescreveremos a equação da seguinte forma:
log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5
Podemos desconsiderar os logaritmos e igualar os logaritmandos:
3x + 10 = 5
x      
5x = 3x + 10
5x – 3x = 10
2x = 10
x = 10
     2
x = 5
Portanto, o único valor de x para que a igualdade log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5 seja válida é 5.
Vamos verificar as condições de existência do logaritmo:
	x + 3 > 0
x > – 3
5x – 1 > 0
	5x > 1
x > 1/5
Resolveremos a equação logarítmica pela propriedade básica do logaritmo:
logx + 3 (5x – 1) = 1
(5x – 1)1 = x + 3
5x – 1 = x + 3
5x – x = 3 + 1
4x = 4
x = 4
      4
x = 1
A única solução possível para logx + 3 (5x – 1) = 1 é x = 1.
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos triângulos retângulos, que possuem um ângulo de 90°. São elas: seno, cosseno e tangente.
As funções trigonométricas estão baseadas nas razões existentes entre dois lados do triângulo em função de um ângulo.
Ela são formadas por dois catetos (oposto e adjacente) e a hipotenusa:
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto adjacente sobrea hipotenusa.
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.
Círculo Trigonométrico
O círculo trigonométrico ou círculo unitário é usado no estudo das funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente.
Teoria Euclidiana
Alguns conceitos importantes da geometria euclidiana nos estudos da trigonometria são:
Lei dos Senos
A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante.
Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:
Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
Dessa maneira, sua fórmula é representada da seguinte maneira:
Lei das Tangentes
A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.
Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ, opostos a estes três lados, têm-se a expressão:
Teorema de Pitágoras
a2 = c2+ b2
Sendo,
a: hipotenusa
c e b: catetos
Relações Trigonométricas
As relações trigonométricas são relações entre valores das funções trigonométricas de um mesmo arco. Essas relações também são chamadas de identidades trigonométricas.
Inicialmente a trigonometria tinha como objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos dos triângulos.
Nesse contexto, as razões trigonométricas sen θ , cos θ e tg θ são definidas como relações entre os lados de um triângulo retângulo.
Dado um triângulo retângulo ABC com um ângulo agudo θ, conforme figura abaixo:
Definimos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente em relação ao ângulo θ, como:
Sendo,
a: hipotenusa, ou seja, lado oposto ao ângulo de 90º
b: cateto oposto ao ângulo θ
c: cateto adjacente ao ângulo θ
Relações fundamentais
A trigonometria ao longo dos anos foi se tornando mais abrangente, não se restringindo apenas aos estudos dos triângulos.
Dentro deste novo contexto, define-se o círculo unitário, também chamado de circunferência trigonométrica. Ele é utilizado para estudar as funções trigonométricas.
Circunferência trigonométrica
A circunferência trigonométrica é uma circunferência orientada de raio igual a 1 unidade de comprimento. Associamos a ela um sistema de coordenadas cartesianas.
Os eixos cartesianos dividem a circunferência em 4 partes, chamadas de quadrantes. O sentido positivo é anti-horário, conforme figura abaixo:
Usando a circunferência trigonométrica, as razões que a princípio foram definidas para ângulos agudos (menores que 90º), passam a ser definidas para arcos maiores de 90º.
Para isso, associamos um ponto P, cuja abscissa é o cosseno de θ e cuja ordenada é o seno de θ.
Como todos os pontos da circunferência trigonométrica estão a uma distância de 1 unidade da origem, podemos usar o teorema de Pitágoras. O que resulta na seguinte relação trigonométrica fundamental:
Podemos definir ainda a tg x, de um arco de medida x, no círculo trigonométrico como sendo:
Outras relações fundamentais:
Cotangente do arco de medida x
Secante do arco de medida x.
Cossecante do arco de medida x.
Relações trigonométricas derivadas
Partido das relações apresentadas, podemos encontrar outras relações. Abaixo, mostramos duas importantes relações decorrentes das relações fundamentais.
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são:
Função Seno
Função Cosseno
Função Tangente
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos
Funções Periódicas
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f.
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.
Função Seno
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = sen x
No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1.
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:
Função Cosseno
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = cos x
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:
Gráfico da função cosseno
Função Tangente
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:
função f(x) = tg x
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x).
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:
ProfªBianca