Chapter3 MQ1

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Estrutura geral da Mecaˆnica Quaˆntica
Neste cap´ıtulo desenvolveremos o formalismo da Mecaˆnica Quaˆntica. Terminologia, notac¸a˜o e base matema´tica
necessa´ria para descrever a estrutura da teoria e que permite estender a interpretac¸a˜o estat´ıstica para qualquer
observa´vel. No desenvolvimento do formalismo enunciaremos os princ´ıpios fundamentais da Mecaˆnica Quaˆntica
e discutiremos os conceitos necessa´rios para entendeˆ-los.
1 Postulados da Mecaˆnica Quaˆntica
Postulado 1 O estado do sistema e´ representado por um vetor num espac¸o vetorial complexo munido de um
produto escalar hermiteano, o espac¸o de vetores de estado.
Notac¸a˜o: vetor de estado, ∣휓⟩.
Produto escalar de dois vetores: ∣휙⟩ e ∣휓⟩, ⟨휙∣휓⟩.
Postulado 2 (Generalizac¸a˜o da hipo´tese estat´ıstica) Os observa´veis sa˜o representados por operadores her-
miteanos. O resultado da medida de um observa´vel 퐴ˆ e´ um dos seus autovalores. A probabilidade de acharmos
o valor 푎푖 numa medida de 퐴ˆ, se o sistema esta´ no estado ∣휓⟩, e´ o mo´dulo ao quadrado do produto escalar de
∣휓⟩ com o autovetor de 퐴ˆ com autovalor 푎푖,
푝(푎푖, 휓) = ∣⟨푎푖∣휓⟩∣2,
퐴ˆ∣푎푖⟩ = 푎푖∣푎푖⟩.
Postulado 3 (Reduc¸a˜o do pacote de onda) Se numa medida do observa´vel 퐴ˆ acharmos o valor 푎푖, o sis-
tema muda de um modo abrupto para o auto-estado de 퐴ˆ com esse autovalor.
Caso particular: se o sistema esta´ num auto-estado do observa´vel 퐴ˆ de autovalor 푎푖, numa medida desse
observa´vel acharemos 푎푖 com certeza e o estado do sistema na˜o muda.
2 Espac¸o dos vetores de estado
Vamos retomar o enunciado do postulado 1.
O estado do sistema e´ representado por um vetor num espac¸o vetorial complexo munido de um produto
escalar hermiteano, o espac¸o de vetores de estado.
Observac¸a˜o sobre notac¸a˜o: vamos adotar uma notac¸a˜o para os vetores de estado devido a Dirac, ∣훼⟩, onde 훼 e´
o ro´tulo identificador do vetor de estado.
Um espac¸o vetorial consiste de um conjunto de vetores, (∣훼⟩, ∣훽⟩, ∣훾⟩, . . .), e um conjunto de escalares (푎, 푏, 푐, . . .)
onde esta˜o definidas duas operac¸o˜es, adic¸a˜o de vetores e multiplicac¸a˜o por um escalar.
∙ Adic¸a˜o de vetores: A soma de dois vetores e´ outro vetor,
∣훼⟩+ ∣훽⟩ = ∣훾⟩.
A adic¸a˜o de dois vetores e´ comutativa,
∣훼⟩+ ∣훽⟩ = ∣훽⟩+ ∣훼⟩,
1
e associativa,
∣훼⟩+ (∣훽⟩+ ∣훾⟩) = (∣훼⟩+ ∣훽⟩) + ∣훾⟩.
Existe um vetor nulo ∣⊗⟩ tal que
∣훼⟩+ ∣⊗⟩ = ∣훼⟩
para qualquer ∣훼⟩.
Para qualquer vetor ∣훼⟩, existe um vetor que e´ o seu inverso tal que
∣훼⟩+ ∣ − 훼⟩ = ∣⊗⟩.
∙ Multiplicac¸a˜o por um escalar: A multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar e´ outro vetor,
푎∣훼⟩ = ∣훾⟩.
A multiplicac¸a˜o por um escalar e´ distributiva com respeito a` adic¸a˜o de vetores,
푎(∣훼⟩+ ∣훽⟩) = 푎∣훼⟩+ 푎∣훽⟩,
e com respeito a` adic¸a˜o de escalares,
(푎+ 푏)∣훼⟩ = 푎∣훼⟩+ 푏∣훼⟩.
E´ associativa com respeito a` multiplicac¸a˜o de escalares,
푎(푏∣훼⟩) = (푎푏)∣훼⟩.
2.1 Produto Escalar
O espac¸o de vetores de estado e´ munido de um produto escalar hermiteano.
O produto escalar e´ uma operac¸a˜o que associa a todo par de vetores,∣훼⟩, ∣훽⟩, um nu´mero complexo denotado
pelo s´ımbolo ⟨훽∣훼⟩, satisfazendo as seguintes propiedades :
a) ⟨훽∣훼⟩ = ⟨훼∣훽⟩∗
b) ⟨훼∣(∣훽⟩+ ∣훾⟩) = ⟨훼∣훽⟩+ ⟨훼∣훾⟩
c) ⟨훼∣푐훽⟩ = 푐⟨훼∣훽⟩
d) ⟨훼∣훼⟩ = ⟨훼∣훼⟩∗ ≥ 0, ⟨훼∣훼⟩ = 0 se e somente se ∣훼⟩ = ∣⊗⟩
Das propiedades a) e c) segue que ⟨푐훼∣훽⟩ = 푐∗⟨훼∣훽⟩
E das propiedades a) e b) segue que (⟨푏훽∣+ ⟨푐훾)∣훼⟩ = 푏∗⟨훽∣훼⟩+ 푐∗⟨훾∣훼⟩
Exerc´ıcio 1:
a) Deduza a desigualdade de Schwarz:
∣⟨훼∣훽⟩∣2 ≤ ⟨훼∣훼⟩⟨훽∣훽⟩.
b) Deduza a desigualdade triangular:
∣∣훼+ 훽∣∣ ≤ ∣∣훼∣∣+ ∣∣훽∣∣
2.2 Base no espac¸o dos vetores de estado
Um dado vetor ∣휒⟩ e´ linearmente independente do conjunto de vetores ∣훼⟩, ∣훽⟩, ∣훾⟩, . . . se ele na˜o pode ser escrito
como uma combinac¸a˜o linear desses vetores,
∣휒⟩ ∕= 푎∣훼⟩+ 푏∣훽⟩+ 푐∣훾⟩+ . . .
2
Um conjunto de vetores e´ linearmente independente se cada um deles e´ independente do resto. Um tal conjunto
define uma base no espac¸o vetorial se qualquer vetor puder ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos vetores
do conjunto ,
∣훼⟩ = 푎1∣휙1⟩+ 푎2∣휙2⟩+ . . .+ 푎푛∣휙푛⟩
O nu´mero de vetores da base define a dimensa˜o do espac¸o vetorial.A dimensa˜o pode ser finita, enumera´vel
infinita, na˜o-enumera´vel infinita.
A norma de um vetor e´ definida como:
∣∣훼∣∣ =
√
⟨훼∣훼⟩.
Se ⟨훼∣훼⟩ = 1 o vetor ∣훼⟩ e´ normalizado. Se ⟨훼∣훽⟩ = 0 os vetores sa˜o ortogonais. Numa base ortonormal os
vetores da base sa˜o ortogonais e normalizados.
⟨휙푖∣휙푗⟩ = 훿푖푗
Com respeito a uma dada base, qualquer vetor pode ser expresso como uma combinac¸a˜o linear dos vetores da
base,
∣훼⟩ =
∑
푘
푎푘∣휙푘⟩.
Os coeficientes da expansa˜o , 푎푘, que sa˜o as componentes do vetor ∣훼⟩ na direc¸a˜o dos vetores da base,sa˜o dados
pelo produto escalar do vetor ∣훼⟩ com cada vetor da base,
푎푘 = ⟨휙푘∣훼⟩
Exerc´ıcio 2: Mostre que 푎푘 = ⟨휙푘∣훼⟩.
Veja que
⟨휙푘∣훼⟩ =
∑
푖
푎푖⟨휙푘∣휙푖⟩ =
∑
푖
푎푖훿푘푖 = 푎푘.
Assim, temos que
∣훼⟩ =
∑
푘
∣휙푘⟩⟨휙푘∣훼⟩.
Exerc´ıcio 3: Mostre que o produto escalar de dois vetores pode ser escrito em termos de suas componentes
numa dada base ortonormal como
⟨훼∣훽⟩ =
∑
푖
푎∗푖 푏푖.
