MATEMÁTICA APLICADA A ELETRÔNICA

Prévia do material em texto

ELETRÔNICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELETRÔNICA II 
Dina Chavante Freitas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2016
 
 
Presidência da República Federativa do Brasil 
Ministério da Educação 
 
Governo do Estado do Amazonas 
Centro de Educação Tecnológica do Amazonas 
 
Diretora-Presidente/CETAM 
Joésia Moreira Julião Pacheco 
 
Diretora Acadêmica 
Maria Stela Brito Cyrino 
 
Organização 
Coordenação de Cursos de Formação Inicial e Continuada 
 
Revisão 
 
 
Projeto Gráfico - Capa 
Suely de Brito Corrêa
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
O Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego (Pronatec) 
tem como objetivo expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos técnicos e 
profissionais de nível médio, e de cursos de formação inicial e continuada para 
trabalhadores e pessoas expostas a exclusão social. 
Além disso, o Pronatec visa à ampliação de vagas e expansão das redes 
estaduais de educação profissional. Ou seja, a oferta, pelos estados, de ensino 
médio concomitante com a educação profissional e a formação inicial e continuada 
para diversos públicos. 
No CETAM o Pronatec é entendido como uma ação educativa de muita 
importância, fomentando o acesso das pessoas a educação profissional e ampliando 
as ofertas da instituição, consolidando uma política de governo de qualificar 
pessoas, como instrumento de cidadania para gerar ocupação e renda.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
7 
7 
8 
10 
16 
16 
17 
18 
26 
29 
29 
29 
31 
32 
33 
33 
34 
36 
38 
42 
45 
SUMÁRIO 
 
UNIDADE 1 – MATEMÁTICA APLICADA A ELETRÔNICA 
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
1.1.2 OS CINCO CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS 
1.2 EQUAÇÃO DO 1° GRAU 
1.2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS 
1.2.2 MÉTODO DA ADIÇÃO 
1.2.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
1.3 EQUAÇÃO DO 2° GRAU 
1.3.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
1.4 ESTUDO E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS 
1.4.1GRÁFICOS 
1.4.1.1 TIPOS DE GRÁFICOS 
1.4.1.2 INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS 
1.4.2 CRESCENTE, DECRESCENTE, CONSTANTES E RAÍZES 
1.5 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTAS 
1.5.1 UM POUCO DE HISTÓRIA 
1.5.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
1.5.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
1.5.4 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
1.5.5 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
1.6 NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
UNIDADE 1 - MATEMÁTICA APLICADA A ELETRÔNICA 
 
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
A Teoria dos conjuntos é a teoria matemática dedicada ao estudo da 
associação entre objetos com uma mesma propriedade, elaborada por volta do ano 
de 1872. Sua origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemático russo Georg 
Cantor (1845-1918), os quais buscavam a mais primitiva e sintética definições de 
conjunto. Tal teoria ficou conhecida também como "teoria ingênua" ou "teoria 
intuitiva" por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) associados à 
ideia central da própria teoria. Tais antinomias levaram a uma axiomatização das 
teorias matemáticas futuras, influenciando de modo indelével as ciências da 
matemática e da lógica. Mais tarde, a teoria original receberia complementos e 
aperfeiçoamentos no início do século XX por outros matemáticos. 
O conhecimento prévio de tal teoria serve como base para o 
desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, funções, análise 
combinatória, probabilidade, etc. 
Como definição intuitiva de conjuntos, dadas por Cantor, surgiam em sua 
teoria exemplos como: 
1. Um conjunto unitário possui um único elemento 
2. Dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos 
3. Conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento 
4. Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser 
definido reunindo todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto 
infinito pode ser definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os 
seus membros. 
 
