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Métodos Numéricos Notas de Aula ESCOLA DE ENGENHARIA E TECNOLOGIA Aluno: Professor Izaias Cordeiro Néri Contém exercícios resolvidos e propostos 2014 CONTEÚDO 1 Revisão de Gráficos 3 1.1 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Processos Iterativos 9 2.1 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Método da Bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Exercícios - Bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Exercícios - Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Regra de Crammer 14 3.0.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1 Exercícios - Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Interpolação Polinomial 16 4.1 Polinômio Interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Interpolação de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.4 Exercícios-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.5 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.5.1 Diferença dividida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.5.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.5.3 Polinômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.5.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.6 Exercícios - Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 Integração Numérica 26 5.1 Método dos Trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.1.1 Fórmula Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 Exercícios - Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 Revisão de Gráficos 1.1 Funções Polinomiais Função do Primeiro Grau Função do primeiro grau f(x) = ax+ b com a, b ∈ R, a 6= 0 Função do Segundo Grau Função do segundo grau f(x) = ax2+bx+c com a, b, c ∈ R, a 6= 0. O gráfico é uma parábola, porém seu posicionamento depende da quantidade de raízes. Figura 1.1: Duas raízes reais e distintas 3 1.2. FUNÇÃO EXPONENCIAL Universidade Anhembi Morumbi Figura 1.2: Uma raiz real Figura 1.3: Não Há raízes reais 1.2 Função Exponencial Função Exponencial com formato f(x) = ax com a > 1 ou 0 < a < 1. 1.3 Função Logarítmica Função Logarítmica f(x) = loga(x) com a > 1 ou 0 < a < 1. 4 Professor Izaias C Néri 1.4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Universidade Anhembi Morumbi 1.4 Funções Trigonométricas Função Seno Função seno f(x) = sen(x). Função Cosseno Função cosseno f(x) = cos(x) 1.5 Atividades 1. Faça o esboço das seguintes funções: (a) f(x) = 2x+ 4 (b) f(x) = −3x− 6 (c) f(x) = sen(x) (d) f(x) = cos(x) (e) f(x) = 2x (f) f(x) = x2 − 5x+ 6 (g) f(x) = −x2 + 4 (h) f(x) = ex 5 Professor Izaias C Néri 1.5. ATIVIDADES Universidade Anhembi Morumbi 2. Faça o esboço das curvas no mesmo plano cartesiano (a) f(x) = −x e g(x) = ex (b) f(x) = x+ 3 e g(x) = x2 6 Professor Izaias C Néri 1.5. ATIVIDADES Universidade Anhembi