O dado e´ a expansa˜o dos vetores ∣훼⟩ e ∣훽⟩ numa base ortonormal
∣훼⟩ =
∑
푖
푎푖∣휙푖⟩
∣훽⟩ =
∑
푖
푏푖∣휙푖⟩
Calculando explicitamente o produto escalar:
⟨훼∣훽⟩ =
∑
푖
푏푖⟨훼∣휙푖⟩ =
∑
푖
푏푖⟨휙푖∣훼⟩∗
e levando em conta que ⟨휙푖∣훼⟩ = 푎푖 conclu´ımos que:
⟨훼∣훽⟩ =
∑
푖
푎∗푖 푏푖.
3
3 Operadores Lineares
Operadores sa˜o objetos que transformam um vetor em outro vetor,
푇ˆ ∣훼⟩ = ∣푇ˆ훼⟩ = ∣훽⟩.
Um operador e´ linear se vale a propriedade
푇ˆ (푎∣훼⟩+ 푏∣훽⟩) = 푎푇ˆ ∣훼⟩+ 푏푇ˆ ∣훽⟩
= 푎∣푇ˆ훼⟩+ 푏∣푇ˆ 훽⟩
para quaisquer vetores ∣훼⟩ e 훽⟩ e quaisquer escalares 푎 e 푏.
A soma e o produto de operadores lineares pode ser definida de forma natural atrave´s das relac¸o˜es:
(푋ˆ + 푌ˆ )∣훼⟩ = 푋ˆ∣훼⟩+ 푌ˆ ∣훼⟩,
(푋ˆ푌ˆ )∣훼⟩ = 푋ˆ(푌ˆ ∣훼⟩).
A soma de operadores e´ comutativa e associativa:
푋ˆ + 푌ˆ = 푌ˆ + 푋ˆ,
푋ˆ + (푌ˆ + 푍ˆ) = (푋ˆ + 푌ˆ ) + 푍ˆ.
O produto de operadores em geral e´ na˜o-comutativo
푋ˆ푌ˆ ∕= 푌ˆ 푋ˆ
mas e´ associativo
푋ˆ(푌ˆ 푍ˆ) = (푋ˆ푌ˆ )푍ˆ.
A ac¸a˜o de um operador em qualquer vetor ∣훼⟩ esta´ determinada se sabemos sua ac¸a˜o nos vetores de uma
base no espac¸o dos vetores de estado:
푇ˆ ∣휙1⟩ = 푇11∣휙1⟩+ 푇22∣휙2⟩+ . . .+ 푇푛1∣휙푛⟩
...
푇ˆ ∣휙푛⟩ = 푇1푛∣휙1⟩+ 푇2푛∣휙2⟩+ . . .+ 푇푛푛∣휙푛⟩,
ou seja,
푇ˆ ∣휙푖⟩ =
∑
푗
∣휙푗⟩푇푗푖
onde
푇푗푖 = ⟨휙푗 ∣푇ˆ ∣휙푖⟩.
Se ∣훼′⟩ e´ o vetor de estado transformado pela ac¸a˜o do operador 푇ˆ no vetor ∣훼⟩
∣훼′⟩ = 푇ˆ ∣훼⟩
vamos mostrar que os 푇푖푗 relaciona os coeficientes da expansa˜o desses vetores na base {∣휙푖⟩}.
∣훼⟩ =
∑
푖
푎푖∣휙푖⟩
∣훼′⟩ =
∑
푖
푎′푖∣휙푖⟩.
4
Veja que
푇ˆ ∣훼⟩ =
∑
푖
푎푖푇ˆ ∣휙푖⟩ =
∑
푖,푗
∣휙푗⟩푇푗푖푎푖
Comparando
∣훼′⟩ =
∑
푗
푎′푗 ∣휙푗⟩ =
∑
푖,푗
∣휙푗⟩푇푗푖푎푖.
temos que
푎′푗 =
∑
푖
푇푗푖푎푖.
ou, em forma matricial,
푎′ = 푇푎
Assim vemos que a matriz 푇 transforma um vetor de componentes (푎1, 푎2, . . .) num de componentes (푎
′
1, 푎
′
2, . . .).
Concluindo,fixamos os vetores dando os coeficientes de sua expansa˜o numa base ortonormal.No caso de oper-
adores, determinando sua ac¸a˜o nos vetores de uma base ortonormal.
Formalizando as observac¸o˜es acima vamos associar a cada vetor ∣훼⟩ uma matriz coluna cujos elementos sa˜o o
conjunto ordenado dos coeficientes da expansa˜o de ∣훼⟩ numa dada base ortonormal , ∣휙푖⟩. Essa matriz coluna e´
a representac¸a˜o do vetor ∣훼⟩ na base ∣휙푖⟩.
Do mesmo modo, a cada operador vamos associar uma matriz cujos elementos sa˜o determinados pela ac¸a˜o do
operador nos vetores de uma dada base ortonormal.Essa matriz e´ a representac¸a˜o do operador na base ∣휙푖⟩.
Assim, dada uma base, temos:
∣훼⟩ ↔ 훼푇 = (푎1, 푎2, . . . , 푎푛),
e
푇ˆ ←→ 푇 =
⎛
⎜⎜⎜⎝
푇11 푇12 ⋅ ⋅ ⋅ 푇1푛
푇21 푇22 ⋅ ⋅ ⋅ 푇2푛
...
...
. . .
...
푇1푛 푇2푛 ⋅ ⋅ ⋅ 푇푛푛
⎞
⎟⎟⎟⎠ .
Exerc´ıcio 4: Seja 푍ˆ o produto de dois operadores
푍ˆ = 푌ˆ 푋ˆ
Mostre que a matriz que representa 푍ˆ numa dada base ortonormal,e´o produto das matrizes que representam
푋ˆ푒푌ˆ nessa mesma base.
Seja
푋ˆ∣휙푗⟩ =
∑
푖
∣휙푖⟩푋푖,푗
푌ˆ ∣휙푗⟩ =
∑
푖
∣휙푖⟩푌푖,푗
Enta˜o
푋ˆ∣휙푗⟩ =
∑
푖
∣휙푖⟩푋푖,푗
e
푌ˆ 푋ˆ∣휙푗⟩ =
∑
푖
푌ˆ ∣휙푖⟩푋푖,푗 =
∑
푖,푘
∣휙푘⟩푌푘,푖푋푖,푗
5
Mas,
푍ˆ∣휙푖⟩ =
∑
푘
∣휙푘⟩푍푘,푖
Comparando , temos que,
푍푘,푖 =
∑
푗
푌푘,푗푋푗,퐼
ou
푍 = 푌 푋
3.1 Operadores hermiteanos. Operadores unita´rios
Na formulac¸a˜o da Mecaˆnica Quaˆntica se destacam duas classes de operadores lineares, operadores hermiteanos
e operadores unita´rios. Para estabelecer as propriedades desses operadores, vamos associar a cada operador 푇ˆ ,
um outro operador 푇ˆ †, denominado de operador hermiteano conjugado de 푇ˆ , onde 푇ˆ † e´ definido pela relac¸a˜o,
⟨훼∣푇ˆ †∣훽⟩ = ⟨훽∣푇ˆ ∣훼⟩∗.
Como consequeˆncia dessa relac¸a˜o, a matriz que representa 푇ˆ † numa dada base e´ a transposta complexa conjugada
da matriz que representa 푇ˆ ,
푇
†
푖푗 = 푇
∗
푗푖.
Em outras palavras a matriz que representa 푇ˆ † e´ a matriz hermiteana conjugada da matriz que representa 푇ˆ .
Operadores hermiteanos sa˜o iguais aos seus hermiteanos conjugados
푇ˆ † = 푇ˆ .
Nesse caso a matriz que representa 푇ˆ numa dada base e´ uma matriz hermiteana. Uma matriz hermiteana e´
igual a sua hermiteana conjugada
푇푖푗 = 푇
∗
푗푖.
Quando existe, o operador inverso do operador 푈ˆ , 푈ˆ−1, e´ definido pela relac¸a˜o
푈ˆ 푈ˆ−1 = 푈ˆ−1푈ˆ = 1ˆ
onde 1ˆ e´ o operador unidade. Consequentemente as matrizes que representam esses operadores satisfazem a`
relac¸a˜o
푈푈−1 = 푈−1푈 = 1
onde 1 e´ a matriz unidade.
Um operador e´ unita´rio se o seu inverso e´ igual ao seu hermiteano conjugado
푈ˆ−1 = 푈ˆ †
푈ˆ †푈ˆ = 푈ˆ 푈ˆ † == 1ˆ.
Matrizes cujas inversas sa˜o iguais as suas hermiteanas conjugadas sa˜o chamadas de matrizes unita´rias.
3.2 Mudanc¸a de base
Dado um vetor e um operador linear definidos no espac¸o de vetores de estado, as componentes do vetor e os
elementos da matriz que representa o operador linear dependem da escolha da base. Enta˜o podemos perguntar
como esses nu´meros mudam quando consideramos bases diferentes.