A ideia de conjunto era um conceito primitivo e autoexplicativo de acordo 
com a teoria; não necessitaria de definição. 
Conjunto pode ser definido como o agrupamento de elementos que possuem 
características semelhantes e, quando esses elementos são números, tais conjuntos 
são chamados de conjuntos numéricos. 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.2 Os cinco conjuntos numéricos fundamentais 
 
Os conjuntos numéricos fundamentais são os conjuntos mais amplamente 
utilizados. São eles: 
 Conjunto dos Números Naturais - Representado pela letra maiúscula N, 
este conjunto abrange todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} 
 
Para representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o 
zero), deve-se colocar um asterisco ao lado do N: 
 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …} 
 
As chaves são usadas para dar ideia de conjunto e os pontos de reticência 
dão a ideia de infinidade, pois os conjuntos numéricos são infinitos. O conjunto 
numérico dos números naturais começa no zero e é infinito, porém, podemos ter a 
representação de apenas um subconjunto dele. Veja a seguir um subconjunto do 
conjunto dos números naturais formado pelos quatro primeiros múltiplos de 7: 
 
{0, 7, 14, 21} 
 
 
9 
 
 
 
- Representado pela letra Z, o conjunto 
dos números inteiros é formado por todos os números que pertencem ao conjunto 
dos Naturais mais os seus respectivos opostos negativos. 
 
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} 
 
O conjunto dos Inteiros possui alguns subconjuntos, a saber: 
Inteiros não negativos: Representado por Z+, este subconjunto dos inteiros é 
composto por todos os números inteiros que não são negativos. Podemos perceber 
que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. 
 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,8, …} 
 
Inteiros não positivos: Representado por Z-, os inteiros não positivos são 
todos os números inteiros que não são positivos. 
 
Z– = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
Inteiros não negativos e não-nulos: Representado por Z*+, este subconjunto 
é conjunto Z+ excluindo o zero. 
 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} 
Z*+ = N* 
 
Inteiros não positivos e não nulos: Representado por Z*-, são todos os 
números do conjunto Z-, excluindo o zero. 
 
Z*– = {… -4, -3, -2, -1} 
 
 
10 
 
 
Conjunto dos Números Racionais - Representado pela letra Q, o conjunto 
dos números racionais engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos e 
os números decimais infinitos periódicos (aqueles que repetem uma sequência de 
algarismos da parte decimal infinitamente, também conhecidos como dízimas 
periódicas). 
 
Conjunto dos Números Irracionais - Formado pelos números decimais 
infinitos não-periódicos. 
 
Exemplos: o número PI (= 3,14159265…), resultado da divisão do perímetro 
de uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes não exatas, como a raiz 
quadrada de 2. 
 
Conjunto dos Números Reais - Representado pela letra R, o conjunto dos 
números reais é formado por todos os conjuntos descritos anteriormente, sendo a 
união do conjunto dos racionais com os irracionais. 
 
1.2 EQUAÇÃO DO 1° GRAU 
 
O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, 
ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por 
Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito,em 1858. O papiro de Rhind 
também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de 
problemas relacionados à Matemática. 
 
Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, 
realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas 
na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma 
satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de 
equações. 
 
Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se comentar que 
ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade 
11 
 
 
grega de Atenas. As equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos que 
expressavam o valor desconhecido. 
 
Observe os problemas abaixo: Problema 1: “Aha, seu total, e sua sétima 
parte, resulta 19”. 
Note que a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse 
problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a 
representação do problema utilizando letras: x + x/7 = 19. 
Problema 2: “Qual o valor de Aha, sabendo aha mais um oitavo de aha 
resulta 9?” 
x + x/8 = 9 
 
Na lápide do túmulo de Diofanto foi escrita uma equação que relata sua vida, 
e o seu resultado revela a idade que tinha quando faleceu. "Aqui jaz o matemático 
que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou 
como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos 
após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de 
seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer". De acordo com esse enigma, 
Diofanto teria 84 anos. 
 
Os estudos relacionados às equações estabeleceram métodos resolutivos 
para as equações do 1º grau, 2º grau, 3º grau, 4º grau e nas maiores ou iguais ao 
grau 5. A álgebra é considerada peça fundamental na Matemática moderna, 
contribuindo na elaboração e resolução de cálculos complexos. As inúmeras 
aplicações estão presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao 
desenvolvimento humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitetura, 
Urbanismo, Transportes, Contabilidade, Economia, Administração, Informática entre 
outros. 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de 
igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". 
 
 
12 
 
 
Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade) 
 
(Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
A equação geral do primeiro grau: ax + b = 0 
 
Onde a e b são números conhecidos e, a diferente de 0, se resolve de 
maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: 
 
ax = -b 
 
Dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
Considere a equação: 2x - 8 = 3x -10 
 
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa 
“desconhecida". 
 
