Resolução de GA Distancia

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01 – Determine a distância P, interseção dos planos π1: 2x + 4y – 5z – 15 = 0, π2: x + y + 2z + 3 =0 e π3: x + y + z – 2 = 0 a reta r: (x,y,z) = (0,1,-2) + t(3,2,-1).
04 – Obtenha os pontos da reta r: x = 2 – y = y + z que distam √6 do plano π: x – 2y – z = 1.
01 – Determine a distância P, interseção dos planos π1: 2x + 4y – 5z – 15 = 0, π2: x + y + 2z + 3 =0 e π3: x + y + z – 2 = 0 a reta r: (x,y,z) = (0,1,-2) + t(3,2,-1).
24-5215
112-3
1112
154-538
-312
211
215-5-24
1-32
121
2415-10
11-3
112
P(19,-12,-5)
P(x,y,z)=(3t, 2t+1, -t-2) <= ponto genérico da reta
D² =(3t-19)²+(2t+13)²+(-t+3)²
(D²)´ =6(3t-19)+4(2t+13)-2(-t.+3) =0
18t+8t+2t-114+52-6=0
28t-68=0
T=68/28=17/7
T=68/28
D²=456,43
D=21.36
========================= ===================
04 – Obtenha os pontos da reta r: x = 2 – y = y + z que distam √6 do plano π: x – 2y – z = 1. 
P(x, 2-x. 2x-2) 
±V6=(x-2(2-x)-(2x-2)-1)/raiz(1+4+1) 
±6 =x-4+4x-2x+2-1
±6=3x-3
±2=x-1
x=1±2
x=3.. . . . . .P1(3, -1, 4)
x=-1. . . . . .P2(-1, 3, -4)
Calcule a distancia entre as retas r e s dadas: r:6x-9y-1=0 e s:2x-3y-1=0?
r//s
Então para calcular a distância, basta pegarmos um ponto de uma reta e calcularmos sua distância até a outra reta.
para x =2 na reta s y = 1 ponto Q=(2, 1)
Fórmula para P=(u,v) e reta ax+by+c=0
d(P, r)=|a.u+b.v+c|/√(a²+b²) aplicando nos dados do problema
d(Q,r)= |2.6-9.1-1|/√(6²+9²)= 2/√117= 2/117.√117 aprox.0,19
Calcule a distancia entre as retas r e s dadas: r:3x-4y+1=0 e s:3x-4y=0?
Se você prestar bem atenção vai ver que é fácil de responder!!!
R = 3X - 4Y + 1 e
S = 3X - 4Y
----------------------------
Se vc efetuar uma subtração (para encontrar a diferença entre uma e outra) veja que vai restar apenas o número "1". Fica assim:
Distância será D
D= (3x - 4y + 1) - (3x - 4y); Elimina-se os parenteses Invertendo os sinais do segundo parágrafo
D= 3x - 4y + 1 - 3x +4y; Agora o resultado (corta os 3x e os 4y por serem de sinais diferentes - um positivo e outro negativo.
D= 1
------------------- Agora sem os comentários
D=(3x - 4y + 1) - (3x - 4y)
D=3x -4y +1 - 3x + 4y
D= 3x - 3x - 4y + 4y +1
D = 1
Determine a distancia entre as retas paralelas r: 4x - 3y + 1 =0 e s: 4x- 3y + 11 = 0?