Morumbi (c) f(x) = −x2 + 3 e g(x) = x2 + 1 (d) f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) 3. Observe o gráfico a seguir: 7 Professor Izaias C Néri 1.5. ATIVIDADES Universidade Anhembi Morumbi A função que representa o gráfico é: (a) f(x) = x2 − 2x+ 4 (b) f(x) = x2 − 2x− 3 (c) f(x) = x2 + 3x− 2 (d) f(x) = x2 − 2x− 1 4. Observe o gráfico a seguir: A função que representa o gráfico é: (a) f(x) = −x+ 2 (b) f(x) = x− 1 (c) f(x) = −x+ 1 (d) f(x) = x+ 1 5. Determine a(s) raíz(es) das funções: (a) f(x) = x2 − 4x+ 4 (b) f(x) = −3x+ 6 (c) f(x) = x+ 3 (d) f(x) = x2 − 5x+ 6 Respostas 1. Resposta Pessoal 2. Resposta Pessoal 3. b 4. c 5. (a) x1 = x2 = 2 (b) x = 2 (c) x = −3 (d) x1 = 2 x2 = 3 8 Professor Izaias C Néri 2 Processos Iterativos 2.1 Teorema de Bolzano Teorema 2.1.1 (Bolzano) Seja f uma função contínua no intervalo [a,b], tal que f(a).f(b) < 0. Então essa função possui pelo menos uma raíz real nesse intervalo [a,b]. 2.2 Método da Bissecção Considere o intervalo [a,b] para o qual f(a).f(b) < 0. No método da bisseccão calculamos o valor da função f(x) no ponto médio: x1 = a+ b 2 . Portanto teremos com isso três possibilidades: 1. f(x1) = 0, então x1 é a raíz. Nada a se fazer!! 2. f(a).f(x1) < 0, então f(x) tem um zero (raíz) em [a, x1]. Repete-se o processo. 3. Se f(a).f(x1) > 0 segue que f(b).f(x1) < 0, entãof(x) tem um zero (raíz) em [x1, b]. Repete-se o processo. A repetição desse método é chamado iteração. A quantidade n de iterações é dada por: n > log(b− a)− log(E) log(2) 9 2.2. MÉTODO DA BISSECÇÃO Universidade Anhembi Morumbi onde E é o erro. Exemplos 1. Determinar um valor aproximado da raiz quadrada de 5. Com erro menor ou igual a 0,01. i a b xi f(a) f(b) f(xi) 1/2*|b-a| 1 2 3 2,5 -1 4 1,25 0,5 2 2 2,5 2,25 -1 1,25 0,0625 0,25 3 2 2,25 2,125 -1 0,0625 -0,484375 0,125 4 2,125 2,25 2,1875 -0,484375 0,0625 -0,2148438 0,0625 5 2,1875 2,25 2,21875 -0,2148438 0,0625 -0,0771484 0,03125 6 2,21875 2,25 2,234375 -0,0771484 0,0625 -0,0075684 0,015625 7 2,234375 2,25 2,2421875 -0,0075684 0,0625 0,02740479 0,0078125 Portanto, √ 5 = 2, 2421875± 0, 0075684 2. Estime o valor da raíz de f(x) = ex + x com erro de 0,05. Primeiro vamos ver a quantidade de iterações. n > log(0− (−1))− log(0, 05) log(2) = 4, 32 ≈ 5 i a b xi f(a) f(b) f(xi) 1/2*|b-a| 1 -1 0 -0,5 -0,632120559 1 0,10653066 0,5 2 -1 -0,5 -0,75 -0,632120559 0,10653066 -0,277633447 0,25 3 -0,75 -0,5 -0,625 -0,277633447 0,10653066 -0,089738571 0,125 4 -0,625 -0,5 -0,5625 -0,089738571 0,10653066 0,007282825 0,0625 5 -0,625 -0,5625 -0,59375 -0,089738571 0,007282825 -0,04149755 0,03125 10 Professor Izaias C Néri 2.3. EXERCÍCIOS - BISSECÇÃO Universidade Anhembi Morumbi 2.3 Exercícios - Bissecção 1. Use o método da bissecção para estimar o valor de √ 7 com erro de 0,1. 2. Estime o valor de uma das raízes da função f(x) = x2 + x− 1 no intervalo [0,1] com erro de 0,01. 