AULA 09 INTEGRAIS M+LTIPLAS

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INTEGRAIS TRIPLAS
Seja w = f (x, y, z) uma função definida e contínua numa região fechada e limitada T do espaço. Subdividimos T em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos coordenados.
Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk).
Formamos a soma 
, onde (Vk é o volume do paralelepípedo Tk.
Faz-se isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que a maior aresta dos paralelepípedos Tk tende a zero quando 
n ( (. 
Se existir 
 ele é chamado integral tripla da função f(x,y,z) sobre a região T e representamos por:
 ou 
PROPRIEDADES
De forma análoga a integrais duplas temos:
onde T = T1 ( T2, conforme figura.
CÁLCULO DAS INTEGRAIS TRIPLAS
Teremos três casos, inicialmente serão reduzidos a resolução de uma integral dupla.
Domínio D
Domínio D’
Domínio D’’
No caso 1 a região de integração é:
e a integral correspondente:
No caso 2 a integral correspondente:
No caso 3 a integral correspondente:
Exemplos:
Calcule as integrais.
1) 
2) 
3) Calcular 
, onde T é o sólido delimitado pelo cilindro 
x2 + y2 = 25, pelo plano x + y + z = 8 e pelo plano xOy.
4) Determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro z = 4 – x2 e pelo parabolóide elíptico z = 3x2 + y2.
5) Calcular o volume do sólido definido pelo cilindro y = x2 e pelos planos y + z = 4 e 
z = 0.
APLICAÇÕES À FÍSICA
Centro de Massa
Centro de massa de um corpo extenso ou de um sistema de partículas é uma idealização utilizada em Física para reduzir o problema da ação de forças externas sobre este corpo ou sistema de partículas. A idéia é tentar reduzi-los a uma partícula de massa igual à massa total do corpo extenso ou do sistema de partículas, posicionada justamente no centro de massa.
Centro de gravidade
O centro de gravidade é um ponto em torno do qual o peso do corpo está igualmente distribuído em todas as direções. O centro de gravidade de um corpo coincide com seu centro de massa quando a aceleração da gravidade tiver o mesmo valor em toda extensão do corpo. Isso significa que corpos com dimensão pequena comparada à Terra, como têm o mesmo valor de aceleração da gravidade para todas as diferentes partes do corpo, seu centro de gravidade coincide com seu centro de massa.
Centro de massa de duas partículas
Estendendo para um sistema de partículas no espaço:
 
 
(massa total)
Momento de área e centróides (centro de gravidade de figuras planas de mesma densidade)
Momento de uma força: grandeza vetorial que causa rotação.
M = FN . d
Momento de Área
 
Momento em relação ao eixo x → 
Momento em relação ao eixo y → 
Momento de área por integração
Para corpo extenso (em IR3)
dm = k.dV, k ( densidade
De modo análogo temos:
Exemplos:
1) Determine o centróide da figura a seguir:
2) Determine o centróide do sólido limitado pelas superfícies:
MOMENTO DE INÉRCIA
Uma boa definição de massa é uma propriedade do corpo que se relaciona com a inércia translacional, ou seja: Imagine que você tenha dois corpos flutuando e dá um peteleco em cada um, o corpo que iniciará um movimento com maior aceleração é o corpo que tiver a menor massa, resumidamente falando, massa é o tanto que o corpo irá dificultar uma mudança de velocidade. Quanto maior a massa, mais força teremos que fazer para gerarmos uma determinada aceleração. Com esta definição, podemos então dizer que o corpo possui uma inércia translacional.
Analogamente podemos definir o momento de inércia, o momento de inércia está relacionado com rotação, ou seja, quanto maior for o momento de inércia de um objeto mais difícil será iniciar um movimento de rotação para com ele, analogamente à massa, o momento de inércia diz respeito ao quanto o objeto irá dificultar o movimento de rotação. Conclui-se então que o momento de inércia está diretamente relacionado a inércia rotacional do objeto.
Se você sentar numa cadeira giratória, começar a girar e tirar os pés do chão e então abrir os braços, você verá que sua velocidade de rotação irá diminuir. Isto porque com os braços abertos você possui uma "dificuldade de giro" ou inércia rotacional, maior do que com os braços fechados. Esta inércia é denominada usualmente de momento de inércia. O momento de inércia varia não só de um objeto para outro, como também para um mesmo objeto, dependendo da escolha do eixo de rotação. A expressão matemática mais simples para o momento de inércia, I, é a de um objeto de pequenas dimensões, como uma pedra de massa m, girando presa a um fio de comprimento r. Para este objeto, I é dado por: I = mr2, como ilustrado na figura.
Para um sistema girando composto por mais de um corpo, o momento de inércia do sistema é dado pela soma dos momentos de inércia de cada corpo (isto é deve-se calcular a expressão I = mr2 considerando a massa e distância ao eixo de giro para cada corpo, como ilustrado na figura).
eixos, a inércia de translação (massa) não depende da direção em que se translada o objeto.
Energia Cinética de Rotação
Quando uma roda gira, a cada um de seus pontos está associada uma energia cinética. O problema é: Como expressar esta energia em termos de sua velocidade angular, já que cada ponto da roda possui uma velocidade linear diferente, conforme a sua posição?
Podemos dizer que cada partícula que constitui a roda em rotação possui uma determinada energia cinética, e que a energia total será expressa pela somatória dessas energias:
 ou seja : 
onde mi é a massa da i-ésima partícula e vi a sua velocidade.
O problema em expressar a energia cinética dessa maneira é que a velocidade não é a mesma para todas as partículas. Pode-se contornar esse problema expressando v em função da velocidade angular:
Substituindo 
:
 
