Apostila de Fenômenos de Transferência III

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
 
CENTRO TECNOLÓGICO 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E ENGENHARIA DE 
ALIMENTOS 
 
 
 
Fenômenos de 
Transferência III 
 
 
 
 
 
 
 
Adolf Eugen Fick 
 
 
Prof.a Dr.a Cíntia Soares 
 
Florianópolis – SC 
Agosto – 2017 
 
 
PREFÁCIO 
 
 Este documento foi escrito originalmente como notas de aula para a 
disciplina de Fenômenos de Transferência III dos cursos de Engenharia 
Química e Engenharia de Alimentos do Departamento de Engenharia Química 
e Engenharia de Alimentos da Universidade Federal de Santa Catarina. 
 
Sem pretender ser uma contribuição original, este documento é, na 
maior parte, uma tradução informal de alguns capítulos do livro “Fundamentals 
of momentum, heat and mass transfer”1, com um capítulo do livro 
“Fundamentos de transferência de massa”2. 
 
Este material foi elaborado pela Profª. Drª. Cíntia Soares com o auxílio 
dos estagiários docentes do Programa de Pós-Graduação em Engenharia 
Química Natan Padoin e Priscilla Bisognin Corrêa. 
 
Mestres e Alunos 
Alocução a meninos e meninas 
 
É tarefa essencial do professor despertar a alegria de trabalhar e de conhecer. 
Caros meninos (e meninas), como estou feliz por vê-los hoje diante de mim, juventude alegre de um país 
ensolarado e fecundo. 
Pensem que todas as maravilhas, objetos de seus estudos, são a obra de muitas gerações, uma obra 
coletiva que exige de todos um esforço entusiasta e um labor difícil e impreterível. Tudo isso, nas mãos 
de vocês, se torna uma herança. Vocês a recebem, respeitam-na, aumentam-na e, mais tarde, irão 
transmiti-la fielmente à sua descendência. Desse modo somos mortais imortais, porque criamos juntos 
obras que nos sobrevivem. 
Se refletirem seriamente sobre isso, encontrarão um sentido para a vida e para seu progresso. E o 
julgamento que fizerem sobre os outros homens e as outras épocas será mais verdadeiro. 
 
Fonte: EINSTEIN, Albert. Como vejo o mundo. 18. ed. Rio de Janeiro: Nova 
Fronteira, 1981. 213p. 
 
1 WELTY, James R.; WICKS, Charles E.; WILSON, Robert E. (Robert Elliot); RORRER, Gregory L. Fundamentals of 
momentum, heat and mass transfer. 5th ed., New York : John Wiley, 2008. xxii, 803p. 
 
2 CREMASCO, Marco Aurélio. Fundamentos de transferência de massa. Ed. da Unicamp, 1998. 741p. 
 
 
Sumário 
1. Lei da Difusividade de Fick ............................................................................... 1 
1.1 Concentrações ............................................................................................. 1 
1.2 Velocidades ................................................................................................. 4 
1.3 Fluxos ........................................................................................................... 5 
1.4 O Coeficiente de Difusão .......................................................................... 10 
1.5 Difusividade no Poro ................................................................................. 11 
1.5.1 Difusão de Knudsen............................................................................ 12 
1.5.2 Difusão de Solutos em Poros Preenchidos com Solvente ................ 15 
2. Equação Diferencial da Transferência de Massa .......................................... 17 
2.1 Equação da Conservação da Espécie Química ....................................... 17 
2.2 Equação da Massa Total (Equação da Continuidade) ............................. 20 
2.3 Formas Especiais das Equações Diferenciais de Transporte de Massa 22 
2.4 Condições de Contorno e Concentrações Descontínuas na Interface .... 27 
2.4.1 Evaporação e Sublimação .................................................................. 28 
2.4.2 Solubilidade de Gases em Líquidos e Sólidos .................................. 29 
2.4.3 Reação Química na Superfície Especificada..................................... 30 
2.4.4 O Fluxo da Espécie é Nulo na Superfície ou em uma Linha de 
Simetria ........................................................................................................ 31 
2.4.5 Fluxo de Transferência de Massa por Convecção Especificado na 
Fronteira ....................................................................................................... 31 
3. Difusão Molecular no Estado Estacionário ..................................................... 32 
3.1 Transferência de Massa Unidimensional Independente de Reação 
Química ............................................................................................................ 32 
3.1.1 Difusão Unimolecular .......................................................................... 33 
3.1.2 Difusão no Estado Pseudo-Estacionário ........................................... 42 
3.1.3 Contradifusão equimolar..................................................................... 44 
3.2 Sistema Unidimensional Associado com Reação Química ..................... 48 
 
 
3.2.1 Difusão com Reação Química Homogênea de Primeira Ordem ...... 49 
4. Transferência de Massa Transiente ............................................................... 54 
4.1 Difusão em Regime Transiente com Resistência Externa Desprezível .. 55 
4.1.1 Placa plana infinita .............................................................................. 55 
4.1.2 Esfera .................................................................................................. 62 
4.1.3 Cilindro infinito..................................................................................... 65 
4.1.4 Método Gráfico.................................................................................... 66 
4.2 Difusão em Regime Transiente em um meio Semi-Infinito ...................... 66 
4.3 Difusão em Regime Transiente com Resistência Externa ....................... 70 
4.3.1 Placa Plana Infinita ............................................................................. 71 
4.3.2 Esfera .................................................................................................. 75 
4.3.3 Cilindro infinito..................................................................................... 76 
4.4 Método Gráfico para Difusão em Regime Transiente com Resistência 
Externa ............................................................................................................. 77 
Referências Bibliográficas ................................................................................... 79 
 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
1 
 
1. Lei da Difusividade de Fick 
 
As leis da transferência de massa (TM) mostram uma relação entre: 
 
1) fluxo difusivo de uma substância; 
2) gradiente de concentração. 
 
 Uma vez que a transferência de massa ou difusão ocorre somente em 
misturas, deve-se avaliar os efeitos de cada componente presente nesta 
mistura. 
 
 Exemplo típico: conhecer a taxa de difusão de um componente 
específico relativa à velocidade da mistura (média das velocidades) na qual 
está se movendo. 
 
1.1 Concentrações 
 
 Em uma mistura multicomponente, a concentração de uma espécie 
molecular pode ser expressa de várias formas. 
 
 A Figura 1 mostra um elemento de volume dV que contém uma mistura 
de componentes, incluindo a espécie A. 
 
Figura 1: Elemento de volume com mistura de espécies. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
2 
 
 Como cada molécula de cada espécie tem uma massa, uma 
concentraçãomássica para cada espécie, bem como para a mistura, pode ser 
definida. 
 
 Para a espécie A, a concentração mássica, ρA, é definida como a massa 
de A por unidade de volume da mistura. A concentração mássica total ou 
massa específica, ρ, é a massa total da mistura contida em uma unidade de 
volume, isto é: 
 
 
(1) 
 
 
onde n é o número de espécies da mistura. 
 
A fração mássica, wa, é a concentração da espécie A dividida pela 
massa específica total: 
 



n
i
i
ii
Aw
1



 (2) 
 
A soma da fração mássica, por definição, deve ser igual a 1. 
 
 
(3) 
 
 A concentração molar da espécie A, cA, é definida como o número de 
mols da espécie A presente por unidade de volume da mistura. 
 
Por definição, 1 mol de qualquer espécie contém uma massa 
equivalente a sua massa molar (ver Tabela Periódica). 
 
A concentração mássica e a concentração molar estão relacionadas a 
partir das seguintes expressões: 



n
i
i
1




n
i
iw
1
1
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
3 
 
 
MM
m
n 
V
n
c AA 
VMM
m
c
A
A
A 
A
A
A
MM
c


 (4) 
 
onde MMA é a massa molar da espécie A. 
 
Ao se tratar com a fase gasosa, as concentrações são frequentemente 
expressas em termos de pressões parciais. Em condições nas quais a lei dos 
gases ideais (pA∙V = nA∙R∙T) se aplica, a concentração molar é dada por: 
 
V
n
c AA  
 
RTnVp AA 
 
RT
V
n
p AA 
 
RTcp AA 
, ou 
 
RT
p
c AA 
 (5) 
 
A concentração molar total, C, é o número total de mols da mistura 
contida na unidade de volume, isto é: 
 



n
i
icC
1
 (6) 
 
ou, para uma mistura gasosa que obedece a lei dos gases ideais: 
 
RT
P
V
n
C TOTAL  
 
onde P é a pressão total. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
4 
 
A fração molar para a mistura líquida ou sólida, xA, e para a mistura 
gasosa, yA, são as respectivas concentrações molares da espécie A dividida 
pela concentração molar total: 
 
C
c
x A
(líquidos e sólidos) (7) 
 
C
c
CRT
RTc
P
p
y AAAA 
(para gases) (8) 
 
A Equação (8) é uma representação da lei de Dalton para misturas 
gasosas. A soma das frações molares, por definição, deve ser igual a 1: 
 



n
i
ix
1
1
, 



n
i
iy
1
1
 (9) 
 
1.2 Velocidades 
 
Em um sistema multicomponente, as várias espécies presentes 
normalmente se movimentarão em velocidades diferentes; por consequência, a 
avaliação de uma velocidade para mistura gasosa requer o conhecimento da 
média das velocidades de cada espécie presente. 
 