Basta pegar um ponto qualquer de uma das retas e, então, usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Escolhendo arbitrariamente o ponto (A) da reta r em que x=0:
4(0) - 3y + 1 = 0
3y = 1
y = 1/3
Logo, o ponto A é dado por (0, 1/3)
Agora basta calcular a distância (d) de A a s:
d = (|ax + by + c|)/sqrt(a² + b²)
d = (|4(0) - 3(1/3) + 11|)/sqrt(4² + (-3)²)
d = 10 / sqrt(16+9)
d = 10 / sqrt(25)
d = 10/5
d = 2 unidades de comprimento
Qual a distância entre as duas retas abaixo?
r: x=y=z-2
s: y=x+1; z=x-1
Reta r:
x = y = z - 2
x / 1 = y / 1 = ( z - 2 ) / 1
Reta s:
y = x + 1 ; z = x - 1
y - 2 = x - 1
x - 1 = y - 2 = z 
( x - 1 ) / 1 = ( y - 2 ) / 1 = z / 1
Os denominadores indicam que os vetores diretores das retas são:
Vr = ( 1 , 1 , 1 )
Vs = ( 1 , 1 , 1 )
Logo, as retas são paralelas e o problema se reduz à determinação da distância de ponto a reta.
Escolha um ponto A da reta r e um ponto B da reta s:
A = ( 0 , 0 , 2 )
B = ( 1 , 2 , 0 )
O vetor C, com origem em A e extremidade em B é:
C = B - A
C = ( 1 , 2 , 0 ) - ( 0 , 0 , 2 )
C = ( 1 , 2 , -2 ) 
A distância do ponto A à reta s é dada por:
d = dist ( A , s ) = | C . Vs | / | Vs | , onde o produto é vetorial.
d = | ( 1 , 2 , -2 ) . ( 1 , 1 , 1 ) | / | ( 1 , 1 , 1 ) |
d = | ( 4 , -3 , -1 ) | / | ( 1 , 1 , 1 ) |
d = √[ 4² + (-3)² + (-1)² ] / √( 1² + 1² + 1² )
d = √( 16 + 9 + 1 ) / √( 1 + 1 + 1 )
d = √26 / √3
d = √78 / 3
Calcule a distância entre as retas paralelas 2x+3y–6=0 e 2x+3y–10=0?
É simples, você acha um ponto qualquer que pertença a qualquer uma das retas (pois são pararelas) e depois usa a formula de distancia de ponto a reta, usando outra reta (a que vc não achou o ponto) e o ponto que voce achou.
Veja:
Achando um ponto da reta 2x-3y-6=0 > iguale x e depois y a 0
0x-3y-6=0 > y = -2 / 2x+0y-6=0 > x = 3 logo o Ponto P = (3; -2)
Usando a formula:
ax+by+c > usando o x e y do ponto que já achou
_________
Raiz de (a²+b²)
=
2(3)+3(-2)-10 
_______________ =
Raiz de 4 + 9 
-10 
___________________ =
Raiz de 13
-10 Raiz de 13
_______________ u.c.
13
Determine a distancia entre as retas paralelas...?
r: 4x - 3y + 1 = 0
e
s: 4x - 3y + 11 = 0
r:4x - 3y + 1 = 0
s:4x - 3y +11 = 0
Pega -se um ponto qualquer da reta r, por exemplo o ponto em que r corta o eixo x
4x + 1 = 0
x = - 1/4
temos A= (- 1/4, 0)
Conduzimos por A uma reta t perpendicular à r, que tbem será perpendicular à s
t: terá coef. angular = -1/c.ang r
3y = 4x
y = 4x/3; 4/3 é o coef. ang. de r
- 3/4 é o coef. ang. de t, que passa por A
t: y = - 3/4(x + 1/4)
y = - 3x/4 - 3/16
16y = - 12x - 3
12x + 16y + 3 = 0 é a equação da reta t
a reta t intercepta s em B
12x + 16y + 3 = 0
4x - 3y + 11 = 0 (multiplico por - 3 e somo à 1° equação)
25y - 30 = 0
5y - 6 = 0
5y = 6 
y = 6/5 substituo y = 6/5 em 4x - 3y + 11 = 0
4x - 18/5 + 11 = 0
4x = 18/5 - 11 =18/5 - 55/5 = - 37/5
4x = - 37/5
x = - 37/20 B = (-37/20, 6/5)
A distância de r à s è a distância de A à B
(AB)² = (- 37/20 + 1/4)² + (6/5 - 0)² =
(AB)² = [(- 37+5)/20]² + (6/5)² = (-32/20)² + (6/5)² =
(AB)² = (- 8/5)² + (6/5)² = 64/25 + 36/25 = 100/25
AB = 10/5 = 2
CALCULE A DISTANCIA ENTRE AS RETAS?