Para responder essas questo˜es considere duas bases ortonormais no espac¸o de vetores de estado: {∣휓푖⟩} e
{∣휙푖⟩},
⟨휓푖∣휓푗⟩ = 훿푖푗 ,
⟨휙푖∣휙푗⟩ = 훿푖푗 .
6
Os vetores das duas bases esta˜o relacionados por uma transformac¸a˜o linear
∣휓푖⟩ = 푆ˆ∣휙푖⟩ =
∑
푗
∣휙푗⟩푆푗푖
onde
푆푗푖 = ⟨휙푗 ∣휓푖⟩ = ⟨휙푗 ∣푆ˆ∣휙푖⟩
푆ˆ e´ um operador unita´rio. Para mostrar essa propriedade vamos calcular ⟨휓푖∣휓푗⟩ = 훿푖푗 :
⟨휓푖∣휓푗⟩ = 훿푖푗 =
∑
푘
⟨휓푖∣휙푘⟩푆푘푗 .
Mas
⟨휙푘∣휓푖⟩ =
∑
푗
⟨휙푘∣휙푗⟩푆푗푖 = 푆푘푖.
Como ⟨휓푖∣휙푘⟩ = ⟨휙푘∣휓푖⟩∗ = 푆∗푘푖 temos que
훿푖푗 =
∑
푘
푆∗푘푖푆푘푗 =
∑
푘
(푆†)푖푘푆푘푗
ou
푆†푆 = 1
garantindo que 푆 e´ uma matriz unita´ria. Como a representac¸a˜o de um operador unita´rio e´ uma matriz unita´ria
conclu´ımos que o operador que relaciona os vetores de duas bases distintas e´ um operador unita´rio.
Note que o fato da transformac¸a˜o ser unita´ria e´ uma consequeˆncia direta dela ser entre bases ortonormais.
Para responder a pergunta de como as componentes da expansa˜o de um vetor de estado se transformam
considere a expansa˜o de um vetor nas duas bases,
∣훼⟩ =
∑
푖
푎
(휙)
푖 ∣휙푖⟩ =
∑
푖
푎
(휓)
푖 ∣휓푖⟩
onde 푎
(휙)
푖 significa o coeficiente da expansa˜o de ∣훼⟩ na base {∣휙푖⟩}, analogamente nos outros casos.
Para determinar como os coeficientes se transformam considere os passos explicitados abaixo
푎
(휓)
푖 = ⟨휓푖∣훼⟩ =
∑
푗
⟨휓푖∣휙푗⟩푎(휙)푗 =
∑
푗
⟨휙푗 ∣휓푖⟩∗푎(휙)푗 =
∑
푗
푆∗푗푖푎
(휙)
푗
mostrando que
푎
(휓)
푖 =
∑
푗
(푆†)푖푗푎
(휙)
푗
ou na forma matricial
푎(휓) = 푆†푎(휙).
A questa˜o agora e´ como a matriz que representa um operador linear e´ modificada pela mudanc¸a de base.
Para isto considere a representac¸a˜o de 푇ˆ nas duas bases
푇ˆ ∣휓푖⟩ =
∑
푗
∣휓푗⟩푇 (휓)푗푖
e
푇ˆ ∣휙푖⟩ =
∑
푗
∣휙푗⟩푇 (휙)푗푖 .
Os passos para determinar como as matrizes se transformam sa˜o os seguintes
7
푇
(휓)
푗푖 = ⟨휓푗 ∣푇ˆ ∣휓푖⟩ =
∑
푘
⟨휓푗 ∣푇ˆ ∣휙푘⟩푆푘푖 =
∑
푘,푙
⟨휓푗 ∣휙푙⟩푇 (휙)푙푘 푆푘푖
=
∑
푘,푙
⟨휙푙∣휓푗⟩∗푇 (휙)푙푘 푆푘푖 =
∑
푘,푙
푆∗푙푗푇
(휙)
푙푘 푆푘푖.
Apo´s todos esses passos vemos que
푇
(휓)
푗푖 =
∑
푘,푙
푆
†
푗푙푇
(휙)
푙푘 푆푘푖
ou, em termos matriciais
푇 (휓) = 푆†푇 (휙)푆
indicando que as matrizes que representam o operador 푇ˆ esta˜o relacionadas por uma transformac¸a˜o unita´ria.
4 Autovetores e autovalores de um operador hermiteano
A equac¸a˜o de autovalores para um operador 푇ˆ e´ dada por:
푇ˆ ∣훼⟩ = 휆∣훼⟩
onde ∣훼⟩ e´ o autovetor de 푇ˆ e 휆 o corespondente autovalor.
Nesta sec¸a˜o vamos investigar as propiedades da equac¸a˜o de autovalores quando 푇ˆ e´ um operador hermiteano.
Um operador hermiteano e´ igual ao seu hermiteano conjugado, 푇ˆ † = 푇ˆ . Como consequeˆncia dessa propiedade a
matriz que representa um operador hermiteano numa dada base e´ uma matriz hermiteana 푇푖푗 = 푇
∗
푗푖.
4.1 Propriedades
1. Os autovalores de um operador hermiteano sa˜o reais.
Prova: Seja 휆 um autovalor de 푇ˆ ,
푇ˆ ∣훼⟩ = 휆∣훼⟩.
Enta˜o,
⟨훼∣푇ˆ ∣훼⟩ = 휆⟨훼∣훼⟩
Como 푇ˆ e´ um operador hermiteano, vale as relac¸o˜es mostradas abaixo :
⟨훼∣푇ˆ ∣훼⟩ = ⟨훼∣푇ˆ †∣훼⟩∗ = ⟨훼∣푇ˆ ∣훼⟩∗ = 휆∗⟨훼∣훼⟩
Igualando , temos que
(휆− 휆∗)⟨훼∣훼⟩ = 0.
Como o autovetor tem norma na˜o nula, ⟨훼∣훼⟩ ∕= 0, conclu´ımos que 휆 = 휆∗ ,isto e´, 휆 e´ real.
2. Autovetores com autovalores distintos sa˜o ortogonais.
Prova: Sejam 휆1 e 휆2 dois autovalores distintos de 푇ˆ ,휆1 ∕= 휆2, ou seja,
푇ˆ ∣훼1⟩ = 휆1∣훼1⟩
푇ˆ ∣훼2⟩ = 휆2∣훼2⟩.
Enta˜o
⟨훼2∣푇ˆ ∣훼1⟩ = 휆1⟨훼2∣훼1⟩
Usando o fato de 푇ˆ ser um operador hermiteano para calcular esse mesmo elemento de matriz, achamos
que
⟨훼2∣푇ˆ ∣훼1⟩ = ⟨훼1∣푇ˆ †∣훼2⟩∗ = ⟨훼1∣푇ˆ ∣훼2⟩∗ = 휆2⟨훼1∣훼2⟩∗ = 휆2⟨훼2∣훼1⟩
8
Igualando ,temos que
(휆2 − 휆1)⟨훼2∣훼1⟩ = 0
Como휆1 ∕= 휆2concluimos que os autovetores sa˜o ortogonais,
⟨훼2∣훼1⟩ = 0
3. Resoluc¸a˜o da equac¸a˜o de autovalores.
Para resolver a equac¸a˜o de autovalores
푇ˆ ∣훼⟩ = 휆∣훼⟩.
temos que determinar a representac¸a˜o do operador hermiteano numa dada base {∣푒푖⟩}
푇ˆ ∣푒푖⟩ =
∑
푗
푇푗푖∣푒푗⟩,
com
푇푗푖 = ⟨푒푗 ∣푇ˆ ∣푒푖⟩
Expandindo os autovetores nessa mesma base , {∣푒푖⟩},
∣훼⟩ =
∑
푖
푐푖∣푒푖⟩,
podemos calcular facilmente
푇ˆ ∣훼⟩ =
∑
푖
푐푖푇ˆ ∣푒푖⟩ =
∑
푖,푗
푐푖푇푗푖∣푒푗⟩
e
휆∣훼⟩ =
∑
푗
휆푐푗 ∣푒푗⟩.
Igualando, vemos que a equac¸a˜o de autovalores fica igual a,
∑
푖
푇푗푖푐푖 = 휆푐푗
ou, na forma matricial
푇푐 = 휆푐.
Assim reduzimos o problema de achar os autovalores e autovetores de um operador hermiteano ao problema
de achar os autovalores e autovetores de uma matriz hermiteana, a representac¸a˜o do operador numa dada
base. Os autovalores dessa matriz sa˜o os autovalores do operador e os autovetores sa˜o as componentes da
expansa˜o do autovetor nessa mesma base .