A velocidade mássica média para uma mistura multicomponente é 
definida em termos das densidades mássicas e das velocidades de todos os 
componentes: 
 



 




 
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii vv
v 1
1
1 (10) 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
5 
 
onde vi denota a velocidade absoluta da espécie i com relação a um eixo de 
coordenadas estacionário. 
 
Esta é a velocidade que seria medida por um tubo de Pitot e é a 
velocidade encontrada nas equações de transferência de quantidade de 
movimento. 
 
A velocidade molar média para uma mistura multicomponente é definida 
em termos das concentrações molares médias de todos os componentes por: 
 
C
vc
c
vc
V
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii 




  1
1
1 (11) 
 
A velocidade de uma espécie particular relativa à velocidade mássica 
média ou velocidade molar média é denominada velocidade de difusão. Neste 
caso nós podemos definir duas velocidades diferentes de difusão: 
 
vi-v: velocidade de difusão da espécie i relativa à velocidade mássica média. 
 
vi-V: velocidade de difusão da espécie i relativa à velocidade molar média. 
 
1.3 Fluxos 
 
Fluxo mássico (ou molar) de uma dada espécie é uma quantidade 
vetorial que denota a quantidade da espécie particular, em unidade mássica ou 
molar, que passa por um dado intervalo de tempo através de uma unidade de 
área. 
 
O fluxo pode ser definido com relação a coordenadas que são fixas no 
espaço, coordenadas que estão se movendo com a velocidade mássica média 
ou coordenadas que estão se movendo com a velocidade molar média. 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
6 
 
A relação básica para a difusão molecular define o fluxo molar relativo a 
velocidade molar média, JA3. Uma relação empírica para este fluxo molar, 
primeiramente postulada por Fick e referida como a 1ª Lei de Fick, define a 
difusão de um componente A em um sistema isotérmico e isobárico 
(concentração constante) como: 
 
AABA cDJ 
 
 
Para difusão ocorrendo somente na direção z, a equação torna-se: 
 
dz
dc
DJ AABzA ,
, (12) 
 
onde Ja,z é o fluxo molar na direção z relativo à velocidade molar média, dCa/dz 
é o gradiente de concentração na direção z e DAB, o fator de proporcionalidade, 
é a difusividade mássica ou coeficiente de difusão para o componente A 
difundindo-se através do componente B. 
 
 Uma relação mais geral que não é restrita para sistemas isotérmicos e 
isobáricos foi proposta por Groot que escreveu: 
 
fluxo = (densidade global ou concentração)∙(coeficiente de difusão)∙(gradiente 
de concentração) ou, 
 
dz
dy
cDJ AABzA ,
 (13) 
 
Como a concentração total c é constante em condições isotérmicas e 
isobáricas, a Equação (12) é uma forma especial da relação mais geral 
(Equação 13). 
 
 
3 Caracteres em negrito no texto irão denotar vetores. Em equações, os vetores também serão denotados por uma 
flecha acima do caractere. 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
7 
 
Uma expressão equivalente para jA,z, o fluxo mássico na direção z 
relativo à velocidade mássica média, é: 
 
dz
dw
Dρj AABzA ,
, (14) 
 
onde dwA/dz é o gradiente de concentração em termos de fração mássica. 
 
Quando a massa específica for constante, essa relação se simplifica 
para: 
 
dz
ρd
Dj AABzA ,
. 
 
Investigações experimentais iniciais da difusão molecular foram 
incapazes de verificar a Lei de Fick da difusão. Isto aparentemente foi devido 
ao fato de que a massa é transferida frequentemente por dois meios possíveis: 
 
1) como resultado da diferença de concentração, conforme postulado 
por Fick; e, 
 
2) pela convecção induzida pela diferença de densidade que resultou da 
variação da concentração. 
 
Steffan (1872) e Maxwell (1877), usando a teoria cinética dos gases, 
provaram que o fluxo mássico relativo à coordenada fixa é o resultado de duas 
contribuições: a contribuição devido ao gradiente de concentração e a 
contribuição devido movimento do bulk. 
 
Para um sistema binário com uma velocidade média constante na 
direção z, o fluxo molar na direção z relativo à velocidade média molar pode ser 
expresso por: 
 
 zzAAzA VvcJ  ,,
 (15) 
Fenômenos de TransferênciaIII Profa. Dra. Cíntia Soares 
8 
 
 
Igualando as expressões (13) e (15): 
 
 
dz
dy
cDVvcJ aABZzAAzA  ,,
, 
 
e rearranjando tem-se: 
 
zA
A
ABzAA Vc
dz
dy
cDvc ,
. 
 
Para um sistema binário, Vz pode ser avaliado pela Equação (11): 
 
 zBAzAAz vcvc
c
V ,,
1

 multiplicando por CA: 
 
 zbBzAAAzA vcvcyVc ,,
. 
 
Substituindo esta expressão, obtém-se: 
 
 zBBzAAAAABzAA vcvcy
dz
dy
cDvc ,,, 
 (16) 
 
Como os componentes de velocidade vA,z e vB,z são relativos ao eixo de 
coordenadas fixo, as quantidades cAvA,z e cBvB,z são os fluxos dos 
componentes A e B relativos ao eixo de coordenada fixo. Este tipo de fluxo é 
simbolizado por: 
 
AAA vcN


, e 
 
BBB vcN


. 
 
Substituindo na Equação (16), obtém-se: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
9 
 
 zBzAAAABzA NNy
dz
dy
cDN ,,, 
 (17) 
 
Esta relação pode ser generalizada e escrita na forma vetorial como: 
 
 BAAAABA NNyycDN


. (18) 
 
Portanto, o fluxo molar, NA, é resultante de duas contribuições vetoriais: 
 
AAB ycD 
 : o fluxo molar, JA, resultante do gradiente de concentração. 
Este termo é referido como contribuição devido ao gradiente de concentração. 
 
 BAA NNy


: o fluxo molar resultante do movimento do bulk. Este termo 
é designado de contribuição devido ao movimento do bulk. 
 
Se a espécie A está se difundindo em uma mistura/solução4 
multicomponente, a expressão equivalente assume a seguinte forma: 
 



n
i
iAAAMA NyycDN
1
 , 
 
onde DAM é o coeficiente de difusão de A na mistura. 
 
O fluxo mássico, nA, é definido para um sistema binário em termos de 
concentração mássica (ρ) e fração mássica: 
 
 ,BAAAABA nnwwDρn


 (19) 
 
onde: nA = ρAvA e nB = ρBvB. 
 
Em condições isotérmicas e isobáricas, esta relação se simplifica para: 
 
 
4 Mistura gasosa/solução líquida. 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
10 
 
 BAAAABA nnwDn

  . 
 
De forma análoga ao fluxo molar, o fluxo mássico é resultante de duas 
contribuições vetoriais: 
 
AABD 
 : contribuição resultante do gradiente de concentração (jA) 
 
 BAA nnw


: contribuição devido ao movimento do bulk oriundo do 
gradiente de concentração (densidade). 
 
1.4 O Coeficiente de Difusão 
 
Esta proporcionalidade que aparece na lei de Fick, DAB, é conhecida 
como coeficiente de difusão. 
 
Sua dimensão fundamental, que pode ser obtida a partir da lei de Fick, 
é: 
 
dz
dC
DJ AABzA , 
 
t
L
LLMtL
M
dzdC
J
D
A
zA
AB
2
32
,
1
1













 
 
e é idêntica às dimensões fundamentais de outras propriedades de transporte: 
 
→ viscosidade cinemática:  
→ difusividade térmica:  (k/ρ∙Cp) 
 
cm²/s; no SI m²/s e ft²/h no sistema inglês. 
 
O coeficiente de difusão depende da pressão, da temperatura e da 
composição do sistema. 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
11 
 
 
Como é de se esperar, devido a mobilidade das moléculas, os 
coeficientes de difusão são geralmente maiores para gases (5∙10-6 a 1∙10-5 
m²/s) do que para líquidos (10-10 a 10-9 m²/s), que por sua vez são maiores que 
os valores reportados para sólidos (10-14 a 10-10 m²/s). 
 
Na ausência de dados experimentais, expressões semi-teóricas foram 
desenvolvidas, as quais fornecem aproximações, às vezes com valores tão 
válidos quanto os valores experimentais devido às dificuldades encontradas na 
sua medida. 
 
