AP3 GEOMETRIA ANALÍTICA 2023.1 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Geometria Anaĺıtica I - 2023-1
Gabarito
Código da disciplina: Matemática (grade antiga), Engenharia de Produção e En-
genharia Metereológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Considere a reta do plano r :
{
x = 2t
y = −2t + 1 , t ∈ R e o ponto P = (1, 3) para responder as
questões 1, 2 e 3:
Questão 1 [1,5 ponto]: Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta s que passa pelo
ponto P e é perpendicular a reta r.
Questão 2 [1,0 ponto]: Seja m a reta de equação cartesiana −3x + y = 1. Mostre que as retas r
e m são concorrentes, sem encontrar o ponto de interseção entre as retas.
Questão 3 [1,0 ponto]: Determine o ponto de interseção Q entre r e m.
Questão 4 [1,5 ponto]: Determine a área do triângulo PQR, onde P = (1, 3), Q é o ponto de
interseção entre r e m (encontrado na questão anterior), e R é a interseção da reta r com o eixo
OX.
Questão 5 [1,0 ponto]: Determine a projeção ortogonal w⃗ do vetor
−→
AB onde A = (1, 1) e
B = (2, 3), sobre a reta r.
Resolução:
(1) O vetor (2, −2) é paralelo à reta r. Logo, (2, −2) é perpendicular à reta s. Sendo assim, s tem
a seguinte forma:
2x − 2y = k,
para algum k real.
Como P ∈ r, então podemos encontrar o valor de k substituindo as coordenadas de P na equação
encontrada anteriormente:
2(1) − 2(3) = k ⇐⇒ k = −4.
Assim, a equação cartesiana de s é 2x − 2y = −4, ou equivalentemente, x − y = −2.
Por outro lado, se (2, −2) é perpendicular à reta s, então (2, 2) é paralelo à reta s. Logo,
s :
{
x = 2t + 1
y = 2t + 3 , t ∈ R
é uma parametrização de s.
(2) O vetor (−3, 1) é perpendicular à reta m, então (1, 3) é paralelo à reta m. Já sabemos que
(2, −2) é paralelo à reta r.
Geometria Anaĺıtica I AP3 1/2023
Os vetores (−3, 1) e (2, −2) não são múltiplos, pois não existe um número real k tal que (−3, 1) =
k(2, −2). Logo, as retas r e m não podem ser paralelas nem coincidentes. Portanto, as retas r e m
são concorrentes.
(3) Vamos substituir as equações de r em m:
−3(2t) + (−2t + 1) = 1 ⇐⇒ t = 0.
Substituindo o valor t em r, encontramos que o ponto de interseção entre r e m é Q = (0, 1).
(4) Sendo R a interseção da reta r com o eixo OX, basta substituir y = 0 na equação cartesiana
de r encontrada na questão 1:
x − 0 = −2 ⇐⇒ x = −2.
Sendo assim, P = (1, 3), Q = (0, 1) e R = (−2, 0), e temos −→QP = (1, 2) e −→QR = (−2, −1).
Logo,
Area (PQR) =
∣∣∣∣∣det
(
1 2
−2 −1
)∣∣∣∣∣ = | − 1 + 4| = 3.
(5) Se
−→
AB = (1, 2) então
w⃗ = Projr
−→
AB = < (1, 2), (2, −2) >
||(2, −2)||2 (2, −2) =
(
− 12 ,
1
2
)
.
Considere as cônicas a seguir para responder as questões 6, 7 e 8:
• C1 : 4y2 − 3y + 1 = 0
• C2 : y2 + 2y − 4x + 13 = 0
• C3 : x2 + y2 − 2x + 3y + 3 = 0
• C4 : x2 + 4y2 + 6x − 16y + 13 = 0
Questão 6 [1,0 ponto] Classifique as cônicas C1, C2, C3 e C4.
Questão 7 [1,5 ponto] Encontre os principais elementos da cônica C2.
Questão 8 [1,5 ponto] Faça um esboço da cônica C2 contendo seus principais elementos.
Resolução:
(6) Como 4y2 − 3y + 1 = 0 ⇐⇒ y = 3±
√
9−4·4·1
8 , então C1 é uma cônica degenerada, dada pelo
conjunto vazio.
Como y2 + 2y − 4x + 13 = 0 ⇐⇒ 4(x − 3) = (y + 1)2, então C2 é uma parábola.
Como x2 + y2 − 2x + 3y + 3 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 + (y + 32)
2 = 14 , C3 é uma circunferência de centro
(1, −32) e raio
1
2 .
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Anaĺıtica I AP3 1/2023
Como x2 + 4y2 + 6x − 16y + 13 = 0 ⇐⇒ (x + 3)2 + 4(y − 2)2 = 0, C4 é uma cônica degenerada,
dada por um ponto (−3, 2).
(7) C2 é uma parábola com vértice V = (3, −1) e reta focal y = −1. Note que 4p = 4 ⇔ p = 1, o
que implica que F = (4, −1) é o foco da parábola e x = 2 a equação da reta diretriz.
(8) Veja a figura abaixo:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