Numeros Complexos

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Escola Secúndaria Centro Cultural Islamico Abubacar Mandjirá
Trabalho Investigativo de Matemática
 Docente: Mandito Daniel
 Nampula, 2018
Escola Secúndaria Centro Cultural Islamico Abubacar Mandjirá
Números Complexos
Discente: Diana Essiaca Abudo, Nº16 12ªB1	
Nampula, 2018
Introducao 
O presente trabalho de caracter avaliativo abordará sobre o conjunto de números complexos sendo definidos como o conjunto que possui maior cardinalidade afinal, ele contem todos os outros números.
O fato de que um número negativo não tem raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com a questão.
As equações de segundo grau apareceram na matemática já nas tabuletas de argila da Suméria, aproximadamente 1700 anos antes de Cristo e, ocasionalmente, levaram a radicais de números negativos; porém, não foram elas, em momento algum, que sugeriram o uso de números complexos. 
A rigor, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto; assim, se no processo de resolução aparecia uma raiz quadrada de um número negativo, isto era interpretado apenas como uma indicação de que o problema originalmente proposto não tinha solução
Historia
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x² – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.
Conjunto dos números complexos
Os números
• Números naturais: N = {1,2, 3,...}, mas existem vários autores considerando N = {0,1, 2, 3,...}, Para evitar confusões, é recomendado dizer números positivos, números não negativos, ete, sempre que possível. Os números naturais são associados ao número de elementos do con¬junto não vazio, denominado de cardinalidade, O conjunto N possui infinitos elementos. Ele tem operação de adição que vale o cancelamento (a + x = a + y =^ x = y) e multiplicação comutativa com cancelamento (ab = ba e se a = 0 ax = by =^ x = y). Além disso, ele possui um elemento unidade (elemento neutro do produto). Além de ter estas operações boas, também apresenta uma ordem compatível com suas operações (a < b	b — a > 0) e qualquer dos seus subconjuntos tem o primeiro elemento para esta ordem.
• Números inteiros não negativos: Z+ = {0,1,2, 3,...}, No caso do conjunto dos números que pode ser decomposto em positivo, negativo e zero, o sinal + na parte inferior indica o positivo mais o zero (não negativo) e o sinal de menos indica o negativo mais o zero (não positivo). Números inteiros não negativos incluem o elemento nulo 0 (elemento neutro da soma). Com isso, as duas operações fundamentais terão os seus elementos neutros.
Observação: O conjunto dos números inteiros positivos: Z+ = {1,2, 3,...}éo conjunto dos números naturais, O símbolo na parte superior do conjunto dos números é usado para “eliminar o zero”. No caso geral, é o conjunto (subconjunto do anel) sem o divisor de zero, o que não discutiremos aqui.
• Números inteiros: Z = {..., —3, —2, —1,0,1, 2, 3,...}, É uma extensão dos números naturais na qual operação inversa da adição é permitida. Isto melhora as operações, mas terá pequena alteração em termos de ordem. Agora, nem todos subconjuntos terão o primeiro elemento.
No entanto, todo subconjunto limitado inferiormente continuará tendo o menor elemento.
• Números racionais: Q = {m : m, n G Z, n = 0, | = d	ad = bc}. Permite realizar operação inversa da multiplicação. Com isso, tanto a adição como a multiplicação serão inversíveis, O conjunto com propriedade operacional similar ao do Q é denominado de corpo.
Ele é o menor corpo contendo os números naturais. Agora, as operações ficaram "perfeita", mas em termos de ordem, piorou. Agora nem todo subconjunto limitado inferiormente tem o menor elemento. No entanto, Q possui mesmo número de elementos que N, significando que os elementos de Q ou de seus subconjuntos podem ser indexados usando números naturais.
Números reais: R, O conjunto dos números racionais está "cheio de buracos", de modo que uma curva como no caso de círculo, pode atravessar a reta sem ter interseeções. Por exemplo, x2 + y2 = 1 e y = x não interceptam em Q2 (pois sua interseeção é irracional).
Para resolver este problema, podemos estender o Q de forma a "tampar todos os buracos", obtendo o conjunto dos números reais. Ele apresenta a mesma propriedade operacional e relação de ordem que o conjunto dos números racionais, mas não tem "buracos". Além disso, podemos fatorar qualquer polinómio em termos de fatores de grau 1 e dois, o que é melhor que os conjuntos dos números racionais. Em termos da cardinalidade, o conjunto não é mais enumerável, o que pode trazer complexidade extra em estudos mais avançados.