1.5 Difusividade no Poro 
 
Há muitos exemplos onde a difusão molecular ocorre dentro de poros de 
sólidos porosos. Por exemplo: muitos catalisadores são pellets de sólidos 
porosos e que contém sítios cataliticamente ativos nas paredes do poro. 
 
O catalisador/adsorvente possui uma alta área superficial interna para 
promover as reações químicas/adsorção na superfície. 
 
No fenômeno de adsorção, o soluto adere a uma parte da superfície 
sólida que é atrativa para o soluto. Muitos materiais adsorventes são porosos, 
de modo a fornecer uma alta área superficial interna para a adsorção do soluto. 
 
Em ambos os exemplos, as moléculas devem se difundir através de uma 
fase líquida ou gasosa que reside dentro dos poros. 
 
À medida que o diâmetro do poro se aproxima do diâmetro da molécula 
que está se difundindo, a molécula pode interagir com a parede do poro. 
 
A partir de agora nós iremos descrever dois tipos de difusão no poro: a 
difusão de Knudsen de gases em poros cilíndricos e a difusão "prejudicada" de 
solutos em poros cilíndricos preenchidos com solvente. 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
12 
 
1.5.1 Difusão de Knudsen 
 
Considere a difusão de moléculas de gás através de poros capilares 
muito pequenos. Se o diâmetro do poro é menor que o livre caminho médio das 
moléculas de gás que estão se difundindo e a densidade do gás é baixa, as 
moléculas irão colidir com a parede do poro mais frequentemente do que com 
outra molécula. Este processo é conhecido como escoamento de Knudsen ou 
difusão de Knudsen. 
 
O fluxo de gás é reduzido pelas colisões com a parede. 
 
O número de Knudsen, Kn, dado por: 
 
porod
λ
Kn 
 
 
onde  é o comprimento do livre caminho médio da espécie se difundindo e 
dporo é diâmetro do poro. 
 
O número de Knudsen é uma boa medida da importância relativa da 
difusão de Knudsen. Se o número de Knudsen é muito maior que 1, a difusão 
de Knudsen passa a ser importante. 
 
Para um dado diâmetro de poro, o número de Knudsen aumenta à 
medida que a pressão do sistema, P, diminui e a temperatura, T, aumenta. 
 
Na prática, a difusão de Knudsen se aplica somente a gases porque o 
livre caminho médio para moléculas no estado líquido é muito pequeno, 
próximo ao diâmetro da molécula. Consequentemente, Kn para líquidos é 
pequeno. 
 
A difusividade para a difusão de Knudsen é obtida a partir do coeficiente 
de alta difusão, derivada da teoria cinética dos gases: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
13 
 
A
AA
Mπ
NTκλuλ
D
8
33
* 
 
 
Para a difusão de Knudsen, substituímos o comprimento  pelo diâmetro 
do poro, uma vez que a espécie A colide mais frequentemente com a parede 
do poro do que com outra molécula. Neste caso, a difusividade de Knudsen 
para a espécie A que está se difundindo, DKA, é: 
 
A
poroporo
KA
Mπ
NTκd
u
d
D
8
33

, (20) 
 
 
 
 
 
A
poroKA
M
T
dD  4850
. (21) 
 
Obs.: esta equação simplificada requer que dporo tenha a unidade de cm, MA 
tenha unidade de g/mol e que a temperatura seja expressa em K. 
 
A difusividade de Knudsen é dependente do diâmetro do poro, da massa 
molar da espécie A e da temperatura. Podemos comparar DKA com o 
coeficiente de difusão binária na fase gás, DAB. Primeiro, ela não é função dapressão ou da presença da espécie B na mistura binária. Segundo, a 
dependência da temperatura na equação de Knudsen é 
DKA  T1/2 vs. DAB  T3/2. 
 
Geralmente a equação de Knudsen é significante somente a baixas 
pressões e pequenos diâmetros de poro. Entretanto, há situações onde a 
difusão de Knudsen e a difusão molecular podem ser importantes. 
 
A
poro
KA
Mπ
T
mol
moléc
Ks
cmg
d
D






 









23
2
6 10023,61038,18
3
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
14 
 
Se nós considerarmos que a difusão de Knudsen e a difusão molecular 
competem uma com a outra, então uma abordagem similar à resistência em 
série pode ser realizada. Ou seja: 
 
KAAB
A
Ae DD
yα
D
111



, (22) 
 
com 
B
A
N
N
α 1
 
 
Para casos onde  = 0 (NA = -NB) ou quando yA é próximo de zero 
(sistema diluído), a Equação (22) reduz-se a: 
 
KAABAe DDD
111

. (23) 
 
A relação acima para o coeficiente de difusão efetivo está baseada na 
difusão dentro de poros retos e cilíndricos alinhados em um arranjo paralelo. 
 
Entretanto, em muitos materiais porosos, os poros de vários diâmetros 
são retorcidos e interconectados com outros poros, fazendo com que o 
caminho da difusão para a molécula do gás dentro do poro seja tortuoso. 
 
Para esses materiais, se um diâmetro médio do poro for assumido, uma 
aproximação razoável para o coeficiente de difusão efetivo em poros 
randômicos é: 
 
AeAB DD
2' 
, (24) 
 
onde  é a razão entre o volume ocupado pelos poros dentro do sólido poroso e 
o volume total do sólido poroso (sólido + poro).  é uma fração volumétrica e 
geralmente é determinada experimentalmente. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
15 
 
1.5.2 Difusão de Solutos em Poros Preenchidos com Solvente 
 
Considere a difusão de uma molécula de soluto através de um capilar 
minúsculo preenchido com um solvente líquido. À medida que o diâmetro 
molecular do soluto se aproxima do diâmetro do poro, o transporte difusivo do 
soluto através do solvente é dificultado pela presença do poro e da parede do 
poro. 
 
Modelos gerais para o coeficiente de difusão que descrevem a "difusão 
dificultada" do soluto no poro preenchido com solvente assumem a forma: 
 
    2100 FFDD ABAe 
 (25) 
 
O coeficiente de difusão molecular do soluto A no solvente B à diluição 
infinita, DºAB, é reduzido por dois fatores de correção, F1() e F2(), que variam 
de 0 a 1. Ambos são função do diâmetro do poro reduzido, , razão entre o 
diâmetro molecular do soluto e o diâmetro do poro: 
 
porod
ds

 (26) 
 
Se  > 1, então o soluto é muito grande para entrar no poro. Esse fenômeno é 
conhecido como exclusão do soluto e é usado para separar grandes 
biomoléculas, tais como proteínas, de misturas aquosas diluídas contendo 
solutos de diâmetro muito menor. 
 
O fator de correção F1() (coeficiente de partição estérico) está baseado 
em argumentos puramente geométricos para exclusão estérica, isto é: 
 
F1() = área disponível para o fluxo do soluto/área total 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
16 
 
 
 
 2
2
2
1 1 
 
poro
sporo
d
dd
F
 (27) 
 
onde 0 ≤ F1 ≤ 1. 
 
O fator de correção F2() (fator de impedimento hidrodinâmico) está 
baseado nos cálculos hidrodinâmicos envolvendo o movimento browniano de 
um soluto dentro de um poro preenchido com solvente. As equações para F2() 
assumem a difusão de uma esfera rígida de soluto em um poro cilíndrico 
estreito. 
 
A equação mais comum, desenvolvida por Renkin, é razoável para 
0 ≤  ≤ 0,6: 
 
  532 95,009,2104,21  F (28) 
 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
17 
 
 
2. Equação Diferencial da Transferência de Massa 
2.1 Equação da Conservação da Espécie Química 
 
Figura 1: Volume de controle diferencial. 
 
 
 
TAXA DE 
MASSA DA 
ESPÉCIE 
QUÍMICA A QUE 
ENTRA NO VC 
 
 
- 
TAXA DE 
MASSA DA 
ESPÉCIE 
QUÍMICA A QUE 
SAI DO VC 
 
 
+ 
TAXA DE MASSA 
DA ESPÉCIE 
QUÍMICA A QUE É 
TRANSFORMADA 
NO VC 
 
 
= 
TAXA DE MASSA 
DA ESPÉCIE 
QUÍMICA A QUE 
SE ACUMULA NO 
VC 
 
* VC = volume de controle 
 
Sabe-se que: 
 
An

fluxo mássico total da espécie química A => (massa A/ L²∙t) = 
AAv


 
 
taxa de massa da espécie química A = 
An

∙ área (massa/t) 
 
Taxa da espécie A que entra no volume de controle: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
18 
 
yxnzxnzyn
z
AyAyx
A zx
ΔΔΔΔΔΔ 
 
 
Taxa da espécie A que sai do volume de controle: 
 
yxnzxnzyn
zz
AyyAyxx
A zx
ΔΔΔΔΔΔ
ΔΔΔ 

 
 
Taxa da espécie A que é transformada: 
 
zyxr A ΔΔΔ'''
 
 
r'''A = massa da espécie química A que é gerada no VC por unidade de volume 
e de tempo. [r'''A]=M/L³∙t 
 
