Transformação Linear

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FERNANDA LETÍCIA DA CRUZ SANTOS
NÍVIO IGOR CASEMIRO IMBIRIBA
TRABALHO ÁLGEBRA LINEAR
CESUPA – 2011
Belém - PA
FERNANDA LETÍCIA DA CRUZ SANTOS
NÍVIO IGOR CASEMIRO IMBIRIBA
TRABALHO ÁLGEBRA LINEAR
Trabalho Transformações lineares orientado pela profª Eliane Oliveira, com pontuação referente ao 2º bimestre da disciplina Álgebra Linear.
CESUPA – 2011
Belém - PA
INTRODUÇÃO
Em matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função de V em W, F: V → W que satisfaz as condições: 
Quaisquer que sejam u e v em V: F(u+v)=F(u)+F(v) 
ii) Quaisquer que sejam k∈R e v∈V: F(k.v) = k.F(v)
1. Operadores Lineares no Espaço Vetorial R²
1.1 Rotação: Em álgebra linear e geometria, uma rotação é o tipo de uma transformação de um sistema de coordenadas. Em outras palavras, uma rotação é um tipo de isometria.
rotação de 90 graus no sentido anti-horário:
rotação por θ graus no sentido anti-horário:
 T(x, y) = (x cosθ − y senθ , x senθ + y cosθ ) com 0 ≤θ ≤ 2π .
Propriedades
1. Se T :V →W é uma transformação linear então V W T(0v) = 0 .
dem.: T( 0v) = T( 0v + 0v) = T ( 0v) + T ( 0v) .
Mas, T(0v) = T(0v) + 0w , pois T( 0v))∈W e 0w é o elemento neutro em W.
Assim, T( 0v) + T( 0v) = T( 0v) + 0w .
Logo, T( 0v) = 0w .
Portanto, se T( 0v) ≠ 0w então T não é uma transformação linear. No entanto, o fato de T( 0v) = 0w não é suficiente para que T seja linear. Por exemplo, T :R² →R² tal que T(x, y) = (x2 , y 2 ) .
T(1,2) = (12 ,22 ) = (1,4)
T(3,5) = (32 ,52 ) = (9,25)
T(1,2) + T(3,5) = T(10,29)
T((1,2) + (3,5)) = T(4,7) = (42 ,72 ) = (16,49)
Assim, T(v + u) ≠ T(v) + T(u)
Embora, T(0,0) = (0,0) , T não é uma transformação linear.
Seja T :V →W uma transformação linear. 
Então T(k1.v1+k2.v2+...+kn.vn)=k1.T(v1)+k2.T(v2)+...+kn.T(vn) para quaisquer
v1, v2,..., vn ∈ V e para quaisquer k1, k2,..., kn ∈ R. 
Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear T :V →W .
1.2 Reflexão:
Reflexão em torno do eixo X: T(x, y) = (x,−y) .
Reflexão em torno do eixo Y: T(x, y) = (−x, y) .
Reflexão em torno da origem: T(x, y) = (−x,−y) .
Reflexão em torno da reta x = y : T(x, y) = ( y, x) .
Reflexão em torno da reta x = − y : T(x, y) = (−y,−x) .
reflexão em torno do eixo x:
reflexão em torno do eixo y:
1.3 Projeção: 
Dado um espaço vetorial linear X, seja y X um vetor que fornece uma
determinada direção. A projeção de qualquer vetor x X na direção de y é dada
na forma:
Projeção no eixo y:
A projeção P:R³R² tal que P(x,y,z)=(x,y) é linear, pois
1.4 Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: T(x, y) = (kx, ky) com k ∈R .
Se k >1: dilatação.
Se k <1: contração.
Se k < 0 : troca de sentido.
Se k =1: operador identidade.
2.4 Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo X: T(x, y) = (kx, y) com k ∈R, k > 0 .
Se k > 1: dilatação.
Se 0 < k <1: contração.
Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo Y: T(x, y) = (x, ky) com k ∈R, k > 0.
Se k > 1: dilatação.
Se 0 < k <1: contração.
2. Obtendo a Lei de uma Transformação Linear
Seja T :R2 →R2 um operador linear tal que T(2,3) = (−1,5) e T(0,1) = (2,1) . Como encontrar a lei
que define este operador?
Solução:
 {(2,3),(0,1)} é base para R2
Portanto, qualquer vetor v ∈ R² pode ser escrito como combinação linear destes vetores.
v- (x,y)=k1.(2,3)+k2.(0,1) com k1, k2 ∈ R².
 = (2k1,3k1)+(0,k2)
 = (2k1,3k1+k2)
 Assim, x = 2k1 e y = 3k1+k2. Então, k1 = e k2 = 
Logo, (x,y) = (2,3) + (0,1). Aplicando o operador linear:
T(x,y) = T 
 = 
= 
= 
= 
Logo, T(x,y) = .
REFERÊNCIAS
http://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear
http://hermes.ucs.br/ccet/deme/vslavier/alglin/t_linear/trans_linear.htm
http://www.ime.uerj.br/~alglin/ApostilaAlgLinI/Capitulo4_TL06.pdf