3. Calcule a raíz positiva da função f(x) = x2 + ln(x) com erro menor igual a 0,01 no intervalo [ 1 2 , 1 ] . 4. Calcule a raíz positiva da função f(x) = x2 − 3 com erro menor igual a 0,01. 5. Calcular a raíz da função f(x) = x3 − 10 com erro menor igual a 0,1 no intervalo [2,3]. 6. Calcule uma raíz real de f(x) = 3x− cos(x) com erro de 10−2 no intervalo [ 0, 1 2 ] . Respostas 1. 2,65625 2. 0,61719 3. 0,64844 4. 1,72656 5. 2,14844 6. 0,32031 11 ProfessorIzaias C Néri 2.4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Universidade Anhembi Morumbi 2.4 Método de Newton-Raphson xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) com n = 0, 1, 2, · · · 2.4.1 Exemplos 1. Determine a raíz de f(x) = x2 − 5 com erro de 0, 01. Resolução Fazendo x2 − 5 = 0 → x = √ 5. Sabemos que a raíz está em [2,3], usaremos o 2 como x0. Devemos calcular também a derivada de f. f ′(x) = 2x. n = 0 → x1 = x0 − f(x0) f ′(x0) → x1 = 2− f(2) f ′(2) = 2− (−1) 4 = 2, 25 ⇒ x1 = 2.25 n = 1 → x2 = x1 − f(x1) f ′(x1) → x2 = 2, 25− f(2, 25) f ′(2, 25) = 2, 25− 0, 0625 4, 5 = 2, 2361 ⇒ x2 = 2, 2361 Como |x2 − x1| < 0, 01, já podemos parar de realizar iterações. 2. Determine, usando o método de Newton, a menor raiz positiva da equação 4.cos(x)− ex = 0. Com um erro de 10−2 no intervalo [1,2]. Resolução Usaremos o número 1 como valor inicial (x0). f(x) = 4.cox(x)−ex e f ′(x) = −4.sen(x)− ex. n = 0 → x1 = x0 − f(x0) f ′(x0) → x1 = 1− f(1) f ′(1) = 1− (−0, 5571) (−6, 0842) = 0, 9084 n = 1 → x2 = x1 − f(x1) f ′(x1) → x2 = 0, 908− f(0, 908) f ′(0, 908) = 0, 908− (−0, 019) (−5, 631) = 0, 905 |0, 905− 0, 9084| < 10−2, já podemos parar de realizar iterações. 12 Professor Izaias C Néri 2.5. EXERCÍCIOS - NEWTON-RAPHSON Universidade Anhembi Morumbi 2.5 Exercícios - Newton-Raphson 1. Calcule uma raíz de f(x) = x2 + x − 6, usando método de Newton, com x0 = 3 e erro < 0, 02. 2. Calcular pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com � ≤ 10−3, usando o método de Newton. a) f(x) = 2x− sen(x) + 4 b) f(x) = ex − tg(x) c) f(x) = 10x + x3 + 2 d) f(x) = x3 − x2 − 12x 3. Estimar a raíz da equação ln(x)− x2 + 4 = 0 no intervalo de [2,3] com uma iteração. 4. Faça a estimativa da raíz usando o método de Newton para f(x) = ex − 4x2 com erro � < 10−1. Considere x0 = 1. 5. Dada a função f(x) = e−x + x2 − 2. Estime a raíz com erro � ≤ 0, 05, no intervalo [1,2]. 6. Sabemos que f(x) = x3 − 3x+ 1 possui uma raíz no intervalo [0,1]. Estime por Newton- Raphson o valor desta raíz. Considere � ≤ 0, 002. 7. Usando o método de Newton-Raphson, com erro inferior a 10−2, determinar uma raiz das seguintes equações: Obs.: Colocar a calculadora em radianos para as trigonométricas. a) 2x = tg(x) No intervalo [1; 3 2 ] b) 5x3 + x2 − 12x+ 4 = 0 No intervalo [0; 1] c) sen(x)− ex = 0 No intervalo [−7 2 ; 3] d) x4 − 8 = 0 No intervalo [1,2] Respostas 1. 