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade 
denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro. 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas 
matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas 
técnicas. 
 
Exemplo: 4x + 2 = 8 – 2x 
 
Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos elementos 
constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes 
do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado. 
 
Veja: 4x + 2x = 8 – 2 
Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes. ·. 
6x = 6 
 
O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro 
lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe: 
x = 6 / 6 
x = 1 
 
 
14 
 
 
 
 
Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A verificação pode 
ser feita substituindo o valor de x na equação, observe: 
 
4x + 2 = 8 – 2x 
4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1 
4 + 2 = 8 – 2 
6 = 6 → sentença verdadeira 
 
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa 
maneira. 
 
Exemplo1: 10x – 9 = 21 + 2x + 3x 
10x – 2x – 3x = 21 + 9 
10x – 5x = 30 
5x = 30 
x = 30/5 
x = 6 
 
Verificando: 10x – 9 = 21 + 2x + 3x 
10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6 
60 – 9 = 21 + 12 + 18 
51 = 51 → sentença verdadeira 
 
O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6. 
 
Exemplo2 : 3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10 
3x – 7x = –40 
– 4x = – 40 
15 
 
 
 
Nos casos em que a parte da variável se encontra negativa, precisamos 
multiplicar os membros por –1. 
 
–4x = – 40 * (–1) 
4x = 40 
x = 40/4 
x = 10 
 
Verificando: 
 
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 
3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40 
30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40 
20 = 20 → sentença verdadeira 
 
Exemplo3: 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação 
 
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2 
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2 
– 13x + 8x = – 10 
– 5x = – 10 * (–1) 
5x = 10 
x = 10/5 
x = 2 
 
Verificando: 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) 
10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1) 
 
 
16 
 
 
 
10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1) 
10 – (14) = 10 + 2(–7) 
10 – 14 = 10 – 14 
– 4 = – 4 → sentença verdadeira 
 
 
1.2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS 
 
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por 
duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y. Veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que 
satisfazem as equações do sistema. A solução de um sistema pode ser feita através 
de dois métodos resolutivos: adição e substituição. 
 
1.2.2 Método da Adição 
 
Consiste em somarmos as variáveis semelhantes das duas equações no 
intuito de obter resultado igual à zero. Veja a resolução do sistema a seguir: 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.3 Método da Substituição 
 
Consiste em isolar x ou y em qualquer uma das equações do sistema, e 
substituir o valor isolado na outra equação. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar através dos exemplos resolvidos que, de acordo com a 
configuração do sistema, podemos resolvê-lo utilizando o método da adição ou o 
método da substituição. 
18 
 
 
A solução de um sistema consiste em um resultado que é chamado de par 
ordenado, o gráfico de uma equação do 1º grau é dado por uma reta. Um sistema de 
duas equações possui duas retas representadas no plano e a intersecção dessas 
retas é a solução geométrica do sistema. Concluímos que a solução de um sistema 
pode ser apresentada de duas formas matemáticas, uma algébrica outra geométrica 
(graficamente). 
 
1.3 EQUAÇÃO DO 2° GRAU 
 
São inúmeros os problemas que resolvemos usando uma equação do 
segundo grau. No Brasil, a fórmula de Bhaskara é ensinada como uma técnica de 
resolução para as equações do segundo grau. O uso da fórmula de Bhaskara no 
ensino atual é trabalhado como algo que elimina a problemática da resolução da 
equação do segundo grau. O único problema que resta é quanto a representação do 
problema dado na linguagem natural para linguagem simbólica, ou seja determinar a 
equação quemodela a situação problema. Historicamente a equação do segundo 
grau foi objeto de estudo desde a antiguidade e por diferentes povos. 
 
Definição: Uma equação do 2º grau é toda sentença do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝑎 ≠ 0. 
 
Façamos alguns exemplos: 
 
3𝑥 ² − 4𝑥 + 8 = 0 nesse caso temos 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, 𝑐 = 8 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 onde 𝑎 = 1, 𝑏 = −5, 𝑐 = 6 
 
 
A solução de uma equação do 2º grau de maneira análoga ao que 
estudamos em equações do 1º grau, dizemos que 𝑥 é uma raiz (solução) de uma 
equação do 2º grau do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, caso a igualdade anterior seja 
verificada. 
 