A somatória dentro dos parênteses é denominada de momento de Inércia do corpo em rotação:
 
A energia cinética de rotação do corpo: 
Ou 
 
Quando o corpo é constituído por partículas (partes) discretas, o momento de inércia pode ser calculado através da expressão obtida acima. No entanto, quando o corpo é contínuo, precisamos substituir a somatória por uma integral dupla.
Momento de inércia de uma lâmina
 (giro em torno de y)
 (giro em torno de x)
Momento em relação à origem
ou
Unidade SI ( kg.m2
Exemplo:
1) Determine Ix, Iy e I0 da área de um quarto de círculo.
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS
De modo análogo às integrais duplas, podemos calcular uma integral tripla através da mudança de variáveis desde que, existam três funções contínuas e diferenciáveis 
 com 
. Nesse caso, podemos escrever:
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Para calcularmos 
em coordenadas cilíndricas, vamos usar as relações 
 
. Logo,
Exemplo:
Calcular 
em que a região R é formada pelo cilindrox2 + y2 = 4 e pelos planos z = 0 e x + y + z = 5
COORDENADAS ESFÉRICAS
Para calcularmos 
em coordenadas esféricas, vamos usar as relações 
O jacobiano é:
. Assim,
Exemplo:
Calcular 
em que a região R é uma esfera de raio R.
MOMENTO DE INÉRCIA DE SÓLIDOS
Como nas integrais duplas podemos determinar o momento de inércia de sólidos.
O momento de inércia do cubo elementar em relação ao eixo Ox é:
O momento do sólido de volume V em relação ao eixo Ox é:
De modo análogo em relação aos demais eixos:
Em relação à origem:
Exemplo:
Calcule o momento de inércia de uma esfera de equação x2 + y2 + z2 = R2 em relação ao eixo z.
EXERCÍCIOS
1) Calcular 
em que a região R é a região limitada pelo cilindro y2 + z2 = 1 e pelo plano x = 1, no primeiro octante.
Resp: 
2) Calcular 
em que a região R é a região limitada pelas superfícies z = 0, z = 4 – x2 , y = 0 e y + z = 5.
Resp: 
3) Calcular 
em que a região R é a região formada pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelos planos z = 0 e x + y + z = 5.
Resp: 4(
4) Calcule o volume do sólido contido no primeiro octante, compreendido entre o cilindro circular x2 + y2 = 9 e o cilindro parabólico x2 + 2z = 9.
Resp: 
 
5) Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies:
Resp: 
6) Esboce o sólido através da região dada a seguir, e usando a integral tripla, calcule o volume do sólido.
 
Resp: 
7) A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro x= 4 – y2
Resp: 
8) O tetraedro, no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelo plano 
Resp: 1
9) Calcular o centro de gravidade das curvas y = x3 e y = 4x no 10 quadrante.
Resposta: 
10) Calcular o centro de gravidade das curvas y2 = x, x + y = 2 e y = 0 no 10 quadrante.
Resposta: 
11) Calcular Ix, Iy e I0 da área no 10 quadrante delimitada pelas curvas y2 = x, x = 4 e y = 0.
Resposta: 
, 
 e 
12) Considere o cubo 
, 
 e 
 e suponha que a densidade no ponto (x,y,z) seja x.
Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z.
Calcule o centro de gravidade.
Dica: 
 
Resposta: 
 e 
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
AULA 09
PROFESSOR:
OLIMPIO 
y
x
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i
xi
yi
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(
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R
R
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R
R
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