2 2. a) −2, 3542 b) 1, 3063 c) −1, 2711 d) −3 3. 2,198 4. 0,71 5. 1,316 6. 0,3472 7. a) 1,1656 b) 0,3646 c)−3, 1859 d)1,6818 13 Professor Izaias C Néri 3 Regra de Crammer Considere um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incógnitas. Teremos então uma matriz quadrada A e seja D = det(A). Teorema 3.0.1 Seja S um sistema linear com o número de equações igual ao de incógnitas. Se D 6= 0 , então o sistema será possível e terá solução única (α1, α2, α3, · · · , αn) , tal que: αi = Di D ,∀i ∈ {1, 2, 3, ..., n} 3.0.1 Exemplo 1. Determine os valores de x, y e z para o sistema x + y + z = 6 x − y − z = −4 2x − y + z = 1 Temos D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 1 −1 −1 2 −1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4 Depois para cada um: Dx = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6 1 1 −4 −1 −1 1 −1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4 Dy = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 6 1 1 −4 −1 2 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −12 Dz = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 6 1 −1 −4 2 −1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8 x = Dx D = −4 −4 = 1 x = Dy D = −12 −4 = 3 x = Dz D = −8 −4 = 2 ∴ (x, y, z) = (1, 2, 3) 14 3.1. EXERCÍCIOS - REGRA DE CRAMER Universidade Anhembi Morumbi 3.1 Exercícios - Regra de Cramer 1. Resolva o sistema 2x + y − z = 0 x − y + z = 3 3x − y + 2z = 6 2. Determine x+ y + z para x + y + z = 7 2x + y − z = 0 x − 2y + 2z = 2 3. Considere o sistema 3x − y + 4z = −5 2x + y + z = 0 x + 2y − 3z = 9 Podemos afirmar que: (a) x+ z = −1 (b) z − y = −4 (c) y + z = −2 (d) x+ y = 0 4. Sabendo que a+ b = 1200, b+ c = 1100 e a+ c = 1500, então a+ b+ c vale? 5. Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$ 70,00; dois artigos A mais um C custam R$ 105,00, a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C? 6. No sistema 2x + 3y + z = 1 3x − 3y + z = 8 2y + z = 0 o valor de z − xy é: (a) −1 (b) −3 (c) 3 (d) 0 Respostas 1. x = 1, y = −1 e z = 1 2. x = 4, y = 2, z = 1→ x+ y + z = 7 3. (a) 4. a + b + c = 1900 5. R$25,00 6. (c) 15 Professor Izaias C Néri 4 Interpolação Polinomial 4.1 Polinômio Interpolador Um polinômio construído com o intuito de aproximar uma função é denominado polinômio interpolador. Existem vários métodos para construir um polinômio interpolador a partir de um conjunto de pares de dados. Aqui, estudaremos o Polinômio Interpolador de Lagrange e o de Newton. Definição 4.1.1 Chama-se polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um con- junto de pontos distintos x0, x1, x2, · · · , xn ao polinômio de grau no máximo n que coincide com f(x) em x0, x1, x2, · · · , xn. Pode ser denotado por Pn(x). Figura 4.1: Polinômio Interpolador sobre um conjunto de pontos 16 