• Números complexos: C = {x + iy : x,y E R, i2 = -1}, O conjunto dos números reais não permite resolver qualquer equação polinomial por poder ter polinómios com raízes complexas. Para tanto, introduziremos i = y/—1, obtendo o conjunto dos números complexos na qual todo polinómio tem raiz. Como o preço, o conjunto dos números complexos não possui a ordem compatível com as suas operações,
• Outros números: Exitem forma de definir produto em R4 e R8, denominados de quatérnios e oetônios, mas perderá alguma das propriedades sobre o produto, Isto deixa em dúvida, se ainda pode ser chamado de números.
Observação: As medidas requer ordem compatível com as operações, A maioria das medidas tem valor no conjunto dos números reais, pois tem maior facilidade operacional e ainda preserva a ordem compatível com as operações. Mas existem algumas medidas como número de elementos no conjunto finito que são inteiras.
Propriedades
Dados Z1, Z2 e Z3, temos
comutatividade
Z1 + Z2 = Z2 + Z1 
Z1Z2 = Z2Z1 
associatividade
(Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3) 
(Z1Z2)Z3 = Z1(Z2Z3) 
distributividade
Z1(Z2 + Z3) = Z1Z2 + Z1Z3 
Estas leis seguem imediatamente das correspondentes leis para números reais e das operações algébricas denidas anteriormente para os números complexos.
Representação geométrica dos números complexos
Como um número complexo z = x + yi é determinado pelo par de números reais x e y, podemos associar ao ponto (x, y) do plano cartesiano. Nesta representação, o eixo X representa a parte real e o eixo Y representa a parte imaginária do número complexo (Figura 1).
Figura 1: Representação geométrica dos números complexos
Dado um número real, a distância até a origem é denominado de módulo, Da mesma forma, podemos denominar a distância de um número complexo até a origem de módulo do número complexo. Pela geometria analítica, podemos ver que o módulo de z = x + yi é dado por
|z| = ,
O módulo tem a seguinte propriedade,
• |z| > 0 e |z| = 0 z = 0
• |zw| = |z||w|. Na matemática, costumamos denotar com um barra quando vale a igualdade |ab| = |a|.|b| (exemplo: módulo e determinante), Quando vale a desigualdade, será denotado por duas barras (exemplo: norma). Assim, não usar uma barra indevidamente (por exemplo, não usar uma barra paranorma). 
• |z + w| < |z| + |w|, Desigualdade triangular.
Forma trigonométrica (ou polar) dos números complexos
Dado um ponto no plano, podemos representar o ponto pela distância até a origem e o ângulo que forma com o eixo X, denominado de forma polar.
Figura 2: Representação polar dos números complexos
Dado no plano complexo, temos que de d onde r = |z| = é a distância do ponto até origem. Logo, que é denominado de forma trigonométrica ou polar dos números complexos. Tal representação, considerando é única exceto para pontos de origem,
A forma trigonométrica é espeeialmente importante para entender o significado geométrico da multiplicação dos números complexos.
Exemplo 1. Seja na representação retangular. Para transformar em representação em coordenadas polar, temos que . Como e , temos que e logo, Assim, a representação trigonométrica será 
Forma Algébrica
Tem-se por definição que, se Z = (z,y) = (x,0) + (y,0)(0,1), onde i = (0,1), então podemos escrever da seguinte forma:
Z = x + yi
A está forma, damos o nome de forma algébrica dos números complexos, onde:
• Z = número complexo
• x = parte real de Z
• y = parte imaginária de z
• i = unidade imaginária.
Imaginário Puro: quando a = 0 e b 0 
Real: quando b = 0
Igualdade de Números Complexos.
Números complexos são iguais, se e somente se, a parte real e imaginária for igual. Desta forma, utilizando-se de dois números complexos quaisquer, tem-se Za = a + bi e Zb = c + di; admitindo a igualdade Za=Zb, tem-se: a = c e b = d 
Adição de Números Complexos
Tomando como base dois números complexos Za = a + bi e Zb = c + di, tem-se que: Za+ Zb = (a + c) + (b + d)i
Subtração de Números Complexos
Utilizando dois números complexos como base Za = a + bi e Zb = c + di, tem-se que: Za- Zb = (a - c) + (b - d)i
Potencias de i
Este é um pré-requisito básico para entendermos a multiplicação de números complexos. Por definição temos que então, tem-se que:
“Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.”
Multiplicação de Números Complexos
Tomando-se dois números complexos ; a multiplicação dos
mesmos se dá por:
Ou ainda
Conjugado de um Número Complexo
Para se achar o conjugado de um número complexo basta inverter o sinal de adição ou
subtração pelo seu oposto. Logo:
Para achar o conjugado, representado por , temos que:
= a – bi
Propriedades do Conjugado
• 1a Propriedade: O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados.
• 2a Propriedade: O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados.
• 3a Propriedade : O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo.
