Matematica e logica com exercicios

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TEORIA MATEMÁTICA BÁSICA
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. 
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 
DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
DIVISIBILIDADE POR 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 
DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
DIVISIBILIDADE POR 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
DIVISIBILIDADE POR 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
DIVISIBILIDADE POR 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
    Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
    Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
    Si-Sp = 22-11 = 11
    Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087
    Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
    Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
    Si-Sp = 10-21
    Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
    Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 
DIVISIBILIDADE POR 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).
DIVISIBILIDADE POR 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).
DIVISIBILIDADE POR 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
NÚMEROS PRIMOS
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
        Exemplos:
            1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
            2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
            3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
        Observações:
        => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
        => 2 é o único número primo que é par.
        Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
        Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. 
Reconhecimento de um número primo 
            Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
            =>  ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
            =>  ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161: 
não é par, portanto não é divisível por 2; 
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; 
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; 
por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113: 
não é par, portanto não é divisível por 2; 
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; 
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; 
por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). 
por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. 
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
        Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. 
        Decomposição do número 24 num produto:
        24 = 4 x 6
        24 = 2 x 2 x 6
        24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
        No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
        Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
	De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.
Regra prática para a fatoração 
        Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
	1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.
	
        Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
                  630 = 2 x 32 x 5 x 7. 
DETERMINAÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
         Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.
         Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
	1º) decompomos o número em fatores primos; 
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;
	
	3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;
	
	4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
	
Portanto os divisores de 90 são 1, 2,3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
MÁXIMO DIVISOR COMUM
  Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
	O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
        Alguns exemplos:
         mdc (6,12) = 6
         mdc (12,20) = 4
         mdc (20,24) = 4
         mdc (12,20,24) = 4
         mdc (6,12,15) = 3 
CÁLCULO DO M.D.C.
            Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =       2 x 3 x 3 x 5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns =>   m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2  x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
	O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.
  
CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
            Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
    Regra prática:
    1º) dividimos o número maior pelo número menor;
            48 / 30 = 1 (com resto 18)
    2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
            30 / 18 = 1 (com resto 12)
            18 / 12 = 1 (com resto 6)
            12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
    3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
	Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
        Exemplos:
         Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
         Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
   
PROPRIEDADE DO M.D.C. 
         Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
  6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
	Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL 
        Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
        24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
	Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.
        Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
        Exemplo: os múltiplos de 7 são:
                            7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ...  =  0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
        Observações importantes:
        1) Um número tem infinitos múltiplos
        2) Zero é múltiplo de qualquer número natural
  
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
            Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
            Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
            Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...
            Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
            Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...
            Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.
	O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
  
CÁLCULO DO M.M.C.
            Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
    1º) decompomos os números em fatores primos
    2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
                   12   =  2  x  2  x  3
                   30   =          2  x  3   x  5
        m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5
        Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
        12 = 22  x  3
        30 = 2   x  3  x  5 
        m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5
	O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
    
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
	            Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) 
            Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
	
  
PROPRIEDADE DO M.M.C.
         Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
	Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.
         Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
	Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.
TEORIA DOS CONJUNTOS
Símbolos
	: pertence 
	: existe
	: não pertence 
	: não existe 
	: está contido
	: para todo (ou qualquer que seja) 
	: não está contido
	: conjunto vazio
	: contém 
	N: conjunto dos números naturais 
	: não contém 
	Z : conjunto dos números inteiros 
	/ : tal que 
	Q: conjunto dos números racionais 
	: implica que 
	Q'= I: conjunto dos números irracionais
	: se, e somente se
	R: conjunto dos números reais
Símbolos das operações
	: A intersecção B 
	: A união B 
	a - b: diferença de A com B 
	a < b: a menor que b 
	: a menor ou igual a b
	a > b: a maior que b 
	: a maior ou igual a b 
	: a e b 
	: a ou b
CONCEITOS DE CONJUNTOS
   Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por
 { } ou .
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja AB. Observações:
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; 
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 
   
União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: 
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja 
Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se peoduto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja 
Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A.
PORCENTAGEM
    É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa queem cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
    
RAZÃO CENTESIMAL
    Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
    Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
    
    As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
    Considere o seguinte problema:
    João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
    Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
    Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
    Portanto, chegamos a seguinte definição:
	Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
    Exemplos:
Calcular 10% de 300.
        
    
Calcular 25% de 200kg.
        