Taxa de massa de A que se acumula no VC: 
 
zyx
t
ΔΔΔ


 
 
tem-se então: 
 
zyx
t
zyxryxn
yxnzxnzxnzynzyn
AA
zz
A
z
A
yy
AyyAyxx
A
x
A
z
zxx
ΔΔΔΔΔΔ'''ΔΔ
ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ
Δ
ΔΔ






 (1) 
 
Dividindo todos os termos por ΔxΔyΔz (Δv) e rearranjando tem-se: 
 
AA
zz
A
z
A
yy
AyyAy
xx
A
x
A
t
r
z
yxnyxn
y
zxnzxn
x
zynzyn
zz
xx











'''
Δ
ΔΔΔΔ
Δ
ΔΔΔΔ
Δ
ΔΔΔΔ
Δ
ΔΔ
 (2) 
 
Tomando o limite quando Δx → 0, Δy → 0 e Δz → 0, tem-se: 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
19 
 
AA
zz
A
z
A
z
yy
AyyAy
y
xx
A
x
A
x
t
r
z
yxnyxn
y
zxnzxn
x
zynzyn
zz
xx















'''
Δ
ΔΔΔΔ
lim
Δ
ΔΔΔΔ
lim
Δ
ΔΔΔΔ
lim
Δ
0Δ
Δ
0Δ
Δ
0Δ
 (3) 
 
Evocando o conceito de derivada tem-se: 
 
AA
AzAyAx
t
r
z
n
y
n
x
n 











 '''
 (4) 
 
Aplicando o conceito de divergente, tem-se: 
 
       zyx
zyx 








 
 
ou 
 
AzAyAxA n
z
n
y
n
x
n









 
 
Logo: 
 
AA
A rn
t
'''

  (5) 
 
A Equação (5) é chamada EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA 
ESPÉCIE QUÍMICA A (EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DO COMPONENTE 
A). 
 
Em uma mistura binária: A + B, a equação da conservação da espécie 
química B pode ser escrita como: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
20 
 
BB
B rn
t
'''

  (6) 
 
Logo, para a mistura: 
 
BABA
BA rrnn
tt
'''''' 




  (7) 
 
    BABABA rrnn
t
'''''' 

 
 (8) 
 
  BA rrvt
'''''' 

  
 (9) 
 
Se considerarmos a seguinte reação: 
 
A -> B, então r'''A = r'''B e tem-se: 
 
  0


v
t


 (10) 
 
 
2.2 Equação da Massa Total (Equação da Continuidade) 
 
Voltando à Equação da Conservação da espécie A: 
 
AA
A rn
t
'''

  (5) 
 
vDn AAAmA
  
 
 
  AAAAmA rvD
t
'''

  
 (11) 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
21 
 
    AAAAmA rvD
t
'''

  
 (12) 
 
    AAAmAA rDv
t
'''

  
 (13) 
 
 Os termos da equação acima representam, respectivamente, o acúmulo, 
a contribuição convectiva, a contribuição difusiva e o termo de geração ou 
consumo. 
 
 Em um mistura binária A + B, a equação de conservação das espécies 
químicas A e B podem ser escritas como: 
 
AA
A RN
t
C
'''

 
 
 
BB
B RN
t
C
'''

 
 
 
 Logo, para a mistura: 
 
BABA
BA RRNN
t
C
t
C
'''''' 




 
 
 
ou 
 
    BABABA RRNN
t
CC
'''''' 

 
 
 
 Nesse caso R'''A ≠ R'''B, portanto: 
 
0


N
t
C 
, pois o número de mols não se conserva. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
22 
 
2.3 Formas Especiais das Equações Diferenciais de Transporte de 
Massa 
 
Para usar as equações de transporte de massa desenvolvidas para a 
avaliação dos perfis de concentração é conveniente substituir os fluxos nA (total 
mássico) e NA (total molar) por expressões adequadas. 
 
Expressões para o fluxo molar total: 
 
(*) 
 BAAAABA NNyycDN


 
 
(**) 
VCycDN AAABA


 
 
(*) e (**) são formas equivalentes 
 
Expressões para o fluxo mássico total: 
 
(***) 
 BAAAABA nnwwDn

  
 
(****) 
vwDn AAABA
  
 
 
Relembrando a equação de conservação para a espécie A em termos 
mássicos: 
 
0


 A
A
A r
t
n
 
 
temos, após substituição de (****): 
 
 
(14) 
0


 A
A
AAAB r
t
vwD
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
23 
 
Da mesma forma, relembramos a equação de conservação da espécie A 
em termos molares: 
 
0


 A
A
A R
t
C
N
 
 
 Temos, após substituição de (**): 
 
0


 A
A
AAAB R
t
C
VCyCD
 (15) 
 
As Equações (14) e (15) são completamente gerais e podem ser usadas 
para descrever perfis de concentração. No entanto, são equações 'pesadas' e 
podem ser simplificadas: 
 
1) se a massa específica, ρ, e o coeficiente de difusão, DAB, podem ser 
assumidos como constantes, tem-se: 
 
  0


 A
A
AAAB r
t
vwD
 
 
 
02 


 A
A
AAAB r
t
vD
 
 
 
sendo que o segundo termo da equação acima pode ser fatorado: 
 
02 


 A
A
AAAAB r
t
vvD
  
 
Da equação da continuidade da mistura: 
 
  0


v
t


, sendo que para ρ constante 
0 v


, logo 
0 v
 
 
Logo, voltando à Equação da Conservação da espécie A, temos: 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
24 
 
 
02 


 A
A
AAAAB r
t
vvD
 
 
 
mas como 
0 v
 : 
 
02 


 A
A
AAAB r
t
vD
 
 (16) 
 
 Tal equação pode ser dividida, termo a termo, pela massa molar de A e 
que, após rearranjada, torna-se: 
 
 
 
 
AAAB
A
A RCD
t
C
Cv 


 2

 (17) 
 
 2) se o termo de geração/consumo, RA, é igual a zero e se a 
concentração e o coeficiente de difusão podem ser assumidos constantes, a 
Equação (17) assume a forma: 
 
AABA
A CDCv
t
C 2

 
 (18) 
 
 3) em uma situação na qual não há movimento do fluido, v = 0, não há 
geração/consumo da espécie A, RA = 0, e não há variação da concentração e 
da difusividade, a Equação (18) pode ser reduzida a: 
 
AAB
A CD
t
C 2

 
, (19) 
 
tal equação é geralmente designada como "Segunda Lei de Fick" da difusão. 
 
02 


 A
A
AAAB R
t
C
CvCD

Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
25 
 
 A hipótese de que não há movimento do fluido restringe sua 
aplicabilidade à difusão em sólidos ou líquidos estacionários, ou sistemas 
binários de gases ou líquidos, onde NA tem a mesma magnitude, mas direção 
oposta a NB, ou seja, quando há contradifusão equimolar. Além disso, tal 
equação é análoga à segunda Lei de Fourier para condução de calor: 
 
T
t
T 2

 

 
 
 4) se o processo ocorre no estado estacionário, se a concentração e o 
coeficiente de difusão são constantes, temos: 
 
AAABA RCDCv 
2
 (20) 
 
 Se a concentração e o coeficiente de difusão são constantes e não há 
geração/consumo, RA=0, temos: 
 
AABA CDCv
2
 (21) 
 
e, finalmente, se v = 0: 
 
02  AAB CD
 . 
 
 Dividindo por DAB, tem-se: 
 
02  AC
 Equação de Laplace em termos de concentração molar (22) 
 
Deve-se considerar, ainda, que todas as equações obtidas estão 
escritas na forma vetorial e, portanto, são aplicáveis a qualquer sistema de 
coordenadas ortogonais. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
26 
 
A transformação da equação para o sistema de coordenadas desejado 
pode ser obtida pela definição do operador laplaciano na forma apropriada. 
Nesse sentido, a segunda lei de Fick pode ser escrita: 
 
Em coordenadas retangulares: 
 
AAB
A CD
t
C 2

 
 
 

















2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
C
D
t
C AAA
AB
A
 (23) 
 
Em coordenadas cilíndricas: 
 




















2
2
2
2
22
2 11
z
CC
rr
C
rr
C
D
t
C AAAA
AB
A

 (24) 
 
Em coordenadas esféricas: 
 































2
2
222
2
2
111  AAAABA CsenrCsensenrrCrrrDtC
 (25) 
 
 Da mesma forma, a equação genérica para o transporte da espécie A 
pode ser escrita: 
 
Em coordenadas retangulares: 
 
A
AzAyAxA R
z
N
y
N
x
N
t
C

















 (26) 
 
 
 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
27 
 
Em coordenadas cilíndricas: 
 
  AAz
A
Ar
A R
z
NN
r
rN
rrt
C


















11
 (27) 
 
Em coordenadas esféricas:    AAAArA R
N
rsen
senN
rsen
Nr
rrt
C
















   111 22
 (28) 
 
 
2.4 Condições de Contorno e Concentrações Descontínuas na 
Interface 
 
Para a superfície em x = 0, a condição de contorno da concentração 
constante da espécie é expressa por: 
 
  sAA xtx ,,0 
 (29) 
 
Entretanto, a determinação de xA,s pode ser mais complicada. Considere 
uma poça de água que está exposta ao ar. Se nós estamos interessados em 
determinar a taxa com que o vapor d'água é transferido para o ar, precisaremos 
especificar a concentração do vapor d'água no ar na interface ar-água. 
Sabemos que a fração molar da água na poça é essencialmente um 
(negligenciando a pequena quantidade de oxigênio ou nitrogênio dissolvida na 
água). Porém, seria incorreto especificar xA,s = 1 para a fração molar do vapor 
d'água no ar na interface. A CONCENTRAÇÃO DA ÁGUA É DESCONTÍNUA 
ATRAVÉS DA INTERFACE. 
 