4.2. EXERCÍCIOS Universidade Anhembi Morumbi 4.1.1 Exemplo 1. Dados os pares de pontos (−1, 15) , (0, 8) e (3,−1) determinar o polinômio de interpolação para a função definida por esse conjunto de pares de pontos. Temos x0 = −1, x1 = 0 e x2 = 3 → f(x0) = 15, f(x1) = 8 e f(x2) = −1 O polinômio é de grau no máximo 2 e será dado por p(x) = a0+a1x+a2x 2 , com isso montamos o sistema. a0 + a1.x0 + a2.x 2 0 = f(x0) a0 + a1.x1 + a2.x 2 1 = f(x1) a0 + a1.x2 + a2.x 2 2 = f(x2) ⇒ a0 + a1.(−1) + a2.(−1)2 = 15 a0 + a1.(0) + a2.(0) 2 = 8 a0 + a1.(3) + a2.(3) 2 = −1 a0 − a1 + a2 = 15 a0 = 8 a0 + 3.a1 + 9.a2 = −1 ⇒ a0 = 8, a1 = −6 e a2 = 1 ∴ p(x) = 8− 6x+ x2 4.2 Exercícios 1. Dados o conjunto de pontos a seguir, determine o polinômio interpolador usando sistemas. (a) (−1, 2); (2, 1) (b) (−1, 1); (1, 2); (2, 1) Respostas (a) p(x) = 5 3 − x 3 (b) p(x) = −0.5x2 + 0.5x+ 2 17 Professor Izaias C Néri 4.3. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Universidade Anhembi Morumbi 4.3 Interpolação de Lagrange Dado um conjunto de pontos no plano cartesiano x0, x1, · · · , xn e suas respectivas imagens f(x0), f(x1), · · · , f(xn), o polinômio interpolador de Lagrange é dado por p(x) = n∑ i=0 f(xi).Li(x), onde: L(xi) = n∏ i=0, i6=j (x− xi) (xi − xj) 4.3.1 Exemplos 1. Observe o gráfico abaixo. Determine o polinômio interpolador de Lagrange. Observamos que x0 = −1, x1 = 0 e x2 = 2 → f(x0) = 1, f(x1) = −1 e f(x2) = 1 Calculando L0, L1 e L2. L0(x) = (x− x1).(x− x2) (x0 − x1).(x0 − x2) = (x− 0).(x− 2) (−1− 0).(−1− 2) = x2 − 2x 3 L1(x) = (x− x0).(x− x2) (x1 − x0).(x1 − x2) = (x− (−1)).(x− 2) (0− (−1)).(0− 2) = x2 − x− 2 −2 L2(x) = (x− x0).(x− x1) (x2 − x0).(x2 − x1) = (x− (−1)).(x− 0) (2− (−1)).(2− 0) = x2 + x 6 p(x) = f(x0).L0(x)+f(x1).L1(x)+f(x1).L2(x) = (1). x2 − 2x 3 +(−1).x 2 − x− 2 −2 +(1). x2 + x 6 = p(x) = x2 − x− 1 18 Professor Izaias C Néri 4.4. EXERCÍCIOS-LAGRANGE Universidade Anhembi Morumbi 2. Encontre o polinômio que interpola f(x) = 1 x2 nos pontos x0 = 2 x1 = 2.5 x2 = 4. Resolução: f(x0) = 1 4 = 0.25, f(x1) = 1 6.25 = 0.16 e f(x2) = 1 16 = 0.0625 L0(x) = (x− x1).(x− x2) (x0 − x1).(x0 − x2) = (x− 2.5).(x− 4) (2− 2.5).(2− 4) = x 2 − 6.5x+ 10 L1(x) = (x− x0).(x− x2) (x1 − x0).(x1 − x2) = (x− 2).(x− 4) (2.5− 2).(2.5− 4) = −4x2 + 24x+ 32 3 L2(x) = (x− x0).(x− x1) (x2 − x0).(x2 − x1) = (x− 2).(x− 2.5) (4− 2).(4− 2.5) = x2 − 4.5x+ 5 3 p(x) = 0.25× (x2 − 6.5x+ 10) + 0.16× (−4x2 + 24x+ 323 ) + 0.0625× ( x2 − 4.5x+ 5 3 ) p(x) = 0, 0575x2 − 0, 4388x+ 0, 8975 4.4 Exercícios-Lagrange 1. Observe o gráfico a seguir e determine o polinômio interpolador de grau 2 usando método de Lagrange. 2. Obtenha o polinômio interpolador de Lagrange para a função f(x) = Ln(x) nos pontos x0 = 1, x1 = 1.2 e x2 = 1.5. 