19 
 
 
Como exemplo iremos considerar a equação 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0, a qual possui 
como raízes os valores 𝑥 = 2 e 𝑥 = 3. Sempre que houver dúvidas em relação às 
soluções, faça as verificações! Acompanhe: 
 
 se 𝑥 = 2 temos: 2 ² − 5 ∙ 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = −6 + 6 = 0 (OK); 
 se 𝑥 = 3 temos: 3 ² − 5 ∙ 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = −6 + 6 = 0 (OK). 
 
Considere agora a equação 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 0, a qual afirmamos que somente 
𝑥 = −2 é raiz. Para efeitos de verificação temos que substituir o valor 𝑥 = −2 na 
equação dada. 
 
Veja: 
 
 se 𝑥 = −2 então:(−2) ² + 4 . (−2) + 4 =0 logo 4 − 8 + 4 = −4 + 4 = 0 (OK). 
 
Mas o que garante a existência de apenas uma raiz para essa equação? 
Afinal, nosso primeiro exemplo apresentou duas soluções. Mais ainda, será que não 
há um método eficaz que faça com que achemos soluções de equações do 2º sem 
ter que ficar “chutando” valores? Eis que surge a fórmula de Bhaskara, uma 
ferramenta extremamente útil que responde à nossa indagação. Seja uma equação 
do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Se 𝑥 é uma raiz da equação, então 𝑥 pode ser calculado da 
seguinte maneira: 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐/ 2𝑎 onde, por questões de “poluição visual”, 
denotamos por Δ a relação 𝑏2 − 4𝑎𝑐, a qual chamaremos de discriminante, ou seja: 
Δ= 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Logo : 𝑥 = −𝑏 ± Δ/ 2𝑎 . Observe que é fundamental não errar na 
identificação das constantes 𝑎, 𝑏 e 𝑐, pois a fórmula de Bháskara depende somente 
destas. Um sinal de + ou – colocados no lugar errado comprometem toda a 
resolução de um problema. Seja cuidadoso! Abaixo segue um exemplo para ilustrar 
a aplicação da fórmula. 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 . Observe que 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, 𝑐 = 8. 
 
20 
 
 
Façamos primeiro o cálculo de Δ= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Δ= (−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 8 logo Δ = 36 − 32 = 4 
Então: 𝑥 = −𝑏 ± Δ = −(−6) ± 4 2 ∙ 
2a 2.1 
 
Veja que há duas possibilidades para o valor de 𝑥: 
𝑥1 = 6 − 2 / 2 = 4 /2 = 2 e 𝑥2 = 6 + 2 / 2 = 8 /2 = 4 
Portanto o conjunto solução 𝑆 é dado por 𝑆 = {2,4}. 
Resolva você as seguintes equações: 
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 0 
𝑥 2 + 4 = 0 
 
Analise a quantidade de soluções de cada uma. O que podemos concluir? O 
sinal de Δ e a quantidade de soluções. 
 
Se Δ> 0, a equação possui duas soluções reais e distintas; 
Se Δ= 0, a equação possui apenas uma solução real 
Se Δ< 0, a equação não possui solução real 
 
Soma e produto entre as raízes sejam 𝑥2 e 𝑥2 raízes da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 
𝑐 = 0. Então valem as seguintes relações: 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑐 𝑎 
 
Exemplo: 
 
Para a equação 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0, as relações de soma e produto são dadas 
por 𝑥1 + 𝑥2 = − (−5) 1 = 5 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 6 1 = 6 
 
A pergunta que você deve se fazer é: quais são os números cuja soma e 
produto resultam em 5 e 6, respectivamente? Evidentemente a resposta é 𝑥1 = 2 e 
𝑥2 = 3. Vale salientar que esse procedimento é um cálculo mental, não tente 
“algebrizar” essas relações, pois você voltará na equação original, fazendo contas à 
toa. Também vale ressaltar que nem sempre as relações entre soma e produto 
representam o melhor caminho para a resolução de uma equação do 2º grau. Caso 
21 
 
 
você encontre alguma dificuldade, lembre-se de que a fórmula de Bháskara 
resolverá seu problema. 
 