(R)12X-9Y+27=0
 E 
(S) 12X-9Y-18=0
A distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto P pertencente a uma delas, até a outra. É imediatas que as retas r e s são paralelas, por seus coeficientes a de r e b de s, assim como, b de r e b de s são iguais.
1°) Tomemos P ∈ r
P ∈ r => 12x_P - 9y_P + 27 = 0 
x_p = 0 => 12. 0 - 9y_p = - 27 => y_p = - 27/ - 9 = 3
portanto P ( 0, 3 )
2°) Calculemos d_ ( r, s )
d_ ( r, s ) = |ax + bx + c|/ (√ (a² + b² ))
d_ ( r, s ) = |12x - 9y - 18|/ (√ (12² + (-9)² ))
para x = 0 e y = 3 teremos
d_ ( r, s ) = |12*0 - 9*3 - 18|/ (√ (12² + (-9)² ))
d_ ( r, s ) = |0 - 27 - 18|/ (√ (144 + 81 ))
d_ ( r, s ) = |- 45|/ (√ (225)
d_ ( r, s ) = 45/ 15
d_ ( r, s ) = 3 u.c
Distância entre Retas,Ajuda por favor!?
Considere as retas r: 4x – 3y + 17 = 0 e s: 4x – 3y – 8 = 0.
Calcule a distância entre r e s.
Para encontrar a distância entre as duas retas, obtemos um ponto em uma delas e calculamos a distância desse ponto para a outra reta. 
Assim, considerando na reta r, por exemplo, x = 1 temos 4x – 3y + 17 = 0
4-3y+17=0
3y=21=>y=7
P (1,7) 
s:4x – 3y – 8 = 0.
onde :
a=4,b=-3,c=-8
Xo=1,Yo=7
dPr =I (aXo+bYo+c)/√(a²+b²) I
distancia=I(4-21-8)/√(16+9)
=I-25/5I=I-5I=5
logo a distancia é 5 ud
Calcule a distância entre a reta r1? De equação 3y = 4x - 2 , e a reta r2 de equação 3y = 4x + 8 sabendo que r1 // r2.
Escolhemos qualquer ponto de r1, por exemplo, y=0, x = 2/4 = 1/2. P = (1/2, 0)
E achamos a distancia deste ponto à reta r2: 4x – 3y + 8=0
d(P,r2) = |(4•(1/2) -3•0 +8)/raiz(4^2+3^2)| = 10/5 = 2
Ache a distância entre as retas: (r) x + 2y + 3 = 0 (s) x = -2+T e y = 2-T/2?
(s): 
x=-2+t → t=x+2
y=2-t/2 
y =2-(x+2)/2
y =(4-x-2)/2
(s) : y =-x/2 +1
(r) : y =-x/2-3/2
Adote um ponto qualquer de s.
ex: x=2 → y=0 →P(2,0)
Aplique distância de ponto à reta para o ponto P e a reta (r).
A reta deve estar na sua forma geral: (r) : x+2y+3=0
Dp,r =|aXp+bYp+c|/√[a²+b²]
Dp,r =|1(2)+2(0)+3|/√[1²+2²]
= |5|/√5
= 5/√5 ou √5/5
Calcule a distancia entre as retas r: 2x + y - 9 = 0 e s 4x + 2y + 3 = 0
As retas são paralelas (pois 2/4 = 1/2). A distancia é a distancia dum ponto qualquer duma á outra.
Um ponto fácil da primeira é (0,9). Logo
d = | 4•0 + 2•9 + 3 | / raiz(4^2+2^2) = 21/ raiz(20) = 21 raiz(20)/ 20 = 21 raiz(5)/10
Determine a distância entre as retas paralelas r: x+y-6=0 e s: 3x+3y+7=0?