3. Conhecendo-se a seguinte tabela: x −1 0 3 f(x) 15 8 −1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange. 19 Professor Izaias C Néri 4.4. EXERCÍCIOS-LAGRANGE Universidade Anhembi Morumbi 4. Considere a tabela: x 1 3 4 5 f(x) 0 6 24 60 a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange b) Calcule f(3, 5) 5. Os resultados da densidade da água ρ em várias temperaturas foram coletados de um experimento e colocados numa tabela. T 5 10 15 20 ρ 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 a) Determine o polinômio interpolador usando o método de Lagrange b) Estime o valor de ρ(13). 6. Usar o método de Lagrange para determinar o polinômio interpolador a partir dos dados fornecidos na tabela a seguir. x f(x) 0 0 0,2 2,008 0,4 4,064 0,5 5,125 Respostas 1. p(x) = 0.5x2 − 0.5x− 1 2. p(x) = −0, 335x2 + 1, 6485x− 1, 3135 3. p(x) = x2 − 6x+ 8 4. a) p(x) = x3 − 3x2 + 2x b) f(3, 5) = 13, 125 5. a) p(x) = −0, 00001x2 + 0, 00013x+ 0, 9994 b) ρ(13) = 0, 9994 6. p(x) = x3 + 10x 20 Professor Izaias C Néri 4.5. MÉTODO DE NEWTON Universidade Anhembi Morumbi 4.5 Método de Newton 4.5.1 Diferença dividida Define-se como diferença dividida f [xk] = f(xk) , k = 1, 2, · · · , n; f [x0, x1, · · · , xn] = f [x1, x2, · · · , xn]− f [x0, x1, · · · , xn−1] xn − x0 Para facilitar os cálculos montaremos uma tabela com as diferenças divididas. 4.5.2 Exemplos 1. Para seguinte tabela construir uma tabela de diferenças divididas. x −2 −1 0 1 2 f(x) −2 29 30 31 62 21 Professor Izaias C Néri 4.5. MÉTODO DE NEWTON Universidade Anhembi Morumbi Observação: Como veremos adiante, os resultados a serem utilizados na construção do polinômio de interpolação na forma de Newton são os primeiros valores em cada coluna de diferenças embora tenhamos que construir toda a tabela pois os valores não são independentes uns dos outros. 4.5.3 Polinômio de Newton p(x) = f [x0] + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + · · · + (x − x0)(x − x1) · · · (x− xn−1)f [x0, x1, · · · , xn] 4.5.4 Exemplos 1. Conhecendo-se a seguinte tabela: x −1 0 3 f(x) 15 8 −1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Newton. Resolução: x f(x) f [xi, xj] f [xi, xj, xk] -1 15 8− 15 0− (−1) = −7 0 8 −3− (−7) 3− (−1) = 1 −1− 8 3− 0 = −3 3 -1 22 Professor Izaias C Néri 4.5. MÉTODO DE NEWTON Universidade Anhembi Morumbi O polinômio será dado por p(x) = f [x0] + (x− x0)f [x0, x1] + (x− x0)(x− x1)f [x0, x1, x2] p(x) = 15+ (x− (−1)).(−7)+ (x− (−1)).(x− 0).1 = 15+ (x+1)(−7)+ (x+1)x = x2− 6x+8 ∴ p(x) = x2 − 6x+ 8 2. Considere a tabela: x 1 3 4 5 f(x) 0 6 24 60 a) Determine o polinômio interpolador de Newton b) Calcule f(4.5). Resolução: x f [x0] f [xi, xj] f [xi, xj, xk] f [xi, xj, xk, xn] x0 = 1 0 6− 0 3− 1 = 3 x1 = 3 6 18− 3 4− 1 = 5 24− 6 4− 3 = 18 9− 5 5− 1 = 1 x2 = 4 24 36− 18 5− 3 = 9 60− 24 5− 4 = 36 x3 = 5 60 O polinômio será dado por p(x) = f [x0] + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + +(x− x0)(x− x1)(x− x2)f [x0, x1, x2, x3] p(x) = 0 + (x− 1).3 + (x− 1)(x− 3).5 + (x− 1)(x− 3)(x− 4).1 = x3 − 3x2 + 2x ∴ p(x) = x3 − 3x2 + 2x b) f(4.5) = (4.5)3 − 3.