Resolva: 
 
Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, determine suas raízes, se existirem: 
 
a = 1, b = 3 e c = –10 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 3² – 4 * 1 * (–10) 
Δ= 9 + 40 
Δ = 49 
 
Exemplo: 
 
Determine as soluções reais da seguinte equação: 2x² + 12x + 18 = 0 
a = 2, b = 12 e c = 18 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 12² – 4 * 2 * 18 
Δ= 144 – 144 
Δ = 0 
 
 
22 
 
 
A equação possui apenas uma raiz real, x’ = x” = 3. 
Exemplo: 
Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0 
a = 4, b = 6 e c = 50 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 6² – 4 * 4 * 50 
Δ= 36 – 800 
Δ = – 764 
 
Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor do discriminante é 
menor que zero. 
 
Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de 
que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, 
respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer 
conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções 
comentadas a seguir: 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: 
 
x + y = 6 
x = 6 – y 
 
 
 
 
23 
 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + y² = 20 
(6 – y)² + y² = 20 
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 
16 – 12y + 2y² = 0 
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2) 
y² – 6y + 8 = 0 
Δ = b² – 4ac 
Δ = (–6)² – 4 * 1 * 8 
Δ = 36 – 32 
Δ = 4 
a = 1, b = –6 e c = 8 
 
 
24 
 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
 
Para y = 4, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 4 
x = 2 
 
Par ordenado (2; 4) 
Para y = 2, temos: 
 
x = 6 – y 
x = 6 – 2 
x = 4 
 
Par ordenado (4; 2) 
S = {(2: 4) e (4; 2)} 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Isolando x ou y na 2ª equação: 
 
x – y = –3 
x = y – 3 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + 2y² = 18 
(y – 3)² + 2y² = 18 
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0 
25 
 
 
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3) 
y² – 2y – 3 = 0 
Δ = b² – 4ac 
Δ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
Δ = 4 + 12 
Δ = 16 
a = 1, b = –2 e c = –3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
 
Para y = 3, temos: 
x = y – 3 
x = 3 – 3 
x = 0 
 
 
 
 
 
26 
 
 
Par ordenado (0; 3) 
Para y = –1, temos: 
 
x = y – 3 
x = –1 –3 
x = –4 
Par ordenado (–4; –1) 
S = {(0; 3) e (–4; –1)} 
 
1.3.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Observe o seguinte problema: 
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área 
de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com os dados, podemos escrever: 
 
8x + 4y = 64 
2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192 
 
Simplificando, obtemos: 
 
2x + y = 16 1 
x2 +xy = 48 2 
27 
 
 
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 
2º grau. Podemos resolvê-lo pelo método a substituição: 
 
 
Assim: 2x + y = 16 1 
y = 16 - 2x 
 
Substituindo y em 2 , temos: 
 
x2 + x ( 16 - 2x) = 48 
x 2 + 16x - 2x2 = 48 
- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. 
x2 - 16x + 48 = 0 
x'=4 e x''=12 
 
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: 
y'=16 - 2 . 4 = 8 
y''=16 - 2 . 12 = - 8 
 
As soluções do sistema sãoos pares ordenados (4,8) e (12, -8). 
Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para 
dimensões da quadra: 
 
Comprimento = 2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m 
Largura = 2x = 2. 4 = 8m 
Verifique agora a solução deste outro sistema: 
 
 
28 
 
 
Isolando y em 1 
 
y - 3x = -1 y = 3x – 1 
 
Substituindo em 2 
x2 - 2x(3x - 1) = -3 
x2 - 6x2 + 2x = -3 
-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. 
5x2 - 2x - 3 = 0 
x'=1 e x''= - 3∕5 
 
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e 
 
 
 
Logo, temos para conjunto verdade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
1.4 ESTUDO E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS 
 
1.4.1 GRÁFICOS 
 
A análise de gráficos é importante para responder questões de diferentes 
disciplinas. Para facilitar a interpretação dos gráficos, estudaremos as diferentes 
possibilidades de formato. Esse conteúdo é muito intuitivo, então daremos maior 
ênfase aos exercícios, buscando apresentar a melhor forma de solucionar as 
questões. Lembrem-se: cada vez mais as provas do vestibular e do Enem cobram 
esse assunto tão importante. 
 