4. Calculo dos autovalores. Equac¸a˜o caracter´ıstica.
A equac¸a˜o de autovalores e´ um sistema de n equac¸o˜es lineares homogeˆneas , acopladas
∑
푖
(푇푗푖 − 훿푗푖)푐푖 = 0
que tem soluc¸a˜o somente se o determinante das incognitas e´ nulo
푑푒푡(푇 − 휆1) = 0
onde 1 e´ a matriz unidade de ordem n .
Calculando o determinante,chegamos numa equac¸a˜o alge´brica de ordem n em 휆, chamada de equac¸a˜o
caracter´ıstica para os autovalores.O fato da matriz ser hermiteana garante que ela tem n raizes reais
incluindo a multiplicidade.Para cada raiz,resolvemos o sistema de equac¸o˜es lineares acopladas para achar
as componentes dos autovetores.
9
5. Os autovetores de um operador hermiteano formam uma base no espac¸o dos vetores de estado.
Devemos distinguir dois casos :
Caso (i): Os autovalores sa˜o distintos. Nesse caso vamos destacar duas propiedades.Uma, que os autove-
tores sa˜o ortogonais.A outra que, nesse caso, existe uma relac¸a˜o bi-un´ıvoca entre autovetor e autovalor , o
que permite rotular o autovetor pelo correspondente autovalor,
푇ˆ ∣휆푖⟩ = 휆푖∣휆푖⟩,
⟨휆푗 ∣휆푖⟩ = 훿푗푖
Caso ii: Existe degeneresceˆncia
A degeneresceˆncia ocorre quando existe ra´ızes com multiplicidade diferentede 1, por exemplo, o autovalor
휆푖 tem multiplicidade 푑푖 , isto e´ ,o autovalor 휆푖 tem degeneresceˆncia igual a 푑푖.
O fato da matriz ser hermiteana garante que no subespac¸o degenerado existe 푑푖 vetores linearmente inde-
pendentes que podem ser ortogonalizados, por exemplo, pelo me´todo de Gram-Schmidt.
Diferente do caso anterior,na˜o existe uma relac¸a˜o bi-un´ıvoca entre autovetor e autovalor , e precisamos
outro rotulo para selecionar um entre os 푑푖 autovetores degenerados. Um exemplo de uma poss´ıvel escolha
seria {∣휆푖, 휏푖푘⟩}, 푘 = 1, . . . , 푑푖 com 푑푖 sendo a ordem da degeneresceˆncia do autovalor 휆푖
푇ˆ ∣휆푖, 휏푖푘⟩ = 휆푖∣휆푖, 휏푖푘⟩
⟨휆푖, 휏푖푘∣휆푗 , 휏푗푙⟩ = 훿푖푗훿푘푙.
6. Diagonalizac¸a˜o
Uma vez resolvida a equac¸a˜o de autovalores,terminamos com duas bases no espac¸o dos vetores de estado:a
base escolhida para resolver a equac¸a˜o de autovalores e a base dos autovetores do operador hermiteano
푇ˆ .Como discutimos anteriormente, as duas bases esta˜o relacionadas por uma transformac¸a˜o unita´ria,
∣훼푘⟩ = 푆ˆ∣푒푘⟩
onde o ı´ndice k estabelece uma ordenac¸a˜o do conjunto dos autovetores de 푇ˆ .
Os elementos da matriz S sa˜o determinados pelas componentes da expansa˜o dos autovetores na base {∣푒푖⟩},
∣훼푘⟩ =
∑
푗
∣푒푗⟩푆푗푘
∣훼푘⟩ =
∑
푗
∣푒푗⟩푐(푘))푗
Comparando, vemos que os elementos da k-e´sima coluna da matriz S sa˜o as componentes da expansa˜o do
k-e´simo autovetor na base {∣푒푗⟩}, 푆푗푘 = 푐(푘)푗 . S gera uma transformac¸a˜ounita´ria que diagonaliza T:
휆 = 푆†푇푆
onde 휆 e´ uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal sa˜o os autovalores de 푇ˆ , 휆푖푗 = 휆푖훿푖푗 .
5 Equac¸a˜o de Schro¨dinger dependente do tempo. Estados esta-
ciona´rios.
(a) O vetor de estado do sistema no instante 푡 e´ determinado resolvendo-se a equac¸a˜o de Schro¨dinger
dependente do tempo:
푖ℏ
∂
∂푡
∣휓(푡)⟩ = 퐻ˆ∣휓(푡)⟩
dado o vetor de estado no instante inicial ∣휓(푡0)⟩, onde 퐻ˆ e´ o operador hamiltoniana do sistema.
10
(b) Os estados estaciona´rios sa˜o caracterizados pela propriedade da dependeˆncia temporal de ∣휓(푡)⟩ ser
da forma
∣휓(푡)⟩ = 푒− 푖ℏ퐸푡∣휓⟩
A condic¸a˜o para que ∣휓(푡)⟩ seja uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger dependente do tempo e´ ∣휓⟩
ser uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger independente do tempo
퐻ˆ∣휓⟩ = 퐸∣휓⟩.
(c) A equac¸a˜o de Schro¨dinger independente do tempo e´ uma equac¸a˜o de autovalores para o operador
hamiltoniana 퐻ˆ,o estado estaciona´rio ∣휓⟩ e´ o autovetor e 퐸 e´ o autovalor
(d) Os autovalores de 퐻ˆ sa˜o os n´ıveis de energia do sistema.
(e) A equac¸a˜o de autovalores fornece uma colec¸a˜o de soluc¸o˜es ∣휓1⟩, ∣휓2⟩, . . . , ∣휓푛⟩ associada as energias
퐸1, 퐸2, . . . , 퐸푛 caso exista,incluindo a multiplicidade. Essa colec¸a˜o de autovetores de 퐻ˆ formam uma
base, no espac¸o dos vetores de estado.
(f) A soluc¸a˜o mais geral da equac¸a˜o de Schro¨dinger dependente do tempo pode ser escrita como uma
combinac¸a˜o linear dos estados estaciona´rios
∣휓(푡)⟩ =
∑
푛
푐푛푒
− 푖
ℏ
퐸푛(푡−푡0)∣휓푛⟩
onde os coeficientes 푐푛 sa˜o os coeficientes da expansa˜o do estado inicial na base de estados estaciona´rios
∣휓(푡0)⟩ =
∑
푛
푐푛∣휓푛⟩
com
푐푛 = ⟨휓푛∣휓(푡0)⟩.
6 Princ´ıpio da incerteza
6.1 Valor me´dio e dispersa˜o das medidas de um observa´vel
Valor me´dio
Se o sistema esta´ no estado ∣휓⟩, a probabilidade de numa medida do observa´vel 퐴ˆ acharmos o valor 푎푖, e´
dado pelo mo´dulo ao quadrado do produto escalar de ∣휓⟩ com o autovetor de 퐴ˆ com autovalor 푎1,
푝(푎푖, 휓) = ∣⟨푎푖∣휓⟩∣2.
Por definic¸a˜o o valor me´dio das medidas de um observa´vel 퐴ˆ se o sistema esta´ no estado ∣휓⟩ e´ dado por
⟨퐴ˆ⟩ =
∑
푖
푎푖푝(푎푖, 휓) =
∑
푖
푎푖∣⟨푎푖∣휓⟩∣2.
Como os autovetores de 퐴ˆ formam uma base, ∣휓⟩ pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos
autovetores de 퐴ˆ,
∣휓⟩ =
∑
푖
푐푖∣푎푖⟩
com
푐푖 = ⟨푎푖∣휓⟩.
Enta˜o
퐴ˆ∣휓⟩ =
∑
푖
푐푖퐴ˆ∣푎푖⟩ =
∑
푖
푎푖⟨푎푖∣휓⟩∣푎푖⟩
11
e
⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩ =
∑
푖
푎푖⟨푎푖∣휓⟩⟨휓∣푎푖⟩ =
∑
푖
푎푖⟨푎푖∣휓⟩⟨푎푖∣휓⟩∗ =
∑
푖
푎푖∣⟨푎푖∣휓⟩∣2.
Assim, o valor me´dio das medidas de 퐴ˆ, se o sistema esta´ no estado ∣휓⟩ e´ igual a
⟨퐴ˆ⟩ = ⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩.
Dispersa˜o das medidas de 퐴ˆ
Por definic¸a˜o a dispersa˜o das medidas de 퐴ˆ e´ dada por
휎2퐴 =
∑
푖
(푎푖 − ⟨퐴ˆ⟩)2푝(푎푖, 휓).