(4.5)2 + 2(4.5) = 91, 125− 60, 75 + 9 = 39, 375 ∴ f(4, 5) = 39, 375 23 Professor Izaias C Néri 4.6. EXERCÍCIOS - NEWTON Universidade Anhembi Morumbi 4.6 Exercícios - Newton 1. Seja a função tabelada x -2 -1 1 2 f(x) 0 1 -1 0 Determine o polinômio interpolador de Newton 2. Observe o gráfico a seguir Determine o polinômio interpolador de Newton 3. Observe o gráfico a seguir e determine o polinômio interpolador de grau 2 usando método de Newton. 4. Para o conjunto de pontos da tabela, determine o polinômio interpolador usando o método de Newton. x 0 1 1,5 2,5 f(x) 1.0 0.5 0.4 0.286 24 Professor Izaias C Néri 4.6. EXERCÍCIOS - NEWTON Universidade Anhembi Morumbi 5. A tabela abaixo apresenta a população dos EUA (em milhões) de 1940 a 1980. Estime a população no ano de 1965 com um polinômio interpolador de Newton de grau quatro. 6. Um parquedista realizou um salto e sua velocidade em função do tempo está descrita na tabela a seguir. Tempo (s) 1 3 5 7 20 Velocidade (cm/s) 800 2310 3090 3940 8000 Estime o valor da velocidade em t = 10s, utilizando um polinômio interpolador de grau três. 7. Observe o gráfico a seguir. Determine o polinômio interpolador de Newton. Respostas 1. f(x) = 0, 33x3 − 1, 33x 2. f(x) = −1, 5x2 + 6, 5x− 6 3. p(x) = 0.5x2 − 0.5x− 1 4. p(x) = −0, 06x3 + 0, 34x2 − 0, 79x+ 1 5. População em 1965 de 191.987930 mi- lhões de habitantes. 6. p(10) = 5245.803167 cm/s 7. p(x) = 0.5x3 − 2.5x 25 Professor Izaias C Néri 5 Integração Numérica 5.1 Método dos Trapézios Integral numericamente uma função y = f(x) num dado intervalo [a, b] é integrar um polinômio Pn(x) que aproxime f(x) no dado intervalo. ∫ b a f(x)dx ≈ (b− a) 2 [f(a) + f(b)] 5.1.1 Fórmula Composta Uma maneira de se calcular usando a regra dos trapézios é subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude iguais a h e a cada subintervalo aplica-se a regra. ∫ b a f(x) ≈ h 2 . ( y0 + 2y1 + 2y2 + ...+ 2yn−1 + yn ) 26 5.1. MÉTODO DOS TRAPÉZIOS Universidade Anhembi Morumbi 5.1.2 Exemplos 1. Calcular a integral ∫ 1 0 2x + 3 dx utilizando a regra dos Trapézios composta e subdividindo o intervalo em 5 partes. Compare com o resultado se resolver a integral de forma "tradicional". Resolução: Calculando o incremento dos subintervalos h = 1− 0 5 = 0, 2 Vamos construir uma tabela para saber o valor das bases dos trapézios. i xi f(xi) 0 x0 = 0, 0 f(x0) = 3, 0 1 x1 = 0.2 f(x1) = 3, 4 2 x2 = 0, 4 f(x2) = 3, 8 3 x3 = 0, 6 f(x3) = 4, 2 4 x4 = 0, 8 f(x4) = 4, 6 5 x5 = 1, 0 f(x5) = 5, 0 ∫ 1 0 2x+ 3 dx = 1− 0 2 ( 3 + 2.