Se ambas são retas e são paralelas, são paralelas em todos os pontos.Assim sendo vamos escolher um ponto bem simples ( x = 0 ) e calcular a posição do y de cada reta neste ponto. Por fim calculamos a distância entre os dois pontos.
Vamos lá, dado x = 0
r: 0 + y - 6 = 0
y = 6
s: 3(0) + 3y + 7 = 0
y = -7/3
Distância de r(y) a s(y) 
= √[ ( rx - sx )² + ( ry - sy )² ] 
= √[ ( 0 - 0 )² + (6 - (-7/3))² ] 
= √[ 0 + ( 18/3 + 7/3)² ] 
= √[ ( 25/3 )² ] 
= 25/3
Os quadrados e a raiz são só um modo de evitar os problemas de sinais.
Qual a distancia entre as retas?
sao dadas as retas R e S de equações 2x+3y-10=0 e 2x+3y-6=0, respectivamente sabendo que essas retas são paralelas. qual a distancia entre as retas?
Vamos lá. 
Está sendo pedida a distância entre as retas "r" e "s", que são: 
r: 2x + 3y - 10 = 0 
s: 2x + 3y- 6 = 0
Veja que, para você encontrar a distância entre duas retas paralelas, basta que você obtenha um ponto em cada uma. Em seguida você encontra a distância entre esses dois pontos. 
Vamos ver: 
Para x = 0 na reta "r", temos: 
2*0 + 3y - 10 = 0 
0 + 3y - 10 = 0 
3y - 10 = 0 
3y = 10
y = 10/3 
Então, para x = 0 na reta "r" temos o ponto (0 ; 10/3)
Para x = 0 na reta "s", temos: 
2*0 + 3y - 6 = 0
0 + 3y - 6 = 0 
3y = 6 
y = 6/3
y = 2.
Então, para x = 0 na reta "s" temos o ponto (0; 2)
Agora é só encontrar a distância do ponto da reta "r" ao ponto da reta "s", que são: 
(0; 10/3) e (0; 2), pela fórmula da distância entre dois pontos. Então: 
d² = (0 - 0)² + (10/3 - 2)²
d² = 0² + [(10 - 3*2)/3)]
d² = [10-6)/3]²
d² = (4/3)²
d² = 16/9
.........._____
d = +-V16/9
d = +-4/3 ---mas como não há distância negativa, então temos que: 
d = 4/3 unidades de medida de distância. <---Pronto. Essa é a resposta. 
OK?
Qual a distância entre as retas r: x - 2y + 4 =0 e s: -2x + 4y + 3 = 0?
Vamos descobrir um ponto qualquer da reta r:
x = 0
0 - 2y + 4 = 0
- 2y = - 4
y = - 4/- 2
y = 2
P(0, 2)
Agora calculamos a distância desse ponto à reta s:
- 2x + 4y + 3 = 0
d(P, r) = |ax + by + c|/√(a² + b²)
d(P, r) = |- 2(0) + 4(2) + 3|/√((- 2)² + 4²)
d(P, r) = |11|/√20 * √20/√20
d(P, r) = (11√20)/20
d(P, r) = (22√5)/20
d(P, r) = (11√5)/10 ==> essa é a distância procurada
Calcular a distância entre as retas r e s:?
r:{ x=0 ; y=z e s:{ y=3 ; z=2x
Observe:
....{ x = 0
r : {
....{ y = z
e
.....{ y= 3
s : {
.....{ z = 2x
Solução:
Devemos encontrar dois pontos pertencentes a reta "r" e dois pontos pertencentes a reta "s" , claramente os pontos P( 0 , - 1 , - 1 ) ; Q( 0 , 1 , 1 ) Є "r" e R( - 1 , 3 , - 2 ) ; S( 1 , 3 , 2 ) Є "s" .Daí;
▬►
PQ = Q - P = ( 0 , 1 , 1 ) - ( 0 , - 1 , - 1 )
→..▬►
u = PQ = ( 0 , 2 , 2 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor de "r".