Como
(푎푖 − ⟨퐴ˆ⟩)2 = 푎2푖 − 2푎푖⟨퐴ˆ⟩+ ⟨퐴ˆ⟩2
a dispersa˜o fica igual a
휎2퐴 =
∑
푖
(푎2푖 − 2푎푖⟨퐴ˆ⟩+ ⟨퐴ˆ⟩2)푝(푎푖, 휓).
Dado que ∑
푖
푝(푎푖, 휓) = ⟨휓∣휓⟩ = 1,
∑
푖
푎푖푝(푎푖, 휓) = ⟨퐴ˆ⟩ = ⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩,
∑
푖
푎2푖 푝(푎푖, 휓) = ⟨퐴ˆ2⟩ = ⟨휓∣퐴ˆ2∣휓⟩
onde a u´ltima relac¸a˜o e´ facilmente deduzida se lembrarmos que
퐴ˆ2∣푎푖⟩ = 푎2푖 ∣푎푖⟩.
chegamos a conclua˜o que a dispersa˜o e´ dada pelo valor me´dio de 퐴ˆ2 menos o valor me´dio de 퐴ˆ ao quadrado
휎2퐴 = ⟨휓∣퐴ˆ2∣휓⟩ − ⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩2
ou uma expressa˜o equivalente
휎2퐴 = ⟨휓∣(퐴ˆ− ⟨퐴ˆ⟩)2∣휓⟩.
A igualdade dessas duas expresso˜es segue imediatamente de:
(퐴ˆ− ⟨퐴ˆ⟩)2 = 퐴ˆ2 − 2퐴ˆ⟨퐴ˆ⟩+ ⟨퐴ˆ⟩2.
Como o valor me´dio de um operador hermiteano e´ um nu´mero real,
⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩ = ⟨휓∣퐴ˆ†∣휓⟩∗ = ⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩∗,
podemos concluir que a u´ltima expressa˜o de 휎2퐴 e´ a norma ao quadrado do vetor de estado ∣훼⟩ = (퐴ˆ −
⟨퐴ˆ⟩)∣휓⟩:
휎2퐴 = ⟨훼∣훼⟩.
Vemos enta˜o que a dispersa˜o se anula se e somente se ∣훼⟩ e´ o vetor nulo, ∣훼⟩ = ∣⊗⟩,
(퐴ˆ− ⟨퐴ˆ⟩)∣휓⟩ = ∣⊗⟩
ou
퐴ˆ∣휓⟩ = ⟨퐴ˆ⟩∣휓⟩
isto e´, ∣휓⟩ e´ um autovetor de 퐴ˆ com autovalor ⟨퐴ˆ⟩.
12
6.2 Princ´ıpio da incerteza
Vamos demonstrar que se 퐴ˆ e 퐵ˆ sa˜o dois observa´veis vale a relac¸a˜o de incerteza,
휎2퐴휎
2
퐵 ≥
1
4
∣⟨휓∣[퐴ˆ, 퐵ˆ]∣휓⟩∣2
onde[퐴ˆ, 퐵ˆ] e´ o comutador de 퐴ˆ e 퐵ˆ:
[퐴ˆ, 퐵ˆ] = 퐴ˆ퐵ˆ − 퐵ˆ퐴ˆ
Observa´veis para os quais [퐴ˆ, 퐵ˆ] ∕= 0 sa˜o chamados de observa´veis incompat´ıveis.Vemos enta˜o que, como
existe um limite inferior para o produto das disperso˜es, elas na˜o podem ser reduzidas independente-
mente.Por exemplo, se 퐴ˆ, 퐵ˆ e´ um par de observa´veis incompat´ıveis, qua˜o mais precisa sa˜o as medidas
de 퐴ˆ mais imprecisa sa˜o as de 퐵ˆ. Por outro lado,observa´veis para os quais [퐴ˆ, 퐵ˆ] = 0 sa˜o chamados de
observa´veis compat´ıveis.Nesse caso na˜o existe nenhuma restric¸a˜o quanto a precisa˜o das medidas desses
dois observa´veis.
6.3 Prova do princ´ıpio da incerteza
Para provar o princ´ıpio da incerteza vamos enunciar treˆs lemas:
Lema 1 Desigualdade de Schwarz:
⟨훼∣훼⟩⟨훽∣훽⟩ ≥ ∣⟨훼∣훽⟩∣2.
Prova: Seja ∣훾⟩ = ∣훼⟩+ 휆∣훽⟩. Enta˜o a norma de ∣훾⟩ e´ dada por :
⟨훾∣훾⟩ = ⟨훼∣훼⟩+ 휆⟨훼∣훽⟩+ 휆∗⟨훽∣훼⟩+ ∣휆∣2⟨훽∣훽⟩.
Se 휆 = − ⟨훽∣훼⟩⟨훽∣훽⟩ a norma de∣훾⟩ fica igual a,
⟨훾∣훾⟩ = ⟨훼∣훼⟩ − ∣⟨훼∣훽⟩∣
2
⟨훽∣훽⟩
=
⟨훼∣훼⟩⟨훽∣훽⟩ − ∣⟨훼∣훽⟩∣2
⟨훽∣훽⟩ ≥ 0
portanto
⟨훼∣훼⟩⟨훽∣훽⟩ ≥ ∣⟨훼∣훽⟩∣2.
A igualdade ocorre se ∣훾⟩ = ∣⊗⟩ ou ∣훼⟩ = −휆∣훽⟩.
Lema 2 O valor me´dio de um operador hermiteano e´ real.
Prova:
⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩ = ⟨휓∣퐴ˆ†∣휓⟩∗ = ⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩∗
Lema 3 O valor me´dio de um operador anti-hermiteano e´ um imagina´rio puro.
Um operador anti-hermiteano e´ igual a menos o seu hermiteano conjugado,퐴ˆ† = −퐴ˆ
Prova:
⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩ = ⟨휓∣퐴ˆ†∣휓⟩∗ = −⟨휓∣퐴ˆ∣휓⟩∗
Vamos comec¸ar a demonstrac¸a˜o do princ´ıpio da incerteza definindo dois vetores:
∣훼⟩ = Δ퐴ˆ∣휓⟩
∣훽⟩ = Δ퐵ˆ∣휓⟩
13
onde, Δ퐴ˆ = 퐴ˆ− ⟨퐴ˆ⟩ e Δ퐵ˆ = 퐵ˆ− ⟨퐵ˆ⟩sa˜o operadores hermiteanos , veja Lema 2. Pelo exerc´ıcio 5 sabemos
que a norma ao quadrado desses vetores e´ igual a dispersa˜o
⟨훼∣훼⟩ = ⟨휓∣(퐴ˆ− ⟨퐴ˆ⟩)2∣휓⟩ = 휎2퐴
e
⟨훽∣훽⟩ = ⟨휓∣(퐵ˆ − ⟨퐵ˆ⟩)2∣휓⟩ = 휎2퐵 .
No mesmo exerc´ıcio 5 mostramos que
⟨훼∣훽⟩ = ⟨휓∣Δ퐴ˆΔ퐵ˆ∣휓⟩.
O produto Δ퐴ˆΔ퐵ˆ pode ser escrito da seguinte forma
Δ퐴ˆΔ퐵ˆ =
1
2
{Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ}+ 1
2
[Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ]
onde
[Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ] = Δ퐴ˆΔ퐵ˆ −Δ퐵ˆΔ퐴ˆ
e´ o comutador de Δ퐴ˆ e Δ퐵ˆ e
{Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ} = Δ퐴ˆΔ퐵ˆ +Δ퐵ˆΔ퐴ˆ
e´ o anti-comutador de Δ퐴ˆ e Δ퐵ˆ.
Agora, vamos enunciar duas propiedades que usaremos na demonstrac¸a˜o.
i) O comutador de dois operadores hermiteanos e´ anti-hermiteano.
Sejam 퐶ˆ e 퐷ˆ dois operadores hermiteanos.
[퐶ˆ, 퐷ˆ]† = 퐷ˆ†퐶ˆ† − 퐶ˆ†퐷ˆ† = 퐷ˆ퐶ˆ − 퐶ˆ퐷ˆ = −[퐶ˆ, 퐷ˆ].
ii) O anti-comutador de dois operadores hermiteanos e´ hermiteano.
Sejam 퐶ˆ e 퐷ˆ dois operadores hermiteanos.
{퐶ˆ, 퐷ˆ}† = 퐷ˆ†퐶ˆ† + 퐶ˆ†퐷ˆ† = 퐷ˆ퐶ˆ + 퐶ˆ퐷ˆ = {퐶ˆ, 퐷ˆ}.
Os passos para deduzir oprinc´ıpio da incerteza esta˜o na ordem das propiedades discutidas acima.