1.4.1.1 TIPOS DE GRÁFICOS 
 
Os gráficos podem ser de muitos tipos. Os mais comuns são os de Linha, 
Coluna, Barra e Pizza. Abaixo seguem alguns exemplos desses modelos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Gráfico tipo Coluna 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Gráfico tipo Linha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Gráfico tipo Pizza 
 
 
 
 
 
31 
 
 
1.4.1.2 INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS 
 
O gráfico abaixo mostra o lucro de três empresas: A, B e C. Vamos pensar e 
entender um pouco mais sobre o que ele está nos dizendo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Interpretação de Gráficos 
 
 
Primeiro, temos que nos orientar. Então, chamaremos a reta representada 
pelo lucro de cada empresa de "eixo vertical". O eixo vertical mede a altura dos 
pontos. Portanto, quanto mais alto o ponto, maior será o lucro. E, por sua vez, a reta 
que representa os meses de eixo horizontal. O eixo horizontal mede a largura do 
ponto. Assim, quanto mais largo – ou quanto mais à direita do eixo vertical – o tempo 
será maior. 
Repare, agora, somente nos pontos A e B. Esses estão na mesma reta 
vertical, o quer dizer que eles têm a mesma largura. Portanto, correspondem ao 
mesmo mês. E, ainda, o ponto A está um pouco mais acima que o B. O que isso 
significa? A Empresa Álgebra possui mais lucro que a Empresa Aritmética, visto que 
a altura do ponto A é maior. 
Olhemos para os pontos B e C. Nesse caso, ambos possuem a mesma 
altura, mas larguras diferentes. Então, no mês de Abril a Empresa Aritmética possui 
 
 
 
32 
 
 
um lucro de aproximadamente R$2.500, o mesmo lucro da empresa Álgebra, 
porém no mês de maio. 
Por fim, o ponto D: ele representa o lucro da empresa Aritmética no mês de 
junho. O menor lucro entre as três aqui mostradas. Basta ver que o ponto D está 
mais abaixo que os outros. 
Em resumo: é muito importante saber o que cada eixo representa. Se o eixo 
vertical representasse o índice de chuva em uma determinada região, então quanto 
mais alto o gráfico, mais chuva. Ou, em um outro exemplo: se o eixo horizontal 
tivesse determinado pela pressão de um gás, então quanto menor a largura, menor 
será sua pressão. 
 
1.4.2 Crescente, decrescente, constantes e raízes 
 
A ideia aqui é localizar se o gráfico cresce, diminui ou até mesmo onde ele 
permanece constante. Um importante lembrete: o eixo horizontal cresce no mesmo 
sentido em que lemos um texto, da esquerda para direita. Por sua vez, o eixo 
vertical cresce de baixo para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olhando para o gráfico acima, conseguimos reparar que ele possui as três 
caraterísticas. Lendo da esquerda para direita no eixo horizontal: 
33 
 
 
Crescente: o gráfico cresce no intervalo antes do -1 ou do 2 até o 5. Ou 
seja, (∞ ; -1) ou (2; 5). 
Decrescente: o gráfico diminui no intervalo depois do -1 até o 2. Ou seja, (-
1; 2). 
Constante: o gráfico permanece com seu valor no intervalo depois do 5. (5; 
∞). 
E, por fim, as raízes são onde o gráfico passa pelo eixo horizontal. Com isso, 
no exemplo acima, as raízes são -2, 0 e 4. 
 
1.5 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTAS 
 
1.5.1 Um pouco de história 
 
Estuda-se em proporção a relação entre grandezas. Em alguns casos vemos 
que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, o aumento de uma implica 
o aumento da outra, em outros, inversamente proporcionais, isto é, o aumento de 
uma implica a redução da outra. Seja em quaisquer dos casos anteriores, podemos 
resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas proporcionais 
utilizando regra de três simples ou composta. 
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são 
muito antigos, tendo sua provável origem na China antiga, podendo ser observados 
em tempos muito distantes. Vários problemas envolvendo manipulações muito 
próximas do que hoje conhecemos como regra de três podem ser vistos no Papiro 
Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais recente que 
o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-
1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três. 
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três 
são as mais variadas. Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra 
de três é primordial a nossa vida, pois soluciona questões corriqueiras com muita 
simplicidade e economia de tempo. 
34 
 
 
Veja abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e composta, 
direta e inversamente proporcionais. Vamos resolver juntos? 
 
1. Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de 
farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para 
fazer 18 pães? 
 
2. Quatro pedreiros constroemi uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros 
construirá a mesma casa em quanto tempo? 
 
3. Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas 
condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas? 
 
4. Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse 
mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho? 
 
1.5.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o 
aumento de uma implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra 
também será dobrada, ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada. Em 
outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma 
razão. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Observação: A tabela acima é meramente ilustrativa e supõe que com o 
ingresso de mais um membro nesta família aumentará proporcionalmente sua 
despesa semanal. 
 
Exemplo: 
 
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas 
são variáveis dependentes. Observe que: 
 
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 
 
5 min ----> 100Kg 
10 min ----> 200Kg 
 
Quando triplicamos o tempo, a produçãotambém triplica. 
 
5 min ----> 100Kg 
15 min ----> 300Kg 
36 
 
 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a 
razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma 
implica na redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz 
a metade; quando triplicamos uma delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc. 
 
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números 
racionais a, b e c, respectivamente, quando se tem: x . a = y . b = z . c 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
Razão: 
 
12/6 = 2/1 
 
60/120 = 1/2 
 
Note que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso de 1/2. 
 
Exemplo: 
 
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", 
mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo 
correspondente, conforme a tabela abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas 
são variáveis dependentes. Verifique que: 
 
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 
 
5 m/s ----> 200s 
 
10 m/s ----> 100s 
 
 
38 
 
 
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 
 
5 m/s ----> 200s 
 
20 m/s ----> 50s 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao 
inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.4 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores 
de um problema e desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução 
utilizando os princípios da regra de três simples. Para isso, basta que multipliquemos 
os meios entre si e os extremos também entre si. Acompanhem: 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente. 
Nessas condições, vamos encontrar o valor de x que torne essa afirmação 
verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos à solução dos problemas (1) e (2) propostos no início deste trabalho. 
 
1) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha 
necessito para fazer 18 pães? 
 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo 
os valores. 
 
 
40 
 
 
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de 
trigo e número de pães são inversa ou diretamente proporcionais. 
Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães 
também duplicará. Se triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e 
assim por diante. Sendo assim, somos levados a concluir que essas duas grandezas 
são diretamente proporcionais; 
Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com 
o quadro acima e partir para sua solução; 
As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente 
proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo. 
 
2) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros 
construirão a mesma casa em quanto tempo? 
 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo 
os valores. 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
Como no caso anterior, teremos que analisar se as grandezas quantidade de 
pedreiros e dias gastos na construção são inversa ou diretamente proporcionais. 
 
Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será reduzida, 
portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais; 
 
Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com 
o quadro acima e partir para sua solução; 
 
Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma 
das frações; 
 
As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída 
em 180 dias. 
 
 
42 
 
 
1.5.5 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais e, num determinado problema, existem seis valores, dos quais cinco 
são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se encontrar o valor da incógnita 
através da regra de três composta. 
 
Vamos à solução dos problemas (3) e (4) propostos no início deste trabalho. 
 
3) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas 
condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas? 
 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo 
os valores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisemos as grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente 
proporcionais entre si. 
 
Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar as grandezas 
tempo de montagem com número de máquinas. Se dobrarmos o tempo de 
montagem, dobraremos o número de máquinas. Logo, essas duas grandezas são 
diretamente proporcionais. 
 
Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as grandezas 
quantidade de homens com tempo de montagem. Se dobrarmos o 
 
43 
 
 
 
número de homens, teremos reduzido à metade o tempo de montagem. Logo, essas 
duas grandezas são inversamente proporcionais. 
Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção de acordo 
com a tabela acima; 
Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter uma 
das frações; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias. 
 
4) Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças 
desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho? 
 
● Chamaremos o valor desconhecido de x: 
 
 
44 
 
 
Vamos fazer a análise dos dados contidos na tabela acima. 
 
Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas 
número de operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de 
operários, dobraremos também o número de peças fabricadas. Dessa forma, essas 
duas grandezas são diretamente proporcionais; 
 
Fixando a grandeza número de operários e relacionando as grandezas dias 
de trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de dias de 
trabalho, dobraremos também a quantidade de peças produzidas, ou seja, estas 
grandezas também são diretamente proporcionais; 
 
Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo 
com a tabela acima; 
 
Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações 
em suas formas originais. 
 