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
	  Retângulo
 
	Quadrado
 
	Triângulo
 
	Paralelogramo
 
	Trapézio
 
	Losango
 
	Triângulo equilátero
MEDIDAS DE COMPRIMENTO
  Leitura das Medidas de Comprimento
    A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.
Seqüência prática
    1º)    Escrever o quadro de unidades:
	km
	hm
	dam
	m
	dm
	cm
	mm
	   
	   
	   
	   
	   
	   
	   
    2º)    Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.
	km
	hm
	dam
	m
	dm
	cm
	mm
	   
	   
	1
	5,
	0
	4
	8
    3º)    Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.
15 metros e 48 milímetros
    Outros exemplos:
	6,07 km
	lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"
	82,107 dam
	lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".
	0,003 m
	lê-se "três milímetros".
 
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
    
    Observe as seguintes transformações:
    Transforme 16,584hm em m. 
	km
	hm
	dam
	m
	dm
	cm
	mm
              
 Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
                16,584 x 100 = 1.658,4
              Ou seja:
                16,584hm = 1.658,4m
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.   
	Múltiplos 
	Unidade Fundamental 
	Submúltiplos 
	quilômetros quadrado   
	hectômetro quadrado 
	decâmetro quadrado 
	metro quadrado 
	decímetro quadrado 
	centímetro quadrado 
	milímetro quadrado 
	km2 
	hm2
	dam2
	m2 
	dm2 
	cm2
	mm2
	1.000.000m2
	10.000m2
	100m2
	1m2
	0,01m2
	0,0001m2
	0,000001m2   
 
	km2 
	hm2
	dam2
	m2 
	dm2 
	cm2
	mm2
 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
    No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
    Observe as seguintes transformações:
transformar 2,36 m2 em mm2. 
	km2 
	hm2
	dam2
	m2 
	dm2 
	cm2
	mm2
    Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).
    2,36 x 1.000.000  =  2.360.000 mm2
transformar 580,2 dam2 em km2. 
	km2 
	hm2
	dam2
	m2 
	dm2 
	cm2
	mm2
    Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
    580,2 : 10.000  =  0,05802 km2
Medidas Agrárias
    As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). 
	Unidade
agrária
	hectare (ha)
	are (a)
	centiare (ca)
	    Equivalência
de valor
	100a
	1a
	0,01a
Lembre-se:1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
MEDIDAS DE VOLUME
    Introdução
    Freqüentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. 
    Metro cúbico
    A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. 
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
	Múltiplos 
	Unidade Fundamental 
	Submúltiplos 
	quilômetro cúbico 
	hectômetro cúbico 
	decâmetro cúbico 
	metro cúbico 
	decímetro cúbico 
	centímetro cúbico 
	milímetro cúbico 
	km3 
	hm3 
	dam3 
	m3 
	dm3 
	cm3 
	mm3 
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
   Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
  Observe a seguinte transformação:
transformar 2,45 m3 para dm3. 
	km3 
	hm3
	dam3
	m3 
	dm3 
	cm3
	mm3
    Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
    2,45 x 1.000  =  2.450 dm3
MEDIDAS DE CAPACIDADE
    A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.
    A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. 
    Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 
    1l = 1dm3 
    MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO LITRO
	Múltiplos 
	Unidade Fundamental 
	Submúltiplos 
	quilolitro 
	hectolitro 
	decalitro 
	litro 
	decilitro 
	centilitro 
	mililitro 
	kl 
	hl 
	dal 
	l 
	dl 
	cl 
	ml 
	1000l 
	100l 
	10l 
	1l 
	0,1l 
	0,01l 
	0,001l 
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações
1l = 1dm3 
1ml = 1cm3 
1kl = 1m3 
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
   Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
  Observe a seguinte transformação:
transformar 3,19 l para ml. 
	kl
	hl
	dal
	l
	dl
	cl
	ml
    Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).
    3,19 x 1.000  =  3.190 ml
   
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
    A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n.
MÉDIA PONDERADA
    Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.
    Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.
DEFINIÇÃO DE MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA:
A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja importância relativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira:
p = 
EXEMPLO: Alcebíades participou de umconcurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve?
p =   
    Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45. 
Razões trigonométricas
Catetos e Hipotenusa
   Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.
   Observe a figura:
	
	Hipotenusa:    
Catetos:         e 
 
Seno, Cosseno e Tangente
   Considere um triângulo retângulo BAC:
	
	Hipotenusa:    , m() = a. 
Catetos:         , m() = b.
                       , m() = c.
Ângulos:         ,   e  .
   Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:
Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
	
    Assim:
	
	
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
	
   Assim:
	
	
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Tangente
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. 
	