Da desigualdade de Schwarz temos que
휎2퐴휎
2
퐵 ≥ ∣⟨휓∣Δ퐴ˆΔ퐵ˆ∣휓⟩∣2
≥ 1
4
∣⟨휓∣{Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ}∣휓⟩+ ⟨휓∣[Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ]∣휓⟩∣2
≥ 1
4
(
∣⟨휓∣{Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ}∣휓⟩∣2 + ∣⟨휓∣[Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ]∣휓⟩∣2
)
≥ 1
4
∣⟨휓∣[Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ]∣휓⟩∣2.
Como,
[Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ] = [퐴ˆ, 퐵ˆ]
deduzimos o princ´ıpio da incerteza:
휎2퐴휎
2
퐵 ≥
1
4
∣⟨휓∣[퐴ˆ, 퐵ˆ]∣휓⟩∣2
Estado de incerteza mı´nima.
Naturalmente,o princ´ıpio da incerteza depende de ∣휓⟩Desse modo,dado dois observa´veis incompat´ıveis,podemos
achar o estado de incerteza mı´nima,para o qual a desigualdade se torna igualdade.
A igualdade ocorre quando,
⟨휓∣{Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ}∣휓⟩ = 0
Δ퐴ˆ∣휓⟩ = −휆Δ퐵ˆ∣휓⟩
14
A primeira das duas equac¸o˜es acima,diz que o valor me´dio do anti-comutador e´ nulo.Vamos examinar as
consequeˆncias dessa restric¸a˜o.Usando a segunda das duas equac¸o˜es , podemos mostrar que:
⟨휓∣Δ퐵ˆΔ퐴ˆ∣휓⟩ = −휆⟨휓∣Δ퐵ˆ2∣휓⟩
⟨휓∣Δ퐴ˆΔ퐵ˆ∣휓⟩ = ⟨휓∣Δ퐵ˆΔ퐴ˆ∣휓⟩∗ = −휆∗⟨휓∣Δ퐵ˆ2∣휓⟩
O anti-comutador e´ nulo se
(휆∗ + 휆)⟨휓∣Δ퐵ˆ2∣휓⟩ = (휆∗ + 휆)휎2퐵 = 0
Desse modo, conclu´ımos que 휆 e´ um nu´mero imagina´rio puro. Usando as relac¸o˜es acima podemos deter-
minar o valor de 휆 :
⟨휓∣[퐴ˆ, 퐵ˆ]∣휓⟩ = ⟨휓∣[Δ퐴ˆ,Δ퐵ˆ]∣휓⟩ = (휆− 휆∗)휎2퐵
Como 휆∗ = −휆,temos que 휆 e´ dada por:
휆 =
⟨휓∣[퐴ˆ, 퐵ˆ]∣휓⟩
2휎2퐵
Resumindo, o estado de incerteza mı´nima satisfaz a equac¸a˜o
(퐴ˆ− ⟨퐴ˆ⟩)∣휓⟩ = −휆(퐵ˆ − ⟨퐵ˆ⟩)∣휓⟩.
com 휆 calculado acima.
Princ´ıpio da incerteza de Heisenberg.
Os observa´veis no princ´ıpio da incerteza de Heisenberg , sa˜o os operadores posic¸a˜o e momento, 푥ˆ, 푝ˆ respec-
tivamente.Como, [푥ˆ, 푝ˆ] = 푖ℏ, o princ´ıpio da incerteza de Heisenberg e´ dado por:
휎2푥휎
2
푝 ≥
ℏ
2
4
Note que, nesse caso, o limite inferior na˜o depende do estado.
Exerc´ıcio 5.
Mostre que, se 푋ˆ e 푌ˆ sa˜o operadores hermiteanos vale a identidade,
⟨훾∣훿⟩ = ⟨훼∣푋ˆ푌ˆ ∣훽⟩
onde,
∣훾⟩ = 푋ˆ∣훼⟩
∣훿⟩ = 푌ˆ ∣훽⟩
6.4 Princ´ıpio da incerteza energia-tempo
Vamos examinar o princ´ıpio da incerteza no caso particular onde ∣휓⟩ e´ o vetor de estado do sistema no
instante t e a hamiltoniana um dos observa´veis,
∣휓⟩ → ∣휓(푡)⟩
퐴ˆ → 퐴ˆ
퐵ˆ → 퐻ˆ
Pelo princ´ıpio da incerteza temos que:
휎2퐴휎
2
퐻 ≥
1
4
∣⟨휓(푡)∣[퐴ˆ, 퐻ˆ]∣휓(푡)⟩∣2.
15
com as disperso˜es de 퐴ˆ e 퐻ˆ iguais a,
휎2퐴 = ⟨휓(푡)∣(퐴ˆ− ⟨퐴ˆ⟩)2∣휓(푡)⟩ = ⟨휓(푡)∣퐴ˆ2∣휓(푡)⟩ − ⟨휓(푡)∣퐴ˆ∣휓(푡)⟩2
휎2퐻 = ⟨휓(푡)∣(퐻ˆ − ⟨퐻ˆ⟩)2∣휓(푡)⟩ = ⟨휓(푡)∣퐻ˆ2∣휓(푡)⟩ − ⟨휓(푡)∣퐻ˆ ∣휓(푡)⟩2
Como, pelo exerc´ıcio seis,vale a identidade,
푖ℏ
푑⟨퐴ˆ⟩
푑푡
= ⟨휓(푡)∣[퐴ˆ, 퐻ˆ]∣휓(푡)⟩.
o princ´ıpio da incerteza fica igual a,
휎2퐴휎
2
퐻 ≥
ℏ
2
4
∣∣∣∣∣
푑⟨퐴ˆ⟩
푑푡
∣∣∣∣∣
2
Essa expressa˜o sugere a introduc¸a˜o de um tempo caracter´ıstico dado por,
휏퐴 =
휎퐴∣∣∣푑⟨퐴ˆ⟩푑푡
∣∣∣
e reescrever a relac¸a˜o da incerteza como,
휎퐻휏퐴 ≥ ℏ
2
A interpretac¸a˜o f´ısica de 휏퐴e´ identifica-lo com o tempo necessa´rio para que o valor me´dio do observa´vel
퐴ˆ mude de um valor igual ao seu desvio padra˜o. Em outras palavras, e´ um tempo caracter´ıstico para
notarmos uma variac¸a˜o do sistema.
Qualitativamente, podemos destacar dois limites:
a) 휎퐻 → 0 , 휏퐴 →∞, o sistema na˜o muda.Estado estaciona´rio.
b) 휎퐻 →∞, 휏퐴 → 0, vetor de estado com dispersa˜o da energia grande, tempo de mudanc¸a pequeno.
Exerc´ıcio 6 .
Mostre que ,
푖ℏ
푑⟨퐴ˆ⟩
푑푡
= ⟨휓(푡)∣[퐴ˆ, 퐻ˆ]∣휓(푡)⟩.
Sugesta˜o:Use a expansa˜o de ∣휓(푡)⟩ na base de estados estaciona´rios,
∣휓(푡)⟩ =
∑
푛
푐푛(푡)∣휓푛⟩
com 푐푛(푡) = 푐푛(0)푒
− 푖
ℏ
퐸푛푡
7 Observa´veis que teˆm um espectro cont´ınuo
Ate´ aqui consideramos observa´veis cujo espectro era discreto. Contudo na Mecaˆnica Quaˆntica existem ob-
serva´veis com um cont´ınuo de poss´ıveis valores. Por exemplo, a componente na direc¸a˜o 푧 do operador momento,
푝푧, pode assumir qualquer valor real no intervalo entre −∞ e ∞.
O tratamento rigoroso dos observa´veis cujo espectro e´ cont´ınuo e´ matematicamente complicado pelo fato de
lidar com espac¸os vetoriais de dimensa˜o infinita. Felizmente muitas das propriedades deduzida para operadores
com espectro discreto podem ser generalizadas para operadores com espectro cont´ınuo.
1. Equac¸a˜o de autovalores.
a) Operador com espectro discreto:
퐴ˆ∣푎푖⟩ = 푎푖∣푎푖⟩
16
⟨푎푖∣푎푗⟩ = 훿푖푗 .
b) Operador com espectro cont´ınuo:
휉ˆ∣휉′⟩ = 휉′∣휉′⟩
⟨휉′′∣휉′⟩ = 훿(휉′′ − 휉′).
Na generalizac¸a˜o ∣휉′⟩ e´ um autovetor de 휉ˆ com autovalor 휉′ cuja normalizac¸a˜o e´ uma func¸a˜o delta de
Dirac. Desse modo autovetores de um operador cujo espectro e´ cont´ınuo na˜o e´ normaliza´vel. Na verdade
observa´veis cujo espectro e´ cont´ınuo na˜o teˆm autovetores mas como veremos adiante eles definem uma
base no espac¸o de vetores de estado.