Em geral, a condição de contorno na forma de concentração na interface 
que separa dois materiais é descrita por uma relação entre as concentrações 
em ambos os lados da interface. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
28 
 
Estas relações estão baseadas em teorias ou são deduzidas a partir de 
experimentos. Estas podem ser expressas em uma variedade de formas, as 
quais serão vistas a seguir. 
 
2.4.1 Evaporação e Sublimação 
 
Um cenário de transferência de massa comum é a transferência de uma 
espécie A em uma corrente gasosa devido à EVAPORAÇÃO ou SUBLIMAÇÃO 
a partir de uma superfície líquida (Figura 2). 
 
 
Figura 2: Evaporação ou sublimação. 
 
 
Condições dentro da fase gasosa são de interesse e a concentração (ou 
pressão parcial) da espécie A na interface da fase gás (localizada em x = 0) 
pode ser determinada pela LEI DE RAOULT: 
 
    satAAA pxp ,00 
, (30) 
 
onde pA é a pressão parcial de A na fase gás, xA é a fração molar da espécie A 
no líquido ou no sólido e pA,sat é a pressão de saturação da espécie A na 
temperatura da superfície. A lei de Raoult se aplica se a fase gasosa pode ser 
aproximada de um gás ideal ou se a fase sólida tem uma alta concentração da 
espécie A. Se a espécie A é pura no líquido ou no sólidos (xA(0) = 1), então: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
29 
 
 A ,p 0 A satp
 (31) 
 
2.4.2 Solubilidade de Gases em Líquidos e Sólidos 
 
Outro problema comum de transferência de massa é simular a 
evaporação ou sublimação, exceto que a transferência de massa para dentro 
do líquido e do sólido é de interesse. 
 
Considere a transferência da espécie A a partir de uma corrente gasosa 
para dentro de um líquido ou sólido (Figura 3). 
 
Figura 3: Espécie gasosa A se transfere para sólido ou líquido. 
 
 
Se a espécie A é fracamente solúvel (xA é pequena) em um líquido, a lei 
de Henry pode ser usada para relacionar a fração molar de A na fase líquida 
com a pressão parcial de A na fase gás: 
 
   
H
p
x AA
0
0 
, (32) 
 
onde H é conhecido como CONSTANTE DE HENRY. 
 
Obs.: Embora H dependa da temperatura, sua dependência com a pressão 
pode ser negligenciada para valores de até 5 bars. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
30 
 
Condições na interface gás-sólido podem ser determinadas se o gás, 
espécie A, dissolve-se em um sólido, espécie B, e uma solução é formada. 
 
Tratando-se o gás e o sólido como uma solução, podemos obter a 
concentração do gás no sólido na interface através do uso de uma propriedade 
conhecida como solubilidade. Ela é definida pela seguinte expressão: 
 
   00 AA pSc 
, (33) 
 
onde pA é a pressão parcial do gás na interface, cA é a concentração molar de 
A na interface do sólido e S é a solubilidade (kmol/m³∙bar). 
 
2.4.3 Reação Química na Superfície Especificada 
 
Há três situações comuns: 
 
a) o fluxo de uma espécie pode ser relacionado ao fluxo das demais 
espécies pela estequiometria da reação química. Por exemplo: se 
considerarmos a reação química genérica na superfície A + 2B → 3C, onde os 
reagentes A e B difundem para a superfície e o produto C difunde a partir da 
superfície, sabe-se que os fluxos de A e B se movimentam em direção oposta 
ao fluxo de C. Consequentemente, o fluxo NA está relacionado ao fluxo das 
demais espécies. 
 
 
AB NN 2
 
AC NN 3 
 
b) uma taxa de reação pode ser especificada na superfície, a qual se 
torna o fluxo na superfície. Por exemplo: se o componente A é consumido por 
uma reação de primeira ordem na superfície em z=0: 
 
A 
B 
C 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
31 
 
AsszA
CkN 
0
, 
 
onde ks é a constante de reação na superfície com unidades de m/s. 
 
c) a reação pode ser tão rápida que CAs = 0 se a espécie A é o reagente 
limitante para a reação química. 
 
2.4.4 O Fluxo da Espécie é Nulo na Superfície ou em uma Linha de 
Simetria 
 
Esta situação ocorre em fronteiras impermeáveis ou em linhas de 
simetria para o volume de controle, onde o fluxo líquido é igual à zero. Em 
ambos os casos, para um fluxo unidimensional ao longo de z, tem-se: 
 
0
0,



oz
A
ABzzA dz
dC
DN
 
0
oz
A
dz
dC
 
 
2.4.5 Fluxo de Transferência de Massa por Convecção Especificado na 
Fronteira 
 
Quando um fluido escoa sobre a fronteira, o fluxo pode ser definido por 
convecção. Por exemplo: em algumas superfícies localizadas em z = 0, o fluxo 
convectivo de transferência de massa através da camada limite do fluido é: 
 
   AAscozA CCkN
, 
 
onde CA é a concentração de A no "bulk" do fluido escoando, CAs é a 
concentração de A na superfície em z = 0 e kc é o coeficiente de transferência 
de massa por convecção. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
32 
 
3. Difusão Molecular no Estado Estacionário 
 
Direcionaremos nossa atenção na descrição da transferência de massa 
no estado estacionário a partir de um ponto de vista diferencial. 
 
Para realizar isto, a equação diferencial e as condições de contorno que 
descrevem a situação física devem ser estabelecidas. 
 
Durante nossa discussão da difusão no estado estacionário, duas 
abordagens serão usadas para simplificar as equações diferenciais de 
transferência de massa. Primeiro, a equação de Fick e a equação geral da 
transferência de massa podem ser simplificadas eliminando-se os termos que 
não se aplicam à situação física. Segundo, um balanço material pode ser 
realizado em um elemento diferencial de volume. Usando ambas as 
abordagens, obteremos: 
 
0


 A
A
A R
t
C
N
 (1) 
 
Inicialmente trataremos do caso mais simples: a difusão no estado 
estacionário ocorrendo em uma única direção e sem reação química. 
Obteremos, então, soluções para as operações de transferência de massa 
mais complexas. 
 
3.1 Transferência de Massa Unidimensional Independente de 
Reação Química 
 
Nesta seção, a transferência de massa molecular no estado estacionário 
através de sistemas simples, na qual a concentração e o fluxo mássico são 
funçõesde uma única coordenada espacial, será considerada. Embora todos 
os 4 fluxos (NA, nA, JA e jA) possam ser usados para descrever operações de 
transferência de massa, somente o fluxo molar relativo a uma série de eixos 
fixos no espaço, NA, será usado na discussão a seguir. 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
33 
 
Em um sistema binário, o componente z deste fluxo é expresso por: 
 
 zBzAAAABzA NNy
dz
dy
cDN ,,, 
 (2) 
 
3.1.1 Difusão Unimolecular 
 
O coeficiente de difusão ou difusividade mássica para um gás pode ser 
medido experimentalmente em uma célula de difusão de Arnold. A célula é 
ilustrada esquematicamente na Figura 1: 
 
Figura 1: Célula de Arnold. 
 
 
O tubo estreito, que é parcialmente preenchido com um líquido puro A, é 
mantido a pressão e temperatura constantes. O gás B, que flui através da 
extremidade aberta do tubo, possui uma solubilidade insignificante no líquido A 
e também é quimicamente inerte em relação a A. 
 
O componente A vaporiza e se difunde na fase gás; a taxa de 
vaporização pode ser fisicamente medida e pode também ser 
matematicamente expressa em termos do fluxo molar. 
 
Relembre que a equação diferencial geral para a transferência de massa 
é dada por: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
34 
 
0


 A
A
A R
t
C
N
 (1) 
 
Em coordenadas retangulares esta equação torna-se: 
 
0











A
AAzAyAx R
t
C
z
N
y
N
x
N
 (3) 
 
Assuma que: 
 
• o processo de transferência de massa encontra-se no estado 
estacionário; 
• não há produção de A por reação química no caminho da difusão; 
• a difusão ocorre apenas na direção z, de modo que estamos apenas 
interessados na componente 3 do vetor de fluxo de massa. 
 