Divisão de Números Complexos
Para dividirmos números complexos, basta multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador. Desta forma tem-se:
Considerando dois números complexos Za = a + bi e Zb = c + di; a divisão entre eles dá-se por:
 
Achando-se o conjugado o denominador, tem-se que Zb’ = C - di; como para dividir devemos multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado, temos:
Módulo de Número Complexo
Tem-se por módulo de um número complexo, dado por Z = a + bi, a seguinte forma:
|Z| = ou |Z| = 
Inverso de um Número Complexo
O inverso de um número complexo, dá-se dividindo 1 pelo número complexo em questão, multiplicando em seguida o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Desta forma Considerando Z = a +bi, tem-se que o inverso deste número é, sabendo que o conjugado é Z’ = a - bi.
Obs: a multiplicação de um número pelo seu inverso será sempre igual a 1.
Raiz de Números Negativos
Tem-se como definição que i² = -1, logo i = desta forma podemos definir a raiz de um número negativo, por propriedade de radiciação, como a multiplicação de um numero positivo na raiz, pela raiz de -1, ou seja i. Temos assim:
 
Como = i, temos o seguinte:
 = * i
Forma Trigonometrica 
Multiplicação pela Forma Polar
Para multiplicarmos formas trigonométricas dos números complexos, devemos considerar duas formas polares Za e Zb, então temos a seguinte forma:
Divisão pela Forma Polar
Para dividirmos formas trigonométricas dos números complexos, temos a seguinte forma:
Potenciação pela Forma Polar (1a Fórmula de Moivre)
Para fazer a potenciação usamos a 1a Formula de Moivre, uma fórmula muito importante, pois caso não existisse teríamos de usar o binômio de Newton, o que acarretaria em um calculo enorme. A fórmula de Moivre, para potenciação é a formula a seguir:
Zn = n[cos(n) + i sen(n)]
Radiciação de um Número Complexo na Forma Polar (2a Lei de Moivre)
A radiciação de um número complexo na forma polar é dado através da seguinte expressão, que é a 2a lei de Moivre. Primeiro iremos considerar que = Zk
 
Onde 2kn é a expressão geral dos arcos, para descobrir suas determinações.
EXERCÍCIOS
Analise os seguintes números complexos e determine se é Imaginário Puro, Real ou Imaginário comum (nem imaginário puro, nem real).
2i
2 + 0i
3 + 4i
3i
Resolução:
Para um número ser Imaginário Puro, tem-se que ele deve ser desta forma: a = 0 e b0; para ser real b = 0 e para ser imaginário comum tem-se que ele deve possuir a0 e b0; então:
Imaginário Puro
Real
Imaginário Comum
Imaginário Puro
Resolva as expressões algébricas dos seguintes números complexos: Za = 1 + 2i e Zb= 2 + 3i
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
Resolução:
Za + Zb = (1 + 2) + (2 + 3)i Za + Zb = 3 + 5i
Za - Zb = (1 - 2) + ( 2 - 3)i Za - Zb = -1 - i
Za*Zb=(1*2-2*3)+(1*3+2*2)
 Za * Zb = (2 - 6) + (3 + 4)i
 Za * Zb = -4 + 7i
Temos que o conjugado de Zb é , Logo:
3) Determine o inverso do número complexo Z = 1 + 2i
Resolução:
4) Determine as raízes complexas da seguinte equação: x² - 4x + 5 = 0
5) Determine as raízes complexas da seguinte equação x² - 4x + 8 = 0
6) Determine o argumento do número complexo 
Conclusao
Durante a feitoria do trabalho conclui o seguinte, a criação dos números complexos revolucionou, de certa forma, a Matemática, pois se criava mecanismos para obtenção de resultados envolvendo a raiz quadrada de um número negativo, até então um mistério. Os complexos são formados por uma parte real (x) e outra imaginária (y), assumindo a seguinte forma algébrica: z = x + yi. O número complexo pode ser representado no plano através de um ponto Q de coordenadas (x, y), sobre o eixo x marcamos a parte real e sobre o eixo y a parte imaginária de z. O ponto Q deve receber o nome de afixo ou imagem geométrica de z.
Bibliografia
1. http://www.mundovestibular.com.br/articles/4619/1/NUMEROSCOMPLEXOS/
Paacutegina1.html
2. http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/
3. http://www.brasilescola.com/matematica/formulas-de-moivre.htm
4. http://www.paratodosesobretudo.com.br/2011/02/resolva-equacoes-de-2-grau-comraizes.
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5. http://www.algosobre.com.br/matematica/numeros-complexos-i.html
6. http://www.brasilescola.com/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-formatrigonometrica.
htm
Material Impresso:
1. Matemática (Ensino médio) I, Barreto, Claúdio Xavier, II. Titulo –
Editora: FTD s.a – Volume único.