Temos ainda;
▬►
RS = S - R = ( 1 , 3 , 2 ) - ( - 1 , 3 , - 2 )
→..▬►
v = RS = ( 2 , 0 , 4 ) = ( d , e , f ) , vetor diretor de "s".
Calculando o produto vetorial, vem;
.→..→...→
│i.....j.....k│...→...→
│a... b....c│ = u ⋀ v
│d....e.....f│
.→..→...→
│i.....j.....k│...→...→
│0... 2....2│ = u ⋀ v
│2....0....4│
2...... ......4
.→..→...→
│i.....j.....k│...→...→
│0... 2....2│ = u ⋀ v
│2....0....4│
.→... .....→
..i.... ......k
→...→
u ⋀ v = 0.0.k + i.2.4 + 2.j.2 - ( 0.j.4 + 2.2.k + i.0.2 ) 
→...→.. →.. .→... .→........ ........ ......→
u ⋀ v = 8.i + 4.j - 4.k = ( 8 , 4 , - 4 ) ≠ 0
→..→
u e v são L I.
Tomamos P( 0 , - 1 , - 1 ) Є r e R( - 1 , 3 , - 2 ) Є s .Então;
▬►
PR = R - P = ( - 1 , 3 , - 2 ) - ( 0 , - 1 , - 1 )
▬►
PR = ( - 1 , 4 , - 1 ) e
...... ...... ...▬►.→..→
...... ..... ...| PR .u ⋀ v | 
d( r , s ) = ▬▬▬▬▬▬
.......... ..........→. .→
........ ..... ....|| u ⋀ v ||
...... ..... .....| ( - 1 , 4 , - 1 ).( 8 , 4 , - 4 ) | 
d( r , s ) = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
................. ..... ...|| ( 8 , 4 , - 4 ) ||
...... ..... .....| - 1.8 + 4.4 + (- 1 ).( - 4 ) | 
d( r , s ) = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
................. ... √[ 8² + 4² + ( - 4 )² ]
...... ......... .....| - 8 + 16 + 4 | 
d( r , s ) = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
............... ... √( 64 + 16 + 16 )
...... ........ ....| 12 | 
d( r , s ) = ▬▬▬▬▬▬
............... .. √( 96 )
...... ........ ....12 
d( r , s ) = ▬▬▬▬
............... √( 6.16 )
...... ........ ...12 
d( r , s ) = ▬▬▬▬
............... ..4.√6 
...... ........ ...3
d( r , s ) = ▬▬▬ ◄─────── R
............... ..√6
Achar a distância do ponto P à reta r, no caso?
P(3,2,1) 
r:
y=2x 
z=x+3
Resposta:
raiz de 7/2
r= {x=x , y=2x, z=3+x com x€R com v(1, 2, 1)
Plano _|_ r por P ==> x+2y+z= 8
Ponto da intersecção de reta e plano: x+2·(2x)+ x+3= 8 --> 6x+ 3= 8 --> x= 5/6 -->
Q(5/6, 10/6, 23/6)
==> d(P, r) = d(P,Q)= √[ (3-5/6)² + (2-10/6)² + (1- 23/6)²] = 1/6· √(13²+2²+17²) = 1/6· √462 = √(77/6)
Calcule a distancia do ponto P á reta r em cada caso abaixo .:?
a) P(1,-2) e r: y=-3\4+1
b) P(-1,4) e r: x+y=0
c) P(2,6) r: 2x+1=0
Dada a reta na forma geral:
Ax + By + C = 0
e o ponto (xp ; yp)
A equação é:
d(PR) = | (A.xp + B.yp + C)/√(A² + B²) |
É só aplicar a fórmula:
a)
d = | (1.(-3/4) - 2.(-1) + 1) / √(9/16 + 16/16) |
d = | (- 3/4 + 12/4) / √(25/16) |
d = | (9/4)/(5/4) |
d = | 9/5 |
d = 1,8 u.c.
b)
d = | (1.(-1) + 4.1 + 0)/√(1 + 1) |
d = | (-1 + 4) / √(2) |
d = 3.√(2) / 2 u.c.
c)
d = | (2.2 + 0.6 + 1) / √(2² + 0²) |
d = | 5 / √(4) |
d = | 5/2 |
d = 2,5 u.c.