    Assim:
	
	
  
  Exemplo:
	
	
	
  
   Observações:
    1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. 
                Assim:
                                
    2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.
    3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores    que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.
As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
  
Resumindo
	x
	sen x
	cos x
	tg x
	30º
	
	
	
	45º
	
	
	
	60º
	
	
	
Equações de 2º grau
Definições
   Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:
	ax2 + bx + c = 0; a, b, c  IR e 
    
Exemplo:
x2 - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6. 
6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1. 
7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0. 
x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36. 
    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.
                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;
                                                b    é sempre o coeficiente de x,
                                                c    é o coeficiente ou termo independente.
 
Equação completas e Incompletas
    Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.
    Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:
	x² - 36 = 0
(b = 0) 
	x² - 10x = 0
(c = 0) 
	4x² = 0
(b = c = 0) 
Raízes de uma equação do 2º grau
    Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.
	Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.
    O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:
Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
x² - x - 2 = 0 ? 
            Solução
            Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.
	Para x = -1
	(-1)² - (-1) - 2 = 0
1 + 1 - 2 = 0
0 = 0
	(V)
	Para x = 0
	0² - 0 - 2 = 0
0 - 0 -2 = 0
-2 = 0
	(F)
	Para x = 1
	1² - 1 - 2 = 0
1 - 1 - 2 = 0
-2 = 0
	(F)
	Para x = 2
	2² - 2 - 2 = 0
4 - 2 - 2 = 0
0 = 0
	(V)
   Logo, -1 e 2 são raízes da equação.
Resolução de equações incompletas
   Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
    Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:
   1ª Propriedade:  
   2ª Propriedade:  
 
   1º Caso: Equação do tipo  .
   Exemplo:
Determine as raízes da equação , sendo .
Solução
Inicialmente, colocamos x em evidência:
                 
   Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
                                                
   Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
                                                
   De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e  .
  2º Caso: Equação do tipo  
   Exemplos:
Determine as raízes da equação , sendo U = IR. 
            Solução
                        
      De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.
Resolução de equações completas
    Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
    A partir da equação , em que a, b, c    IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
	1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
	2º passo: passar 4ac par o 2º membro.
	3º passo: adicionar aos dois membros.
	4º passo: fatorar o 1º elemento.
	5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.
	6º passo: passar b para o 2º membro.
	7º passo: dividir os dois membros por .
   Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
	