(3, 4 + 3, 8 + 4, 2 + 4, 6) + 5 ) = 4, 0 2. Calcular a integral ∫ 3.6 3.0 1 x dx utilizando a regra dos Trapézios composta e subdi- vidindo o intervalo em 6 partes. Resolução: Primeiro calcularemos o incremento dos subintervalos. h = b− a n = 3.6− 3.0 6 = 0.6 6 = 0.1 Vamos construir uma tabela para saber o valor das bases dos trapézios. i xi yi = f(xi) 0 x0 = 3.0 y0 = 0.333333 1 x1 = 3.1 y1 = 0.322581 2 x2 = 3.2 y2 = 0.312500 3 x3 = 3.3 y3 = 0.303030 4 x4 = 3.4 y4 = 0.294118 5 x5 = 3.5 y5 = 0.285714 6 x6 = 3.6 y6 = 0.277778 ∫ 3.6 3.0 1 x dx = h 2 ( y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + y6 ) = 0, 182350 27 Professor Izaias C Néri 5.1. MÉTODO DOS TRAPÉZIOS Universidade Anhembi Morumbi 3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da função f(x) = sen(x)+2 em torno do eixo x no intervalo de 0 ≤ x ≤ 2pi. Resolução: Lembrando que a fórmula do volume é V = pi. ∫ b a [f(x)]2dx, então o volume pedido é V = pi. ∫ 2pi 0 [sen(x) + 2]2dx. Para o intervalo dado vamos escolher subdividí-lo em 4 partes. O que fica h = 2pi − 0 4 = pi 2 obs.: A função usada para o método dos trapézios será g(x) = [f(x)]2 = (sen(x) + 2)2. i xi f(xi) 0 0 f(x0) = (sen(0) + 2) 2 = 4 1 pi 2 f(x1) = (sen (pi 2 ) + 2)2 = 9 2 pi f(x2) = (sen(pi) + 2) 2 = 4 3 3pi 2 f(x3) = (sen ( 3pi 2 ) + 2)2 = 1 4 2pi f(x4) = (sen(2pi) + 2) 2 = 4 V = pi. ∫ 2pi 0 [sen(x) + 2]2dx = pi. pi/2 2 .(4 + 2.(9 + 4 + 1) + 4) = pi2 4 .36 = 9pi2 u.v 28 ProfessorIzaias C Néri 5.2. EXERCÍCIOS - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Universidade Anhembi Morumbi 5.2 Exercícios - Integração Numérica 1. Calcule usando a regra dos Trapézios o valor de ∫ 1,2 0 ex.cos(x) dx. Subdividindo em 6 partes. 2. Dada a tabela: x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ex 1 1,22 1,49 1,82 2,22 Determine o valor de ∫ 0,8 0 x.ex dx usando a regra dos Trapézios. 3. Use a regra dos Trapézios para aproximar as integrais. Usar n= 8. (a) ∫ 1.5 1 x2.ln(x)dx (b) ∫ pi/4 0 x.sen(x)dx (c) ∫ pi/4 0 e3x.sen(2x)dx (d) ∫ 1 0 x2.e−xdx 4. Calcule a integral aproximando seu valor pela regra dos Trapézios ∫ 2 0 1 x2 + 4 dx com n = 8. 5. Use a regra dos Trapézios para calcular ∫ 5 2 x√ x2 − 4 dx com n = 10. Respostas 1. 1,639 2. 0,5649 3. (a) 0,192818 (b) 0,152761 (c) 2,612463 (d) 0,16108 4. 0,392374 5. 2,347558 29 Professor Izaias C Néri Revisão de Gráficos Funções Polinomiais Função Exponencial Função Logarítmica Funções Trigonométricas Atividades Processos Iterativos Teorema de Bolzano Método da Bissecção Exercícios - Bissecção Método de Newton-Raphson Exemplos Exercícios - Newton-Raphson Regra de Crammer Exemplo Exercícios - Regra de Cramer Interpolação Polinomial Polinômio Interpolador Exemplo Exercícios Interpolação de Lagrange Exemplos Exercícios-Lagrange Método de Newton Diferença dividida Exemplos Polinômio de Newton Exemplos Exercícios - Newton Integração Numérica Método dos Trapézios Fórmula Composta Exemplos Exercícios - Integração Numérica
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