Dado o ponto P(5,2,3) e o plano pi: 2x+y+z-3=0, determinar:?
a) Equações Paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a pi (Eu fiz)
b)A projeção ortogonal de P sobre o plano pi
c)O ponto P' simétrico de P em relação a pi
d) A distância de P ao plano pi.
Resposta
a)
x=5+2t
y=2+t
z=3+t
b)
(1,0,1)
c)
(-3,-2,-1)
d)
2raiz de 6
a)
Vamos encontrar pontos que pertencem a pi:
Sejam A(0,2,1), B(0,1,2) e C(2,-1,0). Todos satizfazem 2x+y+z-3=0
Logo podemos escrever dois vetores diretores LI de pi como sendo
(B-A) = (0,-1,1)
(C-A) = (2,-3,-1)
Seja r a reta que passa por P e é perpendicular a pi. Seja u = (a,b,c) um vetor diretor de r. Por perpendicularidade devemos ter:
1)
u.(B-A) = 0 → (a,b,c).(0,-1,1) = 0 → b = c (i)
2)
u.(C-A) = 0 → (a,b,c).(2,-3,-1) = 0 → 2a - 3b - c = 0
2a = 3b + c = 4c → a = 2c (ii)
De (i) e (ii):
(a,b,c) = (2c,c,c)
Para c = 1 ficamos com u = (2,1,1) e a equação paramétrica fica:
(x,y,z) = (5,2,3) + t(2,1,1) = (5+2t,2+t,3+t)
x = 5 + 2t
y = 2 + t
z = 3 + t
b)
Para um ponto Q(a,b,c) pertencente ao plano, devemos ter (P-Q) perpendicular a (B-A) = (0,-1,1) e a (C-A) = (2,-3,-1). Dessa forma Q será a projeção ortogonal de P sobre pi.
(P-Q) = (5-a, 2-b, 3-c)
Por perpendicularidade devemos ter:
1)(P-Q).(B-A) = 0 → (5-a, 2-b, 3-c).(0,-1,1) = 0 
b - 2 + 3 - c = 0 → b = c - 1 (I)
2)(P-Q).(C-A) = 0 → (5-a, 2-b, 3-c).(2,-3,-1) = 0
10 - 2a + 3b - 6 + c - 3 = 0
-2a + 3b + c = -1
-2a + 3c - 3 + c = -1
-2a = -4c + 2
a = 2c - 1 (II)
De (I) e (II):
Q = (a,b,c) = (2c-1,c-1,c)
Mas Q pertence ao plano, logo,
2(2c-1) + (c-1) + c - 3 = 0
4c - 2 + c - 1 + c - 3 = 0
c = 1
Logo Q = (1,0,1)
c)
Temos que (P-Q) = (5,2,3) - (1,0,1) = (4,2,2)
O ponto P' pode ser encontrado fazendo-se Q - (P-Q). Logo,
P' = Q - (P-Q) = (1,0,1) - (4,2,2) = (-3,-2,-1)
d)
A distância de P a pi é a magnitude do vetor (P-Q) = (4,2,2). Logo,
d² = 4² + 2² + 2²
d² = 16 + 8
d² = 24
d = 2√6
No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1)?