 
45 
 
 
Conclusão: com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças. 
 
1.6 NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA 
 
Do grego trigono = triângulo e métron = medida, a trigonometria tem como 
objetivo principal a resolução de triângulos, determinando seus seis elementos que 
são três lados e três ângulos. O estudo é responsável pela relação entre os lados e 
os ângulos do triângulo. Suas abordagens envolvem em campos da geometria, 
como o estudo da esfera com a trigonometriaesférica. A trigonometria pode ser 
usada para, por exemplo, estimar a distância das estrelas e a distância entre divisas, 
e os campos que usam a trigonometria envolvem a astronomia, a navegação, teoria 
musical, óptica, eletrônica, biologia, entre muitos outros. 
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo 
da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano 
onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também 
estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as 
funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A trigonometria tem 
aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na 
matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. O estudo da 
trigonometria tem suas origens nos primórdios das civilizações, particularmente nas 
aplicações arquitetônicas. Ainda hoje, os profissionais ligados à construção civil 
usam conceitos de trigonometria nos processos mais elementares. 
Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, 
que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente 
construiu a primeira tabela de valores trigonométricos, por isso muitos o consideram 
o pai da trigonometria. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em 
três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente. 
Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações 
constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores 
constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos 
que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação 
entre os ângulos e os lados. 
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, 
sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar 
situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 
46 
 
 
a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio 
de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O 
Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos 
trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas 
comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois 
estão presentes em diversos cálculos. Por isso seus valores trigonométricos 
correspondentes são organizados em uma tabela, veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem 
ser obtidos através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen 
(seno), cos (cosseno) e tan (tangente). 
 
 
 
Outra opção seria dispor de uma tabela trigonométrica, observe: 
47 
 
 
 
48 
 
 
Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo ângulos obtusos 
utilizamos as seguintes definições: 
 
sen x = sen (180º – x) 
cos x = – cos (180º – x) 
 
Exemplo: Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º. 
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660 
cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = – 0,5000 
 
Exemplo: No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x 
e y indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos 65° = y / 9 
 
0,42 * 9 = y 
 
y = 3,78 
 
sen 65° = x /9 
 
0,91 * 9 = x 
 
x = 8,19 
 
 
 
49 
 
 
Exemplo: Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as 
medidas a e b indicadas. (Sen 60° = 0,866) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sen 60° = / a 
0,866 . a = 20,78 
a = 24 
cos 60° = b / 24 
0,5 * 24 = b 
b = 12 
 
 
Exemplo: Sabendo que o triângulo retângulo da figura abaixo é isósceles, 
quais são os valores de tg  e tg Ê? 
 
 
 
 
 
 
 
Se sabemos que é um triângulo isósceles, então seus lados são iguais. 
Logo, tg  = 1 e tg Ê = 1. 
 
 
 
50 
 
 
Exemplo: Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
3 = 9 / x 
 
3x = 9 
 
x = 3 
 
(RA)² = 9² + 3² 
 
(RA)² = 90 
 
(RA) = 
 
 
 
 
51 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
FILHO, Benigno Barreto. Matemática: Aula por aula. Editora FTD. Local: São Paulo, 
3ª edição. 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. 1 ª edição. Editora Ática. Ano 
2005. 
<www.estudopratico.com.br∕conjunto-numericos> acesso no dia 27 de janeiro de 
2016. 
<mundoeducação.bol.uol.br∕ matemática∕sistema-equacao.htm> acesso no dia 27 de 
janeiro de 2016 
<mundoeducação.bol.uol.br∕ matemática∕ historia-as-equacoes.htm> acesso no dia 
03 de fevereiro de 2016 
<www.somatemática.com.br∕ trigonometria> acesso no dia 03 de fevereiro de 2016 
<brasilescola.uol.com.br ∕ matemática∕ trigonometria.htm> acesso no dia 04 de 
fevereiro de 2016 
<brasilescola.uol.com.br ∕ matemática∕ seno-cosseno-tangente-angulos.htm> acesso 
no dia 08 de fevereiro de 2016