2. Autovetores de um observa´vel definem uma base no espac¸o de vetores de estado.
a) Caso discreto:
∣훼⟩ =
∑
푖
∣푎푖⟩⟨ 푎푖∣훼⟩.
b) Caso cont´ınuo:
∣훼⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑휉′∣휉′⟩⟨휉′∣훼⟩.
No caso discreto a cada estado ∣훼⟩ associamos uma matriz coluna cujas componentes sa˜o os coeficientes
da expansa˜o de ∣훼⟩ numa dada base
∣훼⟩ → (⟨푎1∣훼⟩, ⟨푎2∣훼⟩, . . . , ⟨푎푛∣훼⟩)푇 .
No caso cont´ınuo a cada estado ∣훼⟩ associamos uma func¸a˜o ⟨휉′∣훼⟩:
∣훼⟩ → ⟨휉′∣훼⟩.
3. Produto escalar de dois vetores de estado.
a) Caso discreto:
∣훼⟩ =
∑
푖
∣푎푖⟩⟨ 푎푖∣훼⟩ ∣훽⟩ =
∑
푖
∣푎푖⟩⟨ 푎푖∣훽⟩
⟨훼∣훽⟩ =
∑
푖
⟨ 푎푖∣훼⟩∗⟨ 푎푖∣훽⟩.
b) Caso cont´ınuo:
∣훼⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑휉′∣휉′⟩⟨휉′∣훼⟩ ∣훽⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑휉′∣휉′⟩⟨휉′∣훽⟩
⟨훼∣훽⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑휉′⟨휉′∣훼⟩∗⟨휉′∣훽⟩.
4. Ac¸a˜o de operadores numa dada base.
a) Caso discreto:
푋ˆ∣푎푖⟩ =
∑
푗
∣푎푗⟩푋푗푖
b) Caso cont´ınuo:
푋ˆ∣휉′⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑휉′′∣휉′′⟩⟨휉′′∣푋ˆ∣휉′⟩.
푋푗푖 = ⟨푎푗 ∣푋ˆ∣푎푖⟩, elemento 푗푖 da matriz que representa 푋ˆ na base {∣푎푖⟩}.
⟨휉′′∣푋ˆ∣휉′⟩, func¸a˜o que representa 푋ˆ na base {∣휉′⟩}.
17
7.1 Operador posic¸a˜o, 푥ˆ.
a) Autovetores:
푥ˆ∣푥′⟩ = 푥′∣푥′⟩.
b) Func¸a˜o de onda:
Expandindo um vetor de onda ∣훼⟩ na base dos autovetores do operador posic¸a˜o temos que
∣훼⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′∣푥′⟩⟨푥′∣훼⟩
onde ⟨푥′∣훼⟩ e´ a func¸a˜o de onda do estado ∣훼⟩
푓훼(푥
′) = ⟨푥′∣훼⟩.
Generalizando o caso de observa´veis com espectro discreto, para cada vetor de estado ∣훼⟩ vamos associar uma
func¸a˜o 푓훼(푥) = ⟨푥∣훼⟩, a func¸a˜o de onda do estado ∣훼⟩.
c) Produto escalar de dois vetores ∣훼⟩ e ∣훽⟩.
Dado
∣훼⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′∣푥′⟩⟨푥′∣훼⟩, ∣훽⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′∣푥′⟩⟨푥′∣훽⟩
podemos mostrar que o produto escalar dos dois vetores e´ dado pela integral
⟨훼∣훽⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′푓훼(푥
′)∗푓훽(푥
′)
pois
⟨훼∣훽⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′⟨훼∣푥′⟩⟨푥′∣훽⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′⟨푥′∣훼⟩∗⟨푥′∣훽⟩.
Como a integral deve convergir devemos impor que a func¸a˜o de onda sejam de quadrado integra´vel,
ˆ +∞
−∞
푑푥′∣푓훼(푥′)∣2 <∞.
Note que as func¸o˜es de quadrado integra´vel satisfazem as propriedades exigidas de um espac¸o vetorial.
∙ Operadores
No espac¸o das func¸o˜es de onda os operadores se comportam como transformac¸o˜es lineares quem levam uma
func¸a˜o definida em 퐿2(−∞,+∞) em outra func¸a˜o definida em 퐿2(−∞,+∞). Exemplos sa˜o o operador posic¸a˜o
e o operador momento.
a) Operador posic¸a˜o: Se
∣훽⟩ = 푥ˆ∣훼⟩
enta˜o
푓훽(푥) = 푥푓훼(푥).
b) Operador momento: Se
∣훽⟩ = 푝ˆ∣훼⟩
enta˜o
푓훽(푥) = −푖ℏ푑푓훼
푑푥
(푥).
∙ Representac¸a˜o de operadores
18
a) Caso discreto:
∣훽⟩ = 푇ˆ ∣훼⟩
Seja
∣훼⟩ =
∑
푖
푎푖∣푎푖⟩ =
∑
푖
∣푎푖⟩⟨푎푖∣훼⟩
∣훽⟩ =
∑
푖
푏푖∣푎푖⟩ =
∑
푖
∣푎푖⟩⟨푎푖∣훽⟩.
Enta˜o, como
푇ˆ ∣푎푖⟩ =
∑
푗
∣푎푗⟩푇푗푖 =
∑
푗
∣푎푗⟩⟨푎푗 ∣푇ˆ ∣푎푖⟩
e´ imediato que
푏푖 =
∑
푗
푇푖푗푎푗 .
b) Caso cont´ınuo:
∣훽⟩ = 푇ˆ ∣훼⟩
Seja
∣훼⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′∣푥′⟩푓훼(푥′)
∣훽⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′∣푥′⟩푓훽(푥′)
de modo que
푇ˆ ∣훼⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푥′푇ˆ ∣푥′⟩푓훼(푥′)
=
ˆ +∞
−∞
ˆ +∞
−∞
푑푥′푑푥′′∣푥′′⟩⟨푥′′∣푇ˆ ∣푥′⟩푓훼(푥′).
Assim
⟨푥∣푇ˆ ∣훼⟩ = 푓훽(푥) =
ˆ +∞
−∞
푑푥′⟨푥∣푇ˆ ∣푥′⟩푓훼(푥′)
e portanto
푓훽(푥) =
ˆ +∞
−∞
푑푥′⟨푥∣푇ˆ ∣푥′⟩푓훼(푥′).
푓훼(푥
′): representac¸a˜o do estado ∣훼⟩ no espac¸o das posic¸o˜es.
⟨푥∣푇ˆ ∣푥′⟩: representac¸a˜o do operador 푇ˆ no espac¸o das posic¸o˜es.
Exemplos:
a) Operador posic¸a˜o: Se
∣훽⟩ = 푥ˆ∣훼⟩enta˜o
푓훽(푥
′) = 푥′푓훼(푥
′).
Comparando com 푓훽(푥
′) =
´
푑푥′′⟨푥′∣푥ˆ∣푥′′⟩푓훼(푥′′) conclu´ımos que
⟨푥′∣푥ˆ∣푥′′⟩ = 푥′훿(푥′ − 푥′′).
b) Operador momento: Se
∣훽⟩ = 푝ˆ∣훼⟩
19
enta˜o
푓훽(푥
′) = −푖ℏ푑푓훼
푑푥′
(푥′).
Mas como 푓훽(푥
′) =
´
푑푥′′⟨푥′∣푝ˆ∣푥′′⟩푓훼(푥′′) conclu´ımos que
⟨푥′∣푝ˆ∣푥′′⟩ = −푖ℏ ∂
∂푥′
훿(푥′ − 푥′′).
∙ Medida da posic¸a˜o
Quando medimos a posic¸a˜o da part´ıcula, o detector localiza a part´ıcula num intervalo Δ em torno de um ponto
푥. Sendo mais espec´ıfico, quando fazemos a medida de posic¸a˜o o estado muda abruptamente para um estado
localizado na vizinhanc¸a do ponto 푥:
푓훼
퐿
(푥′′) =
⎧⎨
⎩
푓훼(푥
′′)
∣
∣
∣
∣
´ 푥′+Δ
2
푥′−Δ
2
∣푓훼(푥′′)∣2푑푥′′
∣
∣
∣
∣
1
2
, se 푥′ − Δ2 < 푥′′ < 푥′ + Δ2
0, nos outros casos.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de achar a part´ıcula no intervalo 푥′ − Δ2 < 푥′′ < 푥′ + Δ2 e´
푝(푥′ − Δ
2
< 푥′′ < 푥′ +
Δ
2
) =
ˆ 푥′+Δ2
푥′−Δ2
∣푓훼(푥′′)∣2푑푥′′ = ∣⟨훼퐿∣훼⟩∣2
pois, como
∣훼퐿⟩ =
ˆ +∞
−∞
∣푥′′⟩푓훼퐿(푥′′)푑푥′′
⟨훼∣훼퐿⟩ =
ˆ +∞
−∞
푓∗훼(푥
′′)푓훼퐿(푥
′′)푑푥′′ =
ˆ 푥′+Δ2
푥′−Δ2
∣푓훼(푥′′)∣2 1∣∣∣´ 푥′+Δ2
푥′−Δ2
∣푓훼(푥′′)∣2푑푥′′
∣∣∣
1
2
푑푥′′.