    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
   
   Exemplos:
resolução a equação: 
Temos  
                        
	Resumindo
  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:
  Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.
  Para , a equação tem duas raízes reais iguais.
  Para , a equação não tem raízes reais.
NOÇÕES DE LÓGICA
SENTENÇA OU PROPOSIÇÃO
Sentença ou proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem uma idéia.
Exemplos:
O elefante é um mamífero
As árvores falam.
Há infinitos números primos.
Nosso interesse irá se concentrar nas proposições que podem assumir apenas dois valores lógicos: verdadeiro ou falso.
MODIFICADOR
Uma proposição pode ser formada a partir de outra, pelo uso do modificador “não”. Ao acrescentar o modificador “não” a uma proposição obtemos a sua negação.
Indicando uma proposição por p, sua negação será representada por ~ p, que se lê: “não p” .
Exemplos:
p: Isabel tem olhos azuis.
 ~ p: Isabel NÃO tem olhos azuis.
q: dois é um número par
 ~ q: dois NÃO é um número par.
Se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa. DA mesma forma, se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira.
Temos, então, a seguinte tabela – verdade:
	p
	~ p
	V
	F
	F
	V
Exemplo:
a) p: o gato é um animal (V)
 ~ p : o gato não é um animal (F)
b) q: três não é um número ímpar (F)
 ~ q: três é um número ímpar (V)
É fácil observar que, em qualquer caso: ~ (~ p) = p
CONECTIVOS
Conectivos são palavras usadas para formar uma proposição a partir de outra.
Os principais conectivos são: “e”, “ou”, “se... então”, “se e somente se”.
Exemplos de proposições formadas a partir de conectivos:
dez é um número par e futebol é um esporte.
Se hoje é Domingo então amanhã é quarta-feira.
Denomina-se proposiçãosimples ou atômica a toda proposição que não contenha nenhuma outra proposição, isto é, que não tenha nenhum conectivo.
Ex.: hoje é feriado. 
Denomina-se proposição composta ou molecular à proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições, isto é, que contenha ao menos um conectivo.
Ex.: a laranja é uma fruta ou os leões são mansos.
O CONECTIVO “E” ( /\ )
Sejam:
P: a água do mar é salgada.
Q: todo pássaro tem quatro pernas
A proposição p /\ q será: “a água do mar é salgada e todo pássaro tem quatro pernas”.
À proposição p /\ q dá-se o nome de conjunção.
A conjunção p /\ q somente será verdadeira quando p e q forem verdadeiras.
Tem-se, então, a seguinte tabela - verdade:
	p
	q
	p /\ q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
O CONECTIVO “OU” ( \/ )
Sejam:
p: Raquel gosta de praia.
q: José é pintor. 
A proposição p \/ q será: “Raquel gosta de praia ou José é pintor”.
À proposição p \/ q dá-se o nome de disjunção.
A disjunção p \/ q somente será falsa quando ambas as proposições forem falsas.
A tabela-verdade de uma disjunção é:
	p
	q
	p \/ q
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
O CONECTIVO “SE... ENTÃO” ( )
Sejam:
p: hoje é Sábado.
q: amanhã irei à praia.
A proposição p q será: “se hoje é Sábado então amanhã irei à praia”.
A proposição p q é denominada condicional ou subcondicional.
Vejamos o seguinte exemplo: José diz: “se Sábado chover então ficarei estudando”.
Considere, agora as seguintes situações e vejamos se José cumpriu sua palavra:
Sábado choveu e José ficou estudando.
 José cumpriu sua palavra.
Sábado choveu e José não ficou estudando.
 José não cumpriu sua palavra.
Sábado não choveu e José ficou estudando.
 José cumpriu sua palavra, pois não disse o que faria caso não chovesse, o que 
 significa que poderia ou não ficar estudando.
Sábado não choveu e José não ficou estudando.
 José também cumpriu sua palavra, pelos mesmos motivos explicados na letra “c”.
É fácil observar que a proposição p q somente será falsa quando apenas q for falsa.
Sua tabela-verdade é:
	p
	q
	p q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
O CONECTIVO “SE E SOMENTE SE” (↔)
Sejam:
P: a lua é um satélite.
Q: a Terra é um planeta.
A proposição p ↔ q será: “ a lua é um satélite se e somente se a Terra é um planeta”.
A proposição p ↔ q recebe o nome de bicondicional ou bijunção.
Tomemos o exemplo: Paulo diz: “sairei de casa se e somente se o Palmeiras ganhar”.
Considere agora as situações seguintes:
O Palmeiras ganhou e Paulo saiu de casa.
 Paulo cumpriu sua palavra.
O Palmeiras ganhou e Paulo não saiu de casa.
 Paulo não cumpriu sua palavra.
O Palmeiras não ganhou e Paulo saiu de casa.
 Paulo não cumpriu sua palavra.
O Palmeiras não ganhou e Paulo não saiu de casa.
 Paulo cumpriu sua palavra.
A tabela-verdade de p ↔ q é:
	p
	q
	p ↔ q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
TAUTOLOGIA
Denomina-se tautologia à proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram.
Exemplo:
José diz: “hoje é Domingo ou hoje não é Domingo”
Observe que José está sempre dizendo a verdade, não importa que dia seja hoje.
Em nosso exemplo, temos a seguinte tautologia: p \/ ( ~ p), cuja tabela-verdade é:
	p
	~ p
	p \/ ( ~ p )
	V
	F
	V
	F
	V
	V
CONTRADIÇÃO
Denomina-se contradição à proposição que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram.
Exemplo: “hoje é Domingo e hoje não é Domingo”.
Em nosso exemplo, temos a seguinte contradição: p /\ ( ~ p ), cuja tabela-verdade é:
	p
	~ p
	p /\ ( ~ p )
	V
	F
	F
	F
	V
	F
EXERCÍCIOS
Três irmãos – João, Eduardo e Ricardo – jogavam futebol quando, em dado momento quebraram a vidraça da sala de sua mãe. Furiosa a mãe perguntou quem foi o responsável.
Somente um dos três garotos dizia a verdade, e a mãe sabia que Eduardo estava mentindo.
Então:
Ricardo, além de mentir, quebrou a vidraça.
João mentiu, mas não quebrou a vidraça.
Ricardo disse a verdade.
Não foi Ricardo que quebrou a vidraça.
Quem quebrou a vidraça foi Eduardo ou João.
Existem três bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho, uma de branco e outra de azul, não necessariamente nesta ordem. Somente uma das seguintes afirmações é verdadeira:
 A é vermelha
 B não é vermelha
 C não é azul
Então:
A é azul, B é branca, C é vermelha.
A é azul, B é vermelha, C é branca.
A é branca, B é azul, C é vermelha.
A é branca, B é vermelha, C é azul.
A é vermelha, B é azul, C é branca.
Recebi um cartão onde estavam impressas 4 informações:
 Neste cartão exatamente uma sentença é falsa.
 Neste cartão exatamente duas sentenças são falsas.
 Neste cartão exatamente três sentenças são falsas.
 Neste cartão exatamente quatro sentenças são falsas.
Quantas dessas afirmações são falsas?
Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora. Raul não briga com Carla. Logo:
Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 
Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestia azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião pergunto quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Claudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente:
preto, branco, azul
preto, azul, branco
azul, preto, branco
azul, branco, preto
branco, azul, preto
Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:
 é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade.
Carlos e João são mais moços do que Pedro.
Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.
Toda criança é feliz. Algumas pessoas que usam óculos são infelizes. Logo:
as pessoas que não usam óculos são felizes.
Algumas crianças que usam óculos são infelizes.
Todas as crianças que usam óculos são felizes.
Nenhuma criança usa óculos.
Todas as alternativas anteriores estão corretas.
ATENÇÃO: nas questões abaixo envolvem seqüências de letras, utilize o alfabeto oficial que NÃO inclui as letras K, W e Y.
1) Complete a série: B D G L Q .........
(A) R (B) T (C) V (D) X (E) Z
2) A D F I : C F H .....
(A) I (B) J (C) L (D) N (E) P
3) Relacione as séries que possuem a mesma seqüência lógica e assinale a opção que contém a numeração correta>
A F B E( ) H N L J
B G E D ( ) L P N L
L H E B ( ) H N I M
G L I G ( ) U R O L 
2 4 1 3
2 1 4 3
2 4 3 1 
1 4 3 2
1 4 2 3
4) A G E C = G N L I
 D J H F ........... 
M S O Q
J M O Q
J Q P L
J Q O M
G O M J
5) 
(A) 9 (B) 36 (C) 42 (D) 48 (E) 64
6) B C F H M O O F C A C D F O R
 A D G I Q V I D D F H I N O
 C E H L R T .............. B D E L S T 
(A) T E C (B) E L T (C) T L (D) L E (E) T L E
7)
 1 ; 16 ; 25 ; 64 ; ......
 4 9 36 49 ..... 
 