Para esta situação física, a Equação (1) reduz-se a: 
 
0
dz
dNAz
 (4) 
 
Nós podemos gerar esta equação diferencial governante considerando 
que a transferência de massa está ocorrendo no volume de controle diferencial 
SΔz, onde S é a área da seção transversal uniforme do volume de controle e 
Δz é a profundidade do volume de controle. 
 
Um balanço de massa ao longo deste volume para uma operação no 
estado estacionário, livre de qualquer produção de A por reação química, 
fornece: 
 
0
Δ

 zAzzzAz
SNSN 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
35 
 
Dividindo pelo volume de controle, SΔz, e tomando o limite à medida que 
Δz aproxima-se de zero, obtemos novamente a Equação (4). 
 
Uma equação diferencial similar pode também ser gerada para o 
componente B: 
 
0
dz
dNBz
 (5) 
 
e, consequentemente, o fluxo molar de B também é constante ao longo de todo 
o caminho de difusão de z1 a z2. 
 
Considerando apenas o plano em z1 e a restrição de que o gás B é 
insolúvel no líquido A, percebemos que NB,z, o fluxo líquido de B, é zero através 
do caminho da difusão; consequentemente, o componente B é um gás 
estagnado. 
 
O fluxo molar constante de A foi descrito pela equação: 
 
 BzAzAAABAz NNy
dz
dy
cDN 
 (6) 
 
Esta equação reduz-se a: 
 
dz
dy
y
cD
N A
A
AB
Az


1
 (7) 
 
quando NBz = 0. 
 
Esta equação pode ser integrada entre as 2 condições de contorno: 
 
em z = z1, yA = yA1 
 
e, 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
36 
 
em z = z2, yA = yA2 
 
Assumindo que o coeficiente de difusão é independente da 
concentração e percebendo a partir da Equação (4) que NAz é constante ao 
longo do caminho de difusão, obtemos, por integração: 
 
 

2
1
2
1
!1
z
z
A
AB
z
z
Az
y
dy
cDdzN
 (8) 
 
Resolvendo para NAz, obtemos: 
 
  










1
2
12 1
1
ln
A
AAB
Az
y
y
zz
cD
N
 (9) 
 
A concentração média logarítmica do componente B é definida como: 
 
 12
12
.
ln BB
BB
lmB
yy
yy
y


 
 
No caso de uma mistura binária, esta equação pode ser expressa em 
termos do componente A, como segue: 
 
   
         12
21
12
12
.
11ln11ln
11
AA
AA
AA
AA
lmB
yy
yy
yy
yy
y






 (10) 
 
Inserindo a Equação (10) na Equação (9), obtemos: 
 
 
 
lmB
AAAB
Az
y
yy
zz
cD
N
.
21
12



 (11) 
 
A Equação (11) também pode ser escrita em termos de pressão. Para 
um gás ideal: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
37 
 
RT
p
v
n
c  
 
e 
P
p
y AA  
 
 
lmB
AAAB
zA
P
pp
zzRT
PD
N
,
21
12



 (12) 
 
As Equações (11) e (12) são comumente referidas como equações no 
estado estacionário de um gás se difundindo através de um segundo gás 
estagnado. 
 
Muitas operações de transferência de massa envolvem a difusão de um 
componente gasoso através de outro componente que não se difunde; 
absorção e umidificação são operações definidas por estas duas equações. 
 
A Equação (12) também tem sido utilizada para descrever os 
coeficientes convectivos de transferência de massa pelo conceito do filme ou 
teoria do filme. 
 
Na Figura 2 o escoamento do gás sobre a superfície de um líquido é 
ilustrada. 
 
Figura 2: Escoamento da espécie B sobre um filme líquido de A. 
 
 
O conceito do filme está baseado em um modelo em que toda a 
resistência para difusão a partir da superfície do líquido para a corrente gasosa 
principal ocorre em um filme estagnado de espessura constante . 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
38 
 
 
Em outras palavras: para este modelo,  é um comprimento fictício que 
representa a espessura de uma camada de fluido que oferece a mesma 
resistência à difusão molecular. 
 
Se este modelo é preciso, o coeficiente de transferência de massa 
convectivo pode ser expresso em termos do coeficiente de difusão do gás. 
 
Se z2 - z1 é definido como , a Eq. (12) torna-se: 
 
 21
,
, AA
lmB
AB
zA pp
RTP
PD
N   
 
Além disto, sabe-se que: 
 
 21, AAczA CCkN  
 
 21, AA
c
zA pp
RT
k
N  
 
Uma comparação revela que o coeficiente no filme é expresso por: 
 
lmB
AB
c
P
PD
k
,

 (13) 
 
quando o componente que está se difundindo é transportado através de um 
gás estagnado. 
 
Obs.: Embora este modelo seja fisicamente irrealista, o conceito tem um valor 
educacional, uma vez que ele apresenta uma solução simples para um 
processo complicado. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
39 
 
De modo a completar a descrição da operação física em que a massa 
está sendo transportada, é necessário expressar o perfil de concentração. 
 
Relembrando da Equação (4): 
 
0, 
dz
dN zA
 (4) 
 
e da Equação (7): 
 
  dz
dy
y
cD
N AA
AB
zA



1
,
 (7) 
 
podemos obter a equação diferencial que descreve a variação da concentração 
ao longo do caminho da difusão. Esta equação é: 
 
 
0
1








dz
dy
y
cD
dz
d A
A
AB
 (14) 
 
Como c e DAB são constantes sob condições isotérmicas e adiabáticas, a 
equação reduz-se a: 
 
0
1
1






 dz
dy
ydz
d A
A 
 
 
0
1
2
2


dz
yyd AA
 (15) 
 
 
 

0
1
2
2
dz
yyd AA
 
 
 
1
1
C
dz
ydy AA 

 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
40 
 
  


dzC
y
dy
A
A
1
1 
 
  211ln CzCyA 
 (16) 
 
Condições de contorno: 
 
Em: 
 
z = z1 yA = yA1 
 
e em: 
 
z = z2 yA = yA2 
 
  21111ln CzCyA  
 
  22121ln CzCyA  
 
     
 
 
 1
2
21
1
21121
1
1
ln
1
1ln1ln
A
A
AA
y
y
zz
C
zzCyy





 
 
 211
2
1
1
1
1
ln
zzy
y
C
A
A










 
 
Para a determinação de C2, faz-se: 
 
    221
1
1
2
1
1
1
ln1ln C
zz
z
y
y
y
A
A
A 









 
 
   21
1
1
2
12
1
1
ln1ln
zz
z
y
y
yC
A
A
A 









 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
41 
 
 
Substituindo-se C1 e C2 na equação geral, obtém-se: 
 
       21
1
1
2
1
211
2
1
1
ln1ln
1
1
ln1ln
zz
z
y
y
y
zz
z
y
y
y
A
A
A
A
A
A 



















 
 
       21
1
1
2
211
2
1
1
1
ln
1
1
ln1ln1ln
zz
z
y
y
zz
z
y
y
yy
A
A
A
A
AA 



















 
 
 
 21
1
1
21
1
1
ln
1
1
ln
zz
zz
A
A
A
A
y
y
y
y 

















 
 
Multiplicando ambos os lados por (-1), obtém-se: 
 
 
 12
1
11
1
ln
11
1
ln 2
zz
zz
A
A
A
A
y
y
y
y 

















 
 
 
 12
1
1
2
1 1
1
1
1 zz
zz
A
A
A
A
y
y
y
y 
















 (17) 
 
Como yA + yB = 1, tem-se: 
 
 
 12
1
1
2
1
zz
zz
B
B
B
B
y
y
y
y 












 (18) 
 
As Equações (17) e (18) descrevem os perfis logarítmicos de 
concentração para ambas as espécies. 
 
A concentração média de uma das espécies ao longo do caminho da 
difusão pode ser avaliada para a espécie B, por exemplo, por: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
42 
 



2
1
2
1
z
z
z
z
B
B
dz
dzy
y
 (19) 
 
 
Após a substituição da Equação (18) na Equação (19), obtém-se: 
 
 
 
 12
1
2
1
2
1
12
1
zz
dz
y
y
y
y
z
z
zz
zz
B
B
B
B











 
 
  
  1212
1212
ln zzyy
zzyy
y
BB
BB
B



 
 
 
  lmBBB
BB
B y
yy
yy
y ,
12
12
ln



 (20) 
 
3.1.2 Difusão no Estado Pseudo-Estacionário 
 
Figura 3: Célula de Arnold com movimento da superfície líquida. 
 