Vemos que a medida da posic¸a˜o corta uma fatia da func¸a˜o de onda do sistema antes da medida.
Quando Δ tende a zero a probabilidade de encontrarmos a part´ıcula no intervalo
(
푥′ − Δ2 , 푥′ + Δ2
)
varia
lentamente com Δ, onde o coeficiente e´ a densidade de probabilidade de acharmos a part´ıcula no ponto 푥′.
Como
푝(푥′ − Δ
2
< 푥′′ < 푥′ +
Δ
2
) =
ˆ 푥′+Δ2
푥′−Δ2
∣푓훼(푥′′)∣2푑푥′′
temos que
lim
Δ→0
푝(푥′ − Δ
2
< 푥′′ < 푥′ +
Δ
2
) =
푑푝
푑Δ
(Δ = 0)Δ
푑푝
푑Δ
= ∣푓훼(푥)∣2Δ
mostrando que ∣푓훼(푥)∣2 e´ a densidade de probabilidade de encontrar a part´ıcula no ponto 푥.
7.2 Operador momento, 푝ˆ
1. Autovetores do operador momento
푝ˆ∣푝′⟩ = 푝′∣푝′⟩.
Em termos da func¸a˜o de onda
⟨푥′∣푝ˆ∣푝′⟩ = 푝′⟨푥′∣푝′⟩
푑
푑푥′
⟨푥′∣푝′⟩ = 푖푝
′
ℏ
⟨푥′∣푝′⟩
20
푓푝′(푥
′) = ⟨푥′∣푝′⟩ = 퐶푒 푖ℏ푝′푥′ .
Normalizac¸a˜o:
⟨푝′′∣푝′⟩ = 훿(푝′′ − 푝′)
Veja que
⟨푝′′∣푝′⟩ =
ˆ +∞
−∞
푓∗푝′′(푥
′)푓푝′(푥
′)푑푥′ = ∣퐶∣2
ˆ +∞
−∞
푒−
푖
ℏ
(푝′′−푝′)푥′푑푥′.
Como
´ +∞
−∞
푒−푖푘푥푑푥 = 2휋훿(푘) vemos que
⟨푝′′∣푝′⟩ = ∣퐶∣22휋훿
(
푝′′ − 푝′
ℏ
)
= ∣퐶∣22휋ℏ훿 (푝′′ − 푝′) .
Com isto determinamos 퐶,
퐶 =
√
1
2휋ℏ
e portanto
⟨푥′∣푝′⟩ = 푓푝′(푥′) = 1√
2휋ℏ
푒
푖
ℏ
푝′푥′ .
∙ Func¸a˜o de onda no espac¸o dos momentos
∣훼⟩ =
ˆ +∞
−∞
푑푝′∣푝′⟩⟨푝′∣훼⟩
onde ⟨푝′∣훼⟩ = 푓훼(푝′) e´ a func¸a˜o de onda no espac¸o dos momentos.
휌(푝, 훼) = ∣푓훼(푥)∣2 e´ a densidade de probabilidade de numa medida do momento acharmos o valor 푝.
∙ Relac¸a˜o entre as func¸o˜es de onda
Temos
∣훼⟩ =
ˆ
푑푥′∣푥′⟩⟨푥′∣훼⟩
∣훼⟩ =
ˆ
푑푝′∣푝′⟩⟨푝′∣훼⟩
com
푓훼(푥
′) = ⟨푥′∣훼⟩, 푓훼(푝′) = ⟨푝′∣훼⟩.
Das relac¸o˜es acima podemos mostrar que
푓훼(푥
′) =
ˆ
푑푝′⟨푥′∣푝′⟩푓훼(푝′)
e
푓훼(푝
′) =
ˆ
푑푥′⟨푝′∣푥′⟩푓훼(푥′).
A func¸a˜o que transforma as func¸o˜es de onda do estado ∣훼⟩ no espac¸o das posic¸o˜es e no espac¸o dos momentos
e´ a func¸a˜o de onda dos autovetores do operador momento
푓훼(푥
′) =
ˆ
푑푝′√
2휋ℏ
푒
푖
ℏ
푝′푥′푓훼(푝
′)
e
푓훼(푝
′) =
ˆ
푑푥′√
2휋ℏ
푒−
푖
ℏ
푝′푥′푓훼(푥
′).
Note que as func¸o˜es de onda esta˜o relacionadas por uma transformac¸a˜o de Fourier.
21
Exerc´ıcio 1: Pacote de incerteza mı´nima.
No princ´ıpio da incerteza de Heisenberg os operadores incompat´ıveis sa˜o os operadores posic¸a˜o e momento,
푥ˆ e 푝ˆ. Como [푥ˆ, 푝ˆ] = 푖ℏ, o princ´ıpio da incerteza de Heisenberg e´ dado por:
휎2푥휎
2
푝 ≥
ℏ
2
4
.
Identificando 퐴ˆ = 푝ˆ e 퐵ˆ = 푥ˆ, o estado de incerteza mı´nima e´ determinado pela equac¸a˜o:
(푝ˆ− ⟨푝ˆ⟩)∣휓⟩ = −휆(푥ˆ− ⟨푥ˆ⟩)∣휓⟩
onde 휆 e´ um imagina´rio puro igual a`
휆 = − 푖ℏ
2휎2푥
.
Resolvendo a equac¸a˜o para a func¸a˜o de onda do estado de incerteza mı´nima, ∣휓⟩, chegamos na equac¸a˜o
−푖ℏ∂휓훼
∂푥
(푥) = ⟨푝ˆ⟩휓훼(푥) + 푖ℏ
2휎2푥
(푥− ⟨푥ˆ⟩)휓훼(푥)
ou
∂휓훼
∂푥
(푥) =
푖
ℏ
⟨푝ˆ⟩휓훼(푥)− (푥− ⟨푥ˆ⟩)
2휎2푥
휓훼(푥)
∂
∂푥
Ln휓훼(푥) =
푖
ℏ
⟨푝ˆ⟩ − (푥− ⟨푥ˆ⟩)
2휎2푥
Obtemos
휓훼(푥) = 퐶푒
−
(푥−⟨푥ˆ⟩)2
4휎2
푥 푒
푖
ℏ
⟨푝ˆ⟩푥.
A condic¸a˜o de normalizac¸a˜o determina o valor de 퐶,
퐶 =
1
(2휋휎2푥)
1
4
.
Desse modo conclu´ımos que o estado de incerteza mı´nima e´ o pacote gaussiano
휓훼(푥) =
1
(2휋휎2푥)
1
4
푒
−
(푥−⟨푥ˆ⟩)2
4휎2
푥 푒
푖
ℏ
⟨푝ˆ⟩푥.
Exerc´ıcio 2: Mostre que o operador de translac¸a˜o do sistema e´
푇ˆ (푎) = 푒−
푖
ℏ
푝ˆ푎.
Sejam dois vetores de estado relacionados por uma translac¸a˜o. Nesse caso as func¸o˜es de onda do estado
transladado e do estado original devem estar relacionados:
∣훽⟩ = 푇ˆ (푎)∣훼⟩
푓훽(푥) = 푓훼(푥− 푎)
onde 푎 e´ a magnitude da translac¸a˜o.
A func¸a˜o de onda no espac¸o dos momentos do estado transladado e´ igual a
푓푇ˆ훼(푝
′) = ⟨푝′∣푇ˆ (푎)∣훼⟩ = ⟨훼∣푇ˆ †(푎)∣푝′⟩∗.
Como
푇ˆ †(푎)∣푝′⟩ = 푒 푖ℏ푝′푎∣푝′⟩
22
segue que
푓푇ˆ훼(푝
′) = 푒−
푖
ℏ
푝′푎⟨푝′∣훼⟩ = 푓훼(푝′)푒− 푖ℏ푝
′푎.
Sabemos que as func¸o˜es de onda no espac¸o das posic¸o˜es e no espac¸o dos momentos esta˜o relacionados por uma
transformac¸a˜o de Fourier
푓푇ˆ훼(푥
′) =
ˆ
푑푝′√
2휋ℏ
푒
푖
ℏ
푝′푥′푓푇ˆ훼(푝
′)
=
ˆ
푑푝′√
2휋ℏ
푒
푖
ℏ
푝′(푥′−푎)푓훼(푝
′)
= 푓훼(푥
′ − 푎).
c.q.d.
23