(A) 82 (B) 81 (C) 100
 90 100 72
 
(D) 99 (E) 100
81
8) Considerando as afirmativas abaixo, marque a única opção logicamente possível:
I. Assinale A, e E estiver certa.
II. Assinale a letra C, se B for incorreta.
III. A letra E será o gabarito, se D for verdadeira.
IV. Se D estiver correta, B também estará.
(A) (B) (C) (D) (E)
9) 
 
 
 
 
 
 
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
 Assinale a opção que contém a sequência correta das quatro bolas, de acordo com as afirmativas abaixo:
A bola amarela está depois da branca.
A bola azul está antes da verde.
A bola que está imediatamente após a azul é maior do que a que está antes dela.
A bola verde é a menor de todas.
Branca, amarela, azul e verde.
Branca, azul, amarela e verde.
Branca, azul, verde e amarela.
Azul, branca, amarela e verde.
Azul, branca, verde e amarela.
11) 
 + + = 17
 - + = 11
 - - = 1
 x x = ......
(A) 160 (B) 135 (C) 120 (D) 108 (E) 100
Se considerarmos que cada valor expresso nos círculo representa a soma dos números que estão nos 2 vértices que delimitam o respectivo lado do triângulo, a soma dos valores correspondentes aos vértices deste triângulo será igual a:
21
25
30
35
40
13) Os carros de Artur, Bernardo e Cesar são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de Cesar é o Santana; e o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente;
cinza, verde e azul
azul, cinza e verde
azul, cinza e verde
verde, azul e cinza
Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:
A loura: "Não vou à França nem à Espanha".
A morena: "Meu nome não é Elza nem Sara".
A ruiva: "Nem eu nem Elza vamos à França".
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:
a) A loura é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e) A loura é Elza e vai à Alemanha.
 
3
12
6
96
....
24
2
4
1
1
2
8
6
3
9
4
2
5
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2
6
3
14
12
16
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