 
Em muitas operações de transferência de massa, uma das fronteiras 
pode mover-se com o tempo. Se o comprimento do caminho da difusão varia 
pouco em um longo período de tempo, um estado pseudo-estacionário pode 
ser assumido. 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
43 
 
 
Considere a Figura 3, com uma superfície líquida variando com o tempo. 
Dois níveis são mostrados: um no tempo t0 e outro no tempo t1. Se a diferença 
no nível do líquido ao longo do intervalo de tempo considerado é apenas uma 
pequena fração do caminho total da difusão e t1 - t0 representa um longo 
período de tempo, em qualquer instante naquele período o fluxo molar na fase 
gás pode ser avaliado por: 
 
 
lmB
AAAB
zA
yz
yycD
N
,
21
,



, (21) 
 
onde z é o caminho da difusão em qualquer t. 
 
O fluxo molar NA,z está relacionado com a quantidade da espécie A que 
deixa a superfície do líquido. 
 
dt
dz
M
N
A
A
zA

,
 
 
Então: 
 
 
dt
dz
Myz
yyDC
A
A
lmB
AAAB 
,
21
 
 
 
zdz
yyDCM
y
dt
AAABA
lmBLA
21
,,


 (22) 
 
Integrando a Equação (22) de t = 0 até t = t e de z = z(t0) até z = z(t), 
tem-se: 
 
  



t
ot
z
zAAABA
lmBLA
t
t
zdz
yyDCM
y
dt
0
21
,, 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
44 
 
 
 
2
2
0
2
21
,, tt
AAABA
lmBLA zz
yyCDM
y
t



 (23) 
 
ou 
 
 
 
2
2
0
2
21
,, tt
AAA
lmBLA
AB
zz
tyyCM
y
D



 (24) 
 
3.1.3 Contradifusão equimolar 
 
Uma situação física que é encontrada na destilação de dois 
constituintes, cujos calores latente de vaporização são essencialmente iguais, 
estipula que o fluxo de um componente é igual ao do outro componente, em 
direção contrária, isto é: NA,z = -NB,z. 
 
Partindo da seguinte equação: 
 
0


 A
A
A R
t
C
N
 (25) 
 
para o caso de transferência de massa no estado estacionário e sem reação 
qímica, tem-se: 
 
0 AN
 (26) 
 
Para a transferência de massa na direção z, esta equação reduz-se a: 
 
0, 
dz
dN zA
 (27) 
 
Esta relação estabelece que NA,z é constante ao longo do caminho da 
difusão. O fluxo molar NA,z, para um sistema binário à T e P constantes é 
descrito pela equação de Fick. 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
45 
 
 
 zBzAAAABzA NNy
dz
dC
DN ,,, 
 (28) 
 
A substituição da restrição (Na,z = -NB,z) fornece uma equação que 
descreve o fluxo de A quando a contradifusão equimolar existe. 
 
dz
dC
DN AABzA ,
 (29) 
 
A Equação (29) pode ser integrada usando as seguintes condições de 
contorno: 
 
z = z1 → CA = CA1 
z = z2 → CA = CA2 
 
 
2
1
2
1
,
A
A
C
C
AAB
z
z
zA dCDdzN
 
 
   1212, AAABzA CCDzzN 
 
 
 
 12
21
,
zz
CC
DN AAABzA



 (30) 
 
Quando a lei dos gases ideais é válida, a concentração molar de A pode 
ser relacionada com a pressão parcial de A por: 
 
RT
p
V
n
C AA 
 
 
Substituindo esta expressão na Equação (30), tem-se: 
 
 
 1221
,
zz
pp
RT
D
N AAABzA



 (31) 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
46 
 
 
As Equações (30) e (31) são conhecidas como EQUAÇÕES PARA A 
CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR UNIDIMENSIONAL NO ESTADO 
ESTACIONÁRIO. 
 
O perfil de concentração para o processo de contradifusão equimolar 
pode ser obtido substituindo-se a Equação (29) na equação diferencial que 
descreve a transferência na direção z: 
 
0






dz
dC
D
dz
d A
AB
 
 
a pressão e a temperatura são constantes, logo, DAB é constante. 
 
0
2
2

dz
Cd
D AAB
 
 
0
2
2






dz
Cd A
 
 
Esta equação diferencial de 2ª ordem pode se integrada em relação à z: 
 
   dzCdCCdz
dC
dz
Cd
A
AA
112
2
0
 
 
21)( CzCC zA 
 
 
As duas constantes de integração são avaliadas usando-se as duas 
condições de contorno: 
 
z = z1 → CA = CA1 
 
z = z2 → CA = CA2 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
47 
 
 
2111 CzCCA 
 
 
2212 CzCCA 
 
 
   21121 zzCCC AA 
 
 
 
 21
21
1
zz
CC
C AA



 
 
 
  2121
21
1 Cz
zz
CC
C AAA 



 
 
 
  121
21
12 z
zz
CC
CC AAA 



 
 
Voltando à solução geral e substituindo as constantes C1 e C2, obtém-
se: 
 
 
 
 
  121
21
1
21
21
)( z
zz
CC
Cz
zz
CC
C AAA
AA
zA 






 
 
 
 
 1
21
21
1)( zz
zz
CC
CC AAAzA 



 
 
 
 21
1
21
1)(
zz
zz
CC
CC
AA
AzA




 (32) 
 
A Equação (32) é uma solução específica. 
 
As Equações (30) e (32) podem ser usadas para descrever qualquer 
processo onde o termo referente à contribuição do bulk é nulo. Além do 
fenômeno da contradifusão equimolar, a negligência da contribuição do termo 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
48 
 
bulk também é encontrada quando um soluto se difunde para dentro ou através 
de um sólido, uma vez que a fração molar, yA, e o fluxo da espécie que está se 
difundindo, NA,z, são muito pequenos. 
 
É importante notar que quando nós consideramos o conceito do filme 
para a transferência de massa com a contradifusão equimolar, a definição do 
coeficiente de transferência de massa convectivo é diferente daquele para a 
difusão em um filme de gás estagnado. No caso da contradifusão equimolar: 
 

ABDk 0
 (33) 
 
O superescrito º é usado para designar que não há transferência molar 
global no filme devido à contradifusão equimolar. 
 
Comparando a Equação (33) com a Equação (13) percebemos que 
estas duas equações fornecem os mesmos resultados quando a concentração 
de A é muito pequena e Pb,lm é igual a P. 
 
3.2 Sistema Unidimensional Associado com Reação Química 
 
Muitas operações envolvem a difusão de uma espécie molecular e a 
formação ou consumo da espécie através de uma reação química (ou 
bioquímica) dentro ou no limite de interesse. 
 
Podemos distinguir dois tipos de reações químicas (ou bioquímicas): a 
que define a reação que ocorre de forma uniforme ao longo de uma dada fase 
como uma reação homogênea e a que tem lugar em uma região restrita dentro 
ou em um limite de fase como uma reação heterogênea. 
 
A taxa de formação da espécie A por reação homogênea aparece na 
equação diferencial geral de transferência de massa como o termo fonte RA: 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
49 
 
0


 A
A
A R
t
C
N
 
 
 
Exemplos de termo fonte (RA): 
 
- reação de 1ª ordem: 
1
1 AA CkR 
, onde k1 é a constante da taxa de reação de 
1ª ordem (1/s); 
 
- reação de 2ª ordem: 
BAA CCkR 2
, onde k2 é a constante da taxa de reação 
de 2ª ordem (cm³/mol∙s). 
 
OBS.: A TAXA DE CONSUMO DE UMA DADA ESPÉCIE A POR REAÇÃO 
HETEROGÊNEA SOBRE UMA SUPERFÍCIE OU INTERFACE NÃO 
APARECE NA EQUAÇÃO DIFERENCIAL GERAL COMO RA, UMA VEZ QUE 
ESTE RA ENVOLVE APENAS REAÇÕES DENTRO DO VOLUME. 
 
A reação heterogênea entra na análise como uma condição de contorno 
e fornece informação sobre os fluxos das espécies envolvidas na reação. Por 
exemplo: se a reação na superfície é: 
 
O2g) + C(s) → CO2(g) 
 
o fluxo de CO2 será igual ao fluxo de O2, em direção oposta. 
 
3.2.1 Difusão com Reação Química Homogênea de Primeira Ordem 
 
Na operação unitária de absorção, um dos constituintes de uma mistura 
gasosa está preferencialmente dissolvida em uma fase líquida. Dependendo da 
natureza química das moléculas envolvidas, a absorção pode ou não envolver 
reações químicas. 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
50 
 
 
Figura 4: Absorção com reação química homogênea. 
 
 
Considere um meio conforme ilustrado na Figura 4. Na superfície líquida, 
a composição de A é CA0. A espessura do filme, , é definida de modo que 
através desde filme a concentração de A é sempre zero, isto é: CA = 0. 
 