No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta
de equação 3x + 4 y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:
a)16/3
b)17/3
c)18/3
d)19/3
e)20/3
d = (3 . m + 4 . 1 + 4)/√9 + 16
6 = (3m + 4 + 4)/ √25
6 = (3m + 8)/5
3m + 8 = 30
3m = 30 - 8
m = 22/3
ou
6 = -(3m + 8)/5
- 3m - 8 = 30
- 3m = 30 + 8
3m = - 38
m = - 38/3
S = 22/3 - 38/3
S = - 16/3
Distancia das retas
a) distancia do p(1,2,3) da reta r 
x=1-2t
y=2t
z =2-t
a) distancia do p(1,2,3) da retar 
x=1-2t.............. x-1=-2t.......(x-1)/-2= t 
r y=2t.................y=2(x-1)/-2 ......................... y=-x+1
z =2-t........z=2+(x-1)/2= (4+x-1)/2--------------z=(3+x)/2
y+z= -x+1+(3+x)/2
2y+2z= -2x+2+3+x
2y+2z=-x+5
x+2y+2z-5=0 
a=1......b=2.....c=2
(1,2,3)=(x0,y0,z0)
d=lax0+by0+cz0+Cl/ √(a²+b²+c²)
d=l1++4+6-5l/√(1²+2²+2²)
d=6/√(9)
d=6/3= 2
Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x - 2, e a reta r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1 // (é paralela a) r2.
r1 : 3y = 4x - 2, ou 4x -3y -2=0
r2 : 3y = 4x + 8 , ou 4x -3y +8 =0
ponto da reta r1 : p( 1/2 , 0) 
Dp,r2 = |axº + byº +c|/|V(a² +b²)|
Dp,r2 = |4.1/2 + -3.0 + 8|/|V(4²+3²)|
Dp,r2 = | 2 + 8|/5 = 2
Qual a distância entre as duas retas abaixo?
r: x=y=z-2
s: y=x+1; z=x-1
Reta r:
x = y = z - 2
x / 1 = y / 1 = ( z - 2 ) / 1
Reta s:
y = x + 1 ; z = x - 1
y - 2 = x - 1
x - 1 = y - 2 = z 
( x - 1 ) / 1 = ( y - 2 ) / 1 = z / 1
Os denominadores indicam que os vetores diretores das retas são:
Vr = ( 1 , 1 , 1 )
Vs = ( 1 , 1 , 1 )
Logo, as retas são paralelas e o problema se reduz à determinação da distância de ponto a reta.
Escolha um ponto A da reta r e um ponto B da reta s:
A = ( 0 , 0 , 2 )
B = ( 1 , 2 , 0 )
O vetor C, com origem em A e extremidade em B é:
C = B - A
C = ( 1 , 2 , 0 ) - ( 0 , 0 , 2 )
C = ( 1 , 2 , -2 ) 
A distância do ponto A à reta s é dada por:
d = dist ( A , s ) = | C . Vs | / | Vs | , onde o produto é vetorial.
d = | ( 1 , 2 , -2 ) . ( 1 , 1 , 1 ) | / | ( 1 , 1 , 1 ) |
d = | ( 4 , -3 , -1 ) | / | ( 1 , 1 , 1 ) |
d = √[ 4² + (-3)² + (-1)² ] / √( 1² + 1² + 1² )
d = √( 16 + 9 + 1 ) / √( 1 + 1 + 1 )
d = √26 / √3
d = √78 / 3
Determine as equações reduzidas, em termos de x, da reta r que passa pelo ponto?
A(2,-1,4) e é perpendicular ao plano pi: x -3y+2z-1=0
Resp. y=-3x+5
z=2x
Equação da reta que passa pelo ponto (xo,yo,zo) perpendicular ao plano Ax+By+Cz+D=0
(x-xo)/A=(y-yo)/B=(z-zo)/C
(y+1)/(-3)=(x-2)/1
y+1=-3x+6
y=-3x+5
(z-4)/2=(x-2)/1
z-4=2x-4
z=2x
Respostas:...y=-3x+5
....................z=2x