Se a concentração de A no filme é muito pequena e não há movimento 
da fase fluida, o fluxo molar dentro do filme é descrito por: 
 
dz
dC
DN AABzA ,
 (34) 
 
Para a transferência de massa unidimensional e no estado estacionário, 
a equação diferencial geral reduz-se a: 
 
0,  A
zA R
dz
dN (35) 
 
A reação é descrita por uma expressão de 1 ª ordem: 
 
AA kCR 
 (36) 
 
Substituindo as Equações (34) e (36) na Equação (35), obtém-se: 
 
A
kC
dz
dC
D
dz
d A
AB 






 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
51 
 
 
Para DAB constante: 
 
012
2
 A
A
AB Ck
dz
Cd
D
 (37) 
 
Solução geral: 
 
   zDksenhCzDkCC ABABA  1211 cosh
 
 
condições de contorno: 
 
z = 0 → CA = CA0 e z =  → CA = 0 
 
   00cosh 12110  ABABA DksenhCDkCC
 
 
   00cosh 210 senhCCCA 
 
 
10 CCA 
 
 
     ABABA DksenhCDkC 1210 cosh0 
 
     ABAAB DkCDksenhC 1012 cosh 
 
 
 




AB
ABA
Dksenh
DkC
C
1
10
2
cosh 
 
   
 


AB
ABA
ABAAA
Dk
zDksenhC
zDkCCC
1
10
100
tanh
cosh
 (38) 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
52 
 
O fluxo molar na superfície do líquido pode ser determinado 
diferenciando-se a Equação (38) e avaliando-se a derivada, dCA/dz em z = 0: 
 
       
 


AB
ABABA
ABABA
A
Dk
zDkDkC
zDksenhDkC
dz
dC
1
110
110
tanh
cosh 
 
       
   AB ABABAABABAozA Dk
DkDkC
DksenhDkC
dz
dC
1
110
110
tanh
0cosh
0
 
 
 
 


 AB
ABA
oz
A
Dk
DkC
dz
dC
1
10
tanh
0
 
 
Assim, a equação do fluxo na superfície assume a forma:ozAABzzA
dzdCDN


0,
 
 
 
 










 AB
ABA
ABozzA Dk
DkC
DN
1
10
,
tanh
 
 
 
  










 


AB
ABAAB
ozzA Dk
DkCD
N
1
10
,
tanh
 (39) 
 
OBSERVAÇÕES: é interessante considerar a operação de transferência de 
massa mais simples envolvendo a absorção de A no líquido B sem reação 
química. Neste caso: 
 

0
,
AAB
zA
CD
N 
 (40) 
 
dz
dC
DN AABzA ,
 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
53 
 
 
0
0
,
0AC
AABzA dCDdzN
 
 
 
 

0
,
AAB
zA
CD
N 
 
 
A comparação das Equações (39) e (40) mostra a influência da reação 
química no termo 
     ABAB DkDk 11 tanh
. 
 
Este termo é uma quantidade adimensional denominada NÚMERO DE 
HATTA. 
 
À medida que a taxa de reação aumenta, a constante da taxa de reação 
aumenta e a tangente hiperbólica 
  ABDk1tanh
 aproxima-se de 1. A 
Equação (39) reduz-se a: 
 
 001,  AABozzA CkDN
 (41) 
 
A comparação desta equação com a equação 
 21, AAczA CCkN 
 revela 
que o coeficiente kc é proporcional ao coeficiente de difusão elevado a potência 
1/2 
 1kDk ABc 
. Com uma reação química relativamente rápida, o 
componente A irá desaparecer após penetrar apenas uma pequena distância 
no meio onde está ocorrendo a reação química. Assim, um segundo modelo 
para a transferência de massa convectiva foi proposta, conhecido como 
TEORIA DA PENETRAÇÃO, na qual kc é considerado uma função de DAB 
elevado a 1/2. 
 
 
 0, 0 AABzA CDN 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
54 
 
4. Transferência de Massa Transiente 
 
Processos no estado estacionário são muito comuns na indústria quando 
se trata de operações contínuas. Porém, ao se iniciar um processo suas 
variáveis irão apresentar variações com o tempo antes de atingirem 
estabilidade. Além disso, há processos industriais realizados em batelada, nos 
quais as variáveis variam com o tempo. 
 
Uma maneira comum de trabalhar com processos transientes é através 
da variação da média espacial ao longo do tempo, visto que uma análise 
pontual seria muito complexa. 
 
Figura 1: Concentração no regime transiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo difusivo no estado transiente será dado pela 1ª Lei de Fick: 
 
AefA CDN 
 
 
Quando a região difusiva está envolta por um meio externo no qual 
ocorre a convecção, é dito que a difusão ocorre com a presença da resistência 
externa. 
 
Um importante parâmetro que permite avaliar a contribuição da 
resistência externa à transferência de massa é o número de Biot mássico: 
CA CAm 
t 
CA 
z 
t1 
t2 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
55 
 
 
pef
m
m
kD
ks
Bi



, (1) 
 
onde km é o coeficiente convectivo de transferência de massa no meio externo, 
kp é o coeficiente de distribuição ou constante de equilíbrio (CA* = kpCA∞) e s é 
o comprimento característico do sólido analisado. 
 
Quando Bim → ∞, a resistência externa ao fenômeno de transferência de 
massa é desprezível em face do fenômeno difusivo. Na prática, a convecção 
externa é desprezada quando Bim > 50. 
 
Quando Bim → 0, a transferência de massa é regida pelo processo 
externo, sendo a resistência interna desprezível, ou seja, o coeficiente de 
difusão é alto, fazendo com que a etapa difusiva seja muito rápida e a 
convecção domine o processo. 
 
A equação da continuidade para um caso transiente, sem reação 
química é dada por: 
 
Aef
A CD
t
C 2


 
 
4.1 Difusão em Regime Transiente com Resistência Externa 
Desprezível 
4.1.1 Placa plana infinita 
 
Um meio infinito é aquele cuja dimensão na qual ocorre o fenômeno é 
muito menor que as outras, podendo o processo ser descrito como 
unidirecional. 
 
 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
56 
 
Figura 2: Placa infinita. 
 
 
 
 
 
 
Para a extração de um óleo vegetal, sementes foram descascadas e 
fatiadas em lâminas que podem ser consideradas como placas infinitas, 
conforme a Figura 2. A equação da continuidade que descreve a difusão do 
óleo nas lâminas é: 
 
2
2
z
C
D
t
C A
ef
A




 (2) 
 
As condições de contorno e inicial para este caso são dadas por: 
 
C.I.: Em t = 0, CA = CA0 
 
C.C. 1: Em z = 0, 
0
0



z
A
z
C
 (condição de simetria) 
 
C.C. 2: para z = a, CA = CA* = kpCA 
 
CA* é uma concentração em equilíbrio com a concentração do óleo no 
solvente. O tempo para que isso ocorra é desprezível se comparado ao da 
operação de extração. 
 
Definindo-se a concentração adimensional de A como: 
 
*
*
Θ
0 AA
AA
CC
CC



 
 
 
2a 
w 
L 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
57 
 
 
 
A equação da continuidade será dada por: 
 
2
2ΘΘ
z
D
t
ef




 (3) 
 
E as condições inicial e de contorno ficarão: 
 
C.I.: em t = 0,  = 1 
 
C.C.1: em z = 0, 
0
Θ
0



zz 
 
C.C.2.: em z = a, Θa = 0 
 
A solução da Equação (44) é obtida por separação de variáveis. Supõe-
se que o resultado da Equação (44) tenha a seguinte forma: 
 
     tztz ,Θ 
 
Introduzindo essa função na Equação (44), obtém-se: 
 
2
2
dz
d
D
dt
d
ef
 
 
 
Efetuando a separação de variáveis, tem-se: 
 
2
2
211 

 






















dz
d
dt
d
Def 
 
Como cada lado da equação acima é função de uma variável diferente, 
os dois lados só podem ser iguais quando ambos forem iguais a uma constante 
Fenômenos de Transferência III Profa. Dra. Cíntia Soares 
58 
 
–². O sinal negativo da constante escolhida deve-se ao fato de que a 
concentração de A irá diminuir ao longo do tempo, já que a operação tem como 
objetivo a retirada do óleo do interior da semente. Dessa análise, surgem duas 
equações diferenciais ordinárias: 
 
 
 
02
2
2
 

dz
d
 
 
As soluções dessas equações diferenciais ordinárias são, 
respectivamente: 
 
   tDCt ef 21 exp   
 
     zCzCz  cossin 32  
 
Assim, tem-se: 
 
      zBzAtDtz ef  sincosexp),(ΘΘ 2  
 
Para obtermos as constantes A e B, devemos aplicar as condições de 
contorno, lembrando que a primeira condição de contorno é 
0
Θ
0



zz
. Por 
esta razão, devemos derivar a expressão obtida: 
 
         0sincosexp,Θ 2 


zAzBtDtz
z
ef  
 
Como a equação acima está sendo avaliada em z = 0: 
 
    BtDtz
z
ef 

 2exp,Θ  
02   efD
dt
d